Interacción entre la ubicación de una línea recta y un círculo. Lección "La posición relativa de una recta y un círculo"

Objetivo didáctico: formación de nuevos conocimientos.

Objetivos de la lección.

Educativo:

• formar conceptos matemáticos: tangente a un círculo, posición relativa de una recta y un círculo, lograr que los estudiantes comprendan y reproduzcan estos conceptos a través de trabajos prácticos de investigación.

Ahorro de salud:

• crear un clima psicológico favorable en el aula;

Educativo:

• Desarrollar en los estudiantes el interés cognitivo, la capacidad de explicar, resumir los resultados obtenidos, comparar, contrastar y sacar conclusiones.

Educativo:

• Educación de la cultura personal a través de las matemáticas.

Formas de formación:

• contenido: conversación, trabajo práctico;
• en la organización de actividades – individual, frontal.

Plan de lección

Establecer tareas.

• Equipo:
• computadora, pantalla, proyector;

material de reparto.

Recursos educativos:

1. Matemáticas. Libro de texto para sexto grado de instituciones de educación general; / G.V.Dorofeev, M., Educación, 2009

2. Markova V.I. Características de la enseñanza de la geometría en el contexto de la implementación del estándar educativo estatal: recomendaciones metodológicas, Kirov, 2010.

3. Atanasyan L.S. Libro de texto “Geometría 7-9”.

1. Momento organizativo. Actualización de conocimientos.

El profesor anuncia el tema de la lección. Descubre qué asociaciones surgen con la palabra “círculo”.

¿Cuál es el diámetro del círculo si el radio es de 2,4 cm?

¿Cuál es el radio si el diámetro es de 6,8 cm?

2. Establecimiento de objetivos.

Los estudiantes establecen sus objetivos para la lección, el profesor los resume y establece los objetivos de la lección.

Se elabora un programa de actividades para la lección.

3. Familiarización con material nuevo.

1) Trabajar con modelos: "Muestre en modelos cómo se pueden ubicar una línea recta y un círculo en un plano".

¿Cuántos puntos tienen en común?

2) Realización de trabajos prácticos de investigación.

Objetivo. Establecer la propiedad de la posición relativa de una recta y un círculo.

Equipo: un círculo dibujado en una hoja de papel y un palo a modo de línea recta, una regla.

1. En el dibujo (en una hoja de papel) establezca la posición relativa del círculo y la línea recta.
2. Mida el radio del círculo R y la distancia desde el centro del círculo a la línea recta d.
3. Registre los resultados del estudio en una tabla.

4. Saque una conclusión sobre la posición relativa de la línea recta y el círculo dependiendo de la relación entre R y d.

Conclusión: Si la distancia desde el centro del círculo a la línea recta es igual al radio, la línea recta toca el círculo y tiene un punto común con el círculo. Si la distancia desde el centro del círculo a la recta es mayor que el radio, el círculo y la recta no tienen puntos comunes. Si la distancia desde el centro del círculo a la recta es menor que el radio, la recta corta al círculo y tiene dos puntos en común con él.

5. Comprensión primaria, consolidación mediante la resolución de problemas.

1) Asignaciones de libros de texto: No. 498, No. 499.

2) Determine la posición relativa de la línea y el círculo si:

• 1. R=16cm, fondo=12cm
• 2. R = 5 cm, profundidad = 4,2 cm
• 3. R=7,2dm, d=3,7dm
• 4. R=8 cm, d=1,2dm
• 5. R=5 cm, fondo=50mm

a) una línea recta y un círculo no tienen puntos comunes;

b) la recta es tangente al círculo;

c) una línea recta corta un círculo.

• d es la distancia desde el centro del círculo a la línea recta, R es el radio del círculo.

3) ¿Qué se puede decir sobre la posición relativa de la línea y el círculo si el diámetro del círculo es de 10,3 cm y la distancia desde el centro del círculo a la línea es de 4,15 cm; 2 dm; 103 milímetros; 5,15 cm, 1 dm 3 cm.

4) Dado un círculo con centro O y punto A. ¿Dónde se ubica el punto A si el radio del círculo es de 7 cm y la longitud del segmento OA es: a) 4 cm; b) 10 cm; c) 70 milímetros.

6. Reflexión

¿Qué aprendiste en la lección?

¿Qué patrón se estableció?

Complete la siguiente tarea en las tarjetas:

Dibuja líneas rectas que pasen por cada dos puntos. ¿Cuantos puntos comunes tiene cada recta con una circunferencia?

La recta ______ y ​​el círculo no tienen puntos en común.

Una línea recta ______ y ​​un círculo tienen solo un punto ___________.

Las rectas ______, _______, ________, _______ y ​​el círculo tienen dos puntos en común.

7. Resumiendo. Establecer tarea:

1) analizar el grupo compilado al inicio de la lección, modificarlo teniendo en cuenta los conocimientos adquiridos;

2) libro de texto: No. 500;

3) complete la tabla (en tarjetas).

Posición relativa de una recta y un círculo Averigüemos cuántos puntos comunes pueden tener una recta y un círculo, dependiendo de su posición relativa. Está claro que si una línea recta pasa por el centro de un círculo, entonces corta al círculo en los dos extremos del diámetro que se encuentra sobre él. esta prima.

Déjalo ser recto r no pasa por el centro del círculo de radio r. Dibujemos una perpendicular ÉL a una línea recta r y denotar con la letra d la longitud de esta perpendicular, es decir, la distancia desde el centro de este círculo a la línea recta (Fig.1 ). Investigamos la posición relativa de una línea y un círculo dependiendo de la relación entre d Y r. Hay tres casos posibles.

1) re r desde el punto norte dejar a un lado dos segmentos EN Y NEVADA, longitudes iguales (Fig. 1) Según el teorema de Pitágoras OA=,

0 B= Por lo tanto, puntos A Y EN se encuentran en el círculo y, por lo tanto, son puntos comunes de la recta. r y el círculo dado.

Demostremos que la línea r y este círculo no tiene otros puntos en común. Supongamos que tienen un punto común más C. Entonces la mediana SOBREDOSIS. triangulo isósceles OEA. llevado a la base C.A, es la altura de este triángulo, entonces ACERCA DEDpag. Segmentos SOBREDOSIS. Y ÉL no coincide

desde el medio D segmento C.A. no encaja con un punto norte - punto medio del segmento , AB. Encontramos que se trazaron dos perpendiculares desde el punto O: ÉL Y SOBREDOSIS- a una línea recta pag, lo cual es imposible. Entonces Si distancia la distancia desde el centro del círculo a la línea recta es menor que el radio del círculo (d< р), Eso línea recta y círculoHay dos puntos comunes. En este caso la línea se llama secante en relación al círculo.

2) re=r. En este caso ÉL =r, es decir, punto norte se encuentra en el círculo y, por lo tanto, es el punto común de la recta y el círculo (Fig. 1, b). Derecho r y el círculo no tienen otros puntos en común, ya que para cualquier punto METRO directo r. diferente del punto NORTE, OM>OH= r(oblicuo om más perpendicular ÉL), y por lo tanto , El punto M no se encuentra en la circunferencia. Entonces si carrerasLa distancia del centro del círculo a la línea recta es igual al radio, entonces la línea recta y el círculo tienen un solo punto en común.

3) d>r En este caso -OH> r Es por eso . para cualquier punto METRO directo p 0LUN.>r( arroz . 1,A) Por tanto, el punto M no se encuentra en la circunferencia. Entonces, .si la distancia desde el centro del círculoSi la distancia a la línea recta es mayor que el radio del círculo, entonces la línea recta y el círculo no tienen puntos comunes.

Hemos demostrado que una recta y un círculo pueden tener uno o dos puntos comunes y pueden no tener ningún punto común. Una línea recta con un círculo. sólo uno el punto común se llama tangente a la circunferencia, y su el punto común se llama punto de tangencia de la recta y la circunferencia. En la figura 2 hay una línea recta. r- tangente a una circunferencia de centro O, A- punto de contacto.

Demostremos el teorema sobre la propiedad tangente.

Teorema. Una tangente a una circunferencia es perpendicular. A radio dibujado hasta el punto de contacto.

Prueba. Dejar r- tangente a una circunferencia de centro O. A- punto de contacto (ver Fig. 2). Demostrémoslo. cual es la tangente r perpendicular al radio OA.

Supongamos que este no es el caso. Entonces el radio: OA está inclinado a una línea recta r. Dado que la perpendicular trazada desde el punto ACERCA DE a una línea recta pag, menos inclinado OA, entonces las distancias desde el centro ACERCA DE círculo a línea recta r menor que el radio. Por lo tanto, la línea recta r y el círculo tienen dos puntos comunes. Pero esto contradice la condición; derecho r- tangente. Así, directamente r perpendicular al radio OA. El teorema ha sido demostrado.

Consideremos dos tangentes a una circunferencia con centro ACERCA DE, pasando por el punto A y tocando el círculo en puntos EN y C (Figura 3). Segmentos AB Y C.A. llamemos segmentos tangentesnyh, extraído del punto A. Tienen la siguiente propiedad, que se desprende del teorema demostrado:

Los segmentos de tangentes a un círculo trazado desde un punto son iguales y forman ángulos iguales con una línea recta que pasa por este punto y el centro del círculo.

Para probar esta afirmación, pasemos a la Figura 3. Según el teorema sobre la propiedad tangente, los ángulos 1 y 2 son ángulos rectos, por lo tanto, triángulos. ABO Y ASO rectangular. Son iguales porque tienen una hipotenusa común. OA y piernas iguales transmisión exterior Y SO. Por eso, AB=CA y 3=https://pandia.ru/text/78/143/images/image007_40.jpg" width="432 height=163" height="163">

Arroz. 2 figura. 3

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Dibujando el diámetro a través del punto de contacto. A MÍ, tendremos: ; Es por eso

Arroz. 1 figura. 2

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Dependencia entre arcos, cuerdas y distancias de cuerdas desde el centro.

Teoremas. En un círculo o V círculos iguales :

1) si los arcos son iguales, entonces las cuerdas que los subtienden son iguales e igualmente distantes del centro;

2) Si dos arcos menores que un semicírculo no son iguales, entonces el mayor de ellos está subtendido por la cuerda mayor y de ambas cuerdas la mayor se ubica más cerca del centro. .

1) Deja que el arco AB igual al arco CD(Fig. 1), se requiere demostrar que las cuerdas AB y CD igual y también igual y perpendicular equipo original Y DE, bajado desde el centro hasta las cuerdas.

Rotemos el sector. OAJB alrededor del centro ACERCA DE en la dirección indicada por la flecha tanto que el radio ACERCA DE coincidió con SO. Entonces arco VIRGINIA. irá en un arco CD y debido a su igualdad, estos arcos se superpondrán. Esto significa que el acorde AS coincide con el acorde CD y perpendicular equipo original coincidirá con DE(desde un punto solo se puede bajar una perpendicular a una línea recta), es decir AB=CD Y Equipo original =DE.

2) Deja que el arco AB(Fig.2) menos arco CD, y, además, ambos arcos son más pequeños que un semicírculo; se requiere demostrar que la cuerda AB menos acorde CD, y perpendicular equipo original más perpendicular DE. Pongámoslo en el arco. CD arco SK, igual a AB, y dibuja un acorde auxiliar SK, que según lo demostrado es igual a la cuerda AB e igualmente distante del centro. en triangulos BACALAO. Y JUGO dos lados de uno son iguales a dos lados del otro (como radios), pero los ángulos encerrados entre estos lados no son iguales; en este caso, como sabemos, contra el mayor de los ángulos, es decir DQO, el lado más grande debe quedar, lo que significa CD>CK, y por lo tanto CD>AB.

para probar que Equipo original>DE, llevaremos a cabo OLXCK y tener en cuenta que, según lo demostrado, Equipo original =OL; por lo tanto, nos basta con comparar DE Con OL. en un triangulo rectángulo 0 FM(cubierto en la figura con guiones) hipotenusa om mas pierna DE; Pero OL>OM; eso significa aún más OL>DE. y por lo tanto Equipo original>DE.

El teorema que demostramos para un círculo sigue siendo válido para círculos iguales, porque dichos círculos difieren entre sí sólo en su posición.

Teoremas inversos. Dado que en el párrafo anterior se consideraron todo tipo de casos mutuamente excluyentes con respecto al tamaño comparativo de dos arcos del mismo radio, y se obtuvieron conclusiones mutuamente excluyentes con respecto al tamaño comparativo de las cuerdas y sus distancias al centro, entonces las proposiciones inversas deben ser cierto, c. exactamente:

EN un círculo o círculos iguales:

1) cuerdas iguales están igualmente distantes del centro y subtienden arcos iguales;

2) las cuerdas igualmente distantes del centro son iguales y subtienden arcos iguales;

3) de dos cuerdas desiguales, la mayor está más cerca del centro y subtiende el arco mayor;

4) de dos cuerdas desigualmente alejadas del centro, que está más cerca del centro es más grande y subtiende un arco más grande.

Estas proposiciones pueden probarse fácilmente por contradicción. Por ejemplo, para demostrar el primero de ellos, razonamos de la siguiente manera: si estas cuerdas subtendieran arcos desiguales, entonces, según el teorema directo, no serían iguales, lo que contradice la condición; Esto significa que cuerdas iguales deben subtender arcos iguales; y si los arcos son iguales, entonces, según el teorema directo, las cuerdas que los subtienden están igualmente distantes del centro.

Teorema. El diámetro es el mayor de los acordes. .

Si nos conectamos al centro ACERCA DE los extremos de algún acorde que no pasa por el centro, por ejemplo un acorde AB(Fig.3) entonces obtenemos un triángulo CUALQUIER OTRO NEGOCIO, en el cual un lado es esta cuerda, y los otros dos son radios, pero en un triángulo, cada lado es menor que la suma de los otros dos lados; por lo tanto el acorde AB menor que la suma de dos radios; mientras que cada diámetro CD igual a la suma de dos radios. Esto significa que el diámetro es mayor que cualquier cuerda que no pase por el centro. Pero como el diámetro también es una cuerda, podemos decir que el diámetro es la mayor de las cuerdas.

Arroz. 1 figura. 2

Teorema de la tangente.

Como ya se mencionó, los segmentos tangentes trazados a un círculo desde un punto tienen la misma longitud. Esta longitud se llama distancia tangente de un punto a un círculo.

Sin el teorema de la tangente, es imposible resolver más de un problema sobre círculos inscritos, en otras palabras, sobre círculos que tocan los lados de un polígono.

Distancias tangentes en un triángulo.

Encuentra las longitudes de los segmentos para los cuales los lados del triángulo abecedario se dividen por puntos de tangencia con un círculo inscrito en él (Fig. 1,a), por ejemplo, distancia tangente ta desde el punto A al círculo. agreguemos los lados b Y do y luego restar el lado de la suma A. Teniendo en cuenta la igualdad de tangentes extraídas de un vértice, obtenemos 2 ta. Entonces,

ta=(b+do-a)/ 2=pag-a,

Dónde pag=(un+b+do)/ 2 es el semiperímetro de este triángulo. La longitud de los segmentos laterales adyacentes a los vértices. EN Y CON, son iguales respectivamente pag-b Y pag-do.

De manera similar, para la circunferencia excéntrica de un triángulo tangente a (fuera) del lado A(Fig.1, b), distancias tangentes desde EN Y CON son iguales respectivamente pag-do Y pag-b, y desde arriba A- Justo pag.

Tenga en cuenta que estas fórmulas también se pueden utilizar en la dirección opuesta.

Déjalo ir a la esquina TÚ Se inscribe un círculo y la distancia tangente desde el vértice del ángulo al círculo es igual apag opag- a, Dóndepag– semiperímetro de un triángulo abecedario, A a=BC. Entonces el círculo toca la línea. Sol(respectivamente fuera o dentro del triángulo).

De hecho, supongamos, por ejemplo, que la distancia tangente sea igual pag-a. Entonces nuestros círculos tocan los lados del ángulo en los mismos puntos que el círculo interior del triángulo. abecedario, lo que significa que coincide con él. Por lo tanto, toca la línea Sol.

Cuadrilátero circunscrito. Del teorema de la igualdad de tangentes se deduce inmediatamente (Fig. 2a) que

Si un círculo se puede inscribir en un cuadrilátero, entonces las sumas de sus lados opuestos son iguales:

AD+ antes de Cristo= AB+ CD

Tenga en cuenta que el cuadrilátero descrito es necesariamente convexo. Lo contrario también es cierto:

Si el cuadrilátero es convexo y las sumas de sus lados opuestos son iguales, entonces se puede inscribir en él un círculo.

Demostremos esto para un cuadrilátero que no sea un paralelogramo. Sean dos lados opuestos de un cuadrilátero, por ejemplo AB Y CORRIENTE CONTINUA, cuando continúen se cruzarán en un punto mi(Figura 2,b). Inscribamos un círculo en un triángulo. ADE. Su distancia tangente te al punto mi expresado por la fórmula

te=½ (EA+ED-ANUNCIO).

Pero según la condición, las sumas de los lados opuestos de un cuadrilátero son iguales, lo que significa AD+antes de Cristo=AB+CD, o anuncio=AB+CD-antes de Cristo. Sustituyendo este valor en la expresión para te, obtenemos

te=½ ((AE-AB)+(ED-CD)+antes de Cristo)= ½ (SER+CE+ANTES DE CRISTO),

y este es el semiperímetro del triángulo a.E.C.. De la condición de tangencia demostrada anteriormente se deduce que nuestro círculo toca antes de Cristo.

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Dos tangentes trazadas a la circunferencia desde un punto exterior a ella son iguales y forman ángulos iguales con la recta que conecta este punto con el centro, que se deriva de la igualdad de los triángulos rectángulos AOB y AOB1.

Sea un círculo y una línea recta en un plano. Dejemos caer una perpendicular desde el centro del círculo C sobre esta línea recta; denotemos por la base de esta perpendicular. Un punto puede ocupar tres posiciones posibles con respecto al círculo: a) estar fuera del círculo, b) sobre el círculo, c) dentro del círculo. Dependiendo de esto, la línea recta ocupará una de las tres posibles posiciones diferentes con respecto al círculo, que se describen a continuación.

a) Deje que la base de la perpendicular que cae desde el centro C del círculo hasta la línea recta a quede fuera del círculo (Fig. 197). Entonces la línea recta no corta al círculo; todos sus puntos se encuentran en la región exterior. En efecto, en el caso indicado, por condición, se retira del centro a una distancia mayor que el radio). Además, para cualquier punto M en una línea recta a, tenemos que todo punto en una línea recta dada se encuentra fuera del círculo.

b) Deje que la base de la perpendicular caiga sobre el círculo (Fig. 198). Entonces la recta a tiene exactamente un punto común con la circunferencia. En efecto, si M es cualquier otro punto de la recta, entonces (las inclinadas son más largas que las perpendiculares) el punto M se encuentra en la región externa. Una recta de este tipo, que tiene un único punto común con el círculo, se llama tangente al círculo en este punto. Demostremos que, por el contrario, si una línea recta tiene un único punto común con un círculo, entonces el radio trazado hasta este punto es perpendicular a esta línea recta. De hecho, coloquemos una perpendicular desde el centro sobre esta línea. Si su base estuviera dentro del círculo, entonces la línea recta tendría dos puntos comunes con ella, como se muestra en c). Si estuviera fuera del círculo, entonces en virtud de a) la línea recta no tendría puntos comunes con el círculo.

Por lo tanto, queda suponer que la perpendicular cae en el punto común de la línea y el círculo, en el punto de su tangencia. Demostrado ser importante

Teorema. Una línea recta que pasa por un punto de un círculo toca el círculo si y sólo si es perpendicular al radio trazado hasta ese punto.

Tenga en cuenta que la definición de tangente a un círculo dada aquí no se aplica a otras curvas. Una definición más general de la tangente de una línea recta a una línea curva está asociada con los conceptos de la teoría de los límites y se analiza en detalle en el curso de matemáticas superiores. Aquí daremos sólo un concepto general al respecto. Sea un círculo y un punto A en él (Fig. 199).

Tomemos otro punto A en el círculo y conectemos ambos puntos de la línea recta AA. Dejemos que el punto A, moviéndose a lo largo de un círculo, ocupe una sucesión de nuevas posiciones, acercándose cada vez más al punto A. La recta AA, que gira alrededor de A, toma varias posiciones: en este caso, a medida que el punto en movimiento se acerca al punto A , la recta tiende a coincidir con la tangente AT. Por tanto, podemos hablar de tangente como la posición límite de una secante que pasa por un punto dado y un punto de una curva que se acerca a él sin límite. De esta forma, la definición de tangente es aplicable a curvas de forma muy general (Fig. 200).

c) Finalmente, deje que el punto quede dentro del círculo (Fig. 201). Entonces . Consideraremos círculos inclinados trazados sobre la recta a desde el centro C, con bases alejándose del punto en cualquiera de las dos direcciones posibles. La longitud del inclinado aumentará monótonamente a medida que su base se aleje del punto; este aumento en la longitud del inclinado se produce de forma gradual (“continuamente”) desde valores cercanos a valores arbitrariamente grandes, por lo que parece claro que en una determinada posición de las bases inclinadas su longitud será exactamente igual a los puntos correspondientes K y L de la línea estarán en el círculo.