Le programme de résolution des inégalités linéaires, quadratiques et fractionnaires donne non seulement la réponse au problème, il fournit une solution détaillée avec des explications, c'est-à-dire affiche le processus de résolution pour tester les connaissances en mathématiques et/ou en algèbre.

De plus, si dans le processus de résolution de l'une des inégalités, il est nécessaire de résoudre, par exemple, une équation quadratique, alors sa solution détaillée est également affichée (elle est contenue dans un spoiler).

Ce programme peut être utile aux élèves du secondaire pour se préparer aux examens et aux parents pour suivre la manière dont leurs enfants résolvent les inégalités.

Ce programme peut être utile aux lycéens des écoles d'enseignement général lors de la préparation des tests et des examens, lors du test des connaissances avant l'examen d'État unifié et aux parents pour contrôler la solution de nombreux problèmes de mathématiques et d'algèbre.

Ou peut-être que cela vous coûte trop cher d’embaucher un tuteur ou d’acheter de nouveaux manuels ? Ou souhaitez-vous simplement terminer vos devoirs de mathématiques ou d’algèbre le plus rapidement possible ? Dans ce cas, vous pouvez également utiliser nos programmes avec des solutions détaillées.

De cette façon, vous pouvez organiser votre propre formation et/ou celle de vos jeunes frères ou sœurs, tandis que le niveau d'éducation dans le domaine de la résolution de problèmes augmente.

Règles de saisie des inégalités
N'importe quelle lettre latine peut servir de variable.

Par exemple : \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.
Les nombres peuvent être saisis sous forme de nombres entiers ou fractionnaires.

De plus, les nombres fractionnaires peuvent être saisis non seulement sous forme décimale, mais également sous forme de fraction ordinaire.
Règles de saisie des fractions décimales.
Dans les fractions décimales, la partie fractionnaire peut être séparée de la partie entière par un point ou une virgule.

Par exemple, vous pouvez saisir des décimales comme ceci : 2,5x - 3,5x^2
Règles de saisie des fractions ordinaires.

Seul un nombre entier peut servir de numérateur, de dénominateur et de partie entière d’une fraction.

Le dénominateur ne peut pas être négatif. /
Lors de la saisie d'une fraction numérique, le numérateur est séparé du dénominateur par un signe de division : &
La partie entière est séparée de la fraction par le signe esperluette :
Entrée : 3&1/3 - 5&6/5a +1/7a^2

Vous pouvez utiliser des parenthèses lors de la saisie d'expressions. Dans ce cas, lors de la résolution des inégalités, les expressions sont d'abord simplifiées.
Par exemple: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)

Sélectionnez le signe d'inégalité souhaité et saisissez les polynômes dans les champs ci-dessous.

Il a été découvert que certains scripts nécessaires à la résolution de ce problème n'étaient pas chargés et que le programme pouvait ne pas fonctionner.
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Parce que Il y a beaucoup de personnes prêtes à résoudre le problème, votre demande a été mise en file d'attente.
Dans quelques secondes, la solution apparaîtra ci-dessous.
S'il vous plaît, attendez seconde...

Si tu remarqué une erreur dans la solution, vous pourrez alors écrire à ce sujet dans le formulaire de commentaires.
N'oublie pas indiquer quelle tâche tu décides quoi entrez dans les champs.

Nos jeux, puzzles, émulateurs :

Un peu de théorie.

Systèmes d'inégalités à une inconnue. Intervalles numériques

Vous vous êtes familiarisé avec le concept de système en 7e et avez appris à résoudre des systèmes d'équations linéaires à deux inconnues. Nous considérerons ensuite des systèmes d’inégalités linéaires à une inconnue. Des ensembles de solutions à des systèmes d'inégalités peuvent être écrits à l'aide d'intervalles (intervalles, demi-intervalles, segments, rayons). Vous vous familiariserez également avec la notation des intervalles numériques.

Si dans les inégalités \(4x > 2000\) et \(5x \leq 4000\) l'inconnu x est le même, alors ces inégalités sont considérées ensemble et on dit qu'elles forment un système d'inégalités : $$ \left\ (\begin( array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array)\right $$.

L'accolade montre que vous devez trouver des valeurs de x pour lesquelles les deux inégalités du système se transforment en inégalités numériques correctes. Ce système est un exemple de système d'inégalités linéaires à une inconnue.

La solution d'un système d'inégalités à une inconnue est la valeur de l'inconnue à laquelle toutes les inégalités du système se transforment en véritables inégalités numériques. Résoudre un système d’inégalités, c’est trouver toutes les solutions à ce système ou établir qu’il n’y en a pas.

Les inégalités \(x \geq -2 \) et \(x \leq 3 \) peuvent s'écrire sous la forme d'une double inégalité : \(-2 \leq x \leq 3 \).

Les solutions aux systèmes d'inégalités à une inconnue sont divers ensembles numériques. Ces ensembles ont des noms. Ainsi, sur l'axe des nombres, l'ensemble des nombres x tels que \(-2 \leq x \leq 3 \) est représenté par un segment dont les extrémités sont aux points -2 et 3.

Si \(a est un segment et est noté [a; b]

Si \(a est un intervalle et est noté (a; b)

Les ensembles de nombres \(x\) satisfaisant les inégalités \(a \leq x sont des demi-intervalles et sont notés respectivement [a; b) et (a; b]

Les segments, intervalles, demi-intervalles et rayons sont appelés intervalles numériques.

Ainsi, les intervalles numériques peuvent être spécifiés sous forme d'inégalités.

La solution d’une inégalité à deux inconnues est une paire de nombres (x; y) qui transforme l’inégalité donnée en une véritable inégalité numérique. Résoudre une inégalité, c’est trouver l’ensemble de toutes ses solutions. Ainsi, les solutions de l'inégalité x > y seront, par exemple, des couples de nombres (5 ; 3), (-1 ; -1), puisque \(5 \geq 3 \) et \(-1 \geq - 1\)

Résoudre les systèmes d’inégalités

Vous avez déjà appris à résoudre des inégalités linéaires à une inconnue. Savez-vous ce qu’est un système d’inégalités et une solution au système ? Par conséquent, le processus de résolution de systèmes d'inégalités à une inconnue ne vous posera aucune difficulté.

Et pourtant, rappelons-le : pour résoudre un système d'inégalités, il faut résoudre chaque inégalité séparément, puis trouver l'intersection de ces solutions.

Par exemple, le système originel d’inégalités a été réduit à la forme :
$$ \left\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\right. $$

Pour résoudre ce système d'inégalités, marquez la solution de chaque inégalité sur la droite numérique et trouvez leur intersection :

L'intersection est le segment [-2; 3] - c'est la solution au système originel d'inégalités.

Établissement d'enseignement budgétaire municipal

"L'école secondaire n°26

avec une étude approfondie de sujets individuels"

ville de Nijnekamsk de la République du Tatarstan

Notes de cours de mathématiques
en 8ème année

Résoudre les inégalités avec une seule variable

et leurs systèmes

préparé

professeur de mathématiques

première catégorie de qualification

Kungurova Gulnaz Rafaelovna

Nijnekamsk 2014

Plan de cours

Enseignant : Kungurova G.R.

Matière : mathématiques

Sujet : « Résoudre les inégalités linéaires avec une variable et leurs systèmes. »

Classe : 8B

Date : 04/10/2014

Type de cours : leçon de généralisation et de systématisation du matériel étudié.

Objectif de la leçon : consolidation des compétences pratiques dans la résolution des inégalités à une variable et de leurs systèmes, inégalités contenant une variable sous le signe du module.

Objectifs de la leçon :

Pédagogique:

généralisation et systématisation des connaissances des étudiants sur les moyens de résoudre les inégalités à une variable ;

expansion du type d'inégalités : inégalités doubles, inégalités contenant une variable sous le signe du module, systèmes d'inégalités ;

établir des liens interdisciplinaires entre les mathématiques, la langue russe et la chimie.

Pédagogique:

activation de l'attention, de l'activité mentale, développement du discours mathématique, intérêt cognitif chez les élèves ;

maîtriser les méthodes et critères d'auto-évaluation et de maîtrise de soi.

Pédagogique:

favoriser l’indépendance, la précision et la capacité à travailler en équipe

Méthodes de base utilisées dans la leçon: communicatif, explicatif-illustratif, reproductif, méthode de contrôle programmé.

Équipement:

ordinateur

présentation informatique

monoblocs (réalisation d'un test individuel en ligne)

documents à distribuer (tâches individuelles à plusieurs niveaux);

fiches d'autocontrôle;

Plan de cours :

1. Moment organisationnel.

4. Travail indépendant

5. Réflexion

6. Résumé de la leçon.

Progression de la leçon :

1. Moment organisationnel.

(L'enseignant indique aux élèves les buts et objectifs de la leçon.).

Aujourd'hui, nous sommes confrontés à une tâche très importante. Il faut résumer ce sujet. Encore une fois, il faudra travailler très soigneusement sur des questions théoriques, faire des calculs et réfléchir à l'application pratique de ce sujet dans notre vie quotidienne. Et nous ne devons jamais oublier la façon dont nous raisonnons, analysons et construisons des chaînes logiques. Notre discours doit toujours être compétent et correct.

Chacun de vous a une feuille de maîtrise de soi sur son bureau. Tout au long de la leçon, n'oubliez pas de marquer vos contributions à cette leçon avec un signe « + ».

L'enseignant donne des devoirs en les commentant :

№1026(a,b), n° 1019(c,d) ; en plus - n° 1046(a)

2. Actualisation des connaissances, des compétences et des aptitudes

1) Avant de commencer à effectuer des tâches pratiques, passons à la théorie.

L'enseignant annonce le début de la définition et les élèves doivent compléter la formulation.

a) Une inégalité dans une variable est une inégalité de la forme ax>b, ax<в;

b) Résoudre une inégalité signifie trouver toutes ses solutions ou prouver qu'il n'y a pas de solutions ;

c) La solution d'une inégalité à une variable est la valeur de la variable qui la transforme en une véritable inégalité ;

d) Les inégalités sont dites équivalentes si leurs ensembles de solutions coïncident. S'ils n'ont pas de solutions, ils sont aussi appelés équivalents.

2) Au tableau, il y a des inégalités à une variable, disposées dans une colonne. Et à côté, dans une autre colonne, leurs solutions sont écrites sous forme d'intervalles numériques. La tâche des étudiants est d'établir une correspondance entre les inégalités et les intervalles correspondants.

Établir une correspondance entre inégalités et intervalles numériques :

1. 3x > 6 a) (-∞ ; - 0,2]

2. -5x ≥ 1 b) (- ∞ ; 15)

3. 4x > 3 c) (2 ; + ∞)

4. 0,2x< 3 г) (0,75; + ∞)

3) Travaux pratiques sur cahier avec autotest.

Les élèves écrivent au tableau une inégalité linéaire dans une variable. Ceci fait, l'un des étudiants exprime sa décision et les erreurs commises sont corrigées)

Résoudre l'inégalité :

4 (2x - 1) - 3(x + 6) > x ;

8x - 4 - 3x - 18 > x ;

8x - 3x – x > 4+18 ;

4x > 22 ;

x > 5,5.

Répondre. (5,5 ; +∞)

3. Application pratique des inégalités dans la vie quotidienne (expérience chimique)

Les inégalités dans notre vie quotidienne peuvent être d’une grande aide. Et en plus, bien sûr, il existe un lien inextricable entre les matières scolaires. Les mathématiques vont de pair non seulement avec la langue russe, mais aussi avec la chimie.

(Sur chaque pupitre se trouve une échelle de référence pour la valeur du pH, allant de 0 à 12)

Si indicateur 0 ≤ pH< 7, то среда кислая;

si pH = 7, alors le milieu est neutre ;

si l'indicateur est 7< pH ≤ 12, то среда щелочная

L'enseignant verse 3 solutions incolores dans différents tubes à essai. Dès le cours de chimie, il est demandé aux étudiants de mémoriser les types de milieux en solution (acide, neutre, alcalin). Ensuite, expérimentalement, avec la participation des étudiants, l'environnement de chacune des trois solutions est déterminé. Pour ce faire, un indicateur universel est descendu dans chaque solution. Ce qui se passe, c'est que chaque indicateur est coloré en conséquence. Et selon la palette de couleurs, grâce à l'échelle standard, les élèves établissent l'environnement de chacune des solutions proposées.

Conclusion:

1 indicateur devient rouge, indicateur 0 ≤ pH< 7, значит среда первого раствора кислая, т.е. имеем кислоту в 1пробирке

L'indicateur 2 est devenu vert, pH = 7, ce qui signifie que le milieu de la deuxième solution est neutre, c'est à dire que nous avions de l'eau dans le tube à essai 2

L'indicateur 3 devient bleu, l'indicateur 7< pH ≤ 12 , значит среда третьего раствора щелочная, значит в 3 пробирке была щелочь

Connaissant les limites de pH, vous pouvez déterminer le niveau d’acidité du sol, du savon et de nombreux produits cosmétiques.

Mise à jour continue des connaissances, des compétences et des aptitudes.

1) Encore une fois, l'enseignant commence à formuler des définitions et les élèves doivent les compléter

Continuer les définitions :

a) Résoudre un système d'inégalités linéaires signifie trouver toutes ses solutions ou prouver qu'il n'y en a pas

b) La solution d'un système d'inégalités à une variable est la valeur de la variable pour laquelle chacune des inégalités est vraie

c) Pour résoudre un système d'inégalités à une variable, vous devez trouver une solution à chaque inégalité et trouver l'intersection de ces intervalles

L'enseignant rappelle à nouveau aux élèves que la capacité de résoudre des inégalités linéaires avec une variable et leurs systèmes est la base, la base d'inégalités plus complexes qui seront étudiées dans les classes supérieures. Un socle de connaissances est posé dont la solidité devra être confirmée à l'OGE en mathématiques après la 9e.

Les élèves résolvent des systèmes d'inégalités linéaires avec une variable dans leur cahier. (2 élèves réalisent ces tâches au tableau, expliquent leur solution, expriment les propriétés des inégalités utilisées pour résoudre les systèmes).

№1012(d). Résoudre un système d'inégalités linéaires

0,3x+1< 0,4х-2;

1,5x-3 > 1,3x-1. Répondre. (30 ; +∞).

№1028(d). Résolvez la double inégalité et listez tous les entiers qui sont sa solution

1 < (4-2х)/3 < 2 . Ответ. Целое число: 0

2) Résoudre des inégalités contenant une variable sous le signe du module.

La pratique montre que les inégalités contenant une variable sous le signe du module provoquent de l'anxiété et un doute de soi chez les étudiants. Et souvent, les étudiants ne prennent tout simplement pas conscience de ces inégalités. Et la raison en est une base mal posée. L'enseignant encourage les élèves à travailler sur eux-mêmes en temps opportun et à apprendre systématiquement toutes les étapes pour réussir à combler ces inégalités.

Un travail oral est réalisé. (Enquête frontale)

Résolution d'inéquations contenant une variable sous le signe du module :

1. Le module d'un nombre x est la distance de l'origine au point de coordonnée x.

| 35 | = 35,

| - 17 | = 17,

| 0 | = 0

2. Résoudre les inégalités :

une) | X |< 3 . Ответ. (-3 ; 3)

b) | X | > 2. Répondre. (- ∞; -2) U (2; +∞)

L'avancement de la résolution de ces inégalités est affiché en détail sur l'écran et l'algorithme de résolution des inégalités contenant une variable sous le signe du module est précisé.

4. Travail indépendant

Afin de contrôler le degré de maîtrise de ce sujet, 4 étudiants prennent place aux monoblocs et passent des tests thématiques en ligne. La durée du test est de 15 minutes. Une fois terminé, un autotest est effectué à la fois en points et en pourcentage.

Le reste des étudiants à leur pupitre effectue un travail indépendant en variantes.

Travail indépendant (délai de réalisation 13 minutes)

Option 1

Option 2

1. Résoudre les inégalités :

a) 6+x< 3 - 2х;

b) 0,8(x-3) - 3,2 ≤ 0,3(2 -x).

3(x+1) - (x-2)< х,

2 > 5x - (2x-1) .

-6 < 5х - 1 < 5

4*. (En plus)

Résoudre l'inégalité :

| 2- 2x | ≤ 1

1. Résoudre les inégalités :

a) 4+x< 1 - 2х;

b) 0,2(3x - 4) - 1,6 ≥ 0,3(4-3x).

2. Résoudre le système d'inégalités :

2(x+3) - (x-8)< 4,

6x > 3(x+1)-1.

3. Résoudre la double inégalité :

-1 < 3х - 1 < 2

4*. (En plus)

Résoudre l'inégalité :

| 6x-1 | ≤ 1

Après avoir effectué un travail indépendant, les étudiants remettent leurs cahiers pour vérification. Les élèves ayant travaillé sur des monoblocs remettent également leurs cahiers au professeur pour vérification.

5. Réflexion

L'enseignant rappelle aux élèves les fiches de maîtrise de soi, sur lesquelles ils devaient évaluer leur travail par un « + » tout au long du cours, à ses différentes étapes.

Mais les étudiants ne devront donner l'évaluation principale de leurs activités que maintenant, après avoir prononcé une ancienne parabole.

Parabole.

Un sage marchait et 3 personnes l'ont rencontré. Ils transportaient des charrettes avec des pierres sous le soleil brûlant pour la construction du temple.

Le sage les arrêta et demanda :

- Qu'as-tu fait toute la journée ?

"J'ai porté ces foutues pierres", répondit le premier.

«J'ai fait mon travail consciencieusement», répond le second.

"Et j'ai participé à la construction du temple", répondit fièrement le troisième.

Dans les fiches de maîtrise de soi, au point n°3, les élèves doivent saisir une phrase qui correspondrait à leurs actions dans cette leçon.

Fiche de maîtrise de soi ________________________________________________________

№ n /n

Étapes de la leçon

Évaluation des activités éducatives

Travail oral en classe

Partie pratique :

Résoudre les inégalités avec une variable ;

résoudre les systèmes d'inégalités;

résoudre les doubles inégalités ;

résoudre des inégalités avec le signe du module

Réflexion

Aux paragraphes 1 et 2, marquez les bonnes réponses de la leçon avec un signe « + » ;

au paragraphe 3, évaluez votre travail en classe selon les instructions

6. Résumé de la leçon.

L'enseignant, résumant la leçon, note les moments réussis et les problèmes sur lesquels un travail supplémentaire reste à faire.

Les étudiants sont invités à évaluer leur travail selon des fiches de maîtrise de soi, et les étudiants reçoivent une note supplémentaire basée sur les résultats d'un travail indépendant.

A la fin du cours, l'enseignant attire l'attention des élèves sur les paroles du scientifique français Blaise Pascal : « La grandeur d'une personne réside dans sa capacité de penser. »

Références :

1 . Algèbre. 8e année. Yu.N.Makarychev, N.G. Mindyuk, K.E. Neshkov, I.E. Feoktistov.-M. :

Mnémosyne, 2012

2. Algèbre.8e année. Matériel didactique. Recommandations méthodologiques / I.E. Feoktistov.

2e édition., St.-M. : Mnémosyne, 2011

3. Matériel de test et de mesure : Algèbre : 8e année / Compilé par L.I. Martyshova.-

M. : VAKO, 2010

Ressources Internet :

Sujet de cours : Résolution d'un système d'inégalités linéaires avec une variable

Date: _______________

Classe : 6a, 6b, 6c

Type de cours : apprentissage de nouveaux matériaux et consolidation primaire.

Objectif didactique : créer les conditions de prise de conscience et de compréhension d'un bloc de nouvelles informations pédagogiques.

Objectifs : 1) Éducatif : introduire les concepts : solution de systèmes d'inégalités, systèmes d'inégalités équivalents et leurs propriétés ; apprendre à appliquer ces concepts lors de la résolution de systèmes simples d'inégalités à une variable.

2) Développement : promouvoir le développement d'éléments d'activité créative et indépendante des étudiants ; développer la parole, la capacité de penser, d'analyser, de généraliser, d'exprimer vos pensées de manière claire et concise.

3) Éducatif : favoriser une attitude respectueuse les uns envers les autres et une attitude responsable envers le travail éducatif.

Tâches :

répéter la théorie sur le thème des inégalités numériques et des intervalles numériques ;

donner un exemple de problème qui peut être résolu par un système d'inégalités ;

considérer des exemples de résolution de systèmes d'inégalités ;

faire un travail indépendant.

Formes d'organisation d'activités pédagogiques :- frontal – collectif – individuel.

Méthodes : explicatif - illustratif.

Plan de cours :

1. Moment organisationnel, motivation, définition d'objectifs

2. Actualisation de l'étude du sujet

3. Apprendre du nouveau matériel

4. Consolidation primaire et application de nouveau matériel

5. Faire un travail indépendant

7. Résumer la leçon. Réflexion.

Progression de la leçon :

1. Moment organisationnel

Les inégalités peuvent être d’une grande aide. Il vous suffit de savoir quand vous tourner vers lui pour obtenir de l'aide. La formulation des problèmes dans de nombreuses applications des mathématiques est souvent formulée dans le langage des inégalités. Par exemple, de nombreux problèmes économiques se résument à l’étude de systèmes d’inégalités linéaires. Il est donc important de pouvoir résoudre les systèmes d’inégalités. Que signifie « résoudre un système d’inégalités » ? C'est ce que nous allons examiner dans la leçon d'aujourd'hui.

2. Actualisation des connaissances.

Travail oral avec classe, trois étudiants travaillent avec des cartes individuelles.

Pour revoir la théorie du sujet « Les inégalités et leurs propriétés », nous effectuerons des tests, suivis d'une vérification et d'une conversation sur la théorie de ce sujet. Chaque tâche de test nécessite la réponse « Oui » - chiffre, « Non » - chiffre ____

Le résultat du test devrait être une sorte de chiffre.

(répondre: ).

Établir une correspondance entre inégalité et intervalle numérique

1. (– ; – 0,3)

2. (3; 18)

3. [ 12; + )

4. (– 4; 0]

5. [ 4; 12]

6. [ 2,5; 10)

« Les mathématiques vous apprennent à surmonter les difficultés et à corriger vos propres erreurs. » Trouvez l'erreur dans la résolution de l'inégalité, expliquez pourquoi l'erreur a été commise, notez la bonne solution dans votre cahier.

2x<8-6

x>-1

3. Étudier du nouveau matériel.

Selon vous, qu’appelle-t-on une solution à un système d’inégalités ?

(La solution d'un système d'inégalités à une variable est la valeur de la variable pour laquelle chacune des inégalités du système est vraie)

Que signifie « Résoudre un système d’inégalités » ?

(Résoudre un système d'inégalités, c'est trouver toutes ses solutions ou prouver qu'il n'y a pas de solutions)

Que faut-il faire pour répondre à la question « est-ce qu'un nombre donné

solution à un système d’inégalités ?

(Remplacez ce nombre par les deux inégalités du système, si les inégalités sont vraies, alors le nombre donné est une solution au système d'inégalités, si les inégalités sont incorrectes, alors le nombre donné n'est pas une solution au système d'inégalités)

Formuler un algorithme pour résoudre des systèmes d'inégalités

1. Résolvez chaque inégalité du système.

2. Représentez graphiquement les solutions de chaque inéquation sur la ligne de coordonnées.

3. Trouvez l'intersection des solutions aux inégalités sur la ligne de coordonnées.

4. Écrivez la réponse sous forme d’intervalle numérique.

Prenons des exemples :

Répondre:

Réponse : aucune solution

4. Sécuriser le sujet.

Travailler avec le manuel n° 1016, n° 1018, n° 1022

5. Travail indépendant selon les options (Fiches de tâches pour les élèves sur les tables)

Travail indépendant

Option 1

Résoudre le système d’inégalités :

1. Le concept d'inégalité à une variable

2. Inégalités équivalentes. Théorèmes sur l'équivalence des inégalités

3. Résoudre les inégalités avec une seule variable

4. Solution graphique des inégalités à une variable

5. Inégalités contenant une variable sous le signe du module

6. Principales conclusions

Inégalités à une variable

Offres 2 X + 7 > 10, x 2 +7x< 2,(х + 2)(2х-3)> 0 sont appelées inégalités à une variable.

De manière générale, cette notion est définie comme suit :

Définition. Soit f(x) et g(x) deux expressions de variable x et de domaine X. Alors une inégalité de la forme f(x) > g(x) ou f(x)< g(х) называется неравенством с одной переменной. Мно­жество X называется областью его определения.

Valeur variable x de beaucoup X, dans lequel l'inégalité se transforme en une véritable inégalité numérique est appelée décision. Résoudre une inégalité signifie y trouver de nombreuses solutions.

Ainsi, en résolvant l’inégalité 2 x + 7 > 10 -x,x? R. est le numéro x= 5, puisque 2 5 + 7 > 10 - 5 est une véritable inégalité numérique. Et l'ensemble de ses solutions est l'intervalle (1, ∞), qui se trouve en effectuant la transformation de l'inégalité : 2 x + 7 > 10-x => 3x >3 => x >1.

Inégalités équivalentes. Théorèmes sur l'équivalence des inégalités

La base pour résoudre les inégalités à une variable est le concept d'équivalence.

Définition. Deux inégalités sont dites équivalentes si leurs ensembles de solutions sont égaux.

Par exemple, les inégalités 2 x+ 7 > 10 et 2 x> 3 sont équivalents, puisque leurs ensembles de solutions sont égaux et représentent l'intervalle (2/3, ∞).

Les théorèmes sur l'équivalence des inégalités et leurs conséquences sont similaires aux théorèmes correspondants sur l'équivalence des équations. Leur preuve utilise les propriétés de véritables inégalités numériques.

Théorème 3. Laissez l'inégalité f(x) > g(x) défini sur le plateau X Et h(x) est une expression définie sur le même ensemble. Ensuite les inégalités f(x) > g(x) et f(x)+ h(x) > g(x) + h(x) sont équivalents sur le plateau X.

De ce théorème découlent des corollaires, qui sont souvent utilisés pour résoudre des inégalités :

1) Si des deux côtés de l'inégalité f(x) > g(x) ajouter le même numéro d, alors on obtient l'inégalité f(x) + ré > g(x)+ ré,équivalent à celui d'origine.

2) Si un terme (expression numérique ou expression avec une variable) est transféré d'une partie de l'inégalité à une autre, en changeant le signe du terme en sens inverse, alors nous obtenons une inégalité équivalente à celle donnée.

Théorème 4. Laissez l'inégalité f(x) > g(x) défini sur le plateau X Et h(X X de beaucoup X expression h(x) prend des valeurs positives. Ensuite les inégalités f(x) > g(x) et f(x) h(x) > g(x) h(x) sont équivalents sur le plateau X.

f(x) > g(x) multiplier par le même nombre positif d, alors on obtient l'inégalité f(x)d > g(x)d,équivalent à ceci.

Théorème 5. Laissez l'inégalité f(x) > g(x) défini sur le plateau X Et h(X) - une expression définie sur le même ensemble, et pour tous X il y en a beaucoup X expression h(X) prend des valeurs négatives. Ensuite les inégalités f(x) > g(x) et f(x) h(x) > g(x) h(x) sont équivalents sur le plateau X.

Un corollaire découle de ce théorème : si les deux côtés de l’inégalité f(x) > g(x) multiplier par le même nombre négatif d et changeons le signe de l'inégalité par le signe opposé, nous obtenons l'inégalité f(x)d > g(x)d,équivalent à ceci.

Résoudre les inégalités avec une seule variable

Résolvons les inégalités 5 X - 5 < 2х - 16, X? R., et nous justifierons toutes les transformations que nous effectuerons dans le processus de solution.

Résoudre les inégalités X < 7 является промежуток (-∞, 7) и, сле­довательно, множеством решений неравенства 5X - 5 < 2x + 16 est l'intervalle (-∞, 7).

Exercices

1. Déterminez lesquelles des entrées suivantes sont des inégalités à une variable :

une) -12 - 7 X< 3x+ 8 ; d) 12 x + 3(X- 2);

b) 15( x+2)>4 ; e) 17-12,8 ;

c) 17-(13 + 8)< 14-9; е) 2x 2+ 3x-4> 0.

2. Le chiffre 3 est-il une solution à l'inégalité 6(2x + 7) < 15(X + 2), X? R.? Et le nombre 4,25 ?

3. Les paires d'inégalités suivantes sont-elles équivalentes sur l'ensemble des nombres réels :

une) -17 X< -51 и X > 3;

b) (3 x-1)/4 >0 et 3 X-1>0;

c) 6-5 x>-4 et X<2?

4. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies :

une) -7 X < -28 => x>4;

b) x < 6 => x < 5;

V) X< 6 => X< 20?

5. Résoudre l'inégalité 3( x - 2) - 4(X + 1) < 2(х - 3) - 2 et justifiez toutes les transformations que vous allez effectuer.

6. Prouver qu'en résolvant l'inégalité 2(x+ 1) + 5 > 3 - (1 - 2X) est n’importe quel nombre réel.

7. Montrer qu’il n’existe pas de nombre réel qui serait une solution à l’inégalité 3(2 - X) - 2 > 5 - 3X.

8. Un côté du triangle mesure 5 cm et l'autre 8 cm. Quelle peut être la longueur du troisième côté si le périmètre du triangle est :

a) moins de 22 cm ;

b) plus de 17 cm ?

SOLUTION GRAPHIQUE DES INÉGALITÉS À UNE VARIABLE. Pour résoudre graphiquement l’inégalité f (x) > g (x) besoin de construire des graphiques de fonctions

y = f (x) = g (x) et sélectionnez les intervalles de l'axe des abscisses sur lesquels le graphique de la fonction y = f(x) situé au dessus du graphique de la fonction y = g(x).

Exemple 17.8. Résoudre graphiquement l'inégalité x2- 4 > 3X.

Solution. Construisons des graphiques de fonctions dans un système de coordonnées

y = x 2 - 4 et y = Zx (Fig. 17.5). La figure montre que les graphiques des fonctions à= x2- 4 est situé au dessus du graphique de la fonction y = 3 Xà X< -1 et x > 4, c'est-à-dire l'ensemble des solutions à l'inégalité initiale est l'ensemble

(- ¥; -1) È (4; + ouh) .

Réponse : x О(- oo; -1) et ( 4; +oo).

Graphique d'une fonction quadratique à= hache 2 + bx + c est une parabole dont les branches pointent vers le haut si un > 0, et vers le bas si UN< 0. Dans ce cas, trois cas sont possibles : la parabole coupe l'axe Oh(c'est-à-dire l'équation ah 2+ bx+ c = 0 a deux racines différentes) ; la parabole touche l'axe X(c'est-à-dire l'équation hache 2 + bx+ c = 0 a une racine); la parabole ne coupe pas l'axe Oh(c'est-à-dire l'équation ah 2+ bx+ c = 0 n'a pas de racines). Ainsi, il y a six positions possibles de la parabole, qui sert de graphique à la fonction y = ah 2+ b x + c(Fig. 17.6). À l’aide de ces illustrations, vous pouvez résoudre des inégalités quadratiques.

Exemple 17.9. Résoudre l'inégalité : a) 2 x g+ 5x - 3 > 0 ; b) -Zx2- 2x- 6 < 0.

Solution, a) L'équation 2x 2 + 5x -3 = 0 a deux racines : x, = -3, x2 = 0,5. Parabole servant de graphique à une fonction à= 2x 2+ 5x -3, illustré à la Fig. UN. Inégalité 2x 2+ 5x -3 > 0 est satisfait pour ces valeurs X, pour lequel les points de la parabole se situent au-dessus de l'axe Oh: ce sera à X< х х ou quand X> xg> ceux. à X< -3 ou à x > 0,5. Cela signifie que l'ensemble des solutions à l'inégalité d'origine est l'ensemble de (- ¥ ; -3) et (0,5 ; + ¥).

b) Équation -Зх 2 + 2x- 6 = 0 n’a pas de vraies racines. Parabole servant de graphique à une fonction à= - 3x2 - 2x - 6, représenté sur la fig. 17.6 Inégalité -3x 2 - 2x - 6 < О выполняется при тех значениях X, pour lequel les points de la parabole se situent en dessous de l'axe Oh. Puisque toute la parabole se trouve en dessous de l'axe Oh, alors l'ensemble des solutions à l'inégalité d'origine est l'ensemble R .

INÉGALITÉS CONTENANT UNE VARIABLE SOUS LE SIGNE DU MODULE. Lors de la résolution de ces inégalités, il convient de garder à l’esprit que :

|f(x) | =

f(x), Si f(x) ³ 0,

- f(x), Si f(x) < 0,

Dans ce cas, la plage des valeurs admissibles de l'inégalité doit être divisée en intervalles, dans chacun desquels les expressions sous le signe du module conservent leur signe. Ensuite, en développant les modules (en tenant compte des signes des expressions), vous devez résoudre l'inégalité sur chaque intervalle et combiner les solutions résultantes en un ensemble de solutions à l'inégalité d'origine.

Exemple 17.10. Résoudre l'inégalité :

|x -1| + |2-x| > 3+x.

Solution. Les points x = 1 et x = 2 divisent l'axe numérique (ODZ de l'inégalité (17,9) en trois intervalles : x< 1, 1 £ х £.2, х >2. Résolvons cette inégalité pour chacun d’eux. Si x< 1, то х - 1 < 0 и 2 – х >0 ; donc |x -1| = - (x - je), |2 - x | = 2 - x. Cela signifie que l'inégalité (17.9) prend la forme : 1- x + 2 - x > 3 + x, c'est-à-dire X< 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.

Si 1 £ x £.2, alors x - 1 ³ 0 et 2 – x ³ 0 ; donc | x-1| = x - 1, |2 - x| = 2 – x. Cela signifie que le système contient :

x – 1 + 2 – x > 3 + x,

Le système d’inégalités qui en résulte n’a pas de solutions. Par conséquent, sur l'intervalle [ 1; 2] l’ensemble des solutions aux inégalités (17.9) est vide.

Si x > 2, alors x - 1 >0 et 2 – x<0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:

x -1 + x – 2 > 3+x,

x > 6 ou

En combinant les solutions trouvées sur toutes les parties de l'inégalité ODZ (17.9), nous obtenons sa solution - l'ensemble (-¥; 0) È (6; +oo).

Parfois, il est utile d'utiliser l'interprétation géométrique du module d'un nombre réel, selon laquelle | un | désigne la distance du point a de la ligne de coordonnées à l'origine O, a | un-b | désigne la distance entre les points a et b sur la ligne de coordonnées. Alternativement, vous pouvez utiliser la méthode consistant à mettre au carré les deux côtés de l’inégalité.

Théorème 17.5. Si les expressions f(x) et g(x) pour tout x ne prendre que des valeurs non négatives, alors les inégalités f (x) > g (x) Et f (x) ² > g (x) ² sont équivalents.

58. Principales conclusions § 12

Dans cette section, nous avons défini les éléments suivants notions :

Expression numérique ;

La valeur d'une expression numérique ;

Une expression qui n’a aucun sens ;

Expression avec variable(s) ;

Zone de définition d'expression ;

Expressions identiquement égales ;

Identité;

Transformation identique d'une expression ;

Égalité numérique ;

Inégalité numérique ;

Équation à une variable ;

Racine de l'équation ;

Que signifie résoudre une équation ?

Équations équivalentes ;

Inégalité à une variable ;

Résoudre les inégalités ;

Que signifie résoudre les inégalités ?

Inégalités équivalentes.

De plus, nous avons examiné des théorèmes sur l'équivalence des équations et des inégalités, qui constituent la base de leur solution.

La connaissance des définitions de tous les concepts et théorèmes ci-dessus sur l'équivalence des équations et des inégalités est une condition nécessaire pour une étude méthodologiquement compétente du matériel algébrique avec les élèves du primaire.

Aujourd'hui, dans la leçon, nous généraliserons nos connaissances sur la résolution de systèmes d'inégalités et étudierons la solution à un ensemble de systèmes d'inégalités.

Première définition.

On dit que plusieurs inégalités à une variable forment un système d’inégalités s’il s’agit de trouver toutes les solutions générales à des inégalités données.

La valeur de la variable à laquelle chacune des inégalités du système se transforme en une inégalité numérique correcte est appelée solution partielle du système d'inégalités.

L'ensemble de toutes les solutions particulières à un système d'inégalités représente la solution générale au système d'inégalités (le plus souvent on dit simplement - la solution au système d'inégalités).

Résoudre un système d’inégalités signifie trouver toutes ses solutions particulières, ou prouver qu’un système donné n’a pas de solutions.

Souviens-toi! La solution à un système d’inégalités est l’intersection des solutions aux inégalités incluses dans le système.

Les inégalités incluses dans le système sont combinées avec une accolade.

Algorithme de résolution d'un système d'inégalités à une variable :

La première consiste à résoudre chaque inégalité séparément.

La seconde est de trouver l’intersection des solutions trouvées.

Cette intersection est l'ensemble des solutions au système d'inégalités

Tâche 1

Résolvez le système d’inégalités sept x moins quarante-deux est inférieur ou égal à zéro et deux x moins sept est supérieur à zéro.

La solution de la première inégalité est que x est inférieur ou égal à six, la deuxième inégalité est que x est supérieur à la seconde sept. Marquons ces intervalles sur la ligne de coordonnées. La solution à la première inégalité est marquée par un ombrage ci-dessous, la deuxième inégalité - par un ombrage au-dessus. La solution du système d’inégalités sera l’intersection des solutions des inégalités, c’est-à-dire l’intervalle où les deux hachures coïncident. En conséquence, nous obtenons un demi-intervalle de sept secondes à six, dont six.

Tâche 2

Résolvez le système d'inégalités : x carré plus x moins six est supérieur à zéro et x carré plus x plus six est supérieur à zéro.

Solution

Résolvons la première inégalité - x au carré plus x moins six est supérieur à zéro.

Considérons la fonction ig est égal à x au carré plus x moins six. Zéros de la fonction : x premier est égal à moins trois, x seconde est égal à deux. En représentant schématiquement une parabole, nous constatons que la solution à la première inégalité est l’union de rayons nombres ouverts de moins l’infini à moins trois et de deux à plus l’infini.

Résolvons la deuxième inégalité du système : x carré plus x plus six est supérieur à zéro.

Considérons la fonction ig est égal à x au carré plus x plus six. Le discriminant est égal à moins vingt-trois inférieur à zéro, ce qui signifie que la fonction n'a pas de zéros. La parabole n'a pas de points communs avec l'axe Ox. En représentant schématiquement une parabole, nous constatons que la solution de l’inégalité est l’ensemble de tous les nombres.

Représentons sur la ligne de coordonnées les solutions aux inégalités du système.

On peut voir sur la figure que la solution du système est de combiner des rayons numériques ouverts de moins l'infini à moins trois et de deux à plus l'infini.

Réponse : l’union des rayons ouverts de moins l’infini à moins trois et de deux à plus l’infini.

Souviens-toi! Si dans un système de plusieurs inégalités, l’une est la conséquence d’une autre (ou d’autres), alors l’inégalité de conséquence peut être écartée.

Considérons un exemple de résolution d'une inégalité par un système.

Tâche 3

Résolvez le logarithme d'inégalité de l'expression x carré moins treize x plus quarante-deux base deux supérieur ou égal à un.

Solution

L'ODZ de l'inégalité est donnée par la condition x au carré moins treize x plus quarante-deux supérieur à zéro. Imaginons le nombre un comme le logarithme de deux en base deux et nous obtenons l'inégalité - le logarithme de l'expression x au carré moins treize x plus quarante-deux en base deux est supérieur ou égal au logarithme de deux en base deux. deux.

On voit que la base du logarithme est égale à deux sur un, on arrive alors à l'inégalité équivalente x carré moins treize x plus quarante-deux supérieur ou égal à deux. Par conséquent, résoudre cette inégalité logarithmique revient à résoudre un système de deux inégalités quadratiques.

De plus, il est facile de remarquer que si la deuxième inégalité est satisfaite, alors la première inégalité l’est encore plus. La première inégalité est donc une conséquence de la seconde et peut être écartée. Nous transformons la deuxième inégalité et l'écrivons sous la forme : x carré moins treize x plus quarante est supérieur à zéro. Sa solution est de combiner deux rayons numériques de moins l'infini à cinq et de huit à plus l'infini.

Réponse : l'union de deux rayons numériques de moins l'infini à cinq et de huit à plus l'infini.

rayons nombres ouverts

Deuxième définition.

On dit que plusieurs inégalités avec une variable forment un ensemble d'inégalités si la tâche est de trouver toutes ces valeurs de la variable, dont chacune est une solution à au moins une des inégalités données.

Chacune de ces valeurs d’une variable est appelée une solution particulière d’un ensemble d’inégalités.

L’ensemble de toutes les solutions particulières à un ensemble d’inégalités est solution générale à un ensemble d’inégalités.

Souviens-toi! La solution à un ensemble d’inégalités est la combinaison de solutions aux inégalités incluses dans l’ensemble.

Les inégalités incluses dans l’ensemble sont combinées avec un crochet.

Algorithme de résolution d'un ensemble d'inégalités :

La première consiste à résoudre chaque inégalité séparément.

La seconde est de trouver une union des solutions trouvées.

Cette union est la solution à l’ensemble des inégalités.

Tâche 4

zéro virgule deux fois la différence de deux X et trois de moins que X moins deux ;

cinq x moins sept est supérieur à x moins six.

Solution

Transformons chacune des inégalités. On obtient un ensemble équivalent

x est supérieur aux sept tiers ;

x est supérieur à un quart.

Pour la première inégalité, l’ensemble des solutions est l’intervalle des sept tiers à plus l’infini, et pour la seconde, l’intervalle du quart à plus l’infini.

Représentons sur la ligne de coordonnées un ensemble de nombres satisfaisant les inégalités x supérieure à sept tiers et x supérieure à un quart.

Nous constatons qu'en combinant ces ensembles, c'est-à-dire la solution à cet ensemble d'inégalités est un rayon numérique ouvert allant d'un quart à plus l'infini.

Réponse : faisceau de nombres ouvert d'un quart à plus l'infini.

Tâche 5

Résoudre un ensemble d'inégalités :

deux x moins un est inférieur à trois et trois x moins deux est supérieur ou égal à dix.

Solution

Transformons chacune des inégalités. On obtient un ensemble équivalent d’inégalités : x est supérieur à deux et x est supérieur ou égal à quatre.

Représentons sur la ligne de coordonnées un ensemble de nombres qui satisfont ces inégalités.

Nous constatons qu'en combinant ces ensembles, c'est-à-dire la solution à cet ensemble d’inégalités est un rayon numérique ouvert de deux à plus l’infini.

Réponse : rayon numérique ouvert de deux à plus l'infini.