Cada superficie de uno de sus lados puede dirigirse hacia el observador y entonces este lado será visible. De lo contrario, el lado de la superficie no será visible desde el punto de observación. Puede suceder que sólo sea visible una parte de un lado de la superficie. En este caso, se puede dibujar una línea en la superficie que divide las superficies visibles e invisibles. Una línea de boceto es una línea en una superficie que separa la parte visible de una superficie o cara de su parte invisible.

Arroz. 9.5.1. Proyecciones de líneas de contorno de superficie.

Arroz. 9.5.2. Proyecciones de una cuadrícula de polígonos y líneas de boceto.

En la Fig. 9.5.1 muestra las líneas de contorno de la superficie. En la Fig. 9.5.2 muestra las líneas de boceto junto con la malla de superficie.

Al pasar por la línea de boceto, la normal a la superficie cambia de dirección con respecto a la línea de visión. En los puntos de la línea de boceto, la superficie normal es ortogonal a la línea de visión. En general, puede haber varias líneas de contorno en la superficie. Cada línea de un boceto es una curva espacial. Está cerrado o termina en los bordes de la superficie. Las diferentes direcciones de visualización tienen su propio conjunto de líneas de contorno, por lo que cuando se gira la superficie, las líneas de contorno se deben crear de nuevo.

Proyecciones paralelas.

Para algunas superficies, por ejemplo, una esfera, un cilindro, un cono y líneas de contorno se construyen de forma bastante sencilla. Consideremos el caso general de la construcción de líneas de contorno de superficie.

Sea necesario encontrar las líneas de contorno de una superficie descrita por un vector de radio. Cada punto de la línea de contorno para una proyección paralela sobre el plano (9.2.1) debe satisfacer la ecuación.

¿Dónde es la normal a la superficie para la cual se construye la línea de boceto? Para una superficie descrita por un vector de radio, la normal también es función de los parámetros y. La ecuación escalar (9.5.1) contiene dos parámetros deseados u, v. Si configura uno de los parámetros, el otro se puede encontrar en la ecuación (9.5.1), es decir, uno de los parámetros es función del otro. Para garantizar la igualdad de parámetros, se pueden representar como funciones de algún parámetro común.

El resultado de resolver la ecuación (9.5.1) es una recta bidimensional

en la superficie Esta línea es la línea de contorno de la superficie.

Construiremos una línea de croquis a partir de un conjunto ordenado de puntos que satisfagan la ecuación (9.5.1). Llamamos puntos a un par de parámetros de superficie, que son las coordenadas de puntos bidimensionales en un plano paramétrico. Al tener puntos individuales de la línea del boceto, ubicados en el orden que siguen y a cierta distancia entre sí, siempre puedes encontrar cualquier otro punto en la línea. Por ejemplo, para encontrar un punto que se encuentra entre dos puntos adyacentes dados de una línea de dibujo, dibujamos un plano perpendicular al segmento que conecta los puntos adyacentes y encontramos un punto común para la superficie y el plano resolviendo tres ecuaciones de intersección escalar junto con la ecuación (9.5.1). La posición del plano en el segmento se puede especificar mediante el parámetro de línea. A partir de los puntos extremos del segmento se determina la aproximación cero del punto deseado. Así, el conjunto de puntos bidimensionales individuales de la línea de contorno de la superficie sirve como una especie de aproximación cero de esta línea, a partir de la cual siempre se puede encontrar la posición exacta del punto utilizando uno de los métodos numéricos. El algoritmo para construir líneas de contorno de superficie se puede dividir en dos etapas.

En la primera etapa encontraremos al menos un punto en cada línea del boceto. Para ello, caminando por la superficie y examinando el signo del producto escalar en puntos vecinos, encontraremos pares de puntos de superficie en los que cambia de signo. Tomando los valores promedio de los parámetros de estos puntos como una aproximación cero, encontraremos los parámetros del punto de la línea del boceto usando uno de los métodos numéricos. Digamos, por ejemplo, que al pasar de un punto a un punto cercano a él, el signo cambia. Luego, aplicando el proceso iterativo del método de Newton

o proceso iterativo

Encontremos los parámetros de uno de los puntos de la línea del boceto. Las normales derivadas se determinan mediante las fórmulas de Weingarten (1.7.26), (1.7.28). De esta forma obtenemos un conjunto de puntos de las líneas de contorno. Los puntos del conjunto obtenido en la primera etapa no tienen ninguna relación entre sí y pueden pertenecer a diferentes líneas del boceto. Sólo es importante que de cada línea del boceto exista al menos un punto del conjunto.

En la segunda etapa, tomamos cualquier punto del conjunto existente y, moviéndonos de él con un cierto paso, primero en una dirección y luego en la otra, encontramos, punto por punto, el conjunto de puntos deseado en la línea del boceto. La dirección del movimiento está dada por el vector.

donde - derivadas parciales de la normal - derivadas parciales del vector radio de la superficie con respecto a los parámetros.

El signo delante del término coincide con el signo del producto escalar Calculamos el paso de movimiento de acuerdo con la curvatura de las superficies en el punto actual usando la fórmula (9.4.7) o la fórmula (9.4.8). Si

luego usando la fórmula (9.4.7) le daremos un incremento al parámetro u y usando la fórmula (9.5.4) encontraremos el parámetro v correspondiente de la superficie. En caso contrario, usando la fórmula (9.4.8) le daremos un incremento al parámetro y usando la fórmula (9.5.5) encontraremos el parámetro y superficie correspondiente. Terminaremos de avanzar por la curva cuando lleguemos al borde de una de las superficies o cuando la línea se cierre (el nuevo punto estará a la distancia del paso actual desde el punto inicial).

Durante el movimiento comprobaremos si hay puntos del conjunto obtenido en la primera etapa cerca de la ruta. Para ello, a lo largo del camino calcularemos la distancia desde el punto actual de la curva del contorno a cada punto del conjunto obtenido en la primera etapa. Si la distancia calculada a cualquier punto del conjunto es proporcional al paso de movimiento actual, entonces este punto se eliminará del conjunto porque ya no es necesario. De esta manera obtenemos un conjunto de puntos individuales de una línea de boceto. En este caso, el conjunto de puntos obtenidos en la primera etapa no contendrá ni un solo punto de esta recta. Si todavía quedan puntos en el conjunto, entonces esta superficie tiene al menos una línea de contorno más.

Arroz. 9.5.3. Líneas de contorno del cuerpo

Arroz. 9.5.4. Cuerpo de revolución

Encontraremos el conjunto de sus puntos tomando cualquier punto del conjunto y repitiendo la segunda etapa de construcción. Terminaremos de construir líneas cuando no quede ni un solo punto del conjunto. Usando el método descrito, construiremos líneas de contorno de todas las caras del modelo.

Las líneas de contorno de las caras son las líneas de contorno de sus superficies. La línea de contorno del cuerpo será visible si no está cubierta por una cara que se encuentre más cerca del punto de observación. En la Fig. 9.5.3 muestra el contorno del cuerpo de rotación que se muestra en la Fig. 9.5.4. La proyección de la línea del boceto puede tener rupturas y cúspides, pero la línea del boceto en sí es suave.

Los puntos de ruptura en la proyección ocurren donde la línea tangente del contorno es colineal con el vector.

Para construir la proyección de la línea del boceto, construiremos su polígono, cuya proyección tomaremos como proyección de la línea del boceto.

Proyecciones centrales.

Las líneas de dibujo en las proyecciones centrales satisfacen la ecuación

(9.5.7)

donde - normal a la superficie - vector de radio del punto de observación. La línea de boceto para la proyección central difiere de la línea de boceto para la proyección paralela, aunque los algoritmos para su construcción son similares. En lugar de un vector constante en (9.5.7), hay un vector cuya dirección depende del punto proyectado. La línea de boceto para la proyección central también representa una cierta curva en la superficie, descrita por dependencias (9.5.3), y es una curva espacial. Esta línea debe proyectarse en el plano de acuerdo con las reglas para construir la proyección central de la línea espacial.

En la Fig. 9.5.5 muestra una proyección paralela de las líneas de contorno del toro, y en la Fig. A modo de comparación, la Fig. 9.5.6 muestra la proyección central de las líneas de contorno del toroide. Como puede ver, estas proyecciones son diferentes.

Arroz. 9.5.5. Proyección paralela de líneas de contorno toroidal.

Arroz. 9.5.6. Proyección central de las líneas de contorno del toroide

El algoritmo para construir líneas de boceto para la proyección central de una superficie descrita por un vector de radio se diferencia del algoritmo para construir líneas de boceto para una proyección paralela de esta superficie en que en la primera etapa buscaremos puntos de superficie en los que se encuentra el producto escalar. cambia de signo. Para determinar estos puntos, en lugar de las fórmulas (9.5.4) y (9.5.5), se deben utilizar las fórmulas

y fórmulas

respectivamente. De lo contrario, el algoritmo para construir líneas de contorno para la proyección central de una superficie no difiere del algoritmo para construir líneas de contorno para una proyección paralela.

Ministerio de Educación de la Federación de Rusia

Universidad Técnica Estatal de Saratov

SUPERFICIES

Pautas para completar la tarea 2

para estudiantes de especialidades
1706, 1705, 1201, 2503, 2506

Aprobado

consejo editorial y editorial

Estado de Sarátov

Universidad Tecnica

Sarátov 2003

INTRODUCCIÓN

En la práctica de la ingeniería mecánica, están muy extendidas las piezas con superficies cilíndricas, cónicas, esféricas, toroidales y helicoidales. Las formas técnicas de los productos son a menudo una combinación de superficies de revolución con ejes coincidentes, que se cruzan y se cruzan. Al dibujar dichos productos, es necesario representar las líneas de intersección de superficies, también llamadas líneas de transición.

Una forma común de construir líneas de intersección es encontrar los puntos de esta línea utilizando algunos planos o superficies de corte auxiliares, a veces llamados "intermediarios".

Estas pautas analizan casos generales y especiales de construcción de líneas de intersección de dos superficies y métodos para construir desarrollos de superficie.

1. DISPOSICIONES BÁSICAS.

En geometría descriptiva, una superficie se considera como un conjunto de posiciones sucesivas de una línea que se mueve en el espacio, llamada generatriz.

Si se toma como guía una de las líneas de la superficie q y mover la generatriz a lo largo de ella de acuerdo con una determinada ley yo, obtenemos una familia de generadores de superficies que definen la superficie (Fig. 1).

Para especificar una superficie en un dibujo, se ha introducido el concepto de determinante de superficie.

Un determinante es un conjunto de condiciones necesarias y suficientes para definir de forma única una superficie.

El determinante consta de una parte geométrica que contiene figuras geométricas y la ley de formación de superficies. Por ejemplo, la parte geométrica del determinante de la figura. a(yo,q) en la Fig. 1 están el generador yo y guía q, cuya posición se especifica en el dibujo. Ley de Educación: Directa yo, moviéndose en el espacio, siempre toca. q, permaneciendo paralelo a la dirección S. Estas condiciones definen únicamente una superficie cilíndrica. Para cualquier punto en el espacio, puedes resolver la pregunta de si su superficie pertenece a (AÎ un, enÏ a).

Parte geométrica del determinante de una superficie cónica. b(q,S) consta de una guía q y picos S(Figura 2). Ley de formación de una superficie cónica: recta generatriz. yo q, siempre pasa por el vértice S, formando un conjunto continuo de líneas rectas de la superficie cónica.

Las superficies obtenidas por movimiento continuo se denominan cinemáticas. Estas superficies son precisas y regulares, a diferencia de irregulares o aleatorias.

Las superficies formadas por el movimiento de una línea recta se denominan regladas, mientras que las superficies formadas por una línea curva se denominan no regladas.

De acuerdo con la ley del movimiento de la generatriz, se distinguen superficies con movimiento de traslación de la generatriz, con movimiento de rotación de la generatriz - superficies de rotación, con movimiento helicoidal de la generatriz - superficies helicoidales.

Las superficies se pueden definir mediante un marco. Una estructura alámbrica es una superficie que está definida por un cierto número de líneas que pertenecen a dicha superficie (Fig. 3).

Conociendo las coordenadas de los puntos de intersección de las líneas, se puede construir un dibujo de la superficie del marco.

1.2. Superficies de rotación.

Entre las superficies curvas, las superficies de rotación están muy extendidas. Una superficie de revolución es una superficie que se obtiene al girar cualquier generatriz alrededor de una línea recta fija: el eje de la superficie.

Una superficie de revolución puede formarse mediante la rotación de una línea curva (esfera, toro, paraboloide, elipsoide, hiperboloide, etc.) y la rotación de una línea recta (cilindro de revolución, cono de revolución, hiperboloide de revolución de una sola hoja). ).

De la definición de superficie de revolución se deduce que la parte geométrica del determinante a(i,l) superficies de revolución a debe constar de un eje de rotación i y formando yo. Ley de formación de superficies, rotación. yo alrededor I le permite construir un conjunto continuo de posiciones secuenciales de la generatriz de la superficie de rotación.

De las muchas líneas que se pueden dibujar en superficies de revolución, los paralelos (ecuador) y los meridianos (meridiano principal) ocupan una posición especial. El uso de estas líneas simplifica enormemente la solución de problemas posicionales. Miremos estas líneas.

Cada punto de la generatriz. yo(Fig.4) describe alrededor del eje. i un círculo que se encuentra en un plano perpendicular al eje de rotación. Este círculo se puede representar como la línea de intersección de una superficie con un determinado plano. (b), perpendicular al eje de la superficie de rotación. Estos círculos se llaman paralelos. (R). El mayor de los paralelos se llama ecuador, el más pequeño, garganta.

Arroz. 5 figura. 6

En la Fig. 5to paralelo REAL ACADEMIA DE BELLAS ARTES puntos A– ecuador, paralelo RV puntos R-superficie de la garganta.

Si el eje de la superficie i es perpendicular al plano de proyección, entonces el paralelo se proyecta sobre este plano mediante un círculo hasta el valor verdadero (P1A), y en el plano de proyección paralelo al eje: una línea recta (P2A), igual al diámetro del paralelo. En este caso, se simplifica la solución de problemas posicionales. Conectando cualquier punto de la superficie (por ejemplo CON) con una paralela, puedes encontrar fácilmente la posición de las proyecciones de la paralela y el punto sobre ella. En la Fig. 5 por proyección C2 puntos CON, perteneciente a la superficie a, usando paralelo Rs proyección horizontal encontrada C1.

El plano que pasa por el eje de rotación se llama meridional. En la Fig. 4 es un avión gramo. La línea de intersección de la superficie de rotación con el plano meridional se llama meridiano de la superficie. El meridiano que se encuentra en un plano paralelo al plano de proyecciones se llama principal ( m0 en la Fig. 4.5). En esta posición, el meridiano se proyecta sobre el plano. P2 sin distorsión, pero en P1– recta paralela al eje X12. Para un cilindro y un cono, los meridianos son líneas rectas.

Ecuador P2(Fig. 6) y meridianos principales (metro) delimitar la superficie en partes visibles e invisibles.

En la Fig. 6 ecuador de superficie a obtenido cortando la superficie con un plano d(P=a∩d), y el meridiano principal es un plano gramo(m=a∩gramo).

1.3. Croquis de la superficie.

La superficie proyectada que rodea la dada interseca el plano de proyección a lo largo de una línea llamada contorno de la proyección de la superficie. Es decir, el contorno de la superficie es la línea que delimita la proyección de la figura del resto del espacio de dibujo. Para construir un ensayo, es necesario construir los generadores de contornos de límites extremos. Los generadores de contorno se encuentran en un plano paralelo al plano de proyección.

Se puede tomar como generatriz cualquier meridiano de la superficie de revolución. La construcción del ensayo se simplificará si tomamos como generador el meridiano principal, ya que el meridiano principal es una curva plana (línea recta) paralela al plano de proyección y proyectada sobre él sin distorsión.

Ejemplo 1: cilindro a a(i,l). Construya un boceto de la superficie (Fig. 7).

Con esta disposición de ejes i el contorno horizontal representa un círculo de radio R(R=i1l1). Dibujemos a través del eje. i plano meridiano b||P2. Para construir un contorno frontal, encontramos proyecciones horizontales de los contornos de las generatrices que se encuentran en el plano del meridiano principal. (l1’,l1") y a partir de ellos determinamos las proyecciones frontales. l2' Y l2".

Proyección frontal del meridiano principal del contorno del cilindro. l2' Y l2". Un rectángulo es el contorno frontal de una superficie.

Ejemplo 2. Cono a dado por la parte geométrica del determinante a(i,l). Construya un boceto de la superficie (Fig. 8).

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Desde la posición de las figuras geométricas. yo, i en la Fig. 9 está claro que la superficie dada es un hiperboloide de revolución de una sola hoja. Cada punto de la generatriz. (A B C etc. ) al girar alrededor de un eje i describe un círculo (paralelo). En i ^ P1 al avión P1 Los paralelos se proyectan como círculos con un radio igual al valor real del radio paralelo. Punto CON en la generatriz yo describe el paralelo más pequeño: el paralelo de la garganta. Esta es la distancia más corta entre el eje de rotación y la generatriz. yo. Encontrar RC trazar una perpendicular desde i A l1. i1C1=RC– radio de la garganta superficial.

La proyección horizontal de un hiperboloide constará de tres círculos concéntricos.

El contorno frontal de la superficie debe tener el contorno de su meridiano principal.

Dibujemos a través del eje. i plano meridional principal b y construir proyecciones horizontales de paralelos de puntos. A B C. Los paralelos se cruzan con un plano. b en los puntos A′, B′, C′ pertenecientes al meridiano principal de la superficie. Un conjunto continuo de estos paralelos forma el marco de la superficie y los puntos de intersección con el plano. b– meridiano principal m0 superficies. El meridiano principal se puede construir como un contorno de los puntos de intersección de los paralelos con un plano. b. La figura muestra la construcción de un punto. CON Y D.

Ejemplo 4. Dibujar un cilindro inclinado a(yo,metro). Generador del cilindro yo, avanzando a lo largo de la guía metro, permanece paralelo a sí mismo. El contorno de la superficie se muestra en la Fig. 10. Cualquier punto en la superficie de un cilindro se determina dibujando una generatriz a través de él (“conectando” el punto con la generatriz). En la Fig. 10a según la proyección frontal del punto A2, perteneciente a la superficie, se encuentra su proyección horizontal A1.

1.4. Superficies regladas con un plano de paralelismo.

Las superficies regladas con un plano de paralelismo se forman moviendo una generatriz rectilínea a lo largo de dos guías. En este caso, la generatriz en todas sus posiciones mantiene el paralelismo con un determinado plano dado, llamado plano de paralelismo.

Parte geométrica del determinante. a(metro,norte,b) tal superficie a Contiene dos guías y un plano de paralelismo. Dependiendo de la forma de las guías, estas superficies se dividen en: cilindroides, ambas curvas de guía; conoides: una guía es recta y la otra curva; Plano oblicuo: ambas guías son rectas.

Ejemplo: construir un marco de superficie a(metro,norte,b)(Figura 10b).

En este caso, se toma como plano de paralelismo el plano horizontal de proyecciones. Generando línea, cortando la curva. metro y directo norte, en cualquier posición permanece paralelo al plano. P1.

Todo plano paralelo al plano de paralelismo corta estas superficies en línea recta. Por lo tanto, si desea construir cualquier generatriz de una superficie, debe cortar la superficie con un plano (por ejemplo b), paralelo al plano de paralelismo, encuentre los puntos de intersección de las líneas guía de la superficie con este plano (b∩norte=1;b∩metro=2; arroz. 10b) y trazar una línea recta que pase por estos puntos.

Para construir el conoide de la Fig. 10b, se puede prescindir de planos de corte auxiliares, ya que los salientes frontales de las generatrices deben ser paralelos al eje X12. La densidad de las líneas del marco en la proyección frontal se establece arbitrariamente. Construimos proyecciones horizontales de generadores dados a lo largo de la línea de comunicación utilizando la propiedad de pertenencia.

Si necesitas encontrar la proyección de un punto. A, dado por la proyección A2, es necesario cortar la superficie con un plano. gramo, pasando por el punto A y paralelo al plano de paralelismo (en la Fig. 10b g//P1), encuentre el generador como la línea de intersección del plano gramo con superficie a(a∩gramo=3, 4), usando la proyección frontal 32, 42, encuentre la horizontal 31, 41 y determine en ella A1.

1.5. Construir el punto de encuentro de una línea con una superficie.

Encuentra el punto de encuentro de la curva. yo con superficie a(P,S).

Solución 1. Concluir la curva yo(Fig. 11) en la superficie de proyección auxiliar b^P1. Proyección b1 coincide con la proyección l1. 2. Construyendo una línea de intersección A superficies α con superficie b′, (αÇ b=e). Proyección horizontal de esta línea. a1 conocido, coincide con b1. Proyección horizontal a1 construir una proyección frontal a2(Fig. 1 Determine el punto deseado en la intersección de la curva yo con superficie a..K=yoÇ a hay un punto de encuentro yo Y a. Por un lado yo Y A pertenecer b Y yoÇ a=k. Con otro AÌ a, por eso AÌ α , eso es A hay puntos de encuentro yo con superficie α .

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1.6. Construir una línea de intersección de superficies.

Al resolver el problema de construir una línea de intersección de una superficie con otra, se utiliza el método de secciones, el método principal para resolver problemas posicionales. En este caso, las superficies dadas se cortan mediante planos auxiliares o superficies curvas (por ejemplo, esferas).

Las superficies de corte auxiliares a veces se denominan "intermediarias".

1.5.1. Caso general.

En el caso general, para resolver el problema de determinar la línea de intersección de dos superficies, se puede especificar una familia de generadores en una de las superficies (Fig.12), encontrar el punto de encuentro de estos generadores con la segunda superficie usando el Algoritmo para resolver el problema de la Fig. 11, y luego traza los puntos de encuentro.

Usando este método para construir líneas de intersección de dos superficies curvas, podemos usar planos auxiliares o superficies curvas como “intermediarios” secantes.

Si es posible, se deben elegir superficies auxiliares que, al cruzarse con las dadas, den líneas que sean fáciles de construir (líneas rectas o círculos).

1.5.2. Los ejes de las superficies de revolución coinciden.
(superficies coaxiales).

En la Fig. 13 superficies a Y b especificado por un eje común i y meridianos principales m0m0'.

Los meridianos principales se cruzan en el punto A(B). Punto A(B) la intersección de meridianos al girar alrededor de un eje describirá un paralelo R, que pertenecerá a ambas superficies, por tanto, será su línea de intersección.

Así, dos superficies de revolución coaxiales se cruzan a lo largo de paralelos que describen los puntos de intersección de sus meridianos. En la Fig. 13 ejes de superficie son paralelos P2. En el plano de proyección al que los ejes de las superficies son paralelos, la línea de intersección P2 Se proyecta una línea recta, cuya posición está determinada por los puntos de intersección de los meridianos principales. A Y EN.

1.5.3. Método del plano de corte.

En el caso de que los ejes de las superficies de revolución sean paralelos, las construcciones más simples se obtienen utilizando planos de corte como intermediarios. En este caso, los planos de corte auxiliares se seleccionan de modo que intersequen ambas superficies a lo largo de los círculos.

En la Fig. 14 están dados por bocetos de la proyección de dos superficies de revolución. α Y b, sus ejes i Y j paralelo. En este caso, el uso de planos de corte perpendiculares a los ejes de las superficies proporciona una solución sencilla al problema. Las líneas resultantes de intersección de las superficies serán paralelas, cuyas proyecciones frontales son líneas rectas iguales al diámetro del paralelo, y las proyecciones horizontales son círculos de tamaño natural.

Al construir puntos de líneas de intersección, primero debe encontrar puntos de referencia y característicos. Los puntos de referencia son los que se encuentran en el meridiano principal (3) y el ecuador (4, 5). Encontrar estos puntos no está asociado con construcciones adicionales y se basa en el uso de propiedades de membresía.

Especificado en la Fig. 14 superficies tienen un plano común del meridiano principal, sus ejes ^ P1, las bases se encuentran en el plano P1. Los puntos de referencia de la línea de intersección son el punto 3 de la intersección de los meridianos principales y los puntos 4 y 5 de la intersección de los paralelos de las bases de las superficies. Usando las propiedades de membresía, usando las proyecciones conocidas 32, 41 y 51, encontramos 31, 42 y 52.

Encontramos los puntos de intersección restantes utilizando planos de corte auxiliares. cortemos las superficies α Y b plano horizontal gramo. Porque gramo^ ejes i Y j, entonces las superficies α Y b intersectarse con un plano gramo, según paralelos Real academia de bellas artes Y Rb. Y desde los ejes i Y j^P1, entonces estos paralelos se proyectan sobre P1 círculos Real academia de bellas artes, Rb al valor real y a P2 derecho P2a, P2b igual al diámetro del paralelo.

Los puntos de intersección de los paralelos 1 y 2 son los deseados. De hecho, a un lado del paralelo Real academia de bellas artes Y Rb pertenecen al mismo plano gramo y se cruzan en los puntos 2 y 1. Por otro lado, Real academia de bellas artes Y Rb pertenecen a diferentes superficies α Y b. Por tanto, los puntos 2 y 1 pertenecen simultáneamente a las superficies. A Y b, es decir, son los puntos de la línea de intersección de superficies. Las proyecciones horizontales 21 y 11 de estos puntos están en la intersección P1a, P1b, y construimos los frontales usando la propiedad de membresía.

Repitiendo esta técnica, obtenemos el número requerido de puntos. Los planos de corte están distribuidos uniformemente en el intervalo desde el punto de mayor elevación de la curva 32 hasta la figura principal.

El número de puntos de la línea de intersección y, por tanto, de los planos de corte, está determinado por la precisión requerida de las construcciones gráficas. Las proyecciones de la línea de intersección se construyen como contornos de las proyecciones de sus puntos. En la Fig. 14 línea en los puntos 4, 1, 3, 2, 5.

El ejemplo considerado de resolución de problemas se llama método de corte de planos.

1.5.4. Método de esferas.

Esta técnica se utiliza cuando los ejes de superficies de revolución se cruzan. Se basa en el comentado en la Fig. 13 caso de intersección de superficies coaxiales.

En la Fig. 15 muestra un cono y un cilindro con ejes que se cruzan i Y j. Sus ejes son paralelos al plano. P2. El plano del meridiano principal es común para ambas superficies.

). La construcción se simplifica debido a que el plano del meridiano principal es común. Círculos a lo largo de los cuales una esfera corta dos superficies simultáneamente ( ra, r.bPb"), se proyecta sobre el avión P2 en forma de líneas rectas ( P2a, P2segundo, P2b") igual a los diámetros de los paralelos.

La intersección de estos círculos produce puntos (5, 6, 7, 8), (52, 62, 72, 82), comunes a ambas superficies y, por tanto, pertenecientes a la recta de intersección. De hecho, paralelos ra, r.segundo, pagb", por un lado, pertenecen a una superficie: la esfera y tienen puntos comunes (5, 6, 7, 8), por otro lado, pertenecen a superficies diferentes A Y b. Es decir, los puntos 5, 6, 7, 8 pertenecen a ambas superficies o a la línea de intersección de las superficies.

Para obtener suficientes puntos para dibujar la línea de intersección deseada, se dibujan varias esferas.

Radio de la esfera más grande ( Rmáx) es igual a la distancia desde el centro O2 al punto de intersección más distante de los generadores de contorno (en este caso, puntos 32 y 42, Rmáx= 0232=0242. En este caso, ambas líneas de intersección de superficies con la esfera ( Real academia de bellas artes Y Rb) se cruzarán entre sí en los puntos 3 y 4 con un radio mayor de la esfera no habrá intersección.

Radio de la esfera más pequeña ( Rmín) es igual a la distancia desde el centro 02 al generador de contorno más distante ( Rmín=02A2). En este caso, la esfera tocará el cono a lo largo de la circunferencia y el cilindro se cruzará dos veces y dará los puntos 5, 6, 7, 8. Con un radio de esfera menor, no habrá intersección con el cono.

Ahora solo queda dibujar líneas curvas de intersección de superficies a través de los puntos 1, 5, 4, 6, 1 y 2, 7, 3, 8, 2.

En la Fig. 15 todas las construcciones se realizan en una proyección. Número de esferas secantes, con radios que van desde Rmáx antes Rmín, depende de la precisión constructiva requerida. La proyección horizontal de la línea de intersección se construye a lo largo de las líneas frontales 1, 5, 4, 6, 1 y 2, 7, 3, 8, 2 utilizando la propiedad de pertenencia.

1.5.5. Aplicación del método del plano de corte.
en casos de superficies regladas con un plano de paralelismo.

Dos superficies están especificadas por la parte geométrica del determinante: a (yo,i) Y b(metro,norte, P1). Es necesario trazar los contornos de las superficies y encontrar la línea de su intersección (Fig. 16).

Solución: 1. Construya un boceto de la superficie. a, n de la parte geométrica del determinante está claro que la superficie a- esfera. Sus contornos horizontal y frontal son círculos de radio. R. 2. Construimos el marco de la superficie reglada. Como el plano es paralelo P1, entonces las proyecciones frontales de las generatrices son paralelas al eje X12. Habiendo definido un marco de un cierto plano de líneas en la proyección frontal (hay cuatro líneas en la Fig. 16), construimos proyecciones horizontales de estos generadores. 3. Para construir una línea de intersección de superficies utilizamos planos de corte como intermediarios. La posición de los planos de corte debe elegirse de modo que intersequen las superficies dadas a lo largo de líneas que sean fáciles de construir (líneas rectas o círculos). Esta condición se cumple con los planos horizontales. Los planos horizontales son paralelos al plano de paralelismo del conoide ( P1), por lo que cruzarán el conoide en línea recta. Estos planos cortan la esfera a lo largo de paralelos.

,A" esfera a lo largo del paralelo Ra. Proyección frontal del paralelo ( P2a) es una recta igual al diámetro del paralelo, y la proyección horizontal ( P1a) - círculo. En una proyección horizontal en la intersección de un paralelo. P1a y la generatriz 1, 11" está determinada por la proyección de dos puntos de la línea de intersección de la superficie A Y b. Basado en proyecciones horizontales de puntos. A1 Y EN 1 construimos sus proyecciones frontales. Repitiendo la operación obtenemos una serie de puntos de la línea de intersección, cuyo contorno dará la línea de intersección.

El ecuador y el meridiano principal de la esfera delimitan la línea en partes visibles e invisibles.

1.6.Construcción de promociones.

Un desarrollo de una superficie es una figura que se obtiene combinando la superficie que se está desarrollando con un plano.

Las superficies desarrollables son aquellas que se alinean con el plano sin roturas ni pliegues.

Las superficies desarrollables incluyen superficies facetadas y las superficies curvas incluyen sólo superficies cilíndricas, cónicas y de torso.

Los desarrollos se dividen en exacto (desarrollo de superficies facetadas), aproximado (desarrollo de un cilindro, cono, torso) y condicional (desarrollo de una esfera y otras superficies no desarrollables).

1.6.1. Desarrollo de superficies facetadas.

Realice un desarrollo de la pirámide especificada por las proyecciones de la Fig. 17.

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El método de rodadura es aplicable si los bordes del prisma son paralelos al plano de proyección y se conoce el tamaño real de los bordes de una de las bases (Fig. 18).

El despliegue de una figura representa el proceso de combinar las caras de un prisma con un plano, en el que la verdadera apariencia de cada cara se obtiene girando alrededor de su borde.

Al rodar, los puntos A, B, C se mueven a lo largo de arcos circulares, que se representan en el plano P2 como líneas rectas, perpendiculares a las proyecciones de los bordes del prisma. Los vértices del desarrollo se construyen de la siguiente manera: desde el punto A2 con radio R1=A1B1 (longitud real AB), hacemos una muesca en la recta B2B0, perpendicular a B2B2¢. Desde el punto construido B0 con radio R2=B1C1, se hace una muesca en la línea recta C2C0^C2C2¢. Luego una muesca desde el punto C0 con radio R3=A1C1 en la línea recta A2A0^A2A2¢. Obtenemos el punto A0. Los puntos A2B0C0A0 están conectados por líneas rectas. Desde los puntos A0B0C0 dibujamos líneas paralelas a los bordes (A2 A2¢), trazando en ellas los valores verdaderos de los bordes laterales A2A¢, B2B¢, C2C¢. Conectamos los puntos A¢B¢C¢A¢ con segmentos de recta.

1.6.2. Desarrollo de superficies curvas.

Teóricamente es posible obtener un desarrollo preciso, es decir, un desarrollo que repita exactamente las dimensiones de la superficie que se está desarrollando. En la práctica, al hacer dibujos, hay que aceptar una solución aproximada al problema, si se supone que los elementos de superficie individuales se aproximan a secciones planas. En tales condiciones, realizar desarrollos aproximados de un cilindro y un cono se reduce a construir desarrollos de los prismas y pirámides inscritos (o descritos) en ellos.

La Figura 19 muestra un ejemplo de cómo realizar un barrido de cono.

Encajamos una pirámide poliédrica en el cono. Desde el punto S trazamos un arco con un radio igual al valor verdadero de la generatriz del cono (S212) y trazamos las cuerdas 1121 en el arco; 2, reemplazando los arcos 1121;2

Para encontrar cualquier punto del desarrollo, es necesario trazar una generatriz que pase por un punto dado (A), encontrar la ubicación de esta generatriz en el desarrollo (2B=21B1), determinar el valor verdadero del segmento SA o AB y trazar en la generatriz del desarrollo. Cualquier línea sobre una superficie consta de un conjunto continuo de puntos. Habiendo encontrado el número requerido de puntos en el escaneo usando el método descrito para el punto A y trazando estos puntos, obtendremos una línea en el escaneo. En la construcción de desarrollos de superficies cilíndricas inclinadas, se aplican los métodos de sección normal y laminación.

Cualquier superficie no desarrollable también puede aproximarse mediante una superficie poliédrica con cualquier precisión dada. Pero el desarrollo de dicha superficie no será una figura plana continua, ya que estas superficies no se desarrollan sin roturas y pliegues.

1.6.3. Construyendo un plano tangente
a la superficie en un punto dado.

Para construir un plano tangente a la superficie en un punto dado (punto A en la Fig. 20), es necesario dibujar dos curvas arbitrarias a y b en la superficie que pasa por el punto A, luego en el punto A construir dos tangentes t y t¢ a las curvas a y b. Las tangentes determinarán la posición del plano tangente a a la superficie b.

En la Fig. 21 se construye la superficie de rotación a. Se requiere trazar un plano tangente en el punto A, perteneciente a a.

Para resolver el problema, trazamos la paralela a a través del punto A y le construimos una tangente t en el punto A (t1;t2).

Tomemos el meridiano como segunda curva que pasa por el punto A. No se muestra en la Fig. 21. La solución se simplificará si el meridiano, junto con el punto A, se gira alrededor del eje hasta coincidir con el meridiano principal. En este caso, el punto A ocupará la posición A¢. Luego, a través del punto A¢, dibuje la tangente t¢¢ al meridiano principal hasta que se cruce con el eje en el punto B. Habiendo devuelto el meridiano a su posición anterior, dibuje la tangente t¢ a este meridiano a través del punto A y fije el punto B en el eje de rotación (t1¢;t2 ¢). Las tangentes t y t¢ definirán el plano tangente.

Al dibujar un plano tangente a una superficie reglada, una de las tangentes que definen el plano tangente se puede tomar como el generador t de la superficie (Fig. 22). Como segundo, se puede tomar la tangente t¢ al paralelo (si es un cilindro o cono) o la tangente a cualquier curva trazada por un punto dado de un conoide, cilindroide u plano oblicuo. Se puede construir fácilmente una curva cortando la superficie con un plano saliente que pase por un punto determinado.

2.1. Objetivo del trabajo:

Reforzar el material del programa en las secciones “Superficie” y “Desarrollos” y adquirir habilidades en la resolución de problemas de construcción de bocetos, líneas de intersección y desarrollos de superficies.

2.2. Ejercicio:

El dibujo contiene dos superficies que se cruzan. Las superficies están definidas por proyecciones coordinadas de la parte geométrica del determinante.

Necesario:

Usando las coordenadas de la parte geométrica del determinante, trace las proyecciones del determinante en el dibujo, conecte los puntos necesarios para obtener las figuras geométricas del determinante;

Construir bocetos de superficies dadas basándose en las proyecciones de la parte geométrica del determinante;

Construir una línea de intersección de superficies;

Construir un desarrollo de una de las superficies dibujando una línea de intersección (según las indicaciones del profesor);

Dibujar un plano tangente a una de las superficies en el punto indicado por el profesor;

Haz un diseño de superficies que se cruzan.

El trabajo se realiza primero en papel cuadriculado A2 y luego en papel Whatman A2. El dibujo debe redactarse de acuerdo con GOST ESKD. La inscripción principal se realiza según el formulario 1.

Al realizar el trabajo se utilizan conferencias, materiales prácticos y literatura recomendada.

Las opciones para las tareas se dan en el apéndice.

2.3. El orden de la tarea.

El estudiante recibe una versión de la tarea correspondiente al número de la lista en el diario del grupo y trabaja en la tarea durante cuatro semanas.

Una semana después de recibir el trabajo, el alumno presenta al profesor las construcciones de la parte geométrica de los determinantes y los contornos de las superficies dadas, realizadas en papel cuadriculado en formato A2.

Después de dos semanas, se presenta un dibujo, complementado con la construcción de una línea de intersección de superficies y un plano tangente.

Durante la tercera semana, se completa el trabajo en papel cuadriculado A4 construyendo un desarrollo de una de las superficies y dibujando en él la línea de intersección de las superficies.

Durante la cuarta semana, se completa un trazado de superficies de intersección.

El trabajo a realizar se presenta al profesor que imparte la lección práctica. A partir de la construcción realizada en papel cuadriculado se comprueba la asimilación por parte del alumno del material estudiado.

Al resolver el problema posicional de construir una línea de intersección de superficies, se utiliza el método de la sección. Como “intermediarios” se eligen planos cortantes o esferas. Se debe prestar atención a los casos especiales discutidos anteriormente (el método de corte de planos y el método de esferas), que brindan la solución más simple al problema. Si es necesario, utilice una combinación de estos métodos.

Al realizar un desarrollo superficial, es necesario estudiar las construcciones realizadas por el método de sección normal y el método de laminación, así como los métodos de construcción de desarrollos aproximados y condicionales, y utilizar el método más racional en la obra.

Al dibujar un plano tangente a una superficie en un punto dado, basta con construir dos líneas curvas en la superficie que pasa por el punto y dibujar tangentes a estas líneas en un punto dado, recordando que se proyecta una tangente a una línea curva plana. por una tangente a su proyección.

LITERATURA.

1. Geometría de Vinitsky. M.: Escuela Superior, 1975.

2. Geometría de Gordon. M.: Nauka, 1975.

3. Superficies. Instrucciones metódicas. /Compilado, / Saratov, SSTU, 1990.

OPCIONES DE TAREAS

Conceptos básicos y definiciones.

La superficie como objeto de investigación en ingeniería se puede especificar de las siguientes formas principales: a) ecuación; b) marco; c) determinar con gel; d) un ensayo.

La geometría analítica se ocupa de la compilación de ecuaciones de superficie; considera la superficie como un conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación de la forma F (x, y, z) = 0.

En geometría descriptiva, la superficie en el dibujo está especificada por un marco, un determinante, un contorno.

Con el método de estructura alámbrica, la superficie está definida por un conjunto de un cierto número de líneas que pertenecen a la superficie. Por regla general, las líneas que forman el marco son una familia de líneas resultantes de la intersección de una superficie con varios planos paralelos. Este método se utiliza en el diseño de carrocerías de automóviles, en la construcción de aviones y barcos, en topografía, etc.

Una superficie formada por una línea que se mueve en el espacio se puede especificar en un dibujo mediante un determinante de superficie.

El determinante de una superficie es un conjunto de figuras geométricas y conexiones entre ellas. permitiéndole formar inequívocamente una superficie en el espacio y definirla en el dibujo.

El método de formar una superficie mediante una línea que se mueve en la superficie se llama cinemático.

Una línea que forma una superficie determinada durante su movimiento en el espacio se llama generatriz (generadora).

La generatriz, al moverse, puede cambiar de forma o permanecer sin cambios. La ley de movimiento de la generatriz puede especificarse, en particular, mediante líneas fijas sobre las que se apoya la generatriz durante su movimiento. Estas líneas se llaman guías.

En el dibujo, al especificar una superficie por su determinante, se construyen proyecciones de líneas guía y se indica cómo se ubican las proyecciones de la línea generatriz. Construyendo varias posiciones de la línea generatriz, obtenemos un marco de superficie. En la figura 1 se muestra un ejemplo de formación de superficies utilizando el método cinemático. 96.

Se toma una curva plana como generatriz de esta superficie. La ley del movimiento de la generatriz viene dada por dos guías. metro y norte y avión A. Formativo A se desliza a lo largo de las guías, permaneciendo paralelo al plano todo el tiempo a.

Hay partes geométricas y algorítmicas del determinante de superficie. El determinante tiene la siguiente notación: F(G) [A], Dónde F- designación de la superficie; (GRAMO)- la parte geométrica del determinante, enumera todas las figuras geométricas involucradas en la formación de la superficie y su asignación en el dibujo; [A] es la parte algorítmica del determinante: en ella está escrito el algoritmo de formación de la superficie.

El determinante de una superficie se determina analizando los métodos de formación de la superficie o sus propiedades básicas. En general, una misma superficie se puede formar de varias formas, y por tanto puede tener varios determinantes. Por lo general, de todos los métodos para formar una superficie, se elige el más simple. Por ejemplo, la superficie lateral de un cilindro circular recto se puede formar de cuatro formas (Fig. 97):

a) como una huella dejada en el espacio de una línea A cuando gira alrededor de un eje metro(Figura 97, a).

Determinante de superficie - Ф (а,m) [A 1 ]:

b) como una huella dejada en el espacio por una línea curva b cuando gira alrededor de un eje metro(Figura 97.6).

Determinante de superficie - Ф (b,m) [A 2];

c) como una huella dejada en el espacio por un círculo Con cuando su centro avanza ACERCA DE a lo largo del eje metro. en este caso, el plano del círculo permanece perpendicular a este eje todo el tiempo (Fig. 97, c).

Determinante de superficie - Ф (а,m) [A 3 ]:

d) como envoltura de todas las posiciones de una superficie esférica R Radio constante, cuyo centro se mueve a lo largo del eje. metro(Figura 97, d).

Determinante de superficie - Ф (p,m) [A 4].

El más simple de los considerados es el determinante. Ф (а,m) [A 1 ].

Definir una superficie en un dibujo con un marco o un determinante no siempre asegura la claridad de su imagen. En algunos casos, es más apropiado definir la superficie como un contorno.

El contorno de una superficie es la proyección de una superficie cilíndrica saliente que envuelve una superficie determinada.

Utilizando una ecuación conocida de una superficie o su determinante, o contorno, siempre es posible construir un esqueleto de una superficie.

La variedad de superficies requiere su sistematización. Para superficies formadas por método cinemático, la sistematización se basa en su determinante.

Según el tipo de generatriz, las superficies se dividen en dos clases:

clase 1 - superficies no regladas (generador - línea curva);

clase 2 - superficies regladas (generador - línea recta).

Superficies no regladas

Las superficies no regladas se dividen en superficies con una generatriz de tipo variable (que cambia de forma durante el movimiento) y superficies con una generatriz de tipo constante.

Superficies no regladas con generatriz variable

Las superficies no lineales con una generatriz de tipo variable incluyen:

1. Superficie general . Dicha superficie se forma moviendo una generatriz de tipo variable a a lo largo de una guía curva t (Fig. 98).

2. Superficie del canal . Esta superficie se forma mediante el movimiento de una línea plana cerrada, cuyo plano está orientado de cierta manera en el espacio (Fig. 99).

El área delimitada por la generatriz cambia monótonamente a medida que avanza a lo largo de la guía. Por ejemplo, la superficie de un canal tiene una sección de transición que conecta dos tuberías de diferentes formas.

3. Superficie cíclica - un caso especial de la superficie de un canal, cuando la generatriz es un círculo cuyo radio cambia monótonamente (Fig. 100).

Un ejemplo de superficie cíclica sería el cuerpo de un instrumento musical de viento.

Superficies no regladas con generatriz constante

Las superficies no lineales con una generatriz constante incluyen:

1.Superficie general . Una superficie de este tipo puede formarse mediante el movimiento de una línea curva arbitraria. A a lo largo de la guía metro(Figura 101).

2. Superficie tubular . La generatriz de la superficie tubular es un círculo de radio constante. El plano del círculo durante su movimiento permanece perpendicular a la guía (Fig. 102).

Un ejemplo de superficie tubular sería la superficie de un alambre circular.

Superficies regladas

Las superficies regladas se forman mediante el movimiento de una línea recta (generador) según una ley determinada. Dependiendo de la ley del movimiento de la generatriz, obtenemos varias superficies regladas.

Superficies regladas con tres guías.

Las superficies regladas con tres guías incluyen:

1. Superficie de un cilindro oblicuo . Dicha superficie puede formarse mediante el movimiento de una generatriz rectilínea a lo largo de tres guías curvas (Fig. 103).

2. Superficie de un cilindro doblemente oblicuo. . Esta superficie se forma cuando dos guías se curvan y la tercera es una línea recta (Fig. 104).

3. Superficie de un conoide doblemente oblicuo Resulta que una de las guías es curva y las otras dos son rectas (Fig. 105).

4.Superficie de un hiperboloide de una sola hoja. Se forma cuando las guías son tres líneas rectas que se cruzan y paralelas a un mismo plano. Ejemplo. Encuentra proyecciones de puntos faltantes. A" Y EN" perteneciente a la superficie de un hiperboloide de una sola hoja (Fig. 106).

P e r e n t. Para determinar la proyección faltante de un punto, utilizamos el signo de que pertenece a una superficie: el punto pertenece a la superficie; si pertenece a alguna línea de esta superficie.

Para una superficie reglada dada, al construir proyecciones de la generatriz, primero se especifica su proyección horizontal y luego se encuentra la frontal. Por tanto, a través de la conocida proyección horizontal del punto A" Realizamos la proyección de la generatriz. un" 2, determinamos su proyección frontal un 2", en el que a lo largo de la línea de comunicación encontramos la proyección frontal deseada del punto A".

Para determinar la proyección horizontal que falta de un punto EN" Realicemos las siguientes construcciones:

1. Construir una serie de generadores de una superficie determinada. un 1, un 2, un 3, un 4.

2. En el plano frontal de proyecciones a través de una proyección conocida de un punto EN" dibujemos una proyección de la línea auxiliar b" perteneciente a una superficie determinada y que intersecta a los generadores.

3. Basado en las proyecciones frontales conocidas de los puntos de intersección de la proyección lineal. b" con generadores 1", 2", 3", 4" Encontremos las proyecciones horizontales de estos puntos. Conectándolos con una línea suave, construiremos una proyección horizontal de la línea auxiliar. b" en el que, a lo largo de la línea de comunicación, encontramos la proyección deseada del punto EN".

Las superficies regladas con tres guías incluyen, por ejemplo, las superficies de hélices de barcos y de aviones. En arquitectura y construcción, se utilizan en la construcción de edificios interiores para estadios, mercados y estaciones de tren.

Superficies regladas con dos guías y un plano de paralelismo (superficies catalanas)

Las superficies regladas con dos guías planas paralelas incluyen:

1. Superficie de un cilindro recto . Dicha superficie puede formarse mediante el movimiento de una generatriz rectilínea a lo largo de dos guías. metro Y norte en el caso de que sean líneas curvas suaves y una de ellas sea una curva plana, cuyo plano β perpendicular al plano de paralelismo una (n ⊂ β, β ⊥ una)(Figura 107).

2. Superficie de un conoide recto . Esta superficie se obtiene cuando una guía es una línea curva y la segunda es una línea recta y es perpendicular al plano de paralelismo.

un(n ⊥ un)(Figura 108). La superficie de un conoide recto se utiliza en ingeniería hidráulica para formar la superficie de los estribos de los pilares de los puentes.

3. . Esta superficie se forma cuando dos guías se cruzan en líneas rectas (Fig. 109). La superficie de un plano oblicuo se utiliza en la práctica de la ingeniería y la construcción para formar superficies de pendientes, terraplenes, ferrocarriles y carreteras, terraplenes, estructuras hidráulicas en puntos de unión con diferentes ángulos de inclinación.

Superficies regladas con una guía (torsi)

Los torsos son superficies desarrollables: se pueden combinar con un plano sin pliegues ni desgarros. Las superficies del torso incluyen:

1. Superficie de la nervadura de retorno . Esta superficie se forma por el movimiento de una generatriz rectilínea, en todas sus posiciones tangente a la curva espacial, denominada borde de retorno.

2. superficie cilíndrica . Esta superficie se forma por el movimiento de una generatriz rectilínea, deslizándose a lo largo de una guía curva y permaneciendo paralela a su estado original (Fig. 110).

3. Superficie cónica . Esta superficie está formada por el movimiento de una generatriz rectilínea, deslizándose a lo largo de una guía curva y pasando en todas sus posiciones por un mismo punto fijo. S(Figura 111).

Superficies de revolución

Una superficie de revolución es una superficie que se obtiene al girar cualquier línea generadora alrededor de una línea recta fija: el eje de rotación de la superficie..

Los planos perpendiculares al eje de rotación cruzan la superficie a lo largo de círculos: paralelos. El paralelo más pequeño se llama garganta, el más grande es ecuador.

Pa higo. 112 muestra la superficie de rotación. Aquí el generador es una curva plana. A B C D, eje de rotación i ubicado en el mismo plano que esta curva.

Las líneas a lo largo de las cuales los planos que pasan por el eje de rotación cruzan la superficie se llaman meridianos. Cada meridiano se divide en dos líneas simétricas con respecto al eje de rotación, llamadas semimeridianos. El meridiano situado en un plano paralelo al plano frontal de proyecciones se denomina meridiano principal.

Propiedades básicas de la superficie de revolución:

1. Un segmento de meridiano entre dos puntos de una superficie es la distancia más corta entre estos puntos.

2. Todos los meridianos son iguales entre sí.

3. Cada uno de los paralelos de la superficie de rotación cruza los meridianos en ángulo recto.

4. Cualquiera de las normales a la superficie de revolución corta el eje de rotación de la superficie.

Es conveniente definir superficies de revolución en un dibujo mediante contornos y proyecciones de sus líneas y puntos característicos. El contorno frontal de la superficie de rotación es la proyección frontal del meridiano principal y el contorno horizontal es la proyección horizontal del ecuador.

Consideremos los principales tipos de superficies de rotación:

1. Cilindro de rotación . Esta superficie se puede obtener girando una línea recta paralela al eje de rotación. i(Figura 113).

2. Cono de rotación . La superficie de un cono de revolución se puede obtener girando una línea recta que corta el eje de rotación. i(Figura 114).

3. Esfera . La generatriz de una esfera es un círculo cuyo centro ACERCA DE ubicado en el eje de rotación i(Figura 115).

4. Arriba. La generatriz de un toro es un círculo o su arco. Eje de rotación i se encuentra en el plano de este círculo, pero no pasa por su centro (Fig. 116, 117).

Hay toros abiertos (anillo circular) (Fig. 116, 117, a), cerrados (Fig. 117, b), que se cruzan automáticamente (Fig. 117, c, d).

La generatriz de un toro abierto (Fig. 116,117,a) y cerrado (Fig. 117,6) es un círculo, para un toro que se interseca a sí mismo (Fig. 117, c, d), un arco de círculo.

5. Paraboloide de rotación . Esta superficie se forma girando una parábola alrededor de su eje (Fig. 118). La superficie del paraboloide se utiliza en antenas parabólicas y espejos reflectores.

6. Hiperboloide de rotación . Esta superficie se forma al girar una hipérbola alrededor de un eje. Distinguir doble cavidad Y hiperboloide de revolución de una sola hoja. Para un hiperboloide de revolución de dos hojas, el eje de rotación es el eje real de la hipérbola (Fig. 119),

para un hiperboloide de una sola hoja (Fig. 120): su eje imaginario. También se puede formar un hiperboloide de revolución de una hoja girando una línea recta si la generatriz y el eje de rotación son líneas rectas que se cruzan.

La posición de un punto en la superficie de revolución se determina utilizando un círculo que pasa por este punto en la superficie de revolución (ver figura 114-116). En el caso de superficies de revolución regladas (cilindro, cono), es posible utilizar generatrices rectilíneas para este propósito (ver Fig. 113,114).

Superficies regladas helicoidales

Una superficie reglada helicoidalmente se llama superficie. formado por el movimiento del tornillo en línea recta.

Movimiento helicoidal de la generatriz. AB caracterizado por su rotación alrededor de un eje i y movimiento de traslación simultáneo paralelo a este eje (Fig. 121). La ley de movimiento de la generatriz está determinada por el tipo de hélice (su dirección, diámetro y paso) y la naturaleza del movimiento de la generatriz a lo largo de la guía.

En la práctica, lo más frecuente es encontrar superficies regladas helicoidales con un paso constante de la línea guía. Estas superficies helicoidales se denominan helicoides.

Si el ángulo de inclinación de la generatriz con respecto al eje de rotación es de 90°, entonces la helicoidal se llama recta; si este ángulo es arbitrario, diferente de 0 y 90°, entonces la helicoidal se llama oblicua (oblicua). Las helicoides rectas y oblicuas pueden estar abiertas o cerradas. Para un helicoidal abierto, la generatriz y el eje de rotación son líneas rectas que se cruzan, mientras que para un helicoidal cerrado, líneas rectas que se cruzan. En la Fig. 121 se construyó un marco de helicoidal cerrado recto.

Las superficies helicoidales se utilizan ampliamente en tecnología. Tornillos, resortes, taladros, sinfines para mover materiales a granel, escaleras de caracol: todos ellos tienen superficies helicoidales.

Arroz. 3.15

Las superficies de rotación tienen una aplicación muy amplia en todos los campos de la tecnología. Una superficie de revolución es una superficie resultante de la rotación de una determinada línea generadora. 1 alrededor de una línea fija i- eje de rotación de la superficie (Fig. 3.15). En el dibujo, la superficie de rotación está especificada por su contorno. El contorno de una superficie son las líneas que limitan las áreas de sus proyecciones. Durante la rotación, cada punto de la generatriz describe un círculo cuyo plano es perpendicular al eje. En consecuencia, la línea de intersección de la superficie de rotación con un plano perpendicular al eje es un círculo. Estos círculos se denominan paralelos (figura 3.15). El paralelo del radio más grande se llama ecuador, el más pequeño, garganta. El plano que pasa por el eje de la superficie de rotación se llama meridional, la línea de su intersección con la superficie de rotación se llama meridiano. El meridiano que se encuentra en un plano paralelo al plano de proyecciones se llama meridiano principal. En la práctica de realizar dibujos, se encuentran con mayor frecuencia las siguientes superficies de revolución: cilíndrica, cónica, esférica y toroidal.

Arroz. 3.16

Superficie cilíndrica de revolución.. Como guía A debe tomar un círculo, y como una línea recta b- eje i(Figura 3.16). Entonces encontramos que el generador yo, paralelo al eje i, gira alrededor de este último. Si el eje de rotación es perpendicular al plano horizontal de proyecciones, entonces en PAG 1 superficie cilíndrica se proyecta en un círculo y sobre PAG 3 - en un rectángulo. El meridiano principal de una superficie cilíndrica son dos líneas paralelas.

Figura 3.17

Superficie cónica de rotación. obtenemos girando la generatriz rectilínea yo alrededor del eje i. En este caso, la generatriz yo cruza el eje i en el punto S, llamada parte superior del cono (Fig. 3.17). El meridiano principal de una superficie cónica son dos líneas rectas que se cruzan. Si tomamos como generador un segmento de recta y el eje del cono es perpendicular PAG 1, luego en PAG 1 superficie cónica se proyecta en un círculo y sobre PAG 2 - en un triángulo.

superficie esférica se forma debido a la rotación del círculo alrededor de un eje que pasa por el centro del círculo y se encuentra en su plano (figura 3.18). El ecuador y los meridianos de una superficie esférica son círculos iguales. Por tanto, al proyectar ortogonalmente sobre cualquier plano, la superficie esférica se proyecta formando círculos.

Arroz. 3.18 Cuando un círculo gira alrededor de un eje que se encuentra en el plano de este círculo, pero que no pasa por su centro, se forma una superficie llamada toro (figura 3.19).

Arroz. 3.19

11. PROBLEMAS DE POSICIÓN. PERTENENCIA DE UN PUNTO, RECTA DE UNA SUPERFICIE TEOREMA DE MONGE. Bajo posicional Se refiere a problemas cuya solución nos permite obtener una respuesta sobre si un elemento (punto) o subconjunto (línea) pertenece a un conjunto (superficie). Las tareas posicionales también incluyen tareas de identificación de elementos comunes que pertenecen a varias figuras geométricas. El primer grupo de problemas se puede agrupar bajo el nombre general de problema de membresía. Estos, en particular, incluyen tareas para determinar: 1) si un punto pertenece a una línea; 2) si un punto pertenece a una superficie; 3) si una línea pertenece a una superficie. El segundo grupo incluye problemas de intersección. Este grupo también contiene tres tipos de problemas: 1) sobre la intersección de una línea con una línea; 2) sobre la intersección de una superficie con una superficie 3) sobre la intersección de una línea con una superficie; Pertenencia de un punto a una superficie . El punto principal a la hora de solucionar problemas de esta opción de accesorio es el siguiente: : un punto pertenece a una superficie si pertenece a cualquier línea de esa superficie. En este caso, las líneas deben elegirse lo más simples posible para que sea más fácil construir proyecciones de dicha línea, luego use el hecho de que las proyecciones de un punto que se encuentra en la superficie deben pertenecer a las mismas proyecciones de la línea de este superficie . En la figura se muestra un ejemplo de solución a este problema.. Aquí hay dos soluciones, ya que se pueden dibujar dos líneas simples que pertenecen a la superficie cónica. En el primer caso, se traza una línea recta: la generatriz de la superficie cónica S1 para que pase por cualquier proyección dada del punto C. Por lo tanto, asumimos que el punto C pertenece a la generatriz de la superficie cónica S1 y, por lo tanto, a la superficie cónica misma. En este caso, las proyecciones del mismo nombre del punto C deben recaer sobre las proyecciones correspondientes de esta generatriz. Otra línea más simple es un círculo con un diámetro de 1-2 (el radio de este círculo se mide desde el eje del cono). a la generatriz del contorno). Este hecho se sabe por un curso de geometría escolar: cuando un cono circular se cruza con un plano paralelo a su base, o perpendicular a su eje, se obtendrá un círculo en sección transversal. El segundo método de solución permite encontrar la proyección faltante del punto C, especificada por su proyección frontal, perteneciente a la superficie del cono y coincidiendo en el dibujo con el eje de rotación del cono, sin construir una tercera proyección. Siempre debes tener en cuenta si un punto que se encuentra en la superficie de un cono es visible o invisible (si no es visible, la proyección correspondiente del punto estará entre paréntesis). Es obvio que en nuestro problema el punto C pertenece a la superficie, ya que las proyecciones del punto pertenecen a las proyecciones de las líneas del mismo nombre utilizadas para la solución tanto en el primer como en el segundo método de solución. Perteneciente a una línea de superficie. Punto principal: una recta pertenece a una superficie si todos los puntos de la recta pertenecen a una superficie determinada. Esto significa que en este caso de pertenencia el problema de si un punto pertenece a una superficie debe resolverse varias veces. Torema Monge: si dos superficies de segundo orden se describen alrededor de un tercio o se inscriben en él, entonces la línea de su intersección se divide en dos curvas de segundo orden, cuyos planos pasan por la línea recta que conecta los puntos de intersección del círculo tangente.

12. SECCIONES DEL CONO DE ROTACIÓN POR PLANOS DE PROYECCIÓN . Al cruzar superficies cuerpos mediante planos salientes, una proyección de la sección coincide con la proyección del plano saliente. Un cono puede tener cinco formas de sección transversal diferentes. Triángulo- si el plano de corte cruza el cono a través del vértice a lo largo de dos generadores. Círculo- si el plano corta el cono paralelo a la base (perpendicular al eje). Elipse- si el plano corta todas las generatrices en un ángulo determinado. Parábola- si el plano es paralelo a una de las generatrices del cono. Hipérbole- si el plano es paralelo al eje o a dos generatrices del cono. Sección de una superficie por un plano. es una figura plana delimitada por una línea cerrada, cuyos puntos pertenecen tanto al plano de corte como a la superficie. Cuando un plano interseca a un poliedro en sección, se obtiene un polígono con vértices ubicados en las aristas del poliedro. Ejemplo. Construya proyecciones de la recta L de la intersección de la superficie de un cono circular recto ω con el plano β. Solución. La sección produce una parábola, cuyo vértice se proyecta al punto A (A′, A′′). Los puntos A, D, E de la línea de intersección son extremos. En la Fig. la construcción de la línea de intersección deseada se lleva a cabo utilizando planos horizontales del nivel αi, que cruzan la superficie del cono ω a lo largo de los paralelos pi, y el plano β, a lo largo de segmentos de líneas rectas que se proyectan frontalmente. La línea de intersección L es completamente visible en los planos.

№13.Superficies coaxiales. Método de esferas concéntricas.

Al construir una línea de intersección de superficies, las peculiaridades de la intersección de superficies de revolución coaxiales permiten el uso de esferas coaxiales con estas superficies como superficies intermedias auxiliares. Las superficies coaxiales de rotación incluyen superficies que tienen un eje de rotación común. En la Fig. 134 muestra un cilindro y una esfera coaxiales (Fig. 134, a), un cono y una esfera coaxiales (Fig. 134, b) y un cilindro y un cono coaxiales (Fig. 134, c)

Las superficies de rotación coaxiales siempre se cruzan a lo largo de círculos cuyos planos son perpendiculares al eje de rotación. Hay tantos círculos comunes a ambas superficies como puntos de intersección de las líneas de contorno de las superficies. Superficies en la Fig. 134 se cruzan a lo largo de círculos creados por los puntos 1 y 2 de la intersección de sus meridianos principales. Una esfera intermediaria auxiliar interseca cada una de las superficies dadas a lo largo de un círculo, en cuya intersección se obtienen puntos que pertenecen a la otra superficie y, por tanto, a la recta de intersección. Si los ejes de las superficies se cruzan, entonces las esferas auxiliares se dibujan desde un centro: el punto de intersección de los ejes. En este caso, la línea de intersección de superficies se construye mediante el método de esferas concéntricas auxiliares. Al construir una línea de intersección de superficies utilizando el método de esferas concéntricas auxiliares, se deben cumplir las siguientes condiciones: 1) intersección de superficies de revolución 2) los ejes de las superficies (líneas rectas que se cruzan) son paralelos a uno de los; planos de proyección, es decir, hay un plano de simetría común; 3) en el método no se pueden utilizar planos de corte auxiliares, ya que no proporcionan líneas gráficamente simples en las superficies. Normalmente, el método de la esfera auxiliar se utiliza en combinación con el método del plano de corte auxiliar. En la Fig. 135, se construyó una línea de intersección de dos superficies de rotación cónicas con ejes de rotación que se cruzan en el plano frontal del nivel Ф (Ф1). Esto significa que los meridianos principales de estas superficies se cruzan y en su intersección dan el punto de visibilidad de la línea de intersección con respecto al plano P2 o los puntos más alto A y más bajo B. En la intersección del meridiano horizontal h y el paralelo h", que se encuentran en un plano de corte auxiliar Г(Г2), se determinan los puntos de visibilidad C y D de la línea de intersección con respecto al plano P1. No es apropiado utilizar corte auxiliar planos para construir puntos adicionales de la línea de intersección, ya que los planos paralelos a Ф cruzarán ambas superficies a lo largo de hipérbolas, y los planos paralelos a Г producirán círculos e hipérbolas en la intersección de superficies auxiliares que se proyectan horizontal o frontalmente dibujadas a través del vértice de una. de las superficies las cortarán a lo largo de generatrices y elipses, condiciones que permiten el uso de esferas auxiliares para construir puntos de la línea de intersección. Los ejes de las superficies de revolución se cruzan en el punto O (O1; O2), que es el centro de la línea auxiliar. esferas, el radio de la esfera varía dentro de Rmin.< R < Rmах- Радиус максимальной сферы определяется расстоянием от центра О наиболее удаленной точки В (Rmax = О2В2), а радиус минимальной сферы определяется как радиус сферы, касающейся одной поверхности (по окружности h2) и пересекающей другую (по окружности h3).Плоскости этих окружностей перпендикулярны осям вращения поверхностей. В пересечении этих окружностей получаем точки Е и F, принадлежащие линии пересечения поверхностей:

h22 ^ h32 = E2(F2); E2E1 || A2A1; E2E1^h21 =E1; F2F ^ h1 = F1 Una esfera intermedia de radio R intersecta las superficies a lo largo de los círculos h4 y h5, en cuya intersección están los puntos de Mie N: h42 ^ h52 = M2(N2); M2M1 || A2A1, M2M1^h41 = M1; N2N1 ^ h41 = N1 Conectando las proyecciones de los puntos construidos con el mismo nombre, teniendo en cuenta su visibilidad, obtenemos las proyecciones de la línea de intersección de las superficies.

No 14. construir una línea de intersección de superficies si al menos una de ellas sobresale. Puntos característicos de la línea de intersección.

Antes de comenzar a construir la línea de intersección de superficies, es necesario estudiar cuidadosamente las condiciones del problema, es decir qué superficies se cruzan. Si una de las superficies sobresale, entonces la solución al problema se simplifica, porque en una de las proyecciones la línea de intersección coincide con la proyección de la superficie. Y la tarea se reduce a encontrar la segunda línea de proyección. Al resolver un problema, primero se deben tener en cuenta los puntos “característicos” o “especiales”. Este:

· Puntos en generadores extremos.

· Puntos que dividen una línea en partes visibles e invisibles

· Puntos superior e inferior, etc. A continuación, debemos elegir sabiamente el método que utilizaremos al construir la línea de intersección de superficies. Usaremos dos métodos: 1. Planos de corte auxiliares. 2. esferas secantes auxiliares. Las superficies de proyección incluyen: 1) un cilindro, si su eje es perpendicular al plano de proyección; 2) prisma, si los bordes del prisma son perpendiculares al plano de proyección. La superficie de proyección se proyecta en línea sobre el plano de proyección. Todos los puntos y líneas que pertenecen a la superficie lateral del cilindro saliente o del prisma saliente se proyectan en una línea sobre el plano al que es perpendicular el eje del cilindro o el borde del prisma. La línea de intersección de superficies pertenece a ambas superficies simultáneamente y, si una de estas superficies se proyecta, entonces se puede usar la siguiente regla para construir la línea de intersección: si una de las superficies que se cruzan se proyecta, entonces una proyección de la línea de intersección es en el dibujo en forma terminada y coincide con la proyección de la superficie saliente (el círculo en el que se proyecta el cilindro o el polígono en el que se proyecta el prisma). La segunda proyección de la línea de intersección se construye con la condición de que los puntos de esta línea pertenezcan a otra superficie no saliente.

Las características consideradas de los puntos característicos facilitan verificar la exactitud de la construcción de la línea de intersección de superficies si se construye utilizando puntos seleccionados arbitrariamente. En este caso, diez puntos son suficientes para dibujar proyecciones suaves de la línea de intersección. Si es necesario, se puede construir cualquier número de puntos intermedios. Los puntos construidos se conectan mediante una línea suave, teniendo en cuenta las características de su posición y visibilidad. Formulemos una regla general para construir la línea de intersección de superficies: elija el tipo de superficies auxiliares; construir líneas de intersección de superficies auxiliares con superficies dadas; Encuentra los puntos de intersección de las líneas construidas y conéctalas entre sí. Seleccionamos planos de corte auxiliares de tal manera que en la intersección con las superficies dadas se obtengan líneas geométricamente simples (líneas rectas o círculos). Selección de planos de corte auxiliares. En la mayoría de los casos, como planos de corte auxiliares se eligen planos de proyección, en particular planos nivelados. En este caso, es necesario tener en cuenta las líneas de intersección obtenidas en la superficie como resultado de la intersección de la superficie con un plano. Entonces el cono es la superficie más compleja en cuanto al número de líneas que se obtienen en él. Solo los planos que pasan por el vértice del cono o son perpendiculares al eje del cono lo cruzan, respectivamente, en línea recta y en círculo (geométricamente las líneas más simples). Un plano paralelo a una generatriz la cruza a lo largo de una parábola, un plano paralelo al eje del cono la cruza a lo largo de una hipérbola y un plano que cruza a todas las generatrices e inclinado al eje del cono la cruza a lo largo de una elipse. En una esfera, cuando se cruza con un plano, siempre se obtiene un círculo, y si se cruza con un plano nivelado, este círculo se proyecta sobre el plano de proyección en una línea recta y un círculo, respectivamente. Entonces, como planos auxiliares seleccionamos planos de nivel horizontal que intersectan tanto al cono como a la esfera en círculos (las líneas más simples). Algunos casos especiales de intersecciones de superficies. En algunos casos, la ubicación, la forma o las proporciones dimensionales de las superficies curvas son tales que no se requieren construcciones complejas para representar la línea de su intersección. Estos incluyen la intersección de cilindros con generatrices paralelas, conos con un vértice común, superficies de revolución coaxiales, superficies de revolución descritas alrededor de una esfera.

Ensayos

Al especificar proyectar un objeto con bordes curvos, además de definir un conjunto de puntos, aristas y caras del objeto de proyección, es necesario definir un conjunto de contornos para sus bordes curvos.

Los contornos de una superficie curva son líneas en esa superficie curva que dividen esa superficie en partes que no son visibles y partes que son visibles en el plano de proyección. En este caso, estamos hablando de la proyección únicamente de la superficie curva considerada y no se tiene en cuenta el posible sombreado de esta superficie por otras superficies del primer plano.

Las partes en las que se divide una superficie curva en contornos se llaman compartimentos.

La posición de los contornos de las caras curvilíneas está determinada por los parámetros de proyección, por lo que los contornos deben determinarse después de que se haya completado la transición al sistema de coordenadas de la vista.

Determinar el contorno de una superficie curva, en el caso general, es una tarea relativamente difícil. Por lo tanto, como regla general, una superficie curva dada se aproxima utilizando una de las superficies curvas típicas, que incluyen:

Superficie cilíndrica;

Superficie esférica;

Superficie cónica.

Consideremos encontrar contornos para este tipo de superficies curvas.

Hallazgo bocetos de una superficie esférica ilustrado en la Fig. 6.6‑7.

En la figura se utilizan las siguientes designaciones:

O - centro de la esfera;

O p – proyección del centro de la esfera;

GM – meridiano principal de una esfera determinada;

Pl1 es un plano que pasa por el centro de la esfera, paralelo al plano de proyección;

X in , Y in , Z in – ejes de coordenadas del sistema de coordenadas de la vista;

X p , Y p – ejes de coordenadas en el plano de proyección.

Para encontrar una característica en la superficie de una esfera, es necesario dibujar un plano que pase por el centro de la esfera (pl1 en la Fig. 6.6-7), paralelo al plano de proyección. La línea de intersección de esta superficie y la esfera, que tiene forma de círculo, se llama meridiano principal (PM) de la superficie esférica. Este meridiano principal es el contorno deseado.

La proyección de este ensayo será un círculo del mismo radio. El centro de este círculo es la proyección del centro de la esfera original sobre el plano de proyección (O p en la Fig. 6.7-1).

Arroz.6.7 ‑ 1

Para determinar contorno de una superficie cilíndrica, a través del eje de un cilindro dado o 1 o 2 (Fig. 6.7‑2) se dibuja un plano Pl1, perpendicular al plano de proyección. A continuación, se dibuja el plano Pl2 a través del eje del cilindro, perpendicular al plano Pl1. Sus intersecciones con la superficie cilíndrica forman dos líneas rectas o ch 1 o ch 2 y o ch 3 o ch 4, que son los contornos de la superficie cilíndrica. La proyección de estos bocetos son las líneas rectas o h 1po och 2p y o h 3p o h 4p que se muestran en la Fig. 6.7‑2.

Construcción de ensayos superficie cónica ilustrado en la Fig. 6.7‑3.

En la figura se utilizan las siguientes designaciones:

O - vértice del cono;

OO 1 - eje del cono;

X en , Y en , Z en – sistema de coordenadas de especies;

PP – plano de proyección;

X p , Y p , – sistema de coordenadas del plano de proyección;

Lp – líneas de proyección;

O 1 - centro de una esfera inscrita en un cono;

O 2 – círculo tangente de la esfera inscrita, con centro en el punto O 1, y la superficie cónica original;

O ch 1, O ch 1 – puntos que se encuentran en los contornos de la superficie cónica;

O ch 1p, O ch 1p: puntos por donde pasan las líneas, correspondientes a las proyecciones de los contornos de la superficie cónica.

La superficie cónica tiene dos contornos en forma de líneas rectas. Es obvio que estas líneas pasan por los vértices del cono: el punto O. Por lo tanto, para definir inequívocamente el contorno, es necesario encontrar un punto para cada contorno.

Para construir contornos de una superficie cónica, realice los siguientes pasos.

Se inscribe una esfera en una superficie cónica determinada (por ejemplo, con centro en el punto O 1) y se determina la tangente de esta esfera a la superficie cónica. En el caso considerado en la figura, la línea de tangencia tendrá la forma de un círculo con el centro en el punto O 2 sobre el eje del cono.

Evidentemente, de todos los puntos de la superficie esférica, los puntos pertenecientes a los contornos sólo pueden ser puntos pertenecientes a la circunferencia tangente. Por otra parte, estos puntos deben estar situados en la circunferencia del primer meridiano de la esfera inscrita.

Por tanto, los puntos requeridos serán los puntos de intersección del círculo del primer meridiano de la esfera inscrita y el círculo tangente. Estos puntos se pueden definir como los puntos de intersección de la circunferencia tangente y el plano que pasa por el centro de la esfera inscrita O 1, paralelo al plano de proyección. Dichos puntos en la figura dada son O ch 1 y O ch 2.

Para construir proyecciones de bocetos, basta con encontrar los puntos O ch 1p y O ch 2p, que son proyecciones de los puntos encontrados O ch 1 y O ch 2. en el plano de proyección, y, utilizando estos puntos y el punto O p de la proyección del vértice del cono, construya dos líneas rectas correspondientes a las proyecciones de los contornos de una superficie cónica dada (ver Fig. 6.7-3).