Límites en matemáticas para tontos: explicación, teoría, ejemplos de soluciones. Entendamos el método

El teorema de Bayes se describe en detalle en un artículo aparte. Es un trabajo maravilloso, pero tiene 15.000 palabras. La misma traducción del artículo de Kalid Azad explica brevemente la esencia misma del teorema.

• Los resultados de la investigación y las pruebas no son eventos. Existe un método para diagnosticar el cáncer y existe el evento en sí: la presencia de la enfermedad. El algoritmo comprueba si el mensaje contiene spam, pero el evento (el spam realmente llegó al correo) debe considerarse por separado del resultado de su trabajo.
• Hay errores en los resultados de las pruebas. A menudo, nuestros métodos de investigación revelan lo que no está ahí (falso positivo) y no identifican lo que sí está (falso negativo).
• Con la ayuda de pruebas obtenemos las probabilidades de un resultado determinado. Con demasiada frecuencia analizamos los resultados de las pruebas por sí solos y no consideramos los errores de método.
• Los resultados falsos positivos distorsionan la imagen. Supongamos que está intentando identificar algún fenómeno muy raro (1 caso entre 1.000.000). Incluso si su método es preciso, es probable que su resultado positivo sea en realidad un falso positivo.
• Es más conveniente trabajar con números naturales. Mejor decir: 100 de 10.000, no el 1%. Con este enfoque habrá menos errores, especialmente al multiplicar. Digamos que necesitamos seguir trabajando con este 1%. Razonar en porcentajes es torpe: “en el 80% de los casos, de un 1%, hubo un resultado positivo”. La información es mucho más fácil de entender de la siguiente manera: "en 80 de cada 100 casos se observó un resultado positivo".
• Incluso en ciencia, cualquier hecho es sólo el resultado de aplicar un método. Desde un punto de vista filosófico, un experimento científico es sólo una prueba con posibilidad de error. Hay un método que revela una sustancia química o algún fenómeno, y existe el evento en sí: la presencia de este fenómeno. Nuestros métodos de prueba pueden producir resultados falsos y todos los equipos tienen errores inherentes.

• Si conocemos la probabilidad de un evento y la probabilidad de falsos positivos y falsos negativos, podemos corregir los errores de medición.
• El teorema relaciona la probabilidad de un evento con la probabilidad de un determinado resultado. Podemos relacionar Pr(A|X): la probabilidad del evento A, dado el resultado X, y Pr(X|A): probabilidad del resultado X, dado el evento A.

Entendamos el método

• El 1% de todas las mujeres padece cáncer de mama (y, en consecuencia, el 99% no lo padece)
• El 80% de las mamografías detectan la enfermedad cuando realmente existe (y, por tanto, el 20% no la detecta)
• El 9,6% de las pruebas detectan cáncer cuando no lo hay (y, por tanto, el 90,4% detecta correctamente un resultado negativo)

• El 1% de las mujeres padece cáncer de mama.
• si al paciente le han diagnosticado una enfermedad, mire la primera columna: hay un 80% de posibilidades de que el método haya dado el resultado correcto y un 20% de posibilidades de que el resultado de la prueba sea incorrecto (falso negativo)
• si no se ha identificado la enfermedad del paciente, mire la segunda columna. Con una probabilidad del 9,6% podemos decir que el resultado positivo del estudio es incorrecto, y con un 90,4% de probabilidad podemos decir que el paciente está verdaderamente sano.

¿Qué tan preciso es el método?

Pensemos:

• Hay un resultado positivo. Veamos todos los resultados posibles: el resultado puede ser un verdadero positivo o un falso positivo.
• La probabilidad de un resultado positivo verdadero es igual a: la probabilidad de contraer la enfermedad multiplicada por la probabilidad de que la prueba realmente detecte la enfermedad. 1% * 80% = 0,008
• La probabilidad de un resultado falso positivo es igual a: la probabilidad de que no haya ninguna enfermedad multiplicada por la probabilidad de que el método detecte la enfermedad incorrectamente. 99% * 9,6% = 0,09504

Probabilidad de un evento = resultados del evento / todos los resultados posibles

La probabilidad de un resultado positivo verdadero es 0,008. La probabilidad de un resultado positivo es la probabilidad de un resultado positivo verdadero + la probabilidad de un resultado falso positivo.

(.008 + 0.09504 = .10304)

Entonces, la probabilidad de enfermedad con un resultado positivo en la prueba se calcula de la siguiente manera: 0,008/0,10304 = 0,0776. Este valor es de alrededor del 7,8%.

Es decir, un resultado positivo de una mamografía sólo significa que la probabilidad de padecer la enfermedad es del 7,8%, y no del 80% (este último valor es sólo la precisión estimada del método). Este resultado parece incomprensible y extraño al principio, pero hay que tenerlo en cuenta: el método da un resultado falso positivo en el 9,6% de los casos (lo cual es bastante), por lo que habrá muchos resultados falsos positivos en la muestra. Para una enfermedad rara, la mayoría de los resultados positivos serán falsos positivos.

Echemos un vistazo a la tabla e intentemos captar intuitivamente el significado del teorema. Si tenemos 100 personas, sólo una de ellas tiene la enfermedad (1%). Para esta persona, existe un 80% de posibilidades de que el método dé un resultado positivo. Del 99% restante, el 10% tendrá resultados positivos, lo que nos da, a grandes rasgos, 10 falsos positivos de cada 100. Si consideramos todos los resultados positivos, entonces sólo 1 de cada 11 será verdadero. Así, si se obtiene un resultado positivo, la probabilidad de enfermedad es 1/11.

Arriba calculamos que esta probabilidad es del 7,8%, es decir En realidad, el número está más cerca de 1/13, pero aquí, con un razonamiento simple, pudimos encontrar una estimación aproximada sin calculadora.

Teorema de Bayes

• Pr(A|X) = probabilidad de enfermedad (A) dado un resultado positivo (X). Esto es exactamente lo que queremos saber: cuál es la probabilidad de que ocurra un evento si el resultado es positivo. En nuestro ejemplo es el 7,8%.
• Pr(X|A) = probabilidad de un resultado positivo (X) en el caso de que el paciente esté realmente enfermo (A). En nuestro caso, este es el verdadero valor positivo: 80%.
• Pr(A) = probabilidad de enfermarse (1%)
• Pr(no A) = probabilidad de no enfermarse (99%)
• Pr(X|not A) = probabilidad de un resultado positivo del estudio si no hay enfermedad. Ésta es la tasa de falsos positivos: 9,6%.

En nuestro ejemplo, Pr(X) es un número bastante grande porque la probabilidad de falsos positivos es alta.

Pr(X) produce un resultado del 7,8%, lo que a primera vista parece contradictorio.

El significado del teorema.

Filtro de spam

Tenemos:

• evento A - spam en la carta
• resultado de la prueba: el contenido de ciertas palabras en la carta:

El filtro de spam basado en listas negras tiene desventajas: a menudo produce resultados falsos positivos.

El filtro de spam del teorema de Bayes utiliza un enfoque equilibrado e inteligente: funciona con probabilidades. Cuando analizamos las palabras de un correo electrónico, podemos calcular la probabilidad de que el correo electrónico sea spam en lugar de tomar decisiones de sí o no. Si la probabilidad de que una carta contenga spam es del 99%, entonces la carta realmente lo es.

Con el tiempo, el filtro se entrena en una muestra cada vez más grande y actualiza las probabilidades. Así, los filtros avanzados, creados basándose en el teorema de Bayes, verifican muchas palabras seguidas y las utilizan como datos.

Fuentes adicionales:

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Cada uno de nosotros se enfrenta al hecho de que a lo largo del día lo malinterpretaron o no lo entendieron completamente. Lo más triste es que en la mayoría de los casos los culpables somos nosotros. Hablaron con la boca llena y, en lugar de mostrarlos en el mapa, empezaron a decirnos las indicaciones para llegar. Einstein dijo: " Es difícil explicar simplemente algo complejo. Es difícil explicar el complejo simplemente." Con un poco de esfuerzo en la explicación, podemos mejorar diez veces el resultado de las comunicaciones.

Asegúrate de que te escuchen. La primera de las razones populares por las que no se entienden bien es la mala audición. Razones de esto: mala dicción, lugar ruidoso o mala conexión telefónica. Y si el interlocutor también habla a la velocidad de una ametralladora, entonces es simplemente imposible entenderlo.

Habla el mismo idioma. Asegúrese de que usted y la otra persona comprendan todas las palabras que utilice de la misma manera. Imagínate que vas a visitar a unos familiares que se encuentran a mil quinientos kilómetros de distancia y te preguntan: “Trae un batidor”. ¿Qué es esta escoba, vino o...? Por cierto, el 90% de las disputas se pueden extinguir con una frase: “ Estamos discutiendo porque no hemos acordado los términos. vamos a discutirlos».

Crear imágenes. No basta con utilizar las mismas palabras. Es necesario que creen las mismas imágenes en la cabeza de cada uno de nosotros. ¿Qué imagen tienes cuando escuchas la frase “una persona inteligente”? Probablemente se trate de alguien que conoce y que puede comprender fácilmente sus pensamientos. La cuestión es que la palabra inteligente significa la persona que imagina imágenes correspondientes a las que usted presenta.

hacer analogías. A menudo resulta útil ir más allá del tema de conversación. Tomar una situación similar de la experiencia de su interlocutor puede explicar fácilmente un tema complejo. Por ejemplo, los administradores de sistemas se quejan muy a menudo de que los contables no comprenden los conceptos básicos de las redes informáticas. Tras establecer una analogía entre la comunicación humana y la interacción con la computadora, este problema desaparece. El servidor es una abuela chismosa en un banco, la información son rumores. Ahora el servidor será apreciado como la niña de sus ojos y estará oculto en caso de una inspección por parte de las autoridades.

Dibujar. Se puede dibujar casi cualquier cosa compleja. Si la complejidad radica en la relación lógica de los objetos, entonces puedes utilizar los círculos de Euler. Si el punto es que hay tantos componentes que empiezas a confundirte con ellos, entonces puedes utilizar mapas mentales. A continuación se muestra un ejemplo de una imagen que muestra a qué actividades se debe prestar más atención:

Haga preguntas aclaratorias. No basta con explicar, también vale la pena comprobar que se ha entendido correctamente. E idealmente lo anotaron. ¿Adivinó cómo se llama la intersección de los círculos "Lo que me gusta hacer" y "Lo que puedo hacer", pero por qué no les pagan?

El tiempo se basa en segundos, minutos y horas.

Si bien la base de estas unidades ha cambiado a lo largo de la historia, sus raíces se remontan al antiguo estado de Sumeria.

La unidad de tiempo internacional moderna está determinada por la transición electrónica del átomo de cesio. Pero ¿qué es esta cantidad física?

El tiempo mide el progreso de los acontecimientos.

El tiempo es una medida de la progresión de los acontecimientos. Los físicos definen esta cantidad como la progresión de eventos desde el pasado hasta el presente y hacia el futuro. Básicamente, si el sistema es inmutable, está fuera de este indicador. El tiempo puede considerarse como la cuarta dimensión de la realidad, utilizada para describir eventos en un espacio tridimensional. No es algo que podamos ver, sentir o saborear, pero podemos medir su paso.

La flecha muestra que el tiempo pasa del pasado al futuro y no al revés

La manecilla del reloj muestra que el tiempo pasa del pasado al futuro y no en la otra dirección. Las ecuaciones físicas funcionan igual de bien tanto si una cantidad avanza hacia el futuro (tiempo positivo) como si retrocede hacia el pasado (tiempo negativo). Sin embargo, en el mundo natural esta cantidad tiene una dirección. La cuestión de por qué es irreversible es una de las mayores cuestiones sin resolver en la ciencia.

Una explicación es que el mundo natural sigue las leyes de la termodinámica. La segunda ley de la termodinámica establece que en un sistema cerrado su entropía permanece constante o aumenta. Si se considera que el Universo es un sistema cerrado, su entropía (grado de desorden) nunca podrá disminuir. En otras palabras, el tiempo no puede volver al estado exacto en el que se encontraba en un momento anterior. Esta cantidad no puede retroceder.

Reducir la velocidad o acelerar

Un reloj que funciona marca la hora con precisión. En la mecánica clásica ocurre lo mismo en todas partes. Sin embargo, a partir de las teorías de la relatividad general y especial de Einstein, sabemos que la cantidad es un concepto relativo. El indicador depende del marco de referencia del observador. Esto puede conducir a una desaceleración subjetiva, donde el tiempo entre eventos se vuelve más largo (se expande) cuanto más se acerca uno de ellos a la velocidad de la luz.

Los relojes en movimiento funcionan más lentamente que los relojes estacionarios, y el efecto se vuelve más pronunciado a medida que el mecanismo en movimiento se acerca a la velocidad de la luz. Los relojes en la órbita de la Tierra registran el tiempo más lentamente que los de la superficie, las partículas de muón se desintegran más lentamente a medida que caen y el experimento de Michelson-Morley confirmó la contracción de la longitud y la expansión de la magnitud.

La realidad paralela ayuda a evitar la paradoja del tiempo al viajar en el tiempo

La paradoja del viaje en el tiempo se puede evitar viajando a una realidad paralela. Viajar significa avanzar o retroceder en diferentes momentos, del mismo modo que puedes moverte entre diferentes puntos del espacio. El salto hacia adelante en el tiempo ocurre en la naturaleza. Los astronautas de la estación espacial experimentan una aceleración cuando regresan a la Tierra y una desaceleración en relación con la estación.

Problemas existentes

Sin embargo, los viajes en el tiempo crean problemas. Uno de ellos es la causalidad o relación de causa y efecto. Retroceder puede desencadenar una paradoja del tiempo.

La paradoja del abuelo es un ejemplo clásico de la ciencia. Según él, si regresas y matas a tu abuelo antes de que nazca tu madre o tu padre, puedes evitar tu propio nacimiento.

Muchos físicos creen que viajar en el tiempo al pasado es imposible, pero existen soluciones a la paradoja, como los viajes entre Universos paralelos o puntos de ramificación.

Percepción de cantidad física.

El envejecimiento afecta a la percepción del tiempo, aunque los científicos no están de acuerdo con este punto. El cerebro humano es capaz de realizar un seguimiento del tiempo. Los núcleos supraquiasmáticos del cerebro son el área responsable de los ritmos naturales diarios o circadianos. Los neuroestimulantes y las drogas afectan significativamente su percepción. Las sustancias químicas que excitan las neuronas hacen que funcionen más rápido, mientras que la reducción de la actividad neuronal ralentiza la percepción del tiempo.

Básicamente, cuando todo lo que te rodea parece acelerarse, el cerebro produce más eventos dentro de un intervalo determinado. En este sentido, el tiempo realmente parece volar cuando te diviertes. Pero parece disminuir en tiempos de emergencia o peligro.

Los científicos del Baylor College of Medicine en Houston dicen que el cerebro en realidad no se acelera, pero un área como la amígdala sí se vuelve más activa. La amígdala es la parte del cerebro que se encarga de crear recuerdos. A medida que se forman más recuerdos, el tiempo parece pasar.

El mismo fenómeno explica por qué las personas mayores parecen percibir el tiempo a un ritmo más rápido que cuando eran más jóvenes. Los psicólogos creen que el cerebro forma más recuerdos de experiencias nuevas que de experiencias familiares. Dado que cada vez hay menos recuerdos nuevos en la vejez, el tiempo parece pasar más rápido en la percepción de las personas mayores.

El principio y el fin de los tiempos

Cada vez más científicos se inclinan a creer que nuestro Universo nació como resultado de una poderosa explosión en un determinado punto convencional, en el que no se observaron indicadores como la masa, el tiempo y el espacio.

El astrónomo Stephen Hawking y su colega de Cambridge Neil Turok sugieren que hubo una idea original de la que nació la palabra. Eran estos dos conceptos los que contenían el tiempo y el espacio.

Se desconoce si el tiempo tiene principio o fin. En cuanto al Universo, en él comenzó el tiempo. El punto de partida fue hace 13.799 mil millones de años cuando se produjo el Big Bang. La evidencia de este proceso es la radiación relicta en el espacio y la posición de las galaxias en retirada. En este momento, comienzan a producirse transiciones de un nivel de organización natural a otro: del núcleo al átomo y luego a la molécula, de donde surgió la materia viva.

Podemos medir la radiación cósmica de fondo como las microondas del Big Bang, pero no se ha observado ninguna radiación con orígenes anteriores.

Un argumento sobre el origen del tiempo es que si se expandiera indefinidamente, el cielo nocturno se llenaría con la luz de viejas estrellas.

¿Habrá un fin de los tiempos?

Se desconoce la respuesta a esta pregunta. Si el Universo se expande para siempre, el tiempo continuará. Si hay un nuevo Big Bang, nuestra línea de tiempo terminará y comenzará una nueva cuenta regresiva. En los experimentos de física de partículas, partículas aleatorias emergen del vacío, por lo que parece que el universo no se volverá estático ni atemporal. El tiempo lo mostrara…

¿Qué es la física de partículas?

Pablo Sorenson

físico

“Juntamos pequeñas cosas para dividirlas en cosas aún más pequeñas hasta obtener lo más pequeño posible. Así sabremos de qué está hecha toda la materia”.

¿Qué es el bosón de Higgs?

físico

“Todo lo que nos rodea está hecho de piezas diminutas, como Lego. Pero por sí solos, estos cubos se moverían increíblemente rápido, como un rayo. No podríamos vivir en un mundo así: ¡sería una completa locura! Entonces los científicos se dieron cuenta de que debía haber algo que ralentizara todo. Algo así como pegamento que evita que las cosas se deshagan más rápido de lo que podemos parpadear. Observe lo rápido que la luz se propaga por la habitación cuando encendemos la lámpara. Pero la mayoría de las otras cosas no pueden moverse tan rápido. Y este pegamento es muy difícil de ver. Para ello se utilizaron máquinas gigantes y una enorme cantidad de energía; sólo entonces pudimos verlo y ahora sabemos con seguridad que realmente existe”.

¿Qué es el mecanismo de Higgs?

David Miller

físico

“Imagínense un cóctel: los políticos participantes están distribuidos uniformemente por toda la sala, cada uno charla con sus vecinos más cercanos. La ex primera ministra entra en la sala y sus colegas más cercanos inmediatamente corren hacia ella, formando una multitud a su alrededor.<…>Debido a la constante aglomeración de personas a su alrededor, adquiere más masa de lo habitual, es decir, tiene mayor inercia a la misma velocidad de movimiento por la habitación. Una vez que comience a moverse, le resultará difícil detenerse, y una vez que se detenga, le resultará difícil comenzar a moverse nuevamente. En el espacio tridimensional y teniendo en cuenta todas las complicaciones relativistas, éste es el mecanismo de Higgs. Para dar masa a las partículas elementales, introducimos un campo de fondo adicional, que se distorsiona localmente a medida que las partículas se mueven a través de él. Esta distorsión (agrupación del campo alrededor de la partícula) da lugar a su masa”.

¿Cómo funciona la inmunidad?
y que son las lectinas tipo C

Ana Lobato

inmunólogo

“A nuestro cuerpo no le gustan mucho los invitados, especialmente aquellos que no parecen amigos. Cuando alguien entra, nuestras células lo “miran” con diferentes tipos de ojos. Diferentes "ojos" ven diferentes formas y formas, por lo que pueden entender qué tipo de extraterrestres son y qué hacer con ellos. No son ojos normales, sino que actúan como manitas que tocan objetos. Sólo estudio un tipo de estos "ojos" que "ven" cosas extrañas, como el moho que crece en los alimentos en mal estado. Pero estos "ojos" no lo hacen todo solos. Tienen muchos amigos y ayudantes, y cuantos más, mejor. Juntos atacan al extraño y se lo comen. Después de comer, muestran las sobras a sus amigos para que sepan contra qué tipos malos vale la pena luchar. Así es como nuestro cuerpo nos protege de las enfermedades”.

¿Qué potencia puede tener una computadora cuántica?

Umesh Vazirani

profesor de la Universidad de California

“Existe una antigua leyenda. En mi opinión, se trata de Birbal, el gran visir de la corte del emperador mogol Akbar. El Emperador quedó tan satisfecho con su servicio que preguntó qué regalo podía hacerle para agradecerle. El ministro respondió deseando arroz. Pidió poner un grano en el primer cuadrado del tablero de ajedrez, dos en el segundo, cuatro en el tercero, etc. El tesorero comenzó a contar los granos de arroz, y antes de que llegaran al final del tablero, todo el granero estaba vacío. De la misma manera, el algoritmo de cálculo cuántico muestra un aumento exponencial de potencia”.

¿Cómo visualizar un agujero negro?

Roberto Frost

especialista
según instrucciones educativas

“Toma un trozo grande de film transparente, estíralo entre tus manos y coloca una bolita en el centro para que forme un desvío debido a su peso. Deje caer unas gotas de agua sobre la sábana y observe cómo ruedan por la película directamente hasta la bola. Esto mostrará cómo funciona la gravedad. Retire la pelota y deje que el niño sienta la película con el dedo y comprenda: cuanto más la retira (cuanto más pesado es el objeto), cuanto más fuerte resulta el embudo. Luego pídale a su hijo que haga un agujero en el medio de la película, que representará un objeto muy, muy pesado. Por este agujero se deslizarán gotas de agua. Resulta que un agujero negro es un objeto tan pesado que dobla el espacio. Todo lo que entra dentro (como gotas) nunca vuelve."

¿Por qué colapsó el banco?
los hermanos Lehman

(punto de partida de la crisis económica mundial de 2008)?

Natalia Myers

economista

“Un chico compró 10 Snickers en la tienda por $1 cada uno y los vendió por $1,50 durante el día en la escuela. Pensó que si era tan fácil podría vender 100 chocolates al día siguiente. Para comprar 100 Snickers, tuvo que pedir prestado $10 a sus amigos, pero cuando llegó a la escuela al día siguiente, ya había una máquina expendedora en el pasillo que vendía chocolates por 75 centavos. Por supuesto, nadie quería comprárselos por 1,50 dólares, por lo que también tuvo que reducir el precio a 75 centavos. Como resultado, el dinero que logró conseguir ni siquiera fue suficiente para pagar las deudas que tenía con sus amigos, y le dieron una paliza”.

¿Cómo surgieron de repente todos los grupos animales modernos?

Mark Srur

paleontólogo

“Hace 545 millones de años, todos los grupos modernos de animales aparecieron repentinamente en el planeta. (excepto esponjas y medusas, que aparecieron antes). Este fenómeno, llamado Explosión Cámbrica, no es fácil de explicar porque está asociado a muchos factores.

En primer lugar, vale la pena comparar la Tierra de los períodos criogénico y ediacárico. En el primero parecía una enorme bola de nieve, y en el segundo empezó a calentarse. En un clima cálido, a los animales les resultó más fácil desarrollarse. Debido a que entonces no había competencia entre ellos, comenzaron a adoptar las formas más extrañas. Algunos experimentos evolutivos nos han llegado sólo en forma de fósiles. Otros tuvieron más éxito y estos animales transmitieron información a otros sobre cómo desarrollar mejor sus cuerpos.

Para mayor claridadtoma cinco diseños idénticos
de ladrillos lego

Para mayor claridad, tomemos cinco estructuras idénticas hechas con ladrillos Lego. Representarán aquellas criaturas que encontramos a principios del período Cámbrico. Luego agrégales detalles al azar. Cada bloque agregado representará un experimento evolutivo exitoso. Incluso después de agregar tres piezas a cada una de las estructuras, verás cómo sus tipos comienzan a diferir, y cuantos más cubos agregues, menos similares serán las estructuras entre sí.

Esta es una explicación intuitiva de lo que llamamos canalización del desarrollo, sin profundizar en la jungla científica de la genética del desarrollo y la dinámica macroevolutiva. El experimento de Lego muestra cómo, a través de la selección natural, los rasgos exitosos se afianzan y la estructura corporal de los animales comienza a divergir irreversiblemente. Esto es lo que ocurrió durante la Explosión Cámbrica, que preparó el escenario para la biodiversidad moderna”.

Según los físicos, las dimensiones espaciales adicionales, si realmente existen, se colapsan. Volviendo al ejemplo de la hormiga, podemos torcer un trozo de papel para que forme un cilindro. En este caso, si la hormiga comienza a arrastrarse en una dirección, eventualmente regresará al punto desde donde comenzó. Este es un ejemplo de una dimensión compactada. Si una hormiga se arrastra paralela a la longitud de un cilindro, nunca volverá a su punto de partida (especialmente si imaginamos que el cilindro de papel es infinitamente largo). Este es un ejemplo de una medida "plana". Según la teoría de cuerdas, vivimos en un mundo donde las tres dimensiones familiares del espacio son “planas”; pero hay dimensiones adicionales que están retorcidas en un radio muy pequeño 10 cm a -30 grados o incluso menos."

Los límites causan muchos problemas a todos los estudiantes de matemáticas. Para resolver un límite, a veces es necesario utilizar muchos trucos y elegir entre una variedad de métodos de solución exactamente el que sea adecuado para un ejemplo en particular.

En este artículo no le ayudaremos a comprender los límites de sus capacidades ni a comprender los límites de control, pero intentaremos responder la pregunta: ¿cómo entender los límites en matemáticas superiores? La comprensión viene con la experiencia, por lo que al mismo tiempo daremos varios ejemplos detallados de cómo resolver límites con explicaciones.

El concepto de límite en matemáticas.

La primera pregunta es: ¿cuál es este límite y el límite de qué? Podemos hablar de los límites de secuencias y funciones numéricas. Nos interesa el concepto de límite de una función, ya que esto es lo que los estudiantes encuentran con mayor frecuencia. Pero primero, la definición más general de límite:

Digamos que hay algún valor variable. Si este valor en el proceso de cambio se acerca ilimitadamente a un cierto número a , Eso a – el límite de este valor.

Para una función definida en un intervalo determinado f(x)=y tal número se llama límite A , a la que tiende la función cuando X , tendiendo a cierto punto A . Punto A pertenece al intervalo en el que se define la función.

Suena complicado, pero está escrito de forma muy sencilla:

Lim- De inglés límite- límite.

También hay una explicación geométrica para determinar el límite, pero aquí no profundizaremos en la teoría, ya que estamos más interesados ​​​​en el lado práctico que en el teórico del problema. Cuando decimos eso X tiende a algún valor, esto significa que la variable no toma el valor de un número, sino que se acerca infinitamente a él.

Pongamos un ejemplo específico. La tarea es encontrar el límite.

Para resolver este ejemplo, sustituimos el valor x=3 en una función. Obtenemos:

Por cierto, si está interesado, lea un artículo aparte sobre este tema.

en los ejemplos X puede tender a cualquier valor. Puede ser cualquier número o infinito. He aquí un ejemplo cuando X tiende al infinito:

Intuitivamente, cuanto mayor sea el número en el denominador, menor será el valor que tomará la función. Entonces, con crecimiento ilimitado X significado 1/x disminuirá y se aproximará a cero.

Como puedes ver, para resolver el límite, sólo necesitas sustituir el valor a buscar en la función. X . Sin embargo, este es el caso más simple. Muchas veces encontrar el límite no es tan obvio. Dentro de los límites existen incertidumbres del tipo 0/0 o infinito/infinito . ¿Qué hacer en tales casos? ¡Recurre a trucos!

Incertidumbres dentro

Incertidumbre de la forma infinito/infinito

Que haya un límite:

Si intentamos sustituir el infinito en la función, obtendremos infinito tanto en el numerador como en el denominador. En general, vale la pena decir que hay un cierto elemento de arte en resolver tales incertidumbres: es necesario darse cuenta de cómo se puede transformar la función de tal manera que la incertidumbre desaparezca. En nuestro caso, dividimos el numerador y el denominador entre X en el grado superior. ¿Lo que sucederá?

Por el ejemplo ya analizado anteriormente, sabemos que los términos que contienen x en el denominador tenderán a cero. Entonces la solución al límite es:

Para resolver incertidumbres de tipo infinito/infinito dividir el numerador y denominador por X al más alto grado.

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Otro tipo de incertidumbre: 0/0

Como siempre, sustituyendo valores en la función. x=-1 da 0 en el numerador y denominador. Mira un poco más de cerca y notarás que tenemos una ecuación cuadrática en el numerador. Busquemos las raíces y escribamos:

Reduzcamos y obtengamos:

Entonces, si te enfrentas a una incertidumbre de tipo 0/0 – factorizar el numerador y el denominador.

Para que te resulte más fácil resolver ejemplos, te presentamos una tabla con los límites de algunas funciones:

El gobierno de L'Hopital en el interior

Otra forma poderosa de eliminar ambos tipos de incertidumbre. ¿Cuál es la esencia del método?

Si hay incertidumbre en el límite, se toma la derivada del numerador y denominador hasta que desaparezca la incertidumbre.

La regla de L'Hopital se ve así:

Punto importante : debe existir el límite en el que se encuentran las derivadas del numerador y denominador en lugar del numerador y denominador.

Y ahora, un ejemplo real:

Hay una incertidumbre típica. 0/0 . Tomemos las derivadas del numerador y denominador:

Listo, la incertidumbre se resuelve de forma rápida y elegante.

Esperamos que pueda aplicar esta información de manera útil en la práctica y encontrar la respuesta a la pregunta "cómo resolver límites en matemáticas superiores". Si necesita calcular el límite de una secuencia o el límite de una función en un punto, pero no hay tiempo para este trabajo, comuníquese con un servicio profesional para estudiantes para obtener una solución rápida y detallada.