Definición de funciones trigonométricas en términos del círculo unitario. Gráfica de la función coseno, y = cos x

Se dan las relaciones entre las funciones trigonométricas básicas (seno, coseno, tangente y cotangente). fórmulas trigonométricas. Y dado que existen bastantes conexiones entre funciones trigonométricas, esto explica la abundancia de fórmulas trigonométricas. Algunas fórmulas conectan funciones trigonométricas del mismo ángulo, otras, funciones de un ángulo múltiple, otras, le permiten reducir el grado, cuarta, expresan todas las funciones a través de la tangente de un medio ángulo, etc.

En este artículo enumeraremos en orden todas las fórmulas trigonométricas básicas, que son suficientes para resolver la gran mayoría de problemas de trigonometría. Para facilitar la memorización y el uso, los agruparemos por propósito y los ingresaremos en tablas.

Navegación de páginas.

Identidades trigonométricas básicas

Identidades trigonométricas básicas definir la relación entre seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo. Se derivan de la definición de seno, coseno, tangente y cotangente, así como del concepto de círculo unitario. Te permiten expresar una función trigonométrica en términos de cualquier otra.

Para obtener una descripción detallada de estas fórmulas trigonométricas, su derivación y ejemplos de aplicación, consulte el artículo.

Fórmulas de reducción

Fórmulas de reducción se derivan de las propiedades del seno, coseno, tangente y cotangente, es decir, reflejan la propiedad de periodicidad de las funciones trigonométricas, la propiedad de simetría, así como la propiedad de desplazamiento en un ángulo dado. Estas fórmulas trigonométricas le permiten pasar de trabajar con ángulos arbitrarios a trabajar con ángulos que van desde cero hasta 90 grados.

En el artículo se puede estudiar el fundamento de estas fórmulas, una regla mnemotécnica para memorizarlas y ejemplos de su aplicación.

Fórmulas de suma

Fórmulas de suma trigonométrica Muestre cómo las funciones trigonométricas de la suma o diferencia de dos ángulos se expresan en términos de funciones trigonométricas de esos ángulos. Estas fórmulas sirven como base para derivar las siguientes fórmulas trigonométricas.

Fórmulas para doble, triple, etc. ángulo

Fórmulas para doble, triple, etc. ángulo (también se les llama fórmulas de ángulos múltiples) muestran cómo las funciones trigonométricas de doble, triple, etc. Los ángulos () se expresan en términos de funciones trigonométricas de un solo ángulo. Su derivación se basa en fórmulas de suma.

Se recoge información más detallada en el artículo fórmulas para doble, triple, etc. ángulo

Fórmulas de medio ángulo

Fórmulas de medio ángulo Muestre cómo las funciones trigonométricas de un medio ángulo se expresan en términos del coseno de un ángulo entero. Estas fórmulas trigonométricas se derivan de las fórmulas de los ángulos dobles.

Su conclusión y ejemplos de aplicación se pueden encontrar en el artículo.

Fórmulas de reducción de grados.

Fórmulas trigonométricas para reducir grados. están diseñados para facilitar la transición de potencias naturales de funciones trigonométricas a senos y cosenos de primer grado, pero de ángulos múltiples. En otras palabras, te permiten reducir las potencias de funciones trigonométricas al primero.

Fórmulas para la suma y diferencia de funciones trigonométricas.

El objetivo principal fórmulas para la suma y diferencia de funciones trigonométricas es acudir al producto de funciones, lo cual es muy útil a la hora de simplificar expresiones trigonométricas. Estas fórmulas también se utilizan mucho para resolver ecuaciones trigonométricas, ya que permiten factorizar la suma y diferencia de senos y cosenos.

Fórmulas para el producto de senos, cosenos y seno por coseno.

La transición del producto de funciones trigonométricas a una suma o diferencia se realiza mediante las fórmulas del producto de senos, cosenos y seno por coseno.

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Si construimos un círculo unitario con su centro en el origen y establecemos un valor arbitrario para el argumento x0 y contar desde el eje Buey esquina X 0, entonces este ángulo en el círculo unitario corresponde a un cierto punto A(Figura 1) y su proyección sobre el eje Oh habrá un punto METRO. Longitud de la sección om igual al valor absoluto de la abscisa del punto A. Valor del argumento dado x0 valor de función mapeado y= porque X 0 como puntos de abscisas A. En consecuencia, punto EN(X 0 ;en 0) pertenece a la gráfica de la función en= porque X(Figura 2). si el punto A está a la derecha del eje UNED, El seno actual será positivo, pero si está hacia la izquierda será negativo. Pero de todos modos, punto A no puede salir del círculo. Por tanto, el coseno se encuentra en el rango de –1 a 1:

–1 = porque X = 1.

Rotación adicional en cualquier ángulo, múltiplo de 2 pag, punto de retorno A al mismo lugar. Por lo tanto la función y = porque Xpag:

porque( X+ 2pag) = porque X.

Si tomamos dos valores del argumento, iguales en valor absoluto, pero de signo opuesto, X Y - X, encontrar los puntos correspondientes en el círculo una x Y A-x. Como se puede observar en la Fig. 3 su proyección sobre el eje Oh es el mismo punto METRO. Es por eso

porque(– X) = porque ( X),

aquellos. el coseno es una función par, F(–X) = F(X).

Esto significa que podemos explorar las propiedades de la función. y= porque X en el segmento , y luego tener en cuenta su paridad y periodicidad.

En X= 0 punto A se encuentra en el eje Oh, su abscisa es 1 y, por lo tanto, cos 0 = 1. Al aumentar X punto A se mueve alrededor del círculo hacia arriba y hacia la izquierda, su proyección, naturalmente, es solo hacia la izquierda, y en x = pag/2 coseno se vuelve igual a 0. Punto A en este momento se eleva a su altura máxima, y ​​luego continúa moviéndose hacia la izquierda, pero ya descendiendo. Su abscisa disminuye hasta alcanzar el valor más pequeño igual a –1 en X= pag. Así, en el intervalo la función en= porque X disminuye monótonamente de 1 a –1 (Fig. 4, 5).

De la paridad del coseno se deduce que en el intervalo [– pag, 0] la función aumenta monótonamente de –1 a 1, tomando un valor cero en x =–pag/2. Si toma varios períodos, obtendrá una curva ondulada (Fig. 6).

Entonces la función y= porque X toma valores cero en los puntos X= pag/2 + kp, Dónde k – cualquier número entero. Se alcanzan máximos iguales a 1 en los puntos X= 2kp, es decir. en pasos de 2 pag, y mínimos iguales a –1 en los puntos X= pag + 2kp.

Función y = sen x.

En la esquina del círculo unitario X 0 corresponde a un punto A(Figura 7), y su proyección sobre el eje UNED habrá un punto norte.z valor de la función y 0 = pecado x0 definida como la ordenada de un punto A. Punto EN(esquina X 0 ,en 0) pertenece a la gráfica de la función y= pecado X(Figura 8). Está claro que la función y = pecado X periódico, su período es 2 pag:

pecado ( X+ 2pag) = pecado ( X).

Para dos valores de argumento, X Y - , proyecciones de sus puntos correspondientes una x Y A-x por eje UNED ubicado simétricamente con respecto al punto ACERCA DE. Es por eso

pecado(- X) = –pecado ( X),

aquellos. el seno es una función impar, f(– X) = –f( X) (Figura 9).

si el punto A rotar respecto a un punto ACERCA DE en un angulo pag/2 en sentido antihorario (en otras palabras, si el ángulo X aumentado por pag/2), entonces su ordenada en la nueva posición será igual a la abscisa en la antigua. Lo que significa

pecado ( X+ pag/2) = porque X.

De lo contrario, el seno es un coseno “tarde” por pag/2, ya que cualquier valor del coseno se “repetirá” en el seno cuando el argumento aumente en pag/2. Y para construir una gráfica de seno, basta con desplazar la gráfica de coseno en pag/2 hacia la derecha (Fig. 10). Una propiedad extremadamente importante del seno se expresa mediante la igualdad.

El significado geométrico de igualdad se puede ver en la Fig. 11. Aquí X - esto es medio arco AB, como en X - la mitad del acorde correspondiente. Es obvio que a medida que los puntos se acercan A Y EN la longitud de la cuerda se acerca cada vez más a la longitud del arco. De la misma figura es fácil derivar la desigualdad.

|pecado X| x|, verdadero para cualquier X.

Los matemáticos llaman a la fórmula (*) un límite notable. De ahí, en particular, se sigue que el pecado X» X en pequeño X.

Funciones en= tg x,y=ctg X. Las otras dos funciones trigonométricas, tangente y cotangente, se definen más fácilmente como las razones del seno y el coseno que ya conocemos:

Al igual que el seno y el coseno, la tangente y la cotangente son funciones periódicas, pero sus períodos son iguales. pag, es decir. son la mitad del tamaño del seno y el coseno. La razón de esto es clara: si el seno y el coseno cambian de signo, entonces su relación no cambiará.

Dado que el denominador de la tangente contiene un coseno, la tangente no está definida en aquellos puntos donde el coseno es 0, cuando X= pag/2 +kp. En todos los demás puntos aumenta monótonamente. Directo X= pag/2 + kp para tangente son asíntotas verticales. En puntos kp la tangente y la pendiente son 0 y 1, respectivamente (Fig. 12).

La cotangente no está definida donde el seno es 0 (cuando x = kp). En otros puntos disminuye monótonamente y las líneas rectas x = kp – sus asíntotas verticales. En puntos x = pag/2 +kp la cotangente se vuelve 0 y la pendiente en estos puntos es igual a –1 (Fig. 13).

Paridad y periodicidad.

Se llama a una función incluso si F(–X) = F(X). Las funciones coseno y secante son pares, y las funciones seno, tangente, cotangente y cosecante son impares:

Las propiedades de paridad se derivan de la simetría de puntos. PAG un y R-a (Fig. 14) respecto al eje X. Con tal simetría, la ordenada del punto cambia de signo (( X;en) va a ( X; –у)). Todas las funciones: periódica, seno, coseno, secante y cosecante tienen un período de 2 pag, y tangente y cotangente - pag:

La periodicidad del seno y el coseno se deriva del hecho de que todos los puntos PAG un+2 kp, Dónde k= 0, ±1, ±2,…, coinciden, y la periodicidad de la tangente y cotangente se debe a que los puntos PAG un + kp caen alternativamente en dos puntos diametralmente opuestos del círculo, dando el mismo punto en el eje tangente.

Las principales propiedades de las funciones trigonométricas se pueden resumir en una tabla:

Fórmulas de reducción.

Según estas fórmulas, el valor de la función trigonométrica del argumento a, donde pag/2 a p , se puede reducir al valor de la función argumento a , donde 0 a p /2, ya sea igual o complementario.

Argumento b	-a	+ un	pag-a	pag+ un	+ un	+ un	2pag-a
pecado b	porque un	porque un	pecado un	–pecado un	–porque un	–porque un	–pecado un
porque b	pecado un	–pecado un	–porque un	–porque un	–pecado un	pecado un	porque un

Por lo tanto, en las tablas de funciones trigonométricas, los valores se dan solo para ángulos agudos, y basta con limitarnos, por ejemplo, al seno y la tangente. La tabla muestra solo las fórmulas más utilizadas para seno y coseno. A partir de estos es fácil obtener fórmulas para tangente y cotangente. Al convertir una función a partir de un argumento de la forma kp/2 ± a, donde k– un número entero, a una función del argumento a:

1) el nombre de la función se guarda si k incluso, y cambia a "complementario" si k extraño;

2) el signo del lado derecho coincide con el signo de la función reducible en el punto kp/2 ± a si el ángulo a es agudo.

Por ejemplo, al emitir ctg (a – pag/2) nos aseguramos de que a – pag/2 en 0 a p /2 está en el cuarto cuadrante, donde la cotangente es negativa y, según la regla 1, cambiamos el nombre de la función: ctg (a – pag/2) = –tg a .

Fórmulas de suma.

Fórmulas para múltiples ángulos.

Estas fórmulas se derivan directamente de las fórmulas de suma:

sen 2a = 2 sen a cos a ;

cos 2a = cos 2 a – sen 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sen 2 a ;

pecado 3a = 3 pecado a – 4 pecado 3 a ;

porque 3a = 4 porque 3 a – 3 porque a ;

François Viète utilizó la fórmula del cos 3a para resolver la ecuación cúbica. Fue el primero en encontrar expresiones para cos. norte un y pecado norte a, que luego se obtuvieron de forma más sencilla a partir de la fórmula de Moivre.

Si reemplaza a con /2 en fórmulas de doble argumento, se pueden convertir en fórmulas de medio ángulo:

Fórmulas de sustitución universales.

Usando estas fórmulas, una expresión que involucra diferentes funciones trigonométricas del mismo argumento se puede reescribir como una expresión racional de una sola función tg (a /2), esto puede ser útil al resolver algunas ecuaciones:

Fórmulas para convertir sumas en productos y productos en sumas.

Antes de la llegada de las computadoras, estas fórmulas se utilizaban para simplificar los cálculos. Los cálculos se realizaron utilizando tablas logarítmicas y, posteriormente, una regla de cálculo, porque los logaritmos son los más adecuados para multiplicar números, por lo que todas las expresiones originales se llevaron a una forma conveniente para la logaritmización, es decir a obras, por ejemplo:

2 pecado a pecado b = porque ( a–b) – porque ( a+b);

2cos a porque b=cos( a–b) + porque ( a+b);

2 pecado a porque b= pecado ( a–b) + pecado ( a+b).

Las fórmulas para las funciones tangente y cotangente se pueden obtener a partir de lo anterior.

Fórmulas de reducción de grados.

De las fórmulas de argumentos múltiples se derivan las siguientes fórmulas:

Usando estas fórmulas, las ecuaciones trigonométricas se pueden reducir a ecuaciones de grados inferiores. De la misma manera, podemos derivar fórmulas de reducción para potencias superiores de seno y coseno.

Cada función trigonométrica en cada punto de su dominio de definición es continua e infinitamente diferenciable. Además, las derivadas de funciones trigonométricas son funciones trigonométricas y, cuando se integran, también se obtienen funciones trigonométricas o sus logaritmos. Las integrales de combinaciones racionales de funciones trigonométricas son siempre funciones elementales.

Representación de funciones trigonométricas en forma de series de potencias y productos infinitos.

Todas las funciones trigonométricas se pueden desarrollar en series de potencias. En este caso, las funciones sen X bcos X se presentan en filas. convergente para todos los valores X:

Estas series se pueden utilizar para obtener expresiones aproximadas del pecado. X y porque X en valores pequeños X:

en | x| p/2;

en 0x| pag

(B norte – números de Bernoulli).

funciones de pecado X y porque X se puede representar en forma de infinitos productos:

Sistema trigonométrico 1, cos X,pecado X, porque 2 X, pecado 2 X,¼,cos nx,pecado nx, ¼, se forma en el segmento [– pag, pag] un sistema ortogonal de funciones, que permite representar funciones en forma de series trigonométricas.

se definen como continuaciones analíticas de las funciones trigonométricas correspondientes del argumento real en el plano complejo. si, pecado z y porque z se puede definir usando series para el pecado X y porque X, si en cambio X poner z:

Estas series convergen en todo el plano, por lo que sen z y porque z- funciones completas.

La tangente y la cotangente están determinadas por las fórmulas:

funciones tg z y ctg z– funciones meromórficas. postes tg z y segundo z– simple (1er orden) y ubicado en puntos z = pag/2 + pn, polos ctg z y cosec z– también simple y ubicado en puntos z = pn, norte = 0, ±1, ±2,…

Todas las fórmulas que son válidas para funciones trigonométricas de un argumento real también lo son para una compleja. En particular,

pecado(- z) = –pecado z,

porque(– z) = porque z,

tg(– z) = –tg z,

ctg(– z) = –ctg z,

aquellos. Se conservan las paridades pares e impares. Las fórmulas también se guardan.

pecado ( z + 2pag) = pecado z, (z + 2pag) = porque z, (z + pag) = tg z, (z + pag) = ctg z,

aquellos. también se conserva la periodicidad y los períodos son los mismos que para las funciones de un argumento real.

Las funciones trigonométricas se pueden expresar en términos de una función exponencial de un argumento puramente imaginario:

Atrás, e iz expresado en términos de cos z y el pecado z según la fórmula:

e iz= porque z + i pecado z

Estas fórmulas se llaman fórmulas de Euler. Leonhard Euler los desarrolló en 1743.

Las funciones trigonométricas también se pueden expresar en términos de funciones hiperbólicas:

z = –i sh es, cos z = ch iz, z = –i th iz.

donde sh, ch y th son seno, coseno y tangente hiperbólicos.

Funciones trigonométricas de argumento complejo. z = x + iy, Dónde X Y y– los números reales, se pueden expresar mediante funciones trigonométricas e hiperbólicas de argumentos reales, por ejemplo:

pecado ( x + iy) = pecado X ch y + i porque X sh y;

porque( x + iy) = porque X ch y + i pecado X sh y.

El seno y el coseno de un argumento complejo pueden tomar valores reales mayores que 1 en valor absoluto. Por ejemplo:

Si un ángulo desconocido entra en una ecuación como argumento de funciones trigonométricas, entonces la ecuación se llama trigonométrica. Estas ecuaciones son tan comunes que sus métodos Las soluciones son muy detalladas y están cuidadosamente diseñadas. CON Utilizando diversas técnicas y fórmulas, las ecuaciones trigonométricas se reducen a ecuaciones de la forma F(X)= un, Dónde F– cualquiera de las funciones trigonométricas más simples: seno, coseno, tangente o cotangente. Luego expresa el argumento. X esta función a través de su valor conocido A.

Como las funciones trigonométricas son periódicas, lo mismo A del rango de valores hay infinitos valores del argumento, y las soluciones de la ecuación no se pueden escribir como una única función de A. Por lo tanto, en el dominio de definición de cada una de las funciones trigonométricas principales, se selecciona una sección en la que toma todos sus valores, cada uno una sola vez, y en esta sección se encuentra la función inversa a ella. Estas funciones se denotan agregando el prefijo arco (arco) al nombre de la función original y se denominan trigonométrica inversa. funciones o simplemente funciones de arco.

Funciones trigonométricas inversas.

Por el pecado X, porque X, tg X y ctg X Se pueden definir funciones inversas. En consecuencia, se denotan por arcoseno. X(lea "arcoseno" X"), arcos X, arctán X y arcctg X. Por definición, arcosen X hay tal numero y, Qué

pecado en = X.

Lo mismo ocurre con otras funciones trigonométricas inversas. Pero esta definición adolece de cierta inexactitud.

Si reflejas el pecado X, porque X, tg X y ctg X con respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante del plano coordenado, entonces las funciones, debido a su periodicidad, se vuelven ambiguas: un número infinito de ángulos corresponden al mismo seno (coseno, tangente, cotangente).

Para eliminar la ambigüedad, una sección de la curva con un ancho de pag, en este caso es necesario que se mantenga una correspondencia uno a uno entre el argumento y el valor de la función. Se seleccionan áreas cercanas al origen de las coordenadas. Para seno en Como “intervalo uno a uno” tomamos el segmento [– pag/2, pag/2], en el que el seno aumenta monótonamente de –1 a 1, para el coseno – el segmento, para la tangente y cotangente, respectivamente, los intervalos (– pag/2, pag/2) y (0, pag). Cada curva en el intervalo se refleja con respecto a la bisectriz y ahora se pueden determinar funciones trigonométricas inversas. Por ejemplo, supongamos que se dé el valor del argumento. x0, tal que 0 Ј X 0 Ј 1. Entonces el valor de la función. y 0 = arcosen X 0 solo habrá un significado en 0 , tal que - pag/2 Ј en 0 Ј pag/2 y X 0 = pecado y 0 .

Por tanto, el arcoseno es función del arcosen. A, definido en el intervalo [–1, 1] e igual para cada A a tal valor a , – pag/2 a p /2 que sen a = A. Es muy conveniente representarlo mediante un círculo unitario (Fig. 15). Cuando | un | 1 en una circunferencia hay dos puntos con ordenada a, simétrico respecto al eje Ud. Uno de ellos corresponde al ángulo a= arcosen A, y el otro es la esquina pag - a. CON teniendo en cuenta la periodicidad del seno, resolviendo la ecuación sen X= A está escrito de la siguiente manera:

x =(–1)norte arcosin a + 2pn,

Dónde norte= 0, ±1, ±2,...

Otras ecuaciones trigonométricas simples se pueden resolver de la misma forma:

porque X = a, –1 =a= 1;

x =±arcos a + 2pn,

Dónde PAG= 0, ±1, ±2,... (Fig. 16);

tg X = a;

X= arctán a + pag norte,

Dónde norte = 0, ±1, ±2,... (Fig.17);

ctg X= A;

X= arcctg a + pag norte,

Dónde norte = 0, ±1, ±2,... (Fig.18).

Propiedades básicas de funciones trigonométricas inversas:

arcosin X(Fig. 19): dominio de definición – segmento [–1, 1]; rango - [- pag/2, pag/2], función monótonamente creciente;

arccos X(Fig. 20): dominio de definición – segmento [–1, 1]; rango - ; función monótonamente decreciente;

arctg X(Fig. 21): dominio de definición – todos los números reales; rango de valores – intervalo (– pag/2, pag/2); función monótonamente creciente; derecho en= –pag/2 y y = pag /2 – asíntotas horizontales;

arcctg X(Fig. 22): dominio de definición – todos los números reales; rango de valores – intervalo (0, pag); función monótonamente decreciente; derecho y= 0 y y = pag– asíntotas horizontales.

Para cualquiera z = x + iy, Dónde X Y y son números reales, las desigualdades se mantienen

½| e\e y–e-y| ≤|pecado z|≤½( e y +e-y),

½| e y–e-y| ≤|cos z|≤½( e y +e -y),

de los cuales en y® Ґ siguen fórmulas asintóticas (uniformemente con respecto a X)

|pecado z| » 1/2 mi |y| ,

|porque z| » 1/2 mi |y| .

Las funciones trigonométricas aparecieron por primera vez en relación con la investigación en astronomía y geometría. Las razones de los segmentos de un triángulo y un círculo, que son esencialmente funciones trigonométricas, se encuentran ya en el siglo III. antes de Cristo mi. en las obras de los matemáticos de la antigua Grecia. – Euclides, Arquímedes, Apolonio de Perga y otros, sin embargo, estas relaciones no eran un objeto de estudio independiente, por lo que no estudiaron las funciones trigonométricas como tales. Inicialmente fueron considerados como segmentos y en esta forma fueron utilizados por Aristarco (finales del siglo IV - segunda mitad del siglo III a. C.), Hiparco (siglo II a. C.), Menelao (siglo I d. C.) y Ptolomeo (siglo II d. C.) cuando. Resolver triángulos esféricos. Ptolomeo compiló la primera tabla de cuerdas para ángulos agudos cada 30" con una precisión de 10 –6. Esta fue la primera tabla de senos. Como proporción, la función sin a ya se encuentra en Aryabhata (finales del siglo V). Las funciones tg a y ctg a se encuentran en al-Battani (segunda mitad del siglo IX - principios del X) y Abul-Vefa (siglo X), quien también usa sec a y cosec a Aryabhata ya conocía la fórmula (sin 2 a + cos 2 a) = 1, así como fórmulas para el seno y el cos de un medio ángulo, con la ayuda de las cuales construí tablas de senos para ángulos de hasta 3°45"; basado en los valores conocidos de funciones trigonométricas para los argumentos más simples. Bhaskara (siglo XII) dio un método para construir tablas en términos de 1 usando fórmulas de suma. Regiomontanus (siglo XV) y J. Napier derivaron fórmulas para convertir la suma y la diferencia de funciones trigonométricas de varios argumentos en un producto en relación con la invención de los logaritmos (1614) de este último. Regiomontan dio una tabla de valores del seno en términos de 1". La expansión de las funciones trigonométricas en series de potencias fue obtenida por I. Newton (1669). La teoría de las funciones trigonométricas fue llevada a su forma moderna por L. Euler ( Siglo XVIII). Posee su definición de argumentos reales y complejos, aceptado ahora como simbolismo, estableciendo conexiones con la función exponencial y la ortogonalidad del sistema de senos y cosenos.

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Funciones trigonométricas- funciones elementales que surgieron históricamente al considerar triángulos rectángulos y expresaron la dependencia de los lados de estos triángulos de los ángulos agudos en la hipotenusa (o, de manera equivalente, la dependencia de las cuerdas y alturas del ángulo central (arco) en un círculo). Estas funciones han encontrado una amplia aplicación en diversos campos de la ciencia. Posteriormente, se amplió la definición de funciones trigonométricas, su argumento ahora puede ser un número real arbitrario o incluso un número complejo. La ciencia que estudia las propiedades de las funciones trigonométricas se llama trigonometría.

Las funciones trigonométricas incluyen:

Funciones trigonométricas directas

• seno ( $\backslash pecado\; x$)
• coseno ( $\backslash cos\; x$)

• tangente ( $\backslash mathrm(tg)\backslash ,\; x$)
• cotangente ( $\backslash mathrm(ctg)\backslash ,\; x$)

• secante ( $\backslash segx$)
• cosecante ( $\backslash mathrm(cosec)\backslash ,\; x$)

En la literatura occidental, se denotan tangente, cotangente y cosecante. $\backslash tan\; x,\; \backslash cot\; x,\; \backslash csc\; x$.

Además de estas seis, también hay algunas funciones trigonométricas poco utilizadas (verseno, etc.), así como funciones trigonométricas inversas (arco seno, arco coseno, etc.), que se tratan en artículos separados.

El seno y el coseno del argumento real son funciones periódicas y de valores infinitamente reales. Las cuatro funciones restantes en el eje real también son de valor real, periódicas e infinitamente diferenciables en el dominio de la definición, pero no continuas. La tangente y la secante tienen discontinuidades de segundo tipo en los puntos $\backslash pm\; \backslash pi\; n\; +\; \backslash frac(\backslash pi)(2)$, y la cotangente y la cosecante están en los puntos $\backslash pm\backslash pi\; n$.
Las gráficas de funciones trigonométricas se muestran en la Fig. 1.

Métodos de determinación

Definición geométrica

Normalmente las funciones trigonométricas se definen geométricamente. Tengamos un sistema de coordenadas cartesiano en un plano y construyamos un círculo de radio $R$ centrado en el origen $oh$. Cualquier ángulo puede considerarse como una rotación desde la dirección positiva del eje x hasta algún rayo. $TRANSMISIÓN\; EXTERIOR.$, mientras que el sentido de rotación en sentido antihorario se considera positivo y el sentido de rotación en sentido horario se considera negativo. Puntos de abscisa $B$ vamos a denotar $x\_B$, denotamos la ordenada $y\_B$(ver imagen).

• El seno es la razón. $\backslash sin\; \backslash alpha=\backslash frac(y\_B)(R).$
• El coseno es la razón. $\backslash cos\; \backslash alpha=\backslash frac(x\_B)(R).$
• La tangente se define como $\backslash operatorname(tg)\; \backslash alpha=\backslash frac(\backslash sin\backslash alpha)(\backslash cos\backslash alpha)=\backslash frac(y\_B)(x\_B).$
• La cotangente se define como $\backslash operatorname(ctg)\; \backslash alpha=\backslash frac(\backslash cos\backslash alpha)(\backslash sin\backslash alpha)=\backslash frac(x\_B)(y\_B).$
• La secante se define como $\backslash sec\; \backslash alpha=\backslash frac(1)(\backslash cos\backslash alpha)=\backslash frac(R)(x\_B).$
• La cosecante se define como $\backslash operatorname(cosec)\; \backslash alpha=\backslash frac(1)(\backslash sin\backslash alpha)=\backslash frac(R)(y\_B).$

Está claro que los valores de las funciones trigonométricas no dependen del tamaño del radio del círculo. $R$ debido a las propiedades de figuras similares. A menudo, este radio se toma igual al tamaño de un segmento unitario, entonces el seno es simplemente igual a la ordenada $y\_B$, y el coseno es la abscisa $x\_B$. La Figura 3 muestra las magnitudes de las funciones trigonométricas para el círculo unitario.

Las funciones trigonométricas son funciones con períodos. $2\backslash pi\; ~\; (360^\backslash circ)$ para seno, coseno, secante y cosecante, y $\backslash pi~(180^\backslash circ)$ para tangente y cotangente.
Las funciones trigonométricas de cualquier ángulo se pueden reducir a funciones trigonométricas de un ángulo agudo, utilizando su periodicidad y las llamadas. Esto es necesario, por ejemplo, para encontrar los valores de funciones trigonométricas a partir de tablas, ya que las tablas suelen dar valores sólo para ángulos agudos.

Estudio de funciones en análisis matemático.

Definición de funciones trigonométricas como soluciones a ecuaciones diferenciales.

Funciones coseno Y seno se puede definir como soluciones pares (coseno) e impares (seno) de la ecuación diferencial

$\backslash frac(d^2)(d\backslash varphi^2)R(\backslash varphi)\; =\; -\; R(\backslash varphi),$

con condiciones adicionales $R(0)\; =\; 1$ para coseno y $R"(0)\; =\; 1$ para seno, es decir, como funciones de una variable, cuya segunda derivada es igual a la función misma, tomada con un signo menos:

$\backslash \; \backslash izquierda(\backslash cos\; x\backslash derecha)$= - \cos x, $\backslash \; \backslash izquierda(\backslash sin\; x\backslash derecha)$= - \sin x.

Definición de funciones trigonométricas como soluciones a ecuaciones funcionales.

Funciones coseno Y seno se pueden definir como soluciones ( $F$ Y $gramo$ respectivamente) sistemas de ecuaciones funcionales:

bajo condiciones adicionales

$f(x)^2\; +\; gramo(x)^2\; =\; 1,$ $gramo(\backslash pi/2)\; =\; 1,$ Y

Definición de funciones trigonométricas mediante series.

Usando la geometría y las propiedades de los límites, se puede demostrar que la derivada del seno es igual al coseno y que la derivada del coseno es igual a menos el seno. Luego puedes usar la teoría de las series de Taylor y representar el seno y el coseno como series de potencias:

$\backslash sin\; x=x-\backslash frac(x^3)(3+\backslash frac\{x^5\}\{5!\}-\backslash frac\{x^7\}\{7!\}+\backslash frac\{x^9\}\{9!\}-\backslash cdots\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash frac\{(-1)^nx^\{2n+1\}\}\{(2n+1)!\},!\}$ $\backslash cos\; x=1-\backslash frac(x^2)(2+\backslash frac\{x^4\}\{4!\}-\backslash frac\{x^6\}\{6!\}+\backslash frac\{x^8\}\{8!\}-\backslash cdots\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash frac\{(-1)^nx^\{2n\}\}\{(2n)!\}.!\}$

Usando estas fórmulas, así como las igualdades. $\backslash operatorname(tg)\backslash ,x=\backslash frac(\backslash sin\; x)(\backslash cos\; x),$ $\backslash operatorname(ctg)\backslash ,x=\backslash frac(\backslash cos\; x)(\backslash sin\; x),$ $\backslash sec\; x=\backslash frac(1)(\backslash cos\; x)$ Y $\backslash operatorname(cosec)\backslash ,x=\backslash frac(1)(\backslash sin\; x),$ Puedes encontrar desarrollos en serie de otras funciones trigonométricas:

$\backslash int\backslash sin\; x\backslash ,\; dx\; =\; -\backslash cos\; x\; +\; C\backslash ,$

$\backslash int\backslash cos\; x\backslash ,\; dx\; =\; \backslash sin\; x\; +\; C\backslash ,$

$\backslash int\backslash mathop(\backslash operatorname(tg))\backslash ,\; x\backslash ,\; dx\; =\; -\backslash ln\; \backslash left|\; \backslash cos\; x\backslash derecha|\; +C\backslash ,$

$\backslash int\backslash mathop(\backslash operatorname(ctg))\backslash ,\; x\backslash ,\; dx\; =\; \backslash ln\; \backslash left|\; \backslash sin\; x\; \backslash right|\; +C\backslash ,$

$\backslash int\backslash sec\; x\backslash ,\; dx=\backslash ln\; \backslash left|\; \backslash operatorname(tg)\; \backslash ,\; \backslash left(\backslash frac\; (\backslash pi)(4)+\backslash frac(x)(2)\backslash right)\; \backslash right|+\; C\; \backslash ,$

$\backslash int\; \backslash nombredeloperador(cosec)~\; x\backslash ,\; dx=\backslash ln\; \backslash left|\; \backslash operatorname(tg)\; \backslash ,\; \backslash frac(x)(2)\; \backslash right|+\; C.$

Valores de funciones trigonométricas para algunos ángulos.

En la tabla se dan los valores de seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante para algunos ángulos. (“∞” significa que la función en el punto especificado no está definida, pero tiende al infinito en sus proximidades).

Valores de funciones trigonométricas de ángulos no estándar.

Valores de funciones trigonométricas para algunos otros ángulos.

$\backslash sin\; \backslash frac(\backslash pi)(60)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(29\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash sin\; 3^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 87^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(2)(\; \backslash sqrt(3)+1)(\backslash sqrt(5)-1)-2(\backslash sqrt(3)-1)\backslash sqrt(5+\backslash sqrt(5)$

}{16},

$\backslash cos\; \backslash frac(\backslash pi)(60)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(29\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash cos\; 3^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 87^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(2)(\; \backslash sqrt(3)-1)(\backslash sqrt(5)-1)+2(\backslash sqrt(3)+1)\backslash sqrt(5+\backslash sqrt(5)))(16),$

$\backslash nombreoperador(tg)\; \backslash frac(\backslash pi)(60)\; =\; \backslash nombreoperador(ctg)\; \backslash frac(29\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash nombreoperador(tg)\; 3^\backslash circ\; =\; \backslash nombreoperador(ctg)\; 87^\; \backslash circ\; =\; \backslash frac(2(\backslash sqrt(5)+2)-\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)+3)+(2-\backslash sqrt(3))(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt\; (5)+1)-2)\backslash sqrt(5-2\backslash sqrt(5)))(2),$

$\backslash nombreoperador(ctg)\; \backslash frac(\backslash pi)(60)\; =\; \backslash nombreoperador(tg)\; \backslash frac(29\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash nombreoperador(ctg)\; 3^\backslash circ\; =\; \backslash nombreoperador(tg)\; 87^\; \backslash circ\; =\; \backslash frac(2(2(\backslash sqrt(5)+2)+\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)+3))+(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)-1)\; +2)\backslash sqrt(2(25+11\backslash sqrt(5))))(4),$

$\backslash sin\; \backslash frac(\backslash pi)(30)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(15)\; =\; \backslash sin\; 6^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 84^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(6(5)\; -\backslash sqrt(5)))-\backslash sqrt(5)-1)(8),$

$\backslash cos\; \backslash frac(\backslash pi)(30)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(15)\; =\; \backslash cos\; 6^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 84^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(2(5)\; -\backslash sqrt(5)))+\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)+1))(8),$

$\backslash nombreoperador(tg)\; \backslash frac(\backslash pi)(30)\; =\; \backslash nombreoperador(ctg)\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(15)\; =\; \backslash nombreoperador(tg)\; 6^\backslash circ\; =\; \backslash nombreoperador(ctg)\; 84^\; \backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(2(5-\backslash sqrt(5)))-\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)-1))(2),$

$\backslash nombredeloperador(ctg)\; \backslash frac(\backslash pi)(30)\; =\; \backslash nombredeloperador(tg)\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(15)\; =\; \backslash nombredeloperador(ctg)\; 6^\backslash circ\; =\; \backslash nombredeloperador(tg)\; 84^\; \backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(2(25+11\backslash sqrt(5)))+\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)+3))(2),$

$\backslash sin\; \backslash frac(\backslash pi)(20)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(9\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash sin\; 9^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 81^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(2)(\; \backslash sqrt(5)+1)-2\backslash sqrt(5-\backslash sqrt(5)))(8),$

$\backslash cos\; \backslash frac(\backslash pi)(20)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(9\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash cos\; 9^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 81^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(2)(\; \backslash sqrt(5)+1)+2\backslash sqrt(5-\backslash sqrt(5)))(8),$

$\backslash nombreoperador(tg)\; \backslash frac(\backslash pi)(20)\; =\; \backslash nombreoperador(ctg)\; \backslash frac(9\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash nombreoperador(tg)\; 9^\backslash circ\; =\; \backslash nombreoperador(ctg)\; 81^\; \backslash circ\; =\; (\backslash sqrt(5)+1-\backslash sqrt(5+2\backslash sqrt(5))),$

$\backslash nombreoperador(ctg)\; \backslash frac(\backslash pi)(20)\; =\; \backslash nombreoperador(tg)\; \backslash frac(9\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash nombreoperador(ctg)\; 9^\backslash circ\; =\; \backslash nombreoperador(tg)\; 81^\; \backslash circ\; =\; (\backslash sqrt(5)+1+\backslash sqrt(5+2\backslash sqrt(5))),$

$\backslash sin\; \backslash frac(\backslash pi)(15)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(13\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash sin\; 12^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 78^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(2(5)\; +\backslash sqrt(5)))-\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)-1))(8),$

$\backslash cos\; \backslash frac(\backslash pi)(15)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(13\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash cos\; 12^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 78^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(6(5)\; +\backslash sqrt(5)))+\backslash sqrt(5)-1)(8),$

$\backslash nombredeloperador(tg)\; \backslash frac(\backslash pi)(15)\; =\; \backslash nombredeloperador(ctg)\; \backslash frac(13\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash nombredeloperador(tg)\; 12^\backslash circ\; =\; \backslash nombredeloperador(ctg)\; 78^\; \backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(3)(3-\backslash sqrt(5))-\backslash sqrt(2(25-11\backslash sqrt(5))))(2),$

$\backslash nombredeloperador(ctg)\; \backslash frac(\backslash pi)(15)\; =\; \backslash nombredeloperador(tg)\; \backslash frac(13\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash nombredeloperador(ctg)\; 12^\backslash circ\; =\; \backslash nombredeloperador(tg)\; 78^\; \backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)+1)+\backslash sqrt(2(5+\backslash sqrt(5))))(2),$

$\backslash sin\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(23\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash sin\; 21^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 69^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-\backslash sqrt\; (2)(\backslash sqrt(3)-1)(\backslash sqrt(5)+1)+2(\backslash sqrt(3)+1)\backslash sqrt(5-\backslash sqrt(5)))(16),$

$\backslash cos\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(23\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash cos\; 21^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 69^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(\; 2)(\backslash sqrt(3)+1)(\backslash sqrt(5)+1)+2(\backslash sqrt(3)-1)\backslash sqrt(5-\backslash sqrt(5)))(16),$

$\backslash nombreoperador(tg)\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash nombreoperador(ctg)\; \backslash frac(23\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash nombreoperador(tg)\; 21^\backslash circ\; =\; \backslash nombreoperador(ctg\; )\; 69^\backslash circ\; =\; \backslash frac(2(2(\backslash sqrt(5)-2)-\backslash sqrt(3)(3-\backslash sqrt(5)))+(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)\; +1)-2)\backslash sqrt(2(25-11\backslash sqrt(5))))(4),$

$\backslash nombreoperador(ctg)\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash nombreoperador(tg)\; \backslash frac(23\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash nombreoperador(ctg)\; 21^\backslash circ\; =\; \backslash nombreoperador(tg\; )\; 69^\backslash circ\; =\; \backslash frac(2(2(\backslash sqrt(5)-2)+\backslash sqrt(3)(3-\backslash sqrt(5)))+(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)\; +1)+2)\backslash sqrt(2(25-11\backslash sqrt(5))))(4),$

$\backslash sin\; \backslash frac(2\backslash ,\backslash pi)(15)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(11\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash sin\; 24^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 66^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(\; 3)(\backslash sqrt(5)+1)-\backslash sqrt(2(5-\backslash sqrt(5))))(8),$

$\backslash cos\; \backslash frac(2\backslash ,\backslash pi)(15)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(11\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash cos\; 24^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 66^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(\; 5)+1+\backslash sqrt(6(5-\backslash sqrt(5))))(8),$

$\backslash nombreoperador(tg)\; \backslash frac(2\backslash ,\backslash pi)(15)\; =\; \backslash nombreoperador(ctg)\; \backslash frac(11\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash nombreoperador(tg)\; 24^\backslash circ\; =\; \backslash nombreoperador(ctg\; )\; 66^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-\backslash sqrt(3)(3+\backslash sqrt(5))+\backslash sqrt(2(25+11\backslash sqrt(5))))(2),$

$\backslash nombreoperador(ctg)\; \backslash frac(2\backslash ,\backslash pi)(15)\; =\; \backslash nombreoperador(tg)\; \backslash frac(11\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash nombreoperador(ctg)\; 24^\backslash circ\; =\; \backslash nombreoperador(tg\; )\; 66^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)-1)+\backslash sqrt(2(5-\backslash sqrt(5))))(2),$

$\backslash sin\; \backslash frac(3\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash sin\; 27^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 63^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-\backslash sqrt\; (2)(\backslash sqrt(5)-1)+2\backslash sqrt(5+\backslash sqrt(5)))(8),$

$\backslash cos\; \backslash frac(3\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash cos\; 27^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 63^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(\; 2)(\backslash sqrt(5)-1)+2\backslash sqrt(5+\backslash sqrt(5)))(8),$

$\backslash nombreoperador(tg)\; \backslash frac(3\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash nombreoperador(ctg)\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash nombreoperador(tg)\; 27^\backslash circ\; =\; \backslash nombreoperador(ctg\; )\; 63^\backslash circ\; =\; (\backslash sqrt(5)-1-\backslash sqrt(5-2\backslash sqrt(5))),$

$\backslash nombreoperador(ctg)\; \backslash frac(3\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash nombreoperador(tg)\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash nombreoperador(ctg)\; 27^\backslash circ\; =\; \backslash nombreoperador(tg\; )\; 63^\backslash circ\; =\; (\backslash sqrt(5)-1+\backslash sqrt(5-2\backslash sqrt(5))),$

$\backslash sin\; \backslash frac(11\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(19\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash sin\; 33^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 57^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(\; 2)(\backslash sqrt(3)+1)(\backslash sqrt(5)-1)+2(\backslash sqrt(3)-1)\backslash sqrt(5+\backslash sqrt(5)))(16),$

$\backslash cos\; \backslash frac(11\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(19\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash cos\; 33^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 57^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-\backslash sqrt\; (2)(\backslash sqrt(3)-1)(\backslash sqrt(5)-1)+2(\backslash sqrt(3)+1)\backslash sqrt(5+\backslash sqrt(5)))(16),$

$\backslash nombreoperador(tg)\; \backslash frac(11\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash nombreoperador(ctg)\; \backslash frac(19\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash nombreoperador(tg)\; 33^\backslash circ\; =\; \backslash nombreoperador(ctg\; )\; 57^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-2(\backslash sqrt(5)+2)+\backslash sqrt(3)(3+\backslash sqrt(5))+(2-\backslash sqrt(3))(\backslash sqrt(3\; )(\backslash sqrt(5)+1)-2)\backslash sqrt(5-2\backslash sqrt(5)))(2),$

$\backslash nombreoperador(ctg)\; \backslash frac(11\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash nombreoperador(tg)\; \backslash frac(19\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash nombreoperador(ctg)\; 33^\backslash circ\; =\; \backslash nombreoperador(tg\; )\; 57^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-2(2(\backslash sqrt(5)+2)+\backslash sqrt(3)(3+\backslash sqrt(5)))+(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5\; )-1)+2)\backslash sqrt(2(25+11\backslash sqrt(5))))(4),$

$\backslash sin\; \backslash frac(13\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(17\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash sin\; 39^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 51^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(\; 2)(\backslash sqrt(3)+1)(\backslash sqrt(5)+1)-2(\backslash sqrt(3)-1)\backslash sqrt(5-\backslash sqrt(5)))(16),$

$\backslash cos\; \backslash frac(13\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(17\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash cos\; 39^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 51^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(\; 2)(\backslash sqrt(3)-1)(\backslash sqrt(5)+1)+2(\backslash sqrt(3)+1)\backslash sqrt(5-\backslash sqrt(5)))(16),$

$\backslash nombreoperador(tg)\; \backslash frac(13\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash nombreoperador(ctg)\; \backslash frac(17\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash nombreoperador(tg)\; 39^\backslash circ\; =\; \backslash nombreoperador(ctg\; )\; 51^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-2(2(\backslash sqrt(5)-2)+\backslash sqrt(3)(3-\backslash sqrt(5)))+(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5\; )+1)+2)\backslash sqrt(2(25-11\backslash sqrt(5))))(4),$

$\backslash nombreoperador(ctg)\; \backslash frac(13\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash nombreoperador(tg)\; \backslash frac(17\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash nombreoperador(ctg)\; 39^\backslash circ\; =\; \backslash nombreoperador(tg\; )\; 51^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-2(2(\backslash sqrt(5)-2)-\backslash sqrt(3)(3-\backslash sqrt(5)))+(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5\; )+1)-2)\backslash sqrt(2(25-11\backslash sqrt(5))))(4),$

$\backslash sin\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(8\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash sin\; 42^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 48^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-(\backslash \; sqrt(5)-1)+\backslash sqrt(6(5+\backslash sqrt(5))))(8),$

$\backslash cos\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(8\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash cos\; 42^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 48^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(\; 3)(\backslash sqrt(5)-1)+\backslash sqrt(2(5+\backslash sqrt(5))))(8),$

$\backslash nombreoperador(tg)\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash nombreoperador(ctg)\; \backslash frac(8\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash nombreoperador(tg)\; 42^\backslash circ\; =\; \backslash nombreoperador(ctg\; )\; 48^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)+1)-\backslash sqrt(2(5+\backslash sqrt(5))))(2),$

$\backslash nombreoperador(ctg)\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash nombreoperador(tg)\; \backslash frac(8\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash nombreoperador(ctg)\; 42^\backslash circ\; =\; \backslash nombreoperador(tg\; )\; 48^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(3)(3-\backslash sqrt(5))+\backslash sqrt(2(25-11\backslash sqrt(5))))(2),$

$\backslash nombreoperador(tg)\; \backslash frac(\backslash pi)(120)\; =\; \backslash nombreoperador(ctg)\; \backslash frac(59\backslash ,\backslash pi)(120)\; =\; \backslash nombreoperador(tg)\; 1.5^\backslash circ\; =\; \backslash nombreoperador(ctg)\; 88.5^\; \backslash circ\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac(8-\backslash sqrt(2(2-\backslash sqrt(3))(3-\backslash sqrt(5)))\; -\; \backslash sqrt(\; 2(2+\backslash sqrt(3))(5\; +\backslash sqrt(5))))(8+\backslash sqrt(2(2-\backslash sqrt(3))(3-\backslash sqrt(5)))+\backslash sqrt(2(2+\backslash sqrt(3))(\; 5+\backslash sqrt(5)))\; )),$

$\backslash cos\; \backslash frac(\backslash pi)(240)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(119\backslash ,\backslash pi)(240)\; =\; \backslash cos\; 0.75^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 89.25^\backslash circ\; =\; \backslash frac(1)(16)\; \backslash \; izquierda(\backslash sqrt(2-\backslash sqrt(2+\backslash sqrt(2)))\; \backslash left(\backslash sqrt(2(5+\backslash sqrt(5)))+\backslash sqrt(3)(1-\backslash sqrt(5)\; )\; \backslash derecha)\; +\; \backslash derecha.$ $\backslash izquierda.\; +\; \backslash sqrt(2+\backslash sqrt(2+\backslash sqrt(2)))\; \backslash left\; (\backslash sqrt(6(5+\backslash sqrt(5)))+\backslash sqrt(5)\; -\; 1\; \backslash right)\; \backslash right),$

$\backslash cos\; \backslash frac(\backslash pi)(17)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(15\backslash ,\backslash pi)(34)\; =\; \backslash frac(1)(8)\backslash sqrt(2\; \backslash left(2\backslash sqrt(3\backslash sqrt(\; 17)-\backslash sqrt(2(85+19\backslash sqrt(17)))\; +17)+\backslash sqrt(2(17-\backslash sqrt(17)))+\backslash sqrt(17)+15\; \backslash right)).$

$\backslash sin(\backslash pi\backslash over2^(n+1))=(1\backslash over2)\backslash underbrace(\backslash sqrt(2-\backslash sqrt(2+\backslash dots+\backslash sqrt(2))))\_(n),\; n\backslash \; en\backslash mathbb\; norte$

$\backslash cos(\backslash pi\backslash over2^(n+1))=(1\backslash over2)\backslash underbrace(\backslash sqrt(2+\backslash sqrt(2+\backslash dots+\backslash sqrt(2))))\_(n),\; n\backslash \; en\backslash mathbb\; norte$

$\backslash sin(\backslash pi\backslash over3\backslash cdot2^(n))=(1\backslash over2)\backslash underbrace(\backslash sqrt(2-\backslash sqrt(2+\backslash dots+\backslash sqrt(3))))\_(n),\; n\backslash \; geq\; 2$

$\backslash cos(\backslash pi\backslash over3\backslash cdot2^(n))=(1\backslash over2)\backslash underbrace(\backslash sqrt(2+\backslash sqrt(2+\backslash dots+\backslash sqrt(3))))\_(n),\; n\backslash \; geq\; 2$ }}

Propiedades de funciones trigonométricas

Las identidades más simples

Dado que el seno y el coseno son respectivamente la ordenada y la abscisa del punto correspondiente al ángulo α en el círculo unitario, entonces, según la ecuación del círculo unitario o el teorema de Pitágoras, tenemos:

$\backslash sin^2\; \backslash alpha\; +\; \backslash cos^2\; \backslash alpha\; =\; 1.$

Esta relación se llama identidad trigonométrica básica.

Dividiendo esta ecuación por el cuadrado del coseno y el seno, respectivamente, tenemos lo siguiente:

$1\; +\; \backslash mathop(\backslash mathrm(tg))\backslash ,^2\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac(1)(\; \backslash cos^2\; \backslash alpha),$ $1\; +\; \backslash mathop(\backslash mathrm(ctg))\backslash ,^2\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac(1)(\; \backslash sin^2\; \backslash alpha),$ $\backslash mathop(\backslash mathrm(tg))\backslash ,\backslash alpha\; \backslash cdot\; \backslash mathop(\backslash mathrm(ctg))\backslash ,\backslash alpha=1.$

Continuidad

Fórmulas de medio ángulo:

$\backslash sin\backslash frac(\backslash alpha)(2)=\backslash sqrt(\backslash frac(1-\backslash cos\backslash alpha)(2)),\backslash quad\; 0\; \backslash leqslant\; \backslash alpha\; \backslash leqslant\; 2\backslash pi,$ $\backslash cos\backslash frac(\backslash alpha)(2)=\backslash sqrt(\backslash frac(1+\backslash cos\backslash alpha)(2)),\backslash quad\; -\backslash pi\; \backslash leqslant\; \backslash alpha\; \backslash leqslant\; \backslash pi,$ $\backslash operatorname(tg)\backslash ,\backslash frac(\backslash alpha)(2)=\backslash frac(1-\backslash cos\backslash alpha)(\backslash sin\backslash alpha)=\backslash frac(\backslash sin\backslash alpha)(1+\backslash cos\backslash alpha)\; ,$ $\backslash operatorname(ctg)\backslash ,\backslash frac(\backslash alpha)(2)=\backslash frac(\backslash sin\backslash alpha)(1-\backslash cos\backslash alpha)=\backslash frac(1+\backslash cos\backslash alpha)(\backslash sin\backslash alpha)\; ,$

Obras

Fórmulas para productos de funciones de dos ángulos:

$\backslash sin\backslash alpha\; \backslash sin\backslash beta\; =\; \backslash frac(\backslash cos(\backslash alpha-\backslash beta)\; -\; \backslash cos(\backslash alpha+\backslash beta))(2),$ $\backslash sin\backslash alpha\; \backslash cos\backslash beta\; =\; \backslash frac(\backslash sin(\backslash alpha-\backslash beta)\; +\; \backslash sin(\backslash alpha+\backslash beta))(2),$ $\backslash cos\backslash alpha\; \backslash cos\backslash beta\; =\; \backslash frac(\backslash cos(\backslash alpha-\backslash beta)\; +\; \backslash cos(\backslash alpha+\backslash beta))(2),$ $\backslash operatorname(tg)\backslash ,\backslash alpha\backslash ,\backslash operatorname(tg)\backslash ,\backslash beta\; =\; \backslash frac(\backslash cos(\backslash alpha-\backslash beta)\; -\; \backslash cos(\backslash alpha+\backslash beta))(\backslash cos(\backslash alpha-\; \backslash beta)\; +\; \backslash cos(\backslash alpha+\backslash beta)),$ $\backslash operatorname(tg)\backslash ,\backslash alpha\backslash ,\backslash operatorname(ctg)\backslash ,\backslash beta\; =\; \backslash frac(\backslash sin(\backslash alpha-\backslash beta)\; +\; \backslash sin(\backslash alpha+\backslash beta))(\backslash sin(\backslash alpha+\backslash \; beta)\; -\backslash sin(\backslash alpha-\backslash beta)),$ $\backslash operatorname(ctg)\backslash ,\backslash alpha\backslash ,\backslash operatorname(ctg)\backslash ,\backslash beta\; =\; \backslash frac(\backslash cos(\backslash alpha-\backslash beta)\; +\; \backslash cos(\backslash alpha+\backslash beta))(\backslash cos(\backslash alpha-\; \backslash beta)\; -\; \backslash cos(\backslash alpha+\backslash beta)).$

Fórmulas similares para los productos de senos y cosenos de tres ángulos:

$\backslash sin\backslash alpha\; \backslash sin\backslash beta\; \backslash sin\backslash gamma\; =\; \backslash frac(\backslash sin(\backslash alpha+\backslash beta-\backslash gamma)\; +\; \backslash sin(\backslash beta+\backslash gamma-\backslash alpha)\; +\; \backslash sin(\backslash alpha-\backslash beta+\backslash gamma\; )\; -\; \backslash sin(\backslash alpha+\backslash beta+\backslash gamma))(4),$ $\backslash sin\backslash alpha\; \backslash sin\backslash beta\; \backslash cos\backslash gamma\; =\; \backslash frac(-\backslash cos(\backslash alpha+\backslash beta-\backslash gamma)\; +\; \backslash cos(\backslash beta+\backslash gamma-\backslash alpha)\; +\; \backslash cos(\backslash alpha-\backslash beta+\backslash \; gamma)\; -\; \backslash cos(\backslash alpha+\backslash beta+\backslash gamma))(4),$ $\backslash sin\backslash alpha\; \backslash cos\backslash beta\; \backslash cos\backslash gamma\; =\; \backslash frac(\backslash sin(\backslash alpha+\backslash beta-\backslash gamma)\; -\; \backslash sin(\backslash beta+\backslash gamma-\backslash alpha)\; +\; \backslash sin(\backslash alpha-\backslash beta+\backslash gamma\; )\; -\; \backslash sin(\backslash alpha+\backslash beta+\backslash gamma))(4),$ $\backslash cos\backslash alpha\; \backslash cos\backslash beta\; \backslash cos\backslash gamma\; =\; \backslash frac(\backslash cos(\backslash alpha+\backslash beta-\backslash gamma)\; +\; \backslash cos(\backslash beta+\backslash gamma-\backslash alpha)\; +\; \backslash cos(\backslash alpha-\backslash beta+\backslash gamma\; )\; +\; \backslash cos(\backslash alpha+\backslash beta+\backslash gamma))(4).$

Las fórmulas para los productos de tangentes y cotangentes de tres ángulos se pueden obtener dividiendo los lados derecho e izquierdo de las igualdades correspondientes presentadas anteriormente.

Grados

Cantidades

Hay una representación:

$A\; \backslash sin\; \backslash alpha\; +\; B\; \backslash cos\; \backslash alpha\; =\; \backslash sqrt(A^2\; +\; B^2)\backslash ;\backslash sin(\backslash alpha\; +\; \backslash phi),$

donde esta el angulo $\backslash fi$ se encuentra a partir de las relaciones:

$\backslash sin\; \backslash phi\; =\; \backslash frac(B)(\backslash sqrt(A^2\; +\; B^2)),\; \backslash quad\; \backslash cos\; \backslash phi\; =\; \backslash frac(A)(\backslash sqrt(A^2\; +\; B^2)).$

Sustitución trigonométrica universal

Todas las funciones trigonométricas se pueden expresar en términos de la tangente de un medio ángulo.

$\backslash sin\; x\; =\; \backslash frac(\backslash sin\; x)(1)\; =\; \backslash frac(2\backslash sin\; \backslash frac(x)(2)\backslash cos\; \backslash frac(x)(2))(\backslash sin^2\; \backslash frac(x)\; (2)\; +\; \backslash cos^2\; \backslash frac(x)(2))\; =\backslash frac(2\backslash nombredeloperador(tg)\; \backslash frac(x)(2))(1\; +\; \backslash nombredeloperador(tg)^2\; \backslash frac(x\; )(2))$

$\backslash cos\; x\; =\; \backslash frac(\backslash cos\; x)(1)\; =\; \backslash frac(\backslash cos^2\; \backslash frac(x)(2)\; -\; \backslash sin^2\; \backslash frac(x)(2))(\backslash cos^2\; \backslash \; frac(x)(2)\; +\; \backslash sin^2\; \backslash frac(x)(2))\; =\backslash frac(1\; -\; \backslash operatorname(tg)^2\; \backslash frac(x)(2))(1\; +\; \backslash operatorname(tg\; )^2\; \backslash frac(x)(2))$

$\backslash nombredeloperador(tg)~x\; =\; \backslash frac(\backslash sin\; x)(\backslash cos\; x)\; =\; \backslash frac(2\backslash nombredeloperador(tg)\; \backslash frac(x)(2))(1\; -\; \backslash nombredeloperador(tg)^2\; \backslash \; fracción(x)(2))$

$\backslash operatorname(ctg)~x\; =\; \backslash frac(\backslash cos\; x)(\backslash sin\; x)\; =\; \backslash frac(1\; -\; \backslash operatorname(tg)^2\; \backslash frac(x)(2))(2\backslash operatorname(tg)\; \backslash \; fracción(x)(2))$

$\backslash sec\; x\; =\; \backslash frac(1)(\backslash cos\; x)\; =\; \backslash frac(1\; +\; \backslash operatorname(tg)^2\; \backslash frac(x)(2))(1\; -\; \backslash operatorname(tg)^2\; \backslash frac(x\; )(2))$

$\backslash operatorname(cosec)~x\; =\; \backslash frac(1)(\backslash sin\; x)\; =\; \backslash frac(1\; +\; \backslash operatorname(tg)^2\; \backslash frac(x)(2))\; (2\backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(\; x)(2))$

Funciones trigonométricas de argumento complejo.

Definición

le permite definir funciones trigonométricas de argumentos complejos a través de una exponencial o (usando series) como una continuación analítica de sus análogos reales:

$\backslash sin\; z\; =\; \backslash sum\_(n=0)^\backslash infty\; \backslash frac((-1)^(n))((2n+1)z^\{2n+1\}\; =\; \backslash frac\{e^\{i\; z\}\; -\; e^\{-i\; z\}\}\{2i\}\backslash ,\; =\; \backslash frac\{\backslash operatorname\{sh\}\; i\; z\; \}\{i\};\; !\}$ $\backslash cos\; z\; =\; \backslash sum\_(n=0)^\backslash infty\; \backslash frac((-1)^(n))((2n)z^\{2n\}\; =\; \backslash frac\{e^\{i\; z\}\; +\; e^\{-i\; z\}\}\{2\}\backslash ,\; =\; \backslash operatorname\{ch\}\; i\; z;\; !\}$ $\backslash operatorname(tg)\backslash ,\; z\; =\; \backslash frac(\backslash sin\; z)(\backslash cos\; z)\; =\; \backslash frac(e^(i\; z)\; -\; e^(-i\; z))(i(e^(i\; z)\; +\; e^(\; -iz)));$ $\backslash operatorname(ctg)\backslash ,\; z\; =\; \backslash frac(\backslash cos\; z)(\backslash sin\; z)\; =\; \backslash frac(i(e^(i\; z)\; +\; e^(-i\; z)))(e^(i\; z)\; -\; e^\; (-iz));$ $\backslash sec\; z\; =\; \backslash frac(1)(\backslash cos\; z)\; =\; \backslash frac(2)(e^(i\; z)\; +\; e^(-i\; z));$ $\backslash operatorname(cosec)\backslash ,\; z\; =\; \backslash frac(1)(\backslash sin\; z)\; =\; \backslash frac(2i)(e^(i\; z)\; -\; e^(-i\; z)),$ Dónde $i^2=-1.$

En consecuencia, de verdad X,

$\backslash cos\; x\; =\; \backslash operatorname(Re)(e^(i\; x)),$ $\backslash sin\; x\; =\; \backslash operatorname(Im)(e^(i\; x)).$

El seno y el coseno complejos están estrechamente relacionados con las funciones hiperbólicas:

$\backslash sin\; (x\; +\; iy)\; =\; \backslash sin\; x\backslash ,\; \backslash operatorname(ch)\backslash ,\; y\; +\; i\; \backslash cos\; x\backslash ,\; \backslash operatorname(sh)\backslash ,\; y,$ $\backslash cos\; (x\; +\; iy)\; =\; \backslash cos\; x\backslash ,\; \backslash operatorname(ch)\backslash ,\; y\; -\; i\; \backslash sin\; x\backslash ,\; \backslash operatorname(sh)\backslash ,\; y.$

La mayoría de las propiedades anteriores de las funciones trigonométricas se conservan en el caso complejo. Algunas propiedades adicionales:

• los senos y cosenos complejos, a diferencia de los reales, pueden tomar valores arbitrariamente grandes en valor absoluto;
• todos los ceros del seno y coseno complejos se encuentran en el eje real.

Gráficos complejos

Los siguientes gráficos muestran el plano complejo y los valores de las funciones están resaltados en color. El brillo refleja el valor absoluto (negro - cero). El color cambia con el argumento y el ángulo según el mapa.

$$ \pecado\, z	$$ \cos\,z	$$ \nombredeloperador(tg)\, z	$$ \nombredeloperador(ctg)\, z	$$ \seg\, z	$$ \nombredeloperador(cosec)\, z

Historia de los nombres

Línea sinusoidal(línea AB en adelante) Los matemáticos indios inicialmente lo llamaron "arha-jiva" ("media cuerda", es decir, medio acorde), luego se descartó la palabra "archa" y la línea sinusoidal comenzó a llamarse simplemente "jiva" . Los traductores árabes no tradujeron la palabra “jiva” con la palabra árabe “vatar”, que significa cuerda y acorde, sino que la transcribieron en letras árabes y comenzaron a llamar a la línea sinusoidal “jiba”. Dado que en árabe no se designan vocales cortas y la "i" larga en la palabra "jiba" se designa de la misma manera que la semivocal "y", los árabes comenzaron a pronunciar el nombre de la línea sinusoidal como: árabe . جيب ‎ - “jaib”, que literalmente significa “hueco”, “seno”. Al traducir escritos árabes al latín, los traductores europeos tradujeron la palabra "jaib" a la palabra latina lat. seno - "seno", teniendo el mismo significado. Término "coseno"(lat. coseno) es una abreviatura de Lat. seno complementario- seno adicional.

Notaciones taquigráficas modernas $\backslash sin,\; ~\; \backslash cos$ introducido por B. Cavalieri y William Oughtred y consagrado en las obras de Euler.

Posteriormente, se introdujeron términos para funciones trigonométricas inversas: arcoseno, arcocoseno, arcotangente, arcocotangente, arcosecante, arcocosecante- agregando un prefijo "arco"(del lat. arco- arco), - J. Lagrange et al.

ver también

• Tablas matemáticas de cuatro dígitos (tablas Bradis)

Escribe una reseña sobre el artículo "Funciones trigonométricas"

Literatura

• Bermant A. F. Lyusternik L. A. Trigonometría. - M.: Nauka, 1967.
• Funciones trigonométricas- artículo de la Gran Enciclopedia Soviética. - M.: “Enciclopedia soviética”, 1977. - T. 26. - p. 204-206.
• Bronshtein I. N., Semendyaev K. A. Trigonometría rectilínea // Manual de matemáticas. - Ed. Séptimo, estereotipado. - M.: Editorial Estatal de Literatura Técnica y Teórica, 1967. - P. 179-184.
• Vygodsky M. Ya.. - M.: Ciencia, 1978.
  • Reimpresión: M.: AST, 2006, ISBN 5-17-009554-6, www.alleng.ru/d/math/math42.htm, 509 págs.
• Dwight GB Funciones trigonométricas // Tablas de integrales y otras fórmulas matemáticas. - 4ª ed. - M.: Nauka, 1973. - P. 70-102.
• Kozheurov P. A.. Trigonometría. - M.: Fizmatgiz, 1963.
• Markushevich A. I. Maravillosos senos nasales. - M.: Nauka, 1974.
• Enciclopedia Matemática / Cap. ed. I. M. Vinogradov. - M.: “Enciclopedia soviética”, 1984. - .
• Funciones trigonométricas // Diccionario enciclopédico de jóvenes matemáticos / ed. colegio, Gnedenko B.V.. (ed. jefe), Savin A. P.. y otros - M.: Pedagogía, 1985 (1989). - pág. 299-301-305. - 352 p., enfermo. ISBN 5-7155-0218-7 (página, - tablas de funciones trigonométricas 0°-90°, incluso en radianes)
• Funciones trigonométricas // Manual de matemáticas (para instituciones de educación secundaria) / Tsypkin A. G., ed. Stepanova S. A. - 3ª ed. - M.: Ciencias, Cap. redacción de física y matemáticas. literatura, 1983. - págs. 240-258. - 480 s.

Enlaces

• - círculo unitario aclarado, funciones trigonométricas e hiperbólicas (Java Web Start)
• Weisstein, Eric W.(inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld.
• - traducción del artículo (inglés)

Notas

Un extracto que caracteriza las funciones trigonométricas.

Durante el intermedio, olía a frío en el palco de Helen, la puerta se abrió y, agachándose y tratando de no atrapar a nadie, entró Anatole.
"Déjame presentarte a mi hermano", dijo Helen, moviendo nerviosamente sus ojos de Natasha a Anatole. Natasha volvió su bonita cabeza sobre su hombro desnudo hacia el apuesto hombre y sonrió. Anatole, que era tan guapo de cerca como de lejos, se sentó a su lado y le dijo que hacía tiempo que deseaba tener ese placer, desde el baile de Naryshkin, en el que experimentó el placer que no había sentido. olvidado, de verla. Kuragin era mucho más inteligente y sencillo con las mujeres que en la sociedad masculina. Habló con audacia y sencillez, y Natasha quedó extraña y gratamente impresionada por el hecho de que no solo no había nada tan terrible en este hombre del que tanto hablaban, sino que, por el contrario, tenía la actitud más ingenua, alegre y buena. -sonrisa natural.
Kuragin le preguntó sobre la impresión de la actuación y le contó cómo Semenova se cayó mientras jugaba en la última actuación.
“Sabe, condesa”, dijo, dirigiéndose de repente a ella como si fuera un viejo conocido, “estamos organizando un carrusel de disfraces; Deberías participar: será muy divertido. Todos se reúnen en casa de los Karagin. Por favor ven, ¿verdad? - él dijo.
Mientras decía esto, no apartaba sus ojos sonrientes del rostro, el cuello y los brazos desnudos de Natasha. Sin duda, Natasha sabía que él la admiraba. Ella estaba contenta con esto, pero por alguna razón su presencia la hacía sentir apretada y pesada. Cuando no lo miraba, sentía que él estaba mirando sus hombros, e involuntariamente interceptó su mirada para que él la mirara mejor a los ojos. Pero, mirándolo a los ojos, sintió con miedo que entre él y ella no había absolutamente ninguna barrera de modestia que siempre había sentido entre ella y otros hombres. Ella, sin saber cómo, al cabo de cinco minutos se sintió terriblemente cerca de este hombre. Cuando se dio la vuelta, temió que él le tomara la mano desnuda por detrás y le besara el cuello. Hablaron de las cosas más simples y ella sintió que eran cercanos, como nunca había estado con un hombre. Natasha miró a Helen y a su padre, como preguntándoles qué significaba eso; pero Helen estaba ocupada hablando con algún general y no respondía a su mirada, y la mirada de su padre no le decía nada más que lo que él siempre decía: “Es divertido, bueno, me alegro”.
En uno de los momentos de incómodo silencio, durante los cuales Anatole la miraba tranquila y persistentemente con sus ojos saltones, Natasha, para romper ese silencio, le preguntó si le gustaba Moscú. Natasha preguntó y se sonrojó. Constantemente le parecía que estaba haciendo algo indecente al hablar con él. Anatole sonrió, como animándola.
– Al principio no me gustó mucho, porque lo que hace agradable a una ciudad, ce sont les jolies femmes, [mujeres bonitas], ¿no? Bueno, ahora me gusta mucho”, dijo, mirándola significativamente. – ¿Irás al carrusel, condesa? “Ve”, dijo, y, extendiendo la mano hacia su ramo y bajando la voz, dijo: “Vous serez la plus jolie”. Venez, chere comtesse, et comme gage donnez moi cette fleur. [Serás la más bonita. Ve, querida condesa, y dame esta flor en prenda.]
Natasha no entendió lo que dijo, al igual que él mismo, pero sintió que había una intención indecente en sus incomprensibles palabras. Ella no supo qué decir y se dio la vuelta como si no hubiera escuchado lo que él dijo. Pero tan pronto como se giró, pensó que él estaba detrás de ella, muy cerca de ella.
“¿Qué es él ahora? ¿Está confundido? ¿Enojado? ¿Debería arreglar esto? se preguntó a sí misma. No pudo evitar mirar hacia atrás. Ella lo miró directamente a los ojos y su cercanía, confianza y la bondadosa ternura de su sonrisa la derrotaron. Ella sonrió igual que él, mirándolo directamente a los ojos. Y nuevamente sintió con horror que no había barrera entre él y ella.
El telón volvió a levantarse. Anatole salió del palco, tranquilo y alegre. Natasha regresó al palco de su padre, completamente sometida al mundo en el que se encontraba. Todo lo que sucedía frente a ella ya le parecía completamente natural; pero por eso todos sus pensamientos anteriores sobre el novio, sobre la princesa Marya, sobre la vida del pueblo nunca pasaron por su cabeza, como si todo eso hubiera ocurrido hace mucho, mucho tiempo.
En el cuarto acto había una especie de diablo que cantaba, agitando la mano hasta que le quitaron las tablas debajo de él y se sentó allí. Natasha solo vio esto desde el cuarto acto: algo la preocupaba y atormentaba, y la causa de esta emoción era Kuragin, a quien involuntariamente siguió con la mirada. Cuando salían del teatro, Anatole se acercó a ellos, llamó a su carruaje y los recogió. Mientras sentaba a Natasha, le estrechó la mano por encima del codo. Natasha, emocionada y roja, lo miró. Él la miró con los ojos brillantes y sonriendo con ternura.

Solo después de llegar a casa, Natasha pudo pensar claramente en todo lo que le había sucedido, y de repente, al recordar al príncipe Andrei, se horrorizó y, delante de todos, mientras tomaban el té, en el que todos se sentaron después del teatro, jadeó ruidosamente y salió corriendo. de la habitación, sonrojado. - "¡Dios mío! ¡Estoy muerto! se dijo a sí misma. ¿Cómo pude permitir que esto sucediera? pensó. Estuvo mucho tiempo sentada, cubriéndose el rostro sonrojado con las manos, tratando de darse cuenta clara de lo que le había pasado, y no podía entender lo que le había pasado, ni lo que sentía. Todo le parecía oscuro, confuso y aterrador. Allí, en esta enorme sala iluminada, donde Duport saltaba sobre tablas mojadas al son de la música, con las piernas desnudas y una chaqueta de lentejuelas, y niñas y ancianos, y Helen, desnuda con una sonrisa tranquila y orgullosa, gritaba "bravo". con deleite: allí, bajo la sombra de esta Helena, allí todo era claro y sencillo; pero ahora sola, consigo misma, le resultaba incomprensible. - "¿Lo que es? ¿Qué era ese miedo que sentía por él? ¿Qué es este remordimiento que siento ahora? pensó.
Por la noche, sola en la cama, Natasha podría contarle a la anciana condesa todo lo que pensaba. Sonia, lo sabía, con su mirada severa e integral, o no habría entendido nada o se habría horrorizado ante su confesión. Natasha, a solas consigo misma, intentó resolver lo que la atormentaba.
“¿Morí por amor al príncipe Andrei o no? se preguntó y con una sonrisa tranquilizadora se respondió: ¿Qué clase de tonta soy para preguntar esto? ¿Qué me pasó? Nada. No hice nada, no hice nada para causar esto. Nadie lo sabrá y nunca volveré a verlo, se dijo. Quedó claro que no había pasado nada, que no había nada de qué arrepentirse, que el príncipe Andrei podía amarme así. ¿Pero de qué tipo? ¡Oh Dios, Dios mío! ¿Por qué no está él aquí? Natasha se calmó por un momento, pero luego nuevamente un instinto le dijo que, aunque todo esto era cierto y no había sucedido nada, el instinto le decía que toda la antigua pureza de su amor por el príncipe Andrei había perecido. Y nuevamente en su imaginación repitió toda su conversación con Kuragin e imaginó el rostro, los gestos y la suave sonrisa de este hombre guapo y valiente, mientras él le estrechaba la mano.

Anatol Kuragin vivía en Moscú porque su padre lo había expulsado de San Petersburgo, donde vivía más de veinte mil al año en dinero y la misma cantidad en deudas que los acreedores exigían a su padre.
El padre le anunció a su hijo que pagaba por última vez la mitad de sus deudas; pero sólo para ir a Moscú al puesto de ayudante del comandante en jefe que le consiguió y finalmente tratar de hacer una buena pareja allí. Le señaló a la princesa Marya y Julie Karagina.
Anatole estuvo de acuerdo y se fue a Moscú, donde se quedó con Pierre. Pierre aceptó a Anatole al principio de mala gana, pero luego se acostumbró a él, a veces lo acompañaba de juerga y, con el pretexto de un préstamo, le daba dinero.
Anatole, como bien dijo Shinshin de él, desde que llegó a Moscú, volvió locas a todas las damas de Moscú, sobre todo porque las descuidaba y evidentemente prefería a las gitanas y a las actrices francesas, con la cabeza de la cual, Mademoiselle Georges, como decían, estaba en relaciones íntimas. No se perdió ni una sola juerga con Danilov y otros alegres muchachos de Moscú, bebió toda la noche, bebiendo más que todos y asistió a todas las veladas y bailes de la alta sociedad. Hablaron de varias de sus intrigas con damas de Moscú y en los bailes cortejó a algunas. Pero no se acercaba a las chicas, especialmente a las novias ricas, que en su mayoría eran todas malas, especialmente desde que Anatole, a quien nadie conocía excepto sus amigos más cercanos, se había casado hacía dos años. Hace dos años, mientras su regimiento estaba destinado en Polonia, un terrateniente polaco pobre obligó a Anatole a casarse con su hija.
Anatole muy pronto abandonó a su esposa y, por el dinero que aceptó enviar a su suegro, negoció para sí el derecho a ser considerado un hombre soltero.
Anatole siempre estuvo satisfecho con su puesto, consigo mismo y con los demás. Estaba instintivamente convencido con todo su ser de que no podía vivir de manera diferente a como vivía y que nunca había hecho nada malo en su vida. No podía pensar en cómo sus acciones podrían afectar a los demás, ni en lo que podría resultar de tal o cual acción. Estaba convencido de que así como un pato fue creado de tal manera que debería vivir siempre en el agua, así él fue creado por Dios de tal manera que debería vivir con un ingreso de treinta mil y ocupar siempre la posición más alta en la sociedad. . Creía en esto con tanta firmeza que, mirándolo, otros se convencieron de ello y no le negaron ni una posición más alta en el mundo ni el dinero, que obviamente tomó prestado sin devolución de quienes conoció y de quienes lo conocieron.
No era un jugador, al menos nunca quiso ganar. No era vanidoso. No le importaba en absoluto lo que la gente pensara de él. Menos aún podría ser culpable de ambición. Se burló de su padre varias veces, arruinando su carrera y se rió de todos los honores. No era tacaño y no rechazaba a nadie que se lo pidiera. Lo único que amaba era la diversión y las mujeres, y como según sus conceptos no había nada innoble en esos gustos, y no podía pensar en lo que saldría de satisfacer sus gustos por otras personas, en su alma creía considerarse a sí mismo. una persona impecable, despreciaba sinceramente a los sinvergüenzas y a la gente mala y llevaba la cabeza en alto con la conciencia tranquila.
Los juerguistas, estos Magdalenas varones, tienen un sentido secreto de conciencia de inocencia, al igual que las Magdalenas, basado en la misma esperanza de perdón. “A ella todo le será perdonado, porque ella amó mucho, y todo le será perdonado a él, porque se divirtió mucho”.
Dólojov, que este año apareció de nuevo en Moscú después de su exilio y sus aventuras persas, y llevó una lujosa vida de juego y juerga, se hizo cercano a su antiguo camarada de San Petersburgo, Kuragin, y lo utilizó para sus propios fines.
Anatole amaba sinceramente a Dolokhov por su inteligencia y audacia. Dolokhov, que necesitaba el nombre, la nobleza y las conexiones de Anatoly Kuragin para atraer a los jóvenes ricos a su sociedad de juego, sin dejar que él sintiera esto, usó y se divirtió con Kuragin. Además del cálculo para el que necesitaba a Anatol, el proceso mismo de controlar la voluntad de otra persona era para Dolokhov un placer, un hábito y una necesidad.
Natasha causó una fuerte impresión en Kuragin. En la cena después del teatro, con la técnica de un conocedor, examinó la dignidad de sus brazos, hombros, piernas y cabello frente a Dolokhov y anunció su decisión de arrastrarse tras ella. Lo que podría salir de este noviazgo: Anatole no podía pensar en ello ni saberlo, así como nunca supo qué saldría de cada una de sus acciones.
"Está bien, hermano, pero no sobre nosotros", le dijo Dolokhov.
“Le diré a mi hermana que la llame para cenar”, dijo Anatole. - ¿A?
- Será mejor que esperes hasta que se case...
“Sabes”, dijo Anatole, “j”adore les petites filles: [Adoro a las chicas:] - ahora se perderá.
"Ya te has enamorado de una pequeña niña", dijo Dolokhov, que sabía sobre el matrimonio de Anatole. - ¡Mirar!
- ¡Bueno, no puedes hacerlo dos veces! ¿A? – dijo Anatole riendo de buen humor.

Al día siguiente del teatro, los Rostov no fueron a ninguna parte y nadie acudió a ellos. Marya Dmitrievna, ocultándole algo a Natasha, estaba hablando con su padre. Natasha supuso que estaban hablando del viejo príncipe e inventando algo, y esto la molestó y la ofendió. Esperó cada minuto al príncipe Andrei y dos veces ese día envió al conserje a Vzdvizhenka para averiguar si había llegado. Él no vino. Ahora era más difícil para ella que los primeros días de su llegada. A su impaciencia y tristeza por él se unieron el desagradable recuerdo de su encuentro con la princesa María y el viejo príncipe, y el miedo y la ansiedad, cuyo motivo desconocía. Le parecía que o él nunca vendría o que algo le pasaría a ella antes de que él llegara. No podía, como antes, tranquila y continuamente, a solas consigo misma, pensar en él. Tan pronto como empezó a pensar en él, a su recuerdo se unió el recuerdo del viejo príncipe, de la princesa Marya y de la última actuación, y de Kuragin. Nuevamente se preguntó si era culpable, si su lealtad al príncipe Andrei ya había sido violada, y nuevamente se encontró recordando con el más mínimo detalle cada palabra, cada gesto, cada matiz de expresión en el rostro de este hombre, que sabía cómo despertar en ella algo incomprensible y un sentimiento terrible. A los ojos de su familia, Natasha parecía más animada que de costumbre, pero estaba lejos de estar tan tranquila y feliz como antes.
El domingo por la mañana, María Dmitrievna invitó a sus invitados a misa en su parroquia de la Asunción en Mogiltsy.
"No me gustan estas iglesias de moda", dijo, aparentemente orgullosa de su librepensamiento. - Sólo hay un Dios en todas partes. Nuestro sacerdote es maravilloso, sirve decentemente, es muy noble, al igual que el diácono. ¿Esto hace que sea tan sagrado que la gente cante conciertos en el coro? ¡No me gusta, es solo autocomplacencia!
A Marya Dmitrievna le encantaban los domingos y sabía celebrarlos. Su casa estuvo toda lavada y limpiada el sábado; La gente y ella no estaban trabajando, todos estaban vestidos para las fiestas y todos asistían a misa. Se añadía comida a la cena del maestro y a la gente se le daba vodka y ganso o cerdo asado. Pero en ningún lugar de toda la casa se notaba más la festividad que en el rostro ancho y severo de María Dmitrievna, que ese día asumió una inmutable expresión de solemnidad.
Mientras tomaban café después de misa, en la sala de estar, sin las mantas, María Dmitrievna fue informada de que el carruaje estaba listo, y ella, con mirada severa, vestida con el chal ceremonial con el que hacía las visitas, se levantó y anunció que Iba a ver al príncipe Nikolai Andreevich Bolkonsky para explicarle lo de Natasha.
Después de que Marya Dmitrievna se fue, una modista de Madame Chalmet vino a Rostov y Natasha, después de cerrar la puerta de la habitación contigua a la sala de estar, muy satisfecha con el entretenimiento, comenzó a probarse vestidos nuevos. Mientras se ponía un corpiño de color crema agria todavía sin mangas e inclinaba la cabeza, mirando en el espejo cómo estaba sentada la espalda, escuchó en la sala los sonidos animados de la voz de su padre y otra voz femenina, que la hizo rubor. Era la voz de Helen. Antes de que Natasha tuviera tiempo de quitarse el corpiño que se estaba probando, se abrió la puerta y entró en la habitación la condesa Bezukhaya, radiante con una sonrisa bondadosa y afectuosa, con un vestido de terciopelo de cuello alto de color púrpura oscuro.
- ¡Ah, mamá delicia! [¡Oh, mi encantadora!] - le dijo a la sonrojada Natasha. - ¡Charmante! [¡Encantador!] No, esto no se parece a nada, mi querido conde”, le dijo a Ilya Andreich, que entró detrás de ella. – ¿Cómo vivir en Moscú y no viajar a ningún lado? ¡No, no te dejaré en paz! Esta tarde la señorita Georges está recitando y se reunirán algunas personas; y si no traes a tus bellezas, que son mejores que la señorita Georges, entonces no quiero conocerte. Mi marido se fue, se fue a Tver, de lo contrario lo habría enviado a buscarte. Asegúrate de venir, definitivamente, a las nueve. “Ella asintió con la cabeza hacia la modista que conocía, quien se sentó respetuosamente ante ella y se sentó en una silla cerca del espejo, extendiendo pintorescamente los pliegues de su vestido de terciopelo. No dejó de charlar de buen humor y alegremente, admirando constantemente la belleza de Natasha. Examinó sus vestidos y los elogió, y se jactó de su nuevo vestido en gaz metallique [hecho de gas de color metálico], que recibió de París y aconsejó a Natasha que hiciera lo mismo.
"Sin embargo, todo te sienta bien, querida", dijo.
La sonrisa de placer nunca abandonó el rostro de Natasha. Se sentía feliz y floreciente ante los elogios de aquella querida condesa Bezujova, que antes le parecía una dama tan inaccesible e importante, y que ahora era tan amable con ella. Natasha se sintió alegre y casi enamorada de esta mujer tan hermosa y tan bondadosa. Helen, por su parte, admiraba sinceramente a Natasha y quería divertirla. Anatole le pidió que le presentara una cita con Natasha, y para ello vino a los Rostov. La idea de tenderle una trampa a su hermano con Natasha le divertía.
A pesar de que anteriormente había estado enojada con Natasha por haberle quitado a Boris en San Petersburgo, ahora no pensó en ello y con toda su alma, a su manera, le deseó lo mejor a Natasha. Al salir de Rostov, se llevó a su protegida a un lado.
- Ayer cenó conmigo mi hermano – nos moríamos de risa – no comió nada y suspiró por ti, preciosa. Il est fou, mais fou amoureux de vous, ma chere. [Se vuelve loco, pero se vuelve loco de amor por ti, querida.]
Natasha se sonrojó al escuchar estas palabras.
- ¡Cómo se sonroja, cómo se sonroja, ma delicieuse! [¡preciosa mía!] - dijo Helen. - Definitivamente ven. Si vous aimez quelqu"un, ma delicieuse, ce n"est pas une raison pour se cloitrer. Si meme vous etes promesa, je suis seguro que votre promis aurait deseo que vous alliez dans le monde en son absent plutot que de deperir d"ennui. [Sólo porque amas a alguien, querida, no deberías vivir como una monja. Incluso si eres novia, estoy segura de que tu novio preferiría que salieras a la sociedad en su ausencia que morir de aburrimiento.]
"Entonces ella sabe que soy una novia, entonces ella y su marido, con Pierre, con este hermoso Pierre", pensó Natasha, habló y se rió de ello. Así que no es nada”. Y nuevamente, bajo la influencia de Helena, lo que antes parecía terrible, pareció simple y natural. “Y ella es una gran dama, [una dama importante], tan dulce y obviamente me ama con todo su corazón”, pensó Natasha. ¿Y por qué no divertirse? pensó Natasha, mirando a Helen con los ojos muy abiertos y sorprendidos.
María Dmitrievna volvió a cenar, silenciosa y seria, evidentemente derrotada por el viejo príncipe. Todavía estaba demasiado emocionada por la colisión para poder contar la historia con calma. A la pregunta del conde, ella respondió que todo estaba bien y que se lo diría mañana. Al enterarse de la visita de la condesa Bezujova y de su invitación a la velada, María Dmitrievna dijo:
“No me gusta salir con Bezukhova y no lo recomendaría; Bueno, si lo prometiste, vete, te distraerás”, añadió, volviéndose hacia Natasha.

El conde Ilya Andreich llevó a sus hijas a ver a la condesa Bezukhova. Por la noche había bastante gente. Pero toda la sociedad le resultaba casi desconocida a Natasha. El conde Ilya Andreich observó con disgusto que toda esta sociedad estaba formada principalmente por hombres y mujeres, conocidos por su libertad de trato. La señorita Georges, rodeada de jóvenes, estaba en un rincón del salón. Había varios franceses, y entre ellos Metivier, que había sido su compañero de casa desde la llegada de Helene. El conde Ilya Andreich decidió no jugar a las cartas, no dejar a sus hijas y marcharse en cuanto terminó la actuación de Georges.
Evidentemente, Anatole estaba en la puerta esperando a que entraran los Rostov. Inmediatamente saludó al conde, se acercó a Natasha y la siguió. Tan pronto como Natasha lo vio, como en el teatro, la invadió un sentimiento de vano placer de que le agradara y de miedo por la ausencia de barreras morales entre ella y él. Helen recibió con alegría a Natasha y admiró en voz alta su belleza y su vestimenta. Poco después de su llegada, la señorita Georges salió de la habitación para vestirse. En la sala comenzaron a acomodar sillas y a sentarse. Anatole le acercó una silla a Natasha y quiso sentarse a su lado, pero el conde, que no había quitado la vista de Natasha, se sentó a su lado. Anatole se sentó atrás.
M lle Georges, con los brazos desnudos, gruesos y con hoyuelos, vestida con un chal rojo sobre un hombro, salió al espacio vacío que le quedaba entre las sillas y se detuvo en una pose antinatural. Se escuchó un susurro entusiasta. M lle Georges miró al público con severidad y tristeza y comenzó a recitar algunos poemas en francés que trataban de su amor criminal por su hijo. En algunos lugares alzaba la voz, en otros susurraba, levantando solemnemente la cabeza, en otros se detenía y jadeaba, poniendo los ojos en blanco.
- ¡Adorable, divina, deliciosa! [¡Encantador, divino, maravilloso!] - se escuchó por todos lados. Natasha miró al gordo Georges, pero no escuchó nada, no vio y no entendió nada de lo que estaba sucediendo frente a ella; sólo volvió a sentir de manera completamente irrevocable en ese mundo extraño, loco, tan alejado del anterior, en ese mundo en el que era imposible saber qué era bueno, qué era malo, qué era razonable y qué era una locura. Anatole estaba sentado detrás de ella y ella, sintiendo su cercanía, esperó con miedo algo.
Después del primer monólogo, toda la concurrencia se levantó y rodeó a la señorita Georges, expresándole su alegría.
- ¡Qué buena es! - le dijo Natasha a su padre, quien, junto con otros, se levantó y avanzó entre la multitud hacia la actriz.
"No lo encuentro, mirándote", dijo Anatole, siguiendo a Natasha. Dijo esto en un momento en que sólo ella podía oírlo. "Eres encantadora... desde el momento en que te vi, no he parado..."
“Vamos, Natasha, vamos”, dijo el conde, regresando por su hija. - ¡Qué tan bien!
Natasha, sin decir nada, se acercó a su padre y lo miró con ojos interrogantes y sorprendidos.
Después de varias recepciones de recitación, M lle Georges se fue y la condesa Bezukhaya pidió compañía en el salón.
El Conde quería irse, pero Helena le rogó que no arruinara su baile improvisado. Los Rostov se quedaron. Anatole invitó a Natasha a un vals y durante el vals, estrechándole la cintura y la mano, le dijo que era ravissante [encantadora] y que la amaba. Durante la sesión ecológica, en la que volvió a bailar con Kuragin, cuando se quedaron solos, Anatole no le dijo nada y solo la miró. Natasha dudaba de haber visto en sueños lo que él le decía durante el vals. Al final de la primera figura volvió a estrecharle la mano. Natasha levantó sus ojos asustados hacia él, pero en su mirada afectuosa y en su sonrisa había una expresión tan tierna y segura de sí misma que no pudo mirarlo y decirle lo que tenía que decirle. Ella bajó los ojos.
“No me digas esas cosas, estoy comprometida y amo a otra persona”, dijo rápidamente... “Ella lo miró. Anatole no se sintió avergonzado ni molesto por lo que ella dijo.
- No me hables de esto. ¿Y a mi que me importa? - él dijo. "Estoy diciendo que estoy locamente, locamente enamorado de ti". ¿Es mi culpa que seas increíble? Empecemos.
Natasha, animada y ansiosa, miraba a su alrededor con ojos muy abiertos y asustados y parecía más alegre que de costumbre. No recordaba casi nada de lo que pasó esa noche. Bailaron la Ecossaise y el Gros Vater, su padre la invitó a irse, ella pidió quedarse. Dondequiera que estuviera, sin importar con quién hablara, sentía su mirada sobre ella. Entonces recordó que le había pedido permiso a su padre para ir al camerino a arreglarse el vestido, que Helen la siguió, le contó riéndose del amor de su hermano y que en el pequeño salón del sofá se volvió a encontrar con Anatole, que Helen desapareció en alguna parte. Se quedaron solos y Anatole, tomándola de la mano, le dijo con voz suave:
- No puedo ir contigo, pero ¿realmente nunca te veré? Te amo locamente. ¿De verdad nunca?…” y él, cerrándole el paso, acercó su rostro al de ella.
Sus brillantes, grandes y masculinos ojos estaban tan cerca de los de ella que ella no vio nada más que esos ojos.
- ¡¿Natalia?! – susurró su voz inquisitivamente, y alguien le apretó dolorosamente las manos.
- ¡¿Natalia?!
“No entiendo nada, no tengo nada que decir”, decía su mirada.
Labios calientes presionaron los de ella y en ese mismo momento se sintió libre nuevamente, y el ruido de los pasos y el vestido de Helen se escuchó en la habitación. Natasha volvió a mirar a Helen, luego, roja y temblorosa, lo miró con miedo e interrogación y se dirigió a la puerta.
“Un mot, un seul, au nom de Dieu, [Una palabra, sólo una, por el amor de Dios”, dijo Anatole.
Ella paró. Realmente necesitaba que él dijera esa palabra, que le explicaría lo que había pasado y a la que ella le respondería.
“Nathalie, un mot, un seul”, repetía, aparentemente sin saber qué decir, y lo repitió hasta que Helen se acercó a ellos.
Helen y Natasha volvieron a salir al salón. Sin quedarse a cenar, los Rostov se marcharon.
Al regresar a casa, Natasha no durmió en toda la noche: la atormentaba la pregunta insoluble de a quién amaba, si Anatole o el príncipe Andrei. Amaba al príncipe Andrei; recordaba claramente cuánto lo amaba. Pero ella también amaba a Anatole, eso era seguro. "De lo contrario, ¿cómo podría haber sucedido todo esto?" pensó. “Si después de eso, cuando me despedí de él, pude responder a su sonrisa con una sonrisa, si pude permitir que esto sucediera, entonces significa que me enamoré de él desde el primer minuto. Esto significa que es amable, noble y hermoso, y era imposible no amarlo. ¿Qué debo hacer cuando lo amo y amo a otro? se dijo a sí misma, sin encontrar respuestas a estas terribles preguntas.

La mañana llegó con sus preocupaciones y bullicio. Todos se levantaron, se pusieron en movimiento, empezaron a hablar, volvieron las modistas, salió María Dmitrievna y pidió té. Natasha, con los ojos muy abiertos, como si quisiera interceptar a cualquiera que la mirara, miraba inquieta a todos a su alrededor y trataba de parecer la misma de siempre.
Después del desayuno, María Dmitrievna (era su mejor momento), sentándose en su silla, llamó a Natasha y al viejo conde.
"Bueno, amigos míos, ahora que he pensado en todo el asunto y este es mi consejo para ustedes", comenzó. – Ayer, como sabéis, estuve con el príncipe Nicolás; Bueno, hablé con él... Decidió gritar. ¡No puedes gritarme! ¡Le canté todo!
- ¿Que es el? - preguntó el conde.
- ¿Que es el? loco... no quiere oír; Bueno, qué puedo decir, y así atormentamos a la pobre niña”, dijo María Dmitrievna. “Y mi consejo para usted es que termine todo y regrese a su casa en Otradnoye... y espere allí...
- ¡Oh, no! – gritó Natasha.
“No, vámonos”, dijo María Dmitrievna. - Y espera ahí. "Si el novio viene aquí ahora, no habrá pelea, pero aquí hablará de todo a solas con el anciano y luego vendrá a verte".
Ilya Andreich aprobó esta propuesta y comprendió inmediatamente su razonabilidad. Si el anciano cede, será mejor que venga a verle más tarde a Moscú o a las Montañas Calvas; de lo contrario, casarse contra su voluntad sólo será posible en Otradnoye.
“Y la verdad verdadera”, dijo. “Lamento haber ido hacia él y llevármela”, dijo el viejo conde.
- No, ¿por qué arrepentirse? Habiendo estado aquí, era imposible no presentar sus respetos. Bueno, si no quiere, es asunto suyo”, dijo María Dmitrievna, buscando algo en su bolso. - Sí, y la dote está lista, ¿qué más tienes que esperar? y lo que no esté listo, te lo envío. Aunque lo siento por ti, es mejor ir con Dios. “Habiendo encontrado lo que buscaba en el bolso, se lo entregó a Natasha. Era una carta de la princesa Marya. - Te escribe. ¡Cómo sufre, pobrecita! Tiene miedo de que pienses que no te ama.
"Sí, ella no me ama", dijo Natasha.
"Tonterías, no hables", gritó Marya Dmitrievna.
- No confiaré en nadie; "Sé que él no me ama", dijo Natasha con valentía, tomando la carta, y su rostro expresaba una determinación seca y enojada, lo que hizo que Marya Dmitrievna la mirara más de cerca y frunciera el ceño.
“No respondas así, madre”, dijo. – Lo que digo es verdad. Escribe una respuesta.
Natasha no respondió y fue a su habitación para leer la carta de la princesa María.
La princesa María escribió que estaba desesperada por el malentendido que había ocurrido entre ellos. Cualesquiera que sean los sentimientos de su padre, escribió la princesa Marya, le pidió a Natasha que creyera que no podía evitar amarla como la elegida por su hermano, por cuya felicidad estaba dispuesta a sacrificarlo todo.
“Sin embargo”, escribió, “no creas que mi padre tenía mala disposición contigo. Es un anciano enfermo que necesita ser excusado; pero es bondadoso, generoso y amará a quien haga feliz a su hijo”. La princesa Marya pidió además que Natasha fijara una hora en la que podría volver a verla.
Después de leer la carta, Natasha se sentó en el escritorio para escribir una respuesta: “Chere princesse”, [Querida princesa], escribió rápida, mecánicamente y se detuvo. “¿Qué podría escribir a continuación después de todo lo que pasó ayer? Sí, sí, pasó todo esto y ahora todo es diferente”, pensó, sentándose ante la carta que había comenzado. “¿Debería rechazarlo? ¿Es realmente necesario? ¡Esto es terrible!”... Y para no tener estos terribles pensamientos, fue hacia Sonya y juntas comenzaron a ordenar los patrones.
Después de cenar, Natasha fue a su habitación y tomó nuevamente la carta de la princesa María. - “¿Realmente todo terminó? pensó. ¡Todo esto realmente sucedió tan rápido y destruyó todo lo que había antes! Recordó con todas sus fuerzas anteriores su amor por el príncipe Andrei y al mismo tiempo sintió que amaba a Kuragin. Se imaginó vívidamente a sí misma como la esposa del príncipe Andrei, imaginó la imagen de la felicidad con él tantas veces repetida en su imaginación y, al mismo tiempo, sonrojada de emoción, imaginó todos los detalles de su encuentro de ayer con Anatole.
“¿Por qué no podrían estar juntos? A veces, en completo eclipse, pensó. Sólo entonces sería completamente feliz, pero ahora tengo que elegir y sin ninguno de los dos no puedo ser feliz. Una cosa, pensó, es igualmente imposible decir lo que estaba destinado al príncipe Andrei o ocultarlo. Y con esto no se estropea nada. ¿Pero es realmente posible separarse para siempre de esta felicidad del amor del príncipe Andrei, con la que viví durante tanto tiempo?
“Jovencita”, dijo la niña en un susurro con una mirada misteriosa, entrando a la habitación. – Una persona me dijo que lo contara. La niña le entregó la carta. "Sólo por el amor de Dios", seguía diciendo la niña, cuando Natasha, sin pensar, rompió el sello con un movimiento mecánico y leyó la carta de amor de Anatole, de la cual ella, sin entender una palabra, solo entendió una cosa: que esta carta era de él, de aquel hombre a quien ella ama. “Sí, ella ama, de lo contrario, ¿cómo pudo pasar lo que pasó? ¿Podría haber una carta de amor suya en su mano?