Prueba:
Primero demostremos el teorema para el caso de la secuencia 
Según la fórmula binomial de Newton:
Suponiendo que obtengamos
De esta igualdad (1) se deduce que a medida que n aumenta, aumenta el número de términos positivos en el lado derecho. Además, a medida que n aumenta, el número disminuye, por lo que los valores 
están aumentando. Por lo tanto la secuencia 
creciente, y (2)*Demostramos que es acotado. Reemplace cada paréntesis en el lado derecho de la igualdad con uno, el lado derecho aumentará y obtenemos la desigualdad.
Fortalezcamos la desigualdad resultante, reemplacemos 3,4,5, ..., que está en los denominadores de las fracciones, con el número 2: Encontramos la suma entre paréntesis usando la fórmula para la suma de los términos de una progresión geométrica: Por lo tanto 
(3)*
Entonces, la secuencia está acotada desde arriba y se satisfacen las desigualdades (2) y (3): 
Por tanto, basándose en el teorema de Weierstrass (criterio para la convergencia de una secuencia), la secuencia 
aumenta monótonamente y es limitado, lo que significa que tiene un límite, denotado por la letra e. Aquellos. 
Sabiendo que el segundo límite notable es cierto para valores naturales de x, demostramos el segundo límite notable para x real, es decir, demostramos que 
. Consideremos dos casos:
1. Sea cada valor de x encerrado entre dos números enteros positivos: , donde es la parte entera de x. => =>
Si , entonces Por lo tanto, según el límite 
Tenemos
Basado en el criterio (sobre el límite de una función intermedia) de la existencia de límites 
2. Deja. Hagamos la sustitución − x = t, entonces
De estos dos casos se deduce que 
de verdad x.
Consecuencias:
9 .) Comparación de infinitesimales. El teorema sobre la sustitución de infinitesimales por equivalentes en el límite y el teorema sobre la parte principal de los infinitesimales.
Sean las funciones a( X) y B( X) – b.m. en X ® X 0 .
DEFINICIONES.
1)a( X) llamado orden infinitamente superior que b (X) Si
Anota: a( X) = o(b( X)) .
2)a( X) Y b( X)son llamados infinitesimales del mismo orden, Si
donde CÎℝ y C¹ 0 .
Anota: a( X) = oh(b( X)) .
3)a( X) Y b( X) son llamados equivalente , Si
Anota: a( X) ~ b( X).
4)a( X) llamado infinitesimal de orden k relativo
absolutamente infinitesimal b( X),
si es infinitesimal a( X)Y(b( X))k tener el mismo orden, es decir Si
donde CÎℝ y C¹ 0 .
TEOREMA 6 (sobre la sustitución de infinitesimales por equivalentes).
Dejar a( X), b( X), un 1 ( X), segundo 1 ( X)– b.m. en x ® X 0 . Si a( X) ~ un 1 ( X), b( X) ~ b 1 ( X),
Eso 
Prueba: Sea a( X) ~ un 1 ( X), b( X) ~ b 1 ( X), Entonces
TEOREMA 7 (sobre la parte principal del infinitesimal).
Dejar a( X)Y b( X)– b.m. en x ® X 0 , y b( X)– b.m. orden superior que a( X).
= , a desde b( X) – orden superior a ( X), entonces, es decir 
de esta claro que un( X) + b( X) ~ un ( X)
10) Continuidad de una función en un punto (en lenguaje épsilon-delta, límites geométricos) Continuidad unilateral. Continuidad en un intervalo, en un segmento. Propiedades de funciones continuas.
1. Definiciones básicas
Dejar F(X) se define en alguna vecindad del punto X 0 .
DEFINICIÓN 1. Función f(X) llamado continuo en un punto X 0 si la igualdad es cierta
Notas.
1) En virtud del Teorema 5 §3, la igualdad (1) se puede escribir en la forma
Condición (2) – definición de continuidad de una función en un punto en el lenguaje de límites unilaterales.
2) La igualdad (1) también se puede escribir como:
Dicen: "si una función es continua en un punto X 0, entonces el signo del límite y la función se pueden intercambiar."
DEFINICIÓN 2 (en lenguaje e-d).
Función f(X) llamado continuo en un punto X 0 Si"e>0 $d>0 semejante, Qué
si xОU( X 0 , d) (es decir | X – X 0 | < d),
entonces f(X)ÎU( F(X 0), e) (es decir, | F(X) – F(X 0) | < e).
Dejar X, X 0 Î D(F) (X 0 – fijo, X - arbitrario)
Denotemos: D X= x-x 0 – incremento de argumento
D F(X 0) = F(X) – F(X 0) – incremento de función en el punto x 0
DEFINICIÓN 3 (geométrica).
Función f(X) en llamado continuo en un punto
X 0
si en este punto un incremento infinitesimal en el argumento corresponde a un incremento infinitesimal en la función, es decir.
Deja que la función F(X) se define en el intervalo [ X 0 ; X 0 + d) (en el intervalo ( X 0 – re; X 0 ]).
DEFINICIÓN. Función f(X) llamado continuo en un punto
X 0 a la derecha
(izquierda
), si la igualdad es cierta
Es obvio que F(X) es continua en el punto X 0 Û F(X) es continua en el punto X 0 derecha e izquierda.
DEFINICIÓN. Función f(X) llamado continuo durante un intervalo mi ( a; b) si es continua en cada punto de este intervalo.
Función f(X) se llama continua en el segmento [a; b] si es continuo en el intervalo (a; b) y tiene continuidad unidireccional en los puntos límite(es decir, continuo en el punto a a la derecha, en el punto b- izquierda).
11) Puntos de quiebre, su clasificación.
DEFINICIÓN. Si la función f(X) definido en alguna vecindad del punto x 0 , pero no es continuo en este punto, entonces F(X) llamado discontinuo en el punto x 0 , y el punto en si X 0 llamado el punto de ruptura funciones f(X) .
Notas.
1) F(X) se puede definir en una vecindad incompleta del punto X 0 .
Luego considere la continuidad unidireccional correspondiente de la función.
2) De la definición de Þ punto X 0 es el punto de ruptura de la función F(X) en dos casos:
a) U( X 0 , d)О D(F) , pero para F(X) la igualdad no se cumple
b) U * ( X 0 , d)О D(F) .
Para funciones elementales sólo es posible el caso b).
Dejar X 0 – punto de interrupción de la función F(X) .
DEFINICIÓN. Punto x 0 llamado punto de quiebre I algo así como si la función f(X)tiene límites finitos a la izquierda y a la derecha en este punto.
Si estos límites son iguales, entonces el punto x 0 llamado punto de ruptura removible , de lo contrario - punto de salto .
DEFINICIÓN. Punto x 0 llamado punto de quiebre II algo así como si al menos uno de los límites unilaterales de la función f(X)en este punto es igual¥ o no existe.
12) Propiedades de funciones continuas en un intervalo (teoremas de Weierstrass (sin prueba) y Cauchy
Teorema de Weierstrass
Sea la función f(x) continua en el intervalo, entonces
1)f(x)está limitado a
2) f(x) toma su valor más pequeño y más grande en el intervalo
Definición: El valor de la función m=f se llama el más pequeño si m≤f(x) para cualquier x€ D(f).
Se dice que el valor de la función m=f es mayor si m≥f(x) para cualquier x € D(f).
La función puede tomar el valor más pequeño/más grande en varios puntos del segmento.
f(x 3)=f(x 4)=máx.
El teorema de Cauchy.
Sea la función f(x) continua en el segmento y sea x el número contenido entre f(a) y f(b), entonces existe al menos un punto x 0 € tal que f(x 0)= g
Encuentra límites maravillosos Es difícil no sólo para muchos estudiantes de primer y segundo año que estudian la teoría de los límites, sino también para algunos profesores.
Fórmula para el primer límite destacable.
Consecuencias del primer límite destacable
escribámoslo en fórmulas
1. 2. 3. 4. Pero las fórmulas generales de límites notables en sí mismas no ayudan a nadie en un examen o prueba. La cuestión es que las tareas reales se construyen de modo que aún sea necesario llegar a las fórmulas escritas anteriormente. Y la mayoría de los estudiantes que faltan a clases, estudian este curso en ausencia o tienen profesores que no siempre entienden lo que explican, no pueden calcular los ejemplos más elementales hasta límites notables. De las fórmulas del primer límite destacable vemos que con su ayuda es posible estudiar incertidumbres del tipo cero dividido por cero para expresiones con funciones trigonométricas. Consideremos primero una serie de ejemplos del primer límite notable y luego estudiemos el segundo límite notable.
Ejemplo 1. Encuentra el límite de la función sin(7*x)/(5*x)
Solución: Como puede ver, la función bajo el límite está cerca del primer límite notable, pero el límite de la función en sí definitivamente no es igual a uno. En este tipo de tareas sobre límites, se debe seleccionar en el denominador una variable con el mismo coeficiente que está contenido en la variable bajo el seno. En este caso, divide y multiplica por 7. 
Para algunos, ese detalle parecerá innecesario, pero para la mayoría de los estudiantes que tienen dificultades con los límites, les ayudará a comprender mejor las reglas y dominar el material teórico.
Además, si existe una forma inversa de una función, este también es el primer límite maravilloso. Y todo porque el límite maravilloso es igual a uno.
La misma regla se aplica a las consecuencias del primer límite destacable. Por lo tanto, si le preguntan: “¿Cuál es el primer límite destacable?” Debes responder sin dudar que es una unidad.
Ejemplo 2. Encuentra el límite de la función sin(6x)/tan(11x)
Solución: para comprender el resultado final, escribamos la función en la forma 
Para aplicar las reglas del límite notable, multiplicar y dividir por factores
A continuación, escribimos el límite de un producto de funciones a través del producto de límites. 
Sin fórmulas complejas encontramos el límite de las funciones trigonométricas. Para dominar fórmulas simples, intente encontrar el límite de 2 y 4, la fórmula del corolario de 1 límite maravilloso. Examinaremos problemas más complejos.
Ejemplo 3: Calcular el límite (1-cos(x))/x^2
Solución: Al verificar por sustitución, obtenemos una incertidumbre de 0/0. Mucha gente no sabe cómo reducir un ejemplo así a un límite notable. Aquí se debe utilizar la fórmula trigonométrica. 
En este caso, el límite se transformará a una forma clara. 
Logramos reducir la función al cuadrado de un límite notable.
Ejemplo 4. Encuentra el límite
Solución: Al sustituir, obtenemos la característica familiar 0/0. Sin embargo, la variable tiende a Pi en lugar de cero. Por lo tanto, para aplicar el primer límite notable, realizaremos tal cambio en la variable x para que la nueva variable llegue a cero. Para hacer esto, denotamos el denominador como una nueva variable Pi-x=y 
Así, utilizando la fórmula trigonométrica dada en la tarea anterior, el ejemplo se reduce a 1 límite destacable.
Ejemplo 5: Calcular límite 
Solución: Al principio no está claro cómo simplificar los límites. Pero como hay un ejemplo, entonces debe haber una respuesta. El hecho de que la variable vaya a la unidad da, al sustituir, una característica de la forma cero multiplicado por infinito, por lo que la tangente debe sustituirse mediante la fórmula 
Después de esto obtenemos la incertidumbre requerida 0/0. A continuación, realizamos un cambio de variables en el límite y utilizamos la periodicidad de la cotangente. 
Las últimas sustituciones nos permiten utilizar el Corolario 1 del límite notable.
El segundo límite destacable es igual a la exponencial.
Este es un clásico que no siempre es fácil de alcanzar en problemas de límites reales.
En los cálculos necesitarás. Los límites son consecuencias del segundo límite notable:
1. 
2. 
3. 
4.
Gracias al segundo límite destacable y sus consecuencias, es posible explorar incertidumbres como el cero dividido por cero, el uno elevado al infinito y el infinito dividido por infinito, e incluso en el mismo grado. 
Comencemos con ejemplos simples.
Ejemplo 6. Encuentra el límite de una función.
Solución: Aplicar directamente el segundo límite destacable no funcionará. Primero, debes transformar el exponente para que se parezca al inverso del término entre paréntesis. 
Esta es la técnica de reducir al segundo límite notable y, en esencia, deducir la segunda fórmula para el corolario del límite.
Ejemplo 7. Encuentra el límite de una función.
Solución: Tenemos tareas para la fórmula 3 del corolario 2 de un límite maravilloso. Sustituir cero da una singularidad de la forma 0/0. Para elevar el límite a una regla, giramos el denominador para que la variable tenga el mismo coeficiente que en el logaritmo. 
También es fácil de entender y realizar en el examen. Las dificultades de los estudiantes para calcular límites comienzan con los siguientes problemas.
Ejemplo 8. Calcular el límite de una función.[(x+7)/(x-3)]^(x-2) 
Solución: Tenemos una singularidad tipo 1 elevada al infinito. Si no me crees, puedes sustituir el infinito por “X” en todas partes y asegurarte de ello. Para construir una regla, dividimos el numerador por el denominador entre paréntesis, para ello primero realizamos las manipulaciones; 
Sustituyamos la expresión en el límite y convirtámosla en 2 límites maravillosos. 
El límite es igual a la potencia exponencial de 10. Las constantes que son términos con una variable, tanto entre paréntesis como en grado, no introducen ningún "clima"; esto debe recordarse. Y si tus profesores te preguntan: "¿Por qué no conviertes el indicador?" (Para este ejemplo en x-3), luego diga que “Cuando una variable tiende al infinito, incluso súmele 100 o réstele 1000, ¡y el límite seguirá siendo el mismo que antes!”
Existe una segunda forma de calcular límites de este tipo. Hablaremos de ello en la siguiente tarea.
Ejemplo 9. Encuentra el límite 
Solución: ahora saquemos la variable del numerador y denominador y convirtamos una característica en otra. Para obtener el valor final utilizamos la fórmula del Corolario 2 del límite notable 
Ejemplo 10. Encuentra el límite de una función.
Solución: no todo el mundo puede encontrar el límite dado. Para elevar el límite a 2, imagina que sen (3x) es una variable y necesitas convertir el exponente 
A continuación, escribimos el indicador como una potencia a una potencia. 
Los argumentos intermedios se describen entre paréntesis. Como resultado de utilizar el primer y segundo límites notables, obtuvimos la exponencial en cubos.
Ejemplo 11. Calcular el límite de una función. pecado(2*x)/ln(3*x+1)
Solución: Tenemos una incertidumbre de la forma 0/0. Además, vemos que la función debe convertirse para utilizar ambos límites maravillosos. Realicemos las transformaciones matemáticas anteriores. 
Además, sin dificultad, el límite tomará el valor. 
Así de libre se sentirá en las tareas, pruebas y módulos si aprende a escribir funciones rápidamente y reducirlas al primer o segundo límite maravilloso. Si le resulta difícil memorizar los métodos indicados para encontrar límites, siempre puede solicitarnos un examen de límites.
Para ello, rellene el formulario, facilite sus datos y adjunte un archivo con ejemplos. Hemos ayudado a muchos estudiantes. ¡Podemos ayudarte a ti también!
Hay varios límites notables, pero los más famosos son el primer y segundo límites notables. Lo destacable de estos límites es que se utilizan ampliamente y con su ayuda se pueden encontrar otros límites que se encuentran en numerosos problemas. Esto es lo que haremos en la parte práctica de esta lección. Para resolver problemas reduciéndolos al primer o segundo límite notable, no es necesario revelar las incertidumbres contenidas en ellos, ya que los grandes matemáticos han deducido durante mucho tiempo los valores de estos límites.
El primer límite maravilloso. Se llama límite de la relación del seno de un arco infinitesimal al mismo arco, expresado en medida en radianes:
Pasemos a resolver problemas en el primer límite destacable. Nota: si hay una función trigonométrica debajo del signo de límite, este es un signo casi seguro de que esta expresión se puede reducir al primer límite destacable.
Ejemplo 1. Encuentra el límite.
Solución. Sustitución en lugar X cero conduce a la incertidumbre:
.
El denominador es seno, por tanto, la expresión se puede llevar al primer límite notable. Comencemos la transformación:
.
El denominador es el seno de tres X, pero el numerador tiene solo una X, lo que significa que necesitas obtener tres X en el numerador. ¿Para qué? para presentar 3 X = a y obtener la expresión.
Y llegamos a una variación del primer límite destacable:
porque no importa qué letra (variable) en esta fórmula esté en lugar de X.
Multiplicamos X por tres e inmediatamente dividimos:
.
De acuerdo con el primer límite notable observado, reemplazamos la expresión fraccionaria:
Ahora finalmente podemos resolver este límite:
.
Ejemplo 2. Encuentra el límite.
Solución. La sustitución directa nuevamente conduce a la incertidumbre de “cero dividido por cero”:
.
Para obtener el primer límite notable, es necesario que la x bajo el signo del seno en el numerador y solo la x en el denominador tengan el mismo coeficiente. Sea este coeficiente igual a 2. Para hacer esto, imagine el coeficiente actual para x como se muestra a continuación, realizando operaciones con fracciones, obtenemos:
.
Ejemplo 3. Encuentra el límite.
Solución. Al sustituir, obtenemos nuevamente la incertidumbre “cero dividido por cero”:
.
Probablemente ya entiendas que a partir de la expresión original puedes obtener el primer límite maravilloso multiplicado por el primer límite maravilloso. Para hacer esto, descomponemos los cuadrados de x en el numerador y el seno en el denominador en factores idénticos, y para obtener los mismos coeficientes para x y seno, dividimos x en el numerador por 3 e inmediatamente multiplicamos por 3. Obtenemos:
.
Ejemplo 4. Encuentra el límite.
Solución. Una vez más obtenemos la incertidumbre “cero dividido por cero”:
.
Podemos obtener la relación de los dos primeros límites notables. Dividimos tanto el numerador como el denominador por x. Luego, para que los coeficientes de los senos y las x coincidan, multiplicamos la x superior por 2 e inmediatamente la dividimos por 2, y multiplicamos la x inferior por 3 e inmediatamente la dividimos por 3. Obtenemos:
Ejemplo 5. Encuentra el límite.
Solución. Y nuevamente la incertidumbre del “cero dividido por cero”:
Recordamos de la trigonometría que la tangente es la relación entre el seno y el coseno, y el coseno de cero es igual a uno. Realizamos las transformaciones y obtenemos:
.
Ejemplo 6. Encuentra el límite.
Solución. La función trigonométrica bajo el signo de un límite sugiere nuevamente el uso del primer límite destacable. Lo representamos como la relación entre seno y coseno.
En el artículo anterior puede descubrir cuál es el límite y con qué se come; esto es MUY importante. ¿Por qué? Puede que no entiendas qué son los determinantes y los resuelvas con éxito; puede que no entiendas en absoluto qué es una derivada y los encuentres con una “A”. Pero si no comprende qué es un límite, le resultará difícil resolver problemas prácticos. También sería una buena idea familiarizarse con las soluciones de muestra y mis recomendaciones de diseño. Toda la información se presenta de forma sencilla y accesible.
Y para los propósitos de esta lección necesitaremos los siguientes materiales didácticos: Límites maravillosos Y Fórmulas trigonométricas. Se pueden encontrar en la página. Es mejor imprimir los manuales; es mucho más conveniente y, además, a menudo tendrás que consultarlos sin conexión.
¿Qué tienen de especial los límites notables? Lo notable de estos límites es que fueron probados por las mentes más brillantes de matemáticos famosos, y sus agradecidos descendientes no tienen que sufrir límites terribles con un montón de funciones trigonométricas, logaritmos y potencias. Es decir, a la hora de encontrar los límites utilizaremos resultados ya preparados y probados teóricamente.
Hay varios límites maravillosos, pero en la práctica, en el 95% de los casos, los estudiantes a tiempo parcial tienen dos límites maravillosos: El primer límite maravilloso., Segundo límite maravilloso. Cabe señalar que estos son nombres históricamente establecidos, y cuando, por ejemplo, hablan de "el primer límite notable", se refieren a algo muy específico, y no a un límite aleatorio tomado del techo.
El primer límite maravilloso.
Considere la siguiente limitación: (en lugar de la letra nativa “él”, usaré la letra griega “alfa”, esto es más conveniente desde el punto de vista de la presentación del material).
Según nuestra regla para encontrar límites (ver artículo Límites. Ejemplos de soluciones) intentamos sustituir cero en la función: en el numerador obtenemos cero (el seno de cero es cero), y en el denominador, obviamente, también hay cero. Nos encontramos, pues, ante una incertidumbre de forma que, afortunadamente, no es necesario revelar. En el curso del análisis matemático, se demuestra que:
Este hecho matemático se llama El primer límite maravilloso.. No daré una prueba analítica del límite, pero veremos su significado geométrico en la lección sobre funciones infinitesimales.
A menudo, en las tareas prácticas, las funciones se pueden organizar de forma diferente, pero esto no cambia nada:
- el mismo primer límite maravilloso.
¡Pero no puedes reorganizar el numerador y el denominador tú mismo! Si se da un límite en la forma , entonces se debe resolver de la misma forma, sin reordenar nada.
En la práctica, no sólo una variable puede actuar como parámetro, sino también una función elemental o una función compleja. Sólo es importante que tienda a cero..
Ejemplos:
, , 
, 
Aquí , , , 
, y todo está bien: se aplica el primer límite maravilloso.
Pero la siguiente entrada es una herejía:
¿Por qué? Como el polinomio no tiende a cero, tiende a cinco.
Por cierto, una pregunta rápida: ¿cuál es el límite? 
? La respuesta se puede encontrar al final de la lección.
En la práctica, no todo es tan sencillo; casi nunca a un estudiante se le ofrece resolver un límite gratuito y obtener un pase fácil. Mmmm... Estoy escribiendo estas líneas y me vino a la mente un pensamiento muy importante: después de todo, es mejor recordar de memoria las definiciones y fórmulas matemáticas "libres", esto puede proporcionar una ayuda invaluable en la prueba, cuando la pregunta Se decide entre un “dos” y un “tres”, y el profesor decide hacerle al alumno alguna pregunta sencilla u ofrecerle resolver un ejemplo sencillo (“¡quizás todavía sepa qué?!”).
Pasemos a considerar ejemplos prácticos:
Ejemplo 1
Encuentra el límite
Si notamos un seno en el límite, esto debería llevarnos inmediatamente a pensar en la posibilidad de aplicar el primer límite destacable.
Primero, intentamos sustituir 0 en la expresión bajo el signo de límite (lo hacemos mentalmente o en un borrador):
Entonces tenemos una incertidumbre de la forma asegúrese de indicar en la toma de una decisión. La expresión bajo el signo de límite es similar al primer límite maravilloso, pero no es exactamente así, está bajo el seno, sino en el denominador.
En tales casos, debemos organizar nosotros mismos el primer límite notable, utilizando una técnica artificial. La línea de razonamiento podría ser la siguiente: "bajo el seno tenemos , lo que significa que también necesitamos ingresar el denominador".
Y esto se hace de forma muy sencilla:
Es decir, el denominador se multiplica artificialmente en este caso por 7 y se divide por el mismo siete. Ahora nuestra grabación ha adquirido una forma familiar.
Cuando la tarea está trazada a mano, es recomendable marcar el primer límite destacable con un simple lápiz:
¿Qué pasó? De hecho, nuestra expresión rodeada por un círculo se convirtió en una unidad y desapareció en la obra: 
Ahora solo queda deshacerse de la fracción de tres pisos: 
Quien haya olvidado la simplificación de fracciones de varios niveles, actualice el material en el libro de referencia. Fórmulas calientes para el curso de matemáticas escolares. .
Listo. Respuesta final:
Si no desea utilizar marcas de lápiz, la solución se puede escribir así:
“
Usemos el primer límite maravilloso. 
“
Ejemplo 2
Encuentra el límite
Nuevamente vemos una fracción y un seno en el límite. Intentamos sustituir cero en el numerador y denominador:
De hecho, tenemos incertidumbre y, por tanto, debemos intentar organizar el primer límite maravilloso. En la lección Límites. Ejemplos de soluciones Consideramos la regla de que cuando tenemos incertidumbre, debemos factorizar el numerador y el denominador. Aquí ocurre lo mismo, representaremos los grados como un producto (multiplicadores):
Al igual que en el ejemplo anterior, dibujamos con un lápiz los límites notables (aquí hay dos) e indicamos que tienden a la unidad:
En realidad, la respuesta está lista:
En los siguientes ejemplos, no haré arte en Paint, pienso cómo redactar correctamente una solución en un cuaderno; ya lo entiendes.
Ejemplo 3
Encuentra el límite
Sustituimos cero en la expresión bajo el signo de límite:
Se ha obtenido una incertidumbre que necesita ser revelada. Si hay una tangente en el límite, casi siempre se convierte en seno y coseno usando la conocida fórmula trigonométrica (por cierto, hacen aproximadamente lo mismo con la cotangente, ver material metodológico Fórmulas trigonométricas calientes En la pagina Fórmulas matemáticas, tablas y materiales de referencia.).
En este caso:
El coseno de cero es igual a uno y es fácil deshacerse de él (no olvides marcar que tiende a uno):
Por lo tanto, si en el límite el coseno es un MULTIPLICADOR, entonces, en términos generales, es necesario convertirlo en una unidad, que desaparece en el producto.
Aquí todo resultó más sencillo, sin multiplicaciones ni divisiones. El primer límite destacable también se convierte en uno y desaparece en el producto:
Como resultado, se obtiene el infinito y esto sucede.
Ejemplo 4
Encuentra el límite
Intentemos sustituir cero en el numerador y denominador:
Se obtiene la incertidumbre (el coseno de cero, como recordamos, es igual a uno)
Usamos la fórmula trigonométrica. ¡Tomar nota! Por alguna razón, los límites al utilizar esta fórmula son muy comunes.
Muevamos los factores constantes más allá del ícono de límite:
Organicemos el primer límite maravilloso:
Aquí sólo tenemos un límite destacable, que se convierte en uno y desaparece en el producto:
Deshagámonos de la estructura de tres pisos:
Efectivamente el límite está resuelto, indicamos que el seno restante tiende a cero:
Ejemplo 5
Encuentra el límite 
Este ejemplo es más complicado, intenta resolverlo tú mismo:
Algunos límites se pueden reducir al primer límite notable cambiando una variable; puedes leer sobre esto un poco más adelante en el artículo. Métodos para resolver límites..
Segundo límite maravilloso
En la teoría del análisis matemático se ha demostrado que:
Este hecho se llama segundo límite maravilloso.
Referencia: 
es un número irracional.
El parámetro puede ser no sólo una variable, sino también una función compleja. Lo único importante es que aspira al infinito..
Ejemplo 6
Encuentra el límite
Cuando la expresión bajo el signo del límite está en un grado, este es el primer signo en el que debes intentar aplicar el segundo límite maravilloso.
Pero primero, como siempre, intentamos sustituir un número infinitamente grande en la expresión, el principio mediante el cual se hace esto se analiza en la lección. Límites. Ejemplos de soluciones.
Es fácil notar que cuando la base del grado es y el exponente es , es decir, hay incertidumbre de la forma:
Esta incertidumbre se revela precisamente con la ayuda del segundo límite notable. Pero, como suele suceder, el segundo límite maravilloso no está en bandeja de plata y es necesario organizarlo artificialmente. Puedes razonar de la siguiente manera: en este ejemplo el parámetro es , lo que significa que también debemos organizarnos en el indicador. Para ello elevamos la base a la potencia, y para que no cambie la expresión la elevamos a la potencia:
Cuando la tarea se completa a mano, marcamos con un lápiz:
Casi todo está listo, el terrible título se ha convertido en una bonita carta:
En este caso, movemos el propio icono de límite al indicador.:
Ejemplo 7
Encuentra el límite
¡Atención! Este tipo de límite ocurre muy a menudo, estudie este ejemplo con mucha atención.
Intentemos sustituir un número infinitamente grande en la expresión bajo el signo de límite:
El resultado es la incertidumbre. Pero el segundo límite destacable se aplica a la incertidumbre de la forma. ¿Qué hacer? Necesitamos convertir la base del grado. Razonamos así: en el denominador tenemos , lo que significa que en el numerador también necesitamos organizar .
El primer límite destacable es la siguiente igualdad:
\begin(ecuación)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(ecuación)
Dado que para $\alpha\to(0)$ tenemos $\sin\alpha\to(0)$, dicen que el primer límite notable revela una incertidumbre de la forma $\frac(0)(0)$. En términos generales, en la fórmula (1), en lugar de la variable $\alpha$, se puede colocar cualquier expresión bajo el signo del seno y en el denominador, siempre que se cumplan dos condiciones:
- Las expresiones bajo el signo del seno y en el denominador tienden simultáneamente a cero, es decir hay incertidumbre de la forma $\frac(0)(0)$.
- Las expresiones bajo el signo del seno y en el denominador son las mismas.
También se suelen utilizar corolarios del primer límite notable:
\begin(ecuación) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(ecuación) \begin(ecuación) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(ecuación)
En esta página se resuelven once ejemplos. El ejemplo nº 1 está dedicado a la demostración de las fórmulas (2)-(4). Los ejemplos No. 2, No. 3, No. 4 y No. 5 contienen soluciones con comentarios detallados. Los ejemplos 6 a 10 contienen soluciones prácticamente sin comentarios, porque en los ejemplos anteriores se dieron explicaciones detalladas. La solución utiliza algunas fórmulas trigonométricas que se pueden encontrar.
Permítanme señalar que la presencia de funciones trigonométricas junto con la incertidumbre $\frac (0) (0)$ no significa necesariamente la aplicación del primer límite destacable. A veces son suficientes transformaciones trigonométricas simples, por ejemplo, ver.
Ejemplo No. 1
Demuestre que $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.
a) Dado que $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, entonces:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$
Dado que $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ y $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , Eso:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$
b) Hagamos el cambio $\alpha=\sin(y)$. Dado que $\sin(0)=0$, entonces de la condición $\alpha\to(0)$ tenemos $y\to(0)$. Además, hay una vecindad de cero en la que $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, entonces:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
Se ha demostrado la igualdad $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$.
c) Hagamos el reemplazo $\alpha=\tg(y)$. Dado que $\tg(0)=0$, entonces las condiciones $\alpha\to(0)$ y $y\to(0)$ son equivalentes. Además, existe una vecindad de cero en la cual $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, por lo tanto, con base en los resultados del punto a), tendremos:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
Se ha demostrado la igualdad $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.
Las igualdades a), b), c) se utilizan a menudo junto con el primer límite destacable.
Ejemplo No. 2
Calcula el límite $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) (x+7))$.
Dado que $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ y $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, es decir y el numerador y denominador de la fracción tienden simultáneamente a cero, entonces aquí estamos tratando con una incertidumbre de la forma $\frac(0)(0)$, es decir hecho. Además, está claro que las expresiones bajo el signo del seno y en el denominador coinciden (es decir, y se satisfacen):
Entonces, se cumplen ambas condiciones enumeradas al principio de la página. De esto se deduce que la fórmula es aplicable, es decir $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.
Respuesta: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.
Ejemplo No. 3
Encuentre $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.
Dado que $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ y $\lim_(x\to(0))x=0$, entonces estamos tratando con una incertidumbre de la forma $\frac (0 )(0)$, es decir hecho. Sin embargo, las expresiones bajo el signo del seno y en el denominador no coinciden. Aquí debe ajustar la expresión en el denominador a la forma deseada. Necesitamos que la expresión $9x$ esté en el denominador, entonces será verdadera. Básicamente, nos falta un factor de $9$ en el denominador, que no es tan difícil de ingresar: simplemente multiplica la expresión en el denominador por $9$. Naturalmente, para compensar la multiplicación por $9$, tendrás que dividir inmediatamente por $9$:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$
Ahora las expresiones en el denominador y bajo el signo del seno coinciden. Ambas condiciones para el límite $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ se cumplen. Por lo tanto, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Y esto significa que:
$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$
Respuesta: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.
Ejemplo No. 4
Encuentre $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.
Dado que $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ y $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, aquí estamos tratando con incertidumbre de la forma $\frac(0)(0)$. Sin embargo, se viola la forma del primer límite destacable. Un numerador que contiene $\sin(5x)$ requiere un denominador de $5x$. En esta situación, la forma más sencilla es dividir el numerador por $5x$ e inmediatamente multiplicarlo por $5x$. Además, realizaremos una operación similar con el denominador, multiplicando y dividiendo $\tg(8x)$ por $8x$:
$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$
Reduciendo por $x$ y tomando la constante $\frac(5)(8)$ fuera del signo del límite, obtenemos:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$
Tenga en cuenta que $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ satisface completamente los requisitos para el primer límite notable. Para encontrar $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ se aplica la siguiente fórmula:
$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$
Respuesta: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.
Ejemplo No. 5
Encuentre $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.
Dado que $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (recuerde que $\cos(0)=1$) y $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, entonces estamos tratando con una incertidumbre de la forma $\frac(0)(0)$. Sin embargo, para aplicar el primer límite destacable, debes deshacerte del coseno en el numerador, pasando a los senos (para luego aplicar la fórmula) o tangentes (para luego aplicar la fórmula). Esto se puede hacer con la siguiente transformación:
$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$
Volvamos al límite:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$
La fracción $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ ya está cerca de la forma requerida para el primer límite notable. Trabajemos un poco con la fracción $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, ajustándola al primer límite destacable (nota que las expresiones en el numerador y debajo del seno deben coincidir):
$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$
Volvamos al límite considerado:
$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$
Respuesta: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.
Ejemplo No. 6
Encuentra el límite $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.
Dado que $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ y $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, entonces estamos lidiando con la incertidumbre $\frac(0)(0)$. Revelémoslo con la ayuda del primer límite destacable. Para hacer esto, pasemos de cosenos a senos. Dado que $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, entonces:
$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$
Pasando a senos en el límite dado, tendremos:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$
Respuesta: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.
Ejemplo No. 7
Calcular el límite $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ sujeto a $\alpha\neq \beta$.
Anteriormente se dieron explicaciones detalladas, pero aquí simplemente observamos que nuevamente hay incertidumbre $\frac(0)(0)$. Pasemos de cosenos a senos usando la fórmula
$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$
Usando esta fórmula, obtenemos:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\derecha| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alfa^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$
Respuesta: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.
Ejemplo No. 8
Encuentra el límite $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.
Dado que $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (recuerde que $\sin(0)=\tg(0)=0$) y $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, entonces aquí estamos tratando con una incertidumbre de la forma $\frac(0)(0)$. Desglosémoslo de la siguiente manera:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$
Respuesta: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.
Ejemplo No. 9
Encuentra el límite $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.
Dado que $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ y $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, entonces hay incertidumbre de la forma $\frac(0)(0)$. Antes de proceder a su expansión, conviene hacer un cambio de variable de tal forma que la nueva variable tienda a cero (nótese que en las fórmulas la variable $\alpha \to 0$). La forma más sencilla es introducir la variable $t=x-3$. Sin embargo, por conveniencia para futuras transformaciones (este beneficio se puede ver en el curso de la solución a continuación), vale la pena realizar el siguiente reemplazo: $t=\frac(x-3)(2)$. Observo que ambos reemplazos son aplicables en este caso, solo que el segundo reemplazo te permitirá trabajar menos con fracciones. Desde $x\to(3)$, entonces $t\to(0)$.
$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\derecha| =\left|\begin(alineado)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(alineado)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$
Respuesta: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.
Ejemplo No. 10
Encuentra el límite $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2 )$.
Una vez más estamos lidiando con la incertidumbre $\frac(0)(0)$. Antes de proceder a su expansión, conviene hacer un cambio de variable de tal forma que la nueva variable tienda a cero (nótese que en las fórmulas la variable es $\alpha\to(0)$). La forma más sencilla es introducir la variable $t=\frac(\pi)(2)-x$. Dado que $x\to\frac(\pi)(2)$, entonces $t\to(0)$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\izquierda|\frac(0)(0)\derecha| =\left|\begin(alineado)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(alineado)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$
Respuesta: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.
Ejemplo No. 11
Encuentra los límites $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.
En este caso no tenemos que utilizar el primer límite maravilloso. Tenga en cuenta que tanto el primer como el segundo límite contienen solo números y funciones trigonométricas. A menudo, en ejemplos de este tipo es posible simplificar la expresión situada bajo el signo de límite. Además, tras la mencionada simplificación y reducción de algunos factores, la incertidumbre desaparece. Di este ejemplo con un solo propósito: mostrar que la presencia de funciones trigonométricas bajo el signo del límite no significa necesariamente el uso del primer límite destacable.
Dado que $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (recuerde que $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) y $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (déjame recordarte que $\cos\frac(\pi)(2)=0$), entonces tenemos tratando con incertidumbre de la forma $\frac(0)(0)$. Sin embargo, esto no significa que debamos utilizar el primer límite maravilloso. Para revelar la incertidumbre, basta tener en cuenta que $\cos^2x=1-\sin^2x$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$
Hay una solución similar en el libro de soluciones de Demidovich (núm. 475). En cuanto al segundo límite, como en los ejemplos anteriores de esta sección, tenemos una incertidumbre de la forma $\frac(0)(0)$. ¿Por qué surge? Surge porque $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ y $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Usamos estos valores para transformar las expresiones en el numerador y denominador. El objetivo de nuestras acciones es escribir la suma en el numerador y denominador como producto. Por cierto, a menudo dentro de un tipo similar es conveniente cambiar una variable, de tal manera que la nueva variable tienda a cero (ver, por ejemplo, los ejemplos No. 9 o No. 10 en esta página). Sin embargo, en este ejemplo no tiene sentido reemplazar, aunque si se desea, reemplazar la variable $t=x-\frac(2\pi)(3)$ no es difícil de implementar.
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$
Como puede ver, no tuvimos que aplicar el primer límite maravilloso. Por supuesto, puedes hacer esto si lo deseas (ver nota a continuación), pero no es necesario.
¿Cuál es la solución utilizando el primer límite notable? mostrar ocultar
Usando el primer límite notable obtenemos:
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ derecha))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$
Respuesta: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.
