Croissance exponentielle. Les lois du pouvoir dans les affaires

Lorsqu’on a demandé à Albert Einstein de nommer la force la plus puissante du monde, il a répondu sans hésitation : « Intérêts composés ».

Pour vraiment comprendre la nature et les conséquences d’une longue période de croissance, il faut un génie. Des expériences ont montré que même les personnes instruites et bonnes en mathématiques ont tendance à sous-estimer considérablement les effets de la croissance. Par exemple, dans une étude*, il a été demandé aux sujets d'estimer la productivité requise d'une usine de tracteurs qui a commencé à fonctionner en 1976 avec une capacité de production de 1 000 tracteurs par an, après quoi la demande a augmenté de 6 pour cent chaque année. Combien de tracteurs, leur a-t-on demandé, l’usine aurait-elle besoin de produire en 1990, 2020, 2050 et 2080 ? Les réponses typiques étaient basées sur des augmentations linéaires graduelles et, par conséquent, les estimations de la demande avant 1990 étaient assez proches de la bonne réponse. Mais le nombre de réponses correctes a ensuite augmenté « de façon exponentielle », tandis que les scores des répondants ont continué à être basés sur une augmentation constante. La plupart des personnes interrogées ont répondu qu'en 2080, la demande sera d'environ 30 000 tracteurs, alors que la bonne réponse est d'environ 350 000, soit plus de 10 fois plus !

Maintenant, devinez l'énigme. Dans un étang d'une superficie de 13 mille mètres carrés. pieds, une feuille de nénuphar flotte, occupant une superficie de 1 carré. pied. Une semaine plus tard, il y a déjà deux feuilles. Dans deux semaines quatre. Calculez combien de temps il faudra aux nénuphars pour recouvrir tout l’étang.

En 16 semaines, ils couvriront la moitié de l'étang. Maintenant, dites-moi, combien de temps faudra-t-il pour que tout l'étang soit recouvert de nénuphars ? Il a fallu 16 semaines pour que les nénuphars couvrent la moitié de l'étang. Mais pour couvrir la seconde moitié, une semaine suffira, puisque la surface foliaire double chaque semaine. La réponse finale est de 17 semaines.

* Cm.: ^ Dietrich Dörner. La logique de l’échec : pourquoi les choses tournent mal et que pouvons-nous faire pour les améliorer (Dietrich Dorner. La logique de l'échec : pourquoi les choses tournent mal et ce que nous pouvons faire pour y remédier. 1996, Metropolitan Books, New York). L'original a été publié en Allemagne en 1989 sous le titre "Die Logik des Misslingcns" par Rowohlt Verlag.

Vous souvenez-vous de la fable du roi indien qui voulait récompenser l'inventeur des échecs ? L'inventeur n'a demandé que quelques grains de riz : un sur une cellule, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, et ainsi de suite sur toutes les autres cellules. Le roi pensait que le sage était modeste - jusqu'à ce qu'il s'avère qu'une seule dernière cellule devrait mettre 9 223 372 036 000 000 000 de grains, soit environ 153 milliards de tonnes, soit plus de deux millions et demi d'énormes (60 000 tonnes chacun) cargos secs. rempli jusqu'aux côtés de riz. Et tout cela est dû à une croissance « exponentielle », en l’occurrence le doublement des grains de riz sur chaque cellule.

^ Quelle est l’essence de la croissance exponentielle ?

Un exposant est un nombre qui indique combien de fois une quantité doit être multipliée par elle-même. Par exemple, si l'exposant est 3 et la grandeur est 4, alors l'expression 4 3 signifie 4 x 4x4, soit 64. Expression mathématique à 2 moyens à X à, UN le chiffre 2 est l'exposant.

En quoi la croissance exponentielle diffère-t-elle de la croissance linéaire ? Avec une croissance linéaire, la valeur augmente à chaque étape de même chose ok et pas sur plusieurs nombre. Si mon capital de départ est de 1 000 $ et augmente de 100 $ chaque année, alors dans 10 ans je le doublerai et j'aurai 2 000 $. Il s’agit d’une croissance linéaire, du même montant chaque année. Mais si mon capital de départ de 1 000 $ augmente de 10 % chaque année, alors après dix ans, j'aurai 2 594 $. Il s’agit d’un exemple de croissance exponentielle avec un multiple d’augmentation annuel constant de 1,1. Si je continue mon entreprise pendant encore 10 ans, alors une croissance linéaire me donnera un total de 3 000 $, tandis qu'une croissance exponentielle me donnera un total de 6 727 $.

Tout marché ou entreprise qui maintient un taux de croissance de 10 % ou plus sur une période prolongée connaîtra une création de valeur bien plus importante que ce que nous estimons intuitivement. Certaines entreprises - comme IBM ou McDonald's pour la période de 1950 à

1985 ou Microsoft dans les années 1990 - ont réussi à atteindre des taux de croissance supérieurs à 15 pour cent par an et ont multiplié leur capital. Si vous commencez avec 100 $ et que vous faites croître votre capital à un rythme de 15 % par an pendant 15 ans, vous obtiendrez 3 292 $, soit près de 33 fois ce avec quoi vous aviez commencé. Une légère augmentation du pourcentage de croissance fait une grande différence dans les résultats.

Par exemple, l'agent de change américain William O'Neill a créé un fonds pour ses camarades de classe et l'a géré de 1961 à 1986. Pendant cette période, les 850 $ initiaux se sont transformés en 51 653 $ après avoir payé tous les impôts*. Sur 25 ans, l'augmentation moyenne était de 17,85. pour cent par an, ce qui s'est traduit par une multiplication par 61 du montant initial. Ainsi, nous voyons que si sur 25 ans, une croissance de 15 pour cent augmente le capital de 33 fois, alors ajouter moins de 3 points de pourcentage au taux de croissance annuel augmente le capital. résultat par 33 fois 61 fois.

La croissance exponentielle change les choses non seulement quantitativement, mais aussi qualitativement. Par exemple, avec la croissance rapide du secteur - Peter Drucker estime le chiffre à 40 pour cent en 10 ans - sa structure même change et de nouveaux leaders du marché apparaissent. La croissance rapide des marchés est motivée par l'innovation, le manque de modèles, de nouveaux produits, de technologies ou de consommateurs. Les innovateurs, par définition, font les choses différemment des autres. Les nouvelles méthodes coexistent rarement avec les habitudes, les idées, les procédures et les structures des entreprises existantes. Les innovateurs ont souvent la possibilité d’attendre plusieurs années jusqu’à ce que les dirigeants traditionnels décident de lancer une contre-attaque, mais il est alors peut-être trop tard.

^ Lapins de Fibonacci

Je voudrais vous proposer une énigme intéressante sur le thème de la croissance exponentielle. En 1220, Léonard de Pise, qui reçut le surnom de « Fibonacci » 600 ans plus tard, proposa ceci :

* ^ William J. O'Neil. Comment gagner de l'argent sur les échanges ( William J. À propos de « Neil. Comment gagner de l'argent avec les actions. 1991, McGraw-Hill, New York. p.132).

scénario réel. Commençons par quelques lapins. Imaginez ensuite que chaque couple donne naissance à un autre couple un an plus tard, et un autre un an plus tard. Après cela, les lapins deviennent trop vieux pour se reproduire. Comment le nombre de paires va-t-il augmenter et y a-t-il quelque chose de génial dans ce modèle ?

Si vous le souhaitez, vous pouvez séquencer vous-même le nombre annuel de paires, mais vous pouvez immédiatement consulter la réponse :

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...

Avez-vous remarqué quelque chose d'inhabituel ?

À proprement parler, il y a ici deux points intéressants. La première est qu’à partir du troisième, chaque chiffre suivant est la somme des deux précédents. La seconde est que le rapport du nombre de chaque année (après la troisième) au nombre de la précédente est un coefficient presque constant, qui se rapproche bientôt de 1,618. En d’autres termes, il y a un taux de croissance constant d’un peu plus de 60 pour cent.

Au fil du temps un mystère ^ Lapins Fibonacci a reçu une explication mathématique complète, mais, heureusement, elle n’a pas sa place ici*. Cependant, ces lapins sont une excellente illustration de la croissance exponentielle, ainsi que du fait que même une croissance apparemment limitée ne peut pas durer très longtemps. Dans 144 ans, le volume des lapins de Fibonacci dépassera le volume de l'Univers, et tous les humains mourront en suffoquant sous la masse duveteuse. C'est vraiment tiré par les cheveux !

^ Gros coup

Une autre forme plus extrême de croissance exponentielle pourrait être à l’origine de l’origine de l’univers. De nos jours, presque tous les astronomes et physiciens sont d’accord avec La théorie du Big Bang, selon lequel l'univers a commencé

* Les passionnés de mathématiques voudront peut-être consulter le livre de Peter M. Higgins « Math for the Curious » (Peter M. Higgins. Mathématiques pour les curieux. 1998, Oxford University Press, Oxford).

à partir d'un volume incroyablement petit, puis en une fraction de seconde, il a doublé sa taille 100 fois, le faisant ressembler à un petit pamplemousse. Cette période de « renflement », ou croissance exponentielle, a ensuite pris fin, laissant la place à une croissance linéaire, au cours de laquelle une boule de feu en expansion a créé l’Univers actuel.

La croissance exponentielle fait partie intégrante de toute forme de créativité. La leçon intéressante est qu’avec une croissance exponentielle, il n’est pas nécessaire de commencer par quelque chose de grand. En fait, vous pouvez commencer par les plus petites choses. Si l’Univers pouvait commencer avec quelque chose de si petit que nous ne pouvons pas l’imaginer, et s’étendre jusqu’à sa taille actuelle, inimaginable et infinie, alors le facteur de la taille initiale de la nouvelle entreprise devrait être considéré comme totalement hors de propos. L’indicateur clé est une période de croissance exponentielle suivie d’une période plus longue de croissance linéaire.

^ Conclusions du concept de croissance

Les meilleures opportunités de créativité et de croissance se présentent pendant les périodes de déséquilibre, ou en d’autres termes, lorsqu’un point de bascule est atteint et immédiatement après.

Les déséquilibres et les points de bascule ne surviennent pas soudainement. Il y a toujours une période, parfois assez longue, d'échauffement préliminaire, pendant laquelle le système existant montre des signes d'instabilité et où le nouveau se renforce tranquillement. Dans tout ce qui concerne les nouvelles technologies ou les nouveaux types de produits, le point de bascule n'est atteint qu'après que l'innovation a reçu un « enregistrement » sur le marché de masse. Cela signifie que sa vente doit être basée sur des critères traditionnels de profit et que le caractère révolutionnaire du changement (s'il existe) doit être camouflé.

Les périodes de changement rapide et de forte croissance exponentielle ne durent généralement pas longtemps. Il ne faudra pas longtemps avant qu’un nouvel équilibre s’établisse avec une nouvelle technologie dominante et/ou une nouvelle situation concurrentielle. D’où le sentiment de fascination et d’incertitude inhabituelle associé aux périodes de déséquilibre. D’où les bénéfices exceptionnels qu’en retirent les personnes qui ont réussi à s’emparer de positions dominantes dans cette courte période. Cette domination est davantage le résultat d’un marketing et d’un positionnement intelligents que de la supériorité de la technologie elle-même.

La plupart des innovateurs échouent. Pour réussir, ils doivent « franchir le gouffre » – ou franchir le point de bascule – et pénétrer le marché de masse. Le facteur clé ici est l’accélération. Jusqu’à ce qu’un nouveau produit ou une nouvelle technologie commence à se multiplier rapidement, il a peu de chances de survivre.

^ La loi de Say sur l'arbitrage économique

En 1803, l'économiste français Jean-Baptiste Say (1767-1832) publie un ouvrage remarquable, Traité d'économie politique. Thomas Jefferson a dit ceci à son sujet :

"Un excellent ouvrage... brillamment présenté, clair dans ses idées, clair dans son style, et l'ensemble de l'ouvrage deux fois plus subtil que le livre d'[Adam] Smith."*

Le traité contenait de nombreuses innovations surprenantes, notamment le terme « entrepreneur » et la première théorie de l'arbitrage économique, formulée dans la même phrase.

Un entrepreneur déplace les ressources économiques d'une zone de faible productivité vers une zone de productivité plus élevée et en profite.

Bien avant que le concept de rendement du capital ne soit popularisé, Say l’identifiait comme l’un des moteurs les plus importants de la créativité et du progrès économiques. Les ressources sont par définition limitées, de sorte que la croissance dépend moins de l'exploration et de l'exploitation des ressources naturelles que de la capacité d'exploiter plus pleinement les ressources naturelles.

* Thomas Jefferson dans une lettre à Joseph Milligan, 6 avril 1816. C'est un excellent article et je l'ai utilisé dans mon rapport.

utilisation efficace de chaque unité de ressource. Cela s'explique en partie par des technologies et des techniques plus avancées, mais la capacité de l'entrepreneur à acheminer ces ressources là où elles seront les plus productives ne peut être ignorée.

^ Le principe de réalité de Freud

En 1900, Sigmund Freud (1856-1939) publie L'Interprétation des rêves et fonde la nouvelle science qu'est la psychanalyse. L'un de ses concepts clés était Le principe de réalité affirme que la seule chose qui nous empêche d’utiliser les autres à des fins égoïstes est qu’ils cherchent à nous faire la même chose. Face à la réalité (réalité), nous sommes obligés de nous adapter aux besoins des autres et aux exigences du monde extérieur afin de pouvoir satisfaire nos propres instincts.

Le concept de Freud a certainement une grande valeur, mais une tournure plutôt inattendue de la même idée a été donnée par son contemporain, le dramaturge George Bernard Shaw :

« L’homme rationnel s’adapte au monde [selon le principe de réalité de Freud] : l’homme déraisonnable essaie obstinément d’adapter le monde à lui-même. Par conséquent, tout progrès dépend de la personne déraisonnable. »

La créativité et l’entrepreneuriat doivent être alimentés par de nouvelles idées, de nouvelles méthodes et des approches imprudentes. Henry Ford était-il raisonnable lorsqu’il insistait sur le fait que les automobiles devaient être accessibles aux travailleurs ? Cela n’a clairement pas suivi la demande, puisque la demande de voitures n’existait que parmi les riches. Ford a refusé d'accepter le monde qui existait autour de lui ; il a continué à essayer d'ajuster le monde à sa vision. Grâce à une chaîne de montage et à une standardisation maximale, Ford réduisit le coût du modèle T de 850 dollars en 1908 à 300 dollars en 1922 et réussit sa mission de « démocratiser l'automobile ».

^ Entrepreneur à succès

Le livre de la Genèse et la théorie du Big Bang s’accordent sur une chose : il n’y a eu qu’une seule création originale du monde. Le progrès n’est donc qu’un réarrangement des termes. Il n’y a rien de nouveau sous le soleil.

Ce point de vue n’est en rien sombre, et il est encourageant. Tout ce dont le bien-être humain a besoin est de prendre un certain ensemble de ressources et de les déplacer des zones à faible productivité vers les zones à forte productivité.

Tout progrès économique repose sur ce type d’arbitrage économique. C'est une bonne nouvelle. Il est plus facile de s’engager dans l’arbitrage que dans la créativité. Tout le monde devrait être capable de proposer quelque chose qui puisse bénéficier de l’arbitrage économique, de l’identification de ressources pouvant être utilisées plus efficacement.

Les vrais entrepreneurs n’attendent pas que les études de marché leur disent quoi faire. Ils ont leur propre vision de la façon de faire quelque chose de mieux et différemment. Ils développent des moyens d’accomplir plus avec moins d’effort. Ils échangent des utilisations moins rentables des ressources contre des utilisations plus rentables et continuent d’être persistants et déraisonnables jusqu’à ce que le monde accepte leur point de vue.

^ Loi des rendements décroissants

L’un des concepts les plus influents et les plus populaires sur le fonctionnement des marchés et des entreprises est Loi des rendements décroissants, qui a été formulée vers 1767 par l’économiste français Robert Jacques Turgot.

La loi stipule qu'après un certain point, le retour sur effort ou investissement supplémentaire diminue, c'est-à-dire que l'augmentation de la valeur diminue. Pour une personne affamée, une miche de pain est très précieuse. La valeur du deuxième pain est moindre. Le dixième n’aura presque plus aucune valeur. Si vous engagez plusieurs agriculteurs supplémentaires pour cultiver une parcelle de terre, après un certain point, la loi des rendements décroissants entrera en jeu.

Cent ans plus tard, les économistes classiques britanniques, dirigés par Alfred Marshall, ont étendu cette idée aux marchés et aux entreprises. Les produits ou les entreprises leaders du marché se retrouvent piégés dans des rendements décroissants. Le prix de la grande taille dans les entreprises – grande part de marché, grande usine, grande variété – culmine puis diminue. Eh bien, cela semble tout à fait raisonnable.

Mais les économistes classiques sont allés plus loin. Ils ont déclaré que tôt ou tard, un équilibre prévisible des prix et des parts de marché serait atteint et qu'une concurrence loyale, en coopération avec la loi des rendements décroissants, conduirait finalement à l'impossibilité de réaliser des profits excessifs. Cette théorie justifie la réglementation gouvernementale des marchés : si les profits sont très élevés, cela ne signifie qu'une chose : les monopoleurs gonflent artificiellement les prix et empêchent une concurrence loyale.

L’expression « croissance exponentielle » est entrée dans notre lexique pour désigner une augmentation rapide, généralement incontrôlable. Il est souvent utilisé, par exemple, pour décrire la croissance rapide des villes ou l’augmentation de la population. Cependant, en mathématiques, ce terme a une signification précise et désigne un certain type de croissance.

La croissance exponentielle se produit dans les populations dans lesquelles l'augmentation de la population (le nombre de naissances moins le nombre de décès) est proportionnelle au nombre d'individus dans la population. Pour une population humaine, par exemple, le taux de natalité est approximativement proportionnel au nombre de couples reproducteurs, et le taux de mortalité est approximativement proportionnel au nombre de personnes dans la population (nous le désignons N). Alors, avec une approximation raisonnable,

croissance démographique = nombre de naissances - nombre de décès

(Ici r- soi-disant facteur de proportionnalité, ce qui nous permet d'écrire l'expression de proportionnalité sous forme d'équation.)

Laissez d N— nombre d'individus ajoutés à la population pendant la période d t, alors si dans la population totale N individus, alors les conditions d’une croissance exponentielle seront satisfaites si

d N = rN d t

Depuis qu'Isaac Newton a inventé le calcul différentiel au XVIIe siècle, nous savons comment résoudre cette équation pour N— la taille de la population à un moment donné. (Pour référence : cette équation est appelée différentiel.) Voici sa solution :

N=N0 e rt

Où N 0 est le nombre d'individus dans la population au début du compte à rebours, et t- le temps qui s'est écoulé depuis ce moment. Le symbole e désigne un numéro si spécial qu'il est appelé base du logarithme népérien(et est approximativement égal à 2,7), et tout le côté droit de l'équation est appelé fonction exponentielle.

Pour mieux comprendre ce qu’est la croissance exponentielle, imaginez une population composée initialement d’une seule bactérie. Après un certain temps (quelques heures ou minutes), la bactérie se divise en deux, doublant ainsi la taille de la population. Après la période suivante, chacune de ces deux bactéries se divisera à nouveau en deux et la taille de la population doublera à nouveau - il y aura désormais quatre bactéries. Après dix doublements, il y aura plus d'un millier de bactéries, après vingt, plus d'un million, et ainsi de suite. Si la population double à chaque division, sa croissance se poursuivra indéfiniment.

Il existe une légende (probablement fausse) selon laquelle l'homme qui a inventé les échecs a donné un tel plaisir à son sultan qu'il a promis de répondre à toutes ses demandes. L'homme demanda au sultan de placer un grain de blé sur la première case de l'échiquier, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, et ainsi de suite. Le Sultan, considérant cette demande insignifiante par rapport au service qu'il avait rendu, demanda à son sujet de formuler une autre demande, mais celui-ci refusa. Naturellement, au 64ème doublement, le nombre de grains est devenu tel qu'il n'y aurait plus assez de blé dans le monde entier pour satisfaire cette demande. Dans la version de la légende que je connais, le sultan ordonna à ce moment-là de couper la tête de l’inventeur. La morale, comme je le dis à mes étudiants, est la suivante : parfois, il ne faut pas être trop intelligent !

L’exemple de l’échiquier (ainsi que les bactéries imaginaires) nous montre qu’aucune population ne peut croître éternellement. Tôt ou tard, il manquera tout simplement de ressources – espace, énergie, eau, etc. Par conséquent, les populations ne peuvent croître de façon exponentielle que pendant un certain temps, et tôt ou tard, leur croissance doit ralentir. Pour ce faire, vous devez modifier l'équation de sorte que lorsque la taille de la population s'approche du maximum possible (qui peut être soutenu par l'environnement extérieur), le taux de croissance ralentisse. Appelons cette taille maximale de la population K. L’équation modifiée ressemblera alors à ceci :

d N = rN(1 — (N/K)) d t

Quand N beaucoup moins K, membre N/K peut être négligé, et nous revenons à l’équation originale de la croissance exponentielle ordinaire. Cependant, quand N approche de sa valeur maximale K, valeur 1 - ( N/K) tend vers zéro, et par conséquent la croissance démographique tend vers zéro. La taille de la population totale dans ce cas se stabilise et reste au niveau K. La courbe décrite par cette équation, ainsi que l'équation elle-même, ont plusieurs noms - Courbe S, équation logistique, L'équation de Volterra, Équation de Lotka-Volterra. (Vito Volt e RRA, 1860-1940 - mathématicien et professeur italien exceptionnel ; Alfred Lotka, 1880-1949 - mathématicien et analyste des assurances américain.) Quel que soit son nom, il s'agit d'une expression assez simple de la taille d'une population qui croît de manière exponentielle, puis ralentit à l'approche d'une certaine limite. Et cela reflète bien mieux la croissance des populations réelles que la fonction exponentielle habituelle.

DÉPENDANCE EXPONENTIELLE DANS LES PROCESSUS NATURELS

Stoïkov Dmitri

10 Classe « A » Lycée MBOU No. 177, g. Kazan

Khabibullina Alfiya Yakubovna

encadrant scientifique, professeur de mathématiques de la catégorie la plus élevée, Lycée MBOU n°177, Kazan

Introduction

Dans la nature et dans la vie humaine, il existe un grand nombre de processus dans lesquels certaines quantités changent de telle sorte que le rapport d'une quantité donnée à intervalles réguliers ne dépend pas du temps. Parmi ceux-ci figurent la désintégration radioactive des substances, l'augmentation du montant sur un compte bancaire, etc. Tous ces processus sont décrits par une fonction exponentielle. J'étais intéressé par la question de savoir pourquoi l'apparition de ces processus ne dépend pas du temps. Après tout, logiquement, tout processus changeant doit être corrélé à une quantité indépendante : le temps. En réalité, cette règle ne fonctionne pas toujours.

Objectif du travail de recherche : confirmer expérimentalement l'apparition de certains processus chimiques conformément à la dépendance exponentielle décrite par l'équation d'Arrhenius.

Tâches :

·Étudier la fonction exponentielle ;

·Etudier la dépendance exponentielle comme cas particulier d'une fonction exponentielle ;

·Étudier l'équation d'Arrhenius décrivant la dépendance exponentielle ;

·Étudier des exemples de processus chimiques se produisant selon une dépendance exponentielle ;

· Réaliser une série d'expériences et confirmer en pratique l'apparition de certains processus chimiques conformément à la dépendance exponentielle décrite par l'équation d'Arrhenius.

Hypothèse de recherche : À l'aide de l'équation d'Arrhenius, vous pouvez décrire certains processus chimiques.

Objet d'étude : fonction exponentielle comme élément des mathématiques appliquées.

Méthodes de recherche :

1. Étude de la littérature et des ressources électroniques sur le sujet de recherche.

2. Analyse de l'application de la dépendance exponentielle

3. Expériences chimiques pour confirmer l'équation d'Arrhenius.

Fonction exponentielle

Laisser X R, a ≠ 0, (r n ) est une séquence de nombres rationnels convergeant vers X. Définissons le nombre a X comme limite. Une fonction exponentielle de base a > 0 et a ≠ 1 est une fonction de la forme y=a X, X R.

Cette limite ne dépend pas du choix de la séquence r n conduisant au nombre X. Le domaine de définition de la fonction exponentielle est la droite numérique entière. Cette fonction est continue et augmente de façon monotone pour a > 1 et diminue de façon monotone à 0< a < 1 . Функция никогда не обращается в ноль, но имеет горизонтальную асимптоту oui = 0.

Graphique de la fonction exponentielle y=0,5 x

Dépendance exponentielle

La fonction exponentielle, dont la base est le nombre e, défini comme

Numériquement c'est égal e= 2,71828182845904523536 et est appelée constante d'Euler.

Une fonction ainsi définie est appelée exponentielle ou simplement exponentielle et est notée à= e x ≡ exp X.

Considérons le graphique de la fonction exponentielle y = e x. Depuis 2< e < 3, то функция à= e x augmentant de manière monotone dans tout le domaine de définition. Au point (0;1), la tangente est inclinée par rapport à l'axe des abscisses d'un angle de 45 o (π/4). La dérivée de cette fonction à zéro est égale à 1. C'est la seule fonction dont la dérivée et la primitive coïncident avec elle-même.

Équation d'Arrhénius

Le physicien et chimiste suédois Svante Arrhenius a reçu le prix Nobel de chimie en 1903 pour sa théorie de la dissociation électrolytique. Dans sa thèse de doctorat (Université d'Uppsala), Arrhenius a suggéré que des « molécules » telles que le chlorure de sodium se désintègrent spontanément en solution, formant des ions qui agissent comme réactifs lors de l'électrolyse. Cependant, Arrhenius est surtout connu pour son équation qui détermine la dépendance en température de la constante de vitesse de réaction.

Arrhenius a établi pour la première fois la relation exacte entre les vitesses de réaction et la température en 1889. Cette relation, appelée équation d'Arrhenius, a la forme

,

Où: À— vitesse de réaction constante ;

UN— constante caractérisant chaque réaction spécifique (constante d'Arrhenius) ;

e— exposant;

E un- une autre constante, caractéristique de chaque réaction et appelée énergie d'activation ;

R.— constante des gaz ;

T— température absolue en degrés Kelvin.

Notez que cette équation relie la température non pas à la vitesse de réaction, mais à la constante de vitesse.

La relation entre la vitesse de réaction et la température découle des résultats des premières études cinétiques réalisées entre 1880 et 1884. et j'ai obtenu le nom les règles de Van't Hoff: la vitesse de nombreuses réactions lorsqu'elle est chauffée à 10 ° C augmente de 2 à 4 fois. Cette règle s'applique aux réactions relativement lentes dans les solutions et n'est donc pas universelle. Pour résoudre certains problèmes, vous pouvez utiliser la formule de Van't Hoff :

Où: γ — coefficient de Van't Hoff (= 2–4),

T- température en degrés sur l'échelle Celsius ou Kelvin (puisque la différence est utilisée, l'échelle n'a pas d'importance).

Équation d'Arrhenius b exprime plus précisément et plus universellement la dépendance de la constante de vitesse de réaction sur la température. Facteur UN dans cette équation est liée à la fréquence des collisions de particules et à leur orientation lors des collisions.

Exemples de processus naturels se produisant conformément à l'équation d'Arrhenius

Exemple 1. La vitesse (fréquence) du bip des grillons obéit, mais pas tout à fait strictement, à l'équation d'Arrhenius, augmentant progressivement dans la plage de température de 14,2°C à 27°C, avec une énergie d'activation effective. E une = 51 kJ/mol. En fonction de la fréquence des gazouillis, vous pouvez déterminer la température assez précisément : vous devez compter leur nombre en 15 secondes et ajouter 40, vous obtenez la température en degrés Fahrenheit (F) (les Américains utilisent encore cette échelle de température). Ainsi, à 55 F (12,8°C), la fréquence de gazouillis est de 1 gazouillis/s, et à 100 F (37,8°C), elle est de 4 gazouillis/s.

Exemple 2. Dans la plage de température allant de 18°C ​​à 34°C, la fréquence cardiaque de la tortue marine est cohérente avec l'équation d'Arrhenius, qui donne l'énergie d'activation E a = 76,6 kJ/mol, mais à des températures plus basses, l'énergie d'activation augmente fortement. Cela peut être dû au fait qu'à basse température, la tortue ne se sent pas très bien et que sa fréquence cardiaque commence à être contrôlée par d'autres réactions biochimiques.

Exemple 3. Les tentatives visant à « rendre Arrhenius dépendant » des processus psychologiques humains sont particulièrement intéressantes. Ainsi, des personnes ayant des températures corporelles différentes (de 36,4°C à 39°C) ont été invitées à compter les secondes. Il s'est avéré que plus la température est élevée, plus le comptage est rapide ( E a = 100,4 kJ/mol). Ainsi, notre perception subjective du temps obéit à l'équation d'Arrhenius. L'auteur de l'étude sociologique, G. Hoagland, a suggéré que cela est dû à certains processus biochimiques dans le cerveau humain.

Le chercheur allemand H. von Foerstler a mesuré le taux d'oubli chez des personnes présentant différentes températures. Il donnait aux gens une séquence de différents signes et mesurait le temps pendant lequel les gens se souvenaient de cette séquence. Le résultat fut le même que celui de Hoagland : dépendance d'Arrhenius avec E a = 100,4 kJ/mol.

Une riche expérience populaire suggère de nombreuses conclusions scientifiquement confirmées. Il existe depuis longtemps un dicton en Russie : « Gardez vos pieds au chaud et votre tête froide ». L'équation d'Arrhenius corrobore cette affirmation.

Dépendance de la vitesse des réactions chimiques sur la température

Un changement de température a un effet considérable sur la constante de vitesse, et donc sur la vitesse d’une réaction chimique. Dans la grande majorité des cas, la vitesse d’une réaction chimique augmente avec le chauffage.

Conformément à la règle de Van't Hoff, à chaque augmentation de température de 10 degrés, la vitesse d'une réaction chimique augmente en moyenne de 2 à 4 fois :

v 2 = v 1 × γ (T 2- T 1)/10,

où : γ est le coefficient de température, qui peut être calculé à l'aide de la formule :

γ = k T +10 /k T ,

Où: kT T;

kT+10- vitesse de réaction constante à température (T+10).

Expériences

Expérience n°1: Réaction du zinc avec l'acide sulfurique dilué.

Ils ont pris plusieurs morceaux de zinc d’une masse précisément connue et les ont placés dans des volumes égaux de solutions diluées d’acide sulfurique à différentes températures. Nous avons mesuré le temps de dissolution complète du zinc, qui se déroule conformément à la réaction :

Zn + H 2 SO 4 = ZnSO 4 + H 2

La vitesse de réaction a été calculée en µmol/s (la quantité de substance par mole a été calculée en divisant la masse par la masse atomique du zinc). Les résultats sont présentés dans le tableau et sous forme de graphique de la vitesse de réaction en fonction de la température.

Tableau 1.

Dépendance du taux d'interaction du zinc avec l'acide sulfurique dilué sur la température de l'acide sulfurique :

Expérience n°2: DANSinfluence de la température sur la vitesse de réaction enzymatique.

Comme modèle de réaction enzymatique, nous avons pris la réaction d'hydrolyse de la butyrylcholine, catalysée par l'enzyme butyrylcholinestérase :

(CH 3) 3 N + -CH 2 -CH 2 -O-C(O)-C 3 H 7 + H 2 O → (CH 3) 3 N-CH 2 -CH 2 -OH + HO-C(O)- C3H7

Modèle tridimensionnel de la molécule de butyrylcholinestérase.

Pour réaliser la réaction, une plaque pour études immunochimiques a été utilisée (voir Figure 1 de l'Annexe 1). Des solutions du substrat - butyrylcholine et de l'enzyme - butyrylcholinestérase ont été préparées en dissolvant une partie exactement pesée de la substance dans une solution tampon phosphate à 0,002 mol/l contenant l'indicateur acido-basique bleu de bromothymol, avec un pH = 8. L'indicateur est bleu en un milieu alcalin (pH>7) et coloration jaune en milieu acide. Étant donné que l'acide est formé à la suite de la réaction d'hydrolyse enzymatique, le pH de la solution diminue et la couleur de l'indicateur passe du bleu au vert en passant par le jaune. Ainsi, la vitesse d’une réaction chimique peut être évaluée par la vitesse de changement de couleur de l’indicateur.

Réalisation de la réaction. Les solutions de substrat et d'enzymes ont été refroidies ou chauffées à la température souhaitée (5°C, 15°C, 25°C, 35°C) à l'aide de neige et d'un bain-marie. La température maximale choisie était de 35°C, puisque l'enzyme cholinestérase a une température optimale de 37°C (la température à laquelle l'activité enzymatique est maximale). Une solution enzymatique d'une certaine température a été ajoutée dans la cellule en plaque à l'aide d'un distributeur de 100 µl, puis 100 µl d'une solution de substrat, et le temps a été enregistré à l'aide d'un chronomètre. Le temps écoulé entre le début de la réaction (le moment où le substrat a été ajouté à l'enzyme) et le moment où la couleur de l'indicateur est passée au jaune a été mesuré. A chaque température, l'expérience a été réalisée en triple, puis le temps moyen de changement de couleur a été calculé.

Dépendance du temps de changement de couleur de l'indicateur sur la température des solutions :

Cette méthode d'évaluation de la vitesse de réaction est une variante de la méthode d'analyse catalytique - la méthode à concentration fixe. Il s'agit d'une méthode dans laquelle la réaction est effectuée jusqu'à une concentration (fixe) strictement définie de la substance indicatrice et le temps nécessaire pour atteindre cette concentration est mesuré. Dans cette réaction, la substance indicatrice est l'acide butyrique, dont la concentration détermine la couleur de l'indicateur. Le temps nécessaire pour atteindre une certaine concentration est une mesure de la vitesse de réaction. Le graphique est tracé en coordonnées : l'inverse du temps pour atteindre une concentration fixe est le paramètre étudié (température).

Dépendance du taux de changement de couleur de l'indicateur sur la température :

Expérience n°3(problème de calcul) : Taux de déshydratation de l'alcool éthylique.

Problème : combien de fois le taux de déshydratation de l'alcool éthylique augmentera-t-il lorsque la température passe de 180 °C à 200 °C, si le coefficient de température de la réaction est de trois ?

Solution : Conformément à la règle de Van't Hoff, v 2 = v 1 ×γ (T 2- T 1)/10, donc

V 2 /v 1 = γ (T 2- T 1)/10, où γ = 3, T1= 180, T2= 200. Ainsi, v 2 /v 1 = 3 (200-180)/10 = 9, c'est-à-dire que la vitesse augmentera 9 fois lorsque la température augmentera de 20 degrés.

Sur la base des données obtenues, il est possible de construire une dépendance graphique du taux de déshydratation de l'alcool éthylique en fonction de la température (avec une augmentation de la température tous les 10 degrés, la vitesse de réaction augmente 3 fois).

Dépendance de la vitesse de réaction sur la température :

Conclusions. Conclusion

Au cours du travail sur le sujet de recherche, la fonction exponentielle, la dépendance exponentielle, en tant que cas particulier de la fonction exponentielle, ainsi que l'équation d'Arrhenius décrivant la dépendance exponentielle ont été étudiées.

Après avoir examiné des exemples de processus naturels se produisant selon une dépendance exponentielle, un certain nombre d'expériences chimiques ont été réalisées et l'apparition de certains processus chimiques conformément à la dépendance exponentielle décrite par l'équation d'Arrhenius a été confirmée dans la pratique.

Nous pensons que l'hypothèse de recherche selon laquelle « l'utilisation de l'équation d'Arrhenius peut décrire certains processus chimiques » a été confirmée. Ainsi, lorsque le Zn est dissous dans l’acide sulfurique à différentes températures, la vitesse de la réaction chimique change de façon exponentielle. De plus, le taux de réaction enzymatique dans les neurones du cerveau humain change également avec la température selon l'équation d'Arrhenius.

Ainsi, l'apparition de certains processus chimiques conformément à l'équation d'Arrhenius, décrite par une dépendance exponentielle, a été confirmée expérimentalement.

Bibliographie:

1. Lavrentiev M.A., Shabat B.V. Méthodes de la théorie des fonctions d'une variable complexe. M. : Nauka, 1987. - 688 p.

2.Leenson I.A. Pourquoi la règle est-elle obsolète ? Encyclopédie pour enfants. T. 17. Chimie. - M. : Avanta+, 2000. - 640 p.

3.Leenson I.A. Pourquoi et comment les réactions chimiques se produisent. - M. : MIROS, 1994. - 176 p.

4. Khaplanov M.G. Théorie des fonctions d'une variable complexe (cours court). M. : Éducation, 1965. - 209 p.

Croissance exponentielle

L’expression « croissance exponentielle » est entrée dans notre lexique pour désigner une augmentation rapide, généralement incontrôlable. Il est souvent utilisé, par exemple, pour décrire la croissance rapide des villes ou l’augmentation de la population. Cependant, en mathématiques, ce terme a une signification précise et désigne un certain type de croissance.

La croissance exponentielle se produit dans les populations dans lesquelles l'augmentation de la population (le nombre de naissances moins le nombre de décès) est proportionnelle au nombre d'individus dans la population. Pour une population humaine, par exemple, le taux de natalité est approximativement proportionnel au nombre de couples reproducteurs, et le taux de mortalité est approximativement proportionnel au nombre de personnes dans la population (nous le désignons ) . Alors, avec une approximation raisonnable,

croissance démographique = nombre de naissances - nombre de décès

Soit le nombre d'individus ajoutés à la population au fil du temps, alors s'il y a un total d'individus dans la population, alors les conditions d'une croissance exponentielle seront satisfaites si

Pour mieux comprendre ce qu’est la croissance exponentielle, imaginez une population composée initialement d’une seule bactérie. Après un certain temps (quelques heures ou minutes), la bactérie se divise en deux, doublant ainsi la taille de la population. Après la période suivante, chacune de ces deux bactéries se divisera à nouveau en deux et la taille de la population doublera à nouveau - il y aura désormais quatre bactéries. Après dix doublements, il y aura plus d'un millier de bactéries, après vingt, plus d'un million, et ainsi de suite. Si la population double à chaque division, sa croissance se poursuivra indéfiniment.

Il existe une légende (probablement fausse) selon laquelle l'homme qui a inventé les échecs a donné un tel plaisir à son sultan qu'il a promis de répondre à toutes ses demandes. L'homme demanda au sultan de placer un grain de blé sur la première case de l'échiquier, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, et ainsi de suite. Le Sultan, considérant cette demande insignifiante par rapport au service qu'il avait rendu, demanda à son sujet de formuler une autre demande, mais celui-ci refusa. Naturellement, au 64ème doublement, le nombre de grains est devenu tel qu'il n'y aurait plus assez de blé dans le monde entier pour satisfaire cette demande. Dans la version de la légende que je connais, le sultan ordonna à ce moment-là de couper la tête de l’inventeur. La morale, comme je le dis à mes étudiants, est la suivante : parfois, il ne faut pas être trop intelligent !

L’exemple de l’échiquier (ainsi que les bactéries imaginaires) nous montre qu’aucune population ne peut croître éternellement. Tôt ou tard, il manquera tout simplement de ressources – espace, énergie, eau, etc. Par conséquent, les populations ne peuvent croître de façon exponentielle que pendant un certain temps, et tôt ou tard, leur croissance doit ralentir. Pour ce faire, vous devez modifier l'équation de sorte que lorsque la taille de la population s'approche du maximum possible (qui peut être soutenu par l'environnement extérieur), le taux de croissance ralentisse. Appelons cela la taille maximale de la population.

La courbe décrite par cette équation, ainsi que l'équation elle-même, portent plusieurs noms - courbe en S, équation logistique, équation de Volterra, équation de Lotka-Volterra. (Vito Volterra, 1860-1940 - éminent mathématicien et professeur italien ; Alfred Lotka, 1880-1949 - mathématicien américain et analyste des assurances.) Quel que soit son nom, il s'agit d'une expression assez simple de la taille d'une population en forte croissance exponentielle, puis ralentir à l'approche d'une certaine limite. Et cela reflète bien mieux la croissance des populations réelles que la fonction exponentielle habituelle.

La relation entre les prédateurs et leurs proies se développe de manière cyclique, illustrant un équilibre neutre.

Parfois, un modèle mathématique simple décrit bien un système biologique complexe. Un exemple en est la relation à long terme entre les espèces prédatrices et proies dans un écosystème. Les calculs mathématiques de la croissance démographique d'une seule espèce (voir ci-dessus) montrent que les limites de la densité de population peuvent être décrites par des équations simples qui produisent une courbe caractéristique en forme de S. Il s'agit d'une courbe de population qui croît de façon exponentielle alors qu'elle est petite, puis se stabilise à mesure qu'elle atteint les limites de la capacité de l'écosystème à la soutenir. Une simple extension de ce concept permet de comprendre un écosystème dans lequel deux espèces – prédateur et proie – interagissent.

La résolution de ces équations montre que les deux populations se développent de manière cyclique. Si la population d'herbivores augmente, la probabilité de rencontres prédateur-proie augmente et, en conséquence (après un certain temps), la population de prédateurs augmente. Mais une augmentation de la population de prédateurs entraîne une diminution de la population d'herbivores (également après un certain retard), ce qui entraîne une diminution du nombre de descendants de prédateurs, ce qui augmente le nombre d'herbivores, et ainsi de suite. Ces deux populations semblent danser une valse au rythme : quand l'une d'elles change, l'autre change après elle.

Encyclopédie de James Trefil « La nature de la science. 200 lois de l'univers.
James Trefil est professeur de physique à l'Université George Mason (États-Unis), l'un des auteurs occidentaux les plus célèbres d'ouvrages de vulgarisation scientifique.

Croissance exponentielle

Croissance exponentielle- une augmentation d'une quantité, lorsque le taux de croissance est proportionnel à la valeur de la quantité elle-même. On dit qu'une telle croissance obéit loi exponentielle. La croissance exponentielle contraste avec des dépendances linéaires, de puissance ou géométriques plus lentes (sur une période de temps suffisamment longue).

Propriétés

Pour toute quantité en croissance exponentielle, plus la valeur est grande, plus elle croît rapidement. Cela signifie également que l’ampleur de la variable dépendante et le taux de sa croissance sont directement proportionnels. Mais en même temps, contrairement à une courbe hyperbolique, une courbe exponentielle ne va jamais vers l’infini dans un laps de temps fini.

La croissance exponentielle s’avère finalement plus rapide que n’importe quelle progression géométrique, que n’importe quelle progression de puissance, et plus encore que n’importe quelle croissance linéaire.

Notation mathématique

La croissance exponentielle est décrite par l'équation différentielle :

La solution de cette équation différentielle est exponentielle :

Exemples

Un exemple de croissance exponentielle serait l’augmentation du nombre de bactéries dans une colonie avant que les ressources ne soient limitées. Un autre exemple de croissance exponentielle est celui des intérêts composés.

voir également

Liens

Fondation Wikimédia.

2010.

Voyez ce qu’est la « croissance exponentielle » dans d’autres dictionnaires : Augmentation d'une quantité (augmentation de la progression géométrique) qui croît à un rythme proportionnel à sa valeur. Ils disent : une telle croissance obéit à la loi exponentielle. Cela signifie que pour toute quantité en croissance exponentielle,... ...

Dictionnaire des termes commerciaux croissance exponentielle

- eksponentinis didėjimas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. vok en hausse exponentielle. Exponentialanstieg, m rus. croissance exponentielle, m pranc. accroissement exponentiel, m … Fizikos terminų žodynas CROISSANCE EXPONENTIELLE - une croissance à un rythme relativement constant...

Dictionnaire des termes botaniques

Le processus d’augmentation d’une qualité au fil du temps. Les qualités peuvent être à la fois physiques (par exemple, croissance en hauteur) et abstraites (par exemple, maturation humaine, expansion d'un système) : Croissance cellulaire, ou prolifération Croissance démographique Croissance... ... Wikipédia HAUTEUR - signifie une augmentation de la taille de l'organisme en développement. Dans les cas typiques, R. est associé à une augmentation de poids, mais nous ne désignons pas chaque augmentation de poids corporel par R. (par exemple, dépôt de graisse, accumulation de produits reproducteurs chez certains animaux, ... ...

Grande encyclopédie médicale

La croissance exponentielle en mathématiques est une augmentation exponentielle d'une quantité (augmentation de la progression géométrique) qui croît à un rythme proportionnel à sa valeur. On dit qu’une telle croissance obéit à la loi exponentielle. C'est... ... Wikipédia - [de l'algorithme !; algorismus, à l'origine Lat. translittération du nom cf. Asiatique. scientifique du 9ème siècle Khorezmi (Muhammad bin Musa al Khorezmi)], un programme qui détermine la méthode de comportement (calcul) ; système de règles (prescriptions) pour un... ...

Encyclopédie philosophique Mouvements ou processus présentant divers degrés de répétabilité dans le temps. K. sont caractéristiques de tous les phénomènes naturels : le rayonnement des étoiles palpite et des événements cycliques se produisent en leur sein. JE. réactions; Les planètes tournent avec une grande périodicité...

Encyclopédie physique Le problème de trouver un algorithme pour reconnaître à partir de n’importe quelle équation diophantienne si elle a une solution. L'essentiel pour poser le problème est la nécessité de trouver une méthode universelle, qui devrait être adaptée à n'importe quelle équation (toutes connues... ...

Circuit logique d'un perceptron à trois sorties Perceptron, ou perceptron (perceptron anglais de ... Wikipedia

Livres

• Grands Lacs du monde, V.A. Rumyantsev, V. G. Drabkova, A. V. Izmailova. La croissance démographique exponentielle et la croissance ultérieure de l'industrie et de l'agriculture conduisent non seulement à une pénurie catastrophique des réserves d'eau douce, mais aussi à leur détérioration...