Pour chaque fraction décimale. Multiplier un nombre décimal par un nombre régulier

Dans ce tutoriel, nous examinerons chacune de ces opérations séparément.

Ajouter des décimales

Comme nous le savons, une fraction décimale comporte une partie entière et une partie fractionnaire. Lors de l'ajout de décimales, les parties entières et fractionnaires sont ajoutées séparément.

Par exemple, additionnons les fractions décimales 3,2 et 5,3. Il est plus pratique d’ajouter des fractions décimales dans une colonne.

Écrivons d'abord ces deux fractions dans une colonne, les parties entières étant nécessairement sous les entiers, et les fractions sous les fractions. À l'école, cette exigence s'appelle "virgule sous virgule".

Écrivons les fractions dans une colonne pour que la virgule soit sous la virgule :

Nous commençons à additionner les parties fractionnaires : 2 + 3 = 5. Nous écrivons les cinq dans la partie fractionnaire de notre réponse :

Maintenant, nous additionnons les parties entières : 3 + 5 = 8. Nous écrivons un huit dans toute la partie de notre réponse :

Maintenant, nous séparons la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, nous suivons à nouveau la règle "virgule sous virgule":

Nous avons reçu une réponse de 8,5. Donc l'expression 3,2 + 5,3 est égale à 8,5

En fait, tout n’est pas aussi simple qu’il y paraît à première vue. Il y a aussi des pièges ici, dont nous parlerons maintenant.

Places en décimales

Les fractions décimales, comme les nombres ordinaires, ont leurs propres chiffres. Ce sont des places de dixièmes, des places de centièmes, des places de millièmes. Dans ce cas, les chiffres commencent après la virgule.

Le premier chiffre après la virgule est responsable de la position des dixièmes, le deuxième chiffre après la virgule est responsable de la position des centièmes et le troisième chiffre après la virgule est responsable de la position des millièmes.

Les décimales contiennent des informations utiles. Plus précisément, ils vous indiquent combien de dixièmes, centièmes et millièmes il y a dans une décimale.

Par exemple, considérons la fraction décimale 0,345

La position où se trouvent les trois est appelée dixième place

La position où se trouve le quatre est appelée place des centièmes

La position où se trouve le cinq s'appelle millième place

Regardons ce dessin. On voit qu'il y a un trois à la dixième place. Cela signifie qu'il y a trois dixièmes dans la fraction décimale 0,345.

Si nous additionnons les fractions, nous obtenons la fraction décimale originale 0,345

On peut voir qu'au début, nous avons reçu la réponse, mais nous l'avons convertie en fraction décimale et avons obtenu 0,345.

Lors de l'ajout de fractions décimales, les mêmes principes et règles sont suivis que lors de l'ajout de nombres ordinaires. L'addition des fractions décimales s'effectue en chiffres : les dixièmes s'ajoutent aux dixièmes, les centièmes aux centièmes, les millièmes aux millièmes.

Par conséquent, lors de l'ajout de fractions décimales, vous devez suivre la règle "virgule sous virgule". La virgule sous la virgule indique l'ordre même dans lequel les dixièmes sont ajoutés aux dixièmes, les centièmes aux centièmes, les millièmes aux millièmes.

Exemple 1. Trouver la valeur de l'expression 1,5 + 3,4

Tout d'abord, on additionne les parties fractionnaires 5 + 4 = 9. Nous écrivons neuf dans la partie fractionnaire de notre réponse :

Maintenant, nous ajoutons les parties entières 1 + 3 = 4. Nous écrivons les quatre dans la partie entière de notre réponse :

Maintenant, nous séparons la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, nous suivons à nouveau la règle de la « virgule sous virgule » :

Nous avons reçu une réponse de 4,9. Cela signifie que la valeur de l'expression 1,5 + 3,4 est 4,9

Exemple 2. Trouver la valeur de l'expression : 3,51 + 1,22

Nous écrivons cette expression dans une colonne en respectant la règle de la « virgule sous virgule ».

Tout d’abord, on additionne la partie fractionnaire, à savoir les centièmes de 1+2=3. Nous écrivons un triplet dans la centième partie de notre réponse :

Ajoutez maintenant les dixièmes 5+2=7. Nous écrivons un sept dans la dixième partie de notre réponse :

Maintenant, nous ajoutons les parties entières 3+1=4. Nous écrivons les quatre dans toute la partie de notre réponse :

On sépare la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule, en respectant la règle « virgule sous virgule » :

La réponse que nous avons reçue était 4,73. Cela signifie que la valeur de l'expression 3,51 + 1,22 est égale à 4,73

3,51 + 1,22 = 4,73

Comme pour les nombres normaux, lors de l'ajout de décimales, . Dans ce cas, un chiffre est écrit dans la réponse et le reste est transféré au chiffre suivant.

Exemple 3. Trouver la valeur de l'expression 2,65 + 3,27

On écrit cette expression dans la colonne :

Additionnez les centièmes 5+7=12. Le nombre 12 ne rentrera pas dans la centième partie de notre réponse. Par conséquent, dans la centième partie, nous écrivons le nombre 2 et déplaçons l'unité au chiffre suivant :

Maintenant, nous additionnons les dixièmes de 6+2=8 plus l'unité que nous avons obtenue de l'opération précédente, nous obtenons 9. Nous écrivons le nombre 9 dans le dixième de notre réponse :

Maintenant, nous ajoutons les parties entières 2+3=5. Nous écrivons le chiffre 5 dans la partie entière de notre réponse :

La réponse que nous avons reçue était 5,92. Cela signifie que la valeur de l'expression 2,65 + 3,27 est égale à 5,92

2,65 + 3,27 = 5,92

Exemple 4. Trouver la valeur de l'expression 9,5 + 2,8

Nous écrivons cette expression dans la colonne

Nous additionnons les parties fractionnaires 5 + 8 = 13. Le nombre 13 ne rentrera pas dans la partie fractionnaire de notre réponse, nous écrivons donc d'abord le nombre 3 et déplaçons l'unité au chiffre suivant, ou plutôt, la transférons au partie entière :

Maintenant, nous ajoutons les parties entières 9+2=11 plus l'unité que nous avons obtenue de l'opération précédente, nous obtenons 12. Nous écrivons le nombre 12 dans la partie entière de notre réponse :

Séparez la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule :

Nous avons reçu la réponse 12.3. Cela signifie que la valeur de l'expression 9,5 + 2,8 est 12,3

9,5 + 2,8 = 12,3

Lors de l'ajout de décimales, le nombre de chiffres après la virgule dans les deux fractions doit être le même. S'il n'y a pas assez de nombres, ces emplacements dans la partie fractionnaire sont remplis de zéros.

Exemple 5. Trouvez la valeur de l'expression : 12,725 + 1,7

Avant d’écrire cette expression dans une colonne, faisons en sorte que le nombre de chiffres après la virgule dans les deux fractions soit identique. La fraction décimale 12,725 a trois chiffres après la virgule, mais la fraction 1,7 n'en a qu'un. Cela signifie que dans la fraction 1,7, vous devez ajouter deux zéros à la fin. On obtient alors la fraction 1,700. Vous pouvez maintenant écrire cette expression dans une colonne et commencer à calculer :

Additionnez les millièmes 5+0=5. Nous écrivons le chiffre 5 dans la millième partie de notre réponse :

Additionnez les centièmes 2+0=2. Nous écrivons le chiffre 2 dans la centième partie de notre réponse :

Additionnez les dixièmes 7+7=14. Le nombre 14 ne rentrera pas dans un dixième de notre réponse. Par conséquent, nous écrivons d’abord le nombre 4 et déplaçons l’unité au chiffre suivant :

Maintenant, nous ajoutons les parties entières 12+1=13 plus l'unité que nous avons obtenue de l'opération précédente, nous obtenons 14. Nous écrivons le nombre 14 dans la partie entière de notre réponse :

Séparez la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule :

Nous avons reçu une réponse de 14 425 personnes. Cela signifie que la valeur de l'expression 12,725+1,700 est 14,425.

12,725+ 1,700 = 14,425

Soustraire des décimales

Lors de la soustraction de fractions décimales, vous devez suivre les mêmes règles que lors de l'ajout : « virgule sous la virgule décimale » et « un nombre égal de chiffres après la virgule décimale ».

Exemple 1. Trouver la valeur de l'expression 2,5 − 2,2

On écrit cette expression dans une colonne, en respectant la règle de la « virgule sous virgule » :

On calcule la partie fractionnaire 5−2=3. Nous écrivons le chiffre 3 dans la dixième partie de notre réponse :

On calcule la partie entière 2−2=0. Nous écrivons zéro dans la partie entière de notre réponse :

Séparez la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule :

Nous avons reçu une réponse de 0,3. Cela signifie que la valeur de l'expression 2,5 − 2,2 est égale à 0,3

2,5 − 2,2 = 0,3

Exemple 2. Trouver la valeur de l'expression 7,353 - 3,1

Cette expression comporte un nombre différent de chiffres après la virgule. La fraction 7,353 a trois chiffres après la virgule, mais la fraction 3,1 n'en a qu'un. Cela signifie que dans la fraction 3.1, vous devez ajouter deux zéros à la fin pour que le nombre de chiffres dans les deux fractions soit le même. Ensuite, nous obtenons 3 100.

Vous pouvez maintenant écrire cette expression dans une colonne et la calculer :

Nous avons reçu une réponse de 4 253 personnes. Cela signifie que la valeur de l'expression 7,353 − 3,1 est égale à 4,253

7,353 — 3,1 = 4,253

Comme pour les nombres ordinaires, vous devrez parfois en emprunter un à un chiffre adjacent si la soustraction devient impossible.

Exemple 3. Trouver la valeur de l'expression 3,46 − 2,39

Soustrayez les centièmes de 6−9. Vous ne pouvez pas soustraire le nombre 9 du nombre 6. Par conséquent, vous devez en emprunter un au chiffre adjacent. En empruntant un au chiffre adjacent, le nombre 6 se transforme en nombre 16. Vous pouvez maintenant calculer les centièmes de 16−9=7. Nous écrivons un sept dans la centième partie de notre réponse :

Maintenant, nous soustrayons les dixièmes. Puisque nous avons pris une unité à la dixième place, le chiffre qui s'y trouvait a diminué d'une unité. Autrement dit, à la dixième place se trouve désormais non plus le nombre 4, mais le nombre 3. Calculons les dixièmes de 3−3=0. Nous écrivons zéro dans la dixième partie de notre réponse :

Maintenant, nous soustrayons les parties entières 3−2=1. Nous en écrivons un dans la partie entière de notre réponse :

Séparez la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule :

Nous avons reçu une réponse de 1,07. Cela signifie que la valeur de l'expression 3,46−2,39 est égale à 1,07

3,46−2,39=1,07

Exemple 4. Trouver la valeur de l'expression 3−1.2

Cet exemple soustrait une décimale d'un nombre entier. Écrivons cette expression dans une colonne pour que toute la partie de la fraction décimale 1,23 soit sous le chiffre 3

Maintenant, faisons en sorte que le nombre de chiffres après la virgule soit identique. Pour ce faire, après le chiffre 3 on met une virgule et on ajoute un zéro :

Maintenant, nous soustrayons les dixièmes : 0−2. Vous ne pouvez pas soustraire le nombre 2 de zéro. Vous devez donc en emprunter un au chiffre adjacent. Après avoir emprunté un au chiffre voisin, 0 se transforme en nombre 10. Vous pouvez maintenant calculer les dixièmes de 10−2=8. Nous écrivons un huit dans la dixième partie de notre réponse :

Maintenant, nous soustrayons toutes les parties. Auparavant, le numéro 3 était situé dans l'ensemble, mais nous en avons retiré une unité. En conséquence, il est devenu le nombre 2. Par conséquent, de 2 nous soustrayons 1. 2−1=1. Nous en écrivons un dans la partie entière de notre réponse :

Séparez la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule :

La réponse que nous avons reçue était 1,8. Cela signifie que la valeur de l'expression 3−1,2 est 1,8

Multiplier des décimales

Multiplier des décimales est simple et même amusant. Pour multiplier des nombres décimaux, vous les multipliez comme des nombres réguliers, en ignorant les virgules.

Après avoir reçu la réponse, vous devez séparer la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, vous devez compter le nombre de chiffres après la virgule dans les deux fractions, puis compter le même nombre de chiffres en partant de la droite dans la réponse et mettre une virgule.

Exemple 1. Trouver la valeur de l'expression 2,5 × 1,5

Multiplions ces fractions décimales comme des nombres ordinaires, en ignorant les virgules. Pour ignorer les virgules, on peut temporairement imaginer qu'elles sont totalement absentes :

Nous en avons obtenu 375. Dans ce nombre, vous devez séparer la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, vous devez compter le nombre de chiffres après la virgule dans les fractions 2,5 et 1,5. La première fraction a un chiffre après la virgule et la deuxième fraction en a également un. Total deux nombres.

Nous revenons au numéro 375 et commençons à nous déplacer de droite à gauche. Il faut compter deux chiffres vers la droite et mettre une virgule :

Nous avons reçu une réponse de 3,75. La valeur de l'expression 2,5 × 1,5 est donc 3,75

2,5 × 1,5 = 3,75

Exemple 2. Trouvez la valeur de l'expression 12,85 × 2,7

Multiplions ces fractions décimales en ignorant les virgules :

Nous avons obtenu 34695. Dans ce nombre, vous devez séparer la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, vous devez compter le nombre de chiffres après la virgule dans les fractions 12,85 et 2,7. La fraction 12,85 a deux chiffres après la virgule et la fraction 2,7 a un chiffre, soit un total de trois chiffres.

Nous revenons au numéro 34695 et commençons à nous déplacer de droite à gauche. Il faut compter trois chiffres en partant de la droite et mettre une virgule :

Nous avons reçu une réponse de 34 695 personnes. La valeur de l'expression 12,85 × 2,7 est donc 34,695

12,85 × 2,7 = 34,695

Multiplier un nombre décimal par un nombre régulier

Parfois, des situations surviennent lorsque vous devez multiplier une fraction décimale par un nombre régulier.

Pour multiplier une décimale et un nombre, on les multiplie sans faire attention à la virgule dans la décimale. Après avoir reçu la réponse, vous devez séparer la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, vous devez compter le nombre de chiffres après la virgule décimale dans la fraction décimale, puis compter le même nombre de chiffres en partant de la droite dans la réponse et mettre une virgule.

Par exemple, multipliez 2,54 par 2

Multipliez la fraction décimale 2,54 par le nombre habituel 2, en ignorant la virgule :

Nous avons obtenu le nombre 508. Dans ce nombre, vous devez séparer la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, vous devez compter le nombre de chiffres après la virgule dans la fraction 2,54. La fraction 2,54 comporte deux chiffres après la virgule.

Nous revenons au numéro 508 et commençons à nous déplacer de droite à gauche. Il faut compter deux chiffres vers la droite et mettre une virgule :

Nous avons reçu une réponse de 5,08. La valeur de l'expression 2,54 × 2 est donc 5,08

2,54 × 2 = 5,08

Multiplier des décimales par 10, 100, 1000

La multiplication de nombres décimaux par 10, 100 ou 1 000 s'effectue de la même manière que la multiplication de nombres décimaux par des nombres réguliers. Vous devez effectuer la multiplication sans faire attention à la virgule dans la fraction décimale, puis séparer la partie entière de la partie fractionnaire dans la réponse, en comptant à droite le même nombre de chiffres qu'il y avait de chiffres après la virgule décimale.

Par exemple, multipliez 2,88 par 10

Multipliez la fraction décimale 2,88 par 10, en ignorant la virgule dans la fraction décimale :

Nous avons obtenu 2880. Dans ce nombre, vous devez séparer la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, vous devez compter le nombre de chiffres après la virgule dans la fraction 2,88. On voit que la fraction 2,88 a deux chiffres après la virgule.

Nous revenons au nombre 2880 et commençons à nous déplacer de droite à gauche. Il faut compter deux chiffres vers la droite et mettre une virgule :

Nous avons reçu une réponse de 28h80. Laissons tomber le dernier zéro et obtenons 28,8. Cela signifie que la valeur de l'expression 2,88×10 est 28,8

2,88 × 10 = 28,8

Il existe une deuxième façon de multiplier des fractions décimales par 10, 100, 1 000. Cette méthode est beaucoup plus simple et plus pratique. Elle consiste à déplacer la virgule vers la droite d'autant de chiffres qu'il y a de zéros dans le facteur.

Par exemple, résolvons l'exemple précédent 2,88×10 de cette façon. Sans donner aucun calcul, regardons immédiatement le facteur 10. Nous nous intéressons au nombre de zéros qu'il contient. Nous voyons qu'il y a un zéro dedans. Maintenant, dans la fraction 2,88, nous déplaçons la virgule décimale vers la droite d'un chiffre, nous obtenons 28,8.

2,88 × 10 = 28,8

Essayons de multiplier 2,88 par 100. Nous regardons immédiatement le facteur 100. Nous nous intéressons au nombre de zéros qu'il contient. On voit qu'il y a deux zéros. Maintenant, dans la fraction 2,88, nous déplaçons la virgule décimale vers la droite de deux chiffres, nous obtenons 288

2,88 × 100 = 288

Essayons de multiplier 2,88 par 1000. Nous regardons immédiatement le facteur 1000. Nous nous intéressons au nombre de zéros qu'il contient. Nous voyons qu'il y a trois zéros. Maintenant, dans la fraction 2,88, nous déplaçons la virgule décimale vers la droite de trois chiffres. Il n’y a pas de troisième chiffre, nous ajoutons donc un autre zéro. En conséquence, nous obtenons 2880.

2,88 × 1 000 = 2 880

Multiplier des décimales par 0,1 0,01 et 0,001

Multiplier des décimales par 0,1, 0,01 et 0,001 fonctionne de la même manière que multiplier une décimale par une décimale. Il faut multiplier les fractions comme des nombres ordinaires, et mettre une virgule dans la réponse, en comptant autant de chiffres à droite qu'il y a de chiffres après la virgule dans les deux fractions.

Par exemple, multipliez 3,25 par 0,1

On multiplie ces fractions comme des nombres ordinaires, en ignorant les virgules :

Nous avons obtenu 325. Dans ce nombre, vous devez séparer la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, vous devez compter le nombre de chiffres après la virgule dans les fractions 3,25 et 0,1. La fraction 3,25 a deux chiffres après la virgule et la fraction 0,1 a un chiffre. Total trois nombres.

Nous revenons au nombre 325 et commençons à nous déplacer de droite à gauche. Nous devons compter trois chiffres en partant de la droite et mettre une virgule. Après avoir compté trois chiffres, nous constatons que les chiffres sont épuisés. Dans ce cas, vous devez ajouter un zéro et ajouter une virgule :

Nous avons reçu une réponse de 0,325. Cela signifie que la valeur de l'expression 3,25 × 0,1 est 0,325

3,25 × 0,1 = 0,325

Il existe une deuxième façon de multiplier des décimales par 0,1, 0,01 et 0,001. Cette méthode est beaucoup plus simple et pratique. Elle consiste à déplacer la virgule vers la gauche d'autant de chiffres qu'il y a de zéros dans le facteur.

Par exemple, résolvons l'exemple précédent 3,25 × 0,1 de cette façon. Sans faire de calculs, on regarde immédiatement le multiplicateur de 0,1. Nous nous intéressons au nombre de zéros qu'il contient. Nous voyons qu'il y a un zéro dedans. Maintenant, dans la fraction 3,25, nous déplaçons la virgule décimale d’un chiffre vers la gauche. En déplaçant la virgule d’un chiffre vers la gauche, on voit qu’il n’y a plus de chiffres avant les trois. Dans ce cas, ajoutez un zéro et mettez une virgule. Le résultat est 0,325

3,25 × 0,1 = 0,325

Essayons de multiplier 3,25 par 0,01. On regarde immédiatement le multiplicateur de 0,01. Nous nous intéressons au nombre de zéros qu'il contient. On voit qu'il y a deux zéros. Maintenant, dans la fraction 3,25, nous déplaçons la virgule décimale vers la gauche de deux chiffres, nous obtenons 0,0325

3,25 × 0,01 = 0,0325

Essayons de multiplier 3,25 par 0,001. On regarde immédiatement le multiplicateur de 0,001. Nous nous intéressons au nombre de zéros qu'il contient. Nous voyons qu'il y a trois zéros. Maintenant, dans la fraction 3,25, nous déplaçons la virgule décimale vers la gauche de trois chiffres, nous obtenons 0,00325

3,25 × 0,001 = 0,00325

Ne confondez pas la multiplication de fractions décimales par 0,1, 0,001 et 0,001 avec la multiplication par 10, 100, 1 000. Une erreur typique pour la plupart des gens.

Lors de la multiplication par 10, 100, 1000, la virgule décimale est déplacée vers la droite du même nombre de chiffres qu'il y a de zéros dans le multiplicateur.

Et lors de la multiplication par 0,1, 0,01 et 0,001, la virgule décimale est déplacée vers la gauche du même nombre de chiffres qu'il y a de zéros dans le multiplicateur.

Si au début cela est difficile à retenir, vous pouvez utiliser la première méthode, dans laquelle la multiplication est effectuée comme avec des nombres ordinaires. Dans la réponse, vous devrez séparer la partie entière de la partie fractionnaire, en comptant le même nombre de chiffres à droite qu'il y a de chiffres après la virgule décimale dans les deux fractions.

Diviser un plus petit nombre par un plus grand nombre. Niveau avancé.

Dans l'une des leçons précédentes, nous avons dit qu'en divisant un nombre plus petit par un nombre plus grand, on obtient une fraction dont le numérateur est le dividende et le dénominateur est le diviseur.

Par exemple, pour partager une pomme entre deux personnes, vous devez écrire 1 (une pomme) au numérateur et 2 (deux amis) au dénominateur. En conséquence, nous obtenons la fraction . Cela signifie que chaque ami recevra une pomme. Autrement dit, une demi-pomme. La fraction est la réponse au problème "comment diviser une pomme en deux"

Il s'avère que vous pouvez résoudre ce problème davantage si vous divisez 1 par 2. Après tout, la ligne fractionnaire dans n'importe quelle fraction signifie une division, et donc cette division est autorisée dans la fraction. Mais comment? Nous sommes habitués au fait que le dividende est toujours supérieur au diviseur. Mais ici, au contraire, le dividende est inférieur au diviseur.

Tout deviendra clair si l'on se souvient qu'une fraction signifie écrasement, division, division. Cela signifie que l'unité peut être divisée en autant de parties que vous le souhaitez, et pas seulement en deux parties.

Lorsque vous divisez un nombre plus petit par un nombre plus grand, vous obtenez une fraction décimale dont la partie entière est 0 (zéro). La partie fractionnaire peut être n'importe quoi.

Alors divisons 1 par 2. Résolvons cet exemple avec un coin :

Un ne peut pas être complètement divisé en deux. Si tu poses une question "combien y a-t-il de deux en un" , alors la réponse sera 0. Par conséquent, dans le quotient, nous écrivons 0 et mettons une virgule :

Maintenant, comme d'habitude, on multiplie le quotient par le diviseur pour obtenir le reste :

Le moment est venu où l’ensemble peut être divisé en deux parties. Pour ce faire, ajoutez un autre zéro à droite de celui obtenu :

Nous avons 10. Divisons 10 par 2, nous obtenons 5. Nous écrivons le cinq dans la partie fractionnaire de notre réponse :

Maintenant, nous retirons le dernier reste pour terminer le calcul. Multipliez 5 par 2 pour obtenir 10

Nous avons reçu une réponse de 0,5. La fraction est donc 0,5

Une demi-pomme peut également s’écrire en utilisant la fraction décimale 0,5. Si nous ajoutons ces deux moitiés (0,5 et 0,5), nous obtenons à nouveau la pomme entière originale :

Ce point peut également être compris si l’on imagine comment 1 cm est divisé en deux parties. Si vous divisez 1 centimètre en 2 parties, vous obtenez 0,5 cm

Exemple 2. Trouvez la valeur de l'expression 4:5

Combien y a-t-il de cinq dans un quatre ? Pas du tout. On écrit 0 dans le quotient et on met une virgule :

On multiplie 0 par 5, on obtient 0. On écrit un zéro sous les quatre. Soustrayez immédiatement ce zéro du dividende :

Commençons maintenant à diviser (diviser) les quatre en 5 parties. Pour ce faire, ajoutez un zéro à droite de 4 et divisez 40 par 5, on obtient 8. On écrit huit dans le quotient.

On complète l'exemple en multipliant 8 par 5 pour obtenir 40 :

Nous avons reçu une réponse de 0,8. Cela signifie que la valeur de l'expression 4:5 est de 0,8

Exemple 3. Trouver la valeur de l'expression 5 : 125

Combien de nombres font 125 sur cinq ? Pas du tout. On écrit 0 dans le quotient et on met une virgule :

On multiplie 0 par 5, on obtient 0. On écrit 0 sous les cinq. Soustrayez immédiatement 0 de cinq

Commençons maintenant à diviser (diviser) les cinq en 125 parties. Pour ce faire, on écrit un zéro à droite de ce cinq :

Divisez 50 par 125. Combien y a-t-il de nombres 125 dans le nombre 50 ? Pas du tout. Donc dans le quotient on écrit encore 0

Multipliez 0 par 125, nous obtenons 0. Écrivez ce zéro sous 50. Soustrayez immédiatement 0 de 50

Divisez maintenant le nombre 50 en 125 parties. Pour ce faire, on écrit un autre zéro à droite de 50 :

Divisez 500 par 125. Combien de nombres font 125 dans le nombre 500. Il y a quatre nombres 125 dans le nombre 500. Écrivez les quatre dans le quotient :

On complète l'exemple en multipliant 4 par 125 pour obtenir 500

Nous avons reçu une réponse de 0,04. Cela signifie que la valeur de l'expression 5 : 125 est 0,04

Diviser des nombres sans reste

Alors, mettons une virgule après l'unité dans le quotient, indiquant ainsi que la division des parties entières est terminée et que l'on passe à la partie fractionnaire :

Ajoutons zéro au reste 4

Divisons maintenant 40 par 5, nous obtenons 8. Nous écrivons huit dans le quotient :

40−40=0. Il nous en reste 0. Cela signifie que la division est complètement terminée. En divisant 9 par 5, on obtient la fraction décimale 1,8 :

9: 5 = 1,8

Exemple 2. Divisez 84 par 5 sans reste

Tout d’abord, divisez 84 par 5 comme d’habitude avec un reste :

Nous en avons eu 16 en privé et il en reste 4 autres. Divisons maintenant ce reste par 5. Mettez une virgule dans le quotient et ajoutez 0 au reste 4

Divisons maintenant 40 par 5, nous obtenons 8. Nous écrivons le huit dans le quotient après la virgule décimale :

et complétez l'exemple en vérifiant s'il reste encore un reste :

Diviser un nombre décimal par un nombre régulier

Une fraction décimale, comme nous le savons, se compose d’un nombre entier et d’une partie fractionnaire. Lorsque vous divisez une fraction décimale par un nombre régulier, vous devez d'abord :

• divisez toute la partie de la fraction décimale par ce nombre ;
• une fois la partie entière divisée, vous devez immédiatement mettre une virgule dans le quotient et continuer le calcul, comme dans une division normale.

Par exemple, divisez 4,8 par 2

Écrivons cet exemple dans un coin :

Maintenant, divisons la partie entière par 2. Quatre divisé par deux est égal à deux. On en écrit deux dans le quotient et on met immédiatement une virgule :

Maintenant, nous multiplions le quotient par le diviseur et voyons s'il y a un reste de la division :

4−4=0. Le reste est nul. Nous n'écrivons pas encore zéro, puisque la solution n'est pas terminée. Ensuite, nous continuons à calculer comme dans une division ordinaire. Retirez 8 et divisez-le par 2

8 : 2 = 4. On écrit le quatre dans le quotient et on le multiplie immédiatement par le diviseur :

Nous avons reçu une réponse de 2,4. La valeur de l'expression 4,8:2 est 2,4

Exemple 2. Trouver la valeur de l'expression 8,43 : 3

Divisez 8 par 3, nous obtenons 2. Mettez immédiatement une virgule après le 2 :

Maintenant, nous multiplions le quotient par le diviseur 2 × 3 = 6. Nous écrivons le six sous le huit et trouvons le reste :

Divisez 24 par 3, nous obtenons 8. Nous écrivons huit dans le quotient. Multipliez-le immédiatement par le diviseur pour trouver le reste de la division :

24−24=0. Le reste est nul. Nous n’écrivons pas encore zéro. On soustrait les trois derniers du dividende et on divise par 3, on obtient 1. Multipliez immédiatement 1 par 3 pour compléter cet exemple :

La réponse que nous avons reçue était 2,81. Cela signifie que la valeur de l'expression 8,43 : 3 est 2,81

Diviser une décimale par une décimale

Pour diviser une fraction décimale par une fraction décimale, vous devez déplacer la virgule décimale du dividende et du diviseur vers la droite du même nombre de chiffres qu'il y a après la virgule décimale du diviseur, puis diviser par le nombre habituel.

Par exemple, divisez 5,95 par 1,7

Écrivons cette expression avec un coin

Maintenant, dans le dividende et dans le diviseur, nous déplaçons la virgule décimale vers la droite du même nombre de chiffres qu'il y a après la virgule décimale dans le diviseur. Le diviseur a un chiffre après la virgule. Cela signifie que dans le dividende et le diviseur, nous devons déplacer la virgule décimale vers la droite d'un chiffre. Nous transférons :

Après avoir déplacé la virgule vers la droite d’un chiffre, la fraction décimale 5,95 est devenue la fraction 59,5. Et la fraction décimale 1,7, après avoir déplacé la virgule décimale d'un chiffre vers la droite, s'est transformée en le nombre habituel 17. Et nous savons déjà comment diviser une fraction décimale par un nombre régulier. Un calcul ultérieur n'est pas difficile :

La virgule est déplacée vers la droite pour faciliter la division. Ceci est autorisé car lors de la multiplication ou de la division du dividende et du diviseur par le même nombre, le quotient ne change pas. Qu'est-ce que ça veut dire?

C’est l’une des caractéristiques intéressantes de la division. C'est ce qu'on appelle la propriété du quotient. Considérons l'expression 9 : 3 = 3. Si dans cette expression le dividende et le diviseur sont multipliés ou divisés par le même nombre, alors le quotient 3 ne changera pas.

Multiplions le dividende et le diviseur par 2 et voyons ce qui en résulte :

(9 × 2) : (3 × 2) = 18 : 6 = 3

Comme le montre l’exemple, le quotient n’a pas changé.

La même chose se produit lorsque l’on déplace la virgule dans le dividende et dans le diviseur. Dans l’exemple précédent, où nous avons divisé 5,91 par 1,7, nous avons déplacé la virgule du dividende et du diviseur d’un chiffre vers la droite. Après avoir déplacé la virgule décimale, la fraction 5,91 a été transformée en fraction 59,1 et la fraction 1,7 a été transformée en le nombre habituel 17.

En fait, à l’intérieur de ce processus, il y a eu une multiplication par 10. Voici à quoi cela ressemblait :

5,91 × 10 = 59,1

Par conséquent, le nombre de chiffres après la virgule décimale dans le diviseur détermine par quoi le dividende et le diviseur seront multipliés. En d’autres termes, le nombre de chiffres après la virgule décimale dans le diviseur déterminera le nombre de chiffres dans le dividende et dans le diviseur, la virgule décimale sera déplacée vers la droite.

Diviser un nombre décimal par 10, 100, 1000

Diviser un nombre décimal par 10, 100 ou 1 000 se fait de la même manière que . Par exemple, divisez 2,1 par 10. Résolvez cet exemple en utilisant un coin :

Mais il existe une deuxième façon. C'est plus léger. L'essence de cette méthode est que la virgule du dividende est déplacée vers la gauche d'autant de chiffres qu'il y a de zéros dans le diviseur.

Résolvons l'exemple précédent de cette façon. 2.1 : 10. Nous regardons le diviseur. Nous nous intéressons au nombre de zéros qu'il contient. On voit qu'il y a un zéro. Cela signifie que dans le dividende de 2,1, vous devez déplacer la virgule décimale d'un chiffre vers la gauche. Nous déplaçons la virgule d’un chiffre vers la gauche et voyons qu’il ne reste plus de chiffres. Dans ce cas, ajoutez un autre zéro avant le nombre. En conséquence, nous obtenons 0,21

Essayons de diviser 2,1 par 100. Il y a deux zéros dans 100. Cela signifie que dans le dividende 2.1, nous devons déplacer la virgule de deux chiffres vers la gauche :

2,1: 100 = 0,021

Essayons de diviser 2,1 par 1000. Il y a trois zéros dans 1000. Cela signifie que dans le dividende 2.1, vous devez déplacer la virgule de trois chiffres vers la gauche :

2,1: 1000 = 0,0021

Diviser une décimale par 0,1, 0,01 et 0,001

Diviser une fraction décimale par 0,1, 0,01 et 0,001 se fait de la même manière que . Dans le dividende et dans le diviseur, vous devez déplacer la virgule vers la droite d'autant de chiffres qu'il y a après la virgule dans le diviseur.

Par exemple, divisons 6,3 par 0,1. Tout d’abord, déplaçons les virgules du dividende et du diviseur vers la droite du même nombre de chiffres qu’il y a après la virgule décimale du diviseur. Le diviseur a un chiffre après la virgule. Cela signifie que nous déplaçons les virgules du dividende et du diviseur vers la droite d'un chiffre.

Après avoir déplacé la virgule décimale d'un chiffre vers la droite, la fraction décimale 6,3 devient le nombre habituel 63, et la fraction décimale 0,1 après avoir déplacé la virgule décimale vers la droite d'un chiffre se transforme en un. Et diviser 63 par 1 est très simple :

Cela signifie que la valeur de l'expression 6,3 : 0,1 est 63

Mais il existe une deuxième façon. C'est plus léger. L'essence de cette méthode est que la virgule du dividende est déplacée vers la droite d'autant de chiffres qu'il y a de zéros dans le diviseur.

Résolvons l'exemple précédent de cette façon. 6,3 : 0,1. Regardons le diviseur. Nous nous intéressons au nombre de zéros qu'il contient. On voit qu'il y a un zéro. Cela signifie que dans le dividende de 6,3, vous devez déplacer la virgule décimale d'un chiffre vers la droite. Déplacez la virgule vers la droite d'un chiffre et obtenez 63

Essayons de diviser 6,3 par 0,01. Le diviseur de 0,01 comporte deux zéros. Cela signifie que dans le dividende 6,3, nous devons déplacer la virgule décimale vers la droite de deux chiffres. Mais dans le dividende, il n’y a qu’un seul chiffre après la virgule. Dans ce cas, vous devez ajouter un autre zéro à la fin. En conséquence, nous obtenons 630

Essayons de diviser 6,3 par 0,001. Le diviseur de 0,001 comporte trois zéros. Cela signifie que dans le dividende 6,3, nous devons déplacer la virgule décimale vers la droite de trois chiffres :

6,3: 0,001 = 6300

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L'atelier de couture disposait de 5 couleurs de ruban. Il y avait plus de bureaucratie rouge que de bleu de 2,4 mètres, mais moins de ruban vert de 3,8 mètres. Il y avait plus de ruban blanc que de ruban noir sur 1,5 mètre, mais moins de ruban vert sur 1,9 mètre. Combien de mètres de ruban y avait-il au total dans l'atelier si le blanc mesurait 7,3 mètres ?

Solution
• 1) 7,3 + 1,9 = 9,2 (m) de ruban vert se trouvaient dans l'atelier ;
• 2) 7,3 – 1,5 = 5,8 (m) de ruban noir ;
• 3) 9,2 – 3,8 = 5,4 (m) de ruban rouge ;
• 4) 5,4 - 2,4 = 3 (m) ruban bleu ;
• 5) 7,3 + 9,2 + 5,8 + 5,4 + 3 = 30,7 (m).
• Réponse : au total, il y avait 30,7 mètres de ruban adhésif dans l'atelier.

Problème 2

La longueur de la section rectangulaire est de 19,4 mètres et la largeur est inférieure de 2,8 mètres. Calculez le périmètre du site.

Solution
• 1) 19,4 – 2,8 = 16,6 (m) de largeur de la zone ;
• 2) 16,6 * 2 + 19,4 * 2 = 33,2 + 38,8 = 72(m).
• Réponse : le périmètre du site est de 72 mètres.

Problème 3

La longueur du saut d'un kangourou peut atteindre 13,5 mètres. Le record du monde pour une personne est de 8,95 mètres. Jusqu’où un kangourou peut-il sauter ?

Solution
• 1) 13,5 – 8,95 = 4,55 (m).
• 2) Réponse : le kangourou saute 4,55 mètres plus loin.

Problème 4

La température la plus basse de la planète a été enregistrée à la station Vostok en Antarctique, au cours de l'été du 21 juillet 1983, et était de -89,2°C, et la plus chaude dans la ville d'Al-Aziziya, le 13 septembre 1922, était de +57,8°C. . Calculez la différence entre les températures.

Solution
• 1) 89,2 + 57,8 = 147°C.
• Réponse : La différence entre les températures est de 147°C.

Problème 5

La capacité de charge du fourgon Gazelle est de 1,5 tonne et celle du camion-benne minier BelAZ est 24 fois supérieure. Calculez la capacité de charge du camion-benne BelAZ.

Solution
• 1) 1,5 * 24 = 36 (tonnes).
• Réponse : la capacité de charge du BelAZ est de 36 tonnes.

Problème 6

La vitesse maximale de la Terre sur son orbite est de 30,27 km/sec et la vitesse de Mercure est 17,73 km plus élevée. À quelle vitesse Mercure se déplace-t-elle sur son orbite ?

Solution
• 1) 30,27 + 17,73 = 48 (km/s).
• Réponse : La vitesse orbitale de Mercure est de 48 km/s.

Problème 7

La profondeur de la fosse des Mariannes est de 11,023 km et la hauteur de la plus haute montagne du monde, Chomolungma, est de 8,848 km au-dessus du niveau de la mer. Calculez la différence entre ces deux points.

Solution
• 1) 11,023 + 8,848 = 19,871(km).
• Réponse : 19 871 km.

Problème 8

Pour Kolya, comme pour toute personne en bonne santé, la température corporelle normale est de 36,6°C, et pour son ami à quatre pattes Sharik, elle est de 2,2°C plus élevée. Quelle température est considérée comme normale pour Sharik ?

Solution
• 1) 36,6 + 2,2 = 38,8°C.
• Réponse : La température corporelle normale de Sharik est de 38,8°C.

Problème 9

Le peintre a peint 18,6 m² de clôture en 1 jour, et son assistant a peint 4,4 m² de moins. Combien de mètres carrés de clôture le peintre et son assistant peindront-ils au cours d'une semaine de travail, si celle-ci dure cinq jours ?

Solution
• 1) 18,6 – 4,4 = 14,2 (m²) sera peint par un assistant peintre en 1 jour ;
• 2) 14,2 + 18,6 = 32,8 (m²) seront peints en 1 jour ensemble ;
• 3) 32,8 *5 = 164 (m²).
• Réponse : dans une semaine de travail, le peintre et son assistant peindront ensemble 164 m² de clôture.

Problème 10

Deux bateaux sont partis simultanément de deux quais l'un vers l'autre. La vitesse d'un bateau est de 42,2 km/h, celle du second est de 6 km/h de plus. Quelle sera la distance entre les bateaux après 2h30 si la distance entre les quais est de 140,5 km ?

Solution
• 1) 42,2 + 6 = 48,2 (km/h) vitesse du deuxième bateau ;
• 2) 42,2 * 2,5 = 105,5 (km) seront parcourus par le premier bateau en 2,5 heures ;
• 3) 48,2 * 2,5 = 120,5 (km) seront parcourus par le deuxième bateau en 2,5 heures ;
• 4) 140,5 – 105,5 = 35 (km) de distance entre le premier bateau et le quai opposé ;
• 5) 140,5 – 120,5 = 20 (km) de distance entre le deuxième bateau et le quai opposé ;
• 6) 35 + 20 = 55 (km) ;
• 7) 140 – 55 = 85 (km).
• Réponse : il y aura 85 km entre les bateaux.

Problème 11

Chaque jour, un cycliste parcourt 30,2 km. Un motocycliste, s'il passait le même temps, parcourrait une distance 2,5 fois plus grande qu'un cycliste. Quelle distance un motocycliste peut-il parcourir en 4 jours ?

Solution
• 1) 30,2 * 2,5 = 75,5 (km) qu'un motocycliste parcourra en 1 jour ;
• 2) 75,5 * 4 = 302 (km).
• Réponse : un motocycliste peut parcourir 302 km en 4 jours.

Problème 12

En 1 jour, le magasin a vendu 18,3 kg de biscuits et 2,4 kg de bonbons en moins. Combien de bonbons et de biscuits ont été vendus dans le magasin ce jour-là ?

Solution
• 1) 18,3 – 2,4 = 15,9 (kg) de bonbons ont été vendus dans le magasin ;
• 2) 15,9 + 18,3 = 34,2 (kg).
• Réponse : au total, 34,2 kg de friandises et de biscuits ont été vendus.

Lorsque vous ajoutez des fractions décimales, vous devez les écrire les unes sous les autres de manière à ce que les mêmes chiffres soient les uns sous les autres et que la virgule soit sous la virgule, et additionnez les fractions de la même manière que vous ajoutez des nombres naturels. Ajoutons par exemple les fractions 12,7 et 3,442. La première fraction contient une décimale et la deuxième fraction en contient trois. Pour effectuer une addition, on transforme la première fraction pour qu'il y ait trois chiffres après la virgule décimale : , puis

La soustraction des fractions décimales s'effectue de la même manière. Trouvons la différence entre les nombres 13,1 et 0,37 :

Lors de la multiplication de fractions décimales, il suffit de multiplier les nombres donnés, sans faire attention aux virgules (comme les nombres naturels), puis, par conséquent, de séparer autant de chiffres de droite par une virgule qu'il y en a après la virgule décimale dans les deux facteurs au total.

Par exemple, multiplions 2,7 par 1,3. Nous avons. On utilise une virgule pour séparer deux chiffres à droite (la somme des chiffres des facteurs après la virgule décimale est de deux). En conséquence, nous obtenons 2,7 1,3 = 3,51.

Si le produit contient moins de chiffres qu'il ne faut séparer par une virgule, alors les zéros manquants sont écrits devant, par exemple :

Supposons de multiplier une fraction décimale par 10, 100, 1 000, etc. Disons que nous devons multiplier la fraction 12,733 par 10. Nous avons . En séparant trois chiffres à droite par une virgule, nous obtenons Mais. Moyens,

12 733 10=127,33. Ainsi, multiplier une fraction décimale par 10 revient à déplacer la virgule décimale d’un chiffre vers la droite.

En général, pour multiplier une fraction décimale par 10, 100, 1000, il faut déplacer la virgule décimale de cette fraction de 1, 2, 3 chiffres vers la droite, en ajoutant, si nécessaire, un certain nombre de zéros à la fraction du côté droite). Par exemple,

La division d'une fraction décimale par un nombre naturel s'effectue de la même manière que la division d'un nombre naturel par un nombre naturel, et la virgule dans le quotient est placée une fois la division de la partie entière terminée. Divisons 22,1 par 13 :

Si la partie entière du dividende est inférieure au diviseur, alors la réponse est zéro entier, par exemple :

Considérons maintenant la division d'une décimale par une décimale. Disons que nous devons diviser 2,576 par 1,12. Pour ce faire, dans le dividende comme dans le diviseur, déplacez la virgule vers la droite d'autant de chiffres qu'il y a après la virgule décimale dans le diviseur (dans cet exemple, deux). Autrement dit, si l’on multiplie le dividende et le diviseur par 100, le quotient ne changera pas. Il faut ensuite diviser la fraction 257,6 par l'entier naturel 112, c'est-à-dire le problème se réduit au cas déjà considéré :

Pour diviser une fraction décimale par, vous devez déplacer la virgule décimale de cette fraction vers la gauche (et, si nécessaire, ajouter le nombre de zéros requis vers la gauche). Par exemple, .

Tout comme la division n’est pas toujours réalisable pour les nombres naturels, elle ne l’est pas toujours pour les fractions décimales. Par exemple, divisez 2,8 par 0,09 :

Le résultat est ce qu’on appelle une fraction décimale infinie. Dans de tels cas, on passe aux fractions ordinaires. Par exemple:

Il se peut que certains nombres soient écrits sous forme de fractions ordinaires, d’autres sous forme de nombres fractionnaires et d’autres encore sous forme de décimales. Lorsque vous effectuez des opérations sur de tels nombres, vous pouvez agir de différentes manières : soit convertir des décimales en fractions ordinaires et appliquer les règles pour opérer avec des fractions ordinaires, soit convertir des fractions ordinaires et des nombres fractionnaires en décimales (si possible) et appliquer les règles pour opérer avec décimales.

Exemple:

Une virgule dans une fraction décimale sépare :
1) une partie entière d'une fraction ;
2) autant de signes qu'il y a de zéros au dénominateur d'une fraction ordinaire.

Comment convertir une fraction décimale en fraction commune ?

Par exemple, \(0,35\) se lit comme « zéro virgule trente-cinq centièmes ». On écrit donc : \(0 \frac(35)(100)\). La partie entière est égale à zéro, c'est-à-dire que vous ne pouvez tout simplement pas l'écrire et la partie fractionnaire peut être réduite de \(5\).
On obtient : \(0,35=0\frac(35)(100)=\frac(35)(100)=\frac(7)(20)\).
Autres exemples : \(2.14=2\frac(14)(100)=\frac(214)(100)=\frac(107)(50)\);
\(7,026=7\frac(26)(1000)=\frac(7026)(1000)\).

Cette transition peut être effectuée plus rapidement :

Écrivez le nombre entier sans virgule au numérateur et écrivez un et autant de zéros au dénominateur, autant de chiffres étaient séparés par une virgule.

Cela semble compliqué, alors regardez l'image :

Comment convertir une fraction en nombre décimal ?

Pour ce faire, vous devez multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction par un nombre tel que le dénominateur s'avère être \(10\), \(100\), \(1000\), etc., puis écrire le résultat sous forme décimale.

Exemples:\(\frac(3)(5)\) \(=\)\(\frac(3\cdot 2)(5\cdot 2)\) \(=\)\(\frac(6)(10) \) \(=0,6\); \(\frac(63)(25)\) \(=\frac(63 \cdot 4)(25\cdot 4)\)\(=\)\(\frac(252)(100)\) \(=2,52\); \(\frac(7)(200)\) \(=\) \(\frac(7 \cdot 5)(200\cdot 5)\)\(=\)\(\frac(35)(1000)\) \(=0,035\).

Cette méthode fonctionne bien lorsque le dénominateur contient des fractions : \(2\), \(5\), \(20\), \(25\)... etc., c'est-à-dire lorsqu'il est immédiatement clair quoi multiplier par . Cependant, dans d'autres cas :

Pour convertir une fraction en nombre décimal, divisez le numérateur de la fraction par son dénominateur.

Par exemple, la fraction \(\frac(7)(8)\) est plus facile à convertir en divisant \(7\) par \(8\) qu'en devinant que \(8\) peut être multiplié par \(125\) et obtenir \( 1000\).

Toutes les fractions ordinaires ne peuvent pas être facilement converties en décimales. Plus précisément, tout le monde se transforme, mais il peut être très difficile d'écrire le résultat d'une telle transformation. Par exemple, la fraction \(\frac(9)(17)\) sous forme décimale ressemblera à \(0,52941...\) - et ainsi de suite, une série infinie de nombres non répétitifs. Ces fractions sont généralement laissées comme des fractions ordinaires.

Cependant, certaines fractions donnant une série infinie de chiffres peuvent être écrites sous forme décimale. Cela se produit si les nombres de cette ligne sont répétés. Par exemple, la fraction \(\frac(2)(3)\) sous forme décimale ressemble à ceci \(0.66666...\) - une série infinie de six. Il s'écrit ainsi : \(0,(6)\). Le contenu de la parenthèse est précisément la partie infiniment répétitive (la soi-disant période de la fraction).

Autres exemples : \(\frac(100)(27)\) \(=\)\(3.7037037037…=3,(703)\).
\(\frac(579)(110)\) \(=5,2636363636…=5,2(63)\).

Types de fractions décimales :

Additionner et soustraire des décimales

L'ajout (soustraction) de fractions décimales s'effectue de la même manière que l'ajout (soustraction) : l'essentiel est que la virgule du deuxième nombre soit en dessous de la virgule du premier.

Multiplier des décimales

Pour multiplier deux nombres décimaux, on les multiplie comme des nombres réguliers, en ignorant les virgules. Ajoutez ensuite le nombre de décimales dans le premier nombre et dans le second, puis séparez le nombre de décimales obtenu dans le nombre final, en comptant de droite à gauche.

Il vaut mieux regarder une image 1(1\) fois que de la lire \(10\) fois, alors profitez-en :

Division décimale

Pour diviser une décimale par une décimale, vous déplacez la virgule décimale du deuxième nombre (diviseur) jusqu'à ce qu'il devienne un nombre entier. Déplacez ensuite la virgule du premier chiffre (dividende) du même montant. Ensuite, vous devez diviser les nombres obtenus comme d'habitude. Dans ce cas, il faudra penser à mettre une virgule dans votre réponse dès que l’on « passe la virgule » dans le dividende.

Encore une fois, une image expliquera le principe mieux que n’importe quel texte.

En pratique, il peut être plus facile de représenter la division comme une fraction commune, puis de multiplier le numérateur et le dénominateur pour supprimer les virgules (ou simplement de déplacer les virgules d'un coup, comme nous l'avons fait ci-dessus), puis de réduire les nombres obtenus.

\(13.12:1.6=\)\(\frac(13.12)(1.6)\) \(=\) \(\frac(13,12 100)(1,6 100)\)\(=\)\(\frac(1312)(160)\) \(=\)\(\frac(328)(40)\) \(=\)\(\frac(82)(10)\ ) \(=8,2\).

Exemple . Calculez \(0,0625:(\)\(\frac(1)(8)\) \(+\)\(\frac(5)(16)\) \()\cdot 2,8\).

Solution :

Dans cet article, nous comprendrons ce qu'est une fraction décimale, quelles sont ses caractéristiques et ses propriétés. Aller! 🙂

Une fraction décimale est un cas particulier de fractions ordinaires (où le dénominateur est un multiple de 10).

Définition

Les décimales sont des fractions dont les dénominateurs sont des nombres composés d'un et d'un nombre de zéros qui le suivent. Autrement dit, ce sont des fractions avec un dénominateur de 10, 100, 1000, etc. Sinon, une fraction décimale peut être caractérisée comme une fraction avec un dénominateur de 10 ou l'une des puissances de dix.

Exemples de fractions :

, ,

Les fractions décimales s’écrivent différemment des fractions ordinaires. Les opérations avec ces fractions sont également différentes des opérations avec les fractions ordinaires. Les règles pour les opérations avec eux sont à bien des égards similaires aux règles pour les opérations avec des nombres entiers. Ceci explique notamment leur exigence de résoudre des problèmes pratiques.

Représentation des fractions en notation décimale

La fraction décimale n'a pas de dénominateur ; elle affiche le numéro du numérateur. En général, une fraction décimale s'écrit selon le schéma suivant :

où X est la partie entière de la fraction, Y est sa partie fractionnaire, « », est le point décimal.

Pour représenter correctement une fraction sous forme décimale, il doit s'agir d'une fraction appropriée, c'est-à-dire avec la partie entière en surbrillance (si possible) et un numérateur inférieur au dénominateur. Ensuite, en notation décimale, la partie entière est écrite avant la virgule décimale (X) et le numérateur de la fraction commune est écrit après la virgule décimale (Y).

Si le numérateur contient un nombre avec moins de chiffres que le nombre de zéros au dénominateur, alors dans la partie Y, le nombre de chiffres manquant dans la notation décimale est rempli de zéros devant les chiffres du numérateur.

Exemple:

Si une fraction commune est inférieure à 1, c'est-à-dire n'a pas de partie entière, alors pour X sous forme décimale, écrivez 0.

Dans la partie fractionnaire (Y), après le dernier chiffre significatif (non nul), un nombre arbitraire de zéros peut être saisi. Cela n'affecte pas la valeur de la fraction. À l’inverse, tous les zéros à la fin de la partie fractionnaire de la décimale peuvent être omis.

Lire des décimales

La partie X se lit généralement comme suit : « X entiers ».

La partie Y est lue en fonction du nombre au dénominateur. Pour le dénominateur 10 il faut lire : « Y dixièmes », pour le dénominateur 100 : « Y centièmes », pour le dénominateur 1000 : « Y millièmes » et ainsi de suite... 😉

Une autre approche de la lecture, basée sur le comptage du nombre de chiffres de la partie fractionnaire, est considérée comme plus correcte. Pour ce faire, vous devez comprendre que les chiffres fractionnaires sont situés dans une image miroir par rapport aux chiffres de la partie entière de la fraction.

Les noms pour une lecture correcte sont donnés dans le tableau :

Sur cette base, la lecture doit être basée sur le respect du nom du chiffre du dernier chiffre de la partie fractionnaire.

• 3,5 lit "trois virgule cinq"
• 0,016 lit "zéro virgule seize millièmes"

Conversion d'une fraction arbitraire en décimale

Si le dénominateur d'une fraction commune est 10 ou une puissance de dix, alors la fraction est convertie comme décrit ci-dessus. Dans d'autres situations, des transformations supplémentaires sont nécessaires.

Il existe 2 méthodes de traduction.

Première méthode de transfert

Le numérateur et le dénominateur doivent être multipliés par un nombre entier tel que le dénominateur donne le nombre 10 ou l'une des puissances de dix. Et puis la fraction est représentée en notation décimale.

Cette méthode est applicable aux fractions dont le dénominateur ne peut être développé qu'en 2 et 5. Ainsi, dans l'exemple précédent . Si le développement contient d'autres facteurs premiers (par exemple ), alors vous devrez recourir à la 2ème méthode.

Deuxième méthode de traduction

La 2ème méthode consiste à diviser le numérateur par le dénominateur dans une colonne ou sur une calculatrice. La pièce entière, le cas échéant, ne participe pas à la transformation.

La règle pour une division longue qui aboutit à une fraction décimale est décrite ci-dessous (voir Division des décimales).

Conversion d'une fraction décimale en une fraction commune

Pour ce faire, vous devez écrire sa partie fractionnaire (à droite de la virgule décimale) comme numérateur et le résultat de la lecture de la partie fractionnaire comme nombre correspondant au dénominateur. Ensuite, si possible, vous devez réduire la fraction résultante.

Fraction décimale finie et infinie

Une fraction décimale est appelée fraction finale dont la partie fractionnaire est constituée d'un nombre fini de chiffres.

Tous les exemples ci-dessus contiennent des fractions décimales finales. Cependant, toutes les fractions ordinaires ne peuvent pas être représentées sous forme décimale finale. Si la 1ère méthode de conversion n'est pas applicable pour une fraction donnée et que la 2ème méthode démontre que la division ne peut pas être complétée, alors seule une fraction décimale infinie peut être obtenue.

Il est impossible d’écrire une fraction infinie sous sa forme complète. Sous forme incomplète, ces fractions peuvent être représentées :

1. suite à une réduction au nombre souhaité de décimales ;
2. comme fraction périodique.

Une fraction est dite périodique si, après la virgule décimale, il est possible de distinguer une séquence de chiffres se répétant à l'infini.

Les fractions restantes sont dites non périodiques. Pour les fractions non périodiques, seule la 1ère méthode de représentation (arrondi) est autorisée.

Un exemple de fraction périodique : 0,8888888... Ici, il y a un nombre répétitif 8, qui, évidemment, sera répété à l'infini, car il n'y a aucune raison de supposer le contraire. Ce chiffre est appelé période de la fraction.

Les fractions périodiques peuvent être pures ou mélangées. Une fraction décimale pure est une fraction dont le point commence immédiatement après la virgule décimale. Une fraction mixte comporte 1 ou plusieurs chiffres avant la virgule décimale.

54.33333… – fraction décimale pure périodique

2,5621212121… – fraction mixte périodique

Exemples d'écriture de fractions décimales infinies :

Le 2ème exemple montre comment formater correctement un point en écrivant une fraction périodique.

Conversion de fractions décimales périodiques en fractions ordinaires

Pour convertir une fraction périodique pure en une période ordinaire, écrivez-la au numérateur et écrivez un nombre composé de neuf d'un montant égal au nombre de chiffres de la période au dénominateur.

La fraction décimale périodique mixte se traduit comme suit :

1. vous devez former un nombre composé du nombre après la virgule avant le point et le premier point ;
2. Du nombre obtenu, soustrayez le nombre après la virgule avant le point. Le résultat sera le numérateur de la fraction commune ;
3. au dénominateur, vous devez saisir un nombre composé d'un nombre de neuf égal au nombre de chiffres du point, suivi de zéros dont le nombre est égal au nombre de chiffres du nombre après la virgule avant le 1er période.

Comparaison des décimales

Les fractions décimales sont d'abord comparées par leurs parties entières. La fraction dont la partie entière est la plus grande est la plus grande.

Si les parties entières sont identiques, comparez les chiffres des chiffres correspondants de la partie fractionnaire, en commençant par le premier (à partir des dixièmes). Le même principe s’applique ici : la fraction la plus grande est celle qui contient le plus de dixièmes ; si les chiffres des dixièmes sont égaux, les chiffres des centièmes sont comparés, et ainsi de suite.

Parce que le

, car avec des parties entières égales et des dixièmes égaux dans la partie fractionnaire, la 2ème fraction a un chiffre en centièmes plus grand.

Additionner et soustraire des décimales

Les décimales sont ajoutées et soustraites de la même manière que les nombres entiers en écrivant les chiffres correspondants les uns en dessous des autres. Pour ce faire, vous devez avoir des points décimaux les uns en dessous des autres. Alors les unités (dizaines, etc.) de la partie entière, ainsi que les dixièmes (centièmes, etc.) de la partie fractionnaire, seront concordantes. Les chiffres manquants de la partie fractionnaire sont remplis de zéros. Directement Le processus d'addition et de soustraction s'effectue de la même manière que pour les nombres entiers.

Multiplier des décimales

Pour multiplier des décimales, vous devez les écrire les unes en dessous des autres, en les alignant sur le dernier chiffre et sans prêter attention à l'emplacement des points décimaux. Ensuite, vous devez multiplier les nombres de la même manière que lorsque vous multipliez des nombres entiers. Après avoir reçu le résultat, vous devez recalculer le nombre de chiffres après la virgule décimale dans les deux fractions et séparer le nombre total de chiffres fractionnaires dans le nombre obtenu par une virgule. S'il n'y a pas assez de chiffres, ils sont remplacés par des zéros.

Multiplier et diviser des décimales par 10n

Ces actions sont simples et se résument à déplacer la virgule décimale. P. Lors de la multiplication, la virgule décimale est déplacée vers la droite (la fraction est augmentée) d'un nombre de chiffres égal au nombre de zéros dans 10n, où n est une puissance entière arbitraire. C'est-à-dire qu'un certain nombre de chiffres sont transférés de la partie fractionnaire à la partie entière. Lors de la division, en conséquence, la virgule est déplacée vers la gauche (le nombre diminue) et certains chiffres sont transférés de la partie entière à la partie fractionnaire. S'il n'y a pas assez de chiffres à transférer, les chiffres manquants sont remplis de zéros.

Diviser un nombre décimal et un nombre entier par un nombre entier et un nombre décimal

Diviser un nombre décimal par un nombre entier est similaire à diviser deux nombres entiers. De plus, il vous suffit de prendre en compte la position de la virgule décimale : lors de la suppression du chiffre d'un lieu suivi d'une virgule, vous devez placer une virgule après le chiffre actuel de la réponse générée. Ensuite, vous devez continuer à diviser jusqu'à obtenir zéro. S'il n'y a pas suffisamment de signes dans le dividende pour une division complète, des zéros doivent être utilisés.

De même, 2 nombres entiers sont divisés en colonne si tous les chiffres du dividende ont été supprimés et que la division complète n'est pas encore terminée. Dans ce cas, après avoir supprimé le dernier chiffre du dividende, un point décimal est placé dans la réponse résultante et des zéros sont utilisés comme chiffres supprimés. Ceux. le dividende ici est essentiellement représenté comme une fraction décimale avec une partie fractionnaire nulle.

Pour diviser une fraction décimale (ou un nombre entier) par un nombre décimal, vous devez multiplier le dividende et le diviseur par le nombre 10 n, dans lequel le nombre de zéros est égal au nombre de chiffres après la virgule décimale du diviseur. De cette façon, vous supprimez le point décimal dans la fraction par laquelle vous souhaitez diviser. De plus, le processus de division coïncide avec celui décrit ci-dessus.

Représentation graphique des fractions décimales

Les fractions décimales sont représentées graphiquement à l'aide d'une ligne de coordonnées. Pour ce faire, les segments individuels sont ensuite divisés en 10 parties égales, tout comme les centimètres et les millimètres sont marqués simultanément sur une règle. Cela garantit que les décimales sont affichées avec précision et peuvent être comparées objectivement.

Pour que les divisions en segments individuels soient identiques, vous devez soigneusement considérer la longueur du segment lui-même. Il doit être tel que la commodité d'une division supplémentaire puisse être assurée.