El conjunto de todos los números reales se puede representar como la unión de tres conjuntos: el conjunto de los números positivos, el conjunto de los números negativos y el conjunto formado por un número: el número cero. Para indicar que el número A positivo, usa la grabación a > 0, para indicar un número negativo utilice otra notación a< 0 .
La suma y el producto de números positivos también son números positivos. si el numero A negativo, entonces el número -A positivo (y viceversa). Para todo número positivo a existe un número racional positivo r, Qué r< а . Estos hechos subyacen a la teoría de las desigualdades.
Por definición, la desigualdad a > b (o, lo que es lo mismo, b< a) имеет место в том и только в том случае, если а - b >0, es decir, si el número a - b es positivo.
Consideremos, en particular, la desigualdad A< 0 . ¿Qué significa esta desigualdad? Según la definición anterior, significa que 0 - a > 0, es decir. -a > 0 o en otras palabras, ¿cuál es el número? -A afirmativamente. Pero esto ocurre si y sólo si el número A negativo. Entonces la desigualdad A< 0 significa que el número pero negativo.
La notación también se utiliza a menudo. ab(o, lo que es lo mismo, ba).
Registro ab, por definición, significa que a > b, o a = b. Si consideramos el registro ab como una declaración indefinida, entonces en la notación de la lógica matemática podemos escribir
(a b) [(a > b) V (a = b)]
Ejemplo 1.¿Son verdaderas las desigualdades 5 0, 0 0?
La desigualdad 5 0 es un enunciado complejo que consta de dos enunciados simples conectados por el conectivo lógico “o” (disyunción). O 5 > 0 o 5 = 0. La primera afirmación 5 > 0 es verdadera, la segunda afirmación 5 = 0 es falsa. Según la definición de disyunción, una afirmación tan compleja es verdadera.
La entrada 00 se analiza de manera similar.
Desigualdades de la forma a > b, a< b las llamaremos estrictas y desigualdades de la forma ab, ab- no estricto.
Desigualdades a > b Y c > d(o A< b Y Con< d ) se llamarán desigualdades del mismo significado, y desigualdades a > b Y do< d - desigualdades de significado opuesto. Tenga en cuenta que estos dos términos (desigualdades de significado igual y opuesto) se refieren sólo a la forma de escribir las desigualdades, y no a los hechos mismos expresados por estas desigualdades. Entonces, en relación con la desigualdad A< b desigualdad Con< d es una desigualdad del mismo significado, y en la notación d>c(que significa lo mismo) - una desigualdad del significado opuesto.
Junto con las desigualdades de la forma. a>b, ab Se utilizan las llamadas desigualdades dobles, es decir, desigualdades de la forma. A< с < b
, C.A< b
, a< cb
,
acb. Por definición, un récord
A< с < b
(1)
significa que ambas desigualdades se cumplen:
A< с Y Con< b.
Las desigualdades tienen un significado similar. acb, aire acondicionado< b, а < сb.
La doble desigualdad (1) se puede escribir de la siguiente manera:
(a< c < b) [(a < c) & (c < b)]
y la doble desigualdad una ≤ c ≤ b se puede escribir de la siguiente forma:
(a c b) [(a< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)]
Procedamos ahora a la presentación de las propiedades básicas y reglas de acción sobre las desigualdades, habiendo acordado que en este artículo las letras a, b, c representar números reales, y norte significa número natural.
1) Si a > b y b > c, entonces a > c (transitividad).
Prueba.
Ya que por condición a > b Y b > c, entonces los números a-b Y b-c son positivos y por lo tanto el número a - c = (a - b) + (b - c), como suma de números positivos, también es positivo. Esto significa, por definición, que a > c.
2) Si a > b, entonces para cualquier c se cumple la desigualdad a + c > b + c.
Prueba.
Porque a > b, entonces el número a-b afirmativamente. Por lo tanto, el número (a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - b también es positivo, es decir
a + c > b + c.
3) Si a + b > c, entonces a > b - c, es decir, cualquier término se puede transferir de una parte de la desigualdad a otra cambiando el signo de este término al opuesto.
La prueba se desprende de la propiedad 2) es suficiente para ambos lados de la desigualdad a + b > c agregar numero - b.
4) Si a > b y c > d, entonces a + c > b + d, es decir, al sumar dos desigualdades del mismo significado se obtiene una desigualdad del mismo significado.
Prueba.
En virtud de la definición de desigualdad, basta con demostrar que la diferencia
(a + c) - (b + c) positivo. Esta diferencia se puede escribir de la siguiente manera:
(a + c) - (b + d) = (a - b) + (c - d).
Ya que según la condición del número. a-b Y cd son positivos, entonces (a + c) - (b + d) También hay un número positivo.
Consecuencia. De las reglas 2) y 4) se sigue la siguiente regla para restar desigualdades: si a > b, c > d, Eso a - d > b - c(para demostrarlo basta con aplicar ambos lados de la desigualdad a + c > b + d agregar numero - cd).
5) Si a > b, entonces para c > 0 tenemos ac > bc, y para c< 0 имеем ас < bc.
En otras palabras, cuando se multiplican ambos lados de una desigualdad por un número positivo, el signo de desigualdad se conserva (es decir, se obtiene una desigualdad del mismo significado), pero cuando se multiplica por un número negativo, el signo de desigualdad cambia al opuesto. (es decir, se obtiene una desigualdad de significado opuesto.
Prueba.
Si a > b, Eso a-b es un número positivo. Por tanto, el signo de la diferencia ac-bc = taxi) coincide con el signo del número Con: Si Con es un numero positivo entonces la diferencia ca - antes de Cristo es positivo y por lo tanto ac > bс, y si Con< 0 , entonces esta diferencia es negativa y por lo tanto antes de Cristo - ac positivo, es decir antes de Cristo > ac.
6) Si a > b > 0 y c > d > 0, entonces ac > bd, es decir, si todos los términos de dos desigualdades del mismo significado son positivos, entonces al multiplicar estas desigualdades término por término se obtiene una desigualdad del mismo significado.
Prueba.
Tenemos ac - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d). Porque c > 0, b > 0, a - b > 0, c - d > 0, luego ac - bd > 0, es decir, ac > bd.
Comentario. De la prueba queda claro que la condición re > 0 en la formulación de la propiedad 6) no es importante: para que esta propiedad sea válida basta que se cumplan las condiciones a > b > 0, c > d, c > 0. Si (si se cumplen las desigualdades a > b, c > d) números a, b, c no todo será positivo, entonces la desigualdad ca > bd puede no cumplirse. Por ejemplo, cuando A = 2, b =1, do= -2, d= -3 tenemos a > b, c > d, pero la desigualdad ca > bd(es decir, -4 > -3) falló. Por tanto, el requisito de que los números a, b, c sean positivos en la formulación de la propiedad 6) es esencial.
7) Si a ≥ b > 0 y c > d > 0, entonces (división de desigualdades).
Prueba.
Tenemos 
El numerador de la fracción del lado derecho es positivo (ver propiedades 5), 6)), el denominador también es positivo. Por eso,. Esto prueba la propiedad 7).
Comentario. Notemos un caso especial importante de la regla 7), obtenido con a = b = 1: si c > d > 0, entonces. Así, si los términos de la desigualdad son positivos, entonces al pasar a los recíprocos obtenemos una desigualdad de significado opuesto. Invitamos a los lectores a comprobar que esta regla también se cumple en 7) Si ab > 0 y c > d > 0, entonces (división de desigualdades).
Prueba. Eso.
Hemos demostrado anteriormente varias propiedades de las desigualdades escritas con el signo > (más). Sin embargo, todas estas propiedades podrían formularse utilizando el signo < (menos), ya que la desigualdad b< а significa, por definición, lo mismo que desigualdad a > b. Además, como es fácil de comprobar, las propiedades demostradas anteriormente también se conservan para desigualdades no estrictas. Por ejemplo, la propiedad 1) para desigualdades no estrictas tendrá la siguiente forma: si ab y ac, Eso C.A.
Por supuesto, lo anterior no limita las propiedades generales de las desigualdades. También existe toda una serie de desigualdades generales relacionadas con la consideración de funciones potencia, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. El enfoque general para escribir este tipo de desigualdades es el siguiente. Si alguna función y = f(x) aumenta monótonamente en el segmento [a,b], entonces para x 1 > x 2 (donde x 1 y x 2 pertenecen a este segmento) tenemos f (x 1) > f(x 2). Asimismo, si la función y = f(x) disminuye monótonamente en el intervalo [a,b], entonces cuando x1 > x 2 (donde x1 Y incógnita 2 pertenecen a este segmento) tenemos f(x1)< f(x 2 ). Por supuesto, lo dicho no es diferente de la definición de monotonicidad, pero esta técnica es muy conveniente para memorizar y escribir desigualdades.
Entonces, por ejemplo, para cualquier número natural n la función y = x norte aumenta monótonamente a lo largo del rayo }
