Division d'entiers. Dividende, diviseur, quotient

Les très grands et très petits nombres sont généralement écrits sous forme standard : un∙10 n, Où 1≤a<10 Et n(naturel ou entier) – est l’ordre d’un nombre écrit sous forme standard.

Par exemple, 345,7=3,457∙10 2 ; 123456=1,23456∙10 5 ; 0,000345=3,45∙10 -4.

Exemples.

Écrivez le nombre sous forme standard : 1) 40503; 2) 0,0023; 3) 876,1; 4) 0,0000067.

Solution.

1) 40503=4,0503·10 4 ;

2) 0,0023=2,3∙10 -3 ;

3) 876,1=8,761∙10 2 ;

4) 0,0000067=6,7∙10 -6 .

Plus d'exemples sur la forme standard des nombres.

5) Le nombre de molécules de gaz dans 1 cm 3 à 0°C et une pression de 760 mm ps.st est égal à

27 000 000 000 000 000 000.

Solution.

27 000 000 000 000 000 000=2,7∙10 19 .

6) 1 parsec(unité de longueur en astronomie) est égal à 30 800 000 000 000 km.Écrivez ce numéro sous forme standard.

Solution.

1 parsec=30 800 000 000 000=3,08∙10 13km.

Sur le sujet :

Kilowattheure est une unité d'énergie ou de travail hors système, utilisée en génie électrique, notée kWh.

1 kWh=3,6∙10 6 J(Joules).

Souvent, vous devez trouver la somme des carrés (x 1 2 +x 2 2) ou la somme des cubes (x 1 3 +x 2 3) des racines d'une équation quadratique, moins souvent - la somme des valeurs réciproques ​​des carrés des racines ou somme des racines carrées arithmétiques des racines d'une équation quadratique :

Le théorème de Vieta peut vous aider :

Somme des racines de l'équation quadratique réduite x 2 +px+q=0 est égal au deuxième coefficient pris de signe opposé, et le produit des racines est égal au terme libre :

x 1 + x 2 = -p ; x1 ∙x2 =q.

Exprimons à travers p Et q:

1) somme des carrés des racines de l'équation x 2 +px+q=0;

2) somme des cubes des racines de l'équation x2 +px+q=0.

Solution.

1) Expression x1 2 +x2 2 obtenu en mettant au carré les deux côtés de l'équation x 1 + x 2 = -p ;

(x 1 +x 2) 2 =(-p) 2 ; ouvrez les parenthèses : x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2 ; nous exprimons la quantité requise : x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. Nous obtenons une égalité utile : x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

2) Expression x1 3 +x2 3 Représentons la somme des cubes par la formule :

(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(p 2 -3q).

Une autre équation utile : x 1 3 +x 2 3 = -p·(p 2 -3q).

Exemples.

3)x2-3x-4=0. Sans résoudre l'équation, calculez la valeur de l'expression x1 2 +x2 2.

Solution.

x 1 + x 2 =-p=3, et le travail x1 ∙x2 =q=dans l'exemple 1) égalité :

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q. Nous avons -p=x 1 +x 2 = 3 → p 2 =3 2 =9 ; q= x1x2 = -4. Alors x 1 2 +x 2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.

Répondre: x1 2 +x2 2 =17.

4) x2 -2x-4=0. Calculez : x 1 3 +x 2 3 .

Solution.

D'après le théorème de Vieta, la somme des racines de cette équation quadratique réduite est x 1 + x 2 =-p=2, et le travail x1 ∙x2 =q=-4. Appliquons ce que nous avons reçu ( dans l'exemple 2) égalité : x 1 3 +x 2 3 =-p·(p 2 -3q)= 2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

Répondre: x1 3 +x2 3 =32.

Question : et si on nous donnait une équation quadratique non réduite ? Réponse : il peut toujours être « réduit » en divisant terme à terme par le premier coefficient.

5) 2x2 -5x-7=0. Sans décider, calculez : x1 2 +x2 2.

Solution. On nous donne une équation quadratique complète. Divisez les deux côtés de l'égalité par 2 (le premier coefficient) et obtenez l'équation quadratique suivante : x2 -2,5x-3,5=0.

D'après le théorème de Vieta, la somme des racines est égale à 2,5 ; le produit des racines est égal à -3,5 .

Nous le résolvons de la même manière que dans l'exemple 3) en utilisant l'égalité : x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Répondre: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6)x2-5x-2=0. Trouver:

Transformons cette égalité et, en utilisant le théorème de Vieta, remplaçons la somme des racines par -p, et le produit des racines à travers q, nous obtenons une autre formule utile. Lors de la dérivation de la formule, nous avons utilisé l'égalité 1) : x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

Dans notre exemple x 1 + x 2 =-p=5 ; x1 ∙x2 =q=-2. Nous substituons ces valeurs dans la formule résultante :

7)x2 -13x+36=0. Trouver:

Transformons cette somme et obtenons une formule qui peut être utilisée pour trouver la somme des racines carrées arithmétiques à partir des racines d'une équation quadratique.

Nous avons x 1 + x 2 =-p=13 ; x1 ∙x2 =q=36. Nous substituons ces valeurs dans la formule résultante :

Conseil : Vérifiez toujours la possibilité de trouver les racines d'une équation quadratique par une méthode adaptée, car 4 examiné formules utiles permettent de réaliser rapidement une tâche, notamment dans les cas où le discriminant est un numéro « gênant ». Dans tous les cas simples, trouver les racines et opérer dessus. Par exemple, dans le dernier exemple, nous sélectionnons les racines en utilisant le théorème de Vieta : la somme des racines doit être égale à 13 , et le produit des racines 36 . Quels sont ces chiffres ? Certainement, 4 et 9. Calculons maintenant la somme des racines carrées de ces nombres : 2+3=5. C'est ça!

Uniquement parce que pour les entiers, vous devez calculer le signe du quotient. Comment calculer le signe du quotient des entiers ? Regardons cela en détail dans le sujet.

Termes et concepts de quotient d'entiers.

Pour effectuer une division d’entiers, vous devez vous souvenir des termes et des concepts. Dans division il y a : le dividende, le diviseur et le quotient des entiers.

Dividende est l'entier qui est divisé. Diviseur est l'entier par lequel est divisé. Privé est le résultat de la division d’entiers.

Vous pouvez dire « Division d'entiers » ou « Quotient d'entiers » ; le sens de ces expressions est le même, c'est-à-dire que vous devez diviser un entier par un autre et obtenir la réponse.

La division provient de la multiplication. Regardons un exemple :

Nous avons deux facteurs 3 et 4. Mais disons que nous savons qu’il existe un facteur 3 et que le résultat de la multiplication des facteurs est leur produit 12. Comment trouver le deuxième facteur ? La division vient à la rescousse.

Règle pour diviser des nombres entiers.

Définition:

Quotient de deux entiers est égal au quotient de leurs modules, avec comme résultat un signe plus si les nombres ont les mêmes signes, et avec un signe moins s'ils ont des signes différents.

Il est important de considérer le signe du quotient des nombres entiers. Brèves règles pour diviser des nombres entiers :

Plus sur plus donne plus.
“+ : + = +”

Deux négatifs font un affirmatif.
“– : – =+”

Moins plus plus donne moins.
“– : + = –”

Plus plus moins donne moins.
“+ : – = –”

Examinons maintenant en détail chaque point de la règle de division des nombres entiers.

Diviser des entiers positifs.

Rappelez-vous que les entiers positifs sont identiques aux nombres naturels. Nous utilisons les mêmes règles que pour diviser les nombres naturels. Le signe du quotient des entiers positifs est toujours plus. En d’autres termes, lors de la division de deux entiers « plus sur plus donne plus”.

Exemple:
Divisez 306 par 3.

Solution:
Les deux nombres ont un signe « + », la réponse sera donc un signe « + ».
306:3=102
Réponse : 102.

Exemple:
Divisez le dividende 220286 par le diviseur 589.

Solution:
Le dividende de 220286 et le diviseur de 589 ont un signe plus, donc le quotient aura également un signe plus.
220286:589=374
Réponse : 374

Diviser des entiers négatifs.

La règle pour diviser deux nombres négatifs.

Disons deux entiers négatifs a et b. Nous devons trouver leurs modules et effectuer la division.

Le résultat de la division ou le quotient de deux entiers négatifs aura un signe « + ». ou "deux négatifs font un affirmatif".

Regardons un exemple :
Trouvez le quotient -900 :(-12).

Solution:
-900:(-12)=|-900|:|-12|=900:12=75
Réponse : -900 :(-12)=75

Exemple:
Divisez un entier négatif -504 par un deuxième entier négatif -14.

Solution:
-504:(-14)=|-504|:|-14|=504:14=34
L'expression peut s'écrire plus brièvement :
-504:(-14)=34

Diviser des nombres entiers avec des signes différents. Règles et exemples.

Lors de l'exécution diviser des entiers avec des signes différents, le quotient sera égal à un nombre négatif.

Qu'un entier positif soit divisé par un entier négatif ou qu'un entier négatif soit divisé par un entier positif, le résultat de la division sera toujours égal à un nombre négatif.

Moins plus plus donne moins.
Plus plus moins donne moins.

Exemple:
Trouvez le quotient de deux entiers de signes différents -2436:42.

Solution:
-2436:42=-58

Exemple:
Calculez la division 4716 :(-524).

Solution:
4716:(-524)=-9

Zéro divisé par un entier. Règle.

Lorsque zéro est divisé par un nombre entier, la réponse est zéro.

Exemple:
Effectuez la division 0:558.

Solution:
0:558=0

Exemple:
Divisez zéro par l'entier négatif -4009.

Solution:
0:(-4009)=0

Vous ne pouvez pas diviser par zéro.

Vous ne pouvez pas diviser 0 par 0.

Vérification de la division partielle d'entiers.

Comme indiqué précédemment, la division et la multiplication sont étroitement liées. Par conséquent, pour vérifier le résultat de la division de deux nombres entiers, vous devez multiplier le diviseur et le quotient, ce qui donne le dividende.

La vérification du résultat de la division est une formule courte :
Diviseur ∙ Quotient = Dividende

Regardons un exemple :
Effectuez la division et vérifiez 1888 :(-32).

Solution:
Faites attention aux signes des nombres entiers. Le nombre 1888 est positif et comporte le signe « + ». Le nombre (-32) est négatif et comporte le signe « – ». Par conséquent, lorsque l’on divise deux entiers de signes différents, la réponse sera un nombre négatif.
1888:(-32)=-59

Vérifions maintenant la réponse trouvée :
1888 – divisible,
-32 – diviseur,
-59 – privé,

On multiplie le diviseur par le quotient.
-32∙(-59)=1888

Les nombres en division sont disposés comme suit : le dividende est en premier lieu, le diviseur est en deuxième et le quotient est après le signe égal.

Dividende : diviseur = quotient.

Désignons tous les nombres inconnus par des lettres

Soit le dividende égal à a, le diviseur égal à b et le quotient égal à c.

D'après la condition, le produit (c'est-à-dire la multiplication) du dividende, du diviseur et du quotient est égal à 3136. Créons une équation.

• a * b * c = 3136.
• Puisque c est égal à a/b, on remplace la lettre c par la fraction a/b.
• a * b * a/b = 3136.
• La variable in est réduite, laissant a * a = 3136 ou a 2 = 3136.
• A l'aide du tableau des carrés, on trouve la valeur de a, a est égal à 56.

Le dividende est de 56. On obtient l'équation suivante : 56 : b = c

Exprimons le dividende connu en termes de variables inconnues

Pour trouver le dividende, vous devez multiplier le diviseur et le quotient, soit 56 = en * s.

Par condition, tous les nombres participants sont des nombres naturels, c'est-à-dire des entiers positifs. Comme nous le savons, 56 est égal au produit de seulement deux nombres entiers – 7 et 8.

Cela donne deux expressions :

Cela signifie que le quotient (le nombre après le signe égal) ne peut être égal qu'à 7 ou 8.

Réponse : Le quotient peut être 7 ou 8.

Notons le dividende par x et le diviseur par y.

Alors le quotient de la division de ces deux nombres sera égal à x/y.

Selon les conditions du problème, le produit du dividende, du diviseur et du quotient est égal à 3136, on peut donc écrire la relation suivante :

x * y * (x/y) = 3136.

En simplifiant la relation résultante, on obtient :

Selon les conditions du problème, le dividende, le diviseur et le quotient sont des nombres naturels, donc la valeur x = -56 ne convient pas.

Décomposons le nombre 56 en un produit de facteurs premiers :

56 = 2 * 28 = 2 * 2 * 14 = 2 * 2 * 2 * 7.

Listons tous les diviseurs possibles du nombre 56 dont le quotient est un nombre naturel.

Diviseur 1, quotient 56 ;

diviseur 2, quotient 28 ;

diviseur 4, quotient 14 ;

diviseur 8, quotient 7 ;

diviseur 7, quotient 8 ;

diviseur 14, quotient 4 ;

diviseur 28, quotient 2.

diviseur 56, quotient 1.

Réponse : le quotient peut prendre les valeurs 1, 2, 4, 8, 7, 14, 28, 56.

La division est définie comme l'inverse de la multiplication.

Diviser un nombre par un autre signifie trouver un troisième nombre qui, multiplié par le diviseur, donnera le dividende dans le produit :

Sur la base de cette définition, nous dérivons la règle de division pour les nombres rationnels.

Tout d’abord, rappelons une fois pour toutes que le diviseur ne peut pas être nul. La division par zéro est exclue pour la même raison qu’elle a été exclue en arithmétique.

La valeur absolue a est égale au produit des valeurs absolues et c. Cela signifie que la valeur absolue de b est égale à la valeur absolue de a divisée par la valeur absolue

Définissons le signe du quotient s.

Si le dividende et le diviseur ont le même signe, alors le quotient est un nombre positif. En effet, si a et sont positifs, alors le quotient o sera également un nombre positif.

Exemple. parce que

Si a et sont négatifs, alors le quotient de c doit également être positif dans ce cas, puisqu'en multipliant par son nombre négatif on doit obtenir un nombre négatif a.

Exemple. parce que

Si le dividende et le diviseur ont des signes différents, alors le quotient est un nombre négatif. En effet, si a est positif et a est négatif, alors c doit être négatif, puisqu'en multipliant un nombre négatif par celui-ci on doit obtenir un nombre positif a.

Exemple. parce que

Si a est négatif et a est positif, alors dans ce cas c doit être un nombre négatif, car en multipliant un nombre positif par celui-ci, nous devons obtenir un nombre négatif a.

Exemple. parce que

Nous sommes donc arrivés à la règle de division suivante :

Pour diviser une chose par une autre, il faut diviser la valeur absolue du dividende par la valeur absolue du diviseur et mettre un signe plus devant le quotient, si le dividende et le diviseur ont les mêmes signes, et un signe moins ,

si le dividende et le diviseur sont de signes opposés.

Comme nous l'avons déjà dit, la division par zéro est impossible, expliquons cela plus en détail. Supposons que vous deviez diviser un nombre non nul, par exemple -3, par 0.

Si le nombre a est le quotient souhaité, alors en le multipliant par le diviseur, c'est-à-dire par 0, nous devons obtenir le dividende, c'est-à-dire - 3. Mais le produit est égal à 0, et le dividende - 3 ne peut pas être obtenu. De là, nous concluons que le nombre

On ne peut pas diviser 3 par zéro.

Soit le nombre 0 divisé par 0. Soit a le quotient recherché ; en multipliant a par le diviseur 0, on obtient 0 dans le produit pour toute valeur de a :

Ainsi, nous n'avons obtenu aucun nombre spécifique : en multipliant n'importe quel nombre par 0, nous obtenons 0. Par conséquent, diviser zéro par zéro est également considéré comme impossible.

Pour les nombres rationnels, la propriété fondamentale suivante du quotient reste en vigueur :

Le quotient de deux nombres ne changera pas si le dividende et le diviseur sont multipliés par le même nombre (différent de zéro).

Expliquons cela avec les exemples suivants.

1. Considérez le quotient, multipliez le dividende et le diviseur par - 4 ; alors nous obtenons un nouveau quotient

Ainsi, dans le nouveau quotient, nous obtenons le même chiffre 2.

2. Considérons le quotient, multipliez le dividende et le diviseur par - nous obtenons alors le quotient suivant :

Le quotient n'a pas changé puisque le résultat est le même nombre