Séquences numériques classification des séquences limite d'une séquence numérique. Comment calculer les limites des séquences ? Détermination de la limite de séquence

La fonction a n =f (n) de l'argument naturel n (n=1; 2; 3; 4;...) est appelée une séquence de nombres.

Chiffres un 1 ; un 2 ; un 3 ; a 4 ;…, formant une séquence, sont appelés membres d'une séquence numérique. Donc a 1 =f (1); une 2 =f (2); une 3 =f (3); une 4 =f (4);…

Ainsi, les membres de la séquence sont désignés par des lettres indiquant des indices - Numéros de série leurs membres : a 1 ; un 2 ; un 3 ; un 4 ;…, donc un 1 est le premier membre de la séquence ;

a 2 est le deuxième terme de la suite ;

un 3 est le troisième membre de la séquence ;

un 4 est le quatrième terme de la suite, etc.

En bref, la séquence numérique s'écrit comme suit : a n = f (n) ou (a n).

Il existe les manières suivantes de spécifier une séquence de numéros :

1) Méthode verbale. Représente un modèle ou une règle pour la disposition des membres d’une séquence, décrit par des mots.

Exemple 1. Écrivez une séquence de tous nombres non négatifs, multiples de 5.

Solution. Puisque tous les nombres se terminant par 0 ou 5 sont divisibles par 5, la séquence s'écrira ainsi :

0; 5; 10; 15; 20; 25; ...

Exemple 2. Étant donné la séquence : 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; .... Demandez-le verbalement.

Solution. On remarque que 1=1 2 ; 4=2 2 ; 9=3 2 ; 16=4 2 ; 25=5 2 ; 36=6 2 ; ... Nous concluons : étant donné une séquence constituée de carrés de nombres naturels.

2) Méthode analytique. La suite est donnée par la formule du nième terme : a n =f (n). En utilisant cette formule, vous pouvez trouver n’importe quel membre de la séquence.

Exemple 3. L'expression du kième terme d'une séquence de nombres est connue : a k = 3+2·(k+1). Calculez les quatre premiers termes de cette séquence.

une 1 =3+2∙(1+1)=3+4=7;

une 2 =3+2∙(2+1)=3+6=9;

une 3 =3+2∙(3+1)=3+8=11 ;

une 4 =3+2∙(4+1)=3+10=13.

Exemple 4. Déterminer la règle de composition d'une séquence numérique en utilisant ses premiers membres et exprimer le terme général de la séquence en utilisant une formule plus simple : 1 ; 3 ; 5 ; 7; 9 ; ....

Solution. On remarque qu'on nous donne une séquence de nombres impairs. N'importe lequel nombre impair peut s'écrire sous la forme : 2k-1, où k - entier naturel, c'est à dire. k=1; 2 ; 3 ; 4 ; .... Réponse : a k =2k-1.

3) Méthode récurrente. La séquence est également donnée par une formule, mais pas par une formule générale de terme, qui dépend uniquement du numéro du terme. Une formule est spécifiée par laquelle chaque terme suivant est trouvé à travers les termes précédents. Dans le cas de la méthode récurrente de spécification d'une fonction, un ou plusieurs premiers membres de la séquence sont toujours spécifiés en plus.

Exemple 5. Écrivez les quatre premiers termes de la séquence (a n ),

si un 1 = 7 ; une n+1 = 5+une n .

une 2 =5+une 1 =5+7=12 ;

une 3 =5+une 2 =5+12=17 ;

un 4 =5+un 3 =5+17=22. Réponse : 7 ; 12 ; 17 ; 22 ; ....

Exemple 6. Écrivez les cinq premiers termes de la séquence (b n),

si b 1 = -2, b 2 = 3 ; b n+2 = 2b n +b n+1 .

b 3 = 2∙b 1 + b 2 = 2∙(-2) + 3 = -4+3=-1 ;

b 4 = 2∙b 2 + b 3 = 2∙3 +(-1) = 6 -1 = 5 ;

b 5 = 2∙b 3 + b 4 = 2∙(-1) + 5 = -2 +5 = 3. Réponse : -2 ; 3 ; -1; 5 ; 3 ; ....

4) Méthode graphique. La séquence numérique est donnée par un graphique qui représente points isolés. Les abscisses de ces points sont des nombres naturels : n=1 ; 2 ; 3 ; 4 ; .... Les ordonnées sont les valeurs des membres de la séquence : a 1 ; un 2 ; un 3 ; un 4 ;… .

Exemple 7. Écrivez graphiquement les cinq termes de la séquence numérique donnée.

Chaque point dans tout cela avion coordonné a des coordonnées (n; a n). Notons les coordonnées des points marqués par ordre croissant de l'abscisse n.

On obtient : (1 ; -3), (2 ; 1), (3 ; 4), (4 ; 6), (5 ; 7).

Par conséquent, a 1 = -3 ; un 2 =1; un 3 =4; un 4 =6 ; un 5 =7.

Réponse : -3 ; 1; 4 ; 6 ; 7.

Révisé séquence de nombres comme fonction (dans l'exemple 7) est donnée sur l'ensemble des cinq premiers nombres naturels (n=1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5), donc est suite de nombres finis(composé de cinq membres).

Si une séquence de nombres en fonction est donnée sur l'ensemble des nombres naturels, alors une telle séquence sera une séquence de nombres infinie.

La séquence de nombres s'appelle en augmentant, si ses membres sont croissants (a n+1 >a n) et décroissants, si ses membres diminuent(un n+1

Une séquence de nombres croissants ou décroissants est appelée monotone.

Considérez la séquence. Le membre commun de cette séquence est . Écrivons les premiers termes :
.
On peut voir que lorsque le nombre n augmente, les éléments augmentent indéfiniment vers valeurs positives. On peut dire que cette suite tend vers : pour .

Considérons maintenant la séquence avec membre commun. Voici ses premiers membres :
.
À mesure que le nombre n augmente, les éléments de cette séquence augmentent indéfiniment valeur absolue, mais n'ont pas de signe constant. Autrement dit, cette séquence tend vers : à .

Exemples de séquences convergeant vers un nombre fini

Considérez la séquence. Son membre commun. Les premiers termes ont la forme suivante :
.
On voit qu'à mesure que le nombre n augmente, les éléments de cette séquence se rapprochent de leur valeur limite a = 0 : à . Ainsi, chaque terme suivant est plus proche de zéro que le précédent. En un sens, on peut considérer qu’il existe une valeur approximative pour le nombre a = 0 avec erreur. Il est clair qu'à mesure que n augmente, cette erreur tend vers zéro, c'est-à-dire qu'en choisissant n, l'erreur peut être rendue aussi petite que souhaité. De plus, pour toute erreur donnée ε > 0 vous pouvez spécifier un nombre N tel que pour tous les éléments dont les nombres sont supérieurs à N :, l'écart du nombre par rapport à la valeur limite a ne dépassera pas l'erreur ε :.

Ensuite, considérons la séquence. Son membre commun. Voici quelques-uns de ses premiers membres :
.
Dans cette séquence, les termes pairs sont égaux à zéro. Les termes avec n impair sont égaux. Par conséquent, à mesure que n augmente, leurs valeurs se rapprochent de la valeur limite a = 0 . Cela découle également du fait que
.
Tout comme dans l’exemple précédent, nous pouvons spécifier une erreur arbitrairement petite ε > 0 , pour lequel il est possible de trouver un nombre N tel que les éléments dont les nombres sont supérieurs à N s'écarteront de la valeur limite a = 0 d'un montant n'excédant pas l'erreur spécifiée. Cette suite converge donc vers la valeur a = 0 : à .

Exemples de séquences divergentes

Considérons une séquence avec le terme commun suivant :

Voici ses premiers membres :


.
On peut voir que les termes avec des nombres pairs :
,
converger vers la valeur a 1 = 0 . Membres impairs :
,
converger vers la valeur a 2 = 2 . La séquence elle-même, à mesure que n grandit, ne converge vers aucune valeur.

Séquence avec des termes distribués dans l'intervalle (0;1)

Examinons maintenant une séquence plus intéressante. Sur numérique prenons la ligne droite segment de ligne . Divisons-le en deux. Nous obtenons deux segments. Laisser
.
Divisons à nouveau chacun des segments en deux. Nous obtenons quatre segments. Laisser
.
Divisons à nouveau chaque segment en deux. Prenons


.
Et ainsi de suite.

En conséquence, nous obtenons une séquence dont les éléments sont distribués dans un intervalle ouvert (0; 1) . Quel que soit le point que nous retirons de l'intervalle fermé , on peut toujours trouver des membres de la séquence qui seront arbitrairement proches de ce point ou coïncideront avec lui.

Ensuite, à partir de la séquence originale, on peut sélectionner une sous-séquence qui convergera vers point arbitraire de l'intervalle . Autrement dit, à mesure que le nombre n augmente, les membres de la sous-séquence se rapprocheront de plus en plus du point présélectionné.

Par exemple, pour le point a = 0 vous pouvez choisir la sous-séquence suivante :
.
= 0 .

Pour le point a = 1 Choisissons la sous-séquence suivante :
.
Les termes de cette sous-suite convergent vers la valeur a = 1 .

Puisqu’il existe des sous-séquences convergeant vers différentes significations, alors la séquence originale elle-même ne converge vers aucun nombre.

Séquence contenant tous les nombres rationnels

Construisons maintenant une séquence contenant tous les nombres rationnels. De plus, tout nombre rationnel sera inclus dans une telle séquence nombre infini une fois.

Le nombre rationnel r peut être représenté comme suit :
,
où est un entier ; - naturel.
Nous devons attribuer chaque nombre naturel n à une paire de nombres p et q afin que toute paire p et q soit incluse dans notre séquence.

Pour ce faire, tracez les axes p et q sur le plan. Nous traçons des lignes de quadrillage passant par les valeurs entières de p et q. Alors à chaque nœud de cette grille correspondra nombre rationnel. L’ensemble des nombres rationnels sera représenté par un ensemble de nœuds. Nous devons trouver un moyen de numéroter tous les nœuds afin de ne manquer aucun nœud. Ceci est facile à faire si vous numérotez les nœuds par des carrés dont les centres sont situés au point (0; 0) (voir l'image). Dans ce cas, les parties inférieures des carrés avec q < 1 nous n'en avons pas besoin. Ils ne sont donc pas représentés sur la figure.

Ainsi, pour le côté supérieur du premier carré, nous avons :
.
Ensuite, nous numérotons la partie supérieure le carré suivant :

.
On numérote la partie supérieure du carré suivant :

.
Et ainsi de suite.

De cette façon, nous obtenons une suite contenant tous les nombres rationnels. Vous pouvez remarquer que tout nombre rationnel apparaît dans cette séquence un nombre infini de fois. En effet, outre le nœud , cette séquence comprendra également des nœuds , où est un nombre naturel. Mais tous ces nœuds correspondent au même nombre rationnel.

Ensuite, à partir de la séquence que nous avons construite, nous pouvons sélectionner une sous-séquence (ayant un nombre infini d’éléments), dont tous les éléments sont égaux à un nombre rationnel prédéterminé. Puisque la séquence que nous avons construite comporte des sous-séquences convergeant vers différents numéros, alors la suite ne converge vers aucun nombre.

Conclusion

Nous avons donné ici une définition précise de la séquence de nombres. Nous avons également soulevé la question de sa convergence, basée sur des idées intuitives. Définition précise la convergence est discutée sur la page Détermination de la limite d’une séquence. Les propriétés et théorèmes associés sont indiqués sur la page

Pour plusieurs personnes analyse mathematique n'est qu'un ensemble de nombres, d'icônes et de définitions incompréhensibles, loin d'être vrai vie. Cependant, le monde dans lequel nous existons est construit sur des modèles numériques, dont l'identification aide non seulement à connaître le monde et résolvez-le problèmes complexes, mais aussi pour simplifier le ménage problèmes pratiques. Que veut dire un mathématicien lorsqu’il dit qu’une suite de nombres converge ? Nous devrions en parler plus en détail.

petit?

Imaginons des poupées gigognes qui s'emboîtent les unes dans les autres. Leurs tailles, écrites sous forme de nombres, commençant par le plus grand et se terminant par le plus petit, forment une séquence. Si tu imagines nombre infini des chiffres aussi brillants, la rangée résultante se révélera incroyablement longue. Il s’agit d’une suite de nombres convergente. Et il tend vers zéro, puisque la taille de chaque poupée gigogne suivante, diminuant de manière catastrophique, se transforme progressivement en néant. Ainsi, il est facile d’expliquer ce qu’est l’infinitésimal.

Un exemple similaire serait une route qui s’éloigne. Et les dimensions visuelles de la voiture qui s'éloigne de l'observateur le long d'elle, rétrécissant progressivement, se transforment en un point informe ressemblant à un point. Ainsi, la voiture, comme un objet s'éloignant dans une direction inconnue, devient infiniment petite. Possibilités le corps spécifié ne sera jamais nul dans littéralement ce mot, mais s'efforce invariablement d'atteindre cette valeur dans la limite finale. Cette suite converge donc à nouveau vers zéro.

Calculons tout goutte à goutte

Imaginons maintenant situation quotidienne. Le médecin a prescrit au patient de prendre le mélange, en commençant par dix gouttes par jour et en ajoutant deux gouttes chaque jour suivant. Le médecin a donc suggéré de continuer jusqu'à ce que le contenu du flacon de médicament, dont le volume est de 190 gouttes, soit épuisé. De ce qui précède, il s'ensuit que leur nombre, classé par jour, sera la série de numéros suivante : 10, 12, 14 et ainsi de suite.

Comment connaître le temps nécessaire pour réaliser l'intégralité du cours et le nombre de membres de la séquence ? Ici, bien sûr, vous pouvez compter les gouttes de manière primitive. Mais il est beaucoup plus simple, compte tenu du schéma, d'utiliser la formule avec un pas d = 2. Et en utilisant cette méthode, découvrez que le nombre de termes série de nombres est égal à 10. De plus, un 10 = 28. Le numéro de membre indique le nombre de jours pendant lesquels le médicament est pris, et 28 correspond au nombre de gouttes que le patient doit prendre le dernier jour. Cette séquence converge-t-elle ? Non, car, malgré le fait qu'elle soit limitée en bas par le nombre 10 et en haut par 28, une telle série de nombres n'a pas de limite, contrairement aux exemples précédents.

Quelle est la différence?

Essayons maintenant de clarifier : quand une série de nombres s'avère être une suite convergente. Une telle définition, comme on peut le conclure de ce qui précède, est directement liée au concept de limite finie, dont la présence révèle l'essence du problème. Et alors? différence fondamentale les exemples donnés précédemment ? Et pourquoi dans le dernier d'entre eux le nombre 28 ne peut-il pas être considéré comme la limite de la série de nombres X n = 10 + 2(n-1) ?

Pour clarifier cette question, considérons une autre séquence donnée par la formule ci-dessous, où n appartient à l'ensemble des nombres naturels.

Cette communauté de membres est une collection fractions ordinaires, dont le numérateur est 1, et le dénominateur est en constante augmentation : 1, ½...

De plus, chaque représentant ultérieur de cette série, en termes de localisation sur la droite numérique, se rapproche de plus en plus de 0. Cela signifie qu'un quartier apparaît là où les points se regroupent autour de zéro, ce qui est la limite. Et plus ils s’en rapprochent, plus leur concentration sur la droite numérique devient dense. Et la distance entre eux est catastrophiquement réduite, devenant infinitésimale. C’est le signe que la suite est convergente.

De la même manière, les rectangles multicolores représentés sur la figure, lorsqu'ils sont retirés dans l'espace, sont visuellement plus rapprochés les uns des autres, dans la limite hypothétique se transformant en limites négligeables.

Des séquences infiniment grandes

Après avoir examiné la définition d’une suite convergente, passons maintenant à contre-exemples. Beaucoup d’entre eux sont connus de l’homme depuis l’Antiquité. Les variantes les plus simples des séquences divergentes sont les séries de nombres naturels et pairs. Ils sont autrement appelés infiniment grands, car leurs membres, en constante augmentation, se rapprochent de plus en plus de l'infini positif.

Des exemples de ceux-ci peuvent également inclure n'importe lequel des calculs arithmétiques et progressions géométriques avec respectivement pas et dénominateur Au dessus de zéro. Les séquences divergentes sont également considérées comme des séries numériques sans aucune limite. Par exemple, X n = (-2) n -1 .

Séquence de Fibonacci

Les avantages pratiques des séries de nombres mentionnées précédemment pour l’humanité sont indéniables. Mais il y en a un très grand nombre d'autres de merveilleux exemples. L'un d'eux est la séquence de Fibonacci. Chacun de ses termes, qui commencent par un, est la somme des précédents. Ses deux premiers représentants sont 1 et 1. Le troisième est 1+1=2, le quatrième est 1+2=3, le cinquième est 2+3=5. De plus, selon la même logique, suivez les nombres 8, 13, 21 et ainsi de suite.

Cette série de nombres augmente indéfiniment et n'a pas de limite finie. Mais il en a un de plus propriété remarquable. Le rapport de chaque nombre précédent au suivant approche de plus en plus la valeur de 0,618. Ici, vous pouvez comprendre la différence entre une séquence convergente et divergente, car si vous compilez une série de quotients obtenus à partir de divisions, le système numérique indiqué aura limite finaleégal à 0,618.

Séquence de rapports de Fibonacci

La série de numéros ci-dessus est largement utilisée dans objectifs pratiques pour l'analyse technique des marchés. Mais cela ne limite pas ses capacités, que les Égyptiens et les Grecs connaissaient et pouvaient mettre en pratique dans l'Antiquité. Ceci est prouvé par les pyramides et le Parthénon qu’ils ont construits. Après tout, le nombre 0,618 est coefficient constant le nombre d'or, bien connu dans l'Antiquité. Selon cette règle, tout segment arbitraire peut être divisé de manière à ce que la relation entre ses parties coïncide avec la relation entre le plus grand des segments et la longueur totale.

Construisons une série de ces relations et essayons d'analyser cette séquence. La série de numéros sera la suivante : 1 ; 0,5 ; 0,67 ; 0,6 ; 0,625 ; 0,615 ; 0,619 et ainsi de suite. En continuant ainsi, nous pouvons vérifier que la limite de la suite convergente sera bien 0,618. Il faut cependant noter d’autres propriétés de ce modèle. Ici, les nombres semblent être dans le désordre, et pas du tout par ordre croissant ou décroissant. Cela signifie que cette séquence convergente n’est pas monotone. La raison pour laquelle il en est ainsi sera discutée plus loin.

Monotonie et limitation

Les membres d'une série de nombres avec des nombres croissants peuvent clairement diminuer (si x 1 >x 2 >x 3 >…>x n >…) ou augmenter (si x 1

Après avoir noté les nombres de cette série, vous pouvez voir qu'aucun de ses membres, s'approchant indéfiniment de 1, ne dépassera jamais cette valeur. Dans ce cas, la suite convergente est dite bornée. Cela arrive chaque fois qu'il y a quelque chose comme ça nombre positif M, qui s'avère toujours supérieur à n'importe lequel des termes de la série en module. Si une série de nombres présente des signes de monotonie et a une limite, et donc converge, alors elle est nécessairement dotée de cette propriété. De plus, il n’est pas nécessaire que l’inverse soit vrai. Ceci est démontré par le théorème sur le caractère limité d'une séquence convergente.

L’application pratique de telles observations s’avère très utile. Donnons un exemple spécifique, en examinant les propriétés de la séquence X n = n/n+1, et prouvons sa convergence. Il est facile de montrer qu'il est monotone, puisque (x n +1 - x n) est un nombre positif pour toute valeur de n. La limite de la suite est égale au nombre 1, ce qui signifie que toutes les conditions du théorème ci-dessus, également appelé théorème de Weierstrass, sont remplies. Le théorème de limite pour une séquence convergente stipule que si elle a une limite, alors elle est limitée dans tous les cas. Cependant, donnons l'exemple suivant. La série de nombres X n = (-1) n est bornée en dessous par le nombre -1 et au dessus par 1. Mais cette suite n'est pas monotone, n'a pas de limite et ne converge donc pas. Autrement dit, la limitation n’implique pas toujours la présence d’une limite et d’une convergence. Pour que cela se produise, les limites inférieure et supérieure doivent coïncider, comme dans le cas des ratios de Fibonacci.

Nombres et lois de l'Univers

Les variantes les plus simples d'une séquence convergente et divergente sont peut-être les séries de nombres X n = n et X n = 1/n. Le premier d’entre eux est une série naturelle de nombres. Comme nous l’avons déjà mentionné, elle est infiniment grande. La deuxième séquence convergente est limitée et ses termes se rapprochent de l'ampleur infinitésimale. Chacune de ces formules personnifie l'une des faces de l'Univers aux multiples facettes, aidant une personne, dans le langage des nombres et des signes, à imaginer et à calculer quelque chose d'inconnaissable, inaccessible à une perception limitée.

Les lois de l’univers, allant de l’insignifiant à l’incroyablement grand, sont également exprimées par le coefficient d’or de 0,618. Les scientifiques pensent qu’il se trouve au cœur de l’essence des choses et qu’il est utilisé par la nature pour en former les composants. Les relations mentionnées précédemment entre les membres ultérieurs et précédents de la série de Fibonacci ne complètent pas la démonstration des propriétés étonnantes de cette série unique. Si l'on considère le quotient de la division du terme précédent par le suivant par un, nous obtenons la série 0,5 ; 0,33 ; 0,4 ; 0,375 ; 0,384 ; 0,380 ; 0,382 et ainsi de suite. Ce qui est intéressant, c'est que cette séquence limitée converge, elle n'est pas monotone, mais le rapport des nombres adjacents extrêmes à partir d'un certain terme s'avère toujours approximativement égal à 0,382, ce qui peut également être utilisé dans l'architecture, l'analyse technique et d'autres industries.

Il existe d'autres coefficients intéressants de la série de Fibonacci, ils jouent tous un rôle particulier dans la nature et sont également utilisés par les humains à des fins pratiques. Les mathématiciens sont convaincus que l'Univers se développe le long d'une sorte de « spirale dorée » formée à partir des coefficients indiqués. Avec leur aide, il est possible de calculer de nombreux phénomènes se produisant sur Terre et dans l'espace, de l'augmentation du nombre de certaines bactéries au mouvement de comètes lointaines. Il s’avère que le code ADN est soumis à des lois similaires.

Progression géométrique décroissante

Il existe un théorème établissant le caractère unique de la limite d’une suite convergente. Cela signifie qu’il ne peut pas avoir deux limites ou plus, ce qui est sans aucun doute important pour trouver ses caractéristiques mathématiques.

Regardons quelques cas. Toute série de nombres composée de membres d'une progression arithmétique est divergente, sauf dans le cas d'un pas nul. Il en va de même pour une progression géométrique dont le dénominateur est supérieur à 1. Les limites d'une telle série de nombres sont le « plus » ou le « moins » de l'infini. Si le dénominateur est inférieur à -1, alors il n’y a aucune limite. D'autres options sont également possibles.

Considérons une série de nombres donnée par la formule X n = (1/4) n -1. À première vue, il est facile de comprendre que cette suite convergente est bornée car strictement décroissante et en aucun cas susceptible de prendre des valeurs négatives.

Écrivons un certain nombre de ses membres dans une série.

Il s'avère : 1 ; 0,25 ; 0,0625 ; 0,015625 ; 0,00390625 et ainsi de suite. Des calculs assez simples suffisent pour comprendre à quelle vitesse cette progression géométrique part des dénominateurs 0

Séquences fondamentales

Augustin Louis Cauchy, un scientifique français, a montré au monde de nombreux travaux liés à l'analyse mathématique. Il a donné des définitions à des concepts tels que différentiel, intégral, limite et continuité. Il a également étudié les propriétés fondamentales des séquences convergentes. Afin de comprendre l’essence de ses idées, il est nécessaire de résumer quelques détails importants.

Au tout début de l'article, il a été montré qu'il existe de telles séquences pour lesquelles il existe un voisinage où les points représentant les membres d'une certaine série sur la droite numérique commencent à se rassembler, s'alignant de plus en plus densément. Dans le même temps, la distance entre eux diminue à mesure que le nombre du prochain représentant augmente, devenant infinitésimal. Ainsi, il s'avère que dans un quartier donné sont regroupés un nombre infini de représentants d'une série donnée, alors qu'à l'extérieur il y en a un nombre fini. De telles séquences sont dites fondamentales.

Le célèbre critère de Cauchy, créé par un mathématicien français, indique clairement que la présence d'une telle propriété suffit à prouver que la suite converge. L'inverse est également vrai.

Il convient de noter que cette conclusion du mathématicien français présente pour l’essentiel un intérêt purement théorique. Son application dans la pratique est considérée comme assez difficile, donc pour déterminer la convergence des séries, il est beaucoup plus important de prouver l'existence d'une limite finie pour la séquence. Dans le cas contraire, il est considéré comme divergent.

Lors de la résolution de problèmes, vous devez également prendre en compte les propriétés fondamentales des séquences convergentes. Ils sont présentés ci-dessous.

Des montants infinis

Des scientifiques anciens célèbres comme Archimède, Euclide et Eudoxe utilisaient des sommes de séries de nombres infinies pour calculer les longueurs des courbes, les volumes des corps et les aires des figures. C'est notamment ainsi qu'il a été possible de connaître l'aire d'un segment parabolique. À cette fin, la somme des séries de nombres d’une progression géométrique avec q = 1/4 a été utilisée. Les volumes et les aires d'autres figures arbitraires ont été trouvés de la même manière. Cette option a été appelée la méthode « d’épuisement ». L’idée était que le corps étudié, de forme complexe, était divisé en parties, qui étaient des figures aux paramètres facilement mesurables. Pour cette raison, il n'était pas difficile de calculer leurs superficies et leurs volumes, puis de les additionner.

À propos, des problèmes similaires sont très familiers aux écoliers modernes et se retrouvent dans les tâches de l'examen d'État unifié. Une méthode unique, trouvée par des ancêtres lointains, reste aujourd’hui encore la solution la plus simple. Même s'il n'y a que deux ou trois parties dans lesquelles une figure numérique est divisée, l'addition de leurs aires représente toujours la somme de la série numérique.

Beaucoup plus tard, les anciens scientifiques grecs Leibniz et Newton, s'appuyant sur l'expérience de leurs sages prédécesseurs, ont appris les lois du calcul intégral. La connaissance des propriétés des séquences les a aidés à résoudre des équations différentielles et algébriques. Actuellement, la théorie des séries, créée grâce aux efforts de nombreuses générations de scientifiques talentueux, offre la possibilité de résoudre un grand nombre de problèmes mathématiques et pratiques. Et l’étude des suites numériques est le principal problème résolu par l’analyse mathématique depuis sa création.

Considérons une série de nombres naturels : 1, 2, 3, , n – 1, n,  .

Si nous remplaçons chaque nombre naturel n dans cette série par un certain nombre un n, suivant une certaine loi, nous obtenons une nouvelle série de nombres :

un 1 , un 2 , un 3 , , un n –1 , un n , ,

brièvement désigné et appelé séquence numérique. Ordre de grandeur un n est appelé membre commun d’une séquence de nombres. Habituellement, la séquence de nombres est donnée par une formule un n = F(n) vous permettant de retrouver n'importe quel membre de la séquence par son numéro n; cette formule est appelée formule du terme général. Notez qu'il n'est pas toujours possible de définir une séquence numérique à l'aide d'une formule de terme général ; parfois, une séquence est spécifiée en décrivant ses membres.

Par définition, une séquence contient toujours un nombre infini d'éléments : deux éléments différents diffèrent au moins par leur nombre, qui est infini.

Une séquence de nombres est un cas particulier de fonction. Une suite est une fonction définie sur l'ensemble des nombres naturels et prenant des valeurs dans l'ensemble des nombres réels, soit une fonction de la forme F : N  R..

Sous-séquence
appelé en augmentant(décroissant), le cas échéant n  N
De telles séquences sont appelées strictement monotone.

Parfois, il est pratique d'utiliser non pas tous les nombres naturels comme nombres, mais seulement certains d'entre eux (par exemple, les nombres naturels commençant à partir d'un nombre naturel n 0). Pour la numérotation, il est également possible d'utiliser non seulement des nombres naturels, mais également d'autres nombres, par exemple : n= 0, 1, 2,  (ici zéro est ajouté comme autre nombre à l'ensemble des nombres naturels). Dans de tels cas, lors de la spécification de la séquence, indiquez les valeurs que prennent les nombres n.

Si dans une certaine séquence pour n'importe quel n  N
alors la séquence s'appelle non décroissant(non croissant). De telles séquences sont appelées monotone.

Exemple 1 . La séquence numérique 1, 2, 3, 4, 5, ... est une série de nombres naturels et a un terme commun un n = n.

Exemple 2 . La séquence numérique 2, 4, 6, 8, 10, ... est une série de nombres pairs et a un terme commun un n = 2n.

Exemple 3 . 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … – une séquence numérique de valeurs approximatives avec une précision croissante.

Dans le dernier exemple il est impossible de donner une formule pour le terme général de la suite.

Exemple 4 . Écrivez les 5 premiers termes d’une suite de nombres en utilisant son terme commun
. Calculer un 1 est nécessaire dans la formule du terme général un n au lieu de n remplacer 1 pour calculer un 2 − 2, etc. On a alors :

Essai 6 . Le membre commun de la séquence 1, 2, 6, 24, 120,  est :

1)

2)

3)

4)

Essai 7 .
est:

1)

2)

3)

4)

Essai 8 . Membre commun de la séquence
est:

1)

2)

3)

4)

Limite de séquence de numéros

Considérons une séquence de nombres dont le terme commun se rapproche d'un nombre UN quand le numéro de série augmente n. Dans ce cas, on dit que la séquence de nombres a une limite. Ce concept a une définition plus stricte.

Nombre UN appelé la limite d'une séquence de nombres
:

(1)

si pour tout  > 0 il existe un tel nombre n 0 = n 0 (), en fonction de , qui
à n > n 0 .

Cette définition signifie que UN il y a une limite à une séquence de nombres si son terme commun s'approche sans limite UN avec l'augmentation de n. Géométriquement, cela signifie que pour tout  > 0 on peut trouver un tel nombre n 0 , qui, à partir de n > n 0 , tous les membres de la séquence sont situés à l'intérieur de l'intervalle ( UN – , UN+ ). Une suite ayant une limite est appelée convergent; sinon - divergent.

Une séquence de nombres ne peut avoir qu'une seule limite (finie ou infinie) d'un certain signe.

Exemple 5 . Séquence harmonique a pour nombre limite 0. En effet, pour tout intervalle (–; +) comme nombre N 0 peut être n’importe quel entier supérieur à . Alors pour tout le monde n > n 0 >nous avons

Exemple 6 . La suite 2, 5, 2, 5,  est divergente. En effet, aucun intervalle de longueur inférieure par exemple à un ne peut contenir tous les membres de la séquence, à partir d'un certain nombre.

La séquence s'appelle limité, si un tel numéro existe M, Quoi
pour tous n. Toute suite convergente est bornée. Toute séquence monotone et délimitée a une limite. Chaque séquence convergente a une limite unique.

Exemple 7 . Sous-séquence
est croissante et limitée. Elle a une limite
=e.

Nombre e appelé Numéro d'Euler et approximativement égal à 2,718 28.

Essai 9 . La séquence 1, 4, 9, 16,  est :

1) convergente ;

2) divergent ;

3) limité ;

Essai 10 . Sous-séquence
est:

1) convergente ;

2) divergent ;

3) limité ;

4) progression arithmétique ;

5) progression géométrique.

Essai 11 . Sous-séquence n'est pas:

1) convergente ;

2) divergent ;

3) limité ;

4) harmonique.

Test 12 . Limite d'une suite donnée par un terme commun
égal.