Resolver ecuaciones diferenciales de enésimo orden. Diferencial lineal

Sistemas diferenciales lineales ecuaciones.

El sistema de ecuaciones diferenciales se llama lineal, si es lineal con respecto a funciones desconocidas y sus derivadas. sistema norte-las ecuaciones lineales de primer orden se escriben en la forma:

Los coeficientes del sistema son constantes.

Es conveniente escribir este sistema en forma matricial: ,

donde es un vector de columna de funciones desconocidas que dependen de un argumento.

Vector columna de derivadas de estas funciones.

Vector de columna de miembros libres.

Matriz de coeficientes.

Teorema 1: Si todos los coeficientes de la matriz A son continuas en algún intervalo y , luego en alguna vecindad de cada m. Se cumplen las condiciones TS&E. En consecuencia, una única curva integral pasa por cada uno de esos puntos.

De hecho, en este caso, los lados derechos del sistema son continuos con respecto al conjunto de argumentos y sus derivadas parciales con respecto a (iguales a los coeficientes de la matriz A) son limitadas, debido a la continuidad en un intervalo cerrado.

Métodos para resolver SLD

1. Un sistema de ecuaciones diferenciales se puede reducir a una ecuación eliminando las incógnitas.

Ejemplo: Resuelve el sistema de ecuaciones: (1)

Solución: excluir z de estas ecuaciones. De la primera ecuación tenemos . Sustituyendo en la segunda ecuación, después de la simplificación obtenemos: .

Este sistema de ecuaciones (1) reducido a una única ecuación de segundo orden. Después de encontrar a partir de esta ecuación y, se debe encontrar z, usando la igualdad.

2. Al resolver un sistema de ecuaciones eliminando incógnitas, normalmente se obtiene una ecuación más alto orden, por lo tanto, en muchos casos es más conveniente resolver el sistema encontrando combinaciones integradas.

Continuación 27b

Ejemplo: resolver el sistema

Solución:

Vamos a decidir este sistema El método de Euler. Anotemos el determinante para encontrar la característica.

ecuación: , (dado que el sistema es homogéneo, para que tenga una solución no trivial es necesario que este determinante sea igual a cero). Obtenemos una ecuación característica y encontramos sus raíces:

La solución general es: ;

- vector propio.

Anotamos la solución para: ;

- vector propio.

Anotamos la solución para: ;

Obtenemos la solución general: .

Vamos a revisar:

encontremos : y sustituyámoslo en la primera ecuación de este sistema, es decir .

Obtenemos:

- verdadera igualdad.

Diferencial lineal. ecuaciones de orden n. Teorema sobre decisión general heterogéneo ecuación lineal enésimo orden.

Una ecuación diferencial lineal de enésimo orden se llama ecuación de la forma: (1)

Si esta ecuación tiene un coeficiente, entonces dividiéndola por él llegamos a la ecuación: (2) .

Generalmente ecuaciones del tipo (2). Supongamos que en ur-i (2) todas las probabilidades, así como f(x) continuo en algún intervalo (a, b). Entonces, según TS&E, la ecuación (2) Tiene única decisión, satisfaciendo las condiciones iniciales: , , …, con . Aquí - cualquier punto del intervalo. (a, b), y todo - cualquiera números dados. La ecuacion (2) satisface TC&E , por lo tanto no tiene soluciones especiales.

Definición: especial los puntos son aquellos en los que =0.

Propiedades de una ecuación lineal:

1. Una ecuación lineal sigue siendo lineal sin importar cómo se cambia la variable independiente.
2. Una ecuación lineal permanece así para cualquier cambio lineal de la función deseada.

Definición: si en la ecuacion (2) poner f(x)=0, entonces obtenemos una ecuación de la forma: (3) , Lo que es llamado ecuación homogénea relativamente no ecuación homogénea (2).

Introduzcamos en consideración diferencial lineal operador: (4). Usando este operador puedes reescribirlo en forma corta ecuaciones (2) Y (3): L(y)=f(x), L(y)=0. Operador (4) tiene lo siguiente propiedades simples:

De estas dos propiedades se puede deducir un corolario: .

Función y=y(x) es una solución a la ecuación no homogénea (2), Si L(y(x))=f(x), Entonces f(x) llama solución a la ecuación. Entonces la solución de la ecuación (3) llamada la función y(x), Si L(y(x))=0 en los intervalos considerados.

Considerar ecuación lineal no homogénea: , L(y)=f(x).

Supongamos que hemos encontrado una solución particular de alguna manera, entonces.

Introduzcamos una nueva función desconocida. z según la fórmula: , donde es una solución particular.

Sustituyámoslo en la ecuación: , abramos los corchetes y obtenemos: .

La ecuación resultante se puede reescribir como:

Como es una solución particular de la ecuación original, entonces , entonces .

Así, hemos obtenido una ecuación homogénea con respecto a z. La solución general de esta ecuación homogénea es una combinación lineal: , donde las funciones - son sistema fundamental soluciones de una ecuación homogénea. Sustituyendo z en la fórmula de reemplazo, obtenemos: (*) para función y– función desconocida de la ecuación original. Todas las soluciones de la ecuación original estarán contenidas en (*).

Por tanto, la solución general de la recta no homogénea. La ecuación se representa como la suma de una solución general de una ecuación lineal homogénea y alguna solución particular de una ecuación no homogénea.

(continúa del otro lado)

30. Teorema de existencia y unicidad de la solución al diferencial. ecuaciones

Teorema: Si en la Ec. parte derecha continuo en un rectángulo y es limitada, y además satisface la condición de Lipschitz: , N=const, entonces existe una solución única que satisface las condiciones iniciales y está definida en el segmento , Dónde .

Prueba:

Consideremos el completo espacio métrico CON, cuyos puntos son todas las posibles funciones continuas y(x) definidas en el intervalo , cuyas gráficas se encuentran dentro del rectángulo, y la distancia está determinada por la igualdad: . Este espacio se utiliza a menudo en el análisis matemático y se llama espacio convergencia uniforme , ya que la convergencia en la métrica de este espacio es uniforme.

Reemplacemos el diferencial. ecuación con datos condiciones iniciales a una ecuación integral equivalente: y considere el operador Sí), igual al lado derecho de esta ecuación: . Este operador coincide con cada función continua

Usando la desigualdad de Lipschitz, podemos escribir que la distancia. Ahora elijamos uno para el cual la siguiente desigualdad: .

Deberías elegir así, entonces. Así lo demostramos.

Según el principio de aplicación de contracciones, existe un único punto o, lo que es lo mismo, una única función: una solución a una ecuación diferencial que satisface las condiciones iniciales dadas.

norte-ésimo orden

Teorema. Si y 0- solución de una ecuación homogénea L[y]=0, y 1- solución de la ecuación no homogénea correspondiente L[y] = f(x), entonces la suma y 0 +y 1 es la solución a esta ecuación no homogénea.

La estructura de la solución general de la ecuación no homogénea está determinada por el siguiente teorema.

Teorema. Si Y- solución particular de la ecuación L[y] = f(x) Con coeficientes continuos, - solución general de la ecuación homogénea correspondiente L[y] = 0, entonces la solución general de esta ecuación no homogénea está determinada por la fórmula

Comentario. Para escribir la solución general de una ecuación lineal no homogénea, es necesario encontrar alguna solución particular a esta ecuación y una solución general a la ecuación homogénea correspondiente.

Ecuaciones lineales no homogéneas norte

Considere la ecuación lineal no homogénea. norte-ésimo orden con coeficientes constantes

Dónde un 1, un 2, …, un - numeros reales. Escribamos la ecuación homogénea correspondiente.

La solución general de la ecuación no homogénea está determinada por la fórmula

Solución general de una ecuación homogénea. y 0 podemos encontrar una solución particular Y se puede encontrar por coeficientes inciertos en los siguientes casos simples:

EN caso general Se utiliza el método de variación de constantes arbitrarias.

Método de variación de constantes arbitrarias.

Considere la ecuación lineal no homogénea. norte-ésimo orden con coeficientes variables

Si resulta difícil encontrar una solución particular a esta ecuación, pero se conoce la solución general de la ecuación homogénea correspondiente, entonces se puede encontrar la solución general de la ecuación no homogénea. método de variación de constantes arbitrarias.

Sea la ecuación homogénea correspondiente.

tiene una solución general

Buscaremos una solución general a la ecuación no homogénea en la forma

Dónde y 1 = y 1 (x), y 2 = y 2 (x), …, y norte = y norte (x) son soluciones linealmente independientes de una ecuación homogénea incluida en su solución general, y C 1 (x), C2(x), …, CN(x)- funciones desconocidas. Para encontrar estas funciones, sometámoslas a algunas condiciones.

Encontremos la derivada

Requerimos que la suma en el segundo paréntesis sea igual a cero, es decir

Encontremos la segunda derivada.

y lo exigiremos

Siguiendo un proceso similar, obtenemos

En este caso, no se puede exigir que la suma en el segundo paréntesis desaparezca, ya que las funciones C 1 (x), C2(x), …, CN(x) ya subordinado n-1 condiciones, pero aún es necesario satisfacer la ecuación no homogénea original.

Ecuaciones diferencialesnorte-ésimo orden.

Si la ecuación se puede resolver con respecto a la derivada más alta, entonces tiene la forma (1). Una ecuación de enésimo orden también se puede representar como un sistema de n ecuaciones de primer orden.

(3)

Para una ecuación de orden n, las condiciones del teorema sobre existencia y unicidad del sistema se satisfacen desde (1)~(2)~(3).

Los casos más simples de reducción de pedidos.

La ecuación no contiene la función requerida y su derivada hasta el orden k -1 inclusive , eso es

En este caso el pedido puede reducirse a
reemplazo. Si expresamos esta ecuación, entonces la solución y puede determinarse mediante la función integrable k veces pag.

Ejemplo.
.

Ecuación sin variable desconocida

(5)

En este caso, el pedido se puede bajar en uno mediante sustitución.

Ejemplo.
.

Lado izquierdo de la ecuación

(6)

es la derivada de alguna expresión diferencial ( norte -1)º orden .
. Si
- Por tanto, existe una solución a la última ecuación. Obtuvimos la primera integral de la ecuación (6) y reducimos el grado de la ecuación a resolver en uno.

Comentario. A veces, el lado izquierdo de (6) se convierte en la derivada de una ecuación diferencial de orden (n-1) sólo cuando se multiplica por
por lo tanto, aquí pueden aparecer soluciones innecesarias (revertir a cero) o podemos perder la solución si función discontinua.

Ejemplo.

La ecuacion

(7)

homogéneo en relación con y sus derivados .

O donde esta el indicador
se determina a partir de las condiciones de homogeneidad.

El orden de esta ecuación se puede reducir en uno reemplazando: .

Si sustituimos estas relaciones en (7) y tenemos en cuenta la homogeneidad de la función F , entonces al final obtenemos: .

Ejemplo.
.

Ecuaciones diferenciales de segundo orden,

permitiendo una reducción en el orden.

Sustitución
.

Si la ecuación (8) se puede resolver con respecto a la derivada más alta, entonces la ecuación (8)
integrado dos veces sobre la variable X.

Puedes introducir un parámetro y reemplazar la ecuación (8) con su representación paramétrica:
. Usando la relación para diferenciales:
, obtenemos: y

II .
(9)

Usemos la representación paramétrica:

III.
. (10)

Puede reducir el pedido reemplazando:
.

Si la ecuación (10) se puede resolver con respecto a la derivada más alta
, luego multiplica el correcto y lado izquierdo en
. Obtenemos: Esta es una ecuación con variables separables:
.

La ecuación (10) puede sustituirse por su representación paramétrica: . Usemos las propiedades del diferencial:.

Ejemplo.
.

Ecuaciones diferenciales linealesnorte-ésimo orden.

Definición. Ecuaciones diferenciales lineales norte -ésimo orden las ecuaciones de la forma se llaman:
. (1)

si las probabilidades continuo para
, luego en las proximidades de cualquier valores iniciales Cómo dónde pertenece al intervalo, entonces en la vecindad de estos valores iniciales se cumplen las condiciones teoremas de existencia y unicidad. La linealidad y homogeneidad de la ecuación (1) se conserva bajo cualquier transformación.
, Dónde es una función arbitraria nveces diferenciable. Además
. La linealidad y la homogeneidad se conservan cuando la función desconocida se transforma lineal y homogéneamente.

Introduzcamos un operador diferencial lineal: , entonces (1) se puede escribir de la siguiente manera:
. El determinante de Wronski para
se vera como:

, Dónde - soluciones linealmente independientes de la ecuación (1).

Teorema 1. Si funciones linealmente independientes
es una solución a una ecuación lineal homogénea (1) con continua
coeficientes
, entonces el determinante de Wronski
no desaparece en ningún punto del segmento
.

Teorema 2. La solución general de la ecuación lineal homogénea (1) con continua
coeficientes
Habrá una combinación lineal de soluciones. , eso es
(2), donde
linealmente independiente en el segmento
soluciones privadas (1).

(probado de manera similar al caso de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales)

Consecuencia. El número máximo es lineal. decisiones independientes(1) es igual a su orden.

Conocer una solución particular no trivial de la ecuación (1) -
, puedes hacer una sustitución
y reducir el orden de la ecuación manteniendo su linealidad y heterogeneidad. Normalmente esta sustitución se divide en dos. Dado que se trata de una representación linealmente homogénea, conserva la linealidad y homogeneidad de (1), lo que significa que (1) debe reducirse a la forma. La decisión
en virtud de
corresponde a la solución
, y por lo tanto
. Habiendo hecho un reemplazo
, obtenemos una ecuación de orden
.

Lema. (3)

Dos ecuaciones de la forma (3) y (4), donde Q i y P i son funciones continuas que tienen un sistema fundamental común de soluciones, coinciden, es decir Q i (x)= P i (x), i=1,2,…n,  x

Con base en el lema, podemos concluir que el sistema fundamental de soluciones y 1 y 2 …y n determina completamente la ecuación lineal homogénea (3).

Encontremos la forma de la ecuación (3), que tiene un sistema fundamental de soluciones y 1 y 2 …y n . Alguna solución y(X) la ecuación (3) depende linealmente del sistema fundamental de soluciones, lo que significa que W=0. Expandamos el determinante de Wronski W en la última columna.

La ecuación (5) es la ecuación diferencial lineal deseada que tiene un sistema dado de soluciones fundamentales. Podemos dividir (5) por W, porque no es igual a cero  x. Entonces:

(*)

Según la regla de diferenciación del determinante, la derivada del determinante es igual a la suma de i=1,2...n determinantes, la i-ésima fila de cada uno de los cuales es igual a la derivada del i- ésima fila del determinante original. En esta suma, todos los determinantes excepto el último son iguales a cero (ya que tienen dos rectas idénticas), y el último es igual a (*). Así, obtenemos:

, Entonces:
(6)

(7)

Definición. Las fórmulas (6) y (7) se llaman Fórmulas de Ostrogradsky-Liouville.

Usamos (7) para integrar una ecuación lineal homogénea de segundo orden. Y conozcamos una de las soluciones y 1 de la ecuación (8).

Según (7), cualquier solución (8) debe satisfacer la siguiente relación:

(9)

Utilicemos el método del factor integrante.

Ecuaciones lineales homogéneas con

coeficientes constantes.

Si en una ecuación lineal homogénea todos los coeficientes son constantes,

a 0 y (n) +a 1 y (n-1) +….+a n y=0, (1)

entonces las soluciones particulares (1) se pueden definir como: y=e kx, donde k es una constante.

a 0 k n e kx +a 1 k n-1 e kx +….+a n k 0 e kx =0  a 0 k n +a 1 k n-1 +….+a n =0 (3)

Definición. (3) - Ecuación característica.

El tipo de solución (1) está determinado por las raíces de la ecuación característica (3).

1). Todas las raíces son reales y distintas. , Entonces:

2). Si todos los coeficientes son reales, entonces las raíces pueden ser conjugadas complejas. .

k 1 =+i k 2 =-i

Entonces las soluciones tienen la forma:

Según el teorema: si un operador con coeficientes reales tiene soluciones conjugadas complejas, entonces sus partes real e imaginaria también son soluciones. Entonces:

Ejemplo.

Presentemos la solución en la forma
, entonces la ecuación característica tiene la forma:

, obtenemos dos soluciones:

entonces la función requerida es:

3). Hay múltiples raíces: k i con multiplicidad  i . En este caso, el número de soluciones diferentes
será menor, por lo tanto, es necesario buscar las soluciones linealmente independientes que faltan en una forma diferente. Por ejemplo:

Prueba:

Digamos k i =0, si lo sustituimos en (3), obtenemos que, entonces:

- soluciones particulares (3).

Sea k i 0, hagamos el reemplazo
(6)

Sustituyendo (6) en (1), obtenemos con respecto a z una ecuación lineal homogénea de enésimo orden con coeficientes constantes (7).

Las raíces (3) se diferencian de las raíces de la ecuación característica (7) por el término k i .

(8)

Si k=k i , entonces este k corresponde a la solución de la ecuación (7) con raíz p=0, es decir corresponden a soluciones de la forma z=
, entonces y= es la solución de la ecuación (1). Y la solución general es la siguiente:

solución para k i



La ecuación de Euler.

Definición. Ecuación de la forma:

a i son coeficientes constantes, llamados La ecuación de Euler.

La ecuación de Euler al reemplazar x=e t se reduce a una ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes.

Puedes buscar soluciones en la forma y=x k, entonces tienen la forma:

Lineal ecuaciones no homogéneas.

Si a 0 (x)0, entonces dividiendo la ecuación (1) por este coeficiente, obtenemos:

.

Si i y f son continuas en b, entonces (2) tiene una solución única que satisface las condiciones iniciales correspondientes. Si expresamos explícitamente las derivadas más altas de (2), obtenemos una ecuación cuyo lado derecho satisface el teorema de existencia y unicidad. Dado que el operador L es lineal, significa que para (2) se cumple lo siguiente:

1).
- solución (2), si - solución de la ecuación no homogénea (2), y - solución de la correspondiente ecuación homogénea.

2). Si - soluciones
, Eso
solución a la ecuación
.

La propiedad 2 es el principio de superposición, es válida cuando
, si la serie
- converge y admite metro-diferenciación múltiple término por término.

3) Sea dada la ecuación del operador.
, donde L es un operador con coeficientes , Todo - real. Las funciones U y V también son reales. Entonces, si esta ecuación tiene solución
, entonces la solución de la misma ecuación será tanto la parte imaginaria como la real:
Y
. Además, a cada uno de ellos le corresponde la solución.

Teorema. Solución general de la ecuación no homogénea.norte- acerca de
en el segmento [a, b] siempre que todos los coeficientes
y lado derecho
- funciones continuas, se pueden representar como la suma de la solución general correspondiente sistema homogéneo
y una solución particular a lo no homogéneo -
.

Aquellos. solución
.

Si es imposible seleccionar explícitamente soluciones particulares de un sistema no homogéneo, entonces puede utilizar el método variaciones de constante . Buscaremos una solución en la forma:

(3)

Dónde
soluciones a un sistema homogéneo,
- funciones desconocidas.

Total de funciones desconocidas
- n. Deben satisfacer la ecuación original (2).

Sustituyendo la expresión y(x) en la ecuación (2), obtenemos condiciones para determinar solo una función desconocida. Para determinar las funciones del pozo (n-1) restantes, se necesita otra condición (n-1), pero se pueden elegir arbitrariamente; Elegimoslos de modo que la solución (2) - y(x) tenga la misma forma que si
eran constantes.

,

porque
se comportan como constantes, entonces
, lo que significa
.

Eso. obtenemos la condición (n-1)-pero además de la ecuación (1). Si sustituimos la expresión de las derivadas en la ecuación (1) y tenemos en cuenta todas las condiciones obtenidas y el hecho de que y i es la solución del sistema homogéneo correspondiente, entonces obtenemos la última condición para
.

Pasemos al sistema:

(3)

El determinante del sistema (3) es (W) El determinante de Vronsky, y porqué y i son soluciones de un sistema homogéneo, entonces W0 en .

Ejemplo. Ecuación no homogénea

, la ecuación homogénea correspondiente

Estamos buscando una solución en la forma.y= mi kx . Ecuación característicak 2 +1=0, es decirk 1,2 =  i

y= mi ix = porque X + i pecado X, decisión común -

Usemos el método de variación constante:

Condiciones para
:

, lo que equivale a escribir:

De aquí:

Ecuaciones resueltas por integración directa

Considere la siguiente ecuación diferencial:
.
Integramos n veces.
;
;
etcétera. También puedes usar la fórmula:
.
Cm. Ecuaciones diferenciales que se pueden resolver directamente. integración > > >

Ecuaciones que no contienen explícitamente la variable dependiente y

La sustitución conduce a una disminución en el orden de la ecuación en uno. Aquí hay una función de .
Cm. Ecuaciones diferenciales de órdenes superiores que no contienen una función en forma explícita > > >

Ecuaciones que no contienen explícitamente la variable independiente x

.
Consideramos que es una función de . Entonces
.
Lo mismo ocurre con otros derivados. Como resultado, el orden de la ecuación se reduce en uno.
Cm. Ecuaciones diferenciales de órdenes superiores que no contienen una variable explícita > > >

Ecuaciones homogéneas con respecto a y, y′, y′′, ...

Para resolver esta ecuación hacemos la sustitución
,
donde es una función de . Entonces
.
De manera similar transformamos derivados, etc. Como resultado, el orden de la ecuación se reduce en uno.
Cm. Ecuaciones diferenciales de orden superior que son homogéneas con respecto a una función y sus derivadas > > >

Ecuaciones diferenciales lineales de órdenes superiores.

Consideremos ecuación diferencial lineal homogénea de enésimo orden:
(1) ,
donde son funciones de la variable independiente. Sean n soluciones linealmente independientes de esta ecuación. Entonces la solución general de la ecuación (1) tiene la forma:
(2) ,
donde están las constantes arbitrarias. Las funciones mismas forman un sistema fundamental de soluciones.
Sistema de solución fundamental de una ecuación lineal homogénea de enésimo orden hay n soluciones linealmente independientes de esta ecuación.

Consideremos ecuación diferencial lineal no homogénea de enésimo orden:
.
Sea una solución particular (cualquiera) para esta ecuación. Entonces la solución general tiene la forma:
,
donde está la solución general de la ecuación homogénea (1).

Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes y reducibles a ellos.

Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes.

Estas son ecuaciones de la forma:
(3) .
Aquí hay números reales. Para encontrar una solución general a esta ecuación, necesitamos encontrar n soluciones linealmente independientes que formen un sistema fundamental de soluciones. Entonces la solución general está determinada por la fórmula (2):
(2) .

Estamos buscando una solución en el formulario. Obtenemos Ecuación característica:
(4) .

Si esta ecuación tiene varias raíces, entonces el sistema fundamental de soluciones tiene la forma:
.

Si está disponible raíz compleja
,
entonces también existe una raíz conjugada compleja. Estas dos raíces corresponden a soluciones y , que incluimos en el sistema fundamental soluciones integradas Y .

Múltiplos de raíces las multiplicidades corresponden a soluciones linealmente independientes: .

Múltiplos raíces complejas las multiplicidades y sus valores conjugados complejos corresponden a soluciones linealmente independientes:
.

Ecuaciones lineales no homogéneas con una parte especial no homogénea.

Considere una ecuación de la forma
,
¿Dónde están los polinomios de grados s? 1 y s 2 ; - permanente.

Primero buscamos una solución general a la ecuación homogénea (3). Si la ecuación característica (4) no contiene raíz, luego buscamos una solución particular de la forma:
,
Dónde
;
;
s - mayor de s 1 y s 2 .

Si la ecuación característica (4) tiene una raíz multiplicidad, entonces buscamos una solución particular en la forma:
.

Después de esto obtenemos la solución general:
.

Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes constantes.

Hay tres posibles soluciones aquí.

1) método de Bernoulli.
Primero, encontramos cualquier solución distinta de cero a la ecuación homogénea.
.
Luego hacemos la sustitución.
,
donde es una función de la variable x. Obtenemos una ecuación diferencial para u, que contiene sólo derivadas de u con respecto a x. Realizando la sustitución obtenemos la ecuación n - 1 - décimo orden.

2) Método sustitución lineal .
Hagamos una sustitución
,
¿Dónde está una de las raíces? Ecuación característica(4). Como resultado, obtenemos una ecuación lineal no homogénea con coeficientes de orden constantes. Aplicando consistentemente esta sustitución, obtenemos ecuación original a una ecuación de primer orden.

3) Método de variación de las constantes de Lagrange..
En este método, primero resolvemos la ecuación homogénea (3). Su solución se parece a:
(2) .
Suponemos además que las constantes son funciones de la variable x. Entonces la solución de la ecuación original tiene la forma:
,
donde están las funciones desconocidas. Sustituyendo en la ecuación original e imponiendo algunas restricciones, obtenemos ecuaciones a partir de las cuales podemos encontrar el tipo de funciones.

ecuación de euler

Se reduce a una ecuación lineal con coeficientes constantes por sustitución:
.
Sin embargo, para resolver la ecuación de Euler no es necesario realizar dicha sustitución. Puedes buscar inmediatamente una solución a la ecuación homogénea en la forma
.
Como resultado, obtenemos las mismas reglas que para una ecuación con coeficientes constantes, en la que en lugar de una variable es necesario sustituir .

Referencias:
V.V. Stepánov, curso ecuaciones diferenciales, "LKI", 2015.
NUEVO MÉJICO. Gunter, R.O. Kuzmin, Colección de problemas sobre Matemáticas avanzadas, "Lan", 2003.