Parmi les différentes expressions considérées en algèbre, les sommes de monômes occupent une place importante. Voici des exemples de telles expressions :
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
La somme des monômes s’appelle un polynôme. Les termes d’un polynôme sont appelés termes du polynôme. Les monômes sont également classés comme polynômes, considérant un monôme comme un polynôme composé d'un seul membre.
Par exemple, un polynôme
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
peut être simplifié.
Représentons tous les termes sous forme de monômes de la forme standard :
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
Présentons des termes similaires dans le polynôme résultant :
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Le résultat est un polynôme dont tous les termes sont des monômes de la forme standard, et parmi eux il n'y en a pas de similaires. De tels polynômes sont appelés polynômes de forme standard.
Derrière degré de polynôme de forme standard, assument les pouvoirs les plus élevés de ses membres. Ainsi, le binôme \(12a^2b - 7b\) a le troisième degré, et le trinôme \(2b^2 -7b + 6\) a le deuxième.
En règle générale, les termes des polynômes de forme standard contenant une variable sont classés par ordre décroissant des exposants. Par exemple:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
La somme de plusieurs polynômes peut être transformée (simplifiée) en un polynôme de forme standard.
Parfois, les termes d’un polynôme doivent être divisés en groupes, en plaçant chaque groupe entre parenthèses. Puisque les parenthèses fermantes sont la transformation inverse des parenthèses ouvrantes, il est facile de formuler règles d'ouverture des parenthèses :
Si un signe «+» est placé avant les parenthèses, alors les termes entre parenthèses sont écrits avec les mêmes signes.
Si un signe « - » est placé avant les parenthèses, alors les termes entre parenthèses sont écrits avec des signes opposés.
Transformation (simplification) du produit d'un monôme et d'un polynôme
En utilisant la propriété distributive de la multiplication, vous pouvez transformer (simplifier) le produit d'un monôme et d'un polynôme en un polynôme. Par exemple:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Le produit d'un monôme et d'un polynôme est identiquement égal à la somme des produits de ce monôme et de chacun des termes du polynôme.
Ce résultat est généralement formulé sous forme de règle.
Pour multiplier un monôme par un polynôme, vous devez multiplier ce monôme par chacun des termes du polynôme.
Nous avons déjà utilisé cette règle à plusieurs reprises pour multiplier par une somme.
Produit de polynômes. Transformation (simplification) du produit de deux polynômes
En général, le produit de deux polynômes est identiquement égal à la somme du produit de chaque terme d'un polynôme et de chaque terme de l'autre.
Habituellement, la règle suivante est utilisée.
Pour multiplier un polynôme par un polynôme, vous devez multiplier chaque terme d'un polynôme par chaque terme de l'autre et additionner les produits résultants.
Formules de multiplication abrégées. Somme des carrés, différences et différence de carrés
Vous devez traiter certaines expressions dans les transformations algébriques plus souvent que d’autres. Les expressions les plus courantes sont peut-être \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) et \(a^2 - b^2 \), c'est-à-dire le carré de la somme, le carré de la différence et la différence des carrés. Vous avez remarqué que les noms de ces expressions semblent incomplets, par exemple, \((a + b)^2 \) n'est bien sûr pas seulement le carré de la somme, mais le carré de la somme de a et b . Cependant, le carré de la somme de a et b n'apparaît pas très souvent ; en règle générale, au lieu des lettres a et b, il contient des expressions diverses, parfois assez complexes.
Les expressions \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) peuvent être facilement converties (simplifiées) en polynômes de la forme standard en fait, vous avez déjà rencontré une telle tâche lors de la multiplication de polynômes ; :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Il est utile de mémoriser les identités résultantes et de les appliquer sans calculs intermédiaires. De brèves formulations verbales y contribuent.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - le carré de la somme est égal à la somme des carrés et au produit double.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - le carré de la différence est égal à la somme des carrés sans le produit doublé.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - la différence des carrés est égale au produit de la différence et de la somme.
Ces trois identités permettent de remplacer ses parties de gauche par celles de droite dans les transformations et vice versa - les parties de droite par celles de gauche. Le plus difficile est de voir les expressions correspondantes et de comprendre comment les variables a et b y sont remplacées. Examinons plusieurs exemples d'utilisation de formules de multiplication abrégées.
Expressions numériques et algébriques. Conversion d'expressions.
Qu'est-ce qu'une expression en mathématiques ? Pourquoi avons-nous besoin de conversions d’expressions ?
La question, comme on dit, est intéressante... Le fait est que ces concepts sont à la base de toutes les mathématiques. Toutes les mathématiques sont constituées d'expressions et de leurs transformations. Pas très clair ? Laisse-moi expliquer.
Disons que vous avez devant vous un mauvais exemple. Très grand et très complexe. Disons que vous êtes bon en maths et que vous n'avez peur de rien ! Pouvez-vous donner une réponse tout de suite ?
Tu devras décider cet exemple. De manière cohérente, étape par étape, cet exemple simplifier. Selon certaines règles, bien sûr. Ceux. faire conversion d'expressions. Plus vous réussissez ces transformations, plus vous êtes fort en mathématiques. Si vous ne savez pas faire les bonnes transformations, vous ne pourrez pas les faire en mathématiques. Rien...
Pour éviter un avenir (ou un présent) aussi inconfortable, cela ne fait pas de mal de comprendre ce sujet.)
Tout d'abord, découvrons qu'est-ce qu'une expression en mathématiques. Ce qui s'est passé expression numérique et qu'est-ce que c'est expression algébrique.
Qu'est-ce qu'une expression en mathématiques ?
Expression en mathématiques- c'est un concept très large. Presque tout ce que nous traitons en mathématiques est un ensemble d’expressions mathématiques. Tous les exemples, formules, fractions, équations, etc. - tout consiste en expressions mathématiques.
3+2 est une expression mathématique. s 2 - j 2- c'est aussi une expression mathématique. Une fraction saine et même un nombre sont tous des expressions mathématiques. Par exemple, l'équation est :
5x + 2 = 12
se compose de deux expressions mathématiques reliées par un signe égal. Une expression est à gauche, l'autre à droite.
En général, le terme " expression mathématique"est utilisé, le plus souvent, pour éviter de bourdonner. Ils vous demanderont par exemple ce qu'est une fraction ordinaire ? Et comment répondre ?!
Première réponse : "C'est... mmmmmm... une telle chose... dans laquelle... Puis-je mieux écrire une fraction ? Lequel veut-tu?"
La deuxième réponse : « Une fraction ordinaire est (gaiement et joyeusement !) expression mathématique , qui se compose d'un numérateur et d'un dénominateur !"
La deuxième option sera en quelque sorte plus impressionnante, n'est-ce pas ?)
C'est le but de l'expression " expression mathématique "très bien. A la fois correct et solide. Mais pour une utilisation pratique, il faut avoir une bonne compréhension de types spécifiques d'expressions en mathématiques .
Le type spécifique est une autre affaire. Ce C'est une tout autre affaire ! Chaque type d'expression mathématique a le mien un ensemble de règles et de techniques qui doivent être utilisées lors de la prise de décision. Pour travailler avec des fractions - un jeu. Pour travailler avec des expressions trigonométriques - la seconde. Pour travailler avec des logarithmes - le troisième. Et ainsi de suite. Quelque part ces règles coïncident, quelque part elles diffèrent fortement. Mais n'ayez pas peur de ces mots effrayants. Nous maîtriserons les logarithmes, la trigonométrie et d'autres choses mystérieuses dans les sections appropriées.
Nous allons ici maîtriser (ou - répéter, selon qui...) deux grands types d'expressions mathématiques. Expressions numériques et expressions algébriques.
Expressions numériques.
Ce qui s'est passé expression numérique? C'est un concept très simple. Le nom lui-même laisse entendre qu'il s'agit d'une expression comportant des chiffres. C'est comme ça. Une expression mathématique composée de nombres, de parenthèses et de symboles arithmétiques est appelée expression numérique.
7-3 est une expression numérique.
(8+3,2) 5,4 est aussi une expression numérique.
Et ce monstre :
aussi une expression numérique, oui...
Un nombre ordinaire, une fraction, tout exemple de calcul sans X ni autres lettres - tout cela sont des expressions numériques.
Signe principal numérique expressions - dedans pas de lettres. Aucun. Uniquement des chiffres et des symboles mathématiques (si nécessaire). C'est simple, non ?
Et que peut-on faire avec des expressions numériques ? Les expressions numériques peuvent généralement être comptées. Pour ce faire, il arrive qu'il faille ouvrir les parenthèses, changer les signes, abréger, échanger les termes - c'est-à-dire faire conversions d'expressions. Mais plus à ce sujet ci-dessous.
Ici, nous traiterons d'un cas aussi amusant où avec une expression numérique vous n'avez rien à faire. Eh bien, rien du tout ! Cette agréable opération - Ne rien faire)- est exécuté lorsque l'expression ça n'a pas de sens.
Quand une expression numérique n’a-t-elle aucun sens ?
Il est clair que si nous voyons une sorte d’abracadabra devant nous, comme
alors nous ne ferons rien. Parce qu’on ne sait pas quoi faire à ce sujet. Une sorte de non-sens. Comptez peut-être le nombre d'avantages...
Mais il existe des expressions apparemment tout à fait décentes. Par exemple ceci :
(2+3) : (16 - 2 8)
Mais cette expression aussi ça n'a pas de sens! Pour la simple raison que dans les secondes parenthèses - si vous comptez - vous obtenez zéro. Mais on ne peut pas diviser par zéro ! C'est une opération interdite en mathématiques. Par conséquent, il n’est pas non plus nécessaire de faire quoi que ce soit avec cette expression. Pour toute tâche avec une telle expression, la réponse sera toujours la même : "L'expression n'a aucun sens !"
Pour donner une telle réponse, bien sûr, j'ai dû calculer ce qui serait entre parenthèses. Et parfois, il y a beaucoup de choses entre parenthèses... Eh bien, vous n'y pouvez rien.
Il n’y a pas tellement d’opérations interdites en mathématiques. Il n'y en a qu'un dans ce sujet. Division par zéro. Les restrictions supplémentaires liées aux racines et aux logarithmes sont abordées dans les rubriques correspondantes.
Alors, une idée de ce que c'est expression numérique- a obtenu. Concept l'expression numérique n'a pas de sens- réalisé. Allons-nous en.
Expressions algébriques.
Si des lettres apparaissent dans une expression numérique, cette expression devient... L'expression devient... Oui ! Il devient expression algébrique. Par exemple:
5a 2; 3x-2 ans ; 3(z-2); 3,4 m/n ; x2 +4x-4 ; (a+b)2; ...
De telles expressions sont également appelées expressions littérales. Ou expressions avec des variables. C'est pratiquement la même chose. Expression 5a +c, par exemple, à la fois littéral et algébrique, et une expression avec des variables.
Concept expression algébrique - plus large que numérique. Il comprend et toutes les expressions numériques. Ceux. une expression numérique est aussi une expression algébrique, mais sans lettres. Tout hareng est un poisson, mais tous les poissons ne sont pas un hareng...)
Pourquoi alphabétique- Il est clair. Eh bien, puisqu'il y a des lettres... Phrase expression avec des variables Ce n’est pas non plus très déroutant. Si vous comprenez que les chiffres sont cachés sous les lettres. Toutes sortes de chiffres peuvent être cachés sous des lettres... Et 5, et -18, et tout le reste. Autrement dit, une lettre peut être remplacer pour des nombres différents. C'est pourquoi les lettres s'appellent variables.
En expression y+5, Par exemple, à- valeur variable. Ou ils disent simplement " variable", sans le mot « grandeur ». Contrairement à cinq, qui est une valeur constante. Ou simplement - constante.
Terme expression algébrique signifie que pour travailler avec cette expression, vous devez utiliser des lois et des règles algèbre. Si arithmétique fonctionne avec des nombres spécifiques, alors algèbre- avec tous les numéros à la fois. Un exemple simple pour clarifier.
En arithmétique, on peut écrire que
Mais si nous écrivons une telle égalité à travers des expressions algébriques :
une + b = b + une
nous déciderons tout de suite Tous des questions. Pour tous les numéros accident vasculaire cérébral. Pour tout ce qui est infini. Parce que sous les lettres UN Et b implicite Tous Nombres. Et pas seulement des nombres, mais même d'autres expressions mathématiques. C'est ainsi que fonctionne l'algèbre.
Quand une expression algébrique n’a-t-elle pas de sens ?
Tout dans l'expression numérique est clair. Ici, vous ne pouvez pas diviser par zéro. Et avec les lettres, est-il possible de savoir par quoi on divise ?!
Prenons par exemple cette expression avec des variables :
2: (UN - 5)
Est-ce que ça fait du sens? Qui sait? UN- n'importe quel chiffre...
N'importe lequel, n'importe lequel... Mais il y a un sens UN, pour lequel cette expression exactementça n'a pas de sens ! Et c'est quoi ce numéro ? Oui! C'est 5 ! Si la variable UN remplacez (on dit « remplacer ») par le chiffre 5, entre parenthèses vous obtenez zéro. Qui ne peut être divisé. Il s'avère donc que notre expression ça n'a pas de sens, Si une = 5. Mais pour d'autres valeurs UN Est-ce que ça fait du sens? Pouvez-vous remplacer d'autres numéros ?
Certainement. Dans de tels cas, ils disent simplement que l'expression
2: (UN - 5)
a du sens pour toutes les valeurs UN, sauf a = 5 .
L'ensemble des nombres qui Peut la substitution dans une expression donnée est appelée plage de valeurs acceptables cette expression.
Comme vous pouvez le constater, il n’y a rien de compliqué. Regardons l'expression avec des variables et voyons : à quelle valeur de la variable l'opération interdite (division par zéro) est-elle obtenue ?
Et puis assurez-vous de regarder la question de la tâche. Que demandent-ils ?
ça n'a pas de sens, notre sens interdit sera la réponse.
Si vous demandez à quelle valeur d'une variable l'expression a le sens(ressentez la différence !), la réponse sera tous les autres numéros sauf ce qui est interdit.
Pourquoi avons-nous besoin du sens de l’expression ? Il est là, il n'est pas... Quelle est la différence ?! Le fait est que ce concept devient très important au lycée. Extrêmement important! C'est la base de concepts aussi solides que le domaine des valeurs acceptables ou le domaine d'une fonction. Sans cela, vous ne pourrez pas du tout résoudre des équations ou des inégalités sérieuses. Comme ça.
Conversion d'expressions. Transformations identitaires.
Nous avons été initiés aux expressions numériques et algébriques. Nous avons compris ce que signifie l’expression « l’expression n’a aucun sens ». Maintenant, nous devons comprendre ce que c'est transformation des expressions. La réponse est simple, jusqu'à la honte.) Il s'agit de toute action avec une expression. C'est tout. Vous faites ces transformations depuis la première année.
Prenons l'expression numérique sympa 3+5. Comment peut-on le convertir ? Oui, très simple ! Calculer:
Ce calcul sera la transformation de l'expression. Vous pouvez écrire la même expression différemment :
Ici, nous n’avons rien compté du tout. Je viens d'écrire l'expression sous une forme différente. Ce sera aussi une transformation de l’expression. Vous pouvez l'écrire comme ceci :
Et cela aussi est une transformation d'une expression. Vous pouvez effectuer autant de transformations que vous le souhaitez.
N'importe lequel action sur l'expression n'importe lequel l’écrire sous une autre forme s’appelle transformer l’expression. Et c'est tout. Tout est très simple. Mais il y a une chose ici règle très importante. Si important qu'on peut l'appeler en toute sécurité règle principale toutes les mathématiques. Briser cette règle inévitablement conduit à des erreurs. On s'y met ?)
Disons que nous avons transformé notre expression au hasard, comme ceci :
Conversion? Certainement. Nous avons écrit l’expression sous une forme différente, qu’est-ce qui ne va pas ici ?
Ce n'est pas comme ça.) Le fait est que les transformations "au hasard" ne s'intéressent pas du tout aux mathématiques.) Toutes les mathématiques sont construites sur des transformations dans lesquelles l'apparence change, mais l'essence de l'expression ne change pas. Trois plus cinq peuvent être écrits sous n'importe quelle forme, mais il doit y avoir huit.
Transformations, des expressions qui ne changent pas l'essence sont appelés identique.
Exactement transformations identitaires et nous permettent, étape par étape, de transformer un exemple complexe en une expression simple, tout en conservant l'essence de l'exemple. Si nous faisons une erreur dans la chaîne de transformations, nous effectuons une transformation NON identique, alors nous déciderons un autre exemple. Avec d'autres réponses qui ne sont pas liées aux bonnes.)
C'est la règle principale pour résoudre n'importe quelle tâche : maintenir l'identité des transformations.
J'ai donné un exemple avec l'expression numérique 3+5 pour plus de clarté. Dans les expressions algébriques, les transformations d'identité sont données par des formules et des règles. Disons qu'en algèbre il existe une formule :
a(b+c) = ab + ac
Cela signifie que dans n'importe quel exemple, nous pouvons au lieu de l'expression une(b+c) n'hésitez pas à écrire une expression ab + ac. Et vice versa. Ce transformation identique. Les mathématiques nous donnent le choix entre ces deux expressions. Et lequel écrire dépend de l’exemple spécifique.
Un autre exemple. L’une des transformations les plus importantes et les plus nécessaires est la propriété fondamentale d’une fraction. Vous pouvez voir plus de détails sur le lien, mais ici je vais juste vous rappeler la règle : Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont multipliés (divisés) par le même nombre ou par une expression qui n'est pas égale à zéro, la fraction ne changera pas. Voici un exemple de transformations d'identité utilisant cette propriété :
Comme vous l'avez probablement deviné, cette chaîne peut se poursuivre indéfiniment...) Une propriété très importante. C'est cela qui vous permet de transformer toutes sortes d'exemples de monstres en blancs et pelucheux.)
Il existe de nombreuses formules définissant des transformations identiques. Mais les plus importants sont en nombre tout à fait raisonnable. L'une des transformations fondamentales est la factorisation. Il est utilisé dans toutes les mathématiques, du primaire au avancé. Commençons par lui. Dans la prochaine leçon.)
Si vous aimez ce site...
Au fait, j'ai quelques autres sites intéressants pour vous.)
Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)
Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.
Les nombres et expressions qui composent l’expression originale peuvent être remplacés par des expressions identiquement égales. Une telle transformation de l'expression originale conduit à une expression qui lui est identiquement égale.
Par exemple, dans l’expression 3+x, le nombre 3 peut être remplacé par la somme 1+2, ce qui donnera l’expression (1+2)+x, identiquement égale à l’expression originale. Autre exemple : dans l'expression 1+a 5, la puissance a 5 peut être remplacée par un produit identiquement égal, par exemple de la forme a·a 4. Cela nous donnera l'expression 1+a·a 4 .
Cette transformation est sans aucun doute artificielle et constitue généralement une préparation à d’autres transformations. Par exemple, dans la somme 4 x 3 +2 x 2, compte tenu des propriétés du degré, le terme 4 x 3 peut être représenté comme un produit 2 x 2 2 x. Après cette transformation, l'expression originale prendra la forme 2 x 2 2 x+2 x 2. Évidemment, les termes de la somme résultante ont un facteur commun de 2 x 2, nous pouvons donc effectuer la transformation suivante : la mise entre parenthèses. Après cela, nous arrivons à l'expression : 2 x 2 (2 x+1) .
Additionner et soustraire le même nombre
Une autre transformation artificielle d'une expression est l'addition et la soustraction simultanées du même nombre ou de la même expression. Cette transformation est identique car elle équivaut essentiellement à ajouter zéro, et l’ajout de zéro ne change pas la valeur.
Regardons un exemple. Prenons l'expression x 2 +2·x. Si vous y ajoutez un et en soustrayez un, cela vous permettra d'effectuer une autre transformation identique dans le futur - mettre au carré le binôme: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.
Bibliographie.
- Algèbre: cahier de texte pour la 7ème année. enseignement général institutions / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova] ; édité par S.A. Telyakovsky. - 17e éd. - M. : Éducation, 2008. - 240 p. : je vais. - ISBN978-5-09-019315-3.
- Algèbre: cahier de texte pour la 8ème année. enseignement général institutions / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova] ; édité par S.A. Telyakovsky. - 16e éd. - M. : Éducation, 2008. - 271 p. : je vais. - ISBN978-5-09-019243-9.
- Mordkovitch A.G. Algèbre. 7e année. En 2 heures Partie 1. Manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement général / A. G. Mordkovich. - 17e éd., ajouter. - M. : Mnémosyne, 2013. - 175 p. : ill. ISBN978-5-346-02432-3.
Propriétés de base de l'addition et de la multiplication des nombres.
Propriété commutative de l'addition : réarranger les termes ne change pas la valeur de la somme. Pour tous les nombres a et b, l'égalité est vraie
Propriété combinatoire d'addition : pour ajouter un troisième nombre à la somme de deux nombres, vous pouvez ajouter la somme du deuxième et du troisième au premier nombre. Pour tous les nombres a, b et c, l'égalité est vraie
Propriété commutative de la multiplication : réarranger les facteurs ne change pas la valeur du produit. Pour tous les nombres a, b et c, l'égalité est vraie
Propriété combinatoire de la multiplication : pour multiplier le produit de deux nombres par un troisième nombre, vous pouvez multiplier le premier nombre par le produit du deuxième et du troisième.
Pour tous les nombres a, b et c, l'égalité est vraie
Propriété distributive : pour multiplier un nombre par une somme, vous pouvez multiplier ce nombre par chaque terme et additionner les résultats. Pour tous les nombres a, b et c, l'égalité est vraie
Des propriétés commutatives et combinatoires de l'addition, il résulte : dans n'importe quelle somme, vous pouvez réorganiser les termes comme bon vous semble et les combiner arbitrairement en groupes.
Exemple 1 Calculons la somme 1,23+13,5+4,27.
Pour ce faire, il convient de combiner le premier terme avec le troisième. On a:
1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.
Des propriétés commutatives et combinatoires de la multiplication, il résulte : dans n'importe quel produit, vous pouvez réorganiser les facteurs de n'importe quelle manière et les combiner arbitrairement en groupes.
Exemple 2 Trouvons la valeur du produit 1,8·0,25·64·0,5.
En combinant le premier facteur avec le quatrième et le deuxième avec le troisième, nous avons :
1,8 · 0,25 · 64 · 0,5 = (1,8 · 0,5) · (0,25 · 64) = 0,9 · 16 = 14,4.
La propriété distributive est également vraie lorsqu'un nombre est multiplié par la somme de trois termes ou plus.
Par exemple, pour tous les nombres a, b, c et d, l'égalité est vraie
une(b+c+d)=ab+ac+ad.
On sait que la soustraction peut être remplacée par l'addition en ajoutant au menu le nombre opposé de la soustraction :
Cela permet à une expression numérique de la forme a-b d'être considérée comme la somme des nombres a et -b, et à une expression numérique de la forme a+b-c-d d'être considérée comme la somme des nombres a, b, -c, -d, etc. les propriétés considérées des actions sont également valables pour de telles sommes.
Exemple 3 Trouvons la valeur de l'expression 3,27-6,5-2,5+1,73.
Cette expression est la somme des nombres 3,27, -6,5, -2,5 et 1,73. En appliquant les propriétés d'addition, on obtient : 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.
Exemple 4 Calculons le produit 36·().
Le multiplicateur peut être considéré comme la somme des nombres et -. En utilisant la propriété distributive de la multiplication, on obtient :
36()=36·-36·=9-10=-1.
Identités
Définition. Deux expressions dont les valeurs correspondantes sont égales pour toutes les valeurs des variables sont dites identiquement égales.
Définition. Une égalité vraie pour toutes les valeurs des variables est appelée identité.
Trouvons les valeurs des expressions 3(x+y) et 3x+3y à x=5, y=4 :
3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,
3x+3y=3·5+3·4=15+12=27.
Nous avons obtenu le même résultat. De la propriété de distribution, il s'ensuit qu'en général, pour toutes les valeurs des variables, les valeurs correspondantes des expressions 3(x+y) et 3x+3y sont égales.
Considérons maintenant les expressions 2x+y et 2xy. Lorsque x=1, y=2 ils prennent des valeurs égales :
Cependant, vous pouvez spécifier des valeurs de x et y telles que les valeurs de ces expressions ne soient pas égales. Par exemple, si x=3, y=4, alors
Les expressions 3(x+y) et 3x+3y sont identiquement égales, mais les expressions 2x+y et 2xy ne sont pas identiquement égales.
L'égalité 3(x+y)=x+3y, vraie pour toutes valeurs de x et y, est une identité.
Les véritables égalités numériques sont également considérées comme des identités.
Ainsi, les identités sont des égalités qui expriment les propriétés fondamentales des opérations sur les nombres :
une+b=b+une, (une+b)+c=une+(b+c),
ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.
D'autres exemples d'identités peuvent être donnés :
une+0=une, une+(-une)=0, une-b=une+(-b),
a·1=a, a·(-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.
Transformations identiques d'expressions
Le remplacement d'une expression par une autre expression identiquement égale est appelé une transformation identique ou simplement une transformation d'une expression.
Des transformations identiques d'expressions avec des variables sont effectuées en fonction des propriétés des opérations sur les nombres.
Pour trouver la valeur de l'expression xy-xz pour des valeurs données de x, y, z, vous devez effectuer trois étapes. Par exemple, avec x=2,3, y=0,8, z=0,2 on obtient :
xy-xz=2,3·0,8-2,3·0,2=1,84-0,46=1,38.
Ce résultat peut être obtenu en effectuant seulement deux étapes, si vous utilisez l'expression x(y-z), qui est identiquement égale à l'expression xy-xz :
xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3·0,6=1,38.
Nous avons simplifié les calculs en remplaçant l'expression xy-xz par l'expression identiquement égale x(y-z).
Les transformations identiques d'expressions sont largement utilisées pour calculer les valeurs des expressions et résoudre d'autres problèmes. Certaines transformations identiques ont déjà dû être effectuées, par exemple en amenant des termes similaires, en ouvrant des parenthèses. Rappelons les règles pour effectuer ces transformations :
pour amener des termes similaires, il faut additionner leurs coefficients et multiplier le résultat par la partie commune de la lettre ;
s'il y a un signe plus avant les parenthèses, alors les parenthèses peuvent être omises, en préservant le signe de chaque terme entre parenthèses ;
S'il y a un signe moins avant les parenthèses, alors les parenthèses peuvent être omises en changeant le signe de chaque terme placé entre parenthèses.
Exemple 1 Présentons des termes similaires dans la somme 5x+2x-3x.
Utilisons la règle pour réduire les termes similaires :
5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.
Cette transformation est basée sur la propriété distributive de multiplication.
Exemple 2 Ouvrons les parenthèses dans l'expression 2a+(b-3c).
Utilisation de la règle d'ouverture des parenthèses précédées d'un signe plus :
2a+(b-3c)=2a+b-3c.
La transformation effectuée repose sur la propriété combinatoire d'addition.
Exemple 3 Ouvrons les parenthèses dans l'expression a-(4b-c).
Utilisons la règle d'ouverture des parenthèses précédées d'un signe moins :
a-(4b-c)=a-4b+c.
La transformation effectuée est basée sur la propriété distributive de multiplication et la propriété combinatoire d'addition. Montrons-le. Représentons le deuxième terme -(4b-c) dans cette expression comme un produit (-1)(4b-c) :
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).
En appliquant les propriétés spécifiées des actions, nous obtenons :
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.
