Ligne droite. Équation d'une droite

Donnons deux points M.(X 1 ,U 1) et N(X 2,oui 2). Trouvons l'équation de la droite passant par ces points.

Puisque cette droite passe par le point M., alors d'après la formule (1.13) son équation a la forme

U – Oui 1 = K(X–x 1),

Où K– coefficient angulaire inconnu.

La valeur de ce coefficient est déterminée à partir de la condition que la droite souhaitée passe par le point N, ce qui signifie que ses coordonnées satisfont à l'équation (1.13)

Oui 2 – Oui 1 = K(X 2 – X 1),

De là, vous pouvez trouver la pente de cette ligne :

,

Ou après conversion

(1.14)

La formule (1.14) détermine Équation d'une droite passant par deux points M.(X 1, Oui 1) et N(X 2, Oui 2).

Dans le cas particulier où les points M.(UN, 0), N(0, B), UN ¹ 0, B¹ 0, se situe sur les axes de coordonnées, l'équation (1.14) prendra une forme plus simple

Équation (1.15) appelé Équation d'une droite en segments, Ici UN Et B désignent les segments coupés par une ligne droite sur les axes (Figure 1.6).

Graphique 1.6

Exemple 1.10. Écrire une équation pour une droite passant par les points M.(1, 2) et B(3, –1).

. D’après (1.14), l’équation de la droite recherchée a la forme

2(Oui – 2) = -3(X – 1).

Transférer tous les membres vers côté gauche, on obtient finalement l'équation recherchée

3X + 2Oui – 7 = 0.

Exemple 1.11. Écrire une équation pour une droite passant par un point M.(2, 1) et le point d'intersection des lignes X+ Oui – 1 = 0, X – y+ 2 = 0.

. Nous trouverons les coordonnées du point d'intersection des droites en résolvant ces équations ensemble

Si on additionne ces équations terme par terme, on obtient 2 X+ 1 = 0, d'où . En substituant la valeur trouvée dans n'importe quelle équation, nous trouvons la valeur de l'ordonnée U:

Écrivons maintenant l’équation de la droite passant par les points (2, 1) et :

ou .

Donc ou –5( Oui – 1) = X – 2.

On obtient finalement l'équation de la droite recherchée sous la forme X + 5Oui – 7 = 0.

Exemple 1.12. Trouver l'équation de la droite passant par les points M.(2.1) et N(2,3).

En utilisant la formule (1.14), on obtient l'équation

Cela n'a aucun sens, puisque le deuxième dénominateur égal à zéro. D’après les conditions du problème, il ressort clairement que les abscisses des deux points ont la même valeur. Cela signifie que la droite souhaitée est parallèle à l'axe OY et son équation est : X = 2.

Commentaire . Si, lors de l'écriture de l'équation d'une droite à l'aide de la formule (1.14), l'un des dénominateurs s'avère égal à zéro, alors l'équation souhaitée peut être obtenue en assimilant le numérateur correspondant à zéro.

Considérons d'autres façons de définir une ligne sur un plan.

1. Soit un vecteur non nul perpendiculaire à la ligne donnée L, et pointez M. 0(X 0, Oui 0) se situe sur cette droite (Figure 1.7).

Graphique 1.7

Notons M.(X, Oui) point arbitraire en ligne droite L. Vecteurs et Orthogonal. En utilisant les conditions d'orthogonalité de ces vecteurs, on obtient ou UN(X – X 0) + B(Oui – Oui 0) = 0.

Nous avons obtenu l'équation d'une droite passant par un point M. 0 est perpendiculaire au vecteur. Ce vecteur est appelé Vecteur normal à une ligne droite L. L'équation résultante peut être réécrite comme

Oh + Wu + AVEC= 0, où AVEC = –(UNX 0 + Par 0), (1.16),

Où UN Et DANS– coordonnées du vecteur normal.

On obtient l'équation générale de la droite sous forme paramétrique.

2. Une droite sur un plan peut être définie comme suit : soit un vecteur non nul parallèle à la droite donnée L et période M. 0(X 0, Oui 0) se trouve sur cette ligne. Reprenons un point arbitraire M.(X, y) sur une droite (Figure 1.8).

Graphique 1.8

Vecteurs et colinéaire.

Écrivons la condition de colinéarité de ces vecteurs : , où T – nombre arbitraire, appelé paramètre. Écrivons cette égalité en coordonnées :

Ces équations sont appelées Équations paramétriques Droit. Excluons le paramètre de ces équations T:

Ces équations peuvent autrement s’écrire

. (1.18)

L'équation résultante s'appelle Équation canonique droit. Le vecteur s'appelle Le vecteur directeur est droit .

Commentaire . Il est facile de voir que si est le vecteur normal à la droite L, alors son vecteur directeur peut être le vecteur puisque , c'est-à-dire .

Exemple 1.13. Écrire l'équation d'une droite passant par un point M. 0(1, 1) parallèle à la ligne 3 X + 2U– 8 = 0.

Solution . Le vecteur est le vecteur normal aux lignes données et souhaitées. Utilisons l'équation d'une droite passant par un point M. 0 s vecteur donné normales 3 ( X –1) + 2(U– 1) = 0 ou 3 X + 2у– 5 = 0. Nous avons obtenu l’équation de la droite souhaitée.

La droite passant par le point K(x 0 ; y 0) et parallèle à la droite y = kx + a se trouve par la formule :

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Où k est la pente de la droite.

Formule alternative :
Une droite passant par le point M 1 (x 1 ; y 1) et parallèle à la droite Ax+By+C=0 est représentée par l'équation

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Exemple n°2. Écrivez l'équation d'une droite parallèle à la droite 2x + 5y = 0 et formant, avec les axes de coordonnées, un triangle dont l'aire est 5.
Solution . Puisque les droites sont parallèles, l’équation de la droite souhaitée est 2x + 5y + C = 0. Aire triangle rectangle, où a et b sont ses jambes. Trouvons les points d'intersection de la ligne souhaitée avec les axes de coordonnées :
;
.
Donc, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Remplaçons-le dans la formule pour l'aire : . On obtient deux solutions : 2x + 5y + 10 = 0 et 2x + 5y – 10 = 0.

Exemple n°3. Écrivez une équation pour une droite passant par le point (-2; 5) et parallèle à la droite 5x-7y-4=0.
Solution. Cette droite peut être représentée par l'équation y = 5 / 7 x – 4 / 7 (ici a = 5 / 7). L'équation de la droite souhaitée est y – 5 = 5/7 (x – (-2)), c'est-à-dire 7(y-5)=5(x+2) ou 5x-7y+45=0 .

Exemple n°4. Après avoir résolu l'exemple 3 (A=5, B=-7) en utilisant la formule (2), nous trouvons 5(x+2)-7(y-5)=0.

Exemple n°5. Écrivez une équation pour une droite passant par le point (-2;5) et parallèle à la droite 7x+10=0.
Solution. Ici A=7, B=0. La formule (2) donne 7(x+2)=0, c'est-à-dire x+2=0. La formule (1) n'est pas applicable, puisque équation donnée ne peut pas être résolu par rapport à y (cette ligne est parallèle à l’axe y).

Propriétés d'une droite en géométrie euclidienne.

Un nombre infini de lignes droites peuvent être tracées passant par n’importe quel point.

Passant par deux points non coïncidents, une seule ligne droite peut être tracée.

Deux lignes divergentes dans un plan se coupent en un seul point ou sont

parallèle (découle du précédent).

DANS espace tridimensionnel il y a trois options position relative deux lignes droites :

• les lignes se croisent ;

• les lignes sont parallèles ;

• des lignes droites se croisent.

Droit doubler— courbe algébrique du premier ordre : en Système cartésien coordonnées ligne droite

est donnée sur le plan par une équation du premier degré (équation linéaire).

Équation générale droit.

Définition. Toute droite sur le plan peut être spécifiée par une équation du premier ordre

Hache + Wu + C = 0,

et constante UN B ne sont pas égaux à zéro en même temps. Cette équation du premier ordre s’appelle général

équation d'une droite. En fonction des valeurs des constantes UN B Et AVEC Les cas particuliers suivants sont possibles :

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- une droite passe par l'origine

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Par + C = 0)- droite parallèle à l'axe Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- droite parallèle à l'axe UO

. B = C = 0, A ≠0- la droite coïncide avec l'axe UO

. A = C = 0, B ≠0- la droite coïncide avec l'axe Oh

L'équation d'une droite peut être représentée sous la forme sous diverses formes en fonction d'une donnée

conditions initiales.

Équation d'une droite partant d'un point et d'un vecteur normal.

Définition. En cartésien système rectangulaire vecteur de coordonnées avec les composantes (A, B)

perpendiculaire à la droite, donné par l'équation

Hache + Wu + C = 0.

Exemple. Trouver l'équation d'une droite passant par un point UNE(1, 2) perpendiculaire au vecteur (3, -1).

Solution. Avec A = 3 et B = -1, composons l'équation de la droite : 3x - y + C = 0. Pour trouver le coefficient C

Remplaçons les coordonnées du point A donné dans l'expression résultante. Nous obtenons : 3 - 2 + C = 0, donc.

C = -1. Total : l'équation recherchée : 3x - y - 1 = 0.

Équation d'une droite passant par deux points.

Soit deux points dans l'espace M 1 (X 1 , oui 1 , z 1) Et M2 (x 2, y 2, z 2), Alors équation d'une droite,

en passant par ces points :

Si l’un des dénominateurs est nul, le numérateur correspondant doit être égal à zéro. Sur

plan, l’équation de la droite écrite ci-dessus est simplifiée :

Si x1 ≠x2 Et x = x1, Si x1 = x2 .

Fraction =k appelé pente droit.

Exemple. Trouvez l'équation de la droite passant par les points A(1, 2) et B(3, 4).

Solution. En appliquant la formule écrite ci-dessus, on obtient :

Équation d'une droite utilisant un point et une pente.

Si l'équation générale de la droite Hache + Wu + C = 0 mener à:

et désigner , alors l'équation résultante s'appelle

équation d’une droite de pente k.

Équation d'une droite partant d'un point et d'un vecteur directeur.

Par analogie avec le point considérant l'équation d'une droite passant par le vecteur normal, vous pouvez entrer dans la tâche

une ligne droite passant par un point et un vecteur directeur d'une ligne droite.

Définition. Tout vecteur non nul (α1,α2), dont les composants satisfont à la condition

Aα1 + Ba2 = 0 appelé vecteur directeur d’une droite.

Hache + Wu + C = 0.

Exemple. Trouver l'équation d'une droite de vecteur directeur (1, -1) et passant par le point A(1, 2).

Solution. Nous chercherons l'équation de la droite souhaitée sous la forme : Hache + Par + C = 0. D'après la définition,

les coefficients doivent satisfaire aux conditions suivantes :

1 * A + (-1) * B = 0, soit A = B.

Alors l’équation de la droite a la forme : Hache + Ay + C = 0, ou x + y + C / A = 0.

à x = 1, y = 2 on a C/A = -3, c'est à dire. équation requise :

x + y - 3 = 0

Équation d'une droite en segments.

Si dans l'équation générale de la droite Ах + Ву + С = 0 С≠0, alors, en divisant par -С, on obtient :

ou où

Signification géométrique coefficients est que le coefficient a est la coordonnée du point d'intersection

droit avec axe Oh, UN b- coordonnée du point d'intersection de la ligne avec l'axe OU.

Exemple. L'équation générale d'une droite est donnée x - y + 1 = 0. Trouvez l'équation de cette droite en segments.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Équation normale droit.

Si les deux côtés de l’équation Hache + Wu + C = 0 diviser par nombre qui est appelée

facteur de normalisation, alors on obtient

xcosφ + ysinφ - p = 0 -équation normale d'une droite.

Le signe ± du facteur de normalisation doit être choisi de telle sorte que µ*C< 0.

R.- la longueur de la perpendiculaire tombée de l'origine à la droite,

UN φ - l'angle que forme cette perpendiculaire avec la direction positive de l'axe Oh.

Exemple. L'équation générale de la droite est donnée 12x - 5 ans - 65 = 0. Obligatoire d'écrire Divers typeséquations

cette ligne droite.

L'équation de cette droite en segments:

L'équation de cette droite avec la pente: (diviser par 5)

Équation d'une droite:

cos φ = 12/13 ; péché φ= -5/13 ; p = 5.

Il convient de noter que toutes les droites ne peuvent pas être représentées par une équation en segments, par exemple les droites,

parallèle aux axes ou passant par l'origine.

L'angle entre des lignes droites sur un plan.

Définition. Si deux lignes sont données y = k 1 X + b 1 , y = k 2 X + b 2, Que angle vif entre ces lignes

sera défini comme

Deux droites sont parallèles si k1 = k2. Deux les lignes droites sont perpendiculaires,

Si k 1 = -1/ k 2 .

Théorème.

Direct Hache + Wu + C = 0 Et A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 parallèle lorsque les coefficients sont proportionnels

A 1 = λA, B 1 = λB. Si aussi С 1 = λС, alors les lignes coïncident. Coordonnées du point d'intersection de deux lignes

sont trouvés comme solution au système d’équations de ces droites.

Équation d'une droite passant par ce point perpendiculaire à cette ligne.

Définition. Ligne passant par un point M 1 (x 1, y 1) et perpendiculaire à la ligne y = kx + b

représenté par l'équation :

Distance d'un point à une ligne.

Théorème. Si un point est donné M(x 0, oui 0), puis la distance jusqu'à la ligne droite Hache + Wu + C = 0 défini comme:

Preuve. Laissons le point M 1 (x 1, y 1)- la base d'une perpendiculaire tombée d'un point M. pour une donnée

direct. Puis la distance entre les points M. Et M1:

(1)

Coordonnées x1 Et à 1 peut être trouvé comme solution au système d’équations :

La deuxième équation du système est l'équation de la droite passant par point donné M 0 perpendiculaire

ligne droite donnée. Si l'on transforme la première équation du système sous la forme :

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Par 0 + C = 0,

alors, en résolvant, on obtient :

En substituant ces expressions dans l'équation (1), nous trouvons :

Le théorème a été prouvé.