Superficie de revolución- una superficie formada por rotación alrededor de una línea recta (eje de superficie) de una línea arbitraria (recta, plana o curva espacial). Por ejemplo, si una línea recta cruza el eje de rotación, cuando gira, se obtendrá una superficie cónica; si es paralela al eje, será cilíndrica, si corta el eje, un hiperboloide de una sola hoja; se obtendrá la revolución. Se puede obtener la misma superficie girando una amplia variedad de curvas. El área de la superficie de revolución formada por la rotación de una curva plana de longitud finita alrededor de un eje que se encuentra en el plano de la curva pero que no cruza la curva es igual al producto de la longitud de la curva por la longitud de un círculo con un radio igual a la distancia desde el eje al centro de masa de la curva. Esta afirmación se llama segundo teorema de Gylden o teorema del centroide de Pappus.

El área de la superficie de revolución formada por la rotación de una curva alrededor de un eje se puede calcular mediante la fórmula

Para el caso en que la curva se especifica en el sistema de coordenadas polares, la fórmula es válida

Aplicaciones mecánicas de la integral definida (trabajo de fuerzas, momentos estáticos, centro de gravedad).

Cálculo del trabajo de fuerzas.

Un punto material se mueve a lo largo de una curva continuamente diferenciable, mientras que sobre él actúa una fuerza dirigida tangencialmente a la trayectoria en la dirección del movimiento. Trabajo total realizado por la fuerza F(s):

Si la posición de un punto en la trayectoria del movimiento se describe mediante otro parámetro, entonces la fórmula toma la forma:

Cálculo de momentos estáticos y centro de gravedad.
Supongamos que en el plano de coordenadas Oxy se distribuya cierta masa M con densidad p = p(y) en un cierto conjunto de puntos S (puede ser un arco de curva o una figura plana acotada). Denotemos s(y): la medida del conjunto especificado (longitud o área del arco).

Definición 2. Número se llama k-ésimo momento de la masa M con respecto al eje Ox.
En k = 0 M 0 = M - masa,
k = 1 M 1 - momento estático,
k = 2 M 2 - momento de inercia.

Los momentos respecto al eje Oy se introducen de manera similar. En el espacio, los conceptos de momentos de masa con respecto a planos coordenados se introducen de manera similar.
Si p = 1, entonces los momentos correspondientes se llaman geométricos. Las coordenadas del centro de gravedad de una figura plana homogénea (p - constante) están determinadas por las fórmulas:

donde M 1 y, M 1 x son los momentos estáticos geométricos de la figura con respecto a los ejes Oy y Ox; S es el área de la figura.

Esta fórmula se llama fórmula para el volumen de un cuerpo por el área de secciones paralelas.

Ejemplo. Encuentra el volumen del elipsoide. x 2 + y 2 + z 2 = 1. un 2b 2c 2

Al cortar el elipsoide con un plano paralelo al plano de Oyz y a distancias de él (-а ≤х ≤а), obtenemos una elipse (ver Fig.15):

El área de esta elipse es

Por lo tanto, según la fórmula (16), tenemos

Calcular el área de superficie de revolución

Sea la curva AB una gráfica de la función y = f (x) ≥ 0, donde x [a,b], una función y = f (x) y su derivada y" = f" (x) son continuas en esta segmento.

Luego, el área S de la superficie formada por la rotación de la curva AB alrededor del eje Ox se calcula mediante la fórmula

Si la curva AB viene dada por las ecuaciones paramétricas х = x (t), у = у (t), t 1 ≤t ≤t 2, entonces la fórmula para el área de superficie de rotación toma la forma

S x = 2 π ∫ y (t )(x ′ (t ))2 + (y ′ (t ))2 dt .

Ejemplo Encuentra el área de superficie de una bola de radio R. Solución:

Podemos suponer que la superficie de la pelota está formada por la rotación del semicírculo y = R 2 − x 2, - R ≤x ≤R, alrededor del eje Ox. Usando la fórmula (19) encontramos

2 π ∫ R2 − x2 + x2 dx= 2 π Rx− R R = 4 π R2 .

−R

Ejemplo. Dada una cicloide x = a (t − sin t), 0 ≤ t ≤ 2 π. y = a (1− costo),

Encuentra el área de la superficie formada al girarla alrededor del eje Ox. Solución:

Cuando la mitad del arco cicloide gira alrededor del eje Ox, el área de superficie de rotación es igual a

Calcular la longitud del arco de una curva plana

Coordenadas rectangulares

Sea un arco, cuando el número de eslabones de la línea discontinua aumenta indefinidamente, y a la longitud de las coordenadas rectangulares más grandes se le da una curva plana AB, cuya ecuación es y = f(x), donde a ≤ x≤ b .

Se entiende por longitud del arco AB el límite al que tiende a cero la longitud de la línea discontinua inscrita en este eslabón. Demostremos que si la función y = f(x) y su derivada y′ = f′ (x) son continuas en el segmento [a ,b ], entonces la curva AB tiene una longitud igual a

Si la ecuación de la curva AB se da en forma paramétrica

x = x(t), α ≤ t ≤ β, y= y(t),

donde x (t) e y (t) son funciones continuas con derivadas continuas y x (α) = a, x (β) = b, entonces la longitud l de la curva AB se encuentra mediante la fórmula

Esto significa l = 2π R. Si la ecuación de un círculo se escribe en la forma paramétrica = R costo, y = R sint (0 ≤t ≤ 2π), entonces

Coordenadas polares

Sea la curva AB dada por la ecuación en coordenadas polares r =r (ϕ),α ≤ ϕ ≤ β. Supongamos que r (ϕ ) y r" (ϕ ) son continuas en el intervalo [α, β].

Si en las igualdades x = r cosϕ, y = r sinϕ, conectando coordenadas polares y cartesianas,

el ángulo ϕ se considera un parámetro, entonces la curva AB se puede establecer paramétricamentex = r (ϕ) cos ϕ,

y = r(ϕ) senϕ.

Aplicando la fórmula (15), obtenemos l = ∫ r 2 + r ′ 2 d ϕ .

Ejemplo Encuentra la longitud del cardioide r =a (1 + cosϕ). Solución:

El cardioide r =a (1 + cosϕ) tiene la forma que se muestra en la Figura 14. Es simétrico con respecto al eje polar. Encontremos la mitad de la longitud del cardioide:

Por tanto, 1 2 l = 4 a. Esto significa l = 8a.

5. Encontrar el área de superficie de los cuerpos de revolución.

Sea la curva AB la gráfica de la función y = f(x) ≥ 0, donde x [a; b], y la función y = f(x) y su derivada y" = f"(x) son continuas en este segmento.

Encontremos el área S de la superficie formada por la rotación de la curva AB alrededor del eje Ox (Fig. 8).

Apliquemos el esquema II (método diferencial).

A través de un punto arbitrario x [a; b] dibuja un plano P perpendicular al eje Ox. El plano P interseca la superficie de rotación en un círculo con radio y – f(x). El tamaño S de la superficie de la parte de la figura de revolución que se encuentra a la izquierda del plano es función de x, es decir s = s(x) (s(a) = 0 y s(b) = S).

Démosle al argumento x un incremento Δx = dx. Por el punto x + dx [a; b] también dibujamos un plano perpendicular al eje Ox. La función s = s(x) recibirá un incremento de Δs, que se muestra en la figura como un “cinturón”.

Encontremos el área diferencial ds reemplazando la figura formada entre las secciones por un cono truncado, cuya generatriz es igual a dl, y los radios de las bases son iguales a y e y + dу. El área de su superficie lateral es igual a: = 2ydl + dydl.

Rechazando el producto dу d1 como un infinitesimal de orden superior a ds, obtenemos ds = 2уdl, o, dado que d1 = dx.

Integrando la igualdad resultante en el rango de x = a a x = b, obtenemos

Si la curva AB viene dada por las ecuaciones paramétricas x = x(t), y = y(t), t≤ t ≤ t, entonces la fórmula para el área de superficie de revolución toma la forma

S=2 dt.

Ejemplo: Encuentra el área de superficie de una bola de radio R.

S=2 =

6. Encontrar el trabajo de una fuerza variable.

Trabajo de fuerza variable

Deje que el punto material M se mueva a lo largo del eje Ox bajo la acción de una fuerza variable F = F(x) dirigida paralela a este eje. El trabajo realizado por una fuerza al mover el punto M desde la posición x = a hasta la posición x = b (a

¿Cuánto trabajo se debe hacer para estirar el resorte 0,05 m si una fuerza de 100 N lo estira 0,01 m?

Según la ley de Hooke, la fuerza elástica que estira el resorte es proporcional a este estiramiento x, es decir F = kх, donde k es el coeficiente de proporcionalidad. Según las condiciones del problema, una fuerza F = 100 N estira el resorte x = 0,01 m; por lo tanto, 100 = k 0,01, de donde k = 10000; por lo tanto, F = 10000x.

El trabajo requerido según la fórmula.

A =

Encuentre el trabajo que se debe realizar para bombear líquido sobre el borde desde un tanque cilíndrico vertical de altura N m y radio de base R m (Fig. 13).

El trabajo invertido en levantar un cuerpo de peso p a una altura h es igual a p N. Pero las diferentes capas de líquido en el tanque están a diferentes profundidades y la altura de elevación (hasta el borde del tanque) de las diferentes Las capas no son lo mismo.

Para resolver el problema aplicamos el esquema II (método diferencial). Introduzcamos un sistema de coordenadas.

1) El trabajo invertido en bombear una capa de líquido de espesor x (0 ≤ x ≤ H) de un depósito es función de x, es decir A = A(x), donde (0 ≤ x ≤ H) (A(0) = 0, A(H) = A 0).

2) Encuentre la parte principal del incremento ΔA cuando x cambia en la cantidad Δx = dx, es decir Encuentre el diferencial dA de la función A(x).

Debido a la pequeñez de dx, asumimos que la capa "elemental" de líquido está ubicada a la misma profundidad x (desde el borde del depósito). Entonces dA = dрх, donde dр es el peso de esta capa; es igual a g AV, donde g es la aceleración de la gravedad, es la densidad del líquido, dv es el volumen de la capa "elemental" de líquido (está resaltado en la figura), es decir dр = g. El volumen de la capa de líquido indicada es obviamente igual a , donde dx es la altura del cilindro (capa), es el área de su base, es decir dv = .

Por tanto, dр = . Y

3) Integrando la igualdad resultante en el rango de x = 0 a x = H, encontramos

A

8. Cálculo de integrales utilizando el paquete MathCAD.

Al resolver algunos problemas aplicados, es necesario utilizar la operación de integración simbólica. En este caso, el programa MathCad puede resultar útil tanto en la etapa inicial (es bueno conocer la respuesta de antemano o saber que existe) como en la etapa final (es bueno comprobar el resultado utilizando una respuesta de otra fuente o la solución de otra persona).

Al resolver una gran cantidad de problemas, puede notar algunas características de la resolución de problemas utilizando el programa MathCad. Intentemos comprender con varios ejemplos cómo funciona este programa, analizar las soluciones obtenidas con su ayuda y comparar estas soluciones con las obtenidas por otros métodos.

Los principales problemas al utilizar el programa MathCad son los siguientes:

a) el programa da la respuesta no en forma de funciones elementales familiares, sino en forma de funciones especiales que no todos conocen;

b) en algunos casos “se niega” a dar una respuesta, aunque existe una solución al problema;

c) a veces es imposible utilizar el resultado obtenido debido a su engorroso;

d) no resuelve el problema por completo y no analiza la solución.

Para resolver estos problemas, es necesario explotar las fortalezas y debilidades del programa.

Con su ayuda es fácil y sencillo calcular integrales de funciones racionales fraccionarias. Por lo tanto, se recomienda utilizar el método de reemplazo de variables, es decir Prepare previamente la integral para la solución. Para estos fines, se pueden utilizar las sustituciones analizadas anteriormente. También debe tenerse en cuenta que los resultados obtenidos deben examinarse para determinar la coincidencia de los dominios de definición de la función original y el resultado obtenido. Además, algunas de las soluciones obtenidas requieren investigación adicional.

El programa MathCad libera al estudiante o investigador del trabajo rutinario, pero no puede liberarlo de análisis adicionales tanto al plantear un problema como al obtener resultados.

Este artículo examinó las principales disposiciones relacionadas con el estudio de las aplicaciones de una integral definida en un curso de matemáticas.

– se realizó un análisis de la base teórica para la resolución de integrales;

– el material fue sistematizado y generalizado.

En el proceso de realización del trabajo del curso se consideraron ejemplos de problemas prácticos en el campo de la física, la geometría y la mecánica.

Conclusión

Los ejemplos de problemas prácticos discutidos anteriormente nos dan una idea clara de la importancia de la integral definida para su solubilidad.

Es difícil nombrar un campo científico en el que no se utilicen los métodos del cálculo integral, en general, y las propiedades de la integral definida, en particular. Entonces, en el proceso de completar los cursos, examinamos ejemplos de problemas prácticos en el campo de la física, la geometría, la mecánica, la biología y la economía. Por supuesto, esta está lejos de ser una lista exhaustiva de ciencias que utilizan el método integral para buscar un valor establecido al resolver un problema específico y establecer hechos teóricos.

La integral definida también se utiliza para estudiar las matemáticas. Por ejemplo, al resolver ecuaciones diferenciales, que a su vez aportan una contribución insustituible a la resolución de problemas prácticos. Podemos decir que una integral definida es una base cierta para el estudio de las matemáticas. De ahí la importancia de saber solucionarlos.

De todo lo anterior queda claro por qué el conocimiento de la integral definida se produce en el marco de la escuela secundaria, donde los estudiantes estudian no solo el concepto de integral y sus propiedades, sino también algunas de sus aplicaciones.

Literatura

1. Volkov E.A. Métodos numéricos. M., Nauka, 1988.

2. Piskunov N.S. Cálculo diferencial e integral. M., Integral-Prensa, 2004. T. 1.

3. Shipachev V.S. Matemáticas avanzadas. M., Escuela Superior, 1990.

¡Saludos queridos estudiantes de la Universidad de Argemona!

Hoy seguiremos aprendiendo cómo materializar objetos. La última vez rotamos figuras planas y obtuvimos cuerpos volumétricos. Algunos de ellos son muy tentadores y útiles. Creo que mucho de lo que inventa un mago se puede utilizar en el futuro.

Hoy rotaremos curvas. Está claro que de esta forma podemos conseguir algún objeto con bordes muy finos (un cono o botella para pociones, un florero, un vaso para bebidas, etc.), porque una curva giratoria puede crear exactamente este tipo de objetos. En otras palabras, al girar la curva podemos obtener algún tipo de superficie, cerrada por todos lados o no. Por qué ahora mismo recordé la taza que goteaba de la que siempre bebía Sir Shurf Lonley-Lokley.

Entonces crearemos un cuenco con agujeros y un cuenco sin agujeros, y calcularemos el área de la superficie creada. Creo que (la superficie en general) será necesaria para algo, bueno, al menos para aplicar pintura mágica especial. Por otro lado, es posible que sea necesario calcular las áreas de los artefactos mágicos para calcular las fuerzas mágicas que se les aplican o algo más. Aprenderemos a encontrarlo y encontraremos dónde aplicarlo.

Entonces, un trozo de parábola puede darnos la forma de un cuenco. Tomemos el y=x 2 más simple en el intervalo. Se puede ver que cuando lo giras alrededor del eje OY, obtienes solo un cuenco. Sin fondo.

El hechizo para calcular la superficie de rotación es el siguiente:

Aquí |y| es la distancia desde el eje de rotación hasta cualquier punto de la curva que gira. Como sabes, la distancia es una perpendicular.
Un poco más difícil con el segundo elemento del hechizo: ds es el diferencial de arco. Estas palabras no nos aportan nada, así que no nos molestemos, pero pasemos al lenguaje de las fórmulas, donde este diferencial se presenta claramente para todos los casos que conocemos:
- Sistema de coordenadas Cartesianas;
- registrar la curva en forma paramétrica;
- sistema de coordenadas polares.

Para nuestro caso, la distancia desde el eje de rotación a cualquier punto de la curva es x. Calculamos el área de superficie del cuenco con agujeros resultante:

Para hacer un cuenco con fondo, necesitas tomar otra pieza, pero con una curva diferente: en el intervalo esta es la recta y=1.

Está claro que cuando gira alrededor del eje OY, el fondo del recipiente tendrá la forma de un círculo de radio unitario. Y sabemos cómo se calcula el área de un círculo (usando la fórmula pi*r^2. Para nuestro caso, el área del círculo será igual a pi), pero calculémoslo usando una nueva fórmula: verificar.
La distancia desde el eje de rotación hasta cualquier punto de este tramo de la curva también es igual a x.

Bueno, nuestros cálculos son correctos, lo cual es una buena noticia.

Y ahora tarea.

1. Encuentre el área de superficie obtenida al rotar la línea discontinua ABC, donde A=(1; 5), B=(1; 2), C=(6; 2), alrededor del eje OX.
Consejo. Escriba todos los segmentos en forma paramétrica.
AB: x=1, y=t, 2≤t≤5
antes de Cristo: x=t, y=2, 1≤t≤6
Por cierto, ¿cómo es el objeto resultante?

2. Bueno, ahora inventa algo tú mismo. Creo que tres elementos serán suficientes.