10 techniques pour résoudre une équation quadratique. Document de recherche "10 façons de résoudre des équations quadratiques"

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Dans le cours de mathématiques de l'école, les formules des racines des équations quadratiques sont étudiées, à l'aide desquelles vous pouvez résoudre n'importe quelle équation quadratique. Cependant, il existe d'autres façons de résoudre des équations quadratiques qui vous permettent de résoudre de nombreuses équations très rapidement et efficacement. Il existe dix façons de résoudre des équations quadratiques. Dans mon travail, j'ai analysé chacun d'eux en détail.

1. MÉTHODE : Factoriser le côté gauche de l’équation.

Résolvons l'équation

x2 + 10x - 24 = 0.

Factorisons le côté gauche :

x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2).

L’équation peut donc être réécrite comme suit :

(x + 12)(x - 2) = 0

Puisque le produit est nul, alors au moins un de ses facteurs est nul. Par conséquent, le côté gauche de l’équation devient nul à x = 2, et aussi quand x = - 12. Cela signifie que le numéro 2 Et - 12 sont les racines de l'équation x2 + 10x - 24 = 0.

2. MÉTHODE : Méthode de sélection d'un carré complet.

Résolvons l'équation x2 + 6x - 7 = 0.

Sélectionnez un carré complet sur le côté gauche.

Pour ce faire, on écrit l'expression x 2 + 6x sous la forme suivante :

x2 + 6x = x2 + 2x3.

Dans l'expression résultante, le premier terme est le carré du nombre x et le second est le double produit de x par 3. Par conséquent, pour obtenir un carré complet, vous devez ajouter 3 2, puisque

x2 + 2 x 3 + 3 2 = (x + 3) 2.

Transformons maintenant le côté gauche de l'équation

x2 + 6x - 7 = 0,

en y ajoutant et en soustrayant 3 2. Nous avons:

x2 + 6x - 7 = x2 + 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Ainsi, cette équation peut s’écrire comme suit :

(x + 3) 2 - 16 =0, (x + 3) 2 = 16.

Ainsi, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1, ou x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. MÉTHODE :Résoudre des équations quadratiques à l'aide de la formule.

Multiplions les deux côtés de l'équation

ah 2 +bx + c = 0, une ≠ 0

sur 4a et séquentiellement on a :

4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ax) 2 + 2axb + b 2 ) - b 2 + 4 ca = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,

Exemples.

UN) Résolvons l'équation : 4x2 + 7x + 3 = 0.

une = 4,b= 7, c = 3,D = b 2 - 4 ca = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, deux racines différentes ;

Ainsi, dans le cas d’un discriminant positif, c’est-à-dire à

b 2 - 4 ca >0 , l'équation ah 2 +bx + c = 0 a deux racines différentes.

b) Résolvons l'équation : 4x2 - 4x + 1 = 0,

une = 4,b= - 4, s = 1,D = b 2 - 4 ca = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, une racine ;

Donc, si le discriminant est nul, c'est à dire b 2 - 4 ca = 0 , alors l'équation

ah 2 +bx + c = 0 a une seule racine

V) Résolvons l'équation : 2x2 + 3x + 4 = 0,

une = 2,b= 3, c = 4,D = b 2 - 4 ca = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13 , D < 0.

Cette équation n'a pas de racines.

Donc, si le discriminant est négatif, c'est à dire b 2 - 4 ca < 0 ,

l'équation ah 2 +bx + c = 0 n'a pas de racines.

Formule (1) des racines d'une équation quadratique ah 2 +bx + c = 0 permet de retrouver des racines n'importe lequel équation quadratique (le cas échéant), y compris réduite et incomplète. La formule (1) s'exprime verbalement comme suit : les racines d'une équation quadratique sont égales à une fraction dont le numérateur est égal au deuxième coefficient pris de signe opposé, plus moins la racine carrée du carré de ce coefficient sans quadrupler le produit du premier coefficient par le terme libre, et le dénominateur est le double du premier coefficient.

4. MÉTHODE : Résoudre des équations à l'aide du théorème de Vieta.

Comme on le sait, l'équation quadratique réduite a la forme

x2 +px + c = 0. (1)

Ses racines satisfont au théorème de Vieta qui, lorsque une =1 ressemble à

X 1 + X 2 = - p

De là, nous pouvons tirer les conclusions suivantes (à partir des coefficients p et q nous pouvons prédire les signes des racines).

a) Si le demi-membre q l'équation donnée (1) est positive ( q > 0 ), alors l'équation a deux racines de signe égal et cela dépend du deuxième coefficient p. Si R.< 0 , alors les deux racines sont négatives si R.< 0 , alors les deux racines sont positives.

Par exemple,

X 2 – 3 X + 2 = 0; X 1 = 2 Et X 2 = 1, parce que q = 2 > 0 Et p = - 3 < 0;

X 2 + 8 X + 7 = 0; X 1 = - 7 Et X 2 = - 1, parce que q = 7 > 0 Et p= 8 > 0.

b) Si membre gratuit q l'équation donnée (1) est négative ( q < 0 ), alors l’équation a deux racines de signe différent, et la plus grande racine sera positive si p < 0 , ou négatif si p > 0 .

Par exemple,

X 2 + 4 X – 5 = 0; X 1 = - 5 Et X 2 = 1, parce que q= - 5 < 0 Et p = 4 > 0;

X 2 – 8 X – 9 = 0; X 1 = 9 Et X 2 = - 1, parce que q = - 9 < 0 Et p = - 8 < 0.

5. MÉTHODE : Résoudre des équations en utilisant la méthode du « lancer ».

Considérons l'équation quadratique

ah 2 +bx + c = 0, Où une ≠ 0.

En multipliant les deux côtés par a, on obtient l'équation

un 2 x 2 + unbx + ac = 0.

Laisser ah = oui, où x = oui/a; alors nous arrivons à l'équation

et 2 +par+ ac = 0,

est équivalent à cela. Ses racines à 1 Et à 2 peut être trouvé en utilisant le théorème de Vieta.

Finalement on obtient

x 1 = y 1 /une Et x 1 = y 2 /une.

Avec cette méthode le coefficient UN multiplié par le terme libre, comme s'il lui était « jeté », c'est pourquoi on l'appelle méthode de transfert. Cette méthode est utilisée lorsque l'on peut facilement trouver les racines de l'équation à l'aide du théorème de Vieta et, surtout, lorsque le discriminant est un carré exact.

Exemple.

Résolvons l'équation 2x2 – 11x + 15 = 0.

Solution."Jetons" le coefficient 2 au terme libre, et nous obtenons ainsi l'équation

y 2 – 11 ans + 30 = 0.

D'après le théorème de Vieta

oui 2 = 6X 2 = 6/2 X 2 = 3.

Réponse : 2,5 ; 3.

6. MÉTHODE : Propriétés des coefficients d'une équation quadratique.

UN. Soit une équation quadratique

ah 2 +bx + c = 0, Où une ≠ 0.

1) Si, a+b+ c = 0 (c'est-à-dire que la somme des coefficients est nulle), alors x 1 = 1,

x 2 = s/a.

Preuve. En divisant les deux côtés de l'équation par a ≠ 0, on obtient l'équation quadratique réduite

X 2 + b/ un X + c/ un = 0.

X 1 + X 2 = - b/ un,

X 1 X 2 = 1 c/ un.

Par condition UN -b+ c = 0, où b= une + c. Ainsi,

x 1 x 2 = - 1 (- c/a),

ceux. x1 = -1 Et x2 =c/ un, ce que nous devions prouver.

Exemples.

1) Résolvons l'équation 345x2 – 137x – 208 = 0.

Solution. Parce que un +b+ c = 0 (345 – 137 – 208 = 0), Que

x1 = 1, x2 =c/ un = -208/345.

Réponse 1; -208/345.

2) Résoudre l'équation 132x2 – 247x + 115 = 0.

Solution. Parce que un +b+ c = 0 (132 – 247 + 115 = 0), Que

x1 = 1, x2 =c/ un = 115/132.

Réponse 1; 115/132.

B. Si le deuxième coefficient b = 2 k est un nombre pair, alors la formule racine

Exemple.

Résolvons l'équation 3x2 - 14x + 16 = 0.

Solution. Nous avons: une = 3,b= - 14, s = 16,k = - 7 ;

D = k 2 – ca = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, deux racines différentes ;

Lycée rural Kopyevskaya

10 façons de résoudre des équations quadratiques

Responsable : Patrikeeva Galina Anatolyevna,

professeur de mathématiques

village Kopevo, 2007

1. Histoire du développement des équations quadratiques

1.1 Équations quadratiques dans l'ancienne Babylone

1.2 Comment Diophante a composé et résolu les équations quadratiques

1.3 Équations quadratiques en Inde

1.4 Équations quadratiques d'al-Khorezmi

1.5 Équations quadratiques en Europe XIII - XVII siècles

1.6 À propos du théorème de Vieta

2. Méthodes de résolution d'équations quadratiques

Conclusion

Littérature

1. Histoire du développement des équations quadratiques

1.1 Équations quadratiques dans l'ancienne Babylone

La nécessité de résoudre des équations non seulement du premier, mais aussi du deuxième degré, même dans l'Antiquité, était due à la nécessité de résoudre des problèmes liés à la recherche des superficies de terrains et aux travaux d'excavation à caractère militaire. comme pour le développement de l’astronomie et des mathématiques elles-mêmes. Les équations quadratiques ont pu être résolues vers 2000 avant JC. e. Babyloniens.

En utilisant la notation algébrique moderne, on peut dire que dans leurs textes cunéiformes il y a, en plus des textes incomplets, comme par exemple des équations quadratiques complètes :

X2 + X= ¾; X2 - X= 14,5

La règle pour résoudre ces équations, exposée dans les textes babyloniens, coïncide essentiellement avec la règle moderne, mais on ne sait pas comment les Babyloniens sont arrivés à cette règle. Presque tous les textes cunéiformes trouvés jusqu'à présent ne fournissent que des problèmes avec des solutions présentées sous forme de recettes, sans aucune indication sur la manière dont ils ont été trouvés.

Malgré le haut niveau de développement de l'algèbre à Babylone, les textes cunéiformes manquent du concept de nombre négatif et de méthodes générales pour résoudre les équations quadratiques.

1.2 Comment Diophante a composé et résolu les équations quadratiques.

L'arithmétique de Diophante ne contient pas une présentation systématique de l'algèbre, mais elle contient une série systématique de problèmes, accompagnés d'explications et résolus en construisant des équations de différents degrés.

Lors de la composition d'équations, Diophante sélectionne habilement les inconnues pour simplifier la solution.

Voici par exemple l'une de ses tâches.

Problème 11."Trouver deux nombres en sachant que leur somme est 20 et leur produit est 96"

Diophante raisonne ainsi : des conditions du problème il résulte que les nombres requis ne sont pas égaux, puisque s'ils étaient égaux, alors leur produit ne serait pas égal à 96, mais à 100. Ainsi, l'un d'eux sera supérieur à la moitié de leur somme, soit . 10 + x, l'autre est moins, c'est-à-dire 10. La différence entre eux 2x.

D'où l'équation :

(10 + x)(10 - x) = 96

des centaines 2 = 96

X 2 - 4 = 0 (1)

D'ici x = 2. L'un des nombres requis est égal à 12 , autre 8 . Solution x = -2 car Diophante n'existe pas, puisque les mathématiques grecques ne connaissaient que des nombres positifs.

Si nous résolvons ce problème en choisissant l'un des nombres requis comme inconnu, nous arriverons alors à une solution à l'équation

y(20 - y) = 96,

à2 - 20у + 96 = 0. (2)

Il est clair qu'en choisissant comme inconnue la demi-différence des nombres requis, Diophante simplifie la solution ; il parvient à réduire le problème à la résolution d'une équation quadratique incomplète (1).

1.3 Équations quadratiques en Inde

Des problèmes sur les équations quadratiques se retrouvent déjà dans le traité astronomique « Aryabhattiam », compilé en 499 par le mathématicien et astronome indien Aryabhatta. Un autre scientifique indien, Brahmagupta (VIIe siècle), a esquissé une règle générale pour résoudre des équations quadratiques réduites à une seule forme canonique :

Oh2 + bx = c, a > 0. (1)

Dans l'équation (1), les coefficients, sauf UN, peut aussi être négatif. La règle de Brahmagupta est essentiellement la même que la nôtre.

Dans l’Inde ancienne, les concours publics visant à résoudre des problèmes difficiles étaient courants. Un vieux livre indien dit à propos de telles compétitions : « De même que le soleil éclipse les étoiles par son éclat, ainsi un érudit éclipsera la gloire d’un autre dans les assemblées publiques, proposant et résolvant des problèmes algébriques. » Les problèmes étaient souvent présentés sous forme poétique.

C’est l’un des problèmes du célèbre mathématicien indien du XIIe siècle. Bhaskars.

Problème 13.

"Un troupeau de singes fringants Et douze le long des vignes...

Les autorités, après avoir mangé, se sont amusées. Ils ont commencé à sauter, à se suspendre...

Il y en a sur la place, partie huit. Combien y avait-il de singes ?

Je m'amusais dans la clairière. Dis-moi, dans ce pack ?

La solution de Bhaskara indique qu'il savait que les racines des équations quadratiques sont à deux valeurs (Fig. 3).

L'équation correspondant au problème 13 est :

(X/8) 2 + 12 = X

Bhaskara écrit sous couvert :

X2 -64x = -768

et, pour compléter le côté gauche de cette équation au carré, ajoute aux deux côtés 32 2 , puis on obtient :

X2 - 64x + 322 = -768 + 1024,

(x-32)2 = 256,

x-32 = ± 16,

X1 = 16,x2 = 48.

1.4 Équations quadratiques dans al-Khorezmi

Dans le traité algébrique d'Al-Khorezmi, une classification des équations linéaires et quadratiques est donnée. L'auteur dénombre 6 types d'équations, les exprimant ainsi :

1) « Les carrés sont égaux aux racines », c'est-à-dire Oh2 + s =bX.

2) « Les carrés sont égaux aux nombres », c'est-à-dire Oh2 = art.

3) « Les racines sont égales au nombre », c'est-à-dire ah = s.

4) « Les carrés et les nombres sont égaux aux racines », c'est-à-dire Oh2 + s =bX.

5) « Les carrés et les racines sont égaux aux nombres », c'est-à-dire Oh2 + bx= art.

6) « Les racines et les nombres sont égaux aux carrés », c'est-à-direbx+ c = ah2 .

Pour al-Khorezmi, qui a évité l’utilisation de nombres négatifs, les termes de chacune de ces équations sont des additions et non des soustraits. Dans ce cas, les équations qui n’ont pas de solutions positives ne sont évidemment pas prises en compte. L'auteur présente des méthodes pour résoudre ces équations en utilisant les techniques d'al-jabr et d'al-muqabala. Bien entendu, ses décisions ne coïncident pas complètement avec les nôtres. Sans compter que c'est purement rhétorique, il faut noter par exemple que lors de la résolution d'une équation quadratique incomplète du premier type

al-Khorezmi, comme tous les mathématiciens avant le XVIIe siècle, ne prend pas en compte la solution zéro, probablement parce que dans des problèmes pratiques spécifiques, cela n'a pas d'importance. Lors de la résolution d'équations quadratiques complètes, al-Khorezmi expose les règles pour les résoudre à l'aide d'exemples numériques particuliers, puis de preuves géométriques.

Problème 14.« Le carré et le nombre 21 sont égaux à 10 racines. Trouvez la racine" (en supposant la racine de l'équation x2 + 21 = 10x).

La solution de l'auteur ressemble à ceci : divisez le nombre de racines par deux, vous obtenez 5, multipliez 5 par lui-même, soustrayez 21 du produit, ce qui reste est 4. Prenez la racine de 4, vous obtenez 2. Soustrayez 2 de 5 , vous en obtenez 3, ce sera la racine souhaitée. Ou ajoutez 2 à 5, ce qui donne 7, c'est aussi une racine.

Le traité d'Al-Khorezmi est le premier livre qui nous soit parvenu, qui expose systématiquement la classification des équations quadratiques et donne des formules pour leur solution.

1.5 Équations quadratiques en EuropeXIII- XVIIIebb

Les formules permettant de résoudre des équations quadratiques sur le modèle d'al-Khwarizmi en Europe ont été présentées pour la première fois dans le Livre de l'Abacus, écrit en 1202 par le mathématicien italien Leonardo Fibonacci. Cet ouvrage volumineux, qui reflète l'influence des mathématiques, tant des pays d'Islam que de la Grèce antique, se distingue par son exhaustivité et la clarté de sa présentation. L'auteur a développé de manière indépendante de nouveaux exemples algébriques de résolution de problèmes et a été le premier en Europe à aborder l'introduction de nombres négatifs. Son livre a contribué à la diffusion des connaissances algébriques non seulement en Italie, mais aussi en Allemagne, en France et dans d'autres pays européens. De nombreux problèmes du Livre de l'Abacus ont été utilisés dans presque tous les manuels européens des XVIe et XVIIe siècles. et en partie XVIII.

SAUT DE PAGE--

La règle générale de résolution d'équations quadratiques réduite à une seule forme canonique :

X2 + bx= c,

pour toutes les combinaisons possibles de signes de coefficient b, Avec n'a été formulée en Europe qu'en 1544 par M. Stiefel.

La dérivation de la formule pour résoudre une équation quadratique sous forme générale est disponible chez Viète, mais Viète ne reconnaissait que les racines positives. Les mathématiciens italiens Tartaglia, Cardano, Bombelli furent parmi les premiers au XVIe siècle. En plus des racines positives, les racines négatives sont également prises en compte. Seulement au 17ème siècle. Grâce aux travaux de Girard, Descartes, Newton et d'autres scientifiques, la méthode de résolution des équations quadratiques prend une forme moderne.

1.6 À propos du théorème de Vieta

Le théorème exprimant la relation entre les coefficients d'une équation quadratique et ses racines, du nom de Vieta, fut formulé par lui pour la première fois en 1591 comme suit : « Si B+ D, multiplié par UN- UN2 , équivaut à BD, Que UNéquivaut à DANS et égal D».

Pour comprendre Vieta, il faut se rappeler que UN, comme toute voyelle, signifiait l'inconnu (notre X), les voyelles DANS,D- coefficients pour l'inconnu. Dans le langage de l'algèbre moderne, la formulation Vieta ci-dessus signifie : s'il y a

(un +b)x-x2 = un B,

X2 - (un +b)x + uneb= 0,

X1 = une, x2 = b.

Exprimant la relation entre les racines et les coefficients des équations avec des formules générales écrites à l'aide de symboles, Viète a établi l'uniformité dans les méthodes de résolution des équations. Cependant, la symbolique du Viet est encore loin de sa forme moderne. Il ne reconnaissait pas les nombres négatifs et, par conséquent, lors de la résolution d'équations, il ne considérait que les cas où toutes les racines étaient positives.

2. Méthodes de résolution d'équations quadratiques

Les équations quadratiques sont le fondement sur lequel repose le majestueux édifice de l’algèbre. Les équations quadratiques sont largement utilisées pour résoudre des équations et des inégalités trigonométriques, exponentielles, logarithmiques, irrationnelles et transcendantales. Nous savons tous comment résoudre des équations quadratiques depuis l’école (8e année) jusqu’à l’obtention du diplôme.

Dans le cours de mathématiques de l'école, les formules des racines des équations quadratiques sont étudiées, à l'aide desquelles vous pouvez résoudre n'importe quelle équation quadratique. Cependant, il existe d'autres façons de résoudre des équations quadratiques qui vous permettent de résoudre de nombreuses équations très rapidement et efficacement. Il existe dix façons de résoudre des équations quadratiques. Dans mon travail, j'ai analysé chacun d'eux en détail.

1. MÉTHODE : Factoriser le côté gauche de l’équation.

Résolvons l'équation

X2 + 10x - 24 = 0.

Factorisons le côté gauche :

X2 + 10x - 24 = x2 + 12x - 2x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2).

L’équation peut donc être réécrite comme suit :

(x + 12)(x - 2) = 0

Puisque le produit est nul, alors au moins un de ses facteurs est nul. Par conséquent, le côté gauche de l’équation devient nul à x = 2, et aussi quand x = - 12. Cela signifie que le numéro 2 Et - 12 sont les racines de l'équation X2 + 10x - 24 = 0.

2. MÉTHODE : Méthode de sélection d'un carré complet.

Résolvons l'équation X2 + 6x-7 = 0.

Sélectionnez un carré complet sur le côté gauche.

Pour ce faire, on écrit l'expression x2 + 6x sous la forme suivante :

X2 + 6x = x2 +2x3.

Dans l'expression résultante, le premier terme est le carré du nombre x et le second est le double produit de x par 3. Par conséquent, pour obtenir un carré complet, vous devez ajouter 32, puisque

x2 + 2x3 + 32 = (x + 3)2 .

Transformons maintenant le côté gauche de l'équation

X2 + 6x-7 = 0,

en y ajoutant et en soustrayant 32. Nous avons :

X2 + 6x - 7 = x2 + 2x3 + 32 - 3 2 - 7 = (x + 3)2 - 9 - 7 = (x + 3)2 - 16.

Ainsi, cette équation peut s’écrire comme suit :

(x + 3)2 - 16 =0, (x + 3)2 = 16.

Ainsi, x + 3 - 4 = 0, x1 = 1, ou x + 3 = -4, x2 = -7.

3. MÉTHODE :Résoudre des équations quadratiques à l'aide de la formule.

Multiplions les deux côtés de l'équation

Oh2 + bx + c = 0, une ≠ 0

sur 4a et séquentiellement on a :

4a2 X2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ah)2 + 2ahb+ b2 ) - b2 + 4 ca= 0,

(2ax + b)2 =b2 - 4ac,

2ax + b = ± √b2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b2 - 4ac,

Exemples.

UN) Résolvons l'équation : 4x2 + 7x + 3 = 0.

une = 4,b= 7, c = 3,D= b2 - 4 ca= 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D> 0, deux racines différentes ;

Ainsi, dans le cas d’un discriminant positif, c’est-à-dire à

b2 - 4 ca>0 , l'équation Oh2 + bx + c = 0 a deux racines différentes.

b) Résolvons l'équation : 4x2 - 4x + 1 = 0,

une = 4,b= - 4, s = 1,D= b2 - 4 ca= (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

D= 0, une racine ;

Donc, si le discriminant est nul, c'est à dire b2 - 4 ca= 0 , alors l'équation

Oh2 + bx + c = 0 a une seule racine

V) Résolvons l'équation : 2x2 + 3x + 4 = 0,

une = 2,b= 3, c = 4,D= b2 - 4 ca= 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D< 0.

Continuation
--SAUT DE PAGE--

Cette équation n'a pas de racines.

Donc, si le discriminant est négatif, c'est à dire b2 - 4 ca< 0 ,

l'équation Oh2 + bx + c = 0 n'a pas de racines.

Formule (1) des racines d'une équation quadratique Oh2 + bx + c = 0 permet de retrouver des racines n'importe lequel équation quadratique (le cas échéant), y compris réduite et incomplète. La formule (1) s'exprime verbalement comme suit : les racines d'une équation quadratique sont égales à une fraction dont le numérateur est égal au deuxième coefficient pris de signe opposé, plus moins la racine carrée du carré de ce coefficient sans quadrupler le produit du premier coefficient par le terme libre, et le dénominateur est le double du premier coefficient.

4. MÉTHODE : Résoudre des équations à l'aide du théorème de Vieta.

Comme on le sait, l'équation quadratique réduite a la forme

X2 + px+ c= 0. (1)

Ses racines satisfont au théorème de Vieta qui, lorsque une =1 ressemble à

/>X1 X2 = q,

X1 + X2 = - p

De là, nous pouvons tirer les conclusions suivantes (à partir des coefficients p et q nous pouvons prédire les signes des racines).

a) Si le demi-membre q l'équation donnée (1) est positive ( q> 0 ), alors l'équation a deux racines de signe égal et cela dépend du deuxième coefficient p. Si R.< 0 , alors les deux racines sont négatives si R.< 0 , alors les deux racines sont positives.

Par exemple,

X2 – 3 X+ 2 = 0; X1 = 2 Et X2 = 1, parce que q= 2 > 0 Et p= - 3 < 0;

X2 + 8 X+ 7 = 0; X1 = - 7 Et X2 = - 1, parce que q= 7 > 0 Et p= 8 > 0.

b) Si membre gratuit q l'équation donnée (1) est négative ( q< 0 ), alors l’équation a deux racines de signe différent, et la plus grande racine sera positive si p< 0 , ou négatif si p> 0 .

Par exemple,

X2 + 4 X– 5 = 0; X1 = - 5 Et X2 = 1, parce que q= - 5 < 0 Et p= 4 > 0;

X2 – 8 X– 9 = 0; X1 = 9 Et X2 = - 1, parce que q= - 9 < 0 Et p= - 8 < 0.

5. MÉTHODE : Résoudre des équations en utilisant la méthode du « lancer ».

Considérons l'équation quadratique

Oh2 + bx + c = 0, Où une ≠ 0.

En multipliant les deux côtés par a, on obtient l'équation

UN2 X2 + unbx + ac = 0.

Laisser ah = oui, où x = oui/a; alors nous arrivons à l'équation

à2 + par+ ac = 0,

est équivalent à cela. Ses racines à1 Et à 2 peut être trouvé en utilisant le théorème de Vieta.

Finalement on obtient

X1 = oui1 /UN Et X1 = oui2 /UN.

Avec cette méthode le coefficient UN multiplié par le terme libre, comme s'il lui était « jeté », c'est pourquoi on l'appelle méthode de transfert. Cette méthode est utilisée lorsque l'on peut facilement trouver les racines de l'équation à l'aide du théorème de Vieta et, surtout, lorsque le discriminant est un carré exact.

Exemple.

Résolvons l'équation 2x2 – 11x + 15 = 0.

Solution."Jetons" le coefficient 2 au terme libre, et nous obtenons ainsi l'équation

à2 – 11у + 30 = 0.

D'après le théorème de Vieta

/>/>/>/>/>à1 = 5x1 = 5/2 X1 = 2,5

à2 = 6 X2 = 6/2 X2 = 3.

Réponse : 2,5 ; 3.

6. MÉTHODE : Propriétés des coefficients d'une équation quadratique.

UN. Soit une équation quadratique

Oh2 + bx + c = 0, Où une ≠ 0.

1) Si, a+b+ c = 0 (c'est-à-dire que la somme des coefficients est nulle), alors x1 = 1,

X2 = s/a.

Preuve. En divisant les deux côtés de l'équation par a ≠ 0, on obtient l'équation quadratique réduite

X2 + b/ un X+ c/ un= 0.

/>D'après le théorème de Vieta

X1 + X2 = - b/ un,

X1 X2 = 1 c/ un.

Par condition UN -b+ c = 0, où b= une + c. Ainsi,

/>X1 +x2 = - UN+ b/une= -1 – c/une,

X1 X2 = - 1 (- c/a),

ceux. X1 = -1 Et X2 = c/ un, ce que nous devions prouver.

Exemples.

Résolvons l'équation 345x2 – 137x – 208 = 0.

Solution. Parce que un +b+ c = 0 (345 – 137 – 208 = 0), Que

X1 = 1,x2 = c/ un= -208/345.

Réponse 1; -208/345.

2) Résoudre l'équation 132x2 – 247x + 115 = 0.

Solution. Parce que un +b+ c = 0 (132 – 247 + 115 = 0), Que

X1 = 1,x2 = c/ un= 115/132.

Réponse 1; 115/132.

B. Si le deuxième coefficient b= 2 k est un nombre pair, alors la formule racine

Continuation
--SAUT DE PAGE--

Exemple.

Résolvons l'équation 3x2 - 14x + 16 = 0.

Solution. Nous avons: une = 3,b= - 14, s = 16,k= - 7 ;

D= k2 – ca= (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D> 0, deux racines différentes ;

Réponse : 2 ; 8/3

DANS. Équation réduite

X2 +px+q= 0

coïncide avec une équation générale dans laquelle une = 1, b=p Et c =q. Par conséquent, pour l’équation quadratique réduite, la formule racine est

prend la forme :

La formule (3) est particulièrement pratique à utiliser lorsque R.- nombre pair.

Exemple. Résolvons l'équation X2 – 14x – 15 = 0.

Solution. Nous avons: X1,2 =7±

Réponse : x1 = 15 ; X2 = -1.

7. MÉTHODE : Solution graphique d'une équation quadratique.

Si dans l'équation.

X2 + px+ q= 0

en déplaçant les deuxième et troisième termes vers la droite, on obtient

X2 = - px- q.

Construisons des graphiques de la dépendance y = x2 et y = - px- q.

Le graphique de la première dépendance est une parabole passant par l'origine. Deuxième graphique de dépendance -

droit (Fig. 1). Les cas suivants sont possibles :

Une droite et une parabole peuvent se couper en deux points, les abscisses des points d'intersection sont les racines de l'équation quadratique ;

Une droite et une parabole peuvent se toucher (un seul point commun), c'est à dire l'équation a une solution ;

Une droite et une parabole n'ont pas de points communs, c'est-à-dire une équation quadratique n'a pas de racines.

Exemples.

1) Résolvons l'équation graphiquement X2 - 3x - 4 = 0(Fig.2).

Solution.Écrivons l'équation sous la forme X2 = 3x + 4.

Construisons une parabole y = x2 et direct y = 3x + 4. Direct

y = 3x + 4 peut être construit à partir de deux points M (0 ; 4) Et

N(3; 13) . Une droite et une parabole se coupent en deux points

UN Et DANS avec abscisses X1 = - 1 Et X2 = 4 . Répondre : X1 = - 1;

X2 = 4.

2) Résolvons l'équation graphiquement (Fig. 3) X2 -2x + 1 = 0.

Solution.Écrivons l'équation sous la forme X2 = 2x - 1.

Construisons une parabole y = x2 et direct y = 2x - 1.

Direct y = 2x - 1 construire à partir de deux points M (0 ; - 1)

Et N(1/2; 0) . Une droite et une parabole se coupent en un point UN Avec

abscisse x = 1. Répondre: x = 1.

3) Résolvons l'équation graphiquement X2 - 2x + 5 = 0(Fig. 4).

Solution.Écrivons l'équation sous la forme X2 = 5x - 5. Construisons une parabole y = x2 et direct y = 2x - 5. Direct y = 2x - 5 Construisons à partir de deux points M(0; - 5) et N(2,5; 0). Une droite et une parabole n'ont pas de points d'intersection, c'est-à-dire Cette équation n'a pas de racines.

Répondre. L'équation X2 - 2x + 5 = 0 n'a pas de racines.

8. MÉTHODE : Résoudre des équations quadratiques à l'aide d'un compas et d'une règle.

La méthode graphique de résolution d'équations quadratiques à l'aide d'une parabole n'est pas pratique. Si l'on construit une parabole point par point, cela prend beaucoup de temps et le degré de précision des résultats obtenus est faible.

Je propose la méthode suivante pour trouver les racines d'une équation quadratique Oh2 + bx + c = 0à l'aide d'un compas et d'une règle (Fig. 5).

Supposons que le cercle souhaité coupe l'axe

abscisse en points B(x1 ; 0) Et D(X2 ; 0), Où X1 Et X2 - racines de l'équation Oh2 + bx + c = 0, et passe par les points

UNE(0; 1) Et C(0;c/ un) sur l'axe des ordonnées. Alors, d’après le théorème sécant, on a O.B. O.D.= O.A. O.C., où O.C.= O.B. O.D./ O.A.=x1 X2 / 1 = c/ un.

Le centre du cercle est au point d'intersection des perpendiculaires SF Et S.K., restitué au milieu des accords A.C. Et BD, C'est pourquoi

1) construire des points (centre du cercle) et UN(0; 1) ;

2) tracez un cercle de rayon S.A.;

3) abscisses des points d'intersection de ce cercle avec l'axe Oh sont les racines de l’équation quadratique originale.

Dans ce cas, trois cas sont possibles.

1) Le rayon du cercle est supérieur à l'ordonnée du centre (COMME> S.K., ouR.> un+ c/2 un) , le cercle coupe l'axe Ox en deux points (Fig. 6, a) B(x1 ; 0) Et D(X2 ; 0) , Où X1 Et X2 - racines de l'équation quadratique Oh2 + bx + c = 0.

2) Le rayon du cercle est égal à l'ordonnée du centre (COMME= S.B., ouR.= un+ c/2 un) , le cercle touche l'axe Ox (Fig. 6, b) au point B(x1 ; 0) , où x1 est la racine de l'équation quadratique.

Continuation
--SAUT DE PAGE--

3) Le rayon du cercle est inférieur à l'ordonnée du centre ; le cercle n'a pas de points communs avec l'axe des abscisses (Fig. 6, c), dans ce cas l'équation n'a pas de solution.

Exemple.

Résolvons l'équation X2 -2x-3 = 0(Fig.7).

Solution. Déterminons les coordonnées du point central du cercle à l'aide des formules :

Traçons un cercle de rayon SA, où A (0 ; 1).

Répondre:X1 = - 1 ; X2 = 3.

9. MÉTHODE : Résoudre des équations quadratiques à l'aide d'un nomogramme.

Il s'agit d'une méthode ancienne et injustement oubliée de résolution d'équations quadratiques, placée à la p. 83 (voir Bradis V.M. Tableaux mathématiques à quatre chiffres. - M., Prosveshchenie, 1990).

Tableau XXII. Nomogramme pour résoudre l'équation z2 + pz+ q= 0 . Ce nomogramme permet, sans résoudre une équation quadratique, de déterminer les racines de l'équation à l'aide de ses coefficients.

L'échelle curviligne du nomogramme est construite selon les formules (Fig. 11) :

Croire OS = p,ED= q, OE = un(le tout en cm), de la similitude des triangles SAN Et CDF on obtient la proportion

ce qui, après substitutions et simplifications, donne l'équation

z2 + pz+ q= 0,

et la lettre z désigne la marque de n’importe quel point sur une échelle courbe.

Exemples.

1) Pour l'équation z2 - 9 z+ 8 = 0 le nomogramme donne des racines

z1 = 8,0 Et z2 = 1,0 (Fig. 12).

2) À l'aide d'un nomogramme, nous résolvons l'équation

2 z2 - 9 z+ 2 = 0.

Divisez les coefficients de cette équation par 2, on obtient l'équation

z2 - 4,5 z+ 1 = 0.

Le nomogramme donne des racines z1 = 4 Et z2 = 0,5.

3) Pour l'équation

z2 - 25 z+ 66 = 0

les coefficients p et q sont hors de l'échelle, effectuons la substitution z= 5 t, on obtient l'équation

t2 - 5 t+ 2,64 = 0,

que nous résolvons à l'aide d'un nomogramme et obtenons t1 = 0,6 Et t2 = 4,4, où z1 = 5 t1 = 3,0 Et z2 = 5 t2 = 22,0.

10. MÉTHODE : Méthode géométrique pour résoudre des équations quadratiques.

Dans les temps anciens, lorsque la géométrie était plus développée que l'algèbre, les équations quadratiques n'étaient pas résolues algébriquement, mais géométriquement. Je vais donner un exemple célèbre de « l'Algèbre » d'al-Khorezmi.

Exemples.

1) Résolvons l'équation X2 + 10x = 39.

Dans l'original, ce problème est formulé comme suit : « Un carré et dix racines font 39 » (Fig. 15).

Solution. Considérons un carré de côté x, des rectangles sont construits sur ses côtés de manière à ce que l'autre côté de chacun d'eux soit de 2,5, donc l'aire de chacun est de 2,5x. Le chiffre obtenu est ensuite complété par un nouveau carré ABCD, en construisant quatre carrés égaux dans les coins, le côté de chacun d'eux est de 2,5 et l'aire est de 6,25.

Carré S carré A B C D peut être représenté comme la somme des aires : le carré d'origine X2 , quatre rectangles (4 2,5x = 10x) et quatre carrés attachés (6,25 4 = 25) , c'est à dire. S= X2 +10x +25. Remplacement

X2 +10x nombre 39 , on comprend ça S= 39 + 25 = 64 , ce qui signifie que le côté du carré A B C D, c'est à dire. segment de ligne AB = 8. Pour le côté requis X on obtient le carré d'origine

2) Mais, par exemple, comment les anciens Grecs résolvaient l'équation à2 + 6у - 16 = 0.

Solution montré sur la fig. 16, où

à2 + 6y = 16, ou y2 + 6 ans + 9 = 16 + 9.

Solution. Expressions à2 + 6у + 9 Et 16 + 9 représentent géométriquement le même carré, et l'équation originale à2 + 6у - 16 + 9 - 9 = 0- la même équation. D'où nous tirons cela y + 3 = ± 5, ou à1 = 2, oui2 = - 8 (Fig.16).

3) Résoudre l'équation géométrique à2 - 6у - 16 = 0.

En transformant l'équation, on obtient

à2 - 6 ans = 16.

En figue. 17 trouver des « images » de l’expression à2 - 6u, ceux. de l'aire d'un carré de côté y, soustraire l'aire d'un carré de côté égal à 3 . Cela signifie que si à l'expression à2 - 6у ajouter 9 , alors on obtient l'aire d'un carré de côté y - 3. Remplacer l'expression à2 - 6у son nombre égal à 16,

on a: (o - 3)2 = 16 + 9, ceux. y - 3 = ± √25, ou y - 3 = ± 5, où à1 = 8 Et à2 = - 2.

Conclusion

Les équations quadratiques sont largement utilisées pour résoudre des équations et des inégalités trigonométriques, exponentielles, logarithmiques, irrationnelles et transcendantales.

Cependant, l'importance des équations quadratiques ne réside pas seulement dans l'élégance et la brièveté de la résolution des problèmes, bien que cela soit très important. Il est tout aussi important que grâce à l'utilisation d'équations quadratiques dans la résolution de problèmes, de nouveaux détails soient souvent découverts, des généralisations intéressantes puissent être faites et des clarifications peuvent être apportées, suggérées par l'analyse des formules et des relations résultantes.

Je voudrais également noter que le sujet présenté dans cet ouvrage n'a pas encore été beaucoup étudié, il n'est tout simplement pas étudié, il regorge donc de beaucoup de choses cachées et inconnues, ce qui offre une excellente opportunité pour des travaux ultérieurs. dessus.

Ici, je me suis attardé sur la question de la résolution d'équations quadratiques, et quoi,

s'il y a d'autres moyens de les résoudre ?! Encore une fois, trouvez de beaux schémas, quelques faits, des éclaircissements, faites des généralisations, découvrez de plus en plus de nouvelles choses. Mais ce sont des questions pour des travaux futurs.

Pour résumer, nous pouvons conclure : les équations quadratiques jouent un rôle énorme dans le développement des mathématiques. Nous savons tous comment résoudre des équations quadratiques depuis l’école (8e année) jusqu’à l’obtention du diplôme. Ces connaissances peuvent nous être utiles tout au long de notre vie.

Puisque ces méthodes de résolution d’équations quadratiques sont faciles à utiliser, elles devraient certainement intéresser les étudiants qui s’intéressent aux mathématiques. Mon travail permet de regarder autrement les tâches que nous posent les mathématiques.

Littérature:

1. Alimov Sh.A., Ilyin V.A. et autres. Algèbre, 6-8. Manuel d'essai pour les lycées de la 6e à la 8e année. - M., Éducation, 1981.

2. Bradis V.M. Tableaux mathématiques à quatre chiffres pour le lycée Ed. 57ème. - M., Éducation, 1990. P. 83.

3. Kruzhepov A.K., Rubanov A.T. Livre de problèmes sur l'algèbre et les fonctions élémentaires. Manuel pour les établissements d'enseignement secondaire spécialisé. - M., école supérieure, 1969.

4. Okunev A.K. Fonctions quadratiques, équations et inégalités. Manuel de l'enseignant. - M., Éducation, 1972.

5. Presman A.A. Résoudre une équation quadratique à l'aide d'un compas et d'une règle. - M., Kvant, n° 4/72. P. 34.

6. Solomnik V.S., Milov P.I. Recueil de questions et de problèmes en mathématiques. Éd. - 4ème, supplémentaire - M., Ecole Supérieure, 1973.

7. Khudobin A.I. Recueil de problèmes sur l'algèbre et les fonctions élémentaires. Manuel de l'enseignant. Éd. 2ème. - M., Éducation, 1970.

annotation

1. MÉTHODE : Factorisation du côté gauche de l’équation

2. MÉTHODE : Méthode d’extraction par carrés complets.

4. MÉTHODE : Résolution d'équations à l'aide du théorème de Vieta.

5. MÉTHODE : Résolution d'équations par la méthode du « transfert ».

6. MÉTHODE : Propriétés des coefficients d'une équation quadratique

7. MÉTHODE : Solution graphique d'une équation quadratique

8. MÉTHODE : Résolution d'équations quadratiques à l'aide d'un compas et d'une règle.

9. MÉTHODE : Résolution d'équations quadratiques à l'aide d'un nomogramme.

Conclusion

Tochilkina Ioulia

Document de recherche sur le thème "10 façons de résoudre des équations quadratiques"

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Établissement d'enseignement budgétaire municipal

"École secondaire n°59"

10 façons de résoudre des équations quadratiques

(travail abstrait)

Complété par : élève de 8A

MBOU "École secondaire n°59 de Barnaoul

Tochilkina Ioulia

Superviseur:

Zakharova Lyudmila Vladimirovna,

professeur de mathématiques, MBOU "Lycée N°59"

Barnaoul

Introduction ……………………………………………………………...2

I. Histoire du développement des équations quadratiques ……………………………...3

1. Équations quadratiques dans l'ancienne Babylone……………………………...4

2. Comment Diophante a composé et résolu les équations quadratiques…………………5

3. Équations quadratiques en Inde…………………………………………………………6

4. Équations quadratiques à al-Khorezmi…………………………………….7

5. Les équations quadratiques en Europe XIII - XVII siècles………………......9

6. À propos du théorème de Vieta……………………………………………………..…….10

……………………….........11

1. Factorisation du côté gauche de l'équation………………...........12
2. Méthode de sélection d'un carré complet.……………………….……............13
3. Résolution d'équations quadratiques à l'aide de formules…………………..………14
4. Résoudre des équations à l’aide du théorème de Vieta…………….........16

5. Résolution d'équations par la méthode de transfert »……………………………….18

1. Propriétés des coefficients d'une équation quadratique……………………....19

7. Solution graphique des équations quadratiques……………………..……….. 21

8. Résoudre des équations quadratiques à l'aide d'un compas et d'une règle……….. 24

9. Résoudre des équations quadratiques à l'aide d'un nomogramme………………. 26

10. Méthode géométrique pour résoudre des équations quadratiques……………….28

III. Conclusion …………………………………………………..........................30

Littérature……………………………………………………………………………….….32

Il est souvent plus utile pour une personne qui étudie l’algèbre de résoudre le même problème de trois manières différentes que de résoudre trois ou quatre problèmes différents. En résolvant un problème en utilisant différentes méthodes, vous pouvez découvrir grâce à des comparaisons laquelle est la plus courte et la plus efficace. C'est ainsi que se développe l'expérience."

W. Sawyer

1. Introduction

La théorie des équations occupe une place prépondérante dans le cours d'algèbre scolaire. Plus de temps est consacré à leur étude qu'à tout autre sujet du cours de mathématiques à l'école. Cela est dû au fait que la plupart des problèmes de la vie se résument à la résolution de divers types d’équations.

Dans le manuel d'algèbre de 8e année, nous découvrons plusieurs types d'équations quadratiques et nous entraînons à les résoudre à l'aide de formules. J'avais une question : « Existe-t-il d'autres méthodes pour résoudre des équations quadratiques ? Quelle est la complexité de ces méthodes et peuvent-elles être utilisées dans la pratique ? C'est pourquoi, cette année universitaire, j'ai choisi un sujet de recherche lié aux équations quadratiques ; au cours de mon travail, il s'appelait « 10 façons de résoudre des équations quadratiques ».Pertinence de ce sujetest que dans les cours d'algèbre, de géométrie et de physique, nous rencontrons très souvent la résolution d'équations quadratiques. Par conséquent, chaque élève devrait être capable de résoudre correctement et rationnellement des équations quadratiques ; cela peut également m'être utile lors de la résolution de problèmes plus complexes, y compris en 9e année lors de la réussite des examens.

Objectif du travail : apprendre à résoudre des équations quadratiques, étudier diverses méthodes pour les résoudre.

Sur la base de cet objectif, j'ai défini ce qui suit Tâches:

Étudier l'histoire du développement des équations quadratiques ;

Considérez les méthodes standard et non standard pour résoudre des équations quadratiques ;

Identifier les moyens les plus pratiques pour résoudre des équations quadratiques ;

Apprenez à résoudre des équations quadratiques de différentes manières.

Objet d'étude: équations du second degré.

Sujet d'étude: extrait du manuel résoudre des équations quadratiques.

Méthodes de recherche:

Théorique : étude de la littérature sur le sujet de recherche ;

Informations Internet.

Analyse : informations obtenues à partir de l'étude de la littérature ;

Résultats obtenus lors de la résolution d'équations quadratiques de diverses manières.

Comparaison des méthodes pour la rationalité de leur utilisation dans la résolution d'équations quadratiques.

Histoire du développement des équations quadratiques.

1. Équations quadratiques dans l'ancienne Babylone.

La nécessité de résoudre des équations non seulement du premier, mais aussi du deuxième degré, même dans l'Antiquité, était due à la nécessité de résoudre les problèmes liés à la recherche des zones de terrain, avec des travaux d'excavation à caractère militaire, ainsi que avec le développement de l'astronomie et des mathématiques elles-mêmes. Les équations quadratiques ont pu être résolues vers 2000 avant JC. e. Babyloniens.

En utilisant la notation algébrique moderne, on peut dire que dans leurs textes cunéiformes il y a, en plus des textes incomplets, comme par exemple des équations quadratiques complètes :

X2 + X = ¾ ; X2 - X = 14,5

La règle pour résoudre ces équations, exposée dans les textes babyloniens, coïncide essentiellement avec la règle moderne, mais on ne sait pas comment les Babyloniens sont arrivés à cette règle. Presque tous les textes cunéiformes trouvés jusqu'à présent ne fournissent que des problèmes avec des solutions présentées sous forme de recettes, sans aucune indication sur la manière dont ils ont été trouvés.

Malgré le haut niveau de développement de l'algèbre à Babylone, les textes cunéiformes manquent du concept de nombre négatif et de méthodes générales pour résoudre les équations quadratiques.

2. Les équations quadratiques en Grèce ou comment Diophante composait et résolvait les équations quadratiques.

L'arithmétique de Diophante ne contient pas une présentation systématique de l'algèbre, mais elle contient une série systématique de problèmes, accompagnés d'explications et résolus en construisant des équations de différents degrés.

Lors de la composition d'équations, Diophante sélectionne habilement les inconnues pour simplifier la solution.

Voici par exemple l'une de ses tâches.

Problème 11. "Trouver deux nombres en sachant que leur somme est 20 et leur produit est 96"

Diophante raisonne ainsi : des conditions du problème il résulte que les nombres requis ne sont pas égaux, puisque s'ils étaient égaux, alors leur produit ne serait pas égal à 96, mais à 100. Ainsi, l'un d'eux sera supérieur à la moitié de leur somme, soit . 10 + x , l'autre est moins, c'est-à-dire 10 . La différence entre eux 2x.

D'où l'équation :

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

X2 - 4 = 0 (1)

Donc x = 2 . L'un des nombres requis est égal à 12, autres 8. Solution x = -2 car Diophante n'existe pas, puisque les mathématiques grecques ne connaissaient que des nombres positifs.

Si nous résolvons ce problème en choisissant l'un des nombres requis comme inconnu, nous arriverons alors à une solution à l'équation

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Il est clair qu'en choisissant comme inconnue la demi-différence des nombres requis, Diophante simplifie la solution ; il parvient à réduire le problème à la résolution d'une équation quadratique incomplète (1).

3. Équations quadratiques en Inde.

Des problèmes sur les équations quadratiques se trouvent dans le traité d'astronomie « Aryabhattiam », compilé en 499 par le mathématicien et astronome indien Aryabhatta. Un autre scientifique indien, Brahmagupta (VIIe siècle), a esquissé une règle générale pour résoudre des équations quadratiques réduites à une seule forme canonique : hache 2 + bx = c, a > 0. (1)

Dans l'équation (1), les coefficients, sauf UN , peut aussi être négatif. La règle de Brahmagupta est essentiellement la même que la nôtre. Dans l’Inde ancienne, les concours publics visant à résoudre des problèmes difficiles étaient courants. Un vieux livre indien dit à propos de telles compétitions : « De même que le soleil éclipse les étoiles par son éclat, ainsi un érudit éclipsera la gloire d’un autre dans les assemblées publiques, proposant et résolvant des problèmes algébriques. » Les problèmes étaient souvent présentés sous forme poétique.

C’est l’un des problèmes du célèbre mathématicien indien du XIIe siècle. Bhaskars.

Tâche.

"Un troupeau de singes fringants Et douze le long des vignes...

Les autorités, après avoir mangé, se sont amusées. Ils ont commencé à sauter, à se suspendre...

Il y en a sur la place, partie huit. Combien y avait-il de singes ?

Je m'amusais dans la clairière. Dis-moi, dans ce pack ?

La solution de Bhaskara indique qu'il savait que les racines des équations quadratiques sont à deux valeurs (Fig. 1).

L'équation correspondant au problème est :

(x/8) 2 + 12 = x

Bhaskara écrit sous couvert : x2 - 64x = -768

et pour compléter le côté gauche de ceci

équation au carré, ajoute aux deux côtés 32 2, puis on obtient : x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024, Fig. 1

(x - 32) 2 = 256,

x-32 = ± 16,

x1 = 16, x2 = 48.

4. Équations quadratiques d'al-Khorezmi.

Dans le traité algébrique d'Al-Khorezmi, une classification des équations linéaires et quadratiques est donnée. L'auteur dénombre 6 types d'équations, les exprimant ainsi :

1) « Les carrés sont égaux aux racines », c'est-à-dire Oh 2 + c = bx.

2) « Les carrés sont égaux aux nombres », c'est-à-dire Oh 2 = art.

3) « Les racines sont égales au nombre », c'est-à-dire ah = s.

4) « Les carrés et les nombres sont égaux aux racines », c'est-à-dire Oh 2 + c = bx.

5) « Les carrés et les racines sont égaux aux nombres », c'est-à-dire Oh 2 + bx = c.

6) « Les racines et les nombres sont égaux aux carrés », c'est-à-dire bx + c = ah 2 .

Pour al-Khorezmi, qui a évité l’utilisation de nombres négatifs, les termes de chacune de ces équations sont des additions et non des soustraits. Dans ce cas, les équations qui n’ont pas de solutions positives ne sont évidemment pas prises en compte. L'auteur présente des méthodes pour résoudre ces équations en utilisant les techniques d'al-jabr et d'al-muqabala. Bien entendu, sa solution ne coïncide pas complètement avec la solution moderne. Sans compter que c'est purement rhétorique, il faut noter par exemple que lors de la résolution d'une équation quadratique incomplète du premier type, al-Khorezmi, comme tous les mathématiciens jusqu'au XVIIe siècle, ne prend pas en compte la solution nulle, probablement parce que dans la pratique spécifique, cela n'a pas d'importance dans les tâches. Lors de la résolution d'équations quadratiques complètes, al-Khorezmi expose les règles pour les résoudre à l'aide d'exemples numériques particuliers, puis de preuves géométriques.

Tâche. « Le carré et le nombre 21 sont égaux à 10 racines. Trouvez la racine"

(en supposant la racine de l'équation x 2 + 21 = 10x).

La solution de l'auteur ressemble à ceci : divisez le nombre de racines par deux, vous obtenez 5, multipliez 5 par lui-même, soustrayez 21 du produit, ce qui reste est 4. Prenez la racine de 4, vous obtenez 2. Soustrayez 2 de 5 , vous en obtenez 3, ce sera la racine souhaitée. Ou ajoutez 2 à 5, ce qui donne 7, c'est aussi une racine.

Le traité d'Al-Khorezmi est le premier livre qui nous soit parvenu, qui expose systématiquement la classification des équations quadratiques et donne des formules pour leur solution.

5. Équations quadratiques en Europe XIIIe - XVIIe siècles.

Les formules permettant de résoudre des équations quadratiques sur le modèle d'al-Khorezmi en Europe ont été présentées pour la première fois dans le « Livre du Boulier », écrit en 1202 par le mathématicien italien Leonardo Fibonacci. Cet ouvrage volumineux, qui reflète l'influence des mathématiques, tant des pays d'Islam que de la Grèce antique, se distingue par son exhaustivité et la clarté de sa présentation. L'auteur a développé de manière indépendante de nouveaux exemples algébriques de résolution de problèmes et a été le premier en Europe à aborder l'introduction de nombres négatifs. Son livre a contribué à la diffusion des connaissances algébriques non seulement en Italie, mais aussi en Allemagne, en France et dans d'autres pays européens. De nombreux problèmes du Livre de l'Abacus ont été utilisés dans presque tous les manuels européens des XVIe et XVIIe siècles. et en partie XVIII.

La règle générale de résolution d'équations quadratiques réduite à une seule forme canonique : x 2 + bx = c,

pour toutes les combinaisons possibles de signes de coefficient avant JC n'a été formulée en Europe qu'en 1544 par M. Stiefel.

La dérivation de la formule pour résoudre une équation quadratique sous forme générale est disponible chez Viète, mais Viète ne reconnaissait que les racines positives. Les mathématiciens italiens Tartaglia, Cardano, Bombelli furent parmi les premiers au XVIe siècle. En plus des racines positives, les racines négatives sont également prises en compte. Seulement au 17ème siècle. Grâce aux travaux de Girard, Descartes, Newton et d'autres scientifiques, la méthode de résolution des équations quadratiques prend une forme moderne.

6. À propos du théorème de Vieta.

Le théorème exprimant la relation entre les coefficients d'une équation quadratique et ses racines, du nom de Vieta, fut formulé par lui pour la première fois en 1591 comme suit : « Si B + D fois A - A 2 est égal à BD, alors A est égal à B et est égal à D."

Pour comprendre Vieta, il faut se rappeler que UN , comme toute voyelle, signifiait l'inconnu (notre x), voyelles B, D - coefficients pour l'inconnu. Dans le langage de l'algèbre moderne, la formulation Vieta ci-dessus signifie : s'il y a

(a + b)x - x 2 = ab, c'est-à-dire

x 2 - (a + b)x + ab = 0, alors

x 1 = une, x 2 = b.

Exprimant la relation entre les racines et les coefficients des équations avec des formules générales écrites à l'aide de symboles, Viète a établi l'uniformité dans les méthodes de résolution des équations. Cependant, la symbolique du Viet est encore loin de sa forme moderne. Il ne reconnaissait pas les nombres négatifs et, par conséquent, lors de la résolution d'équations, il ne considérait que les cas où toutes les racines étaient positives.

II. Méthodes de résolution d'équations quadratiques

Les équations quadratiques sont le fondement sur lequel repose le majestueux édifice de l’algèbre. Les équations quadratiques sont largement utilisées pour résoudre des équations et des inégalités trigonométriques, exponentielles, logarithmiques, irrationnelles et transcendantales.De nombreux problèmes pratiques sont résolus avec leur aide. Par exemple, une équation quadratique vous permet de calculer la distance de freinage d'une voiture, la puissance d'une fusée pour lancer un vaisseau spatial en orbite et les trajectoires de divers objets physiques - des particules élémentaires aux étoiles.

À l'école, les formules des racines des équations quadratiques sont étudiées, à l'aide desquelles vous pouvez résoudre n'importe quelle équation quadratique. Cependant, il existe d'autres façons de résoudre des équations quadratiques qui vous permettent de résoudre des équations quadratiques très rapidement et efficacement. Dans la littérature mathématique, j'ai trouvé dix façons de résoudre des équations quadratiques et dans mon travail j'ai analysé chacune d'elles.

Définition 1. Une équation quadratique est une équation de la forme hache 2 + bx + c = 0, où les coefficients a, b, c sont des nombres réels, a ≠ 0.

Définition 2. Une équation quadratique complète est une équation quadratique dans laquelle les trois termes sont présents, c'est-à-dire les coefficients dans et с sont différents de zéro.

Une équation quadratique incomplète est une équation dans laquelle au moins un des coefficients de ou, c est égal à zéro.

Définition 3. La racine de l'équation quadratique est ah 2 + in + c = 0 est toute valeur de la variable x pour laquelle l'axe du trinôme quadratique 2 + in + c tend vers zéro.

Définition 4. Résoudre une équation quadratique signifie la trouver en entier

racines ou établir qu’il n’y a pas de racines.

1. Factoriser le côté gauche de l’équation.

Résolvons l'équation x 2 + 10x - 24 = 0.

Factorisons le côté gauche :

x2 + 10x - 24 = x2 + 12x - 2x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2).

L’équation peut donc être réécrite comme suit :

(x + 12)(x - 2) = 0

Un produit de facteurs est nul si au moins un de ses facteurs est nul.

x + 12= 0 ou x – 2=0

x=-12 x=2

Réponse : -12 ; 2.

1. Méthode de sélection d'un carré complet.

Résolvons l'équation x 2 + 6x - 7 = 0.

Sélectionnez un carré complet sur le côté gauche :

x 2 + 6x - 7 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

alors cette équation peut s'écrire comme suit :

(x + 3) 2 - 16 =0,

(x + 3) 2 = 16.

x + 3=4 ou x + 3 = -4

X1 = 1x2 = -7

Réponse 1; -7.

1. Résoudre des équations quadratiques à l'aide de formules.

Multiplions les deux côtés de l'équation ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 par 4a, alors

4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ax) 2 + 2ax b + b 2 ) - b 2 + 4ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,

1. Ainsi, dans le cas d’un discriminant positif, c’est-à-dire à b 2 - 4ac >0, équation ax 2 + bx + c = 0 a deux racines différentes.

2. Si le discriminant est nul, c'est-à-dire b 2 - 4ac = 0 , alors l'équation a une racine.

3. Si le discriminant est négatif, c'est-à-dire b2 - 4ac, équation ax 2 + bx + c = 0 n'a pas de racines.

Formule (1) des racines d'une équation quadratique hache 2 + bx + c = 0 permet de retrouver des racines n'importe lequel équation quadratique (le cas échéant), y compris réduite et incomplète. La formule (1) s'exprime verbalement comme suit :les racines d'une équation quadratique sont égales à une fraction dont le numérateur est égal au deuxième coefficient pris de signe opposé, plus moins la racine carrée du carré de ce coefficient sans quadrupler le produit du premier coefficient par le terme libre, et le dénominateur est le double du premier coefficient.

Exemples.

UN) Résolvons l'équation :

4x2 + 7x + 3 = 0.

une = 4, b = 7, c = 3.

D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,D > 0,

Réponse 1; .

b) Résolvons l'équation :

4x2 - 4x + 1 = 0,

une = 4, b = - 4, c = 1,

D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0, D = 0, l'équation a une racine ;

Répondre:

V) Résolvons l'équation : 2x2 + 3x + 4 = 0,

a = 2, b = 3, c = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D

Cette équation n'a pas de racines.

Réponse : pas de racines.

1. Résoudre des équations à l'aide du théorème de Vieta.

À juste titre digne d'être chanté en poésie

Théorème de Vieta sur les propriétés des racines.

Étant donné une équation quadratiqueappelé une équation de la forme(1) où le coefficient dominant est égal à un.

Les racines de l’équation quadratique ci-dessus peuvent être trouvées à l’aide de la formule suivante :

Vous pouvez vous souvenir de cette formule en mémorisant le poème suivant.

P avec le signe pris à l'envers

On va le diviser par 2,

Et depuis la racine je signe soigneusement séparons-nous

Et sous la racine c'est très utile

Demi-carré

Moins - et voici la solution d'une petite équation.

Faire une équation quadratiqueconduire à la forme réduite, il faut diviser tous ses termes en un, , Alors

À juste titre digne d'être chanté en poésie
Théorème de Vieta sur les propriétés des racines.
Quoi de mieux, dites-moi, une cohérence comme celle-ci :
Vous multipliez les racines et la fraction est prête :
Le numérateur est c, le dénominateur est a,
Et la somme des racines est aussi égale à la fraction.
Même si cette fraction est négative, quel problème -
Le numérateur est b, le dénominateur est a.

Si l'on désigne , alors on obtient une équation de la forme. Et les formules () prendront la forme

Ainsi: la somme des racines de l'équation quadratique réduite est égale au deuxième coefficient pris de signe opposé, et le produit des racines est égal au terme libre.

A partir des coefficients p et q on peut prédire les signes des racines.

UN) Si le terme récapitulatif q de l'équation (1) ci-dessus est positif (q > 0), alors l'équation a deux racines du même signe, et cela dépend du deuxième coefficient :

Si R. , alors les deux racines sont positives ;

Si p > 0 , alors les deux racines sont négatives.

Par exemple,

x2 – 3x + 2 = 0 ; x 1 = 2 et x 2 = 1, puisque q = 2 > 0 et p = - 3

x2 + 8x + 7 = 0 ; x 1 = - 7 et x 2 = - 1, puisque q = 7 > 0 et p = 8 > 0.

B) Si le terme libre q de l'équation donnée (1) est négatif (q 0 .

Par exemple,

x2 – 8x – 9 = 0 ; x 1 = 9 et x 2 = - 1, puisque q = - 9 et p = - 8

x2 + 4x – 5 = 0 ; x 1 = - 5 et x 2 = 1, puisque q= - 5 et p = 4 > 0.

1. Résoudre des équations en utilisant la méthode du « lancer ».

Considérons l'équation quadratique

En multipliant les deux côtés par a, on obtient l'équation une 2 x 2 + abx + ac = 0.

Soit ax = y, d'où x = y/a ; alors nous arrivons à l'équation y 2 + par + ac = 0,

est équivalent à cela.

Ses racines sont 1 et 2 on trouve en utilisant le théorème de Vieta et finalement :

x 1 = y 1 /a et x 1 = y 2 /a.

Avec cette méthode le coefficient UN multiplié par le terme libre, comme s'il lui était « jeté », c'est pourquoi on l'appelleméthode de transfert. Cette méthode est utilisée lorsque l'on peut facilement trouver les racines de l'équation à l'aide du théorème de Vieta et, surtout, lorsque le discriminant est un carré exact.

Exemple.

Résolvons l'équation 2x 2 – 11x + 15 = 0.

Solution. "Jetons" le coefficient 2 au terme libre, et nous obtenons ainsi l'équation

y 2 – 11 ans + 30 = 0.

D'après le théorème de Vieta

Oui 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5

Oui 2 = 6 ; x2 = 6/2 ; x2 = 3.

Réponse : 2,5 ; 3.

1. Propriétés des coefficients d'une équation quadratique.

1. Soit une équation quadratique hache 2 + bx + c = 0, où a ≠ 0.

1. Si a + b + c = 0 (c'est-à-dire que la somme des coefficients est nulle),

alors x 1 = 1, x 2 = s/a.

1. Si a – b + c=0, alors x 2 = -1, x 2 = -s/a

Exemples.

1. A. Résolvons l'équation 345x2 – 137x – 208 = 0.

Solution. Parce que a + b + c = 0 (345 – 137 – 208 = 0), Que

x 1 = 1, x 2 = c/a = -208/345.

Réponse 1; -208/345.

B. Résoudre l'équation 132x2 – 247x + 115 = 0.

Solution. Parce que a + b + c = 0 (132 – 247 + 115 = 0), Que

x 1 = 1, x 2 = c/a = 115/132.

Réponse 1; 115/132.

2) Résolvons l'équation 2x 2 + 3x +1= 0. Puisque 2 - 3+1=0, alors x 1 = - 1, x 2 = -c/a= -1/2

Réponse : x 1 = -1, x 2 = -1/2.

Cette méthode est pratique à appliquer aux équations quadratiques avec de grands coefficients.

2. Si le deuxième coefficient de l'équation b = 2k est un nombre pair, alors la formule racinepeut s'écrire sous la forme

Exemple.

Résolvons l'équation 3x 2 - 14x + 16 = 0.

Solution . Nous avons: a = 3, b = - 14 (k = -7), c = 16,

D 1 = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D 1 > 0, l'équation a deux racines différentes ;

Réponse : 2 ; 8/3

Équation réduite x 2 + px + q= 0 coïncide avec une équation générale dans laquelle a = 1, b = p et c = q . Par conséquent, pour l’équation quadratique donnée, la formule racine prend la forme

La formule () est pratique à utiliser lorsque p est un nombre pair.

Exemple. Résolvons l'équation x2 – 14x – 15 = 0.

Solution. Nous avons a = 1, b = -14, (k = -7), c = -15.

x 1,2 =7± =7 ± ,

x 1,2 = 15 ; x2 = -1.

Réponse : x 1 = 15 ; x2 = -1.

7.Solution graphique d'une équation quadratique.

ET En utilisant vos connaissances sur les fonctions quadratiques et linéaires et leurs graphiques, vous pouvez résoudre une équation quadratique avec ce qu'on appelleméthode graphique fonctionnelle.De plus, certaines équations quadratiques peuvent être résolues de différentes manières ; considérons ces méthodes en utilisant l’exemple d’une équation quadratique.

Exemple. Résous l'équation=0

1 manière . Traçons la fonctionen utilisant l'algorithme.

1) Nous avons :

Cela signifie que le sommet de la parabole est le point (1;-4) et que l'axe de la parabole est la droite x=1.

2) Prenez deux points sur l'axe des x symétriques par rapport à l'axe de la parabole, par exemple les points de la Fig. 2

X= -1 et x=3, alors f(-1)=f(3)=0.

3) A travers les points (-1;0), (1;-4), (3;0) on trace une parabole (Figure 2).

Racines des équationssont les abscisses des points d'intersection de la parabole avec l'axe des x ; Cela signifie que les racines de l'équation

Méthode 2

Transformons l'équation sous la forme.

Et (Figure 3).

Ils se croisent en deux points A(-1;1) et B(3;9). Les racines de l'équation sont les abscisses des points A et B, ce qui signifie.

Figure 3

3 voies

Transformons les équations sous la forme.

Construisons des graphiques de fonctions dans un système de coordonnéesEt (Fig.4) Ils se croisent en deux points A(-1;-2) et B (3;6). Les racines de l'équation sont les abscisses des points A et B, donc.

Figure 4

4 voies

Transformons l'équation en forme, puisceux.

Construisons une parabole dans un système de coordonnéeset direct . Ils se croisent aux points A(-1;4) et B(3;4). Les racines des équations sont les abscisses des points A et B, donc(Fig.5).

Figure 5

5 voies

En divisant les deux côtés de l'équation par x terme par terme, on obtient :

;

.

Figure 6

Construisons une hyperbole dans un système de coordonnéeset direct (Fig.6). Ils se croisent en deux points A(-1;-3) et B(3;1). Les racines des équations sont les abscisses des points A et B, donc.

Les quatre premières méthodes s'appliquent à toutes les équations de la forme

ah 2 + bх + c = 0, et le cinquième - uniquement à ceux pour lesquels c n'est pas égal à zéro.

Les méthodes graphiques pour résoudre des équations quadratiques sont belles, mais elles ne fournissent pas une garantie à 100 % de résolution d'une équation quadratique.

8. Résoudre des équations quadratiques à l'aide de compas et

Dirigeants.

Je propose la méthode suivante pour trouver les racines d'une équation quadratique hache 2 + bx + c = 0 à l'aide d'un compas et d'une règle (Fig. 7).

Supposons que le cercle souhaité coupe l'axe

abscisse en points B(x 1 ; 0) et D (x 2 ; 0), où x 1 et x 2 - racines de l'équation hache 2 + bx + c = 0 , et passe par les points

A(0; 1) et C(0; c/a) sur l'axe des ordonnées. Alors, d’après le théorème sécant, on a OB OD = OA OC, d'où OC = OB OD / OA = x 1 x 2 / 1 = c/a.

Le centre du cercle est au point d'intersection des perpendiculaires SF et SK , restitué au milieu des accords AC et BD, donc

Donc:

1) construire des points (centre du cercle) et UNE(0; 1) ;

2) tracez un cercle de rayon SA ;

3) abscisses des points d'intersection de ce cercle avec l'axe Oh sont les racines de l’équation quadratique originale.

Dans ce cas, trois cas sont possibles.

1) Le rayon du cercle est supérieur à l'ordonnée du centre(AS > SK, ou R > a + c/2a), le cercle coupe l'axe Ox en deux points (Fig. 8a) B(x 1 ; 0) et D(x 2 ; 0), où x 1 et x 2 - racines de l'équation quadratique hache 2 + bx + c = 0.

2) Le rayon du cercle est égal à l'ordonnée du centre(AS = SB, ou R = a + c/2a), le cercle touche l'axe Ox (Fig. 8b) au point B(x 1 ; 0), où x 1 - la racine d'une équation quadratique.

3) Le rayon du cercle est inférieur à l'ordonnée du centre

le cercle n'a pas de points communs avec l'axe des abscisses (Fig. 8c), dans ce cas l'équation n'a pas de solution.

Figure 8

un B C)

Exemple.

Résolvons l'équation x 2 - 2x - 3 = 0 (Fig. 9).

Solution. Déterminons les coordonnées du point central du cercle à l'aide des formules :

Traçons un cercle de rayon SA, où A (0 ; 1).

Réponse : x 1 = - 1 ; x2 = 3.

9. Résoudre des équations quadratiques en utilisant

Nomogrammes.

Il s'agit d'une méthode ancienne et actuellement oubliée de résolution d'équations quadratiques, placée à la p. 83 de la collection : Bradis V.M. Tableaux mathématiques à quatre chiffres. - M., Éducation, 1990.

Tableau XXII. Nomogramme pour résoudre l'équation z 2 + pz + q = 0. Ce nomogramme permet, sans résoudre l'équation quadratique, par son coefficient

là pour déterminer les racines de l’équation.

L'échelle curviligne du nomogramme est construite

selon les formules (Fig. 10) :

CroireOS = p, ED = q, OE = a(le tout en cm), à partir de

similarité des trianglesSANEtCDFon a

proportion

ce qui, après substitutions et simplifications, donne l'équation

z2 + pz + q = 0,

et la lettrezdésigne la marque de n’importe quel point sur une échelle courbe.

Exemples.

1) Pour l'équationz2 -9z + 8 = 0le nomogramme donne des racinesz1 = 8,0 Etz2 = 1,0 (Fig. 11).

Répondre:8,0 ; 1,0.

2) Résolvons-le avec l'aidenomogrammesl'équation

2z2 - 9z + 2 = 0.

Divisons les coefficients de cette équation par 2,

on obtient l'équationz2 - 4,5z + 1 = 0.

Le nomogramme donne des racinesz1 = 4 Etz2 = 0,5.

Réponse : 4 ; 0,5.

3) Pour l'équationz2 - 25z + 66 = 0les coefficients p et q sont hors de l'échelle, effectuons la substitutionz = 5 t, on obtient l'équationt2 - 5t + 2,64 = 0,

que nous résolvons à l'aide d'un nomogramme et obtenonst1 = 0,6 Ett2 = 4,4, oùz1 = 5 tonnes1 = 3,0 Etz2 = 5 tonnes2 = 22,0.

Réponse : 3 ; 22.

10. Méthode géométrique pour résoudre des équations quadratiques.

Dans les temps anciens, lorsque la géométrie était plus développée que l'algèbre, les équations quadratiques n'étaient pas résolues algébriquement, mais géométriquement. Je vais donner un exemple célèbre de « l'Algèbre » d'al-Khorezmi.

Exemples.

1) Résolvons l'équationX2 + 10x = 39.

Dans l'original, ce problème est formulé comme suit : « Un carré et dix racines font 39 » (Fig. 12).

Solution.Considérons un carré de côté x, des rectangles sont construits sur ses côtés de manière à ce que l'autre côté de chacun d'eux soit de 2,5, donc l'aire de chacun est de 2,5x. Le chiffre obtenu est ensuite complété par un nouveau carré ABCD, en construisant quatre carrés égaux dans les coins, le côté de chacun d'eux est de 2,5 et l'aire est de 6,25.

CarréScarréA B C Dpeut être représenté comme la somme des aires : le carré d'origineX2 , quatre rectangles(4 2,5x = 10x)et quatre carrés attachés(6,25 4 = 25) , c'est à dire.S=X2 +10x +25.Remplacement

X2 +10xnombre39 , on comprend çaS = 39 + 25 = 64, ce qui signifie que le côté du carréA B C D, c'est à dire. segment de ligneAB = 8. Pour le côté requisXon obtient le carré d'origine

2) Mais, par exemple, comment les anciens Grecs résolvaient l'équationà2 + 6у - 16 = 0.

Solutionprésenté sur la Fig. 13. où

à2 + 6y = 16, ou y2 + 6 ans + 9 = 16 + 9.

Solution.Expressionsà2 + 6у + 9Et16 + 9 représenter géométriquement

le même carré et l'équation originaleà2 + 6у - 16 + 9 - 9 = 0- la même équation. D'où nous tirons celay + 3 = ± 5,ouà1 = 2, oui2 = - 8 (riz. .

Figure 13

3) Résoudre l'équation géométriqueà2 - 6у - 16 = 0.

En transformant l'équation, on obtient

à2 - 6 ans = 16.

Sur la figure 14, nous trouvons des « images » de l'expressionà2 - 6u,ceux. de l'aire d'un carré de côté y, soustraire l'aire d'un carré de côté égal à3 . Cela signifie que si à l'expressionà2 - 6уajouter9 , alors on obtient l'aire d'un carré de côtéy - 3. Remplacer l'expressionà2 - 6уson nombre égal à 16,

on a:(o - 3)2 = 16 + 9, ceux.y - 3 = ± √25, ou y - 3 = ± 5, oùà1 = 8 Età2 = - 2.

Figure 14

Conclusion

Au cours de mes travaux de recherche, je crois avoir atteint mon but et mes objectifs, j'ai pu généraliser et systématiser le matériel étudié sur le sujet ci-dessus.

Il existe de nombreuses façons de résoudre des équations quadratiques. J'ai trouvé 10 façons de résoudre des équations quadratiques. Il convient de noter que tous ne sont pas faciles à résoudre, mais chacun d'eux est unique à sa manière. Certaines solutions permettent de gagner du temps, ce qui est important lors de la résolution des tâches des tests et des examens. Lorsque je travaille sur le sujet, je me suis donné pour tâche de découvrir quelles méthodes sont standard et lesquelles ne le sont pas.

Donc,méthodes standards(utilisé plus souvent lors de la résolution d'équations quadratiques) :

• Résoudre des équations quadratiques à l'aide de formules
• Théorème de Vieta
• Solution graphique des équations
• Factoriser le côté gauche
• Sélection d'un carré complet

Méthodes non standards :

• Solution en transférant des coefficients
• Propriétés des coefficients d'une équation quadratique
• Résoudre des équations quadratiques à l'aide d'un compas et d'une règle.
• Solution utilisant le nomogramme
• Méthode géométrique

En résolvant moi-même des équations quadratiques, j'ai tiré les conclusions suivantes : Afin de bien résoudre n'importe quelle équation quadratique, vous devez savoir :

formule pour trouver le discriminant ;

formule pour trouver les racines d'une équation quadratique ;

algorithmes pour résoudre des équations de ce type.

être capable de:

résoudre des équations quadratiques incomplètes ;

résoudre des équations quadratiques complètes ;

résoudre les équations quadratiques données ;

trouver des erreurs dans les équations résolues et les corriger ;

faire un contrôle.

Je pense que mon travail intéressera les élèves de 8e année, ainsi que ceux qui souhaitent apprendre à résoudre des équations quadratiques rationnelles et bien se préparer aux examens finaux. Pendant les cours de mathématiques, j'ai expliqué à mes camarades de classe les méthodes de résolution des équations quadratiques n°5 et 6, les gars les aimaient. Cela intéressera également les professeurs de mathématiques, puisque dans mon travail j'ai non seulement examiné les méthodes de résolution d'équations quadratiques, mais aussi l'histoire de leur développement.

Llittérature

1. Mordkovich, A. G. Algèbre, 8e année. Manuel pour les établissements d'enseignement / A.G. Mordkovitch.-M. : Mnémosyne 2011.-260 p.
2. Mordkovitch, A.G. Algèbre.8e année. Cahier de problèmes pour les établissements d'enseignement / A.G. Mordkovitch.-M. : Mnémosyne 2011.-270 p.
3. Glaser, G.I. Histoire des mathématiques à l'école / G.I. Glazer.-M. : Lumières, 1982- 340 p.
4. Gusev, V.A. Mathématiques. Documents de référence/ V.A. Gusev, A.G. Mordkovitch - M. : Éducation, 1988, 372 p.
5. Bradis, V.M. Tableaux mathématiques à quatre chiffres pour le secondaire / V.M., Bradis-M. : Education, 1990-
6. Théorème de Vieta – Mode d'accès :.http://phizmat.org.ua/2009-10-27-13-31-30/817-stihi-o-fransua-vieta / Théorème de Vieta(ressources d'accès à distance (Internet)). 10/12/2013.
7. Equations quadratiques – Mode d'accès :http://revolution.allbest.ru/pedagogics/00249255_0.html (ressources d'accès à distance (Internet)). 10.01.2014.