TEMA: Integración de fracciones racionales.
¡Atención! Al estudiar uno de los métodos básicos de integración: la integración de fracciones racionales, se requiere considerar polinomios en el dominio complejo para realizar demostraciones rigurosas. Por lo tanto es necesario estudiar con antelación algunas propiedades de los números complejos y operaciones sobre ellos.
Integración de fracciones racionales simples.
Si PAG(z) Y q(z) son polinomios en el dominio complejo, entonces son fracciones racionales. se llama correcto, si grado PAG(z) menos grado q(z) , Y equivocado, si grado R no menos de un grado q.
Cualquier fracción impropia se puede representar como: 
,
P(z) = Q(z) S(z) + R(z),
a R(z) – polinomio cuyo grado es menor que el grado q(z).
Así, la integración de fracciones racionales se reduce a la integración de polinomios, es decir, funciones potencia y fracciones propias, ya que es una fracción propia.
Definición 5. Las fracciones más simples (o elementales) son los siguientes tipos de fracciones:
1) , 2) , 3) , 4) 
.
Averigüemos cómo se integran.
3) 
(estudiado anteriormente).
Teorema 5. Toda fracción propia se puede representar como una suma de fracciones simples (sin demostración).
Corolario 1. Si es una fracción racional propia, y si entre las raíces de un polinomio solo hay raíces reales simples, entonces al descomponer una fracción en la suma de fracciones simples solo habrá fracciones simples del primer tipo:
Ejemplo 1.
Corolario 2. Si es una fracción racional propia, y si entre las raíces de un polinomio solo hay múltiples raíces reales, entonces al descomponer una fracción en la suma de fracciones simples solo habrá fracciones simples del primer y segundo tipo. :
Ejemplo 2.
Corolario 3. Si es una fracción racional propia, y si entre las raíces del polinomio solo hay raíces conjugadas complejas simples, entonces al descomponer una fracción en la suma de fracciones simples solo habrá fracciones simples del tercer tipo:
Ejemplo 3.
Corolario 4. Si es una fracción racional propia, y si entre las raíces de un polinomio solo hay múltiples raíces conjugadas complejas, entonces al descomponer una fracción en la suma de fracciones simples solo habrá fracciones simples de la tercera y cuarta. tipos:
Para determinar los coeficientes desconocidos en las expansiones dadas, proceda de la siguiente manera. Los lados izquierdo y derecho del desarrollo que contiene coeficientes desconocidos se multiplican por Se obtiene la igualdad de dos polinomios. A partir de él, se obtienen ecuaciones para los coeficientes requeridos usando:
Primero, la igualdad es verdadera para cualquier valor de X (método del valor parcial). En este caso, se obtiene cualquier número de ecuaciones, cualquiera de las cuales m permite encontrar los coeficientes desconocidos.
2. los coeficientes coinciden para los mismos grados de X (método de coeficientes indefinidos). En este caso, se obtiene un sistema de m - ecuaciones con m - incógnitas, a partir del cual se encuentran los coeficientes desconocidos.
3. método combinado.
Ejemplo 5. Expandir una fracción 
a lo más simple.
Solución:
Encontremos los coeficientes A y B.
Método 1: método de valor privado:
Método 2 – método de coeficientes indeterminados:
Respuesta: 
Integrando fracciones racionales.
Teorema 6. La integral indefinida de cualquier fracción racional en cualquier intervalo en el que su denominador no sea igual a cero existe y se expresa mediante funciones elementales, a saber, fracciones racionales, logaritmos y arcotangentes.
Prueba.
Imaginemos una fracción racional en la forma: 
. En este caso, el último término es una fracción propia y, según el teorema 5, se puede representar como una combinación lineal de fracciones simples. Así, la integración de una fracción racional se reduce a la integración de un polinomio. S(incógnita)
y fracciones simples, cuyas antiderivadas, como se ha demostrado, tienen la forma indicada en el teorema.
Comentario. La principal dificultad en este caso es la factorización del denominador, es decir, la búsqueda de todas sus raíces.
Ejemplo 1. Encuentra la integral
Como ya señalé, en cálculo integral no existe una fórmula conveniente para integrar una fracción. Y por tanto, hay una triste tendencia: cuanto más sofisticada es la fracción, más difícil es encontrar su integral. En este sentido, hay que recurrir a varios trucos, de los que te hablaré a continuación. Los lectores preparados pueden aprovechar inmediatamente Tabla de contenido:
- Método de subsumir el signo diferencial para fracciones simples
Método de conversión de numerador artificial.
Ejemplo 1
Por cierto, la integral considerada también se puede resolver cambiando la variable por el método, denotando , pero escribir la solución llevará mucho más tiempo.
Ejemplo 2
Encuentra la integral indefinida. Realizar verificación.
Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Cabe señalar que el método de reemplazo de variables ya no funcionará aquí.
¡Atención, importante! Los ejemplos No. 1, 2 son típicos y ocurren con frecuencia.. En particular, estas integrales surgen a menudo durante la solución de otras integrales, en particular, al integrar funciones irracionales (raíces).
La técnica considerada también funciona en el caso. si el grado más alto del numerador es mayor que el grado más alto del denominador.
Ejemplo 3
Encuentra la integral indefinida. Realizar verificación.
Comenzamos a seleccionar el numerador.
El algoritmo para seleccionar el numerador es algo como esto:
1) En el numerador necesito organizar , pero ahí . ¿Qué hacer? Lo pongo entre paréntesis y lo multiplico por: .
2) Ahora intento abrir estos corchetes, ¿qué pasa? . Hmm... eso es mejor, pero inicialmente no hay dos en el numerador. ¿Qué hacer? Necesitas multiplicar por:
3) Abro los corchetes nuevamente: . ¡Y aquí está el primer éxito! ¡Resultó perfecto! Pero el problema es que ha aparecido un término extra. ¿Qué hacer? Para evitar que la expresión cambie, debo agregar la misma a mi construcción: 
. La vida se ha vuelto más fácil. ¿Es posible volver a organizar en el numerador?
4) Es posible. Probemos: 
. Abra los corchetes del segundo término: 
. Lo siento, pero en el paso anterior en realidad no tenía . ¿Qué hacer? Necesitas multiplicar el segundo término por: 
5) Nuevamente, para comprobar, abro los corchetes en el segundo término: 
. Ahora es normal: ¡derivado de la construcción final del punto 3! Pero nuevamente hay un pequeño “pero”, ha aparecido un término extra, por lo que debo agregar a mi expresión: 
Si todo se hace correctamente, cuando abramos todos los corchetes deberíamos obtener el numerador original del integrando. Comprobamos:
Capucha.
De este modo: 
Listo. En el último trimestre, utilicé el método de subsumir una función bajo un diferencial.
Si encontramos la derivada de la respuesta y reducimos la expresión a un denominador común, obtendremos exactamente la función integrando original. El método considerado de descomposición en una suma no es más que la acción inversa de llevar una expresión a un denominador común.
El algoritmo para seleccionar el numerador en tales ejemplos se realiza mejor en un borrador. Con algunas habilidades funcionará mentalmente. Recuerdo un caso récord cuando estaba realizando una selección para el undécimo poder y la expansión del numerador ocupó casi dos líneas de Verd.
Ejemplo 4
Encuentra la integral indefinida. Realizar verificación.
Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta.
Método de subsumir el signo diferencial para fracciones simples
Pasemos a considerar el siguiente tipo de fracciones.
, , , (coeficientes y no son iguales a cero).
De hecho, en la lección ya se han mencionado un par de casos con arcoseno y arcotangente. Método de cambio de variable en integral indefinida.. Estos ejemplos se resuelven subsumiendo la función bajo el signo diferencial e integrando aún más utilizando una tabla. Aquí hay ejemplos más típicos con logaritmos largos y altos:
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Aquí es recomendable coger una tabla de integrales y ver qué fórmulas y Cómo se produce la transformación. tenga en cuenta cómo y por qué Los cuadrados en estos ejemplos están resaltados. En particular, en el Ejemplo 6 primero necesitamos representar el denominador en la forma 
, luego colóquelo bajo el signo diferencial. Y todo esto debe hacerse para poder utilizar la fórmula tabular estándar. 
.
Por qué mirar, intenta resolver los ejemplos 7, 8 tú mismo, sobre todo porque son bastante breves:
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Encuentra la integral indefinida:
Si también logras comprobar estos ejemplos, entonces un gran respeto: tus habilidades de diferenciación son excelentes.
Método de selección de cuadrado completo
Integrales de la forma 
(los coeficientes y no son iguales a cero) se resuelven método de extracción de cuadrado completo, que ya apareció en la lección Transformaciones geométricas de gráficos..
De hecho, dichas integrales se reducen a una de las cuatro integrales tabulares que acabamos de ver. Y esto se logra utilizando fórmulas de multiplicación abreviadas familiares:
Las fórmulas se aplican precisamente en esta dirección, es decir, la idea del método es organizar artificialmente las expresiones en el denominador y luego convertirlas en consecuencia a cualquiera.
Ejemplo 9
Encuentra la integral indefinida
Este es el ejemplo más simple en el que con el término – coeficiente unitario(y no algún número o menos).
Miremos el denominador, aquí todo se reduce claramente al azar. Empecemos a convertir el denominador:
Obviamente, necesitas sumar 4. Y, para que la expresión no cambie, restar los mismos cuatro:
Ahora puedes aplicar la fórmula:
Una vez completada la conversión SIEMPRE Es recomendable realizar el movimiento inverso: todo está bien, no hay errores.
El diseño final del ejemplo en cuestión debería verse así: 
Listo. Subsumir una función compleja “libre” bajo el signo diferencial: , en principio, podría despreciarse
Ejemplo 10
Encuentra la integral indefinida:
Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta, la respuesta está al final de la lección.
Ejemplo 11
Encuentra la integral indefinida:
¿Qué hacer cuando hay un menos al frente? En este caso, debemos quitar el menos de los corchetes y organizar los términos en el orden que necesitamos: . Constante(“dos” en este caso) ¡no toques!
Ahora agregamos uno entre paréntesis. Analizando la expresión, llegamos a la conclusión de que necesitamos agregar una fuera de los corchetes:
Aquí obtenemos la fórmula, aplicamos:
SIEMPRE Comprobamos el borrador:
, que era lo que había que comprobar.
El ejemplo limpio se parece a esto: 
Haciendo la tarea más difícil
Ejemplo 12
Encuentra la integral indefinida: 
Aquí el término ya no es un coeficiente unitario, sino un “cinco”.
(1) Si hay una constante en, inmediatamente la sacamos de paréntesis.
(2) En general, siempre es mejor mover esta constante fuera de la integral para que no estorbe.
(3) Evidentemente, todo se reducirá a la fórmula. Necesitamos entender el término, es decir, entender el "dos".
(4) Sí. Esto significa que sumamos a la expresión y restamos la misma fracción.
(5) Ahora seleccione un cuadrado completo. En el caso general, también necesitamos calcular, pero aquí tenemos la fórmula para un logaritmo largo. 
, y no tiene sentido realizar la acción; el motivo quedará claro a continuación.
(6) En realidad, podemos aplicar la fórmula 
, sólo que en lugar de “X” tenemos , lo que no niega la validez de la integral de tabla. Estrictamente hablando, se omitió un paso: antes de la integración, la función debería haber sido subsumida bajo el signo diferencial: 
, pero, como he señalado repetidamente, esto a menudo se pasa por alto.
(7) En la respuesta debajo de la raíz, es recomendable expandir todos los corchetes hacia atrás:
¿Difícil? Esta no es la parte más difícil del cálculo integral. Sin embargo, los ejemplos que estamos considerando no son tan complejos sino que requieren buenas técnicas informáticas.
Ejemplo 13
Encuentra la integral indefinida:
Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. La respuesta está al final de la lección.
Hay integrales con raíces en el denominador que, mediante sustitución, se reducen a integrales del tipo considerado, puedes leer sobre ellas en el artículo; Integrales complejas, pero está diseñado para estudiantes muy preparados.
Subsumiendo el numerador bajo el signo diferencial
Esta es la parte final de la lección; sin embargo, ¡las integrales de este tipo son bastante comunes! Si estás cansado, ¿tal vez sea mejor leer mañana? ;)
Las integrales que consideraremos son similares a las integrales del párrafo anterior, tienen la forma: o 
(coeficientes y no son iguales a cero).
Es decir, ahora tenemos una función lineal en el numerador. ¿Cómo resolver tales integrales?
Como saben, cualquier función racional de alguna variable x se puede descomponer en un polinomio y las fracciones elementales más simples. Hay cuatro tipos de fracciones simples:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Aquí a, A, B, b, c son números reales. Ecuación x 2 + bx + c = 0 no tiene raíces reales.
Integración de fracciones de los dos primeros tipos.
La integración de las dos primeras fracciones se realiza mediante las siguientes fórmulas de la tabla de integrales:
,
, norte ≠ - 1
.
1. Integrar fracciones del primer tipo
Una fracción del primer tipo se reduce a una integral de tabla mediante sustitución t = x - a:
.
2. Integración de fracciones del segundo tipo.
La fracción del segundo tipo se reduce a una integral de tabla mediante la misma sustitución t = x - a:
.
3. Integración de fracciones del tercer tipo.
Consideremos la integral de una fracción del tercer tipo:
.
Lo calcularemos en dos pasos.
3.1. Paso 1. Selecciona la derivada del denominador en el numerador.
Aislamos la derivada del denominador en el numerador de la fracción. Denotemos: u = x 2 + bx + c. Diferenciamos: u′ = 2 x + b
;
.
.
.
Entonces
Pero
,
Omitimos el signo del módulo porque.
.
Entonces:
Dónde
.
3.2. Paso 2. Calcula la integral con A = 0, B = 1
,
Ahora calculamos la integral restante:
Llevamos el denominador de la fracción a la suma de cuadrados: 2 + bx + c = 0 Dónde .
Creemos que la ecuación x
,
.
.
no tiene raíces. Es por eso .
.
Hagamos una sustitución
,
Ahora calculamos la integral restante:
Entonces,
Así, encontramos la integral de una fracción del tercer tipo:
.
4. Integración de fracciones del cuarto tipo.
Y finalmente, consideremos la integral de una fracción del cuarto tipo:
.
Lo calculamos en tres pasos.
.
4.1) Seleccione la derivada del denominador en el numerador:
,
4.2) Calcular la integral
.
4.3) Calcular integrales
usando la fórmula de reducción: 2 + bx + c. Diferenciamos: u′ = 2 x + b
.
.
.
.
4.1. Paso 1. Aislar la derivada del denominador en el numerador.
.
Aislamos la derivada del denominador en el numerador, como hicimos en . Denotemos u = x
Finalmente tenemos:
.
4.2. Paso 2. Calcula la integral con n = 1
Calcular la integral
Su cálculo se describe en .
.
4.3. Paso 3. Derivación de la fórmula de reducción.
.
Consideremos ahora la integral
Reducimos el trinomio cuadrático a la suma de cuadrados:
.
.
Aquí .
.
Hagamos una sustitución. Realizamos transformaciones e integramos por partes.:
.
multiplicar por
,
;
;
.
2(n - 1)
.
Volvamos a x e I n. 1
.
Entonces, para I n obtuvimos la fórmula de reducción:
Aplicando consistentemente esta fórmula, reducimos la integral In a I
Ejemplo
1.
calcular integrales
;
;
.
Solución
.
2.
Aislamos la derivada del denominador en el numerador.
.
3.
Aquí
Calculamos la integral de la fracción más simple.
Aplicamos la fórmula de reducción: 1
para la integral. 1
,
En nuestro caso b =, c = 2
4 c-b 2 = 3 3
:
;
.
.
.
4.1. Paso 1. Aislar la derivada del denominador en el numerador.
.
Escribimos esta fórmula para n =
.
y norte =
Desde aquí
La razón de dos polinomios $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ se llama función racional o fracción racional. La fracción racional se llama correcto, si $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется equivocado.
Las fracciones racionales elementales (más simples) son fracciones racionales de cuatro tipos:
- $\frac(A)(xa)$;
- $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
- $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
- $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).
Nota (deseable para una comprensión más completa del texto): mostrar\ocultar
¿Por qué se necesita la condición $p^2-4q?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.
Por ejemplo, para la expresión $x^2+5x+10$ obtenemos: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Dado que $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.
Por cierto, para esta comprobación no es en absoluto necesario que el coeficiente anterior a $x^2$ sea igual a 1. Por ejemplo, para $5x^2+7x-3=0$ obtenemos: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=$109. Dado que $D > 0$, la expresión $5x^2+7x-3$ es factorizable.
Se pueden encontrar ejemplos de fracciones racionales (propias e impropias), así como ejemplos de descomposición de una fracción racional en fracciones elementales. Aquí sólo nos interesarán las cuestiones de su integración. Comencemos con la integración de fracciones elementales. Entonces, cada uno de los cuatro tipos de fracciones elementales anteriores es fácil de integrar usando las fórmulas siguientes. Permítanme recordarles que al integrar fracciones de los tipos (2) y (4), se supone $n=2,3,4,\ldots$. Las fórmulas (3) y (4) requieren el cumplimiento de la condición $p^2-4q< 0$.
\begin(ecuación) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(ecuación) \begin(ecuación) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(ecuación) \begin(ecuación) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(ecuación)
Para $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ se realiza la sustitución $t=x+\frac(p)(2)$, después de lo cual el intervalo resultante es dividido en dos. El primero se calculará ingresando bajo el signo diferencial, y el segundo tendrá la forma $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Esta integral se toma usando la relación de recurrencia.
\begin(ecuación) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)Yo_n,\; n\in N\end(ecuación)
El cálculo de dicha integral se analiza en el ejemplo No. 7 (ver la tercera parte).
Esquema para calcular integrales de funciones racionales (fracciones racionales):
- Si el integrando es elemental, aplique las fórmulas (1)-(4).
- Si el integrando no es elemental, represéntelo como una suma de fracciones elementales y luego intégrelo usando las fórmulas (1)-(4).
El algoritmo anterior para integrar fracciones racionales tiene una ventaja innegable: es universal. Aquellos. usando este algoritmo puedes integrar cualquier fracción racional. Es por eso que casi todos los cambios de variables en una integral indefinida (Euler, Chebyshev, sustitución trigonométrica universal) se hacen de tal manera que después de este cambio obtenemos una fracción racional bajo el intervalo. Y luego aplíquele el algoritmo. Analizaremos la aplicación directa de este algoritmo mediante ejemplos, tras hacer una pequeña nota.
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$
En principio, esta integral es fácil de obtener sin aplicación mecánica de la fórmula. Si sacamos la constante $7$ del signo integral y tomamos en cuenta que $dx=d(x+9)$, obtenemos:
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$
Para obtener información detallada, recomiendo consultar el tema. Explica en detalle cómo se resuelven dichas integrales. Por cierto, la fórmula se demuestra mediante las mismas transformaciones que se aplicaron en este párrafo al resolverla “manualmente”.
2) Nuevamente, hay dos maneras: usar la fórmula ya preparada o prescindir de ella. Si aplica la fórmula, debe tener en cuenta que el coeficiente delante de $x$ (número 4) deberá eliminarse. Para hacer esto, simplemente eliminemos estos cuatro entre paréntesis:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\izquierda(x+\frac(19)(4)\derecha)^8). $$
Ahora es el momento de aplicar la fórmula:
$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$
Puedes prescindir de utilizar la fórmula. E incluso sin sacar la constante $4$ de paréntesis. Si tomamos en cuenta que $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, obtenemos:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$
Se dan explicaciones detalladas para encontrar tales integrales en el tema “Integración por sustitución (sustitución bajo el signo diferencial)”.
3) Necesitamos integrar la fracción $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Esta fracción tiene la estructura $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, donde $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Sin embargo, para asegurarse de que se trata realmente de una fracción elemental del tercer tipo, es necesario comprobar que se cumple la condición $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Resolvamos el mismo ejemplo, pero sin utilizar una fórmula ya preparada. Intentemos aislar la derivada del denominador en el numerador. ¿Qué quiere decir esto? Sabemos que $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Es la expresión $2x+10$ que tenemos que aislar en el numerador. Hasta ahora, el numerador contiene solo $4x+7$, pero esto no durará mucho. Apliquemos la siguiente transformación al numerador:
$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$
Ahora aparece la expresión requerida $2x+10$ en el numerador. Y nuestra integral se puede reescribir de la siguiente manera:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$
Dividamos el integrando en dos. Bueno, y, en consecuencia, la integral en sí también está "bifurcada":
$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \right)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$
Primero hablemos de la primera integral, es decir aproximadamente $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Dado que $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, entonces el numerador del integrando contiene el diferencial del denominador. En resumen, en lugar de la expresión $( 2x+10)dx$ escribimos $d(x^2+10x+34)$.
Ahora digamos algunas palabras sobre la segunda integral. Seleccionemos un cuadrado completo en el denominador: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Además, tenemos en cuenta $dx=d(x+5)$. Ahora la suma de integrales que obtuvimos anteriormente se puede reescribir de una forma ligeramente diferente:
$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$
Si hacemos el reemplazo $u=x^2+10x+34$ en la primera integral, entonces tomará la forma $\int\frac(du)(u)$ y se puede obtener simplemente aplicando la segunda fórmula de . En cuanto a la segunda integral, el cambio $u=x+5$ es factible para ella, después de lo cual tomará la forma $\int\frac(du)(u^2+9)$. Ésta es la undécima fórmula más pura de la tabla de integrales indefinidas. Entonces, volviendo a la suma de integrales, tenemos:
$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Recibimos la misma respuesta que al aplicar la fórmula, lo que, estrictamente hablando, no es de extrañar. En general, la fórmula se demuestra mediante los mismos métodos que utilizamos para encontrar esta integral. Creo que el lector atento puede tener aquí una pregunta, así que la formularé:
Pregunta número 1
Si aplicamos la segunda fórmula de la tabla de integrales indefinidas a la integral $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, entonces obtenemos lo siguiente:
$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$
¿Por qué no había ningún módulo en la solución?
Respuesta a la pregunta #1
La pregunta es completamente natural. Faltaba el módulo solo porque la expresión $x^2+10x+34$ para cualquier $x\in R$ es mayor que cero. Esto es bastante fácil de demostrar de varias maneras. Por ejemplo, dado que $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ y $(x+5)^2 ≥ 0$, entonces $(x+5)^2+9 > 0$ . Puedes pensar de otra manera, sin utilizar la selección de un cuadrado completo. Dado que $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ para cualquier $x\in R$ (si esta cadena lógica te sorprende, te aconsejo que mires el método gráfico para resolver desigualdades cuadráticas). En cualquier caso, dado que $x^2+10x+34 > 0$, entonces $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, es decir En lugar de un módulo, puedes utilizar corchetes normales.
Se han solucionado todos los puntos del ejemplo nº1, solo queda anotar la respuesta.
Respuesta:
- $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
- $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
- $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.
Ejemplo No. 2
Encuentra la integral $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.
A primera vista, la fracción integrando $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ es muy similar a una fracción elemental del tercer tipo, es decir por $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Parece que la única diferencia es el coeficiente de $3$ delante de $x^2$, pero no lleva mucho tiempo eliminar el coeficiente (ponerlo entre paréntesis). Sin embargo, esta similitud es evidente. Para la fracción $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ la condición $p^2-4q es obligatoria< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.
Nuestro coeficiente antes de $x^2$ no es igual a uno, por lo tanto verifique la condición $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, por lo tanto la expresión $3x^2-5x-2$ se puede factorizar. Esto significa que la fracción $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ no es una fracción elemental del tercer tipo, y aplica $\int\frac(7x+12)(3x^2- ) a la fórmula integral 5x-2)dx$ no es posible.
Bueno, si la fracción racional dada no es una fracción elemental, entonces es necesario representarla como una suma de fracciones elementales y luego integrarla. En definitiva, aprovecha el sendero. Se describe en detalle cómo descomponer una fracción racional en fracciones elementales. Empecemos factorizando el denominador:
$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(alineado) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\end(alineado)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$
Presentamos la fracción subintercal de esta forma:
$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$
Ahora descompongamos la fracción $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ en fracciones elementales:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+ \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\derecha). $$
Para encontrar los coeficientes $A$ y $B$ existen dos métodos estándar: el método de coeficientes indeterminados y el método de sustitución de valores parciales. Apliquemos el método de sustitución de valores parciales, sustituyendo $x=2$ y luego $x=-\frac(1)(3)$:
$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$
Una vez encontrados los coeficientes, solo queda anotar la expansión terminada:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$
En principio puedes dejar esta entrada, pero a mí me gusta una opción más precisa:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$
Volviendo a la integral original, le sustituimos la expansión resultante. Luego dividimos la integral en dos y aplicamos la fórmula a cada uno. Prefiero colocar inmediatamente las constantes fuera del signo integral:
$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$
Respuesta: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.
Ejemplo No. 3
Encuentra la integral $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.
Necesitamos integrar la fracción $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. El numerador contiene un polinomio de segundo grado y el denominador contiene un polinomio de tercer grado. Dado que el grado del polinomio en el numerador es menor que el grado del polinomio en el denominador, es decir $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:
$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$
Todo lo que tenemos que hacer es dividir la integral dada en tres y aplicar la fórmula a cada una. Prefiero colocar inmediatamente las constantes fuera del signo integral:
$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$
Respuesta: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.
La continuación del análisis de ejemplos de este tema se ubica en la segunda parte.
Aquí proporcionamos soluciones detalladas a tres ejemplos de integración de las siguientes fracciones racionales:
,
,
.
Ejemplo 1
Calcula la integral:
.
Ejemplo
Aquí, bajo el signo integral hay una función racional, ya que el integrando es una fracción de polinomios. Grado del polinomio denominador ( 3 ) es menor que el grado del polinomio numerador ( 4 ). Por lo tanto, primero debes seleccionar la parte completa de la fracción.
1.
Seleccionemos la parte entera de la fracción. dividir x 4
por x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:
.
.
2.
Factoricemos el denominador de la fracción. Para hacer esto, necesitas resolver la ecuación cúbica:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6
.
Sustituyamos x = 1
:
.
1
. 1
:
.
.
Dividir por x -
.
Resolver una ecuación cuadrática.
Las raíces de la ecuación son: , .
.
3.
Entonces
.
Dividamos la fracción en su forma más simple.
.
Entonces encontramos:
Integrémonos.
Respuesta
Calcula la integral:
.
Ejemplo
Aquí el numerador de la fracción es un polinomio de grado cero ( 1 = x 0). El denominador es un polinomio de tercer grado. Porque 0 < 3 , entonces la fracción es correcta. Dividámoslo en fracciones simples.
1.
Factoricemos el denominador de la fracción. Para hacer esto, necesitas resolver la ecuación de tercer grado:
.
Supongamos que tiene al menos una raíz completa. entonces es divisor del numero 3
(miembro sin x). Es decir, la raíz completa puede ser uno de los números:
1, 3, -1, -3
.
Sustituyamos x = 1
:
.
Entonces, hemos encontrado una raíz x = 1
. dividir x 3 + 2 x - 3 1
:
en x -
.
Entonces,
Resolviendo la ecuación cuadrática: incógnita.
2 + x + 3 = 0 Encuentra el discriminante: D = 1 2 - 4 3 = -11< 0
.
.
2.
.
Desde D:
(2.1)
.
Sustituyamos x = 1
, entonces la ecuación no tiene raíces reales. Así, obtuvimos la factorización del denominador: 1 = 0
,
.
(x - 1)(x 2 + x + 3) (2.1)
. 0
:
Entonces x -;
.
sustituyamos en (2.1)
x = 2
:
;
1 = 3 A-C;
.
.
3.
Entonces encontramos:
(2.2)
.
equiparemos a
;
;
.
coeficientes para x 2
.
.
0 = A + B incógnita Para calcular la segunda integral, seleccionamos la derivada del denominador en el numerador y reducimos el denominador a la suma de cuadrados. calcular yo Dado que la ecuación x
no tiene raíces reales, entonces x (2.2)
:
.
Integrémonos.
2 + x + 3 > 0
Calcula la integral:
.
Ejemplo
. 3 Por lo tanto, se puede omitir el signo del módulo. 4 Entregamos a 3 < 4 Ejemplo 3
1.
Aquí bajo el signo integral hay una fracción de polinomios. Por tanto, el integrando es una función racional. El grado del polinomio en el numerador es igual a
.
Supongamos que tiene al menos una raíz completa. entonces es divisor del numero 2
(miembro sin x). Es decir, la raíz completa puede ser uno de los números:
1, 2, -1, -2
.
Sustituyamos x = -1
:
.
Entonces, hemos encontrado una raíz x = -1
. .:
en x -
.
El grado del polinomio del denominador de la fracción es igual a
.
. 2
(miembro sin x). Es decir, la raíz completa puede ser uno de los números:
1, 2, -1, -2
.
Sustituyamos x = -1
:
.
Porque -1
, entonces la fracción es correcta. Por tanto, se puede descomponer en fracciones simples. Pero para hacer esto necesitas factorizar el denominador.
.
Factoricemos el denominador de la fracción. Para hacer esto, necesitas resolver la ecuación de cuarto grado: 2 + 2 = 0
(-1) = x + 1
.
2.
Ahora necesitamos resolver la ecuación de tercer grado:
.
Si asumimos que esta ecuación tiene raíz entera, entonces es divisor del número Entonces, encontramos otra raíz x =:
(3.1)
.
Sustituyamos x = -1
. 1 = 0
,
.
Sería posible, como en el caso anterior, dividir el polinomio entre , pero agruparemos los términos: (3.1)
:
;
.
Sustituyamos x = -1
Dado que la ecuación x 1 = 0
:
;
;
.
(x - 1)(x 2 + x + 3) (3.1)
. 0
:
no tiene raíces reales, entonces obtenemos la factorización del denominador:;
.
sustituyamos en (3.1)
x = 3
:
;
Dividamos la fracción en su forma más simple. Buscamos una expansión en la forma:;
.
Nos deshacemos del denominador de la fracción, multiplicamos por
.
3.
Entonces encontramos:
.
