llamado frecuencia relativa ( o frecuencia) eventos A en la serie de experimentos bajo consideración.

La frecuencia relativa del evento tiene la siguiente propiedades:

1. La frecuencia de cualquier evento se encuentra entre cero y uno, es decir

2. La frecuencia de un evento imposible es cero, es decir

3. La frecuencia de un evento confiable es 1, es decir

4. La frecuencia de la suma de dos eventos incompatibles es igual a la suma de la frecuencia
estos eventos, es decir si entonces

La frecuencia tiene otra propiedad fundamental llamada propiedad de la estabilidad estadística: con un número cada vez mayor de experimentos (es decir, norte) toma valores cercanos a algún número constante (dicen: la frecuencia se estabiliza, acercándose a un determinado número, la frecuencia fluctúa alrededor de un determinado número o sus valores se agrupan alrededor de un determinado número).

Entonces, por ejemplo, en el experimento (K. Pearson) al lanzar una moneda, la frecuencia relativa de aparición del escudo de armas con 12.000 y 24.000 lanzamientos resultó ser igual a 0,5015 y 0,5005, respectivamente, es decir. la frecuencia se acerca al número. La frecuencia de tener un niño, como muestran las observaciones, fluctúa alrededor del número 0,515.

Tenga en cuenta que la teoría de la probabilidad estudia sólo aquellos fenómenos aleatorios masivos con un resultado incierto para los cuales se supone estabilidad de la frecuencia relativa.

Definición estadística de probabilidad

Para estudiar matemáticamente un suceso aleatorio, es necesario introducir alguna evaluación cuantitativa del suceso. Está claro que algunos eventos tienen más probabilidades (“más probabilidades”) de ocurrir que otros. Esta evaluación es probabilidad de un evento, aquellos. un número que expresa el grado de posibilidad de que ocurra en la experiencia considerada. Existen varias definiciones matemáticas de probabilidad; todas se complementan y generalizan entre sí.

Considere un experimento que se puede repetir cualquier número de veces (dicen: “se realizan pruebas repetidas”), en el que se observa algún evento A.

Probabilidad estadística eventos A es el número alrededor del cual fluctúa la frecuencia relativa del evento A para un número suficientemente grande de ensayos (experimentos).

probabilidad de evento A indicado por el símbolo R(A). Según esta definición:

.

(1.2)

Justificación matemática de la proximidad de la frecuencia relativa y la probabilidad R(A) de algún evento A Sirve como teorema de J. Bernoulli.

Probabilidades R(A) se atribuyen propiedades de 1 a 4 frecuencias relativas:

1. La probabilidad estadística de cualquier evento se encuentra entre cero y uno, es decir

2. La probabilidad estadística de un evento imposible es cero, es decir

3. La probabilidad estadística de un evento confiable es igual a 1, es decir

4. La probabilidad estadística de la suma de dos eventos incompatibles es igual a la suma de la frecuencia de estos eventos, es decir si entonces

El método estadístico para determinar la probabilidad, basado en la experiencia real, revela completamente el contenido de este concepto. La desventaja de la definición estadística es la ambigüedad de la probabilidad estadística; Entonces, en el ejemplo de lanzar una moneda, puedes tomar como probabilidad no solo el número 0,5, sino también 0,49 o 0,51, etc. Para determinar de forma fiable la probabilidad, es necesario realizar una gran cantidad de pruebas, lo que no siempre es fácil ni barato.

Definición clásica de probabilidad

Existe una manera sencilla de determinar la probabilidad de un evento, basada en la igualdad de cualquiera de un número finito de resultados del experimento. Realice el experimento con norte resultados que pueden representarse como grupo completo de incompatibles igualmente posibles eventos. Estos resultados se denominan casos, posibilidades, eventos elementales, experiencia - clásico. Dicen sobre tal experiencia que se reduce a esquema de caso o esquema de urna(ya que el problema probabilístico de tal experimento puede ser reemplazado por un problema equivalente con urnas que contienen bolas de diferentes colores).

Caso w, que conduce a la ocurrencia del evento. A, llamado favorable(o favorable) para él, es decir. el caso w implica el evento A: .

probabilidad del evento A se llama razón numérica metro casos favorables a este evento, al número total norte casos, es decir

Junto con la designación R(A) para la probabilidad de un evento A la notación utilizada es r, es decir. pag=P(A).

De la definición clásica de probabilidad se desprende lo siguiente: propiedades:

1. La probabilidad de cualquier evento está entre cero y uno, es decir

2. La probabilidad de un evento imposible es cero, es decir

3. La probabilidad de un evento confiable es 1, es decir

4. La probabilidad de la suma de eventos incompatibles es igual a la suma de la frecuencia de estos eventos, es decir si entonces

Ejemplo 1.3. Una urna contiene 12 bolas blancas y 8 negras. ¿Cuál es la probabilidad de que una bola extraída al azar sea blanca?

Solución:

Dejar A– un evento que consiste en el hecho de que se extrae una bola blanca. Está claro que es el número de todos los casos igualmente posibles. Número de casos a favor del evento A, es igual a 12, es decir . En consecuencia, según la fórmula (1.3) tenemos: , es decir .

Definición geométrica de probabilidades.

La definición geométrica de probabilidad se utiliza en el caso en que los resultados del experimento son igualmente posibles y el PES es un conjunto infinito e incontable. Consideremos en el plano una región Ω que tiene área y dentro de la región Ω , región D con área SD(ver figura 6).

Se selecciona aleatoriamente un punto en la región Ω incógnita. Esta elección puede interpretarse como lanzando un punto incógnita a la regiónΩ. En este caso, la entrada de un punto en la región Ω es un evento confiable, en D- aleatorio. Se supone que todos los puntos de la región Ω son iguales (todos los eventos elementales son igualmente posibles), es decir que un punto lanzado puede golpear cualquier punto en la región Ω y la probabilidad de entrar en la región D es proporcional al área de esta área y no depende de su ubicación y forma. Deje que el evento, es decir. el punto lanzado caerá en el área D.

Con la definición clásica, la probabilidad de un evento está determinada por la igualdad P(A)=m/n, donde m es el número de resultados de pruebas elementales favorables a la ocurrencia del evento A; n es el número total de posibles resultados de pruebas elementales.

Se supone que los resultados elementales forman un grupo completo y son igualmente posibles.

Frecuencia relativa del evento A: W(A)=m/n, donde m es el número de ensayos en los que ocurrió el evento A; n es el número total de pruebas realizadas.

Cuando se determina estadísticamente, la probabilidad de un evento se considera su frecuencia relativa.

Ejemplo: se lanzan dos dados. Calcula la probabilidad de que la suma de puntos en los lados lanzados sea par y aparezca un seis en el lado de al menos uno de los dados.

Solución: en la cara caída del “primer” dado, pueden aparecer un punto,..., seis puntos. Se pueden obtener seis resultados elementales similares al lanzar el “segundo” dado. Cada uno de los resultados de lanzar el “primero” se puede combinar con cada uno de los resultados de lanzar el “segundo”. el número total de resultados de pruebas elementales es 6*6=36. Estos resultados forman un grupo completo y, debido a la simetría de los huesos, son igualmente posibles. 5 movimientos son favorables para el evento: 1)6,2;2)6,4;3)6,6;4)2,6;5)4,6;

Probabilidad requerida: P(A)=5/36

También puede encontrar la información que le interesa en el buscador científico Otvety.Online. Utilice el formulario de búsqueda:

Más sobre el tema 3. Frecuencia relativa. Estabilidad de frecuencias relativas. Definición estadística de probabilidad:

1. 4. Definición clásica de probabilidad. Frecuencia relativa de ocurrencia de un evento. Probabilidad estadística. Probabilidad geométrica.
2. 27. Determinación estadística de la muestra. Series de variación y su representación gráfica. Polígono e histograma de frecuencias (frecuencias relativas).
3. 39. Construcción de una serie de variación de intervalo. Histograma de frecuencias y frecuencias relativas.
4. 4. Probabilidad de desviación de la frecuencia relativa de una probabilidad constante en pruebas independientes

La frecuencia relativa, junto con la probabilidad, pertenece a los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad.

Frecuencia relativa eventos es la relación entre el número de ensayos en los que ocurrió el evento y el número total de ensayos realmente realizados. Por lo tanto, la frecuencia relativa del evento A está determinado por la fórmula

W.(A) = metro/norte,

Dónde metro– número de ocurrencias del evento, norte– número total de pruebas.

Comparando las definiciones de probabilidad y frecuencia relativa, concluimos: la definición de probabilidad no requiere que las pruebas se realicen realmente; La determinación de la frecuencia relativa supone que las pruebas se llevaron a cabo realmente. En otras palabras, la probabilidad se calcula antes del experimento, la frecuencia relativa, después del experimento.

Ejemplo 1. El departamento de inspección encontró 3 piezas no estándar en un lote de 80 piezas seleccionadas al azar. Frecuencia relativa de aparición de piezas no estándar.

W.(A) =3/80.

Ejemplo 2. Se realizaron 24 disparos al objetivo y se registraron 19 aciertos. Tasa relativa de aciertos del objetivo

W.(A) =19/24.

Las observaciones a largo plazo han demostrado que si los experimentos se llevan a cabo en condiciones idénticas, en cada una de las cuales el número de pruebas es suficientemente grande, entonces la frecuencia relativa presenta la propiedad de estabilidad. Esta propiedad es que en diferentes experimentos la frecuencia relativa cambia poco(cuanto menos, más pruebas se realizan), fluctuando alrededor de algún número constante. Resultó que este número constante es la probabilidad de que ocurra el evento.

Por tanto, si la frecuencia relativa se establece experimentalmente, entonces el número resultante puede tomarse como un valor de probabilidad aproximado.

La relación entre frecuencia relativa y probabilidad se describirá con más detalle y precisión a continuación. Ahora ilustraremos la propiedad de la estabilidad con ejemplos.

Ejemplo 3. Según las estadísticas suecas, la frecuencia relativa de nacimientos de niñas en 1935. Por mes se caracteriza por los siguientes números (los números están ordenados por meses a partir de enero): 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0.473

La frecuencia relativa fluctúa alrededor del número 0,482, que puede tomarse como un valor aproximado de la probabilidad de tener niñas.

Tenga en cuenta que los datos estadísticos de diferentes países dan aproximadamente el mismo valor de frecuencia relativa.

Ejemplo 4. Se realizaron muchas veces experimentos de lanzamiento de monedas, en los que se contaba el número de apariciones del “escudo de armas”. Los resultados de varios experimentos se dan en la Tabla 1.

Aquí las frecuencias relativas se desvían ligeramente del número 0,5 y cuanto menor es mayor es el número de pruebas. Por ejemplo, con 4040 ensayos la desviación es 0,0069, y con 24000 ensayos es sólo 0,0005. Teniendo en cuenta que la probabilidad de que aparezca un “escudo” al lanzar una moneda es 0,5, volvemos a ver que la frecuencia relativa fluctúa alrededor de la probabilidad.

§ 7. Limitaciones de la definición clásica de probabilidad. Probabilidad estadística

La definición clásica de probabilidad supone que el número de resultados elementales de una prueba es finito. En la práctica, es muy común encontrar pruebas en las que el número de resultados posibles es infinito. En tales casos, la definición clásica no es aplicable. Esta circunstancia por sí sola indica las limitaciones de la definición clásica. La desventaja señalada puede superarse, en particular, introduciendo probabilidades geométricas (ver § 8) y, por supuesto, utilizando la probabilidad axiomática (ver § 3, comentario).

El lado más débil de la definición clásica es que muy a menudo es imposible representar el resultado de una prueba en forma de un conjunto de eventos elementales. Es aún más difícil indicar las razones por las que se consideran igualmente posibles los acontecimientos elementales. Por lo general, se dice que la equiparabilidad de los resultados de las pruebas elementales se basa en consideraciones de simetría. Por ejemplo, se supone que la matriz tiene la forma de un poliedro regular (cubo) y está hecha de un material homogéneo. Sin embargo, los problemas en los que se pueden utilizar consideraciones de simetría son muy raros en la práctica. Por este motivo, junto a la definición clásica de probabilidad, se utilizan otras definiciones, en particular la definición estadística: La frecuencia relativa o un número cercano a ella se toma como probabilidad estadística de un evento. Por ejemplo, si como resultado de un número suficientemente grande de pruebas resulta que la frecuencia relativa es muy cercana al número 0,4, entonces este número puede tomarse como la probabilidad estadística del evento.

Es fácil comprobar que las propiedades de la probabilidad que surgen de la definición clásica (ver § 3) también se conservan en la definición estadística de probabilidad. De hecho, si el evento es confiable, entonces metro =norte y frecuencia relativa

metro/norte = norte/norte = 1,

aquellos. la probabilidad estadística de un evento confiable (como en el caso de la definición clásica) es igual a uno.

Si el evento es imposible, entonces metro= 0 y por lo tanto la frecuencia relativa

0/norte = 0,

aquellos. la probabilidad estadística de un evento imposible es cero.

Para cualquier evento 0 metro norte y por lo tanto la frecuencia relativa

0 metro/norte 1,

aquellos. la probabilidad estadística de cualquier evento se encuentra entre cero y uno.

Para la existencia de una probabilidad estadística de un evento. A requerido:

a) la posibilidad, al menos en principio, de realizar un número ilimitado de pruebas, en cada una de las cuales un evento A ocurre o no ocurre;

b) estabilidad de las frecuencias relativas de ocurrencia A en varias series de un número suficientemente grande de pruebas.

La desventaja de la definición estadística es la ambigüedad de la probabilidad estadística; Entonces, en el ejemplo anterior, no solo se puede tomar 0,4, sino también 0,39 como probabilidad de un evento; 0,41, etc.

Probabilidades geométricas

Para superar la desventaja de la definición clásica de probabilidad, que es que no es aplicable a ensayos con un número infinito de resultados, introducimos probabilidades geométricas– la probabilidad de que un punto golpee un área (segmento, parte de un avión, etc.).

Deja que el segmento yo forma parte de un segmento l. para un segmento l Se hizo un punto al azar. Esto implica cumplir los siguientes supuestos: el punto de ajuste puede estar en cualquier punto del segmento l, la probabilidad de que un punto caiga sobre un segmento yo es proporcional a la longitud de este segmento y no depende de su ubicación en relación con el segmento l. Bajo estos supuestos, la probabilidad de que un punto caiga sobre un segmento yo está determinado por la igualdad

PAG= Longitud yo/ Longitud l.

Ejemplo 1. para un segmento O.A. longitud l eje numérico Buey se colocó un punto al azar B(incógnita). Encuentre la probabilidad de que el más pequeño de los segmentos TRANSMISIÓN EXTERIOR. Y LICENCIADO EN LETRAS. tiene una longitud mayor l

Solución. Dividamos el segmento. O.A. puntos do Y D en 3 partes iguales. El requisito de la tarea se cumplirá si el punto B(incógnita) cae en el segmento CD longitud l/3. Probabilidad requerida

PAG = (l /3)/l = 1/3.

Deja que la figura plana gramo forma parte de una figura plana GRAMO. Adaptar GRAMO Se lanza un punto al azar. Esto significa hacer las siguientes suposiciones: el punto lanzado puede terminar en cualquier punto de la figura GRAMO, la probabilidad de que una punta lanzada golpee una figura gramo es proporcional al área de esta figura y no depende de su ubicación con respecto a GRAMO, ni de la forma gramo. Bajo estos supuestos, la probabilidad de que un punto golpee una figura es gramo está determinado por la igualdad

PAG= Área gramo/ Cuadrado GRAMO.

Ejemplo 2. En el plano se dibujan dos círculos concéntricos cuyos radios son de 5 y 10 cm, respectivamente. Encuentre la probabilidad de que un punto lanzado al azar dentro de un círculo grande caiga dentro del anillo formado por los círculos construidos. Se supone que la probabilidad de que un punto caiga en una figura plana es proporcional al área de esta figura y no depende de su ubicación con respecto al círculo máximo.

Solución. Área del anillo (figura gramo)

sg= p(10 2 - 5 2) = 75 p.

Área de un gran círculo (figura GRAMO)

SG= p10 2 = 100 p.

Probabilidad requerida

PAG= 75 p/(100 p) = 0,75.

Ejemplo 3. El dispositivo de señalización recibe señales de dos dispositivos, y la recepción de cada una de las señales es igualmente posible en cualquier momento del período de tiempo que dura t. Los momentos de llegada de la señal son independientes entre sí. La alarma se activa si la diferencia entre los momentos de recepción de la señal es menor t(t<t). Encuentre la probabilidad de que la alarma suene a tiempo t,si cada dispositivo envía una señal.

Solución. Denotemos los momentos de llegada de las señales del primer y segundo dispositivo, respectivamente, por incógnita Y y. Debido a las condiciones del problema, se deben satisfacer desigualdades dobles: 0 incógnita T, 0 y t Introduzcamos en consideración el sistema de coordenadas rectangular. xoy. En este sistema, las desigualdades dobles se satisfacen con las coordenadas de cualquier punto del cuadrado. OTA(Figura 1).

Por tanto, este cuadrado puede considerarse como una figura. GRAMO, cuyas coordenadas de puntos representan todos los valores posibles de los momentos de llegada de la señal.

La alarma se activa si la diferencia entre los momentos de recepción de la señal es menor t, es decir. Si y-incógnita<t en y>incógnita Y incógnita-y<t en incógnita>y, o, lo que es lo mismo,

y<incógnita+t en y>incógnita, (*)

y >incógnita-t en y<incógnita. (**)

La desigualdad (*) es válida para esos puntos de la figura. GRAMO, que se encuentran por encima de la línea y = incógnita y debajo de la línea y = incógnita+t;la desigualdad (**) se cumple para los puntos ubicados debajo de la línea y= incógnita y por encima de la línea recta y = incógnita-t.

Como puede verse en la Fig. 1. todos los puntos cuyas coordenadas satisfacen las desigualdades (*) y (**) pertenecen al hexágono sombreado. Entonces este hexágono puede considerarse como una figura. gramo, cuyas coordenadas son momentos favorables del tiempo incógnita Y y.

Probabilidad requerida

PAG= Pl. gramo/ Pl. GRAMO = (t 2 - (t - t) 2)/t 2 = (t(2t - t))/t 2 .

Nota1. Las definiciones dadas son casos especiales de la definición general de probabilidad geométrica. Si denotamos la medida (longitud, área, volumen) de una región por mes, entonces la probabilidad de que un punto lanzado al azar (en el sentido anterior) caiga en la región gramo– parte de la región GRAMO, es igual

PAG=mes gramo/mes GRAMO.

Observación 2. En el caso de la definición clásica, la probabilidad de un evento confiable (imposible) es igual a uno (cero); Las afirmaciones inversas también son verdaderas (por ejemplo, si la probabilidad de un evento es cero, entonces el evento es imposible). En el caso de una definición geométrica de probabilidad, las afirmaciones inversas no se cumplen. Por ejemplo, la probabilidad de que un punto lanzado golpee un punto específico del área GRAMO es cero, pero este evento puede ocurrir y por lo tanto no es imposible.

Tareas

1. La caja contiene 50 piezas idénticas, 5 de las cuales están pintadas. Se saca una pieza al azar. Encuentre la probabilidad de que la pieza extraída sea pintada.

Responder. pag = 0,1.

2. Se lanza un dado. Calcula la probabilidad de obtener un número par de puntos.

Responder. pag = 0,5.

3. Los participantes en el sorteo sacan fichas con números del 1 al 100 de la caja. Calcula la probabilidad de que el número de la primera ficha extraída al azar no contenga el número 5.

Responder. pag = 0,81.

4. Hay 5 cubos idénticos en la bolsa. Una de las siguientes letras está escrita en todas las caras de cada cubo: o, p, p, s, t Calcula la probabilidad de que la palabra “deporte” se pueda leer en los cubos extendidos uno a la vez y ordenados en “uno”. línea".

Responder. pag = 1/120.

5. Cada una de las seis cartas idénticas tiene impresa una de las siguientes letras: a, t, m, p, s, o. Las cartas están bien mezcladas. Encuentre la probabilidad de que la palabra "cable" se pueda leer en cuatro tarjetas extraídas una a la vez y dispuestas "en una línea".

Responder. pag = 1/ = 1/360.

6. Un cubo, cuyos bordes están coloreados, se corta en mil cubos del mismo tamaño, que luego se mezclan cuidadosamente. Encuentre la probabilidad de que un cubo extraído al azar tenga caras de colores: a) una; b) dos; c) tres.

Responder. a) 0,384; b) 0,096; c)0,008.

7. De un juego completo de 28 fichas de dominó bien mezcladas, se extrae una ficha al azar. Encuentre la probabilidad de que el segundo hueso extraído al azar pueda colocarse junto al primero si el primer hueso: a) resulta ser doble; b) no hay doble.

Responder. a) 2/9; b) 4/9.

8. La cerradura tiene cinco discos en un eje común. Cada disco está dividido en seis sectores, en los que están escritas diferentes letras. La cerradura se abre sólo si cada disco ocupa una posición específica con respecto al cuerpo de la cerradura. Encuentre la probabilidad de que si los discos se instalan al azar, se pueda abrir la cerradura.

Responder. pag = 1/6 5 .

9. Se colocan al azar ocho libros diferentes en un estante. Calcula la probabilidad de que dos libros específicos se coloquen uno al lado del otro.

Responder. pag= 7*2!*6!/8! = ¼.

10. La biblioteca consta de diez libros diferentes: cinco libros cuestan 4 rublos cada uno, tres libros cuestan un rublo cada uno y dos libros cuestan 3 rublos cada uno. Calcula la probabilidad de que dos libros tomados al azar cuesten 5 rublos.

Responder. pag =

11. En un lote de 100 piezas, el departamento de control técnico descubrió 5 piezas no estándar. ¿Cuál es la frecuencia relativa de aparición de piezas no estándar?

Responder. w = 0,05.

12. Al disparar con un rifle, la frecuencia relativa de acertar en el objetivo fue de 0,85. Calcula el número de impactos si se dispararon un total de 120 tiros.

Responder. 102 hits.

13. para un segmento O.A. longitud l eje numérico Buey se colocó un punto al azar B(incógnita).Encuentre la probabilidad de que el menor de los segmentos TRANSMISIÓN EXTERIOR. Y LICENCIADO EN LETRAS. tiene una longitud menor que l/3. Se supone que la probabilidad de que un punto caiga sobre un segmento es proporcional a la longitud del segmento y no depende de su ubicación en el eje numérico.

Responder. pag = 2/3.

14. Dentro del círculo del radio R Se lanza un punto al azar. Calcula la probabilidad de que un punto esté dentro de un cuadrado inscrito en un círculo. Se supone que la probabilidad de que un punto caiga en un cuadrado es proporcional al área del cuadrado y no depende de su ubicación con respecto al círculo.

P = 7/16.

Capítulo dos

Existen varias definiciones del concepto de probabilidad. Demos la definición clásica. Está asociado con el concepto de resultado favorable. Esos resultados elementales (e.i.), en cat. ocurre el evento que nos interesa, lo llamaremos favorable para este evento. Def. : Creo que se llama al evento A. la relación entre el número de resultados favorables a este evento y el número total de todos igualmente posibles incompatibles e. es decir, formando un grupo completo. P(A) = m/n, donde m es el número de e. i., favorable al evento A; n – número de todos los posibles e. Y. pruebas. De la definición de probabilidad se desprenden sus propiedades.

:1) la versión (c) de un evento confiable siempre es igual a 1. Porque. el evento es confiable, entonces todo es e. Y. los ensayos favorecen este evento, es decir m=n.

La frecuencia relativa (RF) de un evento es la relación entre el número de ensayos en los que ocurrió el evento y el número total de ensayos realmente realizados. (¡¡¡NO omega!!!).

W(A) = m/n, donde m es el número de ocurrencias del evento A, n es el número total de ensayos. La determinación de la probabilidad no requiere que las pruebas se realicen realmente.

La definición de OC supone que las pruebas se llevaron a cabo realmente, es decir. ver. calculado antes del experimento y OC después del experimento. Si los experimentos se realizan en las mismas condiciones, en cada uno de los gatos. Si el número de pruebas es lo suficientemente grande, entonces el OC muestra estabilidad. Esta propiedad radica en el hecho de que en diversos experimentos el OC cambia poco cuanto menos cuanto más pruebas se realizan, fluctuando alrededor de un cierto número constante. Este número es ver. ocurrencia del evento. Eso. Se ha establecido experimentalmente que el OR puede tomarse como un valor de probabilidad aproximado. 5.Probabilidad estadística. La definición clásica de probabilidad supone que el número de resultados elementales de una prueba es finito. En la práctica, a menudo se realizan pruebas, el número de resultados posibles es cat. sin cesar. En tales casos, la definición clásica no es aplicable.

Definición:

La frecuencia relativa, junto con la probabilidad, pertenece a los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad.

Frecuencia relativa estadística. ver. (r.v.) eventos: frecuencia relativa (RF) o un número cercano a ella.

Santas probabilidades que surgen de lo clásico.

Comparando las definiciones de probabilidad y frecuencia relativa, concluimos: la definición de probabilidad no requiere que las pruebas se realicen realmente; La determinación de la frecuencia relativa supone que las pruebas se llevaron a cabo realmente. En otras palabras, la probabilidad se calcula antes del experimento y la frecuencia relativa después del experimento.

Ejemplo 1. El departamento de inspección encontró 3 piezas no estándar en un lote de 80 piezas seleccionadas al azar. Frecuencia relativa de aparición de piezas no estándar.

Ejemplo 2. Se realizaron 24 disparos al objetivo y se registraron 19 aciertos. Tasa relativa de aciertos del objetivo

Las observaciones a largo plazo han demostrado que si los experimentos se llevan a cabo en condiciones idénticas, en cada una de las cuales el número de pruebas es suficientemente grande, entonces la frecuencia relativa presenta la propiedad de estabilidad. Esta propiedad es que en diferentes experimentos la frecuencia relativa cambia poco (cuanto menos, más pruebas se realizan), fluctuando alrededor de un cierto número constante. Resultó que este número constante es la probabilidad de que ocurra el evento.

Por tanto, si la frecuencia relativa se establece experimentalmente, entonces el número resultante puede tomarse como un valor de probabilidad aproximado.

La relación entre frecuencia relativa y probabilidad se describirá con más detalle y precisión a continuación. Ahora ilustraremos la propiedad de la estabilidad con ejemplos.

Ejemplo 3. Según las estadísticas suecas, la frecuencia relativa de nacimientos de niñas en 1935 por mes se caracteriza por las siguientes cifras (las cifras están ordenadas por meses, a partir de enero): 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473.

La frecuencia relativa fluctúa alrededor del número 0,482, que puede tomarse como un valor aproximado de la probabilidad de tener niñas.

Tenga en cuenta que los datos estadísticos de diferentes países dan aproximadamente el mismo valor de frecuencia relativa.

Ejemplo 4. Se llevaron a cabo muchas veces experimentos de lanzamiento de monedas y se contó el número de veces que aparecía el "escudo de armas". Los resultados de varios experimentos se dan en la tabla. 1.

Aquí las frecuencias relativas se desvían ligeramente del número 0,5, y la corriente es menor cuanto mayor es el número de pruebas. Por ejemplo, con 4040 intentos la desviación es 0,0069, y con 24.000 intentos es solo 0,0005. Teniendo en cuenta que la probabilidad de que aparezca un “escudo” al lanzar una moneda es de 0,5, volvemos a ver que la frecuencia relativa. fluctúa alrededor de la probabilidad.