Quelques corollaires des axiomes
Théorème 1 :
Un plan passe par une droite et un point qui ne s'y trouve pas, et un seul.
Étant donné : M ₵ a
Prouver : 1) Il existe α : a∈ α, M ∈ b ∈ α
2)
α est le seul
Preuve:
1) En ligne droite, et sélectionner des points P. Et Q. Alors nous avons 3 points - R., Q, M, qui ne se trouvent pas sur la même ligne droite.
2) D'après l'axiome A1, un plan passe par trois points qui ne se trouvent pas sur la même droite, et un seul, c'est-à-dire plan α, qui contient une droite a et un point M, existe.
3) Maintenant, prouvons-leα le seul. Supposons qu'il existe un plan β qui passe à la fois par le point M et par la droite a, mais alors ce plan passe par les pointsR, Q, M. Et après trois points P, Q, M, ne se trouvant pas sur la même droite, en vertu de l'axiome 1, un seul plan la traverse.
4) Cela signifie que ce plan coïncide avec le plan α.Donc 1) Sur une ligne droite et sélectionnez des points P. Et Q. Alors nous avons 3 points - P, Q, M, qui ne se situent pas sur la même ligne droite.Donc α est unique.
Le théorème a été prouvé.
1) Sur la droite b, prenons le point N, qui ne coïncide pas avec le point M, c'est-à-dire N ∈ b, N≠M
2) Alors nous avons un point N qui n’appartient pas à la droite a. D'après le théorème précédent, un plan passe par une droite et un point qui ne se trouve pas dessus. Appelons-le le plan α. Cela signifie qu'un tel plan qui passe par la droite a et le point N existe.
3) Prouvons le caractère unique de ce plan. Supposons le contraire. Soit un plan β tel qu'il passe par la ligne a et la ligne b. Mais alors il passe aussi par la droite a et le point N. Mais d'après le théorème précédent, ce plan est unique, c'est-à-dire le plan β coïncide avec le plan α.
4) Cela signifie que nous avons prouvé l’existence d’un plan unique passant par deux droites sécantes.
Le théorème a été prouvé.
Théorème sur les droites parallèles
Théorème:
Par tout point de l’espace ne se trouvant pas sur une ligne donnée passe une ligne parallèle à la ligne donnée.
Donné : droit suis₵ un
Prouver:Il n'y a qu'une seule ligne droiteb ∥ une, M ∈ b
Preuve:
1) Par une droite a et un point M qui ne se trouve pas dessus, on peut tracer un unique plan (Corollaire 1). Dans le plan α on peut tracer une droite b, parallèle à a, passant par M.
2) Prouvons qu'elle est la seule. Supposons qu’il existe une autre droite c passant par le point M et parallèle à la droite a. Soit les droites parallèles a et c se trouvant dans le plan β. Alors β passe par M et la droite a. Mais le plan α passe par la droite a et le point M.
3) Cela signifie que α et β sont identiques. De l'axiome des lignes parallèles, il s'ensuit que les lignes b et c coïncident, puisque dans le plan il y a une seule droite passant par ce point et parallèle à une ligne donnée.
Le théorème a été prouvé.
Une droite et un plan sont dits parallèles s'ils n'ont pas points communs. Si une droite ne se trouvant pas dans un plan donné est parallèle à une droite située dans ce plan
1. Si un plan passe par une ligne donnée parallèle à un autre plan et coupe ce plan, alors la ligne d'intersection des plans est parallèle à la ligne donnée.
2. Si l'une des deux droites parallèles est parallèle à un plan donné et que l'autre droite a un point commun avec le plan, alors cette droite se trouve dans le plan donné. plan, alors il est parallèle au plan lui-même.
Cas de position relative d'une droite et d'un plan : a) la droite se trouve dans le plan ;
b) une droite et un plan n'ont qu'un seul point commun ; c) une droite et un plan n'ont pas un seul point commun.
2. Détermination de la valeur naturelle d'un segment de droite en position générale selon la méthode du triangle rectangle.
La valeur naturelle (n.v.) d'un segment de droite AB en position générale est l'hypoténuse d'un triangle rectangle ABC. Dans ce triangle, la branche AK est parallèle au plan de projection π1 et est égale à la projection horizontale du segment A"B". La jambe BK est égale à la différence des distances des points A et B au plan π1.
Dans le cas général, pour déterminer la valeur naturelle d'un segment de droite, il est nécessaire de construire l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont une branche est la projection horizontale (frontale) du segment, l'autre branche est un segment égal en valeur à la différence algébrique des coordonnées Z (Y) des points extrêmes du segment.
À partir d'un triangle rectangle, trouvez l'angle α - l'angle d'inclinaison de la ligne droite par rapport au plan de projection horizontal.
Pour déterminer l'angle d'inclinaison d'une ligne droite par rapport au plan frontal des projections, il est nécessaire d'effectuer des constructions similaires sur la projection frontale du segment.
3. Lignes principales de l'avion (horizontale, frontale).
L'horizontale du plan P est une droite située dans ce plan et parallèle au plan horizontal. L'horizontale, en tant que ligne droite parallèle au plan horizontal, a projection frontaleѓ, parallèle à l’axe des x.
Le plan frontal du plan P est une droite située dans ce plan et parallèle au plan frontal.
Le frontal est une ligne droite parallèle au plan frontal et sa projection horizontale est parallèle à l'axe des x.
4. La position relative des lignes dans l'espace. Détermination de la visibilité basée sur des points concurrents. Deux lignes droites dans l'espace peuvent avoir des emplacements différents : A) se croisent (se trouvent dans le même plan). Un cas particulier d'intersection est à angle droit ; B) peut être parallèle (se trouver dans le même plan) ; C) coïncider - un cas particulier de parallélisme ; D) se couper (se trouver dans des plans différents et ne pas se croiser).
Les points dont les projections sur P1 coïncident sont appelés en compétition par rapport au plan P1, et les points dont les projections sur P2 coïncident sont appelés en compétition par rapport au plan P2.
Les points K et L sont en compétition par rapport au plan P1, puisque sur le plan P1 les points K et L sont projetés en un seul point : K1 = L1.
Le point K est plus haut que le point L, car K2 est plus haut que le point L2, donc K1 est visible sur P1.
La géométrie élémentaire étudie les concepts et les relations entre les objets. Sans une justification claire, on ne peut pas naviguer domaine d'application. Le signe du parallélisme entre une droite et un plan est le premier pas dans la géométrie de l’espace. Maîtrise des catégories initiales vous permettra de vous rapprocher au monde fascinant de la précision, de la logique et de la clarté.
Corrélation d'objets : options possibles
La stéréométrie est un outil pour comprendre le monde. Elle examine la relation entre les objets et enseigne comment calculer les distances sans règle. Une pratique réussie nécessite maîtriser les concepts de base.
Il existe une surface a et une droite l. Il existe trois cas de relations d'objet. Ils sont déterminés par les points d'intersection. Facile à retenir:
- 0 point - parallèle ;
- 1 point - se croisent mutuellement ;
- une infinité - la ligne droite se trouve dans le plan.
Il est facile de décrire le signe du parallélisme des objets. Sur la surface a, il y a une ligne avec || l, puis l || UN.
Une simple déclaration nécessite une preuve. Laissez la surface être dessinée à travers les lignes : l || c. En Ω a = c. Laissez-moi avoir un point commun avec a. Il devrait se trouver à la p. Cela contredit la condition : l || c. Alors l est parallèle au plan a. Position de départ droite.
Important! Il y a au moins une ligne dans l'espace || surface plane. Ceci est cohérent avec l'énoncé de la géométrie initiale (planimétrie).
Une pensée simple : a appartient à plus d’un point l, ce qui signifie que la droite l appartient entièrement à a.
un || je seulement au cas où absence d'un seul point d'intersection.
C'est une définition logique du parallélisme entre une droite et un plan.
Facile à trouver application pratique dispositions. Comment prouver qu’une droite est parallèle à un plan ?
Il suffit d'utiliser la fonctionnalité étudiée.
Ce qu'il est utile de savoir
Pour résoudre les problèmes avec compétence, vous devez étudier des emplacements supplémentaires d'objets. La base est un signe de parallélisme entre une droite et un plan. Son utilisation facilitera la compréhension d’autres éléments. La géométrie de l'espace considère des cas particuliers.
Intersections en stéréométrie
Objets précédents : surface plane a, lignes c, l. Comment sont-ils côte à côte ? Avec || l. L coupe a. C’est facile à comprendre : c va certainement couper a. Cette idée est un lemme sur l’intersection d’un plan par des droites parallèles.
Le domaine d'activité s'élargit. La surface c est ajoutée aux objets étudiés. Elle possède L. Rien ne change dans les objets d'origine : l || UN. Encore une fois c'est simple : en cas d'intersection de plans ligne commune d || l. Le concept suit immédiatement : quels sont les deux plans appelés sécants. Ceux qui ont une ligne commune.
Quels théorèmes doivent être étudiés
Les principaux concepts de relation entre les objets conduisent à une description des principaux énoncés. Ils nécessitent de nombreuses preuves. Premièrement : des théorèmes sur le parallélisme d’une droite et d’un plan. Divers cas sont considérés.
- Objets : surfaces P, Q, R, droites AB, CD. Condition : P||Q, R les coupe. Naturellement, AB||CD.
- Sujets de recherche : lignées AB, CD, A1B1, C1D1. AB coupe CD dans un plan, A1B1 coupe C1D1 dans un autre. AB||A1B1, CD||C1D1. Conclusion : surfaces comprenant des paires qui se croisent lignes parallèles, ||.
Un nouveau concept émerge . Les lignes qui se croisent ne sont pas elles-mêmes parallèles. bien qu'ils se trouvent dans des plans parallèles. Ce sont C1D1 et AB, A1B1 et CD. Ce phénomène est largement utilisé en stéréométrie pratique.
Déclaration naturelle : à travers l'une des lignes qui se croisent, c'est réel il n'y a qu'un seul plan parallèle au plan indiqué.
- Il est alors facile d’arriver au théorème de la trace. C'est la troisième affirmation sur le parallélisme d'une ligne et d'une surface. Il y a une droite l. Elle || UN. J'appartiens à. En Ω a = d. Seulement option possible:d || l.
Important! Une ligne droite et un plan s'appellent || en l'absence installations communes- des points.
Propriétés du parallélisme et leurs preuves
Il est facile d'arriver au concept de disposition des surfaces planes :
- l'ensemble vide des points communs (appelés parallèles) ;
- se croisent en ligne droite.
Ils sont utilisés en stéréométrie propriétés du parallélisme. Toute image spatiale comporte des surfaces et des lignes. Pour réussir à résoudre des problèmes, vous devez étudier les théorèmes de base :
- Objets à l'étude : un || b; c Ω b = l, c Ω a = m. Conclusion : l ||m. L'hypothèse nécessite une preuve. L'emplacement de l et m est l'un des deux : sécants ou parallèles. Mais dans le second cas, les surfaces n’ont pas de points communs. Alors je || m. La déclaration a été prouvée. N'oubliez pas : si une ligne se situe dans un plan, elle a alors plus d'un point d'intersection.
- Il existe une surface a, le point A n'appartient pas à a. Alors il n’y a qu’une seule surface b || a passant par A. Prouver la position est simple. Soit l Ω m ; l, m appartiennent à a. Un plan est construit à travers chacun d’eux et A. Elle croise un. Il y a une ligne passant par A et || UN. Au point A, ils se croisent. Ils forment une seule surface b || un.
- Il y a des lignes asymétriques l et m. Ensuite, il y a || surfaces a et b auxquelles appartiennent l et m. C'est logique de faire ça : sur l et m choisissez points arbitraires. Dépenser m1 || m, l1 || l. Lignes qui se croisent par paires || => un || b. La situation est avérée.
La connaissance des propriétés du parallélisme d'une droite et d'un plan vous permettra de les appliquer habilement dans la pratique. Des preuves simples et logiques vous aideront à naviguer dans le monde fascinant de la stéréométrie.
Avions : évaluation du parallélisme
Le concept est facile à décrire. Question : qu'est-ce que cela signifie qu'une droite et un plan sont parallèles, résolu. L’étude des catégories initiales de la géométrie spatiale a conduit à un énoncé plus complexe.
Au moment de décider problèmes appliqués la fonctionnalité de parallélisme est appliquée. Description simple : soit l Ω m, l1 Ω m1, l, m appartenir à a, l1, m1 – b. Dans ce cas l || l1, m || m1. Puis un || b.
Aucune candidature symboles mathématiques: les plans sont dits parallèles s'ils sont tracés par des lignes parallèles se coupant deux à deux.
Examens de stéréométrie propriétés plans parallèles . Ils sont décrits par des théorèmes :
Objets à l'étude : un || b, une Ω c = l, b Ω c = m. Alors je || m. Les preuves sont claires. et les lignes se trouvent dans le même plan si elles || ou se croisent. La déclaration concernant le parallélisme de la ligne et de la surface doit être appliquée. Cela devient alors évident : l et m ne peuvent pas se croiser. La seule chose qui reste est l || m.
