Premier niveau

Progression arithmétique. Théorie détaillée avec des exemples (2019)

Séquence numérique

Alors asseyons-nous et commençons à écrire quelques chiffres. Par exemple:
Vous pouvez écrire n'importe quel nombre, et il peut y en avoir autant que vous le souhaitez (dans notre cas, il y en a). Peu importe le nombre de nombres que nous écrivons, nous pouvons toujours dire lequel est le premier, lequel est le deuxième, et ainsi de suite jusqu'au dernier, c'est-à-dire que nous pouvons les numéroter. Voici un exemple de séquence de nombres :

Séquence numérique
Par exemple, pour notre séquence :

Le numéro attribué est spécifique à un seul numéro de la séquence. En d’autres termes, il n’y a pas de nombres de trois secondes dans la séquence. Le deuxième nombre (comme le ème nombre) est toujours le même.
Le nombre avec nombre est appelé le ème terme de la séquence.

Nous appelons généralement la séquence entière par une lettre (par exemple,), et chaque membre de cette séquence est la même lettre avec un indice égal au numéro de ce membre : .

Dans notre cas:

Disons que nous avons séquence de nombres, dans lequel la différence entre les nombres adjacents est la même et égale.
Par exemple:

etc.
Cette suite de nombres est appelée progression arithmétique.
Le terme « progression » a été introduit par l'auteur romain Boèce au 6ème siècle et était compris de manière plus générale. dans un sens large, comme une séquence de nombres infinie. Le nom « arithmétique » a été transféré de la théorie des proportions continues, étudiée par les anciens Grecs.

Il s'agit d'une séquence de nombres dont chaque membre est égal au précédent ajouté au même nombre. Ce nombre s'appelle la différence progression arithmétique et est désigné.

Essayez de déterminer quelles suites de nombres sont une progression arithmétique et lesquelles ne le sont pas :

un)
b)
c)
d)

J'ai compris? Comparons nos réponses :
Est progression arithmétique - b, c.
N'est pas progression arithmétique - a, d.

Revenons à la progression donnée () et essayons de trouver la valeur de son ème terme. Existe deux moyen de le trouver.

1. Méthode

On peut ajouter le numéro de progression à la valeur précédente jusqu'à atteindre le ème terme de la progression. C'est bien que nous n'ayons pas grand chose à résumer - seulement trois valeurs :

Ainsi, le ème terme de la progression arithmétique décrite est égal à.

2. Méthode

Et s’il fallait trouver la valeur du ème terme de la progression ? La sommation nous prendrait plus d'une heure, et ce n'est pas un fait que nous ne ferions pas d'erreurs en additionnant des nombres.
Bien entendu, les mathématiciens ont trouvé une méthode selon laquelle il n’est pas nécessaire d’ajouter la différence d’une progression arithmétique à la valeur précédente. Regardez de plus près l'image dessinée... Vous avez sûrement déjà remarqué un certain motif, à savoir :

Voyons par exemple en quoi consiste la valeur du ième terme de cette progression arithmétique :


Autrement dit:

Essayez de trouver vous-même la valeur d'un membre d'une progression arithmétique donnée de cette manière.

As-tu calculé ? Comparez vos notes avec la réponse :

Veuillez noter que vous avez obtenu exactement le même nombre que dans la méthode précédente, lorsque nous avons ajouté séquentiellement les termes de la progression arithmétique à la valeur précédente.
Essayons de "dépersonnaliser" cette formule- Mettons-le sous forme générale et obtenons :

Les progressions arithmétiques peuvent être croissantes ou décroissantes.

En augmentant- des progressions dans lesquelles chaque valeur suivante des termes est supérieure à la précédente.
Par exemple:

Descendant- des progressions dans lesquelles chaque valeur suivante des termes est inférieure à la précédente.
Par exemple:

La formule dérivée est utilisée dans le calcul des termes en termes croissants et décroissants d'une progression arithmétique.
Vérifions cela en pratique.
On nous donne une progression arithmétique composée des nombres suivants : Vérifions quel sera le ème nombre de cette progression arithmétique si nous utilisons notre formule pour le calculer :

Depuis lors:

Ainsi, nous sommes convaincus que la formule fonctionne à la fois en progression arithmétique décroissante et croissante.
Essayez de trouver vous-même les ième et ième termes de cette progression arithmétique.

Comparons les résultats :

Propriété de progression arithmétique

Compliquons le problème - nous en dériverons la propriété de progression arithmétique.
Disons qu'on nous donne la condition suivante :
- progression arithmétique, trouver la valeur.
Facile, dites-vous et commencez à compter selon la formule que vous connaissez déjà :

Laissez, ah, alors :

Absolument raison. Il s'avère que nous trouvons d'abord, puis l'ajoutons au premier nombre et obtenons ce que nous recherchons. Si la progression est représentée par de petites valeurs, alors cela n’a rien de compliqué, mais que se passe-t-il si on nous donne des nombres dans la condition ? D'accord, il est possible de se tromper dans les calculs.
Demandez-vous maintenant s'il est possible de résoudre ce problème en une seule étape en utilisant n'importe quelle formule ? Bien sûr que oui, et c’est ce que nous allons essayer de faire ressortir maintenant.

Notons le terme requis de la progression arithmétique car la formule pour le trouver nous est connue - c'est la même formule que nous avons dérivée au début :
, Alors:

• le terme précédent de la progression est :
• le terme suivant de la progression est :

Résumons les termes précédents et suivants de la progression :

Il s'avère que la somme des termes de progression précédents et suivants est la double valeur du terme de progression situé entre eux. En d’autres termes, pour trouver la valeur du terme de progression étant donné les valeurs précédentes et connues valeurs consécutives, vous devez les additionner et les diviser par.

C'est vrai, nous avons le même numéro. Sécurisons le matériel. Calculez vous-même la valeur de la progression, ce n’est pas du tout difficile.

Bien joué! Vous savez presque tout sur la progression ! Il ne reste plus qu'à découvrir une formule qui, selon la légende, a été facilement déduite par l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps, le « roi des mathématiciens » - Karl Gauss...

Lorsque Carl Gauss avait 9 ans, un enseignant, occupé à vérifier le travail des élèves d'autres classes, posa en classe le problème suivant : « Calculer la somme de tous nombres naturels du au (selon d’autres sources jusqu’au) inclus. Imaginez la surprise du professeur lorsqu'un de ses élèves (c'était Karl Gauss) a donné une minute plus tard la bonne réponse à la tâche, tandis que la plupart des camarades de classe du casse-cou, après de longs calculs, ont reçu le mauvais résultat...

Le jeune Carl Gauss a remarqué un certain schéma que vous pouvez facilement remarquer aussi.
Disons que nous avons une progression arithmétique composée de -èmes termes : nous devons trouver la somme de ces termes de la progression arithmétique. Bien sûr, nous pouvons additionner manuellement toutes les valeurs, mais que se passe-t-il si dans la tâche nous devons trouver la somme de ses termes, comme le recherchait Gauss ?

Décrivons la progression qui nous est donnée. Examinez attentivement les nombres en surbrillance et essayez d'effectuer diverses opérations mathématiques avec eux.


L'as tu essayé? Qu'avez-vous remarqué ? Droite! Leurs sommes sont égales

Maintenant, dites-moi, combien y a-t-il de telles paires au total dans la progression qui nous est donnée ? Bien sûr, exactement la moitié de tous les chiffres.
Partant du fait que la somme de deux termes d'une progression arithmétique est égale et que les paires similaires sont égales, nous obtenons que montant total est égal à:
.
Ainsi, la formule de la somme des premiers termes de toute progression arithmétique sera :

Dans certains problèmes, nous ne connaissons pas le ème terme, mais nous connaissons la différence de progression. Essayez de remplacer la formule du ème terme par la formule de somme.
Qu'est-ce que vous obtenez?

Bien joué! Revenons maintenant au problème qui a été posé à Carl Gauss : calculez vous-même à quoi est égale la somme des nombres à partir du ème et la somme des nombres à partir du ème.

Combien as-tu reçu ?
Gauss a découvert que la somme des termes est égale, ainsi que la somme des termes. C'est ce que tu as décidé ?

En fait, la formule de la somme des termes d'une progression arithmétique a été prouvée par l'ancien scientifique grec Diophante au 3ème siècle, et tout au long de cette période, des gens pleins d'esprit ont pleinement utilisé les propriétés d'une progression arithmétique.
Par exemple, imaginez L'Egypte ancienne et le plus construction à grande échelle cette fois-là - la construction d'une pyramide... La photo en montre un côté.

Où est la progression ici, dites-vous ? Regardez attentivement et trouvez une régularité dans le nombre de blocs de sable dans chaque rangée du mur de la pyramide.


Pourquoi pas une progression arithmétique ? Calculez combien de blocs sont nécessaires pour construire un mur si des blocs de briques sont placés à la base. J'espère que vous ne compterez pas en déplaçant votre doigt sur le moniteur, vous vous souvenez de la dernière formule et de tout ce que nous avons dit sur la progression arithmétique ?

DANS dans ce cas La progression ressemble à ceci : .
Différence de progression arithmétique.
Le nombre de termes d'une progression arithmétique.
Remplaçons nos données dans les dernières formules (calculons le nombre de blocs de 2 manières).

Méthode 1.

Méthode 2.

Et maintenant, vous pouvez calculer sur le moniteur : comparez les valeurs obtenues avec le nombre de blocs qui se trouvent dans notre pyramide. J'ai compris? Bravo, vous maîtrisez la somme des nièmes termes d'une progression arithmétique.
Bien sûr, on ne peut pas construire une pyramide à partir de blocs à la base, mais à partir de ? Essayez de calculer combien de briques de sable sont nécessaires pour construire un mur dans cette condition.
Avez-vous réussi ?
La bonne réponse est les blocs :

Entraînement

Tâches:

1. Masha se met en forme pour l'été. Chaque jour, elle augmente le nombre de squats. Combien de fois Masha fera-t-elle des squats par semaine si elle faisait des squats lors de la première séance d'entraînement ?
2. Quelle est la somme de tous les nombres impairs contenus.
3. Lors du stockage des journaux, les enregistreurs les empilent de telle manière que chacun couche supérieure contient un journal de moins que le précédent. Combien y a-t-il de rondins dans une maçonnerie, si les fondations de la maçonnerie sont constituées de rondins ?

Réponses:

1. Définissons les paramètres de la progression arithmétique. Dans ce cas
   (semaines = jours).

   Répondre: Dans deux semaines, Masha devrait faire des squats une fois par jour.

2. D'abord nombre impair, dernier numéro.
   Différence de progression arithmétique.
   Le nombre de nombres impairs est la moitié, cependant, vérifions ce fait à l'aide de la formule pour trouver le ème terme d'une progression arithmétique :

   Les nombres contiennent des nombres impairs.
   Remplaçons les données disponibles dans la formule :

   Répondre: La somme de tous les nombres impairs contenus dans est égale.

3. Rappelons-nous le problème des pyramides. Pour notre cas, a , puisque chaque couche supérieure est réduite d'un journal, alors au total, il y a un tas de couches, c'est-à-dire.
   Remplaçons les données dans la formule :

   Répondre: Il y a des rondins dans la maçonnerie.

Résumons-le

1. - une séquence de nombres dans laquelle la différence entre les nombres adjacents est la même et égale. Il peut être croissant ou décroissant.
2. Trouver une formule Le ème terme d'une progression arithmétique s'écrit par la formule - , où est le nombre de nombres dans la progression.
3. Propriété des membres d'une progression arithmétique- - où est le nombre de nombres en progression.
4. La somme des termes d'une progression arithmétique peut être trouvé de deux manières :
   
   , où est le nombre de valeurs.

PROGRESSION ARITHMÉTIQUE. NIVEAU MOYEN

Séquence numérique

Asseyons-nous et commençons à écrire quelques chiffres. Par exemple:

Vous pouvez écrire n’importe quel nombre, et il peut y en avoir autant que vous le souhaitez. Mais nous pouvons toujours dire lequel est le premier, lequel est le deuxième, et ainsi de suite, c'est-à-dire que nous pouvons les numéroter. Ceci est un exemple de séquence de nombres.

Séquence numérique est un ensemble de nombres, chacun pouvant se voir attribuer un numéro unique.

En d’autres termes, chaque nombre peut être associé à un certain nombre naturel et unique. Et nous n’attribuerons ce numéro à aucun autre numéro de cet ensemble.

Le nombre avec le nombre est appelé le ème membre de la séquence.

Nous appelons généralement la séquence entière par une lettre (par exemple,), et chaque membre de cette séquence est la même lettre avec un indice égal au numéro de ce membre : .

C'est très pratique si le ème terme de la séquence peut être spécifié par une formule. Par exemple, la formule

définit la séquence :

Et la formule est la séquence suivante :

Par exemple, une progression arithmétique est une suite (le premier terme ici est égal et la différence l'est). Ou (, différence).

formule du nième terme

On appelle récurrente une formule dans laquelle, pour connaître le ème terme, il faut connaître le ou plusieurs précédents :

Pour trouver, par exemple, le ième terme de la progression à l'aide de cette formule, il faudra calculer les neuf précédents. Par exemple, laissez-le. Alors:

Eh bien, est-ce que la formule est claire maintenant ?

Dans chaque ligne, nous ajoutons, multiplié par un certain nombre. Lequel? Très simple : c'est le numéro du membre actuel moins :

Beaucoup plus pratique maintenant, non ? Nous vérifions:

Décider vous-même:

Dans une progression arithmétique, trouvez la formule du nième terme et trouvez le centième terme.

Solution:

Le premier terme est égal. Quelle est la différence? Voici quoi :

(C'est pourquoi on l'appelle différence car elle est égale à la différence des termes successifs de la progression).

Donc la formule :

Alors le centième terme est égal à :

Quelle est la somme de tous les nombres naturels de à ?

D'après la légende, grand mathématicien Karl Gauss, enfant de 9 ans, a calculé ce montant en quelques minutes. Il a remarqué que la somme du premier et dernier rendez-vous est égal, la somme du deuxième et de l'avant-dernier est la même, la somme du troisième et du 3ème à partir de la fin est la même, et ainsi de suite. Combien y a-t-il de telles paires au total ? C'est vrai, exactement la moitié du nombre de tous les nombres, bien sûr. Donc,

La formule générale de la somme des premiers termes de toute progression arithmétique sera :

Exemple:
Trouver la somme de tous nombres à deux chiffres, multiples.

Solution:

Le premier de ces chiffres est le suivant. Chaque numéro suivant est obtenu en ajoutant au numéro précédent. Ainsi, les nombres qui nous intéressent forment une progression arithmétique avec le premier terme et la différence.

Formule du ième terme pour cette progression :

Combien de termes y a-t-il dans la progression s’ils doivent tous être à deux chiffres ?

Très facile: .

Le dernier terme de la progression sera égal. Alors la somme :

Répondre: .

Maintenant, décidez vous-même :

1. Chaque jour, l'athlète court plus de mètres que la veille. Combien de kilomètres au total parcourra-t-il en une semaine s'il courait des km m le premier jour ?
2. Un cycliste parcourt chaque jour plus de kilomètres que la veille. Le premier jour, il a parcouru des kilomètres. Combien de jours faut-il parcourir pour parcourir un kilomètre ? Combien de kilomètres parcourra-t-il lors du dernier jour de son voyage ?
3. Le prix d'un réfrigérateur dans un magasin diminue du même montant chaque année. Déterminez de combien le prix d'un réfrigérateur a diminué chaque année si, mis en vente pour des roubles, six ans plus tard, il était vendu pour des roubles.

Réponses:

1. Le plus important ici est de reconnaître la progression arithmétique et de déterminer ses paramètres. Dans ce cas, (semaines = jours). Il faut déterminer la somme des premiers termes de cette progression :
   .
   Répondre:
2. Ici, il est donné : , doit être trouvé.
   Évidemment, vous devez utiliser la même formule de somme que dans le problème précédent :
   .
   Remplacez les valeurs :

   La racine ne convient évidemment pas, donc la réponse est.
   Calculons le chemin parcouru au cours du dernier jour à l'aide de la formule du ème terme :
   (km).
   Répondre:

3. Donné: . Trouver: .
   Rien de plus simple :
   (frotter).
   Répondre:

PROGRESSION ARITHMÉTIQUE. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

Il s'agit d'une séquence de nombres dans laquelle la différence entre les nombres adjacents est la même et égale.

La progression arithmétique peut être croissante () et décroissante ().

Par exemple:

Formule pour trouver le nième terme d'une progression arithmétique

s'écrit par la formule, où est le nombre de nombres en progression.

Propriété des membres d'une progression arithmétique

Il permet de retrouver facilement un terme d'une progression si ses termes voisins sont connus - où est le nombre de nombres dans la progression.

Somme des termes d'une progression arithmétique

Il existe deux façons de connaître le montant :

Où est le nombre de valeurs.

Où est le nombre de valeurs.

Quoi le point principal des formules ?

Cette formule permet de trouver n'importe lequel PAR SON NUMÉRO" n" .

Bien sûr, il faut aussi connaître le premier terme un 1 et différence de progression d eh bien, sans ces paramètres, vous ne pouvez pas écrire une progression spécifique.

Mémoriser (ou mémoriser) cette formule ne suffit pas. Vous devez comprendre son essence et appliquer la formule à divers problèmes. Et n'oublie pas bon moment, mais comment ne pas oublier- Je ne sais pas. Et ici comment se souvenir Si nécessaire, je vous conseillerai certainement. Pour ceux qui terminent la leçon jusqu'à la fin.)

Regardons donc la formule du nième terme d'une progression arithmétique.

Qu'est-ce qu'une formule en général ? Au fait, jetez-y un œil si vous ne l’avez pas lu. Tout y est simple. Reste à savoir ce que c'est nième mandat.

Progression dans vue générale peut s'écrire sous la forme d'une série de nombres :

un 1, un 2, un 3, un 4, un 5, .....

un 1- désigne le premier terme d'une progression arithmétique, un 3- troisième membre, un 4- le quatrième, et ainsi de suite. Si le cinquième mandat nous intéresse, disons que nous travaillons avec un 5, si cent vingtième - s un 120.

Comment pouvons-nous le définir en termes généraux ? n'importe lequel terme d'une progression arithmétique, avec n'importe lequel nombre? Très simple! Comme ça:

un

C'est ce que c'est nième terme d'une progression arithmétique. La lettre n masque tous les numéros de membre à la fois : 1, 2, 3, 4, etc.

Et que nous apporte un tel record ? Pensez-y, au lieu d'un numéro, ils ont écrit une lettre...

Cette entrée nous donne outil puissant pour travailler avec la progression arithmétique. Utiliser la notation un, on peut trouver rapidement n'importe lequel membre n'importe lequel progression arithmétique. Et résolvez un tas d’autres problèmes de progression. Vous verrez par vous-même plus loin.

Dans la formule du nième terme d'une progression arithmétique :

un 1- le premier terme d'une progression arithmétique ;

n- numéro de membre.

La formule relie les paramètres clés de toute progression : un ; un 1 ; d Et n. Tous les problèmes de progression tournent autour de ces paramètres.

La formule du nième terme peut également être utilisée pour écrire une progression spécifique. Par exemple, le problème peut dire que la progression est spécifiée par la condition :

une n = 5 + (n-1) 2.

Un tel problème peut être une impasse... Il n'y a ni série ni différence... Mais, en comparant la condition avec la formule, il est facile de comprendre que dans cette progression un 1 = 5 et d = 2.

Et ça peut être encore pire !) Si on prend la même condition : une n = 5 + (n-1) 2, Oui, ouvrir les parenthèses et en apporter des similaires ? On a nouvelle formule:

une n = 3 + 2n.

Ce Pas général, mais pour une progression spécifique. C’est là que se cache l’écueil. Certaines personnes pensent que le premier terme est un trois. Bien qu'en réalité le premier terme soit cinq... Un peu plus bas nous travaillerons avec une telle formule modifiée.

Dans les problèmes de progression, il existe une autre notation - un n+1. Il s’agit, comme vous l’avez deviné, du terme « n plus premier » de la progression. Sa signification est simple et inoffensive.) C'est un membre de la progression dont le nombre est supérieur au nombre n de un. Par exemple, si dans un problème nous prenons un cinquième mandat alors un n+1 sera le sixième membre. Etc.

Le plus souvent, la désignation un n+1 trouvé dans les formules de récurrence. N'aie pas peur de ça mot terrible!) C'est simplement une manière d'exprimer un membre d'une progression arithmétique à travers le précédent. Disons qu'on nous donne une progression arithmétique sous cette forme, en utilisant une formule récurrente :

un n+1 = un n +3

une 2 = une 1 + 3 = 5+3 = 8

un 3 = un 2 + 3 = 8+3 = 11

Du quatrième au troisième, du cinquième au quatrième, et ainsi de suite. Comment peut-on compter immédiatement, disons, le vingtième mandat ? un 20? Mais il n'y a pas moyen !) Jusqu'à ce qu'on connaisse le 19e mandat, on ne peut pas compter le 20e. Ça y est différence fondamentale formule récurrente à partir de la formule du nième terme. Œuvres récurrentes uniquement à travers précédent terme, et la formule du nième terme passe par d'abord et permet tout de suite trouver n'importe quel membre par son numéro. Sans calculer toute la série de nombres dans l’ordre.

Dans une progression arithmétique, il est facile de transformer une formule récurrente en une formule régulière. Comptez une paire de termes consécutifs, calculez la différence d, trouver, si nécessaire, le premier terme un 1, écris la formule dans sous la forme habituelle, et travailler avec elle. À l’Académie nationale des sciences, de telles tâches sont courantes.

Application de la formule au nième terme d'une progression arithmétique.

Tout d'abord, regardons application directe formules. A la fin de la leçon précédente, il y a eu un problème :

Une progression arithmétique (a n) est donnée. Trouvez un 121 si a 1 =3 et d=1/6.

Ce problème peut être résolu sans aucune formule, simplement en se basant sur la signification d'une progression arithmétique. Ajoutez et ajoutez... Une heure ou deux.)

Et selon la formule, la solution prendra moins d'une minute. Vous pouvez le chronométrer.) Décidons.

Les conditions fournissent toutes les données d'utilisation de la formule : une 1 =3, d=1/6. Reste à savoir ce qui est égal n. Aucun problème! Nous devons trouver un 121. Nous écrivons donc :

Votre attention s'il vous plaît! Au lieu d'un index n un nombre précis est apparu : 121. Ce qui est tout à fait logique.) Nous nous intéressons au membre de la progression arithmétique numéro cent vingt et un. Ce sera le nôtre n. C'est le sens n= 121 nous le substituerons plus loin dans la formule, entre parenthèses. Nous substituons tous les nombres dans la formule et calculons :

une 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

C'est ça. Tout aussi rapidement, on pourrait trouver le cinq cent dixième terme, et le mille troisième, n'importe lequel. On met à la place n numéro souhaité dans l'index de la lettre " un" et entre parenthèses, et on compte.

Je vous rappelle l'essentiel : cette formule permet de trouver n'importe lequel terme de progression arithmétique PAR SON NUMÉRO" n" .

Résolvons le problème d'une manière plus astucieuse. Rencontrons-nous au problème suivant :

Trouver le premier terme de la progression arithmétique (a n), si a 17 =-2 ; d=-0,5.

Si vous rencontrez des difficultés, je vous expliquerai la première étape. Écrivez la formule du nième terme d'une progression arithmétique ! Oui oui. Notez avec vos mains, directement dans votre cahier :

Et maintenant, en regardant les lettres de la formule, nous comprenons de quelles données nous disposons et qu'est-ce qui manque ? Disponible d=-0,5, il y a un dix-septième membre... C'est ça ? Si vous pensez que c'est ça, alors vous ne résoudrez pas le problème, oui...

Nous avons encore un numéro n! À la condition un 17 =-2 caché deux paramètres. C'est à la fois la valeur du dix-septième terme (-2) et son nombre (17). Ceux. n = 17. Cette « bagatelle » échappe souvent à la tête, et sans elle (sans la « bagatelle », pas la tête !) le problème ne peut pas être résolu. Bien que... et sans tête aussi.)

Maintenant, nous pouvons simplement substituer bêtement nos données dans la formule :

une 17 = une 1 + (17-1) · (-0,5)

Oh oui, un 17 nous savons qu'il fait -2. Bon, remplaçons :

-2 = un 1 + (17-1)·(-0,5)

C'est essentiellement tout. Il reste à exprimer le premier terme de la progression arithmétique à partir de la formule et à le calculer. La réponse sera : un 1 = 6.

Cette technique consiste à écrire la formule et substitution simple données connues - cela aide beaucoup tâches simples. Bon bien sûr, il faut être capable d'exprimer une variable à partir d'une formule, mais que faire !? Sans cette compétence, vous ne pourriez pas étudier les mathématiques du tout...

Un autre casse-tête populaire :

Trouver la différence de la progression arithmétique (a n), si a 1 =2 ; un 15 =12.

Qu'est-ce que nous faisons? Vous serez surpris, nous écrivons la formule !)

Considérons ce que nous savons : un 1 =2; un 15 =12 ; et (je soulignerai particulièrement !) n=15. N'hésitez pas à remplacer ceci dans la formule :

12=2 + (15-1)d

Nous faisons le calcul.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

C'est la bonne réponse.

Ainsi, les tâches pour un n, un 1 Et d décidé. Il ne reste plus qu'à apprendre à trouver le numéro :

Le nombre 99 fait partie de la progression arithmétique (a n), où a 1 = 12 ; d = 3. Trouvez le numéro de ce membre.

On substitue les quantités que nous connaissons dans la formule du nième terme :

une n = 12 + (n-1) 3

À première vue, il y a ici deux quantités inconnues : un n et n. Mais un- c'est un membre de la progression avec un numéro n...Et on connaît ce membre de la progression ! Il est 99. Nous ne connaissons pas son numéro. n, C'est donc ce numéro que vous devez trouver. On substitue le terme de la progression 99 dans la formule :

99 = 12 + (n-1) 3

On exprime à partir de la formule n, nous pensons. Nous obtenons la réponse : n=30.

Et maintenant un problème sur le même sujet, mais en plus créatif) :

Déterminez si le nombre 117 fait partie de la progression arithmétique (a n) :

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Écrivons à nouveau la formule. Quoi, il n'y a pas de paramètres ? Hm... Pourquoi on nous donne des yeux ?) Voyons-nous le premier terme de la progression ? Nous voyons. C'est -3,6. Vous pouvez écrire en toute sécurité : une 1 = -3,6. Différence d pouvez-vous déterminer à partir d'une série ? C’est facile si vous savez quelle est la différence entre une progression arithmétique :

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Nous avons donc fait la chose la plus simple. Reste à composer avec le numéro inconnu n et l'incompréhensible nombre 117. Dans le problème précédent, au moins on savait que c'était le terme de la progression qui était donné. Mais ici on ne sait même pas... Que faire !? Eh bien, que faire, que faire... Allumez Compétences créatives!)

Nous supposer ce 117 est, après tout, un membre de notre progression. Avec un numéro inconnu n. Et, comme dans le problème précédent, essayons de trouver ce numéro. Ceux. nous écrivons la formule (oui, oui !)) et substituons nos nombres :

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Encore une fois, nous exprimons à partir de la formulen, on compte et on obtient :

Oops! Le numéro s'est avéré fractionnaire! Cent un et demi. Et les nombres fractionnaires en progressions c'est pas possible. Quelle conclusion peut-on tirer ? Oui! Numéro 117 n'est pas membre de notre progression. C'est quelque part entre les cent unième et cent deuxième termes. Si le nombre s'avère naturel, c'est-à-dire est un entier positif, alors le nombre serait membre de la progression avec le nombre trouvé. Et dans notre cas, la réponse au problème sera : Non.

Basé sur les tâches vraie option GIA :

La progression arithmétique est donnée par la condition :

une n = -4 + 6,8n

Trouvez les premier et dixième termes de la progression.

Ici, la progression n'est pas tout à fait définie de la manière habituelle. Une sorte de formule... Cela arrive.) Cependant, cette formule (comme je l'ai écrit ci-dessus) - aussi la formule du nième terme d'une progression arithmétique ! Elle permet également trouver n'importe quel membre de la progression par son numéro.

Nous recherchons le premier membre. Celui qui pense. que le premier terme est moins quatre est une erreur fatale !) Parce que la formule du problème est modifiée. Le premier terme de la progression arithmétique qu'il contient caché. C'est bon, nous allons le trouver maintenant.)

Comme dans les problèmes précédents, nous substituons n=1 dans cette formule :

une 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Ici! Le premier terme est 2,8, pas -4 !

On cherche le dixième terme de la même manière :

une 10 = -4 + 6,8 10 = 64

C'est ça.

Et maintenant, pour ceux qui ont lu ces lignes, le bonus promis.)

Supposons que, dans une situation de combat difficile de l'examen d'État ou de l'examen d'État unifié, vous ayez oublié la formule utile pour le nième terme d'une progression arithmétique. Je me souviens de quelque chose, mais d'une manière ou d'une autre, de manière incertaine... Ou n là, ou n+1, ou n-1... Comment être!?

Calme! Cette formule est facile à dériver. Pas très strictement, mais par souci de confiance et la bonne décision certainement assez !) Pour tirer une conclusion, il suffit de rappeler le sens élémentaire d'une progression arithmétique et de disposer de quelques minutes de temps. Il vous suffit de faire un dessin. Pour plus de clarté.

Dessinons axe des nombres et marquez le premier dessus. deuxième, troisième, etc. membres. Et on note la différence d entre les membres. Comme ça:

Nous regardons l'image et réfléchissons : à quoi est égal le deuxième terme ? Deuxième un d:

un 2 =un 1 + 1 d

Quel est le troisième terme ? Troisième le terme est égal au premier terme plus deux d.

un 3 =un 1 + 2 d

Tu as compris? Ce n’est pas pour rien que je souligne certains mots en gras. Bon, encore une étape).

Quel est le quatrième terme ? Quatrième le terme est égal au premier terme plus trois d.

un 4 =un 1 + 3 d

Il est temps de réaliser que le nombre de lacunes, c'est-à-dire d, Toujours un de moins que le numéro du membre que vous recherchez n. C'est-à-dire au nombre n, nombre d'espaces volonté n-1. La formule sera donc (sans variantes !) :

En général, les images visuelles sont très utiles pour résoudre de nombreux problèmes mathématiques. Ne négligez pas les photos. Mais s'il est difficile de faire un dessin, alors... seulement une formule !) De plus, la formule du nième terme permet de connecter tout l'arsenal puissant des mathématiques à la solution - équations, inégalités, systèmes, etc. Vous ne pouvez pas insérer une image dans l'équation...

Tâches pour une solution indépendante.

Réchauffer:

1. En progression arithmétique (a n) a 2 =3 ; une 5 =5,1. Trouvez un 3 .

Indice : d'après l'image, le problème peut être résolu en 20 secondes... D'après la formule, cela s'avère plus difficile. Mais pour maîtriser la formule, c'est plus utile.) Dans la section 555, ce problème est résolu en utilisant à la fois l'image et la formule. Sentir la différence!)

Et ce n'est plus un échauffement.)

2. En progression arithmétique (a n) a 85 =19,1 ; a 236 =49, 3. Trouvez a 3 .

Quoi, tu ne veux pas faire de dessin ?) Bien sûr ! Mieux selon la formule, oui...

3. La progression arithmétique est donnée par la condition :un 1 = -5,5 ; un n+1 = un n +0,5. Trouvez le cent vingt-cinquième terme de cette progression.

Dans cette tâche, la progression est précisée de manière récurrente. Mais en comptant jusqu'au cent vingt-cinquième mandat... Tout le monde ne peut pas faire un tel exploit.) Mais la formule du nième mandat est à la portée de tous !

4. Étant donné une progression arithmétique (a n) :

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Trouver le numéro du plus petit terme positif de la progression.

5. D'après les conditions de la tâche 4, trouver la somme des plus petits termes positifs et des plus grands termes négatifs de la progression.

6. Le produit des cinquième et douzième termes d'une progression arithmétique croissante est égal à -2,5 et la somme des troisième et onzième termes est égale à zéro. Trouvez un 14 .

Ce n’est pas la tâche la plus simple, oui...) La méthode du « bout des doigts » ne fonctionnera pas ici. Vous devrez écrire des formules et résoudre des équations.

Réponses (en désarroi) :

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Arrivé? C'est bien!)

Tout ne fonctionne pas ? Arrive. À propos, il y a un point subtil dans la dernière tâche. Il faudra faire preuve de prudence lors de la lecture du problème. Et la logique.

La solution à tous ces problèmes est discutée en détail dans la section 555. Et l'élément de fantaisie pour le quatrième, et un moment subtil pour le sixième, et approches générales pour résoudre tout problème impliquant la formule du nième terme - tout est écrit. Je recommande.

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Au fait, j'ai quelques autres sites intéressants pour vous.)

Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.

Le terme général de la séquence est $u_n=n^2$. En remplaçant $n=1$, on obtient :

$$ u_1=1^2=1. $$

C'est le premier terme de la suite. En remplaçant $n=2$ dans $u_n=n^2$, on obtient le deuxième terme de la séquence :

$$ u_2=2^2=4. $$

Si on substitue $n=3$, on obtient le troisième terme de la suite :

$$ u_3=3^2=9. $$

De la même manière, nous trouvons les quatrième, cinquième, sixième et autres termes de la suite. Voici comment nous obtenons les nombres correspondants :

$$ 1;\; 4;\; 9;\; 16;\; 25;\; 36;\; 49;\; 64 ; \;81; \ldots $$

Il convient également de garder à l'esprit les termes de la séquence $u_n=n^3$. Voici quelques-uns de ses premiers membres :

\begin(équation)1;\; 8;\; 27;\; 64;\; 125;\; 216;\; 343;\; 512;\;729; \ldots \end(équation)

De plus, pour former le terme général d'une série, on utilise souvent la séquence $u_n=n!$ dont les premiers termes sont les suivants :

\begin(équation)1;\; 2;\; 6;\; 24;\; 120;\; 720;\; 5040 ; \ldots \end(équation)

Enregistrement de "n!" (lire "en factoriel") désigne le produit de tous les nombres naturels de 1 à n, c'est-à-dire

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n. $$

Par définition, on suppose que $0!=1!=1$. Par exemple, trouvons 5 ! :

$$ 5 !=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

Les progressions arithmétiques et géométriques sont également souvent utilisées. Si le premier terme d'une progression arithmétique est égal à $a_1$ et la différence est égale à $d$, alors membre commun une progression arithmétique s'écrit à l'aide de la formule suivante :

\begin(équation)a_n=a_1+d\cdot (n-1) \end(équation)

Qu'est-ce qu'une progression arithmétique ? afficher\masquer

Une progression arithmétique est une suite de nombres dans laquelle la différence entre les termes suivant et précédent est constante. Cette différence constante est appelée différence de progression

$$ 3;\; dix;\; 17;\; 24;\; 31;\; 38;\; 45;\; 52 ; \ldots $$

Veuillez noter que quelle que soit la paire d'éléments voisins que nous prenons, la différence entre les membres suivants et précédents sera toujours constante et égale à 7 :

\begin(aligné) & 10-3=7;\\ & 17-10=7;\\ & 31-24=7; \ldots\fin (aligné)

Ce numéro, c'est-à-dire 7, et il y a une différence de progression. Il est généralement désigné par la lettre $d$, c'est-à-dire $d=7$. Le premier élément de la progression est $a_1=3$. On écrit le terme général de cette progression à l'aide de la formule. En y remplaçant $a_1=3$ et $d=7$, nous aurons :

$$ a_n=3+7\cdot (n-1)=3+7n-7=7n-4. $$

Pour plus de clarté, utilisons la formule $a_n=7n-4$ pour trouver les premiers termes de la progression arithmétique :

\begin(aligné) & a_1=7\cdot 1-4=3;\\ & a_2=7\cdot 2-4=10;\\ & a_3=7\cdot 3-4=17;\\ & a_4= 7\cdot 4-4=24;\\ & a_5=7\cdot 5-4=31. \end(aligné)

En remplaçant n'importe quelle valeur du nombre $n$ dans la formule $a_n=7n-4$, vous pouvez obtenir n'importe quel membre de la progression arithmétique.

Il convient également de noter la progression géométrique. Si le premier terme de la progression est égal à $b_1$, et le dénominateur est égal à $q$, alors le terme général de la progression géométrique est donné par la formule suivante :

\begin(équation)b_n=b_1\cdot q^(n-1) \end(équation)

Ce qui s'est passé progression géométrique? afficher\masquer

La progression géométrique est une séquence de nombres dans laquelle la relation entre les termes suivants et précédents est constante. Cette relation constante est appelée dénominateur de progression. Par exemple, considérons la séquence suivante :

$$ 6;\; 18;\; 54;\; 162;\; 486;\; 1458;\; 4374 ; \ldots $$

Veuillez noter que quelle que soit la paire d'éléments voisins que l'on prend, le rapport du suivant au précédent sera toujours constant et égal à 3 :

\begin(aligné) & \frac(18)(6)=3;\\ & \frac(54)(18)=3;\\ & \frac(1458)(486)=3;\\ & \ldots \end(aligné)

Ce numéro, c'est-à-dire 3 est le dénominateur de la progression. Il est généralement désigné par la lettre $q$, c'est-à-dire $q=3$. Le premier élément de la progression est $b_1=6$. On écrit le terme général de cette progression à l'aide de la formule. En y remplaçant $b_1=6$ et $q=3$, nous aurons :

$$ b_n=6\cdot 3^(n-1). $$

Pour plus de clarté, utilisons la formule $b_n=6\cdot 3^(n-1)$ pour trouver les premiers termes de la progression géométrique :

\begin(aligné) & b_1=6\cdot 3^0=6;\\ & b_2=6\cdot 3^1=18;\\ & b_3=6\cdot 3^2=54;\\ & b_4= 6\cdot 3^3=162;\\ & b_5=6\cdot 3^4=486. \end(aligné)

En remplaçant n'importe quelle valeur du nombre $n$ dans la formule $b_n=6\cdot 3^(n-1)$, vous pouvez obtenir n'importe quel terme de la progression géométrique.

Dans tous les exemples ci-dessous, nous désignerons les membres de la série par les lettres $u_1$ (le premier membre de la série), $u_2$ (le deuxième membre de la série), et ainsi de suite. La notation $u_n$ désignera le terme commun de la série.

Exemple n°1

Trouvez le terme commun de la série $\frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+\ldots$.

L’essence de ces tâches est de remarquer le modèle inhérent aux premiers membres de la série. Et sur la base de ce modèle, tirez une conclusion sur le type de membre commun. Que signifie l'expression « trouver le terme commun » ? Cela signifie qu'il faut trouver une telle expression, en substituant $n=1$ dans laquelle on obtient le premier terme de la série, c'est-à-dire $\frac(1)(7)$ ; En remplaçant $n=2$ nous obtenons le deuxième terme de la série, c'est-à-dire $\frac(2)(9)$ ; En remplaçant $n=3$ nous obtenons le troisième terme de la série, c'est-à-dire $\frac(3)(11)$ et ainsi de suite. On connaît les quatre premiers termes de la série :

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13). $$

Avançons progressivement. Tous les membres de la série que nous connaissons sont des fractions, il est donc raisonnable de supposer que le membre commun de la série est également représenté par une fraction :

$$ u_n=\frac(?)(?) $$

Notre tâche est de découvrir ce qui se cache sous les points d'interrogation du numérateur et du dénominateur. Regardons d'abord le numérateur. Les numérateurs des membres de la série que nous connaissons sont les nombres 1, 2, 3 et 4. Notez que le nombre de chaque membre de la série est égal au numérateur. Le premier terme a un numérateur de un, le deuxième un deux, le troisième un trois et le quatrième un quatre.

Il est logique de supposer que le nième terme aura $n$ dans son numérateur :

$$ u_n=\frac(n)(?) $$

D’ailleurs, on peut arriver à cette conclusion d’une autre manière, plus formelle. Quelle est la séquence 1, 2, 3, 4 ? Notez que chaque membre suivant de cette séquence est supérieur de 1 au précédent. Nous avons affaire à quatre termes d'une progression arithmétique dont le premier terme est $a_1=1$, et la différence est $d=1$. A l'aide de la formule, on obtient l'expression du terme général de la progression :

$$ a_n=1+1\cdot (n-1)=1+n-1=n. $$

Ainsi, deviner ou calculer formellement est une question de goût. L'essentiel est que nous ayons noté le numérateur du terme commun de la série. Passons au dénominateur.

Aux dénominateurs nous avons la suite 7, 9, 11, 13. Ce sont quatre termes d'une progression arithmétique dont le premier terme est égal à $b_1=7$, et la différence est $d=2$. On retrouve le terme général de la progression à l'aide de la formule :

$$ b_n=7+2\cdot (n-1)=7+2n-2=2n+5. $$

L'expression résultante, c'est-à-dire $2n+5$, et sera le dénominateur du terme commun de la série. Donc:

$$ u_n=\frac(n)(2n+5). $$

Le terme général de la série est obtenu. Vérifions si la formule que nous avons trouvée $u_n=\frac(n)(2n+5)$ est adaptée pour calculer les termes déjà connus de la série. Trouvons les termes $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$ en utilisant la formule $u_n=\frac(n)(2n+5)$. Les résultats doivent naturellement coïncider avec les quatre premiers termes de la série qui nous est donnée par condition.

$$ u_1=\frac(1)(2\cdot 1+5)=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(2\cdot 2+5)=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(2\cdot 3+5)=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(2\cdot 4+5)=\frac(4)(13). $$

C'est vrai, les résultats sont les mêmes. La série spécifiée dans la condition peut désormais s'écrire sous la forme suivante : $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(n)(2n+5)$. Le terme général de la série a la forme $u_n=\frac(n)(2n+5)$.

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+0+0+0+0+0+0+ 0+\ldots $$

Une telle série n'a-t-elle pas le droit d'exister ? C’est toujours le cas. Et pour cette série on peut écrire ça

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=0\; (n≥5). $$

Vous pouvez écrire une autre suite. Par exemple, ceci :

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+\frac(1)(5)+\frac( 1)(6)+\frac(1)(7)+\frac(1)(8)+\frac(1)(9)+\frac(1)(10)+\ldots $$

Et une telle suite ne contredit rien. Dans ce cas, on peut écrire que

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=\frac(1)(n)\; (n≥5). $$

Si les deux premières options vous semblent trop formelles, alors je vous en proposerai une troisième. Écrivons le terme commun comme suit :

$$ u_n=\frac(n)(n^4-10n^3+35n^2-48n+29). $$

Calculons les quatre premiers termes de la série en utilisant la formule générale des termes proposée :

\begin(aligned) & u_1=\frac(1)(1^4-10\cdot 1^3+35\cdot 1^2-48\cdot 1+29)=\frac(1)(7);\ \ & u_2=\frac(2)(2^4-10\cdot 2^3+35\cdot 2^2-48\cdot 2+29)=\frac(2)(9);\\ & u_3= \frac(3)(3^4-10\cdot 3^3+35\cdot 3^2-48\cdot 3+29)=\frac(3)(11);\\ & u_4=\frac(4 )(4^4-10\cdot 4^3+35\cdot 4^2-48\cdot 4+29)=\frac(4)(13). \end(aligné)

Comme vous pouvez le constater, la formule proposée pour le terme général est tout à fait correcte. Et vous pouvez proposer un nombre infini de telles variations, leur nombre est illimité. DANS exemples standards est bien sûr utilisé ensemble standard quelques séquences connues (progressions, degrés, factorielles, etc.). Cependant, dans de telles tâches, il y a toujours de l'incertitude, et il convient de s'en souvenir.

Dans tous les exemples suivants, cette ambiguïté ne sera pas précisée. Nous déciderons en utilisant des méthodes standards, qui sont acceptés dans la plupart des livres de problèmes.

Répondre: terme commun de la série : $u_n=\frac(n)(2n+5)$.

Exemple n°2

Écrivez le terme commun de la série $\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1)(3\cdot 8)+\frac(1)(5\cdot 11)+\frac(1) (7\cdot 14)+\frac(1)(9\cdot 17)+\ldots$.

On connaît les cinq premiers termes de la série :

$$ u_1=\frac(1)(1\cdot 5);\; u_2=\frac(1)(3\cdot 8); \; u_3=\frac(1)(5\cdot 11); \; u_4=\frac(1)(7\cdot 14); \; u_5=\frac(1)(9\cdot 17). $$

Tous les termes de la série que nous connaissons sont des fractions, ce qui signifie que nous chercherons le terme commun de la série sous la forme d'une fraction :

$$ u_n=\frac(?)(?). $$

Faisons immédiatement attention au numérateur. Tous les numérateurs contiennent des unités, donc le numérateur du terme commun de la série en contiendra également une, c'est-à-dire

$$ u_n=\frac(1)(?). $$

Regardons maintenant le dénominateur. Les dénominateurs des premiers termes de la série que nous connaissons contiennent les produits de nombres : $1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$. Les premiers de ces nombres sont : 1, 3, 5, 7, 9. Cette séquence a le premier terme $a_1=1$, et chacun des suivants est obtenu à partir du précédent en ajoutant le nombre $d=2$. Autrement dit, ce sont les cinq premiers termes d'une progression arithmétique dont le terme commun peut s'écrire à l'aide de la formule :

$$ a_n=1+2\cdot (n-1)=1+2n-2=2n-1. $$

Dans les produits $1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$ les deuxièmes nombres sont : 5, 8, 11, 14, 17. Ce sont les éléments d'une progression arithmétique dont le premier terme est $b_1=5$ et le dénominateur est $d=3$. On écrit le terme général de cette progression en utilisant la même formule :

$$ b_n=5+3\cdot (n-1)=5+3n-3=3n+2. $$

Rassemblons les résultats. Le produit au dénominateur du terme commun de la série est : $(2n-1)(3n+2)$. Et le terme général de la série elle-même a la forme suivante :

$$ u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2)). $$

Pour vérifier le résultat obtenu, on utilise la formule $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ pour trouver les quatre premiers termes de la série que l'on connaît :

\begin(aligned) & u_1=\frac(1)((2\cdot 1-1)(3\cdot 1+2))=\frac(1)(1\cdot 5);\\ & u_2=\ frac(1)((2\cdot 2-1)(3\cdot 2+2))=\frac(1)(3\cdot 8);\\ & u_3=\frac(1)((2\cdot 3-1)(3\cdot 3+2))=\frac(1)(5\cdot 11);\\ & u_4=\frac(1)((2\cdot 4-1)(3\cdot 4 +2))=\frac(1)(7\cdot 14);\\ & u_5=\frac(1)((2\cdot 5-1)(3\cdot 5+2))=\frac(1 )(9\cdot 17). \end(aligné)

Ainsi, la formule $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ vous permet de calculer avec précision les termes de la série, connus à partir de la condition. Si on le désire série donnée peut s'écrire ainsi :

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)((2n-1)(3n+2))=\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1 )(3\cdot 8)+\frac(1)(5\cdot 11)+\frac(1)(7\cdot 14)+\frac(1)(9\cdot 17)+\ldots $$

Répondre: terme commun de la série : $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$.

Nous continuerons ce sujet dans les deuxième et troisième parties.

Beaucoup de gens ont entendu parler de la progression arithmétique, mais tout le monde n'a pas une bonne idée de ce que c'est. Dans cet article, nous donnerons la définition correspondante, examinerons également la question de savoir comment trouver la différence d'une progression arithmétique et donnerons un certain nombre d'exemples.

Définition mathématique

Donc si nous parlons de sur la progression arithmétique ou algébrique (ces concepts définissent la même chose), alors cela signifie qu'il y a une certaine série de nombres, satisfaisant prochaine loi: Tous les deux nombres adjacents dans une série diffèrent de la même valeur. Mathématiquement, cela s'écrit ainsi :

Ici, n signifie le numéro d'élément a n dans la séquence, et le nombre d est la différence de progression (son nom découle de la formule présentée).

Que signifie connaître la différence d ? À propos de la « distance » des nombres voisins les uns des autres. Cependant, la connaissance de d est nécessaire, mais pas condition suffisante pour déterminer (restaurer) toute la progression. Vous devez connaître un nombre supplémentaire, qui peut être absolument n'importe quel élément de la série considérée, par exemple un 4, un a10, mais, en règle générale, ils utilisent le premier nombre, c'est-à-dire un 1.

Formules pour déterminer les éléments de progression

En général, les informations ci-dessus sont déjà suffisantes pour passer à la solution tâches spécifiques. Néanmoins, avant de donner la progression arithmétique, et il faudra trouver sa différence, nous présentons quelques formules utiles, facilitant ainsi le processus ultérieur de résolution des problèmes.

Il est facile de montrer que tout élément de la séquence de numéro n peut être trouvé comme suit :

une n = une 1 + (n - 1) * ré

En effet, n'importe qui peut vérifier cette formule par simple recherche : si vous remplacez n = 1, vous obtenez le premier élément, si vous remplacez n = 2, alors l'expression donne la somme du premier nombre et de la différence, et ainsi de suite.

Les conditions de nombreux problèmes sont composées de telle manière que, étant donné une paire de nombres connue, dont les nombres sont également donnés dans la séquence, il est nécessaire de reconstruire la série entière de nombres (trouver la différence et le premier élément). Nous allons maintenant résoudre ce problème sous forme générale.

Alors, donnons deux éléments avec les nombres n et m. En utilisant la formule obtenue ci-dessus, vous pouvez créer un système de deux équations :

un n = un 1 + (n - 1) * ré;

une m = une 1 + (m - 1) * ré

Pour trouver des quantités inconnues, nous utilisons le connu astuce simple solutions à un tel système : soustrayez les côtés gauche et droit deux à deux, l'égalité restera valable. Nous avons:

un n = un 1 + (n - 1) * ré;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Ainsi, nous avons exclu une inconnue (a 1). Nous pouvons maintenant écrire l’expression finale pour déterminer d :

d = (a n - a m) / (n - m), où n > m

Nous avons eu très formule simple: pour calculer la différence d en fonction des conditions du problème, il suffit de prendre le rapport des différences entre les éléments eux-mêmes et leurs Numéros de série. Il faudrait faire attention à un point important attention : les différences sont prises entre les membres « senior » et « junior », c'est-à-dire n > m (« senior » signifie se tenir plus loin du début de la séquence, son valeur absolue peut être plus grand ou plus petit que l’élément « junior »).

L'expression de la différence d progression doit être substituée dans l'une des équations au début de la résolution du problème pour obtenir la valeur du premier terme.

À notre époque de développement la technologie informatique De nombreux écoliers essaient de trouver des solutions à leurs devoirs sur Internet, alors des questions de ce type se posent souvent : trouver la différence d'une progression arithmétique en ligne. Pour une telle requête, le moteur de recherche renverra un certain nombre de pages web, en vous rendant sur lesquelles vous devrez saisir les données connues de la condition (cela peut être soit deux termes de la progression, soit la somme d'un certain nombre d'entre eux). ) et recevez instantanément une réponse. Néanmoins, cette approche pour résoudre le problème est improductive en termes de développement de l’étudiant et de compréhension de l’essence de la tâche qui lui est assignée.

Solution sans utiliser de formules

Résolvons le premier problème sans utiliser aucune des formules données. Soit les éléments de la série : a6 = 3, a9 = 18. Trouvez la différence de la progression arithmétique.

Les éléments connus sont alignés les uns à côté des autres. Combien de fois faut-il ajouter la différence d à la plus petite pour obtenir la plus grande ? Trois fois (la première fois en ajoutant d, nous obtenons le 7ème élément, la deuxième fois - le huitième et enfin la troisième fois - le neuvième). Quel nombre faut-il ajouter à trois trois fois pour obtenir 18 ? C'est le numéro cinq. Vraiment:

Ainsi, la différence inconnue d = 5.

Bien entendu, la solution pourrait être obtenue en utilisant formule correspondante, mais cela n’a pas été fait intentionnellement. Explication détaillée la solution au problème devrait devenir claire et un exemple brillant Qu'est-ce qu'une progression arithmétique ?

Une tâche similaire à la précédente

Résolvons maintenant un problème similaire, mais modifions les données d'entrée. Donc, vous devriez trouver si a3 = 2, a9 = 19.

Bien entendu, vous pouvez à nouveau recourir à la méthode de résolution « frontale ». Mais comme les éléments de la série sont donnés relativement éloignés les uns des autres, cette méthode ne sera pas tout à fait pratique. Mais l’utilisation de la formule résultante nous mènera rapidement à la réponse :

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83

Ici, nous avons arrondi numéro final. La mesure dans laquelle cet arrondi a conduit à une erreur peut être jugée en vérifiant le résultat obtenu :

un 9 = un 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Ce résultat ne diffère que de 0,1 % de la valeur donnée dans la condition. Par conséquent, l’arrondi utilisé au centième le plus proche peut être considéré comme un choix judicieux.

Problèmes liés à l'application de la formule pour le terme

Considérons exemple classique tâches pour déterminer l'inconnue d : trouver la différence de la progression arithmétique si a1 = 12, a5 = 40.

Lorsqu'on lui donne deux nombres d'une inconnue séquence algébrique, et l’un d’eux est l’élément a 1, alors vous n’avez pas besoin de réfléchir longtemps, mais vous devez immédiatement appliquer la formule pour le membre a n. Dans ce cas nous avons :

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Nous avons reçu le nombre exact lors de la division, il ne sert donc à rien de vérifier l'exactitude du résultat calculé, comme cela a été fait dans le paragraphe précédent.

Résolvons un autre problème similaire : nous devons trouver la différence d'une progression arithmétique si a1 = 16, a8 = 37.

Nous utilisons une approche similaire à la précédente et obtenons :

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Que devez-vous savoir d’autre sur la progression arithmétique ?

En plus des problèmes liés à la recherche d'une différence inconnue ou éléments individuels, il est souvent nécessaire de résoudre des problèmes de somme des premiers termes d’une suite. L'examen de ces tâches dépasse le cadre de l'article, cependant, pour l'exhaustivité des informations que nous présentons formule générale pour la somme de n nombres dans une série :

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2