Deux boîtes sont données. Prisme quadrangulaire régulier

La règle d'addition est utilisée si nous avons deux ensembles ou plus qui ne se coupent pas par paires, c'est-à-dire qu'ils n'ont pas éléments communs. Et nous devons déterminer combien d’éléments sont contenus dans l’union de ces ensembles. Dans ce cas, on additionne le nombre d'éléments dans chaque ensemble. L'exemple le plus simple: si nous avons deux corbeilles de fruits : l'une contient 5 pommes et l'autre 7 poires. Si nous versons ces fruits dans un panier (combinons les ensembles), alors le nouveau panier contiendra 5+7=12 fruits.

Règle de multiplication

La règle de multiplication est utilisée lorsque l’on a deux ensembles, et que l’on fait toutes les paires possibles à partir des éléments de ces ensembles. Par exemple, si nous prenons un ensemble composé de 5 pommes et un ensemble composé de 7 poires et formons toutes les paires possibles à partir de ces fruits, alors nous obtiendrons toutes les paires possibles.

Vraiment. Prenons la première pomme. Nous pouvons y mettre n'importe laquelle des sept poires, c'est-à-dire que nous obtenons 7 paires. Prenons la deuxième pomme, et nous pouvons également y ajouter l'une des 7 poires, nous obtenons 7 paires supplémentaires. Et ainsi de suite. Le total est de la vapeur.

La règle de multiplication est facile à comprendre si vous essayez de répondre, par exemple, à la question suivante : " Combien y a-t-il de nombres à deux chiffres ?"

Soit un nombre à deux chiffres sous la forme , où - nombre de dizaines, - nombre d'unités. Dans ce cas, le nombre peut prendre des valeurs de 1 à 9 (le nombre 0 ne peut pas venir en premier, puisque dans ce cas on obtiendra numéro à un chiffre), le nombre peut prendre des valeurs de 0 à 9.

Soit , et nous avons 10 variantes de nombres qui peuvent être à la deuxième place. Nous avons alors 10 nombres à deux chiffres contenant 1 dizaine.

Ensuite, nous prenons et obtenons également 10 nombres à deux chiffres, qui ont maintenant 2 dizaines.

Puisque le chiffre peut prendre 9 différentes significations, nous obtenons alors des nombres à deux chiffres.

Sachant qu'il peut y avoir 9 nombres différents en premier lieu, et 10 en second lieu, on obtient des combinaisons de ces nombres, c'est-à-dire toutes les combinaisons possibles chiffres à deux chiffres. Il est important de comprendre ici que n’importe quel nombre en première place peut être combiné avec n’importe quel nombre en deuxième place.

DANS cas général règle de multiplicationça ressemble à ça :

Si l’élément A peut être choisi de n façons, et pour tout choix de A, l’élément B peut être choisi de m façons, alors la paire (A, B) peut être choisie de n m façons. Cette règle s'applique à n'importe quel nombre d'éléments sélectionnables indépendamment.

Si nous voulons répondre à la question combien y en a-t-il nombres à trois chiffres, on remarquera que dans un nombre à trois chiffres, le premier chiffre peut prendre 9 valeurs, le deuxième - 10 et le troisième - 10 valeurs. Et nous obtenons des nombres à trois chiffres.

Formule d'inclusion-exclusion

est utilisé si nous avons besoin de trouver le nombre d'éléments dans l'union de deux ensembles, si ces ensembles se croisent.

Soit l'ensemble A contenant n éléments, l'ensemble B contenant m éléments et l'intersection de ces ensembles contient k éléments. Autrement dit, k éléments sont contenus à la fois dans l’ensemble A et dans l’ensemble B. Ensuite, l’union des ensembles contient m+n-k éléments.

En effet, lors de la combinaison de deux ensembles, on comptait les k éléments deux fois, et maintenant il faut les soustraire une fois.

Le nombre d'éléments dans un ensemble est indiqué par le symbole # commun. Alors la formule pour compter le nombre d’éléments dans l’union de trois ensembles est :

## # # # # # #

Regardons des exemples de problèmes.

1. Combien de nombres à trois chiffres contiennent au moins un chiffre 3 ?

Si une question problématique contient les mots « au moins », alors dans la plupart des cas, vous devez d'abord répondre à l'énoncé inverse.

Voyons combien de nombres à trois chiffres ne contiennent PAS le chiffre 3. Dans ce cas, les première, deuxième et troisième places du nombre peuvent être n'importe quel chiffre sauf 3. C'est-à-dire que le premier chiffre peut prendre 8 valeurs, le second - 9 et le troisième - 9 valeurs. Nous obtenons ensuite des nombres à trois chiffres qui ne contiennent PAS le chiffre 3. Par conséquent, les nombres restants contiennent au moins un chiffre 3.

2. Combien de nombres à quatre chiffres sont des multiples de 5 ?

On sait qu'un nombre est divisible par 5 s'il se termine par 0 ou 5. Ainsi, dans un nombre à quatre chiffres dernier chiffre ne peut prendre que deux valeurs : 0 et 5.
Le premier chiffre peut prendre 9 valeurs, le deuxième - 10 et le troisième - 10 valeurs, le quatrième - 2 valeurs.

Nous obtenons ensuite des nombres à quatre chiffres divisibles par 5.

Réarrangements

Utilisons la règle de multiplication pour répondre à la question " De combien de façons 7 personnes peuvent-elles s'aligner ?".

La première personne dans la file peut être choisie de sept manières, la seconde peut être choisie parmi les six personnes restantes, soit de six manières. Le troisième, respectivement, est cinq. Et ainsi de suite. Ce dernier peut être sélectionné Le seul moyen. Au total, nous obtenons des moyens de former 7 personnes en ligne.

En général, si nous avons des objets que nous souhaitons disposer dans un certain ordre(numérotez-les), alors nous obtenons

façons d’agencer ces objets.

Factorielle l'entier naturel est le produit de tout nombres naturels de 1 à :

Prieuré A 0!=1; 1!=1.

Réarrangement d'objets est toute méthode de numérotation de ces objets (une méthode pour les disposer en rangée).

Nombre de permutationséléments est égal à .

3. Il y a 10 disques informatiques et 10 boîtes. Trouvez la probabilité que si nous plaçons des disques au hasard dans des boîtes, nous trouverons que

1. Chaque disque est dans sa propre boîte.

2. Au moins un disque n'est pas dans sa boîte.

3. Deux disques spécifiques sont échangés et les autres sont dans leur propre boîte.

4. Exactement un n'est pas dans sa boîte, et les autres sont dans leurs boîtes.

1. Numérotons les disques et les boîtes. Disposons les cases dans un certain ordre. Nous avons besoin que si les disques sont disposés au hasard dans une rangée, leurs numéros seront également situés dans le même ordre.

Il n'y a qu'une seule façon de disposer 10 nombres dans un certain ordre, c'est-à-dire que nous avons 1 résultat favorable.

Vous pouvez disposer 10 numéros dans n'importe quel ordre 10 ! façons.

Par conséquent, la probabilité que chaque disque se retrouve dans sa propre boîte est égale à

2. Événement " au moins un disque n'est pas dans sa boîte"le contraire de l'événement" ", et sa probabilité est égale à

3. Événement " deux disques spécifiques sont échangés, et les autres sont dans leurs boîtes" identique à l'événement" chaque disque est dans sa propre boîte", a une seule issue favorable, donc la probabilité de cet événement est égale à

4. Événement " exactement un n'est pas dans sa boîte, et les autres sont dans leur boîte"C'est impossible, car si un disque n'est pas dans sa boîte, alors il doit y en avoir un autre qui se trouve également dans la mauvaise boîte. Par conséquent, la probabilité que cet événement se produise est nulle.

4. Le mot « MATHÉMATIQUES » était écrit sur une bande de carton et la bande était découpée en lettres. Trouvez la probabilité qu'en plaçant toutes ces lettres au hasard dans une rangée, nous obtenions à nouveau le mot « MATHÉMATIQUES ».

MATHÉMATIQUES"?

La probabilité que la lettre M soit en première place est de 2/10 - nous avons deux lettres M et un total de 10 lettres.

La probabilité que la lettre A soit à la deuxième place est de 3/9 - il nous reste 9 lettres, dont 3 sont A.

La probabilité que la lettre T soit à la deuxième place est de 2/8 - il nous reste 8 lettres, dont 2 sont T.

Numérotons toutes les lettres du mot « MATHÉMATIQUES ». Voyons de combien de façons nous pouvons les organiser dans un certain ordre. Il y a 10 lettres dans un mot, et on peut les disposer 10 !=3628800 différentes façons.

Puisque le mot a les mêmes lettres, lorsque nous réorganisons ces lettres, nous obtenons le même mot :

dans le mot « MATHÉMATIQUES », il y a 2 lettres « M » ; 3 lettres « A » ; 2 lettres "T", donc selon la règle du produit, cela nous donne des moyens de réarranger ces lettres tout en préservant le mot "MATHEMATIQUES".

Ainsi, la probabilité d’obtenir à nouveau le mot « MATH » est :

Combien de combinaisons de lettres peuvent être faites à partir des lettres du mot " MATHÉMATIQUES"?

A partir de 10 lettres du mot " MATHÉMATIQUES" vous pouvez en faire 10 ! combinaisons de lettres. Mais certains d’entre eux seront les mêmes, puisque lorsque nous réorganiserons les mêmes lettres, nous obtiendrons les mêmes combinaisons de lettres. Autrement dit, à la fin, nous obtiendrons

combinaisons de lettres.

Emplacements

Dans les problèmes de théorie des probabilités, il est souvent nécessaire de déterminer de combien de manières on peut choisir certain nombre objets et les disposer dans un certain ordre.

5. Combien d’options différentes existe-t-il pour sélectionner 4 candidats parmi 9 spécialistes pour voyager dans 4 pays différents ?

Utilisons la règle de multiplication.

Pour le premier pays, nous choisissons parmi 9 spécialistes, c'est-à-dire que nous avons le choix entre 9 options. Une fois le spécialiste pour le voyage dans le premier pays sélectionné, il nous reste 8 spécialistes, et pour le voyage dans le deuxième pays, nous avons le choix entre 8 options. Et ainsi de suite... pour le quatrième pays nous pouvons choisir un candidat parmi 6 spécialistes.

Ainsi, nous avons la possibilité de choisir 4 candidats parmi 9 spécialistes pour voyager dans 4 pays différents.

Généralisons ce problème au cas du choix k candidats issus de n spécialistes pour voyager dans k pays différents.

En discutant de la même manière, on obtient

choix.

Si l’on multiplie et divise cette expression par , on obtient la formule suivante :

Dans ce problème, à partir d’un ensemble constitué d’éléments, nous avons choisi commandé sous-ensembles (l'ordre des éléments dans le sous-ensemble était important pour nous), composé d'éléments. La tâche se résumait à trouver le nombre de ces sous-ensembles.

De tels sous-ensembles ordonnés sont appelés arrangements de n éléments par k.

Hébergement(de n à k) s'appelle sous-ensemble ordonnéà partir de différents éléments d'un ensemble composé de différents éléments.

Nombre d'emplacements à partir de éléments par est désigné et trouvé par la formule :

Placements avec répétitions

6. Dé lancé trois fois. Combien de combinaisons différentes de points perdus y aura-t-il ?

En lançant les dés pour la première fois, nous aurons 6 options différentes : 1 point, 2, 3... ou 6. De même, en lançant les dés la deuxième et la troisième fois, nous aurons également 6 options différentes. En utilisant la règle de multiplication, on obtient le nombre de combinaisons différentes de trois nombres, en prenant des valeurs de 1 à 6 :

En général:

Disons un ensemble composé d'éléments.

Tout ensemble commandé les éléments d'un ensemble composé d'éléments sont appelés un hébergement avec répétition à partir d'éléments par . Le nombre de placements différents avec répétitions est égal à

Vraiment. Imaginez une boîte avec des boules numérotées. On sort le ballon, on note son numéro et on le rend, et ainsi de suite une fois. Combien de combinaisons de les chiffres pouvons-nous obtenir ?

Puisque les boules sont rendues à chaque fois, chaque fois que l'on sort une boule de la boîte qui contient des boules, on peut obtenir des numéros différents. D'après la règle de multiplication, nous avons

Combinaisons

Considérons un problème similaire au problème 5, mais avec une différence significative.

7. Combien d'options différentes existe-t-il pour choisir 4 candidats parmi 9 spécialistes ?

Dans ce problème, nous devons choisir 4 candidats, mais peu importe dans quel ordre nous les choisissons, nous nous intéressons à uniquement la composition des éléments sélectionnés, mais pas l'ordre de leur disposition.

Si l’on s’intéressait à l’ordre des éléments, comme dans le problème 5, alors on pourrait appliquer la formule pour trouver le nombre de placements de 9 à 4 :

4 divers élément peut être disposé dans un ordre précis 4 ! différentes façons. Depuis que nous Pas intéressé par l'ordre des éléments, le nombre de façons dont on peut sélectionner 4 éléments sans les disposer dans un ordre particulier est réduit de 4 ! fois par rapport à tâche précédente(puisque pour cette tâche emplacement différentéléments donnés est considéré d'une manière), et on obtient

façons.

Dans ce problème, le concept apparaît combinaisons.

Combinaisons de n éléments, k éléments chacun sont appelés sous-ensembles constitués de k éléments d'un ensemble (un ensemble constitué de n éléments).

Attention! Une combinaison ne diffère d'une autre que par la composition des éléments sélectionnés (mais pas par l'ordre de leur disposition, comme pour les placements).

Nombre de combinaisons depuis néléments par k les éléments sont désignés

et se trouve par la formule :

Nombre de combinaisons de n Par k montre combien de façons nous pouvons choisir kéléments de néléments, ou de combien de façons nous pouvons organiser k objets par n lieux .

C'est facile de voir ça

8. La boîte contient 8 crayons rouges et 4 bleus. 4 crayons sont sortis au hasard de la boîte. Quelle est la probabilité que parmi eux il y ait 2 rouges et 2 bleus ?

Il y a 12 crayons au total dans la boîte. Voyons de combien de manières 4 crayons peuvent être retirés de la boîte. Puisque nous ne nous intéressons pas à l'ordre dans lequel les crayons sont retirés de la boîte, mais uniquement à la composition des crayons, ce nombre est égal au nombre de combinaisons de 12 par 4 :

De 8 crayons rouges, vous pouvez extraire deux crayons façons.

De 4 crayons bleus, vous pouvez extraire deux crayons façons.

D’après la règle du produit, on constate qu’il existe des moyens d’extraire 2 crayons bleus et 2 crayons rouges.

La probabilité recherchée est donc :

Méthode boule et déflecteur

9. De combien de façons peut-on disposer 10 balles dans 4 boîtes ? Il est probable que certaines cases soient vides.

Considérez 10 balles :

Nous allons « mettre les balles dans des boîtes » en érigeant des cloisons.

Par exemple, comme ceci :

Dans cet exemple, la première boîte contient 3 balles, la deuxième en a 2, la troisième en a 4 et la quatrième en a 2. En réorganisant les balles et les cloisons, on obtient différentes combinaisons de balles dans les boîtes. Par exemple, en réorganisant la dernière boule dans la première case et la première cloison interne, on obtient la combinaison suivante :

Nous obtenons donc numéro différent boules en boîtes, regroupant les positions de 10 boules et 3 cloisons internes. Pour déterminer combien de combinaisons différentes nous pouvons obtenir, nous devons trouver le nombre de combinaisons de 13 à 3. (Ou, de manière équivalente, le nombre de combinaisons de 13 à 10.) Il existe de nombreuses façons de choisir 3 emplacements pour les partitions. de 13 postes possibles. Ou, ce qui revient au même, 10 emplacements pour les balles.

10. Combien de solutions l’équation a-t-elle ? en entiers non négatifs ?

Puisque les variables ne peuvent prendre que des valeurs entières non négatives, nous avons donc 10 variables et elles peuvent prendre les valeurs 0, 1, 2, 3 et 4. Imaginez que nous ayons 10 cases (ce sont des variables) et que nous devons Facteur il y a 4 balles dans ces boîtes. Le nombre de balles qui tombent dans la boîte correspond à la valeur de la variable correspondante. Si nous avons 10 cases, donc 10-1 = 9 partitions internes. Et 4 balles. Il y a 13 places au total. Il faut placer 4 boules à ces 13 endroits. Nombre de ces possibilités :

En général, si nous devons disposer les boules dans des boîtes, nous obtenons des combinaisons de boules et une cloison interne. Et le nombre de ces combinaisons est égal au nombre de combinaisons de .

Dans ce problème, nous avons traité combinaisons avec répétitions.

Combinaisons avec répétitions

Les combinaisons d'éléments et les éléments avec répétitions sont des groupes contenant des éléments, chaque élément appartenant à l'un des types.

Ce que sont les combinaisons d'éléments par éléments avec des répétitions peuvent être compris à l'aide d'une telle expérience de pensée. Imaginez une boîte avec des boules numérotées. On sort le ballon, on note son numéro et on le rend, et ainsi de suite une fois. Contrairement aux placements avec répétitions, nous ne nous intéressons pas à l’ordre des nombres écrits, mais uniquement à leur composition. Par exemple, les groupes de nombres (1,1,2,1,3,1,2) et (1,1,1,1,2,2,3) sont considérés comme identiques. Combien y a-t-il de groupes de ce type les chiffres pouvons-nous obtenir ?

En fin de compte, nous nous intéressons au nombre d'éléments de chaque type (total n types d'éléments) est contenu dans chaque groupe (de kéléments ) , et combien d'options différentes il peut y avoir. Autrement dit, nous trouvons combien de solutions entières non négatives l'équation a - la tâche est similaire à la tâche de décomposition n balles dans k des boites

Le nombre de combinaisons avec répétitions est déterminé par la formule suivante :

Ainsi, le nombre de combinaisons avec répétitions est le nombre de façons de représenter le nombre k comme la somme de n termes.

Question : Déterminer si une boîte peut rentrer dans une autre

Répondre:

message de Joie

maximum 13 ajustements

Non, pas 13... Pour être précis, c'est-à-dire environ 12,7279... Mettre un rectangle sur un rectangle est une tâche simple... Mais coller un parallélépipède plus petit approximativement le long de la plus grande diagonale d'un parallélépipède plus grand... Oui . Il y a aussi la recherche des angles de rotation requis pour une petite boîte...

Question : L’une des boîtes peut-elle être placée dans une autre ?

Répondre: "La première boîte est plus petite que la seconde";

) autre ( cout

, Algorithme de solution, on trie d'abord les longueurs des côtés des boîtes pour pouvoir les comparer plus tard, mais ! Je dois faire tout cela via l'instruction if, je serai très reconnaissant si vous écrivez au moins un algorithme, je peux le coder moi-même =)

Question : Ouvrir un formulaire dans un autre

Il y a un code :

Répondre: vb.net

Sous-Command1_Click() privé Form2. Visible = TrueForm1. Visible = fausse fin sous

Mais il ouvre un formulaire distinct du programme et j'ai besoin que la fenêtre Form2, Form3, etc. s'ouvre dans Form1 lui-même (pas sur l'ensemble du formulaire).
J'ai rencontré le même problème hier (j'ai essayé de le résoudre moi-même toute la soirée mais ça n'a pas marché) le code fonctionne, tout va bien. Mais voici le problème, je n'arrive pas à basculer entre Form2 Form3 et ainsi de suite (dans l'ordre inverse), que puis-je ajouter à ce code ?

Autrement dit, je dois basculer entre l'armure, l'armure assistée, etc. (écran de projet ci-dessus)

Merci d'avance.

Ajouté après 32 minutes
j'ai trouvé une solution

Il vous suffit d'ajouter une ligne.

Question : Transférer la position sélectionnée dans la grille de données d'un formulaire à un autre

Quel est l'intérêt, sur le formulaire principal, il y a une grille de données avec une liste de noms complets. On choisit, par exemple, un deuxième nom de famille. Ensuite, sur un formulaire d'ouverture supplémentaire, dans une autre grille de données, tous les éléments appartenant à ce nom complet devraient s'ouvrir. Par conséquent, si nous sélectionnons le troisième nom dans la liste, alors dans le formulaire supplémentaire avec sa propre grille de données, il y aura déjà des données pour ce nom complet.
Dans un formulaire, cela peut être implémenté à l'aide de connexions (dataSet.Relations.Add), mais lors de la création d'un formulaire supplémentaire, le deuxième formulaire ne sait pas quelle position est sélectionnée dans la grille de données du premier formulaire.
Merci.

Répondre:

message de gmaksim

Dans le premier formulaire, nous insérons après InitializeComponent(); cet objet:

Et pourquoi est-il là ???

message de gmaksim

SELECT " + id + " FROM Tables2

Cette demande ne fonctionnera certainement pas.

message de gmaksim

Je vous ai dit comment faire ça toute la journée !

message de Envoi de date

Si vous êtes paresseux/n’avez pas le temps/ne voulez pas, vous pouvez consulter Comment transmettre des données d’un formulaire à un autre

Depuis que tout a commencé !!! Il n'y avait pas d'options adaptées parmi ces options!!!

Question : Comment ouvrir un formulaire dans un autre, pour que l'enfant ne dépasse pas le parent ?

J'essaie ceci (je l'ai lu sur ce forum) et il est dit "Le formulaire spécifié comme MdiParent pour ce formulaire n'est pas un MdiContainer".

S'il-te-plaît dis moi comment faire ça?

Ajouté après 1 heure 4 minutes
Ici, j'ai compris comment, je devais attribuer la propriété isMDIContainer à true au formulaire parent.
Maintenant, il y a un autre problème, il dit qu'il est impossible de créer un formulaire modal à l'intérieur de ce conteneur, mais j'ai juste besoin d'un formulaire modal

Répondre: Et pourtant, que faire si vous avez besoin d’un formulaire modal enfant ?
Ceux. Avez-vous besoin, d'une part, que le formulaire soit placé dans le parent (la fenêtre principale de l'application), et d'autre part, que l'ensemble de l'application « se fige » jusqu'à ce que vous ayez fini de travailler avec ?

Question : Étant donné deux mots, déterminez s'il est possible d'en former un autre à partir des lettres d'un mot.

Répondre: L'énoncé du problème dit : Est-il possible à partir des lettres d'un
des mots pour en inventer un autre. Mais rien n'est dit sur
que les mots doivent être de longueur égale. Autrement dit
la tâche peut être interprétée comme suit. est-ce possible de
à partir des lettres d'un mot pour en former un autre de n'importe quelle longueur
Si seulement il y avait assez de lettres.
Il existe un tel jeu pour inventer un long mot
un tas de plus petits. (pro. vérifié)
le premier mot est important. À partir de là, le deuxième est construit...

Question : passer un pointeur de fonction d'une classe à une autre

Il y a "Class1", il a une méthode "Method"
Il existe "Class2", dont les objets sont créés dans la classe "Class1"

L'essentiel est que "Class2" devrait pouvoir appeler "Méthode". Il me semble que c'est plus simple à faire en passant un pointeur vers "Méthode" vers "Class2". Mais il s'est avéré que tout n'est pas si simple. Pouvez-vous s'il vous plaît démontrer comment cela peut être fait. Eh bien, ou peut-être existe-t-il un moyen plus simple d'appeler la « Méthode » enregistrée dans « Classe1 » à partir de « Classe2 ».

Répondre: Hmmm. Tout serait plus simple s'il fallait appeler la méthode de classe dans main, mais comme il s'agit d'une classe différente, tout se passe très mal. En principe, j'avais supposé ce résultat dès le début, mais j'ai pensé que cela pourrait être plus simple. ok, merci pour ça)

Ajouté après 18 heures 1 minute
J'ai enfin trouvé, grâce à Stack Overflow(), une méthode plus simple et moins lourde pour passer un pointeur d'une classe à une autre :

Répondre: 1. À l'aide du modèle MVVM, vous pouvez accéder au ViewModel de la vue à partir de laquelle nous souhaitons obtenir des données (en bref, point 3, MVVM est tout simplement pratique à créer dans WPF, à en juger par les instructions).
2. Hmm... Classe statique, méthodes, variables, propriétés. Transmettez des données d'un formulaire à un autre via une classe statique.
3. En conséquence, je vois une solution en séparant la vue du modèle (en général). L’utilisation de l’un d’eux peut résoudre votre problème.

Il convient de noter que la combinatoire est une branche indépendante des mathématiques supérieures (et ne fait pas partie du terver) et que des manuels importants ont été écrits sur cette discipline, dont le contenu, parfois, n'est pas plus simple que l'algèbre abstraite. Cependant, une petite partie de connaissances théoriques nous suffira, et dans cet article je vais essayer d'analyser sous une forme accessible les bases du sujet avec des problèmes combinatoires typiques. Et vous serez nombreux à m'aider ;-)

Qu'allons nous faire? Au sens étroit, la combinatoire est le calcul de diverses combinaisons pouvant être réalisées à partir d'un certain ensemble. discret objets. Par objets, on entend tout objet isolé ou être vivant - personnes, animaux, champignons, plantes, insectes, etc. Dans le même temps, la combinatoire ne se soucie pas du tout du fait que l'ensemble se compose d'une assiette de bouillie de semoule, d'un fer à souder et d'une grenouille des marais. Il est fondamentalement important que ces objets puissent être énumérés - ils sont au nombre de trois (discrétion) et l'important est qu'aucun d'entre eux n'est identique.

Nous avons abordé beaucoup de choses, maintenant, sur les combinaisons. Les types de combinaisons les plus courants sont les permutations d'objets, leur sélection dans un ensemble (combinaison) et leur distribution (placement). Voyons comment cela se passe maintenant :

Permutations, combinaisons et placements sans répétition

N'ayez pas peur des termes obscurs, d'autant plus que certains d'entre eux ne sont vraiment pas très bons. Commençons par la queue du titre - que signifie " pas de répétitions" ? Cela signifie que dans cette section, nous considérerons des ensembles constitués de divers objets. Par exemple,... non, je ne proposerai pas de porridge avec un fer à souder et une grenouille, il vaut mieux avoir quelque chose de plus savoureux =) Imaginez qu'une pomme, une poire et une banane se matérialisent sur la table devant vous ( si vous les avez, la situation peut être simulée dans la réalité). Nous disposons les fruits de gauche à droite dans l'ordre suivant :

pomme/poire/banane

Question une: De combien de façons peuvent-ils être réorganisés ?

Une combinaison a déjà été écrite ci-dessus et il n'y a aucun problème avec le reste :

pomme/banane/poire
poire / pomme / banane
poire / banane / pomme
banane / pomme / poire
banane / poire / pomme

Total: 6 combinaisons ou 6 permutations.

D’accord, ce n’était pas difficile de lister tous les cas possibles, mais et s’il y avait plus d’objets ? Avec seulement quatre fruits différents, le nombre de combinaisons augmentera considérablement !

Veuillez ouvrir le document de référence (c'est pratique d'imprimer le manuel) et au point n°2, trouvez la formule du nombre de permutations.

Pas de soucis : 3 objets peuvent être réorganisés de différentes manières.

Deuxième question: De combien de façons peux-tu choisir a) un fruit, b) deux fruits, c) trois fruits, d) au moins un fruit ?

Pourquoi choisir? Nous avons donc mis en appétit au point précédent - pour manger ! =)

a) Un fruit peut évidemment être choisi de trois manières : prenez une pomme, une poire ou une banane. Le calcul formel est effectué selon formule pour le nombre de combinaisons:

L'entrée dans ce cas doit être comprise comme suit : « de combien de manières peut-on choisir 1 fruit sur trois ?

b) Listons toutes les combinaisons possibles de deux fruits :

pomme et poire;
pomme et banane;
poire et banane.

Le nombre de combinaisons peut être facilement vérifié en utilisant la même formule :

L'entrée s'entend de la même manière : « de combien de manières peut-on choisir 2 fruits sur trois ?

c) Et enfin, il n'y a qu'une seule façon de choisir trois fruits :

D'ailleurs, la formule du nombre de combinaisons reste significative pour un échantillon vide :
De cette façon, vous ne pouvez pas choisir un seul fruit, en fait, ne rien prendre et c'est tout.

d) De combien de façons pouvez-vous prendre au moins un fruit? La condition « au moins un » implique que nous sommes satisfaits de 1 fruit (n'importe lequel) ou de 2 fruits quelconques ou des 3 fruits :
en utilisant ces méthodes, vous pouvez choisir au moins un fruit.

Les lecteurs qui ont étudié attentivement la leçon d'introduction sur théorie des probabilités, nous avons déjà deviné quelque chose. Nous reviendrons plus tard sur la signification du signe plus.

Pour répondre à la question suivante, j'ai besoin de deux volontaires... ...Eh bien, puisque personne ne veut, alors je vous appelle au tableau =)

Troisième question: De combien de façons pouvez-vous distribuer un fruit à Dasha et Natasha ?

Afin de distribuer deux fruits, vous devez d'abord les sélectionner. D’après le paragraphe « être » de la question précédente, cela peut être fait de différentes manières, je vais les réécrire :

pomme et poire;
pomme et banane;
poire et banane.

Mais désormais, il y aura deux fois plus de combinaisons. Prenons par exemple la première paire de fruits :
Vous pouvez traiter Dasha avec une pomme et Natasha avec une poire ;
ou vice versa - Dasha obtiendra une poire et Natasha obtiendra une pomme.

Et une telle permutation est possible pour chaque paire de fruits.

Considérez le même groupe d’étudiants qui est allé au bal. De combien de manières un garçon et une fille peuvent-ils être jumelés ?

De différentes manières, vous pouvez sélectionner 1 jeune homme ;
façons dont vous pouvez choisir 1 fille.

Ainsi, un jeune homme Et Vous pouvez choisir une fille : façons.

Lorsqu'un objet est sélectionné dans chaque ensemble, le principe suivant de comptage des combinaisons est valable : « chaque un objet d'un ensemble peut former une paire avec chaque objet d'un autre ensemble."

Autrement dit, Oleg peut inviter n'importe laquelle des 13 filles à danser, Evgeny peut également inviter n'importe laquelle des treize et le reste des jeunes a un choix similaire. Total : paires possibles.

Il est à noter que dans cet exemple, « l’histoire » de la formation du couple n’a pas d’importance ; cependant, si l'on prend en compte l'initiative, le nombre de combinaisons doit être doublé, puisque chacune des 13 filles peut également inviter n'importe quel garçon à danser. Tout dépend des conditions d'une tâche particulière !

Un principe similaire est valable pour des combinaisons plus complexes, par exemple : de combien de manières peut-on choisir deux jeunes hommes ? Et deux filles pour participer à un sketch KVN ?

syndicat ET laisse clairement entendre que les combinaisons doivent être multipliées :

Groupes d'artistes possibles.

Autrement dit, chaque une paire de garçons (45 paires uniques) peut jouer avec n'importe lequel une paire de filles (78 paires uniques). Et si l'on considère la répartition des rôles entre les participants, il y aura encore plus de combinaisons. ...J'en ai bien envie, mais je m'abstiendrai quand même de continuer pour ne pas vous inculquer une aversion pour la vie étudiante =).

La règle de multiplication des combinaisons s'applique également à un plus grand nombre de multiplicateurs :

Problème 8

Combien y a-t-il de nombres à trois chiffres divisibles par 5 ?

Solution: pour plus de clarté, notons ce nombre par trois astérisques : ***

DANS lieu de centaines Vous pouvez écrire n'importe lequel des nombres (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9). Zéro ne convient pas, car dans ce cas le nombre cesse d'être à trois chiffres.

Mais en place des dizaines(« au milieu »), vous pouvez choisir l'un des 10 chiffres : .

Selon la condition, le nombre doit être divisible par 5. Un nombre est divisible par 5 s'il se termine par 5 ou 0. Ainsi, on se contente de 2 chiffres dans le chiffre le moins significatif.

Au total, il y a: nombres à trois chiffres divisibles par 5.

Dans ce cas, l'œuvre est décryptée comme suit : « 9 façons de choisir un nombre dans lieu de centaines Et 10 façons de choisir un numéro dans place des dizaines Et 2 façons d'entrer chiffre des unités»

Ou encore plus simple : « chaque de 9 chiffres à lieu de centaines combine avec chaque de 10 chiffres place des dizaines et avec chacun de deux chiffres à chiffre des unités».

Répondre: 180

Et maintenant…

Oui, j'ai presque oublié le commentaire promis sur le problème n°5, dans lequel Bor, Dima et Volodia peuvent chacun recevoir une carte de différentes manières. La multiplication ici a la même signification : façons de retirer 3 cartes du jeu ET dans chaqueéchantillon, réorganisez-les de différentes manières.

Et maintenant un problème à résoudre par vous-même... maintenant je vais trouver quelque chose de plus intéressant... qu'il s'agisse de la même version russe du blackjack :

Problème 9

Combien y a-t-il de combinaisons gagnantes de 2 cartes en jouant « point » ?

Pour ceux qui ne le savent pas : la combinaison gagnante est 10 + ACE (11 points) = 21 points et, considérons la combinaison gagnante de deux as.

(l'ordre des cartes dans n'importe quelle paire n'a pas d'importance)

Une courte solution et une réponse à la fin de la leçon.

À propos, ne considérez pas l'exemple comme primitif. Le Blackjack est presque le seul jeu pour lequel il existe un algorithme mathématique qui vous permet de battre le casino. Les personnes intéressées peuvent facilement trouver de nombreuses informations sur la stratégie et les tactiques optimales. Certes, de tels maîtres se retrouvent assez vite sur la liste noire de tous les établissements =)

Il est temps de consolider le matériel couvert avec quelques tâches solides :

Problème 10

Vasya a 4 chats à la maison.

a) de combien de façons les chats peuvent-ils être assis dans les coins de la pièce ?
b) de combien de manières peut-on laisser les chats se promener ?
c) de combien de manières Vasya peut-il ramasser deux chats (l'un à sa gauche, l'autre à sa droite) ?

Décidons: tout d'abord, vous devez à nouveau prêter attention au fait que le problème concerne différent objets (même si les chats sont de vrais jumeaux). C'est une condition très importante !

a) Silence des chats. Sous réserve de cette exécution tous les chats à la fois
+ leur emplacement est important, il y a donc des permutations ici :
en utilisant ces méthodes, vous pouvez placer des chats dans les coins de la pièce.

Je répète que lors de la permutation, seul le nombre d'objets différents et leurs positions relatives comptent. Selon l'humeur de Vasya, il peut asseoir les animaux en demi-cercle sur le canapé, en rangée sur le rebord de la fenêtre, etc. – dans tous les cas, il y aura 24 permutations. Pour plus de commodité, les personnes intéressées peuvent imaginer que les chats sont multicolores (par exemple blanc, noir, rouge et tabby) et lister toutes les combinaisons possibles.

b) De combien de façons peut-on laisser les chats se promener ?

On suppose que les chats ne se promènent que par la porte, et la question implique l'indifférence quant au nombre d'animaux - 1, 2, 3 ou les 4 chats peuvent se promener.

Nous comptons toutes les combinaisons possibles :

De cette manière, vous pouvez laisser un chat (n'importe lequel des quatre) se promener ;
les façons dont vous pouvez laisser deux chats se promener (énumérez vous-même les options) ;
de différentes manières, vous pouvez laisser trois chats se promener (l'un des quatre est assis à la maison) ;
De cette façon, vous pourrez libérer tous les chats.

Vous avez probablement deviné que les valeurs obtenues devaient être résumées :
des façons de laisser les chats se promener.

Pour les passionnés, je propose une version compliquée du problème - lorsque n'importe quel chat de n'importe quel échantillon peut sortir au hasard, à la fois par la porte et par la fenêtre du 10ème étage. Il y aura une augmentation notable des combinaisons !

c) De combien de manières Vasya peut-elle ramasser deux chats ?

La situation consiste non seulement à choisir 2 animaux, mais aussi à les placer dans chaque main :
De cette manière, vous pouvez récupérer 2 chats.

Deuxième solution : vous pouvez choisir deux chats en utilisant des méthodes Et façons de planter chaque un couple sous la main :

Répondre: a) 24, b) 15, c) 12

Eh bien, pour apaiser votre conscience, quelque chose de plus précis sur la multiplication des combinaisons... Laissez Vasya avoir 5 chats supplémentaires =) De combien de façons pouvez-vous laisser 2 chats se promener ? Et 1 chat ?

C'est-à-dire avec chaque quelques chats peuvent être relâchés chaque chat.

Un autre accordéon à boutons pour une solution indépendante :

Problème 11

Trois passagers sont montés à bord de l'ascenseur d'un immeuble de 12 étages. Tout le monde, quels que soient les autres, peut sortir par n'importe quel étage (à partir du 2ème) avec la même probabilité. De combien de manières :

1) les passagers peuvent descendre au même étage (l'ordre de sortie n'a pas d'importance);
2) deux personnes peuvent descendre à un étage, et une troisième à l'autre ;
3) les gens peuvent sortir à différents étages ;
4) les passagers peuvent-ils sortir de l’ascenseur ?

Et là ils redemandent souvent, je précise : si 2 ou 3 personnes sortent au même étage, alors l'ordre de sortie n'a pas d'importance. PENSEZ, utilisez des formules et des règles pour ajouter/multiplier des combinaisons. En cas de difficultés, il est utile que les passagers donnent des noms et spéculent dans quelles combinaisons ils peuvent sortir de l'ascenseur. Il n'y a pas lieu de s'énerver si quelque chose ne fonctionne pas, par exemple, le point n°2 est assez insidieux.

Solution complète avec commentaires détaillés à la fin de la leçon.

Le dernier paragraphe est consacré aux combinaisons qui se produisent également assez souvent - selon mon évaluation subjective, dans environ 20 à 30 % des problèmes combinatoires :

Permutations, combinaisons et placements avec répétitions

Les types de combinaisons répertoriés sont décrits au paragraphe n° 5 du matériel de référence Formules de base de la combinatoire Toutefois, certains d’entre eux peuvent ne pas être très clairs en première lecture. Dans ce cas, il est conseillé de se familiariser d'abord avec des exemples pratiques, puis d'en comprendre ensuite la formulation générale. Aller:

Permutations avec répétitions

Dans les permutations avec répétitions, comme dans les permutations « ordinaires », tous les nombreux objets à la fois, mais il y a une chose : dans cet ensemble un ou plusieurs éléments (objets) sont répétés. Répondez à la norme suivante :

Problème 12

Combien de combinaisons de lettres différentes peut-on obtenir en réorganisant les cartes avec les lettres suivantes : K, O, L, O, K, O, L, b, Ch, I, K ?

Solution: dans le cas où toutes les lettres seraient différentes, alors il faudrait appliquer une formule triviale, mais il est tout à fait clair que pour le jeu de cartes proposé certaines manipulations fonctionneront « sans rien faire », par exemple, si vous échangez deux cartes quelconques avec les lettres « K » " dans n'importe quel mot, vous obtenez le même mot. De plus, physiquement, les cartes peuvent être très différentes : l’une peut être ronde avec la lettre « K » imprimée dessus, l’autre peut être carrée avec la lettre « K » dessinée dessus. Mais selon le sens de la tâche, même de telles cartes sont considérés comme identiques, puisque la condition pose des questions sur les combinaisons de lettres.

Tout est extrêmement simple - seulement 11 cartes, dont la lettre :

K – répété 3 fois ;
O – répété 3 fois ;
L – répété 2 fois ;
b – répété 1 fois ;
H – répété 1 fois ;
Et - répété 1 fois.

Vérifiez : 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, ce qui devait être vérifié.

D'après la formule nombre de permutations avec répétitions:
différentes combinaisons de lettres peuvent être obtenues. Plus d'un demi-million !

Pour calculer rapidement une grande valeur factorielle, il est pratique d'utiliser la fonction Excel standard : saisissez dans n'importe quelle cellule =FAIT(11) et appuyez sur Entrer.

En pratique, il est tout à fait acceptable de ne pas écrire la formule générale et, en outre, d'omettre les factorielles unitaires :

Mais des commentaires préliminaires sur les lettres répétées sont nécessaires !

Répondre: 554400

Un autre exemple typique de permutations avec répétition se produit dans le problème du placement des pièces d'échecs, que l'on peut trouver dans l'entrepôt. solutions toutes faites dans le pdf correspondant. Et pour une solution indépendante, j'ai proposé une tâche moins formelle :

Problème 13

Alexey fait du sport et 4 jours par semaine - athlétisme, 2 jours - exercices de force et 1 jour de repos. De combien de manières peut-il se créer un emploi du temps hebdomadaire ?

La formule ne fonctionne pas ici car elle prend en compte les échanges fortuits (par exemple, échanger les exercices de musculation du mercredi avec ceux du jeudi). Et encore une fois - en fait, les mêmes 2 séances de musculation peuvent être très différentes l'une de l'autre, mais dans le contexte de la tâche (du point de vue du planning) elles sont considérées comme les mêmes éléments.

Solution en deux lignes et réponse à la fin de la leçon.

Combinaisons avec répétitions

Une caractéristique de ce type de combinaison est que l'échantillon est constitué de plusieurs groupes dont chacun est constitué d'objets identiques.

Tout le monde a travaillé dur aujourd'hui, il est donc temps de se rafraîchir :

Problème 14

La cantine étudiante vend des saucisses en pâte, des cheesecakes et des beignets. De combien de façons peut-on acheter cinq tartes ?

Solution: faites immédiatement attention au critère typique des combinaisons avec répétitions - selon la condition, ce n'est pas un ensemble d'objets en tant que tel qui est proposé au choix, mais différentes sortes objets; on suppose qu'il y a au moins cinq hot-dogs, 5 cheesecakes et 5 beignets en vente. Les tartes de chaque groupe sont bien entendu différentes - car des beignets absolument identiques ne peuvent être simulés que sur un ordinateur =) Cependant, les caractéristiques physiques des tartes ne sont pas significatives aux fins du problème, et les hot-dogs / cheesecakes / les beignets dans leurs groupes sont considérés comme identiques.

Que pourrait contenir l’échantillon ? Tout d'abord, il convient de noter qu'il y aura certainement des tartes identiques dans l'échantillon (puisque nous choisissons 5 pièces, et qu'il y a 3 types parmi lesquels choisir). Il y en a ici pour tous les goûts : 5 hot dogs, 5 cheesecakes, 5 beignets, 3 hot dogs + 2 cheesecakes, 1 hot dog + 2 cheesecakes + 2 beignets, etc.

Comme pour les combinaisons « normales », l'ordre de sélection et le placement des tartes dans la sélection n'ont pas d'importance - vous venez de choisir 5 pièces et c'est tout.

Nous utilisons la formule nombre de combinaisons avec répétitions :
Vous pouvez acheter 5 tartes en utilisant cette méthode.

Bon appétit!

Répondre: 21

Quelle conclusion peut-on tirer de nombreux problèmes combinatoires ?

Parfois, le plus difficile est de comprendre la situation.

Un exemple similaire pour une solution indépendante :

Problème 15

Le portefeuille contient un assez grand nombre de pièces de 1, 2, 5 et 10 roubles. De combien de manières peut-on retirer trois pièces d’un portefeuille ?

À des fins de maîtrise de soi, répondez à quelques questions simples :

1) Toutes les pièces de l’échantillon peuvent-elles être différentes ?
2) Nommez la combinaison de pièces « la moins chère » et la plus « chère ».

Solution et réponses à la fin de la leçon.

D'après mon expérience personnelle, je peux dire que les combinaisons avec répétitions sont les invités les plus rares dans la pratique, ce qui ne peut pas être dit des types de combinaisons suivants :

Placements avec répétitions

À partir d'un ensemble composé d'éléments, les éléments sont sélectionnés et l'ordre des éléments dans chaque sélection est important. Et tout irait bien, mais une blague plutôt inattendue est que nous pouvons sélectionner n'importe quel objet de l'ensemble original autant de fois que nous le souhaitons. Au sens figuré, « la multitude ne diminuera pas ».

Quand est-ce que cela arrive ? Un exemple typique est une serrure à combinaison à plusieurs disques, mais en raison de l'évolution technologique, il est plus pertinent de considérer son descendant numérique :

Problème 16

Combien y a-t-il de codes PIN à quatre chiffres ?

Solution: en effet, pour résoudre le problème, la connaissance des règles de la combinatoire suffit : de manières vous pouvez sélectionner le premier chiffre du code PIN Et façons - le deuxième chiffre du code PIN Età bien des égards - troisième Et le même numéro - le quatrième. Ainsi, selon la règle de multiplication des combinaisons, un code PIN à quatre chiffres peut être composé de : manières.

Et maintenant en utilisant la formule. Selon la condition, on nous propose un ensemble de nombres, à partir desquels les nombres sont sélectionnés et disposés dans un certain ordre, tandis que les nombres de l'échantillon peuvent être répétés (c'est-à-dire que n'importe quel chiffre de l'ensemble d'origine peut être utilisé un nombre arbitraire de fois). D'après la formule du nombre de placements avec répétitions :

Répondre: 10000

Ce qui me vient à l'esprit ici... ...si le guichet automatique « mange » la carte après la troisième tentative infructueuse de saisie du code PIN, les chances de la récupérer au hasard sont alors très minces.

Et qui a dit que la combinatoire n’avait aucun sens pratique ? Une tâche cognitive pour tous les lecteurs du site :

Problème 17

Selon la norme de l'État, une plaque d'immatriculation de voiture se compose de 3 chiffres et 3 lettres. Dans ce cas, un nombre avec trois zéros est inacceptable et les lettres sont sélectionnées dans l'ensemble A, B, E, K, M, N, O, P, S, T, U, X. (seules les lettres cyrilliques sont utilisées dont l'orthographe coïncide avec les lettres latines).

Combien de plaques d’immatriculation différentes peut-on créer pour une région ?

D’ailleurs, ils ne sont pas si nombreux. Dans les grandes régions, une telle quantité n'est pas suffisante et il existe donc pour elles plusieurs codes pour l'inscription RUS.

La solution et la réponse se trouvent à la fin de la leçon. N'oubliez pas d'utiliser les règles de la combinatoire ;-) ...Je voulais montrer ce qui était exclusif, mais il s'est avéré que ce n'était pas exclusif =) J'ai regardé Wikipédia - il y a des calculs là-bas, mais sans commentaires. Bien qu'à des fins éducatives, peu de gens l'aient probablement résolu.

Notre leçon passionnante est terminée et je tiens enfin à dire que vous n'avez pas perdu votre temps - car les formules combinatoires trouvent une autre application pratique vitale : elles se retrouvent dans divers problèmes de théorie des probabilités,
et en problèmes impliquant la détermination classique de la probabilité– surtout souvent =)

Merci à tous pour votre participation active et à bientôt !

Solutions et réponses:

Tâche 2 : Solution: trouver le nombre de toutes les permutations possibles de 4 cartes :

Lorsqu'une carte avec un zéro est placée à la 1ère place, le nombre devient à trois chiffres, ces combinaisons doivent donc être exclues. Supposons que zéro soit à la première place, les 3 chiffres restants des chiffres inférieurs peuvent être réorganisés de différentes manières.

Note : parce que Comme il n’y a que quelques cartes, il est facile de lister toutes les options ici :
0579
0597
0759
0795
0957
0975

Ainsi, à partir de l'ensemble proposé on peut faire :
24 – 6 = 18 nombres à quatre chiffres
Répondre : 18

Tâche 4 : Solution: de différentes manières, vous pouvez choisir 3 cartes sur 36.
Répondre : 7140

Tâche 6 : Solution: façons.
Une autre solution : façons dont vous pouvez sélectionner deux personnes du groupe et et
2) L'ensemble « le moins cher » contient 3 pièces en roubles et le plus « cher » – 3 pièces de dix roubles.

Problème 17 : Solution: en utilisant ces méthodes, vous pouvez créer une combinaison numérique d'un numéro de voiture, tandis que l'un d'entre eux (000) doit être exclu : .
en utilisant ces méthodes, vous pouvez créer une combinaison de lettres d’un numéro de plaque d’immatriculation.
Selon la règle de multiplication des combinaisons, le total peut être fait :
plaques d'immatriculation
(chaque la combinaison numérique est combinée avec chaque combinaison de lettres).
Répondre : 1726272

Jusqu'à récemment, les voitures à transmission manuelle, en abrégé transmission manuelle, constituaient la majorité absolue parmi les autres véhicules de différents types.

De plus, une boîte de vitesses mécanique (manuelle) reste aujourd'hui un dispositif assez courant pour modifier et transmettre le couple moteur. Nous parlerons ensuite de la façon dont la « mécanique » est structurée et fonctionne, à quoi ressemble la conception d'une boîte de vitesses de ce type, ainsi que des avantages et des inconvénients de cette solution.

Lire dans cet article

Schéma et caractéristiques de la transmission manuelle

Commençons par le fait que ce type de boîte de vitesses est dit mécanique car un tel ensemble implique un changement de vitesse manuel. En d’autres termes, sur les voitures à transmission manuelle, le conducteur change lui-même les vitesses.

Allons-nous en. La transmission manuelle est étagée, c'est-à-dire que le couple change par étapes. De nombreux passionnés de voitures savent qu'une boîte de vitesses comporte en réalité des engrenages et des arbres, mais tout le monde ne comprend pas le fonctionnement de l'unité.

Ainsi, une étape (alias engrenage) est une paire d'engrenages (engrenages d'entraînement et d'entraînement) interagissant les uns avec les autres. Chacun de ces étages assure une rotation à l'une ou l'autre vitesse angulaire, c'est-à-dire qu'il possède son propre rapport de démultiplication.

Le rapport de démultiplication est le rapport entre le nombre de dents du pignon mené et le nombre de dents du pignon menant. Dans ce cas, différents étages de boîte de vitesses reçoivent différents rapports de démultiplication. L'étage le plus bas (rapport faible) a le rapport de démultiplication le plus élevé, et l'étage le plus élevé (rapport élevé) a le rapport de démultiplication le plus petit.

Il apparaît clairement que le nombre de pas est égal au nombre de rapports sur une boîte de vitesses particulière (boîte à quatre vitesses, cinq vitesses, etc.). A noter que la grande majorité des voitures sont aujourd'hui équipées d'une boîte de vitesses à cinq vitesses, manuelle les transmissions à 6 étapes ou plus sont moins courantes et assez courantes. Auparavant, les transmissions manuelles à 4 vitesses disparaissaient progressivement au second plan.

Dispositif de transmission mécanique

Ainsi, bien qu'il puisse exister de nombreuses conceptions d'une telle boîte avec certaines caractéristiques, au stade initial, deux types principaux peuvent être distingués :

• boîtes de vitesses à trois arbres ;
• boîtes à double arbre;

Les voitures à propulsion arrière sont généralement équipées d'une transmission manuelle à trois arbres, tandis qu'une boîte de vitesses à deux arbres est installée sur les voitures particulières à traction avant. Dans ce cas, la conception des transmissions manuelles du premier et du deuxième type peut différer considérablement.

Commençons par une transmission manuelle à trois arbres. Ce coffret est composé de :

• l'arbre d'entraînement, également appelé arbre primaire ;
• arbre intermédiaire de boîte de vitesses ;
• arbre mené (secondaire);

Des engrenages avec synchroniseurs sont installés sur les arbres. Le dispositif de boîte de vitesses comprend également un mécanisme de changement de vitesse. Ces composants sont situés dans le carter de boîte de vitesses, également appelé carter de boîte de vitesses.

Le rôle de l'arbre de transmission est de créer une connexion avec l'embrayage. L'arbre d'entraînement comporte des cannelures pour le disque entraîné par l'embrayage. Quant au couple, le moment spécifié de l'arbre d'entraînement est transmis à travers l'engrenage, qui est en prise rigide avec lui.

Concernant le fonctionnement de l'arbre intermédiaire, cet arbre est situé parallèlement à l'arbre d'entrée de la boîte de vitesses, et un groupe d'engrenages est installé dessus, qui est en maillage rigide. À son tour, l'arbre mené est monté sur le même axe que l'arbre d'entraînement.

Cette installation est réalisée à l'aide d'un roulement d'extrémité sur l'arbre d'entraînement. Ce roulement comprend l'arbre mené. Le groupe d'engrenages (bloc d'engrenages) sur l'arbre mené n'a pas d'engagement rigide avec l'arbre lui-même et tourne donc librement sur celui-ci. Dans ce cas, le groupe d'engrenages de l'arbre intermédiaire, de l'arbre mené et du pignon de l'arbre d'entraînement sont en prise constante.

Des synchroniseurs (embrayages de synchronisation) sont installés entre les engrenages de l'arbre mené. Leur tâche est d'aligner les vitesses angulaires des engrenages de l'arbre mené avec la vitesse angulaire de l'arbre lui-même par friction.

Les synchroniseurs sont en engagement rigide avec l'arbre mené et ont également la capacité de se déplacer le long de l'arbre dans le sens longitudinal en raison de la présence d'une connexion cannelée. Les boîtes de vitesses modernes ont des embrayages synchronisés dans tous les rapports.

Si l'on considère le mécanisme de changement de vitesse sur les boîtes de vitesses à trois arbres, ce mécanisme est souvent installé sur le boîtier de l'unité. La conception comprend un levier de commande, des curseurs et des fourches.

Le corps du boîtier (carter) est constitué d'alliages d'aluminium ou de magnésium et est nécessaire pour l'installation d'arbres avec engrenages et mécanismes, ainsi que d'un certain nombre d'autres pièces. Le carter de boîte de vitesses contient également de l'huile de transmission (huile de boîte de vitesses).

• Pour comprendre le fonctionnement d'une boîte de vitesses mécanique (manuelle) de type à trois arbres, jetons un coup d'œil général au principe de son fonctionnement. Lorsque le levier de vitesses est au point mort, aucun couple n'est transmis du moteur aux roues motrices du véhicule.

Une fois que le conducteur a déplacé le levier, la fourchette déplace l'embrayage de synchronisation d'un rapport particulier. Le synchroniseur égalisera alors les vitesses angulaires du pignon souhaité et de l'arbre mené. La couronne d'embrayage s'engagera alors avec une couronne dentée similaire, verrouillant l'engrenage sur l'arbre mené.

Ajoutons également que la marche arrière du véhicule est assurée par la marche arrière de la boîte de vitesses. Dans ce cas, le pignon inverseur, monté sur un axe séparé, permet de changer le sens de rotation.

Boîte de vitesses manuelle à double arbre : conception et principe de fonctionnement

Après avoir compris en quoi consiste une boîte de vitesses à trois arbres, passons aux boîtes de vitesses à deux arbres. Ce type de boîte de vitesses comporte deux arbres : primaire et secondaire. L'arbre primaire est entraîné, l'arbre secondaire est entraîné. Des engrenages et des synchroniseurs sont fixés aux arbres. Le carter de la boîte de vitesses contient également le train principal et le différentiel.

L'arbre d'entraînement est responsable de la connexion à l'embrayage, et il y a également un bloc d'engrenages sur l'arbre en engagement rigide avec l'arbre. L'arbre mené est situé parallèlement à l'arbre d'entraînement, tandis que les engrenages de l'arbre mené sont en prise constante avec les engrenages de l'arbre d'entraînement et tournent également librement sur l'arbre lui-même.

De plus, le pignon d'entraînement de l'engrenage principal est fixé rigidement sur l'arbre mené et des accouplements de synchroniseur sont situés entre les engrenages de l'arbre mené eux-mêmes. Ajoutons que afin de réduire la taille de la boîte de vitesses, ainsi que d'augmenter le nombre de vitesses, dans les boîtes de vitesses modernes, au lieu d'un arbre mené, 2 voire 3 arbres peuvent souvent être installés.

Un engrenage principal est fixé rigidement à chacun de ces arbres, et un tel engrenage est rigidement en prise avec l'engrenage mené. Il s’avère que la conception met en œuvre en réalité 3 vitesses principales.

Le train principal lui-même, ainsi que le différentiel de la boîte de vitesses, transmettent le couple de l'arbre secondaire aux roues motrices. Dans le même temps, le différentiel peut également assurer une telle rotation des roues lorsque les roues motrices tournent à des vitesses angulaires différentes.

Quant au mécanisme de changement de vitesse, sur les boîtes de vitesses à double arbre, il est situé séparément, c'est-à-dire à l'extérieur du carter. Le boîtier est relié au mécanisme de commutation par des câbles ou des tiges spéciales. La connexion la plus courante consiste à utiliser des câbles.

Le mécanisme de changement de vitesse de la boîte à 2 arbres lui-même comporte un levier qui est relié par des câbles au levier de sélection et au levier de changement de vitesse. Ces leviers sont reliés à la tige de changement de vitesse centrale, qui comporte également des fourches.

• Si l'on parle du principe de fonctionnement d'une boîte de vitesses manuelle à deux arbres, il est similaire au principe d'une boîte de vitesses à trois arbres. Les différences résident dans le fonctionnement du mécanisme de changement de vitesse. En un mot, le levier peut effectuer à la fois des mouvements longitudinaux et transversaux par rapport à l'axe de la voiture. Lors d'un mouvement latéral, une vitesse est sélectionnée, car la force est appliquée au câble de sélection de vitesse, ce qui affecte le levier de sélection de vitesse.

Ensuite, le levier se déplace longitudinalement et la force est transmise au câble de changement de vitesse. Le levier correspondant déplace horizontalement la tige avec les fourchettes ; la fourchette sur la tige déplace le synchroniseur, ce qui entraîne le blocage du pignon de l'arbre mené.

Enfin, on note que les transmissions manuelles de différents types disposent également de dispositifs de verrouillage supplémentaires qui empêchent l'engagement de deux vitesses en même temps ou la désactivation inopinée du rapport.

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Presser l'embrayage avant de démarrer le moteur : quand il faut serrer l'embrayage et dans quels cas il est déconseillé de le faire. Trucs et astuces utiles.

N'oubliez pas que le volume d'un parallélépipède rectangle (ou d'une boîte ordinaire) est égal au produit de sa longueur, de sa largeur et de sa hauteur. Si votre boîte est rectangulaire ou carrée, il vous suffit alors de connaître sa longueur, sa largeur et sa hauteur. Pour obtenir le volume, il faut multiplier les résultats de mesure. La formule de calcul sous forme abrégée est souvent présentée comme suit : V = L x L x H.
Exemple de problème : « Si la longueur d'une boîte est de 10 cm, la largeur est de 4 cm et la hauteur est de 5 cm, alors quel est son volume ?
V = L x l x H
V = 10 cm x 4 cm x 5 cm
V = 200 cm3
La « hauteur » d’une boîte peut être appelée « profondeur ». Par exemple, le problème pourrait contenir les informations suivantes : « La longueur de la boîte est de 10 cm, la largeur est de 4 cm et la profondeur est de 5 cm. »

2
Mesurez la longueur de la boîte. Si vous regardez la boîte d'en haut, elle apparaîtra sous vos yeux sous la forme d'un rectangle. La longueur de la boîte sera le côté le plus long de ce rectangle. Enregistrez le résultat de la mesure pour ce côté comme valeur du paramètre « longueur ».
Lorsque vous prenez des mesures, veillez à utiliser des unités de mesure uniformes. Si vous avez mesuré un côté en centimètres, les autres côtés doivent également être mesurés en centimètres.

3
Mesurez la largeur de la boîte. La largeur de la boîte sera représentée par l’autre côté plus court du rectangle visible du dessus. Si vous reliez visuellement les côtés de la boîte mesurés en longueur et en largeur, ils apparaîtront sous la forme de la lettre « L ». Enregistrez la dernière mesure comme « largeur ».
La largeur correspond toujours au côté le plus court de la boîte.

4
Mesurez la hauteur de la boîte. C'est le dernier paramètre que vous n'avez pas encore mesuré. Il représente la distance entre le bord supérieur de la boîte et le bas. Enregistrez cette mesure comme « hauteur ».
Selon le côté sur lequel vous placez la boîte, les côtés spécifiques que vous étiquetez « longueur », « largeur » ou « hauteur » peuvent être différents. Cependant, cela n'a pas d'importance, vous avez juste besoin de mesures sur trois côtés différents.

5
Multipliez les résultats des trois mesures ensemble. Comme déjà mentionné, la formule de calcul du volume est la suivante : V = Longueur x Largeur x Hauteur ; par conséquent, pour obtenir le volume, multipliez simplement les trois côtés. Assurez-vous d'indiquer les unités de mesure que vous avez utilisées dans le calcul afin de ne pas oublier la signification exacte des valeurs obtenues.

6
Lors de la désignation des unités de mesure de volume, n'oubliez pas d'indiquer la troisième puissance "3". Le volume calculé a une expression numérique, mais sans les bonnes unités de mesure, vos calculs n'auront aucun sens. Pour refléter correctement les unités de volume, elles doivent être indiquées dans un cube. Par exemple, si tous les côtés étaient mesurés en centimètres, les unités de volume seraient alors affichées sous la forme « cm3 ».
Exemple de problème : « Si une boîte mesure 2 m de long, 1 m de large et 3 m de haut, quel est son volume ? »
V = L x l x H
V = 2 mx 1 mx 4 m
V = 8 m3
Remarque : La spécification des unités de volume cubique vous permet de comprendre combien de ces cubes peuvent être placés à l'intérieur de la boîte. Si l’on se réfère à l’exemple précédent, cela signifie que huit mètres cubes rentrent dans la boîte.

Calcul du volume de boîtes d'autres formes

Déterminez le volume du cylindre. Le cylindre est un tube rond avec des cercles aux deux extrémités. Pour déterminer le volume d'un cylindre, la formule est utilisée : V = π x r 2 x h, où π = 3,14, r est le rayon du côté rond du cylindre et h est sa hauteur.
Pour déterminer le volume d'un cône ou d'une pyramide à base ronde, la même formule est utilisée, mais multipliée par 1/3. C'est-à-dire que le volume du cône est calculé par la formule : V = 1/3 (π x r 2 x h)

2
Déterminez le volume de la pyramide. Une pyramide est une figure avec une base plate et des côtés convergeant vers le haut en un seul point. Pour déterminer le volume d'une pyramide, il faut prendre 1/3 du produit de l'aire de sa base et de sa hauteur. Autrement dit, la formule de calcul est la suivante : Volume de la pyramide = 1/3 (Surface de base x Hauteur).
Dans la plupart des cas, les pyramides ont une base carrée ou rectangulaire. Dans une telle situation, l'aire de la base est calculée en multipliant la longueur de la base par la largeur.

Pour déterminer le volume d'une boîte de formes complexes, additionnez les volumes de ses différentes parties. Par exemple, vous devrez peut-être mesurer le volume d'une boîte en forme de lettre « L ». De cette façon, la boîte aura plus de côtés à mesurer. Si vous divisez cette boîte en deux parties, vous pouvez mesurer le volume de ces deux parties de manière standard, puis additionner les valeurs résultantes. Dans le cas d'une boîte en forme de L, la partie la plus longue peut être considérée comme une boîte rectangulaire longue distincte, et la partie la plus courte comme une boîte carrée (ou presque carrée) qui lui est attachée.
Si votre boîte a des formes très complexes, sachez qu'il existe de nombreuses façons de déterminer le volume d'objets de n'importe quelle forme.