MINISTERIO DE EDUCACIÓN DE LA FEDERACIÓN DE RUSIA

UNIVERSIDAD ESTATAL DE MOSCÚ

DISEÑO Y TECNOLOGÍA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

CENTÍMETRO. RAZINOVA, V.G. SIDOROV

Determinación por física molecular del coeficiente de tensión superficial de un líquido mediante el método de elevación del líquido en capilares.

Directrices para el trabajo de laboratorio No. 23.

Aprobado como material didáctico.

Consejo Editorial y Editorial del MGUDT

Curador de RIS Kozlov A.S.

El trabajo fue revisado en una reunión del Departamento de Física y recomendado para su publicación.

Sidorov V.G., profesor asociado Doctor en Filosofía.

Revisor: Asoc. Rode SV, Ph.D.

R-23 Razinova S.M.Física molecular.Determinación del coeficiente de tensión superficial de un líquido mediante el método de elevación de líquido en capilares..: Instrucciones metodológicas para trabajos de laboratorio No. 23 / Razinova S.M., Sidorov V.G. - M.: IIT MGUDT, 2004 – 11 páginas.

Directrices para realizar trabajos de laboratorio No. 23 sobre el tema "Física molecular. Determinación del coeficiente de tensión superficial de un líquido mediante el método de elevación de líquido en capilares" contiene una sección teórica dedicada a las manifestaciones de las fuerzas de tensión superficial, el mecanismo de aparición de presión adicional y cálculo de su valor, fenómenos en el límite entre cuerpos líquido y sólido, así como una descripción de la instalación y principio de medición, el procedimiento para realizar el trabajo, cuestiones de control para la admisión y protección del trabajo de laboratorio.

Diseñado para estudiantes de especialidades: 06.08, 17.07, 21.02, 22.03, 25.06, 25.08, 25.09, 28.10, 28.11, 28.12, 33.02.

© Universidad Estatal de Moscú

diseño y tecnología, 2004

Trabajo de laboratorio No. 23.

“DETERMINACIÓN DEL COEFICIENTE DE TENSIÓN SUPERFICIAL DEL LÍQUIDO MEDIANTE EL MÉTODO DE SUBIDA DEL LÍQUIDO EN CAPILARES.”

OBJETIVO DEL TRABAJO: familiarización con los fundamentos teóricos del fenómeno de la tensión superficial y determinación del coeficiente de tensión superficial.

DISPOSITIVOS Y ACCESORIOS: microscopio de medición, recipiente con agua, dos capilares, trípode con soporte.

Introducción

1. Presión bajo una superficie curva de agua. La fórmula de Laplace.

Una de las manifestaciones de las fuerzas de tensión superficial es la aparición de presión adicional bajo la superficie curva de un líquido.

Consideremos el mecanismo por el cual surge esta presión y calculemos su valor.

Imaginemos una superficie esférica curva con un radio de curvatura R y un centro de curvatura en el punto O. Seleccionemos en esta superficie una sección delimitada por un contorno circular con un radio r (Fig. 1). Para cada segmento de contorno la fuerza de tensión superficialF  i actuará, dirigida tangencialmente a la superficie perpendicular al segmento del contorno .

Se crea presión adicional debido a la componente de fuerza F  i, perpendicular a la superficie de la sección transversal de radio r con área S= r 2.

.

La fuerza de tensión superficial F se puede expresar a partir de la definición del coeficiente de tensión superficial como F= = 2 r , entonces

.

Como cos=r/R, entonces

Si en la fórmula (1) sustituimos el valor de curvatura de la superficie H=1/R en lugar del radio R, obtenemos:

Laplace demostró que la fórmula (2) es para una superficie de cualquier forma, si por H nos referimos a la curvatura promedio de la superficie en el punto en el que se determina la presión adicional. En geometría está demostrado que una cantidad igual a

, (3)

permanece constante para cualquier par de secciones normales mutuamente perpendiculares trazadas a través de un punto en una superficie arbitraria. Este valor se llama curvatura promedio de la superficie en un punto dado. Los radios R 1 y R 2 pueden tener diferentes signos dependiendo de dónde se encuentre el centro de curvatura: si el centro de curvatura se encuentra debajo de la superficie (Fig.2, a), entonces el radio es positivo, las componentes de la fuerza de tensión superficial se dirigen hacia abajo y, por lo tanto, la fuerza de presión adicional resultante también se dirige hacia abajo; si el centro de curvatura se encuentra sobre la superficie (Fig. 2, b), entonces el radio es negativo, las componentes de las fuerzas de tensión superficial se dirigirán hacia arriba y crearán una fuerza de presión dirigida hacia arriba. En el caso de una superficie plana (Fig. 2, c), no hay presión adicional (la fuerza de tracción tangente a la superficie no tiene un componente perpendicular a ella).

Si sustituimos (3) en la fórmula (2), obtenemos:

(4)

Esta fórmula se llama LAS FÓRMULAS DE LAPLACE, permite calcular la presión adicional que surge bajo una superficie del líquido arbitrariamente curvada.

2. Fenómenos en la interfaz entre líquido y sólido. Cuando un líquido y un sólido entran en contacto con un sólido, es necesario tener en cuenta tanto las fuerzas de interacción entre las moléculas del líquido como las fuerzas de interacción entre las moléculas del líquido y el sólido. Si las fuerzas de adhesión de un líquido y un cuerpo sólido son mayores que las fuerzas de adhesión de las partículas del líquido, el líquido se llama MOJADA dado un cuerpo sólido, si es al revés, entonces el líquido será este es el cuerpo. Un mismo cuerpo puede ser humedecido por un líquido y no por otro. Por ejemplo, el vidrio se moja con agua y no con mercurio.

Veamos cómo se comporta el líquido humectante cerca de las paredes del recipiente (Fig. 3, a). Consideremos la esfera de acción molecular de la superficie del líquido más cercana a la pared de la molécula. Sobre esta molécula actuarán las fuerzas F 1, de las moléculas del cuerpo sólido y F 2, de las moléculas del líquido. Dado que para un líquido humectante F 1 F 2, el F resultante se dirigirá profundamente hacia el líquido, perpendicular a su superficie, por lo tanto, la superficie del líquido cerca de la pared no es horizontal, sino que se dobla hacia arriba. En el caso de un líquido no humectante, por analogía, la superficie del líquido cerca de las paredes se dobla hacia arriba (Fig. 3, b). Entonces, la superficie del líquido libre cerca de las paredes es curva.

El grado de humectabilidad de los líquidos se caracteriza por el ÁNGULO DE CONTACTO, igual al ángulo entre las tangentes a la superficie del líquido y la superficie del sólido. En el caso de la humectación, este ángulo (Fig. 3, a), si, habla de una humectación completa del cuerpo sólido por el líquido. En el caso de no mojarse, el ángulo del borde es obtuso: (Fig. 3, b), si, entonces se habla de no mojarse por completo.

La Figura 4, a muestra la vista de una gota de líquido humectante sobre una superficie horizontal, la Figura 4, b - la vista de una gota de líquido que no moja la superficie.

3. Capilaridad. Si se sumerge un tubo ancho en el líquido, de acuerdo con la Fig. 3, la superficie del líquido cerca de las paredes se doblará. Este tipo de superficies curvas se llaman meniscos.

Si el tubo es lo suficientemente estrecho, entonces la superficie del menisco tomará una forma esférica, o la más cercana a ella, y el radio de curvatura de la superficie del líquido será del mismo orden que el radio del tubo. La curvatura resultante de la superficie del líquido provocará la aparición de una presión adicional, cuya magnitud está determinada en el caso más general por la fórmula de Laplace (4). La presión adicional resultante en caso de humedecimiento conducirá a al ascenso del liquido en un tubo estrecho hasta una cierta altura (Fig.5, a), y en el caso de no mojarse - a su descenso(Figura 5, b).

Consideremos este fenómeno en detalle.

Si, por ejemplo, el líquido en el tubo se moja, entonces la presión adicional del líquido debajo de la superficie del menisco se dirigirá hacia arriba (Fig.2, b) y su valor de acuerdo con (1) será igual a

donde  es el coeficiente de tensión superficial, R es el radio de curvatura de la superficie del líquido (como se mencionó anteriormente, la superficie del líquido en un tubo estrecho puede considerarse parte de una esfera de radio R).

Dado que en el recipiente en el que se baja el tubo, debajo de la superficie plana la presión adicional es cero, el líquido en el tubo se eleva a una altura tal a la que la presión hidrostática de la columna de líquido equilibra la presión adicional de Laplace p. La presión hidrostática creada por una columna de líquido de altura h es igual a gh, donde  es la densidad del líquido, g es la aceleración gravitacional, entonces la condición de equilibrio tomará la forma:

De la Figura (5) queda claro que, donde  es el ángulo de contacto de humectación, entonces a partir de la fórmula (5) se puede encontrar la relación entre la altura h del líquido que se eleva a lo largo de un tubo estrecho y el radio del tubo r.

De (6) se desprende claramente que cuanto mayor es la altura de subida en un tubo estrecho, menor es su radio, por lo que la subida de líquidos es especialmente notable en tubos estrechos. Estos tubos se llaman CAPILARES, y el fenómeno mismo de subir o bajar líquidos en ellos es PROCESO DE CAPILAR.

Basándose en la teoría expuesta, es posible determinar experimentalmente el coeficiente de tensión superficial de un líquido.

En este capítulo estudiaremos los fenómenos que ocurren cerca de la interfaz entre dos medios continuos (en realidad, por supuesto, los cuerpos en contacto están separados por una estrecha capa de transición que, debido a su muy pequeño espesor, puede considerarse como una superficie ).

Si la interfaz entre dos medios es curva, cerca de ella las presiones en ambos medios son diferentes. Para determinar esta diferencia de presión (llamada presión superficial), escribiremos la condición de equilibrio termodinámico de ambos cuerpos entre sí, teniendo en cuenta las propiedades de su interfaz.

Supongamos que la interfaz esté sujeta a un desplazamiento infinitesimal. En cada punto de la superficie no desplazada le trazamos una normal. El segmento normal encerrado entre sus intersecciones con las superficies no desplazadas y desplazadas se denota por Entonces el volumen de cada elemento del espacio encerrado entre las superficies es donde se encuentra el elemento de superficie. Sea la presión en el primer y segundo medio y la consideraremos positiva si la interfaz se desplaza, digamos, hacia el segundo medio. Entonces el trabajo que se debe realizar para el cambio de volumen descrito es igual a

El trabajo completo de desplazamiento de la superficie se obtendrá añadiendo aquí más trabajo asociado a un cambio en el área de esta propia superficie. Esta parte del trabajo es proporcional, como se sabe, al cambio de área superficial y es igual a , donde a es la tensión superficial. Por tanto, el trabajo total es igual a

La condición de equilibrio termodinámico está determinada, como es sabido, por la desaparición.

Entonces los elementos de longitud en la superficie, dibujados en los planos de sus secciones principales, reciben incrementos con un desplazamiento infinitesimal de la superficie, los cuales son iguales, respectivamente, para ser considerados como elementos de un arco de círculos con radios. Por lo tanto, el elemento de superficie será igual después del desplazamiento.

es decir, cambiará por la cantidad

De esto se puede ver que el cambio total en el área de la interfaz es

Sustituyendo las expresiones resultantes en (61.1) e igualándolas a cero, obtenemos la condición de equilibrio en la forma

Esta condición debe cumplirse para un desplazamiento arbitrario infinitesimal de la superficie, es decir, para un desplazamiento arbitrario de la superficie. Por lo tanto, es necesario que la expresión bajo la integral entre paréntesis desaparezca idénticamente, es decir,

Esta es la fórmula (fórmula de Lapplace) que determina la presión superficial. Vemos que si son positivos, entonces. Esto quiere decir que de los dos cuerpos, la presión es mayor en aquel cuya superficie es convexa. Es decir, si la interfaz es plana, entonces las presiones en ambos cuerpos, como deberían ser, son las mismas.

Apliquemos la fórmula (61.3) para estudiar el equilibrio mecánico de cuerpos en contacto. Supongamos que ni la interfaz ni los propios cuerpos se ven afectados por fuerzas externas. Entonces a lo largo de cada uno de los cuerpos la presión es constante. Teniendo en cuenta la fórmula (61.3), podemos escribir la condición de equilibrio en la forma

(61,4)

Por tanto, la suma de los radios de curvatura inversos debe ser constante a lo largo de toda la interfaz libre. Si toda la superficie está libre, entonces la condición (60.4) significa que la superficie debe tener una forma esférica (por ejemplo, la superficie de una pequeña gota, cuya influencia de la gravedad puede despreciarse). Si la superficie se fija a lo largo de alguna línea (por ejemplo, una película líquida sobre un marco sólido), entonces su forma es más compleja.

Cuando se aplica al equilibrio de películas delgadas de líquido adheridas a una estructura sólida, la condición (61.4) debe tener un cero a la derecha. En efecto, la suma debe ser la misma en toda la superficie libre de la película y al mismo tiempo en sus dos lados debe tener el signo opuesto, ya que si un lado es convexo, el otro es cóncavo con los mismos radios de curvatura. , que, sin embargo, ahora debería considerarse negativo. De ello se deduce que la condición de equilibrio para una película delgada es

Consideremos ahora la condición de equilibrio en la superficie de un cuerpo ubicado en un campo gravitacional. Para simplificar, supongamos que el segundo medio es simplemente la atmósfera, cuya presión puede considerarse constante en todo el tamaño del cuerpo. Consideremos un fluido incompresible como el propio cuerpo. Entonces tenemos , y la presión en el líquido es igual según (la coordenada z se mide verticalmente hacia arriba). Por tanto, la condición de equilibrio toma la forma

(61,6)

Sin embargo, cabe señalar que para determinar la forma de equilibrio de una superficie líquida en casos específicos, suele ser conveniente utilizar la condición de equilibrio no en la forma (61.6), sino resolviendo directamente el problema variacional de la energía libre mínima. . La energía libre interna de un líquido depende sólo del volumen, pero no de la forma de la superficie. En primer lugar, la energía libre superficial depende de la forma.

y en segundo lugar, la energía en el campo externo (campo de gravedad), igual a

Por tanto, la condición de equilibrio se puede escribir en la forma

La determinación del mínimo deberá realizarse bajo la condición adicional

(61,8)

expresando la constancia del volumen total de líquido.

Las constantes entran en condiciones de equilibrio (61.6-7) sólo en forma de razón. Esta relación tiene la dimensión del cuadrado de la longitud. Longitud

llamada constante capilar. La forma de la superficie del líquido está determinada únicamente por esta cantidad. Si la constante capilar es grande (en comparación con el tamaño del cuerpo), entonces se puede despreciar el campo gravitacional al determinar la forma de la superficie.

Para determinar la forma de la superficie a partir de la condición (61.4) o (61.6), es necesario tener fórmulas que determinen los radios de curvatura en función de la forma de la superficie. Estas fórmulas se conocen de la geometría diferencial, pero en el caso general tienen una forma bastante compleja. Se simplifican mucho cuando la forma de la superficie se desvía sólo ligeramente de la plana. Deduciremos aquí la fórmula aproximada correspondiente directamente, sin utilizar la fórmula general de geometría diferencial.

Sea la ecuación de la superficie; asumimos que todo es pequeño, es decir, que la superficie se desvía ligeramente del plano. Como se sabe, el área f de la superficie está determinada por la integral.

o aproximadamente en pequeño

Definamos la variación.

Integrando por partes encontramos:

Comparando esta expresión con (61.2), obtenemos:

Ésta es la fórmula deseada que determina la suma de los radios de curvatura inversos de una superficie débilmente curvada.

Cuando tres fases en contacto entre sí están en equilibrio, sus interfaces se establecen de tal manera que la resultante de las tres fuerzas de tensión superficial que actúan sobre la línea común de contacto de los tres medios es igual a cero. Esta condición conduce a que las interfaces deban cortarse entre sí en ángulos (los llamados ángulos de contacto) determinados por los valores de tensión superficial.

Finalmente, detengámonos en la cuestión de las condiciones de contorno que deben observarse en el límite de dos fluidos en movimiento al tener en cuenta las fuerzas de tensión superficial. Si no se tiene en cuenta la tensión superficial, entonces en la frontera de dos líquidos tenemos:

que expresa la igualdad de las fuerzas de fricción que actúan sobre la superficie de ambos líquidos. Al tener en cuenta la tensión superficial, es necesario escribir en el lado derecho de esta condición una fuerza adicional, determinada en magnitud por la fórmula de Laplace y dirigida normal a la superficie:

De lo contrario, puedes escribir esta ecuación en la forma

La condición (61.13), sin embargo, no es todavía la más general. El hecho es que el coeficiente de tensión superficial a puede no ser constante a lo largo de la superficie (por ejemplo, como resultado de la variabilidad de la temperatura). Luego, junto con la fuerza normal (que desaparece en el caso de una superficie plana), aparece alguna fuerza adicional, dirigida tangencialmente a la superficie. De manera similar a cómo, con una presión desigual, una fuerza volumétrica parece igual a (por unidad de volumen), aquí tenemos para la fuerza tangencial que actúa por unidad de área de la interfaz,.

Escribimos el gradiente aquí con un signo más delante, y no con un signo menos, como en fuerza, debido al hecho de que las fuerzas de tensión superficial tienden a reducir el área de la superficie, mientras que las fuerzas de presión tienden a aumentar el volumen de la superficie. cuerpo. Sumando esta fuerza al lado derecho de la igualdad (61.13), obtenemos la condición de frontera

(el vector normal unitario se dirige hacia el primer líquido). Tenga en cuenta que esta condición sólo puede cumplirse para un líquido viscoso. De hecho, para un fluido ideal, entonces el lado izquierdo de la igualdad (61.14) será un vector dirigido a lo largo de la normal y el lado derecho será un vector dirigido tangencialmente a la superficie. Pero tal igualdad es imposible (excepto, por supuesto, en el caso trivial en el que cada una de estas cantidades es igual a cero individualmente).

Cuando es lo suficientemente grande, la fórmula de Bernoulli produce cálculos engorrosos. Por tanto, en tales casos se utiliza el teorema local de Laplace.

Teorema(teorema local de Laplace). Si la probabilidad p de que ocurra el evento A en cada ensayo es constante y diferente de 0 y 1, entonces la probabilidad
el hecho de que el evento A aparezca exactamente k veces en n ensayos independientes es aproximadamente igual al valor de la función:

,

.

Hay tablas en las que se ubican los valores de las funciones.
, para valores positivos x.

Tenga en cuenta que la función
incluso

Entonces, la probabilidad de que el evento A aparezca en n ensayos es exactamente k veces aproximadamente igual a

, Dónde
.

Ejemplo. En el campo experimental se sembraron 1500 semillas. Encuentre la probabilidad de que las plántulas produzcan 1200 semillas si la probabilidad de que el grano brote es 0,9.

Solución.

Teorema integral de Laplace

La probabilidad de que en nueve ensayos independientes el evento A aparezca al menos k1 veces y como máximo k2 veces se calcula utilizando el teorema integral de Laplace.

Teorema(Teorema integral de Laplace). Si la probabilidad p de que ocurra el evento a en cada ensayo es constante y diferente de 0 y 1, entonces la probabilidad de que el evento A aparezca al menos k 1 vez y no más de k 2 veces en n ensayos es aproximadamente igual a la valor de una determinada integral:

.

Función
llamada función integral de Laplace, es impar y su valor se encuentra en la tabla para valores positivos x.

Ejemplo. En el laboratorio, de un lote de semillas con una tasa de germinación del 90%, se sembraron 600 semillas, de las cuales germinaron, no menos de 520 y no más de 570.

Solución.

la fórmula de poisson

Sean n ensayos independientes, la probabilidad de que ocurra el evento A en cada ensayo es constante e igual a p. Como ya hemos dicho, la probabilidad de que ocurra el evento A en ensayos independientes se puede encontrar exactamente k veces usando la fórmula de Bernoulli. Cuando n es suficientemente grande, se utiliza el teorema local de Laplace. Sin embargo, esta fórmula no es adecuada cuando la probabilidad de que ocurra un evento en cada ensayo es pequeña o cercana a 1. Y cuando p=0 o p=1 no es aplicable en absoluto. En tales casos se utiliza el teorema de Poisson.

Teorema(Teorema de Poisson). Si la probabilidad p de que ocurra el evento A en cada ensayo es constante y cercana a 0 o 1, y el número de ensayos es suficientemente grande, entonces la probabilidad de que en n ensayos independientes el evento A aparezca exactamente k veces se encuentra mediante fórmula:

.

Ejemplo. El manuscrito consta de mil páginas de texto mecanografiado y contiene mil errores tipográficos. Encuentre la probabilidad de que una página tomada al azar contenga al menos un error tipográfico.

Solución.

Preguntas Para autopruebas

Formule la definición clásica de probabilidad de un evento.

Establecer teoremas para la suma y multiplicación de probabilidades.

Definir un grupo completo de eventos.

Escribe la fórmula para la probabilidad total.

Escribe la fórmula de Bayes.

Escribe la fórmula de Bernoulli.

Escribe la fórmula de Poisson.

Escriba la fórmula local de Laplace.

Escribe la fórmula integral de Laplace.

Tema 13. Variable aleatoria y sus características numéricas.

Literatura: ,,,,,.

Uno de los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad es el concepto de variable aleatoria. Este es el nombre común de una cantidad variable que toma sus valores según el caso. Hay dos tipos de variables aleatorias: discretas y continuas. Las variables aleatorias generalmente se denotan como X,Y,Z.

Una variable aleatoria X se llama continua (discreta) si sólo puede tomar un número finito o contable de valores. Una variable aleatoria discreta X se define si todos sus valores posibles x 1 , x 2 , x 3 , ... x n (cuyo número puede ser finito o infinito) y las probabilidades correspondientes p 1 , p 2 , p 3 , ... p están dados n.

La ley de distribución de una variable aleatoria discreta X suele venir dada por la tabla:

La primera línea consta de posibles valores de la variable aleatoria X y la segunda línea indica las probabilidades de estos valores. La suma de las probabilidades con las que la variable aleatoria X toma todos sus valores es igual a uno, es decir

ð 1 + ð 2 + ð 3 +…+ð n =1.

La ley de distribución de una variable aleatoria discreta X se puede representar gráficamente. Para hacer esto, los puntos M 1 (x 1, p 1), M 2 (x 2, p 2), M 3 (x 3, p 3), ... M n (x n, p n) se construyen en un rectángulo. sistema de coordenadas y conectado por segmentos rectos La figura resultante se llama polígono de distribución de la variable aleatoria X.

Ejemplo. El valor discreto X viene dado por la siguiente ley de distribución:

Se requiere calcular: a) expectativa matemática M(X), b) varianza D(X), c) desviación estándar σ.

Solución . a) La expectativa matemática M(X) de una variable aleatoria discreta X es la suma de los productos por pares de todos los valores posibles de la variable aleatoria por las probabilidades correspondientes de estos valores posibles. Si se especifica una variable aleatoria discreta X usando la tabla (1), entonces la expectativa matemática M(X) se calcula usando la fórmula

M(X)=x 1 ∙p 1 +x 2 ∙p 2 +x 3 ∙p 3 +…+x n ∙p n. (2)

La expectativa matemática M(X) también se llama valor promedio de la variable aleatoria X. Aplicando (2), obtenemos:

M(X)=48∙0.2+53∙0.4+57∙0.3 +61∙0.1=54.

b) Si M(X) es la expectativa matemática de una variable aleatoria X, entonces la diferencia X-M(X) se llama desviación variable aleatoria X del valor medio. Esta diferencia caracteriza la dispersión de una variable aleatoria.

Diferencia(dispersión) de una variable aleatoria discreta X es la expectativa matemática (valor promedio) de la desviación al cuadrado de la variable aleatoria de su expectativa matemática. Así, por definición tenemos:

D(X)=M2. (3)

Calculemos todos los valores posibles de la desviación al cuadrado.

2 =(48-54) 2 =36

2 =(53-54) 2 =1

2 =(57-54) 2 =9

2 =(61-54) 2 =49

Para calcular la dispersión D(X), elaboramos la ley de distribución de la desviación al cuadrado y luego aplicamos la fórmula (2).

D(X)= 36∙0.2+1∙0.4+9∙0.3 +49∙0.1=15.2.

Cabe señalar que para calcular la varianza se utiliza a menudo la siguiente propiedad: la varianza D(X) es igual a la diferencia entre la expectativa matemática del cuadrado de la variable aleatoria X y el cuadrado de su expectativa matemática, es decir

D(X)-M(X 2)- 2. (4)

Para calcular la dispersión usando la fórmula (4), elaboramos la ley de distribución de la variable aleatoria X 2:

Ahora encontremos la expectativa matemática M(X 2).

M(X 2)= (48) 2 ∙0.2+(53) 2 ∙0.4+(57) 2 ∙0.3 +(61) 2 ∙0.1=

460,8+1123,6+974,7+372,1=2931,2.

Aplicando (4), obtenemos:

D(X)=2931,2-(54)2 =2931,2-2916=15,2.

Como puede ver, obtuvimos el mismo resultado.

c) La dimensión de la varianza es igual al cuadrado de la dimensión de la variable aleatoria. Por tanto, para caracterizar la dispersión de posibles valores de una variable aleatoria alrededor de su valor medio, es más conveniente considerar un valor que sea igual al valor aritmético de la raíz cuadrada de la varianza, es decir
. Este valor se llama desviación estándar de la variable aleatoria X y se denota por σ. De este modo

σ=
. (5)

Aplicando (5), tenemos: σ=
.

Ejemplo. La variable aleatoria X se distribuye según la ley normal. Expectativa matemática M(X)=5; varianzaD(X)=0,64. Encuentre la probabilidad de que como resultado de la prueba X tome un valor en el intervalo (4;7).

Solución Se sabe que si una variable aleatoria X está especificada por una función diferencial f(x), entonces la probabilidad de que X tome un valor perteneciente al intervalo (α, β) se calcula mediante la fórmula

. (1)

Si el valor X se distribuye según la ley normal, entonces la función diferencial

,

Dónde A=M(X) y σ=
. En este caso obtenemos de (1)

. (2)

La fórmula (2) se puede transformar usando la función de Laplace.

Hagamos una sustitución. Dejar
. Entonces
o dx=σ∙ dt.

Por eso
, donde t 1 y t 2 son los límites correspondientes para la variable t.

Reduciendo por σ, tenemos

De la sustitución ingresada
resulta que
Y
.

De este modo,

(3)

Según las condiciones del problema tenemos: a=5; σ=
=0,8; a=4; β=7. Sustituyendo estos datos en (3), obtenemos:

=Ф(2,5)-Ф(-1,25)=

=F(2,5)+F(1,25)=0,4938+0,3944=0,8882.

Ejemplo. Se cree que la desviación de la longitud de las piezas fabricadas con respecto al estándar es una variable aleatoria distribuida según una ley normal. Longitud estándar (expectativa matemática) a=40 cm, desviación estándar σ=0,4 cm Encuentre la probabilidad de que la desviación de la longitud del estándar no sea superior a 0,6 cm en valor absoluto.

Solución.Si X es la longitud de la pieza, entonces según las condiciones del problema este valor debería estar en el intervalo (a-δ,a+δ), donde a=40 y δ=0,6.

Poniendo α= a-δ y β= a+δ en la fórmula (3), obtenemos

. (4)

Sustituyendo los datos disponibles en (4), obtenemos:

Por tanto, la probabilidad de que la longitud de las piezas fabricadas esté en el rango de 39,4 a 40,6 cm es 0,8664.

Ejemplo. El diámetro de las piezas fabricadas por una planta es una variable aleatoria distribuida según una ley normal. Longitud del diámetro estándar a=2.5 cm, desviación estándar σ=0,01. ¿Dentro de qué límites se puede prácticamente garantizar la longitud del diámetro de esta pieza si se toma como confiable un evento con una probabilidad de 0,9973?

Solución. Según las condiciones del problema tenemos:

a=2,5; σ=0,01; .

Aplicando la fórmula (4), obtenemos la igualdad:

o
.

En la Tabla 2 encontramos que la función de Laplace tiene este valor en x=3. Por eso,
; de donde σ=0,03.

De esta forma se puede garantizar que la longitud del diámetro variará entre 2,47 y 2,53 cm.

Se sabe que la superficie de un líquido cerca de las paredes de un recipiente es curva. La superficie libre del líquido, curvada cerca de las paredes del vaso, se llama menisco.(Figura 145).

Consideremos una fina película de líquido cuyo espesor puede despreciarse. En un esfuerzo por minimizar su energía libre, la película crea una diferencia de presión desde diferentes lados. Debido a la acción de las fuerzas de tensión superficial en las gotas de líquido y en el interior de las pompas de jabón, presión adicional(la película se comprime hasta que la presión dentro de la burbuja excede la presión atmosférica en la cantidad de presión adicional de la película).

Arroz. 146.

La cantidad de presión adicional, obviamente, debería aumentar al aumentar el coeficiente de tensión superficial y la curvatura de la superficie.

Arroz. 147.

.

Esta fuerza presiona ambos hemisferios entre sí a lo largo de la superficie y, por tanto, provoca una presión adicional:

La curvatura de una superficie esférica es la misma en todas partes y está determinada por el radio de la esfera. Evidentemente, cuanto más pequeña, mayor será la curvatura de la superficie esférica.

El exceso de presión dentro de la pompa de jabón es el doble, ya que la película tiene dos superficies:

La presión adicional provoca un cambio en el nivel del líquido en los tubos estrechos (capilares), por lo que a veces se le llama presión capilar.

La curvatura de una superficie arbitraria suele caracterizarse por la denominada curvatura media, que puede ser diferente para diferentes puntos de la superficie.

El valor da la curvatura de la esfera. En geometría está demostrado que la semisuma de los radios de curvatura recíprocos para cualquier par de secciones normales mutuamente perpendiculares tiene el mismo valor:

. (1)

Este valor es la curvatura promedio de la superficie en un punto dado. En esta fórmula, los radios son cantidades algebraicas. Si el centro de curvatura de una sección normal está debajo de una superficie determinada, el radio de curvatura correspondiente es positivo; si el centro de curvatura se encuentra por encima de la superficie, el radio de curvatura es negativo (Fig. 148).

Arroz. 148.

Por ejemplo, para una esfera, los centros de curvatura en cualquier punto de la superficie coinciden con el centro de la esfera, por lo tanto . Para el caso de la superficie de un cilindro circular de radio tenemos: , y .

Se puede demostrar que para una superficie de cualquier forma la relación es válida:

Sustituyendo la expresión (1) en la fórmula (2), obtenemos la fórmula para la presión adicional bajo una superficie arbitraria, llamada la fórmula de laplace(Figura 148):

. (3)

Los radios y en la fórmula (3) son cantidades algebraicas. Si el centro de curvatura de una sección normal está debajo de una superficie determinada, el radio de curvatura correspondiente es positivo; si el centro de curvatura está por encima de la superficie, el radio de curvatura es negativo.

Ejemplo. Si hay una burbuja de gas en el líquido, entonces la superficie de la burbuja, que tiende a contraerse, ejercerá una presión adicional sobre el gas. . Encontremos el radio de una burbuja en agua en la que la presión adicional es igual a 1 cajero automático. .El coeficiente de tensión superficial del agua es igual a . Por tanto, para se obtiene el siguiente valor: .

En contacto con otro medio, se encuentra en condiciones especiales respecto al resto de la masa líquida. Las fuerzas que actúan sobre cada molécula de la capa superficial del líquido que bordea el vapor se dirigen hacia el volumen del líquido, es decir, hacia el interior del líquido. Como resultado, se requiere trabajo para mover una molécula desde la profundidad del líquido hasta la superficie. Si, a temperatura constante, el área de la superficie aumenta en una cantidad infinitesimal dS, entonces el trabajo necesario para ello será igual a. El trabajo para aumentar la superficie se realiza contra las fuerzas de tensión superficial, que tienden a reducir la superficie. Por tanto, el trabajo de las fuerzas de tensión superficial para aumentar la superficie del líquido será igual a:

Aquí el coeficiente de proporcionalidad σ se llama coeficiente de tensión superficial y está determinada por la cantidad de trabajo realizado por las fuerzas de tensión superficial en función del cambio en el área de superficie por unidad. En SI, el coeficiente de tensión superficial se mide en J/m 2.

Las moléculas de la capa superficial de un líquido tienen un exceso de energía potencial en comparación con las moléculas profundas, que es directamente proporcional al área de la superficie del líquido:

El aumento de la energía potencial de la capa superficial está asociado únicamente con el aumento del área superficial: . Las fuerzas de tensión superficial son fuerzas conservativas, por lo tanto se cumple la igualdad: . Las fuerzas de tensión superficial tienden a reducir la energía potencial de la superficie del líquido. Normalmente, la energía que se puede convertir en trabajo se llama energía libre U S . Por tanto, podemos escribirlo. Usando el concepto de energía libre, podemos escribir la fórmula (6.36) de la siguiente manera: . Usando la última igualdad podemos determinar coeficiente de tensión superficial como una cantidad física numéricamente igual a la energía libre de una unidad de superficie de un líquido.

El efecto de las fuerzas de tensión superficial se puede observar mediante un experimento simple sobre una película delgada de líquido (por ejemplo, solución jabonosa) que envuelve un marco de alambre rectangular, uno de cuyos lados se puede mezclar (figura 6.11). Supongamos que una fuerza externa actúa sobre el lado móvil, de longitud l, FB, moviendo el lado móvil del marco uniformemente a lo largo de una distancia muy pequeña dh. El trabajo elemental de esta fuerza será igual a , ya que la fuerza y ​​el desplazamiento están codirigidos. Dado que la película tiene dos superficies y, a lo largo de cada una de ellas se dirigen fuerzas de tensión superficial F, cuya suma vectorial es igual a la fuerza externa. El módulo de la fuerza externa es igual al doble del módulo de una de las fuerzas de tensión superficial: . El trabajo mínimo realizado por una fuerza externa es igual en magnitud a la suma del trabajo realizado por las fuerzas de tensión superficial: . La cantidad de trabajo realizado por la fuerza de tensión superficial se determinará de la siguiente manera:

, Dónde . Desde aquí. Eso es coeficiente de tensión superficial se puede definir como un valor igual a la fuerza de tensión superficial que actúa tangencialmente a la superficie del líquido por unidad de longitud de la línea divisoria. Las fuerzas de tensión superficial tienden a reducir la superficie de un líquido. Esto se nota en pequeños volúmenes de líquido, cuando toma la forma de gotitas-bolas. Como se sabe, es la superficie esférica la que tiene el área mínima para un volumen determinado. Un líquido tomado en grandes cantidades, bajo la influencia de la gravedad, se esparce sobre la superficie en la que se encuentra. Como se sabe, la fuerza de gravedad depende de la masa del cuerpo, por lo que su valor también disminuye a medida que disminuye la masa y, a partir de una determinada masa, se vuelve comparable o incluso mucho menor que el valor de la fuerza de tensión superficial. En este caso, se puede despreciar la fuerza de gravedad. Si un líquido se encuentra en estado de ingravidez, incluso con un gran volumen su superficie tiende a ser esférica. Así lo confirma la famosa experiencia Plateau. Si seleccionamos dos líquidos con la misma densidad, entonces el efecto de la gravedad sobre uno de ellos (tomado en menor cantidad) será compensado por la fuerza de Arquímedes y tomará la forma de una bola. En esta condición, flotará dentro de otro líquido.

Consideremos lo que le sucede a una gota de líquido 1, que limita por un lado con el vapor 3 y por el otro con el líquido 2 (figura 6.12). Elijamos un elemento muy pequeño de la interfaz entre las tres sustancias dl. Entonces las fuerzas de tensión superficial en las interfaces entre los medios se dirigirán tangencialmente al contorno de las interfaces y serán iguales a:

Despreciamos el efecto de la gravedad. La gota de líquido 1 está en equilibrio si se cumplen las siguientes condiciones:

(6.38)

Sustituyendo (6.37) en (6.38), reduciendo ambos lados de las igualdades (6.38) por dl, elevando al cuadrado ambos lados de las igualdades (6.38) y sumándolos, obtenemos:

¿Dónde está el ángulo entre las tangentes a las líneas divisorias de los medios, llamado ángulo del borde.

El análisis de la ecuación (6.39) muestra que cuando obtenemos y el líquido 1 moja completamente la superficie del líquido 2, extendiéndose sobre él en una fina capa ( fenómeno de humectación completa ).

Se puede observar un fenómeno similar cuando una fina capa de líquido 1 se extiende sobre la superficie de un cuerpo sólido 2. A veces, por el contrario, el líquido no se extiende sobre la superficie de un cuerpo sólido. Si , Eso y el líquido 1 no moja completamente el cuerpo sólido 2 ( fenómeno de no humectación completa ). En este caso, sólo existe un punto de contacto entre el líquido 1 y el sólido 2. La humectación total o la no humectación son casos limitantes. Realmente puedes mirar humectación parcial , cuando el ángulo de contacto es agudo () y no humectante parcial , cuando el ángulo de contacto es obtuso ( ).

En la Figura 6.13 A Se muestran casos de humedecimiento parcial, y en la Fig. 6.13 b Se dan ejemplos de no humectación parcial. Los casos considerados muestran que la presencia de fuerzas de tensión superficial de líquidos adyacentes o de líquidos en la superficie de un cuerpo sólido conduce a la curvatura de las superficies de los líquidos.

Consideremos las fuerzas que actúan sobre una superficie curva. La curvatura de una superficie líquida da como resultado fuerzas que actúan sobre el líquido debajo de esa superficie. Si la superficie es esférica, entonces se aplican fuerzas de tensión superficial a cualquier elemento de la circunferencia (ver figura 6.14), dirigidas tangencialmente a la superficie y tendientes a acortarla. La resultante de estas fuerzas se dirige hacia el centro de la esfera.

Por unidad de superficie, esta fuerza resultante ejerce una presión adicional, que experimenta el fluido debajo de la superficie curva. Esta presión adicional se llama Presión de Laplace . Siempre está dirigido hacia el centro de curvatura de la superficie. La figura 6.15 muestra ejemplos de superficies esféricas cóncavas y convexas y muestra las presiones de Laplace, respectivamente.

Determinemos el valor de la presión de Laplace para una superficie esférica, cilíndrica y cualquier superficie.

Superficie esférica. Gota de líquido. A medida que el radio de la esfera disminuye (figura 6.16), la energía superficial disminuye y el trabajo lo realizan las fuerzas que actúan en la gota. En consecuencia, el volumen de líquido bajo una superficie esférica siempre está algo comprimido, es decir, experimenta una presión de Laplace, dirigida radialmente al centro de curvatura. Si, bajo la influencia de esta presión, la pelota reduce su volumen en dV, entonces la cantidad de trabajo de compresión estará determinada por la fórmula:

La disminución de la energía superficial se produjo en una cantidad determinada por la fórmula: (6.41)

La disminución de la energía superficial se produjo debido al trabajo de compresión, por lo tanto, dA=dU S. Igualando los lados derechos de las igualdades (6.40) y (6.41), y teniendo en cuenta además que y , obtenemos la presión de Laplace: (6.42)

El volumen de líquido debajo de una superficie cilíndrica, así como debajo de una esférica, siempre está algo comprimido, es decir, experimenta una presión de Laplace dirigida radialmente al centro de curvatura. Si bajo la influencia de esta presión el cilindro reduce su volumen en dV, entonces la magnitud del trabajo de compresión estará determinada por la fórmula (6.40), solo la magnitud de la presión de Laplace y el incremento de volumen serán diferentes. La disminución de la energía superficial se produjo en la cantidad determinada por la fórmula (6.41). La disminución de la energía superficial se produjo debido al trabajo de compresión, por lo tanto, dA=dU S. Igualando los lados derechos de las igualdades (6.40) y (6.41), y teniendo en cuenta además que para una superficie cilíndrica y , obtenemos la presión de Laplace:

Usando la fórmula (6.45), podemos pasar a las fórmulas (6.42) y (6.44). Entonces, para una superficie esférica, la fórmula (6.45) se simplificará a la fórmula (6.42); para superficie cilíndrica r 1 = r, a , entonces la fórmula (6.45) se simplificará a la fórmula (6.44). Para distinguir una superficie convexa de una cóncava, se acostumbra suponer que la presión de Laplace para una superficie convexa es positiva y, en consecuencia, el radio de curvatura de la superficie convexa también será positivo. Para una superficie cóncava, el radio de curvatura y la presión de Laplace se consideran negativos.