Sabemos que los valores del coseno están en el rango [-1; 1], es decir -1 ≤ cos α ≤ 1. Por tanto, si |a| > 1, entonces la ecuación cos x = a no tiene raíces. Por ejemplo, la ecuación cos x = -1,5 no tiene raíces.
Consideremos varios problemas.
Resuelve la ecuación cos x = 1/2.
Solución.
Recuerde que cos x es la abscisa de un punto en un círculo con un radio igual a 1, obtenido al girar el punto P (1; 0) en un ángulo x alrededor del origen.
La abscisa 1/2 está en dos puntos del círculo M 1 y M 2. Como 1/2 = cos π/3, podemos obtener el punto M 1 del punto P (1; 0) girando en el ángulo x 1 = π/3, así como en los ángulos x = π/3 + 2πk, donde k = +/-1, +/-2,…
El punto M 2 se obtiene del punto P (1; 0) girando en un ángulo x 2 = -π/3, así como en los ángulos -π/3 + 2πk, donde k = +/-1, +/-2 , ...
Entonces, todas las raíces de la ecuación cos x = 1/2 se pueden encontrar usando las fórmulas
x = π/3 + 2πk
x = -π/3 + 2πk,
Las dos fórmulas presentadas se pueden combinar en una:
x = +/-π/3 + 2πk, k € Z.
Resuelve la ecuación cos x = -1/2.
Solución.
Dos puntos del círculo M 1 y M 2 tienen una abscisa igual a – 1/2. Dado que -1/2 = cos 2π/3, entonces ángulo x 1 = 2π/3, y por lo tanto ángulo x 2 = -2π/3.
En consecuencia, todas las raíces de la ecuación cos x = -1/2 se pueden encontrar usando la fórmula: x = +/-2π/3 + 2πk, k € Z.
Así, cada una de las ecuaciones cos x = 1/2 y cos x = -1/2 tiene conjunto infinito raíces. En el intervalo 0 ≤ x ≤ π, cada una de estas ecuaciones tiene una sola raíz: x 1 = π/3 es la raíz de la ecuación cos x = 1/2 y x 1 = 2π/3 es la raíz de la ecuación cos x = -1/2.
El número π/3 se llama arcocoseno del número 1/2 y se escribe: arccos 1/2 = π/3, y el número 2π/3 se llama arcocoseno del número (-1/2) y se escribe : arccos (-1/2) = 2π/3 .
En general, la ecuación cos x = a, donde -1 ≤ a ≤ 1, tiene sólo una raíz en el intervalo 0 ≤ x ≤ π. Si a ≥ 0, entonces la raíz está contenida en el intervalo ; si un< 0, то в промежутке (π/2; π]. Этот корень называют арккосинусом числа а и обозначают: arccos а.
Así, el arco coseno del número a € [-1; 1 ] es un número a € cuyo coseno es igual a a:
arccos а = α, si cos α = а y 0 ≤ а ≤ π (1).
Por ejemplo, arccos √3/2 = π/6, ya que cos π/6 = √3/2 y 0 ≤ π/6 ≤ π;
arccos (-√3/2) = 5π/6, ya que cos 5π/6 = -√3/2 y 0 ≤ 5π/6 ≤ π.
De la misma manera que se hizo en el proceso de resolución de los problemas 1 y 2, se puede demostrar que todas las raíces de la ecuación cos x = a, donde |a| ≤ 1, expresado por la fórmula
x = +/-arccos a + 2 πn, n€ Z (2).
Resuelve la ecuación cos x = -0,75.
Solución.
Usando la fórmula (2) encontramos x = +/-arccos (-0,75) + 2 πn, n € Z.
El valor de arcos (-0,75) se puede encontrar aproximadamente en la figura midiendo el ángulo con un transportador. Los valores aproximados del arcocoseno también se pueden encontrar utilizando tablas especiales (tablas Bradis) o una microcalculadora. Por ejemplo, el valor de arccos (-0,75) se puede calcular en una microcalculadora, dando valor aproximado 2.4188583. Entonces, arccos (-0,75) ≈ 2,42. Por tanto, arccos (-0,75) ≈ 139°.
Respuesta: arccos (-0,75) ≈ 139°.
Resuelve la ecuación (4cos x – 1)(2cos 2x + 1) = 0.
Solución.
1) 4cos x – 1 = 0, cos x = 1/4, x = +/-arcos 1/4 + 2 πn, n € Z.
2) 2cos 2x + 1 = 0, cos 2x = -1/2, 2x = +/-2π/3 + 2 πn, x = +/-π/3 + πn, n € Z.
Respuesta. x = +/-arcos 1/4 + 2 πn, x = +/-π/3 + πn.
Se puede demostrar que para cualquier € [-1; 1] es justo fórmula arccos(-а) = π – arccos а (3).
Esta fórmula permite expresar los valores de los arcocosenos. números negativos a través de los arcocosenos de números positivos. Por ejemplo:
arcocos (-1/2) = π – arcocos 1/2 = π – π/3 = 2π/3;
arccos (-√2/2) = π – arccos √2/2 = π – π/4 = 3π/4
de la fórmula (2) se deduce que las raíces de la ecuación, cos x = a para a = 0, a = 1 y a = -1 se pueden encontrar usando fórmulas más simples:
porque x = 0 x = π/2 + πn, n € Z (4)
porque x = 1 x = 2πn, n € Z (5)
cos x = -1 x = π + 2πn, n€ Z (6).
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¡Buenas noches! Hiciste una pregunta muy interesante: solución cos x = 3. Esta es la tarea más común. Y sí, siempre antes que nada, teniendo en cuenta todo lo que sabes, inmediatamente puedes empezar a decidir. Y sí, incluso el hecho de que no encuentres arccos 3 en la tabla tampoco es un obstáculo. Así que te lo diré. terrible secreto. Funciones como sen y cos no pueden ser iguales a ningún número mayor que uno. Es decir, es lógico suponer que las soluciones. ecuación dada No. Es necesario recordar esto para no cometer errores estúpidos en el futuro. Intentemos solucionar algo parecido, pero algo que tenga solución. No como esta tarea. Por ejemplo:
Ahora vayamos a la solución. cierta regla solución de ecuaciones similares, que siempre se debe utilizar y tomará la siguiente forma general:
Una vez que nos hemos ocupado decisión general, entonces ahora podemos proceder a resolver tu ecuación:
Encontraremos el valor usando la tabla. Y de esto obtenemos que 
Como hemos resuelto los conceptos básicos, ahora podemos resolver completamente tu ecuación.
