Operaciones matriciales. Multiplicación de matrices cuadradas

Matriz La dimensión es una mesa rectangular que consta de elementos ubicados en metro líneas y norte columnas.

Elementos de la matriz (primer índice i− número de línea, segundo índice j− número de columna) pueden ser números, funciones, etc. Las matrices se indican con letras mayúsculas del alfabeto latino.

La matriz se llama cuadrado, si tiene el mismo número de filas que el número de columnas ( metro = norte). En este caso el número norte se llama orden de la matriz, y la matriz en sí se llama matriz norte-ésimo orden.

Elementos con los mismos índices. forma diagonal principal matriz cuadrada, y los elementos (es decir, que tienen una suma de índices igual a norte+1) − diagonal lateral.

Soltero matriz es una matriz cuadrada, todos los elementos de la diagonal principal de los cuales son iguales a 1, y los elementos restantes son iguales a 0. Se denota con la letra mi.

Cero matriz− es una matriz cuyos elementos son iguales a 0. Una matriz cero puede ser de cualquier tamaño.

al numero operaciones lineales sobre matrices relatar:

1) adición de matrices;

2) multiplicar matrices por número.

La operación de suma de matrices se define solo para matrices de la misma dimensión.

La suma de dos matrices. A Y EN llamada matriz CON, cuyos elementos son iguales a las sumas de los elementos de la matriz correspondientes A Y EN:

.

Producto matricial A por numero k llamada matriz EN, cuyos elementos son iguales a los elementos correspondientes de esta matriz A, multiplicado por el número k:

Operación multiplicación de matrices se introduce para matrices que satisfacen la condición: el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda.

Producto matricial A dimensiones a la matriz EN dimensión se llama matriz CON dimensiones, elemento i-ésima línea y j cuya enésima columna es igual a la suma de los productos de los elementos iésima fila de la matriz A a los elementos correspondientes jª columna de la matriz EN:

El producto de matrices (a diferencia del producto de números reales) no obedece la ley conmutativa, es decir en general A EN EN A.

1.2. Determinantes. Propiedades de los determinantes

El concepto de determinante. se introduce sólo para matrices cuadradas.

El determinante de una matriz de segundo orden es un número calculado según la siguiente regla

.

Determinante de una matriz de tercer orden es un número calculado según la siguiente regla:

El primero de los términos con el signo “+” es el producto de los elementos ubicados en la diagonal principal de la matriz (). Los dos restantes contienen elementos ubicados en los vértices de triángulos con la base paralela a la diagonal principal (i). El signo “-” incluye los productos de los elementos de la diagonal secundaria () y los elementos que forman triángulos con bases paralelas a esta diagonal (y).

Esta regla para calcular el determinante de tercer orden se llama regla del triángulo (o regla de Sarrus).

Propiedades de los determinantes Veamos el ejemplo de los determinantes de tercer orden.

1. Al reemplazar todas las filas del determinante con columnas con los mismos números que las filas, el determinante no cambia su valor, es decir filas y columnas del determinante son iguales

.

2. Cuando se reordenan dos filas (columnas), el determinante cambia de signo.

3. Si todos los elementos de una determinada fila (columna) son ceros, entonces el determinante es 0.

4. El factor común de todos los elementos de una fila (columna) se puede quitar del signo determinante.

5. El determinante que contiene dos filas (columnas) idénticas es igual a 0.

6. Un determinante que contiene dos filas (columnas) proporcionales es igual a cero.

7. Si cada elemento de una determinada columna (fila) de un determinante representa la suma de dos términos, entonces el determinante es igual a la suma de dos determinantes, uno de los cuales contiene los primeros términos de la misma columna (fila) y el otro. contiene el segundo. Los elementos restantes de ambos determinantes son los mismos. Entonces,

.

8. El determinante no cambiará si los elementos correspondientes de otra columna (fila) se suman a los elementos de cualquiera de sus columnas (filas), multiplicados por el mismo número.

Suma de matriz:

Resta y suma de matrices. se reduce a las correspondientes operaciones sobre sus elementos. Operación de suma de matrices ingresado solo para matrices el mismo tamaño, es decir, para matrices, en el que el número de filas y columnas es respectivamente igual. Suma de matrices A y B se llaman matriz C, cuyos elementos son iguales a la suma de los elementos correspondientes. C = A + B c ij = a ij + b ij Definido de manera similar diferencia de matriz.

Multiplicar una matriz por un número:

Operación de multiplicación (división) de matrices de cualquier tamaño por un número arbitrario se reduce a multiplicar (dividir) cada elemento matrices para este número. Producto matricial Y el numero k se llama matriz B, tal que

b ij = k × a ij . B = k × A b ij = k × a ij . Matriz- A = (-1) × A se llama lo contrario matriz A.

Propiedades de sumar matrices y multiplicar una matriz por un número:

Operaciones de suma de matrices Y multiplicación de matrices en un número tienen las siguientes propiedades: 1. A + B = B + A; 2. A + (B + C) = (A + B) + C; 3. A + 0 = A; 4. A - A = 0; 5. 1×A = A; 6. α × (A + B) = αA + αB; 7. (α + β) × A = αA + βA; 8. α × (βA) = (αβ) × A; , donde A, B y C son matrices, α y β son números.

Multiplicación de matrices (producto de matrices):

Operación de multiplicar dos matrices. se ingresa solo para el caso en que el número de columnas de la primera matrices igual al número de líneas del segundo matrices. Producto de matriz Y m×n en matriz En n×p, llamado matriz Con m×p tal que con ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk , es decir, se encuentra la suma de los productos de los elementos de la i-ésima fila matrices Y a los elementos correspondientes de la j-ésima columna. matrices B. Si matrices A y B son cuadrados del mismo tamaño, entonces los productos AB y BA siempre existen. Es fácil demostrar que A × E = E × A = A, donde A es cuadrado matriz, E - unidad matriz el mismo tamaño.

Propiedades de la multiplicación de matrices:

Multiplicación de matrices no conmutativo, es decir AB ≠ BA incluso si ambos productos están definidos. Sin embargo, si por alguna matrices se cumple la relación AB=BA, entonces tal matrices se llaman conmutativos. El ejemplo más típico es un solo matriz, que conmuta con cualquier otro matriz el mismo tamaño. Sólo los cuadrados pueden ser permutables matrices del mismo orden. A × E = E × A = A

Multiplicación de matrices tiene las siguientes propiedades: 1. A × (B × C) = (A × B) × C; 2. A × (B + C) = AB + AC; 3. (A + B) × C = AC + BC; 4. α × (AB) = (αA) × B; 5. A × 0 = 0; 0×A = 0; 6. (AB) T = B T A T; 7. (ABC) T = C T V T A T; 8. (A + B) T = A T + B T;

2. Determinantes de 2º y 3º orden. Propiedades de los determinantes.

Determinante de matriz segundo orden, o determinante El segundo orden es un número que se calcula mediante la fórmula:

Determinante de matriz tercer orden, o determinante El tercer orden es un número que se calcula mediante la fórmula:

Este número representa una suma algebraica que consta de seis términos. Cada término contiene exactamente un elemento de cada fila y cada columna. matrices. Cada término consta del producto de tres factores.

Señales con las que miembros. determinante de la matriz incluido en la fórmula encontrar el determinante de la matriz El tercer orden se puede determinar utilizando el esquema dado, que se llama regla de los triángulos o regla de Sarrus. Los primeros tres términos se toman con un signo más y se determinan a partir de la figura de la izquierda, y los tres términos siguientes se toman con un signo menos y se determinan a partir de la figura de la derecha.

Determinar el número de términos a encontrar. determinante de la matriz, en una suma algebraica, puedes calcular el factorial: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6

Propiedades de los determinantes matriciales

Propiedades de los determinantes matriciales:

Propiedad #1:

Determinante de matriz no cambiará si sus filas se reemplazan con columnas, cada fila con una columna con el mismo número, y viceversa (Transposición). |A| = |A| t

Consecuencia:

Columnas y filas determinante de la matriz son iguales, por lo tanto, las propiedades inherentes a las filas también se cumplen para las columnas.

Propiedad #2:

Al reorganizar 2 filas o columnas determinante de la matriz cambiará el signo al contrario, manteniendo el valor absoluto, es decir:

Propiedad #3:

Determinante de matriz tener dos filas idénticas es igual a cero.

Propiedad #4:

Factor común de elementos de cualquier serie. determinante de la matriz puede tomarse como una señal determinante.

Corolarios de las propiedades No. 3 y No. 4:

Si todos los elementos de una determinada serie (fila o columna) son proporcionales a los elementos correspondientes de una serie paralela, entonces tales determinante de la matriz igual a cero.

Propiedad #5:

determinante de la matriz son iguales a cero, entonces determinante de la matriz igual a cero.

Propiedad #6:

Si todos los elementos de una fila o columna determinante presentado como una suma de 2 términos, entonces determinante matrices se puede representar como la suma de 2 determinantes según la fórmula:

Propiedad #7:

Si a cualquier fila (o columna) determinante sumar los elementos correspondientes de otra fila (o columna), multiplicarlos por el mismo número, luego determinante de la matriz no cambiará su valor.

Ejemplo de uso de propiedades para el cálculo. determinante de la matriz:

Entonces, en la lección anterior vimos las reglas para sumar y restar matrices. Estas son operaciones tan simples que la mayoría de los estudiantes las entienden literalmente desde el principio.

Sin embargo, te alegras temprano. Se acabó el obsequio: pasemos a la multiplicación. Te lo advierto de inmediato: multiplicar dos matrices no es en absoluto multiplicar números en celdas con las mismas coordenadas, como podrías pensar. Aquí todo es mucho más divertido. Y tendremos que empezar con definiciones preliminares.

Matrices emparejadas

Una de las características más importantes de una matriz es su tamaño. Ya hemos hablado de esto cientos de veces: la notación $A=\left[ m\times n \right]$ significa que la matriz tiene exactamente $m$ filas y $n$ columnas. Ya hemos comentado cómo no confundir filas con columnas. Algo más es importante ahora.

Definición. Matrices de la forma $A=\left[ m\times n \right]$ y $B=\left[ n\times k \right]$, en las que el número de columnas de la primera matriz coincide con el número de filas en el segundo, se llaman consistentes.

Una vez más: ¡el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda! De aquí sacamos dos conclusiones a la vez:

1. El orden de las matrices es importante para nosotros. Por ejemplo, las matrices $A=\left[ 3\times 2 \right]$ y $B=\left[ 2\times 5 \right]$ son consistentes (2 columnas en la primera matriz y 2 filas en la segunda) , pero viceversa: las matrices $B=\left[ 2\times 5 \right]$ y $A=\left[ 3\times 2 \right]$ ya no son consistentes (5 columnas en la primera matriz no son 3 filas en el segundo ).
2. La coherencia se puede comprobar fácilmente anotando todas las dimensiones una tras otra. Usando el ejemplo del párrafo anterior: “3 2 2 5” - hay números idénticos en el medio, por lo que las matrices son consistentes. Pero “2 5 3 2” no son consistentes, ya que hay números diferentes en el medio.

Además, Captain Obviousness parece estar insinuando que las matrices cuadradas del mismo tamaño $\left[ n\times n \right]$ son siempre consistentes.

En matemáticas, cuando el orden de enumeración de los objetos es importante (por ejemplo, en la definición analizada anteriormente, el orden de las matrices es importante), a menudo hablamos de pares ordenados. Los conocimos en la escuela: creo que es una obviedad que las coordenadas $\left(1;0 \right)$ y $\left(0;1 \right)$ definen diferentes puntos en el plano.

Entonces: las coordenadas también son pares ordenados que están formados por números. Pero nada le impide formar ese par a partir de matrices. Entonces podemos decir: “Un par ordenado de matrices $\left(A;B \right)$ es consistente si el número de columnas de la primera matriz es el mismo que el número de filas de la segunda”.

Bueno, ¿y qué?

Definición de multiplicación

Considere dos matrices consistentes: $A=\left[ m\times n \right]$ y $B=\left[ n\times k \right]$. Y definimos la operación de multiplicación para ellos.

Definición. El producto de dos matrices coincidentes $A=\left[ m\times n \right]$ y $B=\left[ n\times k \right]$ es la nueva matriz $C=\left[ m\times k \ derecha] $, cuyos elementos se calculan mediante la fórmula:

\[\begin(align) & ((c)_(i;j))=((a)_(i;1))\cdot ((b)_(1;j))+((a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ldots +((a)_(i;n))\cdot ((b)_(n;j))= \\ & =\sum\limits_(t=1)^(n)(((a)_(i;t))\cdot ((b)_(t;j))) \end(align)\]

Dicho producto se denota de la forma estándar: $C=A\cdot B$.

Quien ve esta definición por primera vez tiene inmediatamente dos preguntas:

1. ¿Qué clase de juego feroz es este?
2. ¿Por qué es tan dificil?

Bueno, lo primero es lo primero. Comencemos con la primera pregunta. ¿Qué significan todos estos índices? ¿Y cómo no cometer errores al trabajar con matrices reales?

En primer lugar, notamos que la larga línea para calcular $((c)_(i;j))$ (especialmente pongo un punto y coma entre los índices para no confundirme, pero no es necesario ponerlos en general (yo mismo me cansé de escribir la fórmula en la definición) en realidad se reduce a una regla simple:

1. Tome la $i$ésima fila de la primera matriz;
2. Tome la columna $j$ésima en la segunda matriz;
3. Obtenemos dos secuencias de números. Multiplicamos los elementos de estas secuencias por los mismos números y luego sumamos los productos resultantes.

Este proceso es fácil de entender en la imagen:

Una vez más: fijamos la fila $i$ en la primera matriz, la columna $j$ en la segunda matriz, multiplicamos los elementos con los mismos números y luego sumamos los productos resultantes: obtenemos $((c)_(ij))$ . Y así sucesivamente para todos $1\le i\le m$ y $1\le j\le k$. Aquellos. Habrá m\veces k$ de tales “perversiones” en total.

De hecho, ya nos hemos encontrado con la multiplicación de matrices en el currículo escolar, sólo que en una forma muy reducida. Sean dados los vectores:

\[\begin(align) & \vec(a)=\left(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \right); \\ & \overrightarrow(b)=\left(((x)_(b));((y)_(b));((z)_(b)) \right). \\ \end(alinear)\]

Entonces su producto escalar será exactamente la suma de productos por pares:

\[\overrightarrow(a)\times \overrightarrow(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y )_(b))+((z)_(a))\cdot ((z)_(b))\]

Básicamente, cuando los árboles eran más verdes y los cielos más brillantes, simplemente multiplicamos el vector de fila $\overrightarrow(a)$ por el vector de columna $\overrightarrow(b)$.

Nada ha cambiado hoy. Es solo que ahora hay más de estos vectores de filas y columnas.

¡Pero basta de teoría! Veamos ejemplos reales. Y comencemos con el caso más simple: las matrices cuadradas.

Multiplicación de matrices cuadradas

Tarea 1. Haz la multiplicación:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 y 2 \\ -3 y 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 y 4 \\ 3 y 1 \\\end(array) \right]\]

Solución. Entonces, tenemos dos matrices: $A=\left[ 2\times 2 \right]$ y $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Está claro que son consistentes (las matrices cuadradas del mismo tamaño siempre son consistentes). Por tanto, realizamos la multiplicación:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 y 2 \\ -3 y 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \ comenzar(matriz)(*(35)(r)) -2 y 4 \\ 3 y 1 \\\end(matriz) \right]=\left[ \begin(matriz)(*(35)(r)) 1\cdot \left(-2 \right)+2\cdot 3 y 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 y -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 4 y 6 \\ 18 y -8 \\\ fin(matriz)\derecha]. \end(alinear)\]

¡Eso es todo!

Respuesta: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(array) \right]$.

Tarea 2. Haz la multiplicación:

\[\left[ \begin(matrix) 1 y 3 \\ 2 y 6 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r))9 y 6 \\ -3 y -2 \\\end(array) \right]\]

Solución. De nuevo, matrices consistentes, por lo que realizamos las siguientes acciones:\[\]

\[\begin(align) & \left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)( ) r)) 9 y 6 \\ -3 y -2 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 9+3\cdot \ left(-3 \right) & 1\cdot 6+3\cdot \left(-2 \right) \\ 2\cdot 9+6\cdot \left(-3 \right) & 2\cdot 6+6 \ cdot \left(-2 \right) \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right ] . \end(alinear)\]

Como puede ver, el resultado es una matriz llena de ceros.

Respuesta: $\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right]$.

De los ejemplos anteriores se desprende claramente que la multiplicación de matrices no es una operación tan complicada. Al menos para matrices cuadradas de 2 por 2.

En el proceso de cálculo, compilamos una matriz intermedia, donde describimos directamente qué números están incluidos en una celda en particular. Esto es exactamente lo que debes hacer al resolver problemas reales.

Propiedades básicas del producto matricial.

En una palabra. Multiplicación de matrices:

1. No conmutativo: $A\cdot B\ne B\cdot A$ en el caso general. Por supuesto, existen matrices especiales para las cuales la igualdad $A\cdot B=B\cdot A$ (por ejemplo, si $B=E$ es la matriz identidad), pero en la gran mayoría de los casos esto no funciona. ;
2. Asociativamente: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$. Aquí no hay opciones: las matrices adyacentes se pueden multiplicar sin preocuparse por lo que hay a la izquierda y a la derecha de estas dos matrices.
3. Distributivamente: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ y $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C $ (debido a la no conmutatividad del producto, es necesario especificar por separado la distributividad derecha e izquierda.

Y ahora todo sigue igual, pero con más detalle.

La multiplicación de matrices es en muchos aspectos similar a la multiplicación de números clásica. Pero hay diferencias, la más importante de las cuales es que La multiplicación de matrices es, en términos generales, no conmutativa..

Miremos nuevamente las matrices del Problema 1. Ya conocemos su producto directo:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 y 2 \\ -3 y 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 y 4 \\ 3 y 1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 y 6 \\ 18 & -8 \\\end(matriz) \right]\]

Pero si intercambiamos las matrices, obtenemos un resultado completamente diferente:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 y 4 \\ 3 y 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) 1 y 2 \\ -3 y 4 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(matrix) -14 y 4 \\ 0 y 10 \\\end(matriz )\bien]\]

Resulta que $A\cdot B\ne B\cdot A$. Además, la operación de multiplicación solo está definida para las matrices consistentes $A=\left[ m\times n \right]$ y $B=\left[ n\times k \right]$, pero nadie ha garantizado que permanecerán consistentes si se intercambian. Por ejemplo, las matrices $\left[ 2\times 3 \right]$ y $\left[ 3\times 5 \right]$ son bastante consistentes en el orden especificado, pero las mismas matrices $\left[ 3\times 5 \right] $ y $\left[ 2\times 3 \right]$ escritos en orden inverso ya no son consistentes. Triste.:(

Entre las matrices cuadradas de un tamaño dado $n$ siempre habrá aquellas que den el mismo resultado tanto cuando se multiplican en orden directo como inverso. Cómo describir todas estas matrices (y cuántas hay en general) es un tema para una lección aparte. No hablaremos de eso hoy :)

Sin embargo, la multiplicación de matrices es asociativa:

\[\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)\]

Por lo tanto, cuando es necesario multiplicar varias matrices seguidas a la vez, no es necesario hacerlo de inmediato: es muy posible que algunas matrices adyacentes, cuando se multiplican, den un resultado interesante. Por ejemplo, una matriz cero, como en el problema 2 analizado anteriormente.

En problemas reales, la mayoría de las veces tenemos que multiplicar matrices cuadradas de tamaño $\left[ n\times n \right]$. El conjunto de todas estas matrices se denota por $((M)^(n))$ (es decir, las entradas $A=\left[ n\times n \right]$ y \ significan lo mismo), y necesariamente contiene la matriz $E$, que se llama matriz identidad.

Definición. Una matriz identidad de tamaño $n$ es una matriz $E$ tal que para cualquier matriz cuadrada $A=\left[ n\times n \right]$ la igualdad se cumple:

Una matriz así siempre tiene el mismo aspecto: hay unos en su diagonal principal y ceros en todas las demás celdas.

\[\begin(align) & A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \end(align)\]

En otras palabras, si necesitas multiplicar una matriz por la suma de otras dos, puedes multiplicarla por cada una de estas “otras dos” y luego sumar los resultados. En la práctica, normalmente tenemos que realizar la operación contraria: notamos la misma matriz, la sacamos de paréntesis, realizamos la suma y así simplificamos nuestra vida :)

Nota: para describir la distributividad, tuvimos que escribir dos fórmulas: donde la suma está en el segundo factor y donde la suma está en el primero. Esto sucede precisamente porque la multiplicación de matrices no es conmutativa (y en general, en álgebra no conmutativa hay muchas cosas divertidas que ni siquiera vienen a la mente cuando se trabaja con números ordinarios). Y si, por ejemplo, necesita describir esta propiedad en un examen, asegúrese de escribir ambas fórmulas, de lo contrario el profesor puede enfadarse un poco.

Bien, todos estos eran cuentos de hadas sobre matrices cuadradas. ¿Qué pasa con los rectangulares?

El caso de las matrices rectangulares.

Pero nada, todo es igual que con los cuadrados.

Tarea 3. Haz la multiplicación:

\[\left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\\end(matrix) \ \\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 y 5 \\ 3 y 4 \\\end(array) \right]\]

Solución. Tenemos dos matrices: $A=\left[ 3\times 2 \right]$ y $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Anotemos los números que indican las tallas en una fila:

Como puedes ver, los dos números centrales coinciden. Esto significa que las matrices son consistentes y se pueden multiplicar. Además, en la salida obtenemos la matriz $C=\left[ 3\times 2 \right]$:

\[\begin(align) & \left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end(matrix) \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 y 5 \\ 3 y 4 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 5\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \left(-2 \right)+5\cdot 3 y 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \right)+1\cdot 3 y 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 y 41 \\ 11 y 30 \\ -3 y 19 \ \\end(array)\right]. \end(alinear)\]

Todo está claro: la matriz final tiene 3 filas y 2 columnas. Bastante $=\left[ 3\times 2 \right]$.

Respuesta: $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) \begin(array)(*(35)(r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\end(array) & \begin(matriz) 41 \\ 30 \\ 19 \\\end(matriz) \\\end(array) \right]$.

Ahora veamos una de las mejores tareas de formación para quienes recién comienzan a trabajar con matrices. En él no es necesario simplemente multiplicar unas dos tabletas, sino también determinar primero: ¿está permitida dicha multiplicación?

Problema 4. Encuentre todos los posibles productos de matrices por pares:

\\]; $B=\left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\end(matriz) \\\end(matriz) \right]$; $C=\left[ \begin(matrix)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right]$.

Solución. Primero, anotemos los tamaños de las matrices:

\;\ B=\izquierda[ 4\veces 2 \derecha];\ C=\izquierda[ 2\veces 2 \derecha]\]

Encontramos que la matriz $A$ solo se puede conciliar con la matriz $B$, ya que el número de columnas de $A$ es 4, y solo $B$ tiene este número de filas. Por tanto, podemos encontrar el producto:

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 0 y 1 \\ 2 y 0 \\ 0 y 3 \\ 4 y 0 \\\end(array) \right]=\ izquierda[ \begin(array)(*(35)(r))-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]\]

Sugiero que el lector complete los pasos intermedios de forma independiente. Solo señalaré que es mejor determinar el tamaño de la matriz resultante de antemano, incluso antes de realizar cualquier cálculo:

\\cdot \left[ 4\times 2 \right]=\left[ 2\times 2 \right]\]

En otras palabras, simplemente eliminamos los coeficientes de “tránsito” que aseguraban la consistencia de las matrices.

¿Qué otras opciones son posibles? Por supuesto, se puede encontrar $B\cdot A$, ya que $B=\left[ 4\times 2 \right]$, $A=\left[ 2\times 4 \right]$, entonces el par ordenado $\ left(B ;A \right)$ es consistente y la dimensión del producto será:

\\cdot \left[ 2\times 4 \right]=\left[ 4\times 4 \right]\]

En resumen, el resultado será una matriz $\left[ 4\times 4 \right]$, cuyos coeficientes se pueden calcular fácilmente:

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\end(array) \right]=\ izquierda[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 y -8 \\\end(array) \right]\]

Obviamente, también pueden ponerse de acuerdo en $C\cdot A$ y $B\cdot C$, y eso es todo. Por tanto, simplemente anotamos los productos resultantes:

Fue fácil.:)

Respuesta: $AB=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]$; $BA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 y 1 y 2 y 2 \\ 2 y -2 y 4 y -4 \\ 3 y 3 y 6 y 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(array) \right]$; $CA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end(array) \right]$; $BC=\left[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end(array) \right]$.

En general, recomiendo encarecidamente que realice esta tarea usted mismo. Y una tarea más similar que está en la tarea. Estos pensamientos aparentemente simples te ayudarán a practicar todas las etapas clave de la multiplicación de matrices.

Pero la historia no termina ahí. Pasemos a casos especiales de multiplicación :)

Vectores de fila y vectores de columna

Una de las operaciones matriciales más comunes es la multiplicación por una matriz que tiene una fila o una columna.

Definición. Un vector columna es una matriz de tamaño $\left[ m\times 1 \right]$, es decir que consta de varias filas y una sola columna.

Un vector fila es una matriz de tamaño $\left[ 1\times n \right]$, es decir que consta de una fila y varias columnas.

De hecho, ya nos hemos encontrado con estos objetos. Por ejemplo, un vector tridimensional ordinario de estereometría $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$ no es más que un vector fila. Desde un punto de vista teórico, casi no hay diferencia entre filas y columnas. Sólo debes tener cuidado al coordinar con las matrices multiplicadoras circundantes.

Tarea 5. Haz la multiplicación:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]\]

Solución. Aquí tenemos el producto de matrices coincidentes: $\left[ 3\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 1 \right]=\left[ 3\times 1 \right]$. Encontremos esta pieza:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35 )(r)) 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 2+3\cdot \left(-1 \right) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \ \ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \right) \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\end(array) \right]\]

Respuesta: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\end(array) \right]$.

Tarea 6. Haz la multiplicación:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 y 1 y -1 \\ 4 y -1 y 3 \\ 2 y 6 y 0 \\\end(array) \right]\]

Solución. Nuevamente todo está acordado: $\left[ 1\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 3 \right]=\left[ 1\times 3 \right]$. Contamos el producto:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 y 1 y -1 \\ 4 y -1 y 3 \\ 2 y 6 y 0 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)( ) r))5 & -19 & 5 \\\end(array) \right]\]

Respuesta: $\left[ \begin(matrix) 5 & -19 & 5 \\\end(matrix) \right]$.

Como puede ver, cuando multiplicamos un vector fila y un vector columna por una matriz cuadrada, el resultado siempre resulta en una fila o columna del mismo tamaño. Este hecho tiene muchas aplicaciones, desde la resolución de ecuaciones lineales hasta todo tipo de transformaciones de coordenadas (que en última instancia también se reducen a sistemas de ecuaciones, pero no hablemos de cosas tristes).

Creo que aquí todo era obvio. Pasemos a la parte final de la lección de hoy.

Exponenciación matricial

Entre todas las operaciones de multiplicación, la exponenciación merece especial atención: esto es cuando multiplicamos el mismo objeto por sí mismo varias veces. Las matrices no son una excepción; también pueden elevarse a varias potencias.

Dichos trabajos siempre se pactan:

\\cdot \left[ n\times n \right]=\left[ n\times n \right]\]

Y se designan exactamente de la misma forma que los títulos ordinarios:

\[\begin(align) & A\cdot A=((A)^(2)); \\ & A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n)). \\ \end(alinear)\]

A primera vista, todo es sencillo. Veamos cómo se ve esto en la práctica:

Tarea 7. Eleve la matriz a la potencia indicada:

$((\left[ \begin(matrix) 1 y 1 \\ 0 y 1 \\\end(matrix) \right])^(3))$

Solución. Bueno, está bien, construyamos. Primero vamos a cuadrarlo:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(2))=\left[ \begin(matrix) ) 1 y 1 \\ 0 y 1 \\\end(matriz) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 y 1 \\ 0 y 1 \\\end(matriz) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\end(array) \right] \end(align)\]

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))=((\left[ \begin (matriz) 1 y 1 \\ 0 y 1 \\\end(matriz) \right])^(3))\cdot \left[ \begin(matriz) 1 y 1 \\ 0 y 1 \\\end( matriz) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(matriz) 1 y 1 \\ 0 y 1 \\\end(matriz) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 y 3 \\ 0 y 1 \\\end(array) \right] \end(align)\]

Eso es todo.:)

Respuesta: $\left[ \begin(matrix)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.

Problema 8. Elevar la matriz a la potencia indicada:

\[((\left[ \begin(matrix) 1 y 1 \\ 0 y 1 \\\end(matrix) \right])^(10))\]

Solución. Simplemente no llores ahora por el hecho de que "el título es demasiado grande", "el mundo no es justo" y "los profesores han perdido completamente sus fronteras". En realidad es fácil:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(10))=((\left[ \begin (matriz) 1 y 1 \\ 0 y 1 \\\end(matriz) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matrix) 1 y 1 \\ 0 y 1 \\\ end(matrix) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))\ cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left(\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right] \right)\cdot \left(\left[ \begin(matrix) 1 y 3 \\ 0 y 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 y 1 \\ 0 y 1 \\\end(matrix) \right ] \right)= \\ & =\left[ \begin(matrix) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 4 \\ 0 y 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right] \end(align)\ ]

Observe que en la segunda línea usamos asociatividad de multiplicación. En realidad, lo usamos en la tarea anterior, pero estaba implícito allí.

Respuesta: $\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.

Como puedes ver, no hay nada complicado en elevar una matriz a una potencia. El último ejemplo se puede resumir:

\[((\left[ \begin(matrix) 1 y 1 \\ 0 y 1 \\\end(matrix) \right])^(n))=\left[ \begin(array)(*(35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

Este hecho es fácil de demostrar mediante inducción matemática o multiplicación directa. Sin embargo, no siempre es posible detectar estos patrones cuando se eleva a una potencia. Por tanto, tenga cuidado: muchas veces multiplicar varias matrices “al azar” resulta más fácil y rápido que buscar algún tipo de patrones.

En general, no busques un significado superior donde no lo hay. En conclusión, consideremos la exponenciación de una matriz más grande: tanto como $\left[ 3\times 3 \right]$.

Problema 9. Elevar la matriz a la potencia indicada:

\[((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(3))\]

Solución. No busquemos patrones. Trabajamos por delante:

\[((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(3))=(( \left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(2))\cdot \left[ \begin (matriz)0 y 1 y 1 \\ 1 y 0 y 1 \\ 1 y 1 y 0 \\\end(matriz) \right]\]

Primero, elevamos al cuadrado esta matriz:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^( 2))=\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) ) 0 y 1 y 1 \\ 1 y 0 y 1 \\ 1 y 1 y 0 \\\end(matriz) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r )) 2 y 1 y 1 \\ 1 y 2 y 1 \\ 1 y 1 y 2 \\\end(array) \right] \end(align)\]

Ahora vamos a cubos:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^( 3))=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin( matriz)(*(35)(r)) 2 y 3 y 3 \\ 3 y 2 y 3 \\ 3 y 3 y 2 \\\end(array) \right] \end(align)\]

Eso es todo. El problema esta resuelto.

Respuesta: $\left[ \begin(matrix) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(matrix) \right]$.

Como puede ver, el volumen de cálculos ha aumentado, pero el significado no ha cambiado en absoluto :)

Esto concluye la lección. La próxima vez consideraremos la operación inversa: utilizando el producto existente buscaremos los factores originales.

Como probablemente ya habrás adivinado, hablaremos sobre la matriz inversa y los métodos para encontrarla.

Este es un concepto que generaliza todas las operaciones posibles realizadas con matrices. Matriz matemática - tabla de elementos. Sobre una mesa donde metro líneas y norte columnas, se dice que esta matriz tiene la dimensión metro en norte.

Vista general de la matriz:

Para soluciones matriciales Es necesario entender qué es una matriz y conocer sus principales parámetros. Elementos principales de la matriz:

• La diagonal principal, que consta de elementos. un 11, un 22…..un minuto.
• Diagonal lateral formada por elementos. un 1n , un 2n-1 .....un m1.

Principales tipos de matrices:

• El cuadrado es una matriz donde el número de filas = el número de columnas ( m=n).
• Cero: donde todos los elementos de la matriz = 0.
• Matriz transpuesta - matriz EN, que se obtuvo de la matriz original A reemplazando filas con columnas.
• Unidad: todos los elementos de la diagonal principal = 1, todos los demás = 0.
• Una matriz inversa es una matriz que, multiplicada por la matriz original, da como resultado una matriz identidad.

La matriz puede ser simétrica con respecto a las diagonales principal y secundaria. Es decir, si un 12 = un 21, a 13 =a 31,….a 23 =a 32…. un m-1n = un mn-1, entonces la matriz es simétrica con respecto a la diagonal principal. Sólo las matrices cuadradas pueden ser simétricas.

Métodos de resolución de matrices.

Casi todos métodos de resolución de matrices consiste en encontrar su determinante norte-ésimo orden y la mayoría de ellos son bastante engorrosos. Para encontrar el determinante de segundo y tercer orden existen otros métodos más racionales.

Encontrar determinantes de segundo orden.

Para calcular el determinante de una matriz. A 2do orden, es necesario restar el producto de los elementos de la diagonal secundaria del producto de los elementos de la diagonal principal:

Métodos para encontrar determinantes de tercer orden.

A continuación se muestran las reglas para encontrar el determinante de tercer orden.

Regla simplificada del triángulo como una de métodos de resolución de matrices, se puede representar de esta manera:

Es decir, el producto de elementos del primer determinante que están conectados por rectas se toma con signo “+”; Asimismo, para el 2º determinante se toman los productos correspondientes con el signo “-”, es decir, según el siguiente esquema:

En resolver matrices usando la regla de Sarrus, a la derecha del determinante se suman las 2 primeras columnas y se toman con signo “+” los productos de los elementos correspondientes en la diagonal principal y en las diagonales paralelas a ella; y los productos de los elementos correspondientes de la diagonal secundaria y las diagonales paralelas a ella, con el signo “-”:

Descomposición del determinante en una fila o columna al resolver matrices.

El determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de la fila del determinante y sus complementos algebraicos. Normalmente, se selecciona la fila/columna que contiene ceros. La fila o columna a lo largo de la cual se realiza la descomposición se indicará mediante una flecha.

Reducir el determinante a forma triangular al resolver matrices.

En resolviendo matrices método para reducir el determinante a una forma triangular, funcionan así: usando las transformaciones más simples en filas o columnas, el determinante adquiere una forma triangular y luego su valor, de acuerdo con las propiedades del determinante, será igual al producto de los elementos que están en la diagonal principal.

Teorema de Laplace para la resolución de matrices.

Al resolver matrices utilizando el teorema de Laplace, es necesario conocer el teorema en sí. Teorema de Laplace: Sea Δ - esto es un determinante norte-ésimo orden. Seleccionamos cualquier k filas (o columnas), proporcionadas k≤ norte - 1. En este caso, la suma de los productos de todos los menores. k-ésimo orden contenido en el seleccionado k filas (columnas), por sus complementos algebraicos serán iguales al determinante.

Resolviendo la matriz inversa.

Secuencia de acciones para soluciones de matriz inversa:

1. Determinar si una matriz dada es cuadrada. Si la respuesta es negativa, queda claro que no puede haber una matriz inversa para ello.
2. Calculamos complementos algebraicos.
3. Componemos una matriz de unión (mutua, adjunta) C.
4. La matriz inversa la componemos a partir de sumas algebraicas: todos los elementos de la matriz adjunta C dividir por el determinante de la matriz inicial. La matriz final será la matriz inversa requerida en relación con la dada.
5. Comprobamos el trabajo realizado: multiplicamos la matriz inicial y la matriz resultante, el resultado debe ser una matriz identidad.

Resolución de sistemas matriciales.

Para soluciones de sistemas matriciales El método gaussiano es el más utilizado.

El método de Gauss es un método estándar para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales (SLAE) y consiste en eliminar variables secuencialmente, es decir, con la ayuda de cambios elementales, el sistema de ecuaciones se lleva a un sistema equivalente de ecuaciones triangulares. forma y a partir de ella, secuencialmente, a partir de este último (por número), encontrar cada elemento del sistema.

método de gauss es la mejor y más versátil herramienta para encontrar soluciones matriciales. Si un sistema tiene un número infinito de soluciones o el sistema es incompatible, entonces no se puede resolver utilizando la regla de Cramer y el método matricial.

El método de Gauss también implica movimientos directos (reducir la matriz extendida a una forma escalonada, es decir, obtener ceros debajo de la diagonal principal) e inversos (obtener ceros encima de la diagonal principal de la matriz extendida). El movimiento hacia adelante es el método de Gauss, el movimiento hacia atrás es el método de Gauss-Jordan. El método de Gauss-Jordan se diferencia del método de Gauss sólo en la secuencia de eliminación de variables.

Resolver matrices– un concepto que generaliza las operaciones sobre matrices. Una matriz matemática es una tabla de elementos. Una tabla similar con m filas yn columnas se dice que es una matriz de m por n.
Vista general de la matriz.

Elementos principales de la matriz:
Diagonal principal. Está formado por los elementos a 11, a 22.....a mn
Diagonal lateral. Está compuesto por los elementos a 1n y 2n-1.....a m1.
Antes de pasar a resolver matrices, consideremos los principales tipos de matrices:
Cuadrado– en el que el número de filas es igual al número de columnas (m=n)
Cero: todos los elementos de esta matriz son iguales a 0.
matriz transpuesta- matriz B obtenida de la matriz A original reemplazando filas por columnas.
Soltero– todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1, todos los demás son 0.
matriz inversa- una matriz, multiplicada por la cual la matriz original da como resultado la matriz identidad.
La matriz puede ser simétrica con respecto a las diagonales principal y secundaria. Es decir, si a 12 = a 21, a 13 = a 31,….a 23 = a 32…. a m-1n =a mn-1. entonces la matriz es simétrica con respecto a la diagonal principal. Sólo las matrices cuadradas son simétricas.
Ahora pasemos directamente a la cuestión de cómo resolver matrices.

Suma de matrices.

Las matrices se pueden sumar algebraicamente si tienen la misma dimensión. Para sumar la matriz A con la matriz B, es necesario sumar el elemento de la primera fila de la primera columna de la matriz A con el primer elemento de la primera fila de la matriz B, el elemento de la segunda columna de la primera fila de la matriz A con el elemento de la segunda columna de la primera fila de la matriz B, etc.
Propiedades de la suma
A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C)

Multiplicación de matrices.

Las matrices se pueden multiplicar si son consistentes. Las matrices A y B se consideran consistentes si el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B.
Si A es de dimensión m por n, B es de dimensión n por k, entonces la matriz C=A*B será de dimensión m por k y estará compuesta de elementos

Donde C 11 es la suma de los productos por pares de los elementos de una fila de la matriz A y una columna de la matriz B, es decir, el elemento es la suma del producto de un elemento de la primera columna de la primera fila de la matriz A con un elemento de la primera columna de la primera fila de la matriz B, un elemento de la segunda columna de la primera fila de la matriz A con un elemento de la primera columna de la segunda fila de la matriz B, etc.
Al multiplicar, el orden de multiplicación es importante. A*B no es igual a B*A.

Encontrar el determinante.

Cualquier matriz cuadrada puede generar un determinante o un determinante. Escribe det. O | elementos de la matriz |
Para matrices de dimensión 2 por 2. Determinar si existe diferencia entre el producto de los elementos de la diagonal principal y los elementos de la diagonal secundaria.

Para matrices con dimensiones de 3 por 3 o más. La operación de encontrar el determinante es más complicada.
Introduzcamos los conceptos:
Elemento menor– es el determinante de una matriz obtenida de la matriz original tachando la fila y columna de la matriz original en la que se encontraba este elemento.
Complemento algebraico elemento de una matriz es el producto del menor de este elemento por -1 elevado a la suma de la fila y columna de la matriz original en la que se encontraba este elemento.
El determinante de cualquier matriz cuadrada es igual a la suma del producto de los elementos de cualquier fila de la matriz y sus correspondientes complementos algebraicos.

inversión de matriz

La inversión de matrices es el proceso de encontrar la inversa de una matriz, cuya definición dimos al principio. La matriz inversa se denota de la misma manera que la original con la adición de grado -1.
Encuentra la matriz inversa usando la fórmula.
A -1 = A * T x (1/|A|)
Donde A * T es la Matriz Transpuesta de Complementos Algebraicos.

Hicimos ejemplos de resolución de matrices en forma de vídeo tutorial.

:

Si quieres descubrirlo, asegúrate de verlo.

Estas son las operaciones básicas para resolver matrices. Si tiene preguntas adicionales sobre cómo resolver matrices, no dudes en escribir en los comentarios.

Si aún no logras resolverlo, intenta contactar con un especialista.