Nombres réels, image sur l'axe des nombres. Nombres réels, image sur l'axe des nombres Inégalités numériques et leurs propriétés

2 ÉQUATIONS ET INÉGALITÉS DU PREMIER DEGRÉ
Commencez à étudier le sujet en résolvant les problèmes de répétition du chapitre 1

§ 4. INÉGALITÉS

Inégalités numériques et leurs propriétés

175. Mettez un signe d'inégalité entre les nombres UN Et b, si l'on sait que :
1) (a-b) - nombre positif ;
2) (a-b) - nombre négatif ;
3) (a-b) est un nombre non négatif.

176. X, Si:
1) X> 0; 2) X < 0; 3) 1 < X; 4) X > -3,2?

177. Écrivez en utilisant les signes d’inégalité que :
1) X- nombre positif ;
2) à-nombre négatif ;
3) | UN| - le nombre est non négatif ;
4) la moyenne arithmétique de deux nombres positifs UN Et b pas moins que leur moyenne géométrique ;
5) la valeur absolue de la somme de deux nombres rationnels UN Et b pas plus que la somme des valeurs absolues des termes.

178. Que pouvez-vous dire des signes des nombres ? UN Et b, Si:

1) un b> 0; 2) un / b > 0; 3) un b< 0; 4) un / b < 0?

179. 1) Classez les nombres suivants par ordre croissant, en les reliant par un signe d'inégalité : 0 ; -5 ; 2. Comment lire cette entrée ?

2) Classez les nombres suivants par ordre décroissant, en les reliant par un signe d'inégalité : -10 ; 0,1;- 2 / 3. Comment lire cette entrée ?

180. Notez par ordre croissant tous les nombres à trois chiffres, chacun contenant les chiffres 2 ; 0 ; 5, et reliez-les avec un signe d’inégalité.

181. 1) Pour une seule mesure d'une certaine longueur je a constaté qu'elle fait plus de 217 cm, mais moins de 218 cm. Notez le résultat de la mesure, en prenant ces nombres comme limites pour la valeur de longueur. je.

2) Lors de la pesée d'un objet, il s'est avéré qu'il était plus lourd que 19,5 G, mais plus léger que 20,0 G. Notez le résultat de la pesée en indiquant les limites.

182. En pesant un certain objet avec une précision de 0,05 kg, le poids a été obtenu
P ≈ 26,4 kg. Indiquez les limites de poids pour cet article.

183. Où sur l'axe des nombres se trouve le point représentant le nombre X, Si:
1) 3 < X < 10; 2) - 2 < X < 7; 3) - 1 > X > - 6?

184. Rechercher et indiquer des valeurs entières sur l'axe des nombres X, satisfaisant les inégalités.

1) 0,2 < X <4;
2)-3 < X <2;
3) 1 / 2 < X< 5;
4) -1< X<;3.

185. Quel multiple de 9 se situe entre 141 et 152 ? Donnez une illustration d’une droite numérique.

186. Déterminez lequel de deux nombres est le plus grand si l'on sait que chacun d'eux est supérieur à 103 et inférieur à 115, et que le premier nombre est un multiple de 13 et le second est un multiple de 3. Donnez une illustration géométrique.

187. Quels sont les nombres entiers les plus proches contenant des fractions propres ? Est-il possible de spécifier deux entiers avec toutes les fractions impropres entre eux ?

188. J'ai acheté 6 livres sur les mathématiques, la physique et l'histoire. Combien de livres ont été achetés dans chaque matière, si l’on achetait plus de livres en mathématiques qu’en histoire, et moins en physique qu’en histoire ?

189. Lors d'un cours d'algèbre, les connaissances de trois étudiants ont été testées. Quelle note chaque élève a-t-il reçu si l'on sait que le premier a obtenu un score supérieur au deuxième, et que le second a reçu un score supérieur au troisième, et que le nombre de points reçus par chaque élève est supérieur à deux ?

190. Dans un tournoi d'échecs, les meilleurs résultats ont été obtenus par les joueurs d'échecs A, B, C et D. Est-il possible de savoir quelle place a pris chacun des participants au tournoi si l'on sait que A a marqué plus de points que D et que B en a marqué inférieur à C ?

191. Compte tenu des inégalités une > b. Est-ce toujours ac > bc? Donnez des exemples.

192. Compte tenu des inégalités UN< b. L'inégalité est-elle vraie ? UN > - b?

193. Est-il possible, sans changer le signe de l'inégalité, de multiplier les deux côtés par l'expression X 2 + 1, où X- un nombre rationnel ?

194. Multipliez les deux côtés de l’inégalité par le facteur indiqué entre parenthèses.

1)-3 < 1 (5); 2) 2 < 5 (-1); 3) X > 2 (X);
4) UN < - 1 (UN); 5) b < - 3 (-b); 6)X -2 > 1 (X).

195. Conduisent à tout un type d’inégalité :

196. Étant donné une fonction y = kx, Où k à avec une argumentation croissante X, si : 1) k> 0; 2) k < 0? Обосновать ответы.

197. Étant donné une fonction y = kx + b, Où k =/= 0, b=/= 0. Comment les valeurs de la fonction changent à avec des valeurs d'argument décroissantes X, si : 1) k > 0; 2) k < 0? Обосновать ответы.

198. Prouver que si une > b Et Avec> 0, alors un / c > b / c; Si une > b Et Avec< 0, то un / c < b / c .

199. Divisez les deux côtés de l'inégalité par les nombres indiqués entre parenthèses :

1) - 6 < 3 (1 / 3); 2) 4 > -1,5 (-1); 3) UN < - 2UN 2 (UN);
4) UN > UN 2 (UN); 5) UN 3 > UN 2 (-UN).

200. Additionner les inégalités terme par terme :

1) 12 > 11 et 1 > -3 ;
2) -5 < 2 и 4 < 8,2;
3) UN - 2 < 8 + b et 5 - 2 UN < 2 - b;
4) X 2 + 1 > 2X Et X - 3 < 9 - X 2 .

201. Montrer que chaque diagonale d’un quadrilatère convexe est inférieure à son demi-périmètre.

202. Montrer que la somme de deux côtés opposés d’un quadrilatère convexe est inférieure à la somme de ses diagonales.

203. Soustrayez la deuxième inégalité terme par terme de la première :

1)5 > 2; -3 < 1;
2) 0,2 < 3; 0,3 > -2;
3) 7 < 11; -4 < -3;
4) 2UN- 1 > 3b; 2b > 3.

204. Prouver que si | X |< а , Que - UN< х < а .

205. Écrivez les inégalités suivantes sous forme de doubles inégalités :
1) | T |< 1; 2) | X - 2 | < 2.

206. Indiquer sur un axe des nombres l'ensemble de toutes les valeurs X, satisfaisant les inégalités : 1) | X |< 2; 2) | X | < 1; 3) | X | > 3; 4) | X - 1 | < 1.

207. Prouver que si - UN< х < а , puis | X |< UN.

208. Remplacez les doubles inégalités par une notation abrégée :
1) -2 < UN < 2; 2) -1 < 2n < 1; 3) 1 < x < 3.

209. Longueur approximative je= 24,08(±0,01) mm. Définir des limites de longueur je.

210. Mesurer cinq fois la même distance à l'aide d'une règle de mètre a donné les résultats suivants : 21,56 ; 21h60 ; 21h59 ; 21h55 ; 21,61 (m). Trouvez la moyenne arithmétique des résultats de mesure indiquant les limites des erreurs absolues et relatives.

211. Lors de la pesée de la charge, P = 16,7 (± 0,4 %) kg a été obtenu. Trouvez les limites du poids R.

212. UN≈ 16,4, erreur relative ε = 0,5 %. Trouver l'erreur absolue
Δ un et établir les limites entre lesquelles se situe le nombre approximatif.

213. Déterminez la limite de l'erreur relative de la valeur approximative de chacun des nombres suivants, si la valeur approximative est prise avec le nombre spécifié de chiffres corrects : 1) 11/6 avec trois chiffres corrects ; 2) √5 avec quatre chiffres corrects.

214. En mesurant la distance entre deux villes à l'aide d'une carte, ils ont constaté qu'elle était supérieure à 24,4 cm, mais inférieure à 24,8 cm. Trouvez la distance réelle entre les villes et l'erreur de calcul absolue si l'échelle de la carte est de 1 : 2 500 000.

215. Effectuer des calculs et déterminer les erreurs absolues et relatives du résultat : x = une + b - c, Si UN= 7,22 (±0,01) ; 3.14< b < 3,17; Avec= 5,4(±0,05).

216. Multipliez les inégalités terme par terme :

1) 7 > 5 et 3 >2 ; 2) 3< 5 и 2 / 3 <2;

3) - 6 < - 2 и - 3 < - 1; 4)UN> 2 et b < -2.

217. Compte tenu des inégalités UN > b. Est-ce toujours UN 2 > b 2 ? Donnez des exemples.

218. Si une > b > 0 et n est un nombre naturel, alors en haut > b. Prouver.

219. Qu'est-ce qui est le plus grand : (0,3) 20 ou (0,1) 10 ?

220. Si une > b > 0 ou b< а < 0, puis 1 / un < 1 / b. Prouver.

221. Calculez la superficie d'un terrain rectangulaire d'une longueur de 437 m et d'une largeur de 162 m, si lors de la mesure de la longueur de la parcelle, une erreur de ±2 m est possible, et lors de la mesure de la largeur, une erreur de ±1 m est possible.

Définition 1. Axe des nombres s'appelle une ligne droite sur laquelle l'origine, l'échelle et la direction sont sélectionnées.

Théorème 1. Il existe une correspondance bijective (bijection) entre les points de la droite numérique et les nombres réels.

Nécessité. Montrons que chaque point de la droite numérique correspond à un nombre réel. Pour ce faire, réservons un segment d'échelle de longueur unitaire

si c'est le cas, c'est le but se trouvera à gauche du point , et pointez
déjà plus à droite. Segment suivant
diviser par
pièces et mettre de côté le segment et si c'est le cas, c'est le but se trouvera à gauche du point , et pointez
déjà plus à droite. Ainsi, à chaque étape le nombre
,
... Si cette procédure se termine à un moment donné, nous obtiendrons le numéro
(coordonnée du point sur l'axe des nombres). Si ce n’est pas le cas, appelons la limite gauche de n’importe quel intervalle un « nombre » avec un désavantage », et le bon – « avec un certain nombre avec excès", ou "rapprochement du nombre avec déficience ou excès », et le nombre lui-même sera une fraction décimale infinie non périodique (pourquoi ?). On peut montrer que toutes les opérations avec des approximations rationnelles d'un nombre irrationnel sont déterminés sans ambiguïté.

Adéquation. Montrons que tout nombre réel correspond à un seul point sur l’axe des nombres. 

Définition 2. Si
, puis l'intervalle numérique
appelésegment , Si
, puis l'intervalle numérique appeléintervalle , Si
, puis l'intervalle numérique
appelédemi-intervalle .

À PROPOS
définition 3. Si dans un segment
les segments sont imbriqués de sorte que
, UN
, alors un tel système est appelé SHS (système de segments imbriqués ).

Définition 4. Ils disent que

(longueur des segments
tend vers zéro , à condition que
), Si.

Définition 5. SBC, qui a
appelé CSS (système de segment contractuel).

Axiome de Cantor-Dedekind : Dans tout SHS, il y a au moins un point qui appartient à tous à la fois.

Puisque les approximations rationnelles du nombre peut être représenté par un système de segments contractuels, alors le nombre rationnel correspondra à un seul point sur l'axe numérique si dans le système de segments contractants il y a un seul point qui appartient à tous à la fois ( Théorème de Cantor). Montrons cela par contradiction.

. Laisser Et deux de ces points, et
,
. T
comment, comment,
, Que
. Mais, d'un autre côté,
, une, c'est-à-dire à partir d'un certain nombre
,
sera inférieur à n’importe quelle constante. Cette contradiction prouve ce qui est demandé.

■
Ainsi, nous avons montré que l’axe des nombres est continu (n’a pas de « trous ») et qu’aucun nombre ne peut plus y être placé. Cependant, nous ne savons toujours pas comment extraire les racines de nombres réels (en particulier de nombres négatifs) et nous ne savons pas non plus comment résoudre des équations comme

. Au paragraphe 5, nous résoudrons ce problème.

3. 4. Théorie des bords Définition 1.
Beaucoup (limité d'en haut d'en bas ), s'il y a un numéro
, tel que . Nombreappelé (haut ) bas .

Définition 2. Définition 1.bord limité

, s'il est délimité à la fois au-dessus et en dessous. Définition 3. Bord supérieur précis
délimité au-dessus d'un ensemble de nombres réels :

appelé (ceux.

appelé – une des faces supérieures) ;

– non mobile). Commentaire.
Limite suprême exacte (SUB) d'un ensemble de nombres
désigné par (de lat. suprême

– non mobile). - le plus petit des grands). La définition correspondante pour TNG ( bord inférieur exact
Limite suprême exacte (SUB) d'un ensemble de nombres
désigné par ) donnez-vous. Jeu de numéros TNG infini

– non mobile). - le plus grand des plus petits).
peut appartenir , ou peut-être pas. Nombre est un TVG de l'ensemble des nombres réels négatifs, et un TVG de l'ensemble des nombres réels positifs, mais n'appartient ni à l'un ni à l'autre. Nombre

est un TNG de l'ensemble des nombres naturels et s'y réfère.

Théorème 1. La question se pose : un ensemble délimité a-t-il des limites exactes et combien y en a-t-il ?

Tout ensemble non vide de nombres réels délimité ci-dessus possède un TVG unique. (de même, formulez et prouvez vous-même le théorème de TNG). Conception.
Beaucoup
Et
un ensemble non vide de nombres réels délimité ci-dessus. Alors

. Diviser le segment
n
en deux et appelle ça un segment

celui qui a les propriétés suivantes :
segment
contient au moins un point );

. (par exemple, pointez
toute la multitude se trouve à gauche du point
.

, c'est-à-dire
En poursuivant cette procédure, nous obtenons SSS . Ainsi, d’après le théorème de Cantor, il existe un point unique
.

, appartenant à tous les segments à la fois. Montrons que
Montrons que (ceux.
. Parce que
, Que
dès que
,
se trouve à gauche du point
se trouve à gauche du point
. Selon la règle de sélection des points
, indiquer toujours à gauche se trouve à gauche du point
, donc, et
. Mais est choisi pour que tout
, UN
, c'est-à-dire Et
. Cette contradiction prouve cette partie du théorème.

Montrons l'immuabilité se trouve à gauche du point
. Réparons-le
et trouvez le numéro. Selon
avec la règle 1 pour la sélection des segments. Nous venons de montrer que
se trouve à gauche du point
, ou
. Ainsi
, ou
. ■

Un axe est une droite sur laquelle l'une des deux directions possibles est identifiée comme positive (la direction opposée est considérée comme négative). La direction positive est généralement indiquée par une flèche. L'axe numérique (ou de coordonnées) est l'axe sur lequel le point de départ (ou origine) O et l'unité d'échelle ou segment d'échelle OE sont sélectionnés (Fig. 1).

Ainsi, l'axe des nombres est précisé en indiquant la direction, l'origine et l'échelle sur la ligne.

Les nombres réels sont représentés à l'aide de points sur l'axe des nombres. Les entiers sont représentés par des points, qui sont obtenus en plaçant le segment d'échelle le nombre de fois requis vers la droite depuis le début O dans le cas d'un entier positif et vers la gauche dans le cas d'un entier négatif. Le zéro est représenté par le point de départ O (la lettre O elle-même rappelle zéro ; c'est la première lettre du mot origo, qui signifie « début »). Les nombres fractionnaires (rationnels) sont également simplement représentés par des points d'axe ; par exemple, pour construire un point correspondant au nombre , vous devez placer trois segments d'échelle et un autre tiers du segment d'échelle à gauche de O (point A sur la figure 1). En plus du point A de la Fig. La figure 1 montre également les points B, C, D représentant respectivement les nombres -2 ; 3/2 ; 4.

Il existe un nombre infini d'entiers, mais sur l'axe des nombres, les entiers sont représentés par des points situés « peu » ; les points entiers sur l'axe sont espacés de leurs voisins d'une unité d'échelle ; Les points rationnels sont situés de manière très « dense » sur l'axe - il n'est pas difficile de montrer que sur n'importe quelle section de l'axe, aussi petite soit-elle, il y a une infinité de points représentant des nombres rationnels. Cependant, il y a des points sur la droite numérique qui ne sont pas des images de nombres rationnels. Ainsi, si sur l'axe des nombres on construit un segment OA égal à l'hypoténuse OS du triangle rectangle OEC avec pattes, alors la longueur de ce segment (selon le théorème de Pythagore, paragraphe 216) sera égale et le point A ne sera pas une image d'un nombre rationnel.

Historiquement, c'est le fait de l'existence de segments dont les longueurs ne peuvent être exprimées en nombres (nombres rationnels !) qui a conduit à l'introduction des nombres irrationnels.

L'introduction de nombres irrationnels, qui avec les nombres rationnels forment l'ensemble de tous les nombres réels, conduit au fait que chaque point de l'axe des nombres correspond à un seul nombre réel dont il sert l'image. Au contraire, chaque nombre réel est représenté par un point bien précis sur l’axe des nombres. Une correspondance biunivoque est établie entre les nombres réels et les points sur l'axe des nombres.

Puisque nous considérons l'axe des nombres comme une ligne continue et que ses points sont en correspondance biunivoque avec les nombres réels, nous parlons de la propriété de continuité de l'ensemble des nombres réels (élément 6).

Notons aussi que dans un certain sens (nous ne le précisons pas) il existe incomparablement plus de nombres irrationnels que de rationnels.

Le nombre dont l'image est un point donné A de l'axe numérique est appelé la coordonnée de ce point ; le fait que a soit la coordonnée du point A s'écrit : A (a). La coordonnée de tout point A est exprimée comme le rapport OA/OE du segment OA au segment d'échelle OE, auquel est attribué un signe moins pour les points situés à partir de l'origine O dans la direction négative.

Introduisons maintenant les coordonnées cartésiennes rectangulaires sur le plan. Prenons deux axes numériques Ox et Oy mutuellement perpendiculaires, ayant une origine commune O et des segments d'échelle égaux (en pratique, des axes de coordonnées avec des unités d'échelle différentes sont souvent utilisés). Disons que ces axes (Fig. 3) forment un système de coordonnées rectangulaires cartésiennes sur le plan. Le point O est appelé origine des coordonnées, les axes Ox et Oy sont appelés axes de coordonnées (l'axe Ox est appelé axe des abscisses, l'axe Oy est l'axe des ordonnées). Sur la fig. 3, comme d'habitude, l'axe des abscisses est horizontal, l'axe des ordonnées est vertical. Le plan sur lequel le système de coordonnées est spécifié est appelé plan de coordonnées.

Chaque point du plan se voit attribuer une paire de nombres - les coordonnées de ce point par rapport à un système de coordonnées donné. A savoir, prenons des projections rectangulaires du point M sur les axes Ox et Oy ; les points correspondants sur les axes Ox et Oy sont indiqués sur la Fig. 3 à

Un point a, comme point sur l'axe numérique, une coordonnée x (abscisse), et un point, comme point sur l'axe numérique, a une coordonnée y (ordonnée). Ces deux nombres y (écrits dans l'ordre indiqué) sont appelés les coordonnées du point M.

En même temps ils écrivent : (x, y).

Ainsi, chaque point du plan est associé à une paire ordonnée de nombres réels (x, y) - les coordonnées rectangulaires cartésiennes de ce point. Le terme « paire ordonnée » indique qu'il faut distinguer le premier nombre de la paire, l'abscisse, et le second, l'ordonnée. Au contraire, chaque paire de nombres (x, y) définit un seul point M, pour lequel x sert d'abscisse et y d'ordonnée. La définition d'un système de coordonnées cartésiennes rectangulaires dans un plan établit une correspondance biunivoque entre les points du plan et des paires ordonnées de nombres réels.

Les axes de coordonnées divisent le plan de coordonnées en quatre parties, quatre quadrants. Les quadrants sont numérotés comme indiqué sur la Fig. 3, en chiffres romains.

Les signes des coordonnées d'un point dépendent du quadrant dans lequel il se trouve, comme le montre le tableau suivant :

Les points situés sur l'axe ont une ordonnée y égale à zéro, les points sur l'axe Oy ont une abscisse égale à zéro. Les deux coordonnées de l'origine O sont égales à zéro : .

Exemple 1. Construire des points sur un plan

La solution est donnée sur la Fig. 4.

Si les coordonnées d'un certain point sont connues, alors il est facile d'indiquer les coordonnées des points symétriques avec lui par rapport aux axes Ox, Oy et l'origine des coordonnées : un point symétrique par rapport à l'axe Ox aura les coordonnées d'un point symétrique de M par rapport à la coordonnée, et enfin, en un point symétrique de M par rapport à l'origine, les coordonnées seront (-x, -y).

Vous pouvez également indiquer la relation entre les coordonnées d'une paire de points symétriques par rapport à la bissectrice des angles de coordonnées (Fig. 5) ; si l'un de ces points M a les coordonnées x et y, alors l'abscisse du second est égale à l'ordonnée du premier point, et l'ordonnée est égale à l'abscisse du premier point.

En d'autres termes, les coordonnées d'un point N, symétrique de M par rapport à la bissectrice des angles de coordonnées, seront. Pour prouver cette position, considérons les triangles rectangles O AM et OBN. Ils sont situés symétriquement par rapport à la bissectrice de l'angle de coordonnées et sont donc égaux. En comparant leurs jambes correspondantes, nous serons convaincus de l'exactitude de notre affirmation.

Le système de coordonnées rectangulaires cartésiennes peut être transformé en déplaçant son origine O vers un nouveau point O sans changer la direction des axes et la taille du segment d'échelle. Sur la fig. La figure 6 montre simultanément deux systèmes de coordonnées : l'« ancien » d'origine O et le « nouveau » d'origine O. Un point arbitraire M possède désormais deux paires de coordonnées, l'une relative à l'ancien système de coordonnées, l'autre relative au nouveau. Si les coordonnées de la nouvelle origine dans l'ancien système sont notées , alors la connexion entre les anciennes coordonnées du point M et ses nouvelles coordonnées (x, y) sera exprimée par les formules

Ces formules sont appelées formules de transfert de système de coordonnées ; en les dessinant selon la Fig. 6, la position la plus pratique du point M a été sélectionnée, se situant dans le premier quadrant de l'ancien et du nouveau système.

Vous pouvez vous assurer que les formules (8.1) restent vraies pour n'importe quel emplacement du point M.

La position du point M sur le plan peut être spécifiée non seulement par ses coordonnées rectangulaires cartésiennes y, mais également par d'autres moyens. Relions, par exemple, le point M au début de O (Fig. 7) et considérons les deux nombres suivants : la longueur du segment et l'angle d'inclinaison de ce segment par rapport à la direction positive de l'axe. défini comme l'angle selon lequel l'axe doit être tourné avant de s'aligner avec OM, et est considéré comme positif si la rotation est effectuée dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, et négatif dans le cas contraire, comme il est d'usage en trigonométrie. Le segment est appelé rayon polaire du point M. , l'angle est l'angle polaire, la paire de nombres est les coordonnées polaires du point M. Comme vous pouvez le constater, pour déterminer les coordonnées polaires d'un point, il suffit de préciser un seul axe de coordonnées Ox (appelé dans ce cas le axe polaire). Il est cependant pratique de considérer simultanément les coordonnées polaires et rectangulaires cartésiennes, comme le fait la Fig. 7.

L'angle polaire d'un point est déterminé en spécifiant le point de manière ambiguë : si est l'un des angles polaires du point, alors chaque angle

sera son angle polaire. La spécification du rayon et de l'angle polaire détermine la position du point de manière unique. L'origine O (appelée pôle du système de coordonnées polaires) a un rayon égal à zéro ; aucun angle polaire spécifique n'est attribué au point O.

Il existe les relations suivantes entre les coordonnées cartésiennes et polaires d'un point :

découlant directement de la définition des fonctions trigonométriques (article 97). Ces relations vous permettent de trouver des coordonnées cartésiennes à partir de coordonnées polaires données. Les formules suivantes :

permettent de résoudre le problème inverse : en utilisant les coordonnées cartésiennes données d'un point, trouver ses coordonnées polaires.

Dans ce cas, par la valeur (ou) on peut trouver deux valeurs possibles de l'angle à l'intérieur du premier cercle ; l'un d'eux est sélectionné par le signe soef. On peut aussi déterminer l'angle par sa tangente : , mais dans ce cas, le quartier dans lequel il se situe est précisé par le signe soef ou.

Un point spécifié par ses coordonnées polaires est construit (sans calculer les coordonnées cartésiennes) en fonction de son angle polaire et de son rayon.

Exemple 2. Trouvez les coordonnées cartésiennes des points.

Nous savons déjà que l'ensemble des nombres réels $R$ est constitué de nombres rationnels et irrationnels.

Les nombres rationnels peuvent toujours être représentés sous forme de fractions décimales (périodiques finies ou infinies).

Les nombres irrationnels s'écrivent sous forme de fractions décimales infinies mais non périodiques.

L'ensemble des nombres réels $R$ comprend également les éléments $-\infty $ et $+\infty $, pour lesquels les inégalités $-\infty sont vraies

Voyons comment représenter des nombres réels.

Fractions communes

Les fractions courantes s'écrivent à l'aide de deux nombres naturels et d'une ligne de fraction horizontale. La barre de fraction remplace en fait le signe de division. Le nombre en dessous de la ligne est le dénominateur de la fraction (diviseur), le nombre au-dessus de la ligne est le numérateur (dividende).

Définition

Une fraction est dite propre si son numérateur est inférieur à son dénominateur. À l’inverse, une fraction est dite impropre si son numérateur est supérieur ou égal au dénominateur.

Pour les fractions ordinaires, il existe des règles de comparaison simples, presque évidentes ($m$,$n$,$p$ - nombres naturels) :

1. de deux fractions ayant les mêmes dénominateurs, celle avec le plus grand numérateur est la plus grande, c'est-à-dire $\frac(m)(p) >\frac(n)(p) $ pour $m>n$ ;
2. de deux fractions avec les mêmes numérateurs, celle avec le plus petit dénominateur est la plus grande, c'est-à-dire $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $ pour $ m
3. une fraction propre est toujours inférieure à un ; une fraction impropre est toujours supérieure à un ; une fraction dont le numérateur est égal au dénominateur est égale à un ;
4. Chaque fraction impropre est supérieure à toute fraction propre.

Nombres décimaux

La notation d'un nombre décimal (fraction décimale) a la forme : partie entière, virgule décimale, partie fractionnaire. La notation décimale d'une fraction commune peut être obtenue en divisant le numérateur par le dénominateur avec « l'angle ». Cela peut donner lieu soit à une fraction décimale finie, soit à une fraction décimale périodique infinie.

Définition

Les chiffres de la partie fractionnaire sont appelés décimaux. Dans ce cas, le premier chiffre après la virgule décimale est appelé chiffre des dixièmes, le deuxième - le chiffre des centièmes, le troisième - le chiffre des millièmes, etc.

Exemple 1

Déterminez la valeur du nombre décimal 3,74. On obtient : 3,74$=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

Le nombre décimal peut être arrondi. Dans ce cas, vous devez indiquer le chiffre auquel l'arrondi est effectué.

La règle d'arrondi est la suivante :

1. tous les chiffres à droite de ce chiffre sont remplacés par des zéros (si ces chiffres sont avant la virgule décimale) ou supprimés (si ces chiffres sont après la virgule décimale) ;
2. si le premier chiffre suivant un chiffre donné est inférieur à 5, alors le chiffre de ce chiffre n'est pas modifié ;
3. si le premier chiffre suivant un chiffre donné est 5 ou plus, alors le chiffre de ce chiffre est augmenté de un.

Exemple 2

1. Arrondons le nombre 17302 aux milliers : 17000.
2. Arrondons le nombre 17378 à la centaine : 17400.
3. Arrondons le nombre 17378,45 à la dizaine : 17380.
4. Arrondons le nombre 378,91434 au centième le plus proche : 378,91.
5. Arrondons le nombre 378,91534 au centième le plus proche : 378,92.

Convertir un nombre décimal en fraction.

Cas 1

Un nombre décimal représente une fraction décimale finale.

L'exemple suivant illustre la méthode de conversion.

Exemple 2

Nous avons : 3,74 $ = 3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

On le réduit à un dénominateur commun et on obtient :

La fraction peut être réduite : $3,74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $.

Cas 2

Un nombre décimal représente une fraction décimale périodique infinie.

La méthode de conversion est basée sur le fait que la partie périodique d'une fraction décimale périodique peut être considérée comme la somme des termes d'une progression géométrique décroissante infinie.

Exemple 4

$0,\left(74\right)=\frac(74)(100) +\frac(74)(10000) +\frac(74)(1000000) +\ldots $. Le premier terme de la progression est $a=0.74$, le dénominateur de la progression est $q=0.01$.

Exemple 5

$0,5\left(8\right)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ . Le premier terme de la progression est $a=0.08$, le dénominateur de la progression est $q=0.1$.

La somme des termes d'une progression géométrique décroissante infinie est calculée par la formule $s=\frac(a)(1-q) $, où $a$ est le premier terme et $q$ est le dénominateur de la progression $ \gauche (0

Exemple 6

Convertissons la fraction décimale périodique infinie $0,\left(72\right)$ en une fraction régulière.

Le premier terme de la progression est $a=0.72$, le dénominateur de la progression est $q=0.01$. On obtient : $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.72)(1-0.01) =\frac(0.72)(0.99) =\frac(72)( 99) =\frac(8 )(11)$. Ainsi, $0,\left(72\right)=\frac(8)(11) $.

Exemple 7

Convertissons la fraction décimale périodique infinie $0,5\left(3\right)$ en une fraction régulière.

Le premier terme de la progression est $a=0.03$, le dénominateur de la progression est $q=0.1$. On obtient : $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.03)(1-0.1) =\frac(0.03)(0.9) =\frac(3)( 90) =\frac(1 )(30) $.

Ainsi, $0,5\left(3\right)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac( 1)( 30) =\frac(15)(30) +\frac(1)(30) =\frac(16)(30) =\frac(8)(15) $.

Les nombres réels peuvent être représentés par des points sur l'axe des nombres.

Dans ce cas, nous appelons l'axe des nombres une ligne droite infinie sur laquelle l'origine (point $O$), la direction positive (indiquée par une flèche) et l'échelle (pour afficher les valeurs) sont sélectionnées.

Il existe une correspondance biunivoque entre tous les nombres réels et tous les points de l'axe des nombres : chaque point correspond à un seul nombre et, inversement, chaque nombre correspond à un seul point. Par conséquent, l’ensemble des nombres réels est continu et infini, tout comme la droite numérique est continue et infinie.

Certains sous-ensembles de l’ensemble des nombres réels sont appelés intervalles numériques. Les éléments d'un intervalle numérique sont des nombres $x\in R$ qui satisfont une certaine inégalité. Soit $a\in R$, $b\in R$ et $a\le b$. Dans ce cas, les types d'intervalles peuvent être les suivants :

1. Intervalle $\left(a,\; b\right)$. En même temps $a
2. Segment $\gauche$. De plus, $a\le x\le b$.
3. Demi-segments ou demi-intervalles $\left$. De plus $ a \le x
4. Intervalles infinis, par exemple $a

Un type d’intervalle appelé voisinage d’un point est également important. Le voisinage d'un point donné $x_(0) \in R$ est un intervalle arbitraire $\left(a,\; b\right)$ contenant ce point à l'intérieur de lui-même, c'est-à-dire que $a 0$ est son rayon.

Valeur absolue d'un nombre

La valeur absolue (ou module) d'un nombre réel $x$ est un nombre réel non négatif $\left|x\right|$, déterminé par la formule : $\left|x\right|=\left\(\ commencer(tableau)(c) (\; \; x\; \; (\rm at)\; \; x\ge 0) \\ (-x\; \; (\rm at)\; \; x

Géométriquement, $\left|x\right|$ signifie la distance entre les points $x$ et 0 sur la droite numérique.

Propriétés des valeurs absolues :

1. de la définition, il s'ensuit que $\left|x\right|\ge 0$, $\left|x\right|=\left|-x\right|$;
2. pour le module de la somme et pour le module de la différence de deux nombres, les inégalités suivantes sont valables : $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right| $, $\left|x-y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, ainsi que $\left|x+y\right|\ge \left|x\right |-\left|y\right|$,$\ left|x-y\right|\ge \left|x\right|-\left|y\right|$;
3. pour le module du produit et le module du quotient de deux nombres, les égalités suivantes sont vraies : $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right| $ et $\left|\frac(x)( y) \right|=\frac(\left|x\right|)(\left|y\right|) $.

A partir de la définition de la valeur absolue pour un nombre arbitraire $a>0$, on peut également établir l'équivalence des paires d'inéquations suivantes :

1. si $\gauche|x\droite|
2. si $\left|x\right|\le a$, alors $-a\le x\le a$ ;
3. si $\left|x\right|>a$, alors soit $xa$ ;
4. si $\left|x\right|\ge a$, alors soit $x\le -a$ ou $x\ge a$.

Exemple 8

Résoudre l'inégalité $\left|2\cdot x+1\right|

Cette inégalité est équivalente aux inégalités $-7

De là, nous obtenons : -8 $