Chargez le condensateur de la batterie et connectez-le à la bobine. Dans le circuit que nous avons créé, les oscillations électromagnétiques commenceront immédiatement (Fig. 46). Le courant de décharge du condensateur traversant la bobine crée un champ magnétique autour de celle-ci. Cela signifie que lors de la décharge d'un condensateur, l'énergie de son champ électrique se transforme en énergie du champ magnétique de la bobine, tout comme lorsqu'un pendule ou une corde oscille, l'énergie potentielle se transforme en énergie cinétique.
Au fur et à mesure que le condensateur se décharge, la tension aux bornes de ses plaques chute et le courant dans le circuit augmente, et au moment où le condensateur est complètement déchargé, le courant sera maximum (amplitude du courant). Mais même après la fin de la décharge du condensateur, le courant ne s'arrêtera pas - le champ magnétique décroissant de la bobine soutiendra le mouvement des charges et celles-ci recommenceront à s'accumuler sur les plaques du condensateur. Dans ce cas, le courant dans le circuit diminue et la tension aux bornes du condensateur augmente. Ce processus de transition inverse de l'énergie du champ magnétique de la bobine en énergie du champ électrique du condensateur rappelle quelque peu ce qui se passe lorsque le pendule, après avoir dépassé le point médian, monte vers le haut.
Au moment où le courant dans le circuit s'arrête et que le champ magnétique de la bobine disparaît, le condensateur sera chargé à la tension maximale (amplitude) de polarité inversée. Ce dernier signifie que sur la plaque où se trouvaient auparavant des charges positives, il y aura désormais des charges négatives, et vice versa. Par conséquent, lorsque la décharge du condensateur recommence (et cela se produira immédiatement après sa charge complète), un courant dans le sens opposé circulera dans le circuit.
L'échange d'énergie périodiquement répété entre le condensateur et la bobine représente des oscillations électromagnétiques dans le circuit. Au cours de ces oscillations, un courant alternatif circule dans le circuit (c'est-à-dire que non seulement l'amplitude, mais aussi la direction du courant change), et une tension alternative agit sur le condensateur (c'est-à-dire que non seulement l'amplitude de la tension change, mais également la polarité des charges accumulées sur les plaques). Un sens de la tension actuelle est classiquement appelé positif et le sens opposé est appelé négatif.
En observant les changements de tension ou de courant, vous pouvez construire un graphique des oscillations électromagnétiques dans le circuit (Fig. 46), tout comme nous avons construit un graphique des oscillations mécaniques d'un pendule (). Sur un graphique, les valeurs de courant ou de tension positives sont tracées au-dessus de l'axe horizontal et les courants ou tensions négatifs sont tracés en dessous de cet axe. La moitié de la période pendant laquelle le courant circule dans le sens positif est souvent appelée l'alternance positive du courant, et l'autre moitié est l'alternance négative du courant. On peut aussi parler d'alternances de tension positives et négatives.
Je voudrais souligner une fois de plus que nous utilisons les mots « positif » et « négatif » de manière tout à fait conditionnelle, uniquement pour distinguer deux directions opposées du courant.
Les oscillations électromagnétiques que nous connaissons sont appelées oscillations libres ou naturelles. Ils se produisent chaque fois que nous transférons une certaine quantité d’énergie au circuit, puis permettons au condensateur et à la bobine d’échanger librement cette énergie. La fréquence d'oscillation libre (c'est-à-dire la fréquence de la tension et du courant alternatifs dans le circuit) dépend de la rapidité avec laquelle le condensateur et la bobine peuvent stocker et libérer de l'énergie. Ceci dépend à son tour de l'inductance Lk et de la capacité Ck du circuit, tout comme la fréquence de vibration d'une corde dépend de sa masse et de son élasticité. Plus l'inductance L de la bobine est grande, plus il faut de temps pour y créer un champ magnétique et plus ce champ magnétique peut maintenir le courant dans le circuit longtemps. Plus la capacité C du condensateur est grande, plus la décharge sera longue et plus ce condensateur mettra du temps à se recharger. Ainsi, plus le circuit est Lk et Ck, plus les oscillations électromagnétiques s'y produisent lentement, plus leur fréquence est basse. La dépendance de la fréquence f o des oscillations libres sur L to et C sur le circuit est exprimée par une formule simple, qui est l'une des formules de base de l'ingénierie radio :
Le sens de cette formule est extrêmement simple : pour augmenter la fréquence des oscillations naturelles f 0, il faut réduire l'inductance L k ou la capacité C k du circuit ; pour réduire f 0, l'inductance et la capacité doivent être augmentées (Figure 47).
De la formule de la fréquence, on peut facilement déduire (nous l'avons déjà fait avec la formule de la loi d'Ohm) des formules de calcul permettant de déterminer l'un des paramètres du circuit L k ou C k à une fréquence donnée f0 et un deuxième paramètre connu. Des formules pratiques pour les calculs pratiques sont données sur les fiches 73, 74 et 75.
Oscillations libres dans le circuit.
Les circuits à courant alternatif abordés dans les sections précédentes suggèrent qu'une paire d'éléments - un condensateur et une inductance - forment une sorte de système oscillatoire. Nous allons maintenant montrer que c'est bien le cas ; dans un circuit constitué uniquement de ces éléments (Fig. 669), même des oscillations libres sont possibles, c'est-à-dire sans source externe de FEM.
riz. 669
Par conséquent, un circuit (ou une partie d'un autre circuit) constitué d'un condensateur et d'une inductance est appelé circuit oscillatoire.
Laissez le condensateur être chargé à une charge qo puis connectez-y une inductance. Cette procédure est facile à réaliser à l'aide d'un circuit dont le schéma est illustré à la Fig. 670 : d'abord la clé est verrouillée en position 1
, tandis que le condensateur est chargé à une tension égale à la force électromotrice de la source, après quoi la clé est lancée vers les positions 2
, après quoi le condensateur commence à se décharger à travers la bobine. 
riz. 670
Déterminer la dépendance de la charge du condensateur au temps q(t) La loi d'Ohm s'applique, selon laquelle la tension aux bornes du condensateur U C = q/Cégale à la force électromotrice d'auto-induction apparaissant dans la bobine 
ici, « premier » signifie dérivée par rapport au temps.
L’équation s’avère donc valide 
Cette équation contient deux fonctions inconnues - en fonction du temps de charge q(t) et la force actuelle Il), donc cela ne peut pas être résolu. Cependant, l'intensité du courant est une dérivée de la charge du condensateur. q / (t) = je(t), donc la dérivée du courant est la dérivée seconde de la charge 
En tenant compte de cette relation, nous réécrivons l'équation (1) sous la forme 
Étonnamment, cette équation coïncide complètement avec l'équation bien étudiée des oscillations harmoniques (la dérivée seconde d'une fonction inconnue est proportionnelle à cette fonction elle-même avec un coefficient de proportionnalité négatif x // = −ω o 2 x)! La solution de cette équation est donc la fonction harmonique
à fréquence circulaire 
Cette formule détermine fréquence propre du circuit oscillatoire. En conséquence, la période d'oscillation de la charge du condensateur (et du courant dans le circuit) est égale à 
L'expression résultante pour la période d'oscillation est appelée La formule de J. Thompson.
Comme d'habitude, pour définir des paramètres arbitraires UN, φ
dans la solution générale (4), il est nécessaire de définir les conditions initiales - charge et intensité du courant au moment initial. En particulier, pour l’exemple considéré du circuit de la Fig. 670, les conditions initiales ont la forme : à t = 0, q = qo, je = 0, donc la dépendance de la charge du condensateur au temps sera décrite par la fonction
et la force actuelle change avec le temps selon la loi
La considération ci-dessus d'un circuit oscillatoire est approximative - tout circuit réel a une résistance active (fils de connexion et enroulements de bobine). 
riz. 671
Par conséquent, dans l’équation (1), la chute de tension aux bornes de cette résistance active doit être prise en compte, cette équation prendra donc la forme 
qui, compte tenu de la relation entre la charge et l'intensité du courant, est converti sous la forme 
Cette équation nous est également familière - c'est l'équation des oscillations amorties 
et le coefficient d'atténuation, comme on pouvait s'y attendre, est proportionnel à la résistance active du circuit β = R/L.
Les processus se produisant dans un circuit oscillatoire peuvent également être décrits à l'aide de la loi de conservation de l'énergie. Si l'on néglige la résistance active du circuit, alors la somme des énergies du champ électrique du condensateur et du champ magnétique de la bobine reste constante, ce qui s'exprime par l'équation 
qui est aussi l'équation des oscillations harmoniques avec une fréquence déterminée par la formule (5). Dans sa forme, cette équation coïncide également avec les équations découlant de la loi de conservation de l'énergie lors des vibrations mécaniques. Étant donné que les équations décrivant les oscillations de la charge électrique d'un condensateur sont similaires aux équations décrivant les oscillations mécaniques, une analogie peut être établie entre les processus se produisant dans un circuit oscillant et les processus dans n'importe quel système mécanique. Sur la fig. 672, une telle analogie a été établie pour les oscillations d'un pendule mathématique. Dans ce cas, les analogues sont « charge de condensateur q(t)− angle de déviation du pendule φ(t)" et " force actuelle je(t) = q / (t)− vitesse du pendule Vermont)». 
riz. 672
En utilisant cette analogie, nous décrirons qualitativement le processus d'oscillations de charge et de courant électrique dans le circuit. Au moment initial, le condensateur est chargé, le courant électrique est nul, toute l'énergie est contenue dans l'énergie du champ électrique du condensateur (qui est similaire à l'écart maximum du pendule par rapport à la position d'équilibre). Ensuite, le condensateur commence à se décharger, le courant augmente et une force électromotrice auto-inductive apparaît dans la bobine, ce qui empêche le courant d'augmenter ; l'énergie du condensateur diminue, se transformant en énergie du champ magnétique de la bobine (analogie - un pendule se déplace vers le point inférieur avec une vitesse croissante). Lorsque la charge sur le condensateur devient nulle, le courant atteint sa valeur maximale, et toute l'énergie est convertie en énergie du champ magnétique (le pendule a atteint son point le plus bas, sa vitesse est maximale). Ensuite, le champ magnétique commence à diminuer, tandis que la FEM d'auto-induction maintient le courant dans la même direction, tandis que le condensateur commence à se charger et que les signes des charges sur les plaques du condensateur sont opposés à la distribution initiale (analogique - le pendule se déplace vers l’écart maximum initial opposé). Ensuite, le courant dans le circuit s'arrête et la charge du condensateur redevient maximale, mais dans le signe opposé (le pendule a atteint sa déviation maximale), après quoi le processus est répété dans la direction opposée.
Le principal dispositif qui détermine la fréquence de fonctionnement de tout générateur de courant alternatif est le circuit oscillant. Le circuit oscillatoire (Fig. 1) est constitué d'un inducteur L(considérons le cas idéal où la bobine n'a pas de résistance ohmique) et un condensateur C et est dit fermé. La caractéristique d'une bobine est l'inductance, elle est désignée L et mesuré en Henry (H), le condensateur est caractérisé par la capacité C, qui se mesure en farads (F).
Supposons qu'au moment initial le condensateur soit chargé de telle manière (Fig. 1) que sur l'une de ses plaques il y ait une charge + Q 0, et de l'autre - charge - Q 0 . Dans ce cas, un champ électrique avec de l'énergie se forme entre les plaques du condensateur
où est la tension d'amplitude (maximale) ou la différence de potentiel aux bornes des plaques du condensateur.
Après avoir fermé le circuit, le condensateur commence à se décharger et un courant électrique circule dans le circuit (Fig. 2), dont la valeur augmente de zéro à la valeur maximale. Puisqu'un courant d'amplitude variable circule dans le circuit, une force électromotrice auto-inductive est induite dans la bobine, ce qui empêche la décharge du condensateur. Par conséquent, le processus de décharge du condensateur ne se produit pas instantanément, mais progressivement. A chaque instant, la différence de potentiel aux bornes des plaques du condensateur
(où est la charge du condensateur à un instant donné) est égal à la différence de potentiel aux bornes de la bobine, c'est-à-dire égal à la force électromotrice d'auto-induction
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| Figure 1 | Figure 2 |
Lorsque le condensateur est complètement déchargé et , le courant dans la bobine atteint sa valeur maximale (Fig. 3). L'induction du champ magnétique de la bobine à ce moment est également maximale, et l'énergie du champ magnétique sera égale à
Ensuite, le courant commence à diminuer et la charge s'accumule sur les plaques du condensateur (Fig. 4). Lorsque le courant diminue jusqu'à zéro, la charge du condensateur atteint sa valeur maximale Q 0, mais la plaque, auparavant chargée positivement, sera désormais chargée négativement (Fig. 5). Ensuite, le condensateur recommence à se décharger et le courant dans le circuit circule dans la direction opposée.
Ainsi, le processus de charge circulant d’une plaque de condensateur à une autre à travers l’inducteur se répète encore et encore. On dit que dans le circuit il y a vibrations électromagnétiques. Ce processus est associé non seulement aux fluctuations de la quantité de charge et de tension sur le condensateur, à l'intensité du courant dans la bobine, mais également au transfert d'énergie du champ électrique au champ magnétique et vice versa.
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| Figure 3 | Figure 4 |
La recharge du condensateur à la tension maximale ne se produira que s'il n'y a pas de perte d'énergie dans le circuit oscillant. Un tel contour est appelé idéal.
Dans les circuits réels, les pertes d'énergie suivantes se produisent :
1) les pertes de chaleur, car R. ¹ 0;
2) pertes dans le diélectrique du condensateur ;
3) pertes par hystérésis dans le noyau de la bobine ;
4) pertes de rayonnement, etc. Si l'on néglige ces pertes d'énergie, alors on peut écrire cela, c'est-à-dire
Les oscillations se produisant dans un circuit oscillatoire idéal dans lequel cette condition est remplie sont appelées gratuit, ou propre, vibrations des circuits.
Dans ce cas, la tension U(et facturer Q) sur le condensateur change selon la loi harmonique :
où n est la fréquence propre du circuit oscillant, w 0 = 2pn est la fréquence naturelle (circulaire) du circuit oscillant. La fréquence des oscillations électromagnétiques dans le circuit est définie comme
Période T- le temps pendant lequel se produit une oscillation complète de la tension sur le condensateur et du courant dans le circuit est déterminé La formule de Thomson
L'intensité du courant dans le circuit change également selon la loi harmonique, mais est en retard par rapport à la tension en phase. Par conséquent, la dépendance de l'intensité du courant dans le circuit en fonction du temps aura la forme
. (9)
La figure 6 montre des graphiques des changements de tension U sur le condensateur et le courant je dans la bobine pour un circuit oscillant idéal.
Dans un circuit réel, l’énergie diminuera à chaque oscillation. Les amplitudes de tension sur le condensateur et le courant dans le circuit diminueront ; de telles oscillations sont appelées amorties. Ils ne peuvent pas être utilisés dans des oscillateurs maîtres, car L'appareil fonctionnera au mieux en mode impulsion.
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| Figure 5 | Figure 6 |
Pour obtenir des oscillations non amorties, il est nécessaire de compenser les pertes d'énergie à une grande variété de fréquences de fonctionnement des appareils, y compris ceux utilisés en médecine.
- Vibrations électromagnétiques– ce sont des changements périodiques dans le temps des grandeurs électriques et magnétiques dans un circuit électrique.
- Gratuit ceux-ci sont appelés fluctuations, qui surviennent dans un système fermé à la suite d’un écart de ce système par rapport à un état d’équilibre stable.
Pendant les oscillations, un processus continu de conversion de l'énergie du système d'une forme à une autre se produit. Dans le cas d'oscillations du champ électromagnétique, l'échange ne peut avoir lieu qu'entre les composantes électriques et magnétiques de ce champ. Le système le plus simple où ce processus peut se produire est circuit oscillatoire.
- Circuit oscillatoire idéal (Circuit LC) - un circuit électrique constitué d'une bobine inductive L et un condensateur d'une capacité C.
Contrairement à un véritable circuit oscillant, qui possède une résistance électrique R., la résistance électrique d'un circuit idéal est toujours nulle. Par conséquent, un circuit oscillatoire idéal est un modèle simplifié d’un circuit réel.
La figure 1 montre un schéma d'un circuit oscillant idéal.
Énergies des circuits
Énergie totale du circuit oscillatoire
\(W=W_(e) + W_(m), \; \; \; W_(e) =\dfrac(C\cdot u^(2) )(2) = \dfrac(q^(2) ) (2C), \; W_(m) =\dfrac(L\cdot i^(2))(2),\)
Où Nous- énergie du champ électrique du circuit oscillatoire à un instant donné, AVEC- capacité électrique du condensateur, toi- la valeur de la tension sur le condensateur à un instant donné, q- valeur de la charge du condensateur à un instant donné, Wm- énergie du champ magnétique du circuit oscillant à un instant donné, L- l'inductance de la bobine, je- la valeur du courant dans la bobine à un instant donné.
Processus dans un circuit oscillatoire
Considérons les processus qui se produisent dans un circuit oscillatoire.
Pour sortir le circuit de la position d'équilibre, on charge le condensateur pour qu'il y ait une charge sur ses plaques Qm(Fig. 2, position 1 ). En tenant compte de l'équation \(U_(m)=\dfrac(Q_(m))(C)\), nous trouvons la valeur de la tension sur le condensateur. Il n'y a pas de courant dans le circuit à ce moment-là, c'est-à-dire je = 0.
Après avoir fermé la clé sous l'influence du champ électrique du condensateur, un courant électrique apparaîtra dans le circuit, l'intensité du courant je qui augmentera avec le temps. Le condensateur commencera à se décharger à ce moment-là, car les électrons créant un courant (je vous rappelle que la direction du courant est considérée comme la direction du mouvement des charges positives) quittent la plaque négative du condensateur et arrivent à la plaque positive (voir Fig. 2, position 2 ). Avec frais q la tension diminuera également toi\(\left(u = \dfrac(q)(C) \right).\) Lorsque l'intensité du courant augmente à travers la bobine, une force électromotrice d'auto-induction apparaîtra, ce qui empêche le courant de changer. En conséquence, l'intensité du courant dans le circuit oscillant augmentera de zéro à une certaine valeur maximale non pas instantanément, mais sur une certaine période de temps déterminée par l'inductance de la bobine.
Charge du condensateur q diminue et à un moment donné devient égal à zéro ( q = 0, toi= 0), le courant dans la bobine atteindra une certaine valeur Je suis(voir Fig. 2, position 3 ).
Sans le champ électrique du condensateur (et de la résistance), les électrons créant le courant continuent de se déplacer par inertie. Dans ce cas, les électrons arrivant sur la plaque neutre du condensateur lui confèrent une charge négative, et les électrons quittant la plaque neutre lui confèrent une charge positive. Une charge commence à apparaître sur le condensateur q(et la tension toi), mais de signe opposé, c'est-à-dire le condensateur est rechargé. Maintenant, le nouveau champ électrique du condensateur empêche les électrons de bouger, donc le courant je commence à diminuer (voir Fig. 2, position 4 ). Encore une fois, cela ne se produit pas instantanément, puisque désormais l'EMF d'auto-induction tend à compenser la diminution du courant et à la « soutenir ». Et la valeur actuelle Je suis(en position 3 ) s'avère valeur actuelle maximale dans le circuit.
Et encore une fois, sous l'influence du champ électrique du condensateur, un courant électrique apparaîtra dans le circuit, mais dirigé dans le sens opposé, l'intensité du courant je qui augmentera avec le temps. Et le condensateur sera déchargé à ce moment (voir Fig. 2, position 6 )à zéro (voir Fig. 2, position 7 ). Et ainsi de suite.
Depuis la charge sur le condensateur q(et la tension toi) détermine l'énergie de son champ électrique Nous\(\left(W_(e)=\dfrac(q^(2))(2C)=\dfrac(C \cdot u^(2))(2) \right),\) et l'intensité du courant dans le bobine je- l'énergie du champ magnétique Wm\(\left(W_(m)=\dfrac(L \cdot i^(2))(2) \right),\) puis avec les changements de charge, de tension et de courant, l'énergie changera également.
Désignations dans le tableau :
\(W_(e\, \max ) =\dfrac(Q_(m)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot U_(m)^(2) )(2), \; \; \; W_(e\, 2) =\dfrac(q_(2)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(2)^(2))(2), \; e\, 4) =\dfrac(q_(4)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(4)^(2))(2), \; =\dfrac(q_(6)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(6)^(2) )(2),\)
\(W_(m\; \max ) =\dfrac(L\cdot I_(m)^(2) )(2), \; \; \; W_(m2) =\dfrac(L\cdot i_(2 )^(2) )(2), \; W_(m4) =\dfrac(L\cdot i_(4)^(2), \; =\dfrac(L\cdot i_(6)^(2) ) (2).\)
L'énergie totale d'un circuit oscillant idéal se conserve dans le temps car il n'y a pas de perte d'énergie (pas de résistance). Alors
\(W=W_(e\, \max ) = W_(m\, \max ) = W_(e2) + W_(m2) = W_(e4) +W_(m4) = ...\)
Ainsi, dans un idéal L.C.- le circuit subira des changements périodiques dans les valeurs de courant je, charge q et tension toi, et l'énergie totale du circuit restera constante. Dans ce cas, ils disent qu'il y a des problèmes dans le circuit oscillations électromagnétiques libres.
- Oscillations électromagnétiques libres dans le circuit - il s'agit de changements périodiques de la charge sur les plaques du condensateur, du courant et de la tension dans le circuit, se produisant sans consommer d'énergie provenant de sources externes.
Ainsi, l'apparition d'oscillations électromagnétiques libres dans le circuit est due à la recharge du condensateur et à l'apparition d'une force électromotrice auto-inductive dans la bobine, qui « assure » cette recharge. Notez que la charge du condensateur q et le courant dans la bobine je atteindre leurs valeurs maximales Qm Et Je suisà différents moments dans le temps.
Les oscillations électromagnétiques libres dans le circuit se produisent selon la loi harmonique :
\(q=Q_(m) \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _(1) \right), \; \; \; u=U_(m) \cdot \cos \left(\ oméga \cdot t+\varphi _(1) \right), \; i=I_(m) \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _(2) \right).\)
La période la plus courte pendant laquelle L.C.- le circuit revient à son état d'origine (à la valeur initiale de la charge d'une plaque donnée), appelé période d'oscillations électromagnétiques libres (naturelles) dans le circuit.
La période d'oscillations électromagnétiques libres dans L.C.-le contour est déterminé par la formule de Thomson :
\(T=2\pi \cdot \sqrt(L\cdot C), \;\;\; \omega =\dfrac(1)(\sqrt(L\cdot C)).\)
Du point de vue de l'analogie mécanique, un pendule à ressort sans frottement correspond à un circuit oscillatoire idéal, et un circuit réel - avec frottement. Sous l’action des forces de frottement, les oscillations d’un pendule à ressort s’atténuent avec le temps.
*Dérivation de la formule de Thomson
Puisque l'énergie totale de l'idéal L.C.-circuit égal à la somme des énergies du champ électrostatique du condensateur et du champ magnétique de la bobine est conservé, alors à tout moment l'égalité est valable
\(W=\dfrac(Q_(m)^(2) )(2C) =\dfrac(L\cdot I_(m)^(2) )(2) =\dfrac(q^(2) )(2C ) +\dfrac(L\cdot i^(2) )(2) =(\rm const).\)
On obtient l'équation des oscillations dans L.C.-circuit utilisant la loi de conservation de l'énergie. Différencier l'expression de son énergie totale par rapport au temps, en tenant compte du fait que
\(W"=0, \;\;\; q"=i, \;\;\; i"=q"",\)
on obtient une équation décrivant les oscillations libres dans un circuit idéal :
\(\left(\dfrac(q^(2) )(2C) +\dfrac(L\cdot i^(2) )(2) \right)^((") ) =\dfrac(q)(C ) \cdot q"+L\cdot i\cdot i" = \dfrac(q)(C) \cdot q"+L\cdot q"\cdot q""=0,\)
\(\dfrac(q)(C) +L\cdot q""=0,\; \; \; \; q""+\dfrac(1)(L\cdot C) \cdot q=0.\ )
Le réécrire comme suit :
\(q""+\oméga ^(2) \cdot q=0,\)
on note qu'il s'agit de l'équation des oscillations harmoniques à fréquence cyclique
\(\omega =\dfrac(1)(\sqrt(L\cdot C) ).\)
En conséquence, la période des oscillations considérées
\(T=\dfrac(2\pi )(\omega ) =2\pi \cdot \sqrt(L\cdot C).\)
Littérature
- Zhilko, V.V. Physique : manuel. manuel pour l'enseignement général de 11e année. école du russe langue formation / V.V. Zhilko, L.G. Markovitch. - Minsk : Nar. Asveta, 2009. - p. 39-43.
Un champ électromagnétique peut exister en l'absence de charges ou de courants électriques : ce sont ces champs électriques et magnétiques « auto-entretenus » qui sont des ondes électromagnétiques, qui comprennent la lumière visible, les rayonnements infrarouges, ultraviolets et X, les ondes radio, etc.
§ 25. Circuit oscillant
Le système le plus simple dans lequel des oscillations électromagnétiques naturelles sont possibles est le circuit dit oscillatoire, composé d'un condensateur et d'un inducteur connectés l'un à l'autre (Fig. 157). Comme un oscillateur mécanique, par exemple un corps massif sur un ressort élastique, les oscillations naturelles du circuit s'accompagnent de transformations énergétiques.
Riz. 157. Circuit oscillatoire
Analogie entre vibrations mécaniques et électromagnétiques. Pour un circuit oscillatoire, un analogue de l'énergie potentielle d'un oscillateur mécanique (par exemple, l'énergie élastique d'un ressort déformé) est l'énergie du champ électrique dans un condensateur. Un analogue de l'énergie cinétique d'un corps en mouvement est l'énergie du champ magnétique dans un inducteur. En fait, l'énergie du ressort est proportionnelle au carré du déplacement par rapport à la position d'équilibre et l'énergie du condensateur est proportionnelle au carré de la charge. L'énergie cinétique d'un corps est proportionnelle au carré de sa vitesse et. l'énergie du champ magnétique dans la bobine est proportionnelle au carré du courant.
L'énergie mécanique totale de l'oscillateur à ressort E est égale à la somme des énergies potentielle et cinétique :
Énergie de vibrations. De même, l'énergie électromagnétique totale du circuit oscillatoire est égale à la somme des énergies du champ électrique dans le condensateur et du champ magnétique dans la bobine :
D'une comparaison des formules (1) et (2), il s'ensuit que l'analogue de la rigidité k d'un oscillateur à ressort dans un circuit oscillant est l'inverse de la capacité C, et l'analogue de la masse est l'inductance de la bobine
Rappelons que dans un système mécanique dont l'énergie est donnée par l'expression (1), ses propres oscillations harmoniques non amorties peuvent se produire. Le carré de la fréquence de ces oscillations est égal au rapport des coefficients des carrés du déplacement et de la vitesse dans l'expression de l'énergie :
Fréquence naturelle. Dans un circuit oscillatoire dont l'énergie électromagnétique est donnée par l'expression (2), ses propres oscillations harmoniques non amorties peuvent se produire, dont le carré de la fréquence est aussi, évidemment, égal au rapport des coefficients correspondants (c'est-à-dire le coefficients des carrés de charge et de courant) :
De (4) découle une expression pour la période d’oscillation, appelée formule de Thomson :
Lors des oscillations mécaniques, la dépendance du déplacement x au temps est déterminée par une fonction cosinus dont l'argument est appelé phase d'oscillation :
Amplitude et phase initiale. L'amplitude A et la phase initiale a sont déterminées par les conditions initiales, c'est-à-dire les valeurs de déplacement et de vitesse à
De même, avec les oscillations naturelles électromagnétiques dans le circuit, la charge du condensateur dépend du temps selon la loi
où la fréquence est déterminée, conformément à (4), uniquement par les propriétés du circuit lui-même, et l'amplitude des oscillations de charge et la phase initiale a, comme celle d'un oscillateur mécanique, sont déterminées
conditions initiales, c'est-à-dire les valeurs de charge du condensateur et d'intensité du courant à Ainsi, la fréquence propre ne dépend pas de la méthode d'excitation des oscillations, tandis que l'amplitude et la phase initiale sont déterminées précisément par les conditions d'excitation.
Transformations énergétiques. Examinons plus en détail les transformations énergétiques lors des vibrations mécaniques et électromagnétiques. Sur la fig. 158 représente schématiquement les états des oscillateurs mécaniques et électromagnétiques à des intervalles de temps d'un quart de période
Riz. 158. Transformations énergétiques lors de vibrations mécaniques et électromagnétiques
Deux fois pendant la période d'oscillation, l'énergie est convertie d'un type à un autre et inversement. L'énergie totale du circuit oscillatoire, comme l'énergie totale d'un oscillateur mécanique, reste inchangée en l'absence de dissipation. Pour vérifier cela, vous devez remplacer l'expression (6) et l'expression du courant dans la formule (2)
En utilisant la formule (4) car on obtient
Riz. 159. Graphiques de la dépendance de l'énergie du champ électrique du condensateur et de l'énergie du champ magnétique dans la bobine sur le temps de charge du condensateur
L'énergie totale constante coïncide avec l'énergie potentielle aux moments où la charge sur le condensateur est maximale, et coïncide avec l'énergie du champ magnétique de la bobine - l'énergie « cinétique » - aux moments où la charge sur le condensateur devient zéro et le courant est maximum. Lors de transformations mutuelles, deux types d'énergie effectuent des vibrations harmoniques de même amplitude, déphasées l'une par rapport à l'autre et de fréquence relative à leur valeur moyenne. Ceci peut être facilement vu sur la Fig. 158, et en utilisant des formules pour les fonctions trigonométriques d'un demi-argument :
Des graphiques de la dépendance de l'énergie du champ électrique et de l'énergie du champ magnétique sur le temps de charge du condensateur sont présentés sur la Fig. 159 pour la phase initiale
Les lois quantitatives des oscillations électromagnétiques naturelles peuvent être établies directement à partir des lois des courants quasi-stationnaires, sans recourir à une analogie avec les oscillations mécaniques.
Équation pour les oscillations dans un circuit. Considérons le circuit oscillatoire le plus simple illustré à la Fig. 157. Lors d'un tour de circuit, par exemple dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, la somme des tensions sur l'inductance et le condensateur dans un tel circuit en série fermé est nulle :
La tension sur le condensateur est liée à la charge de la plaque et à la capacité Avec la relation La tension sur l'inductance à tout moment est égale en amplitude et opposée en signe à la force électromotrice auto-inductive, donc le courant dans le circuit est égal au taux de changement de la charge du condensateur : en substituant l'intensité du courant dans l'expression de la tension sur l'inductance et en désignant la dérivée seconde de la charge du condensateur par rapport au temps à travers
On obtient Maintenant l'expression (10) prend la forme
Réécrivons cette équation différemment, en introduisant par définition :
L'équation (12) coïncide avec l'équation des oscillations harmoniques d'un oscillateur mécanique avec une fréquence propre. La solution d'une telle équation est donnée par une fonction temporelle harmonique (sinusoïdale) (6) avec des valeurs arbitraires de l'amplitude et de la phase initiale. un. Cela implique tous les résultats ci-dessus concernant les oscillations électromagnétiques dans le circuit.
Atténuation des oscillations électromagnétiques. Jusqu'à présent, les vibrations naturelles dans un système mécanique idéalisé et un circuit LC idéalisé ont été discutées. L'idéalisation consistait à négliger les frottements dans l'oscillateur et la résistance électrique dans le circuit. Ce n’est que dans ce cas que le système sera conservateur et que l’énergie d’oscillation sera conservée.
Riz. 160. Circuit oscillant avec résistance
La dissipation de l'énergie d'oscillation dans le circuit peut être prise en compte de la même manière que cela a été fait dans le cas d'un oscillateur mécanique à friction. La présence d'une résistance électrique de la bobine et des fils de connexion est inévitablement associée au dégagement de chaleur Joule. Comme auparavant, cette résistance peut être considérée comme un élément indépendant du circuit électrique du circuit oscillant, en considérant la bobine et les fils idéaux (Fig. 160). Lorsqu'on considère un courant quasi-stationnaire dans un tel circuit, il est nécessaire d'ajouter la tension aux bornes de la résistance à l'équation (10)
En remplaçant, nous obtenons
Présentation des désignations
on réécrit l'équation (14) sous la forme
L'équation (16) pour a exactement la même forme que l'équation pour lorsqu'un oscillateur mécanique oscille avec
frottement proportionnel à la vitesse (frottement visqueux). Ainsi, en présence d'une résistance électrique dans le circuit, les oscillations électromagnétiques se produisent selon la même loi que les oscillations mécaniques d'un oscillateur à frottement visqueux.
Dissipation de l'énergie vibratoire. Comme pour les vibrations mécaniques, il est possible d'établir la loi de diminution de l'énergie des vibrations naturelles au cours du temps en appliquant la loi Joule-Lenz pour calculer la chaleur dégagée :
De ce fait, dans le cas d'une faible atténuation pour des intervalles de temps bien supérieurs à la période d'oscillation, le taux de diminution de l'énergie d'oscillation s'avère proportionnel à l'énergie elle-même :
La solution de l'équation (18) a la forme
L'énergie des oscillations électromagnétiques naturelles dans un circuit à résistance diminue selon une loi exponentielle.
L'énergie des oscillations est proportionnelle au carré de leur amplitude. Pour les oscillations électromagnétiques, cela découle par exemple de (8). Par conséquent, l'amplitude des oscillations amorties, conformément à (19), diminue selon la loi
Durée de vie des oscillations. Comme le montre (20), l'amplitude des oscillations diminue d'un facteur de temps égal à, quelle que soit la valeur initiale de l'amplitude. Ce temps x est appelé la durée de vie des oscillations, bien que, comme on peut le voir. à partir de (20), les oscillations continuent formellement indéfiniment. En réalité, bien entendu, il n'est logique de parler d'oscillations que tant que leur amplitude dépasse la valeur caractéristique du niveau de bruit thermique dans un circuit donné. Par conséquent, en fait, les oscillations dans le circuit « vivent » pendant un temps fini, qui peut cependant être plusieurs fois supérieur à la durée de vie x introduite ci-dessus.
Il est souvent important de connaître non pas la durée de vie des oscillations x elle-même, mais le nombre d'oscillations complètes qui se produiront dans le circuit pendant cette durée x. Ce nombre multiplié par s’appelle le facteur de qualité du circuit.
À proprement parler, les oscillations amorties ne sont pas périodiques. Avec une faible atténuation, on peut conditionnellement parler de période, entendue comme l'intervalle de temps entre deux
valeurs maximales successives de la charge du condensateur (même polarité), ou valeurs maximales de courant (un sens).
L'amortissement des oscillations affecte la période, la faisant augmenter par rapport au cas idéalisé sans amortissement. Avec un faible amortissement, l'augmentation de la période d'oscillation est très faible. Cependant, avec une forte atténuation, il peut n'y avoir aucune oscillation : le condensateur chargé se déchargera de manière apériodique, c'est-à-dire sans changer le sens du courant dans le circuit. Cela se produira quand, c'est-à-dire quand
Solution exacte. Les modèles d'oscillations amorties formulés ci-dessus découlent de la solution exacte de l'équation différentielle (16). Par substitution directe on peut vérifier qu'il a la forme
où sont des constantes arbitraires dont les valeurs sont déterminées à partir des conditions initiales. À faible amortissement, le multiplicateur cosinus peut être considéré comme une amplitude d'oscillations variant lentement.
Tâche
Recharge des condensateurs via une inductance. Dans le circuit dont le schéma est représenté sur la Fig. 161, la charge du condensateur supérieur est égale et celui du bas n'est pas chargé. Pour le moment, la clé est fermée. Trouvez la dépendance du temps de charge du condensateur supérieur et du courant dans la bobine.
Riz. 161. Au moment initial, un seul condensateur est chargé
Riz. 162. Charges de condensateurs et courant dans le circuit après fermeture de la clé
Riz. 163. Analogie mécanique pour le circuit électrique illustré à la Fig. 162
Solution. Une fois la clé fermée, des oscillations se produisent dans le circuit : le condensateur supérieur commence à se décharger à travers la bobine, tout en chargeant celui du bas ; alors tout se passe dans le sens inverse. Supposons, par exemple, que la plaque supérieure du condensateur soit chargée positivement. Alors
après une courte période de temps, les signes des charges des plaques du condensateur et la direction du courant seront comme indiqué sur la Fig. 162. Désignons par les charges des plaques des condensateurs supérieur et inférieur qui sont connectées les unes aux autres via un inducteur. Basé sur la loi de conservation de la charge électrique
La somme des tensions sur tous les éléments de la boucle fermée à chaque instant est nulle :
Le signe de la tension sur le condensateur correspond à la distribution de charge de la Fig. 162. et la direction indiquée du courant. L’expression du courant traversant la bobine peut être écrite sous deux formes :
Excluons de l'équation à l'aide des relations (22) et (24) :
Présentation des désignations
Réécrivons (25) sous la forme suivante :
Si au lieu de saisir la fonction
et prendre en compte qu'alors (27) prend la forme
Il s’agit de l’équation habituelle des oscillations harmoniques non amorties, dont la solution est
où et sont des constantes arbitraires.
En revenant de la fonction, on obtient l'expression suivante pour la dépendance du temps de charge du condensateur supérieur :
Pour déterminer les constantes et a, on tient compte du fait qu'à l'instant initial la charge et le courant Pour l'intensité du courant de (24) et (31) on a
Puisqu'il s'ensuit qu'en substituant maintenant et en tenant compte du fait que nous obtenons
Ainsi, les expressions de charge et de courant ont la forme
La nature des oscillations de charge et de courant est particulièrement claire lorsque les capacités des condensateurs sont les mêmes. Dans ce cas
La charge du condensateur supérieur oscille avec une amplitude autour de la valeur moyenne égale à. Sur la moitié de la période d'oscillation, elle diminue de la valeur maximale au moment initial jusqu'à zéro, lorsque toute la charge est sur le condensateur inférieur.
L'expression (26) pour la fréquence d'oscillation pourrait bien entendu être écrite immédiatement, puisque dans le circuit considéré, les condensateurs sont connectés en série. Cependant, il est difficile d'écrire directement les expressions (34), car dans de telles conditions initiales, il est impossible de remplacer les condensateurs inclus dans le circuit par un équivalent.
Une représentation visuelle des processus qui se produisent ici est donnée par l'analogue mécanique de ce circuit électrique, illustré à la Fig. 163. Des ressorts identiques correspondent au cas de condensateurs de même capacité. Au moment initial, le ressort gauche est comprimé, ce qui correspond à un condensateur chargé, et celui de droite est dans un état non déformé, puisque l'analogue de la charge du condensateur est ici le degré de déformation du ressort. Lors du passage par la position médiane, les deux ressorts sont partiellement comprimés, et dans la position extrême droite le ressort gauche n'est pas déformé, et celui de droite est comprimé de la même manière que celui de gauche au moment initial, ce qui correspond au flux complet de charge d'un condensateur à l'autre. Bien que la bille subisse des oscillations harmoniques normales autour de sa position d'équilibre, la déformation de chacun des ressorts est décrite par une fonction dont la valeur moyenne est non nulle.
Contrairement à un circuit oscillant avec un condensateur, où, lors des oscillations, il est rechargé à plusieurs reprises, dans le système considéré, le condensateur initialement chargé n'est pas complètement rechargé. Par exemple, lorsque sa charge est réduite à zéro, puis rétablie à la même polarité. Pour le reste, ces oscillations ne diffèrent pas des oscillations harmoniques d’un circuit conventionnel. L'énergie de ces oscillations est conservée, si, bien entendu, la résistance de la bobine et des fils de connexion peut être négligée.
Expliquez pourquoi, à partir d'une comparaison des formules (1) et (2) pour les énergies mécaniques et électromagnétiques, il a été conclu que l'analogue de la rigidité k est et l'analogue de la masse est l'inductance et non l'inverse.
Fournir une justification pour dériver l'expression (4) de la fréquence naturelle des oscillations électromagnétiques dans le circuit par analogie avec un oscillateur à ressort mécanique.
Les oscillations harmoniques dans un circuit sont caractérisées par l'amplitude, la fréquence, la période, la phase d'oscillation et la phase initiale. Lesquelles de ces grandeurs sont déterminées par les propriétés du circuit oscillatoire lui-même, et lesquelles dépendent de la méthode d'excitation des oscillations ?
Prouver que les valeurs moyennes des énergies électriques et magnétiques lors des oscillations naturelles du circuit sont égales entre elles et constituent la moitié de l'énergie électromagnétique totale des oscillations.
Comment appliquer les lois des phénomènes quasi-stationnaires dans un circuit électrique pour dériver l'équation différentielle (12) des oscillations harmoniques dans le circuit ?
À quelle équation différentielle le courant dans un circuit LC satisfait-il ?
Dérivez une équation pour le taux de diminution de l'énergie d'oscillation à faible amortissement de la même manière que pour un oscillateur mécanique à frottement proportionnel à la vitesse, et montrez que pour des intervalles de temps dépassant significativement la période d'oscillation, cette diminution se produit selon une loi exponentielle. Quelle est la signification du terme « faible atténuation » utilisé ici ?
Montrer que la fonction donnée par la formule (21) satisfait l'équation (16) pour toutes les valeurs de et a.
Considérons le système mécanique illustré à la Fig. 163, et trouvez la dépendance du temps de déformation du ressort gauche et de la vitesse du corps massif.
Un circuit sans résistance avec des pertes inévitables. Dans le problème considéré ci-dessus, malgré les conditions initiales pas tout à fait ordinaires pour les charges sur les condensateurs, il a été possible d'appliquer des équations ordinaires pour les circuits électriques, puisque les conditions des processus quasi-stationnaires y étaient remplies. Mais dans le circuit dont le schéma est représenté sur la Fig. 164, avec une similitude formelle externe avec le diagramme de la Fig. 162, les conditions quasi-stationnaires ne sont pas satisfaites si au moment initial un condensateur est chargé et le second ne l'est pas.
Discutons plus en détail des raisons pour lesquelles les conditions de quasi-stationnarité sont ici violées. Immédiatement après la fermeture
Riz. 164. Circuit électrique pour lequel les conditions quasi-stationnaires ne sont pas remplies
clé, tous les processus ont lieu uniquement dans des condensateurs connectés les uns aux autres, car l'augmentation du courant à travers la bobine d'inductance se produit relativement lentement et au début, la dérivation du courant dans la bobine peut être négligée.
Lorsque la clé est fermée, des oscillations rapidement amorties se produisent dans un circuit composé de condensateurs et des fils qui les relient. La période de ces oscillations est très courte car l'inductance des fils de connexion est faible. À la suite de ces oscillations, la charge sur les plaques du condensateur est redistribuée, après quoi les deux condensateurs peuvent être considérés comme un seul. Mais cela ne peut pas se faire au premier instant, car parallèlement à la redistribution des charges, se produit également une redistribution de l'énergie, dont une partie se transforme en chaleur.
Après la décroissance rapide des oscillations, des oscillations se produisent dans le système, comme dans un circuit avec un condensateur, dont la charge au moment initial est égale à la charge initiale du condensateur. La condition de validité du raisonnement ci-dessus est la petitesse. de l'inductance des fils de connexion par rapport à l'inductance de la bobine.
Comme dans le problème considéré, il est utile de trouver ici une analogie mécanique. S'il y avait deux ressorts correspondant à des condensateurs situés de part et d'autre d'un corps massif, alors ici ils devraient être situés d'un côté de celui-ci, afin que les vibrations de l'un d'eux puissent être transmises à l'autre lorsque le corps est à l'arrêt. Au lieu de deux ressorts, vous pouvez en prendre un, mais seulement au début, il doit être déformé de manière non uniforme.
Saisissons le ressort par le milieu et étirons sa moitié gauche sur une certaine distance. La seconde moitié du ressort restera dans un état non déformé, de sorte que la charge au moment initial soit déplacée d'une certaine distance de la position d'équilibre vers la droite et est au repos. Relâchez ensuite le ressort. Quelles caractéristiques résulteront du fait qu’au moment initial le ressort se déforme de manière non uniforme ? car, comme il n'est pas difficile de l'imaginer, la rigidité de la « moitié » du ressort est égale à Si la masse du ressort est petite par rapport à la masse de la bille, la fréquence des oscillations naturelles du ressort en tant que système étendu est bien supérieure à la fréquence d'oscillations de la bille sur le ressort. Ces oscillations « rapides » s’éteindront en un temps qui ne représente qu’une petite fraction de la période des oscillations de la balle. Après la disparition des oscillations rapides, la tension du ressort est redistribuée et le déplacement de la charge reste pratiquement égal puisque la charge n'a pas le temps de se déplacer sensiblement pendant ce temps. La déformation du ressort devient uniforme et l'énergie du système est égale à
Ainsi, le rôle des oscillations rapides du ressort a été réduit au fait que la réserve d'énergie du système a diminué jusqu'à la valeur correspondant à la déformation initiale uniforme du ressort. Il est clair que les processus ultérieurs dans le système ne diffèrent pas du cas d'une déformation initiale uniforme. La dépendance du déplacement de la charge au temps est exprimée par la même formule (36).
Dans l’exemple considéré, suite à des oscillations rapides, la moitié de l’apport initial d’énergie mécanique a été convertie en énergie interne (chaleur). Il est clair qu'en soumettant non pas la moitié, mais une partie arbitraire du ressort à une déformation initiale, il est possible de convertir n'importe quelle fraction de l'apport initial d'énergie mécanique en énergie interne. Mais dans tous les cas, l'énergie d'oscillation de la charge sur le ressort correspond à la réserve d'énergie pour la même déformation initiale uniforme du ressort.
Dans un circuit électrique, à la suite d'oscillations rapides amorties, l'énergie d'un condensateur chargé est partiellement libérée sous forme de chaleur Joule dans les fils de connexion. A capacités égales, cela représentera la moitié de la réserve énergétique initiale. La seconde moitié reste sous forme d'énergie d'oscillations électromagnétiques relativement lentes dans un circuit constitué d'une bobine et de deux condensateurs C connectés en parallèle, et
Ainsi, dans ce système, une idéalisation dans laquelle la dissipation de l’énergie d’oscillation est négligée est fondamentalement inacceptable. La raison en est que des oscillations rapides sont possibles sans affecter l’inducteur ou le corps massif dans un système mécanique similaire.
Circuit oscillant avec éléments non linéaires. En étudiant les vibrations mécaniques, nous avons vu que les vibrations ne sont pas toujours harmoniques. Les oscillations harmoniques sont une propriété caractéristique des systèmes linéaires dans lesquels
la force de rappel est proportionnelle à l'écart par rapport à la position d'équilibre et l'énergie potentielle est proportionnelle au carré de l'écart. En règle générale, les systèmes mécaniques réels ne possèdent pas ces propriétés et leurs vibrations ne peuvent être considérées comme harmoniques que pour de petits écarts par rapport à la position d'équilibre.
Dans le cas d'oscillations électromagnétiques dans un circuit, on peut avoir l'impression qu'il s'agit de systèmes idéaux dans lesquels les oscillations sont strictement harmoniques. Cependant, cela n'est vrai que tant que la capacité du condensateur et l'inductance de la bobine peuvent être considérées comme constantes, c'est-à-dire indépendantes de la charge et du courant. Un condensateur avec un diélectrique et une bobine avec un noyau sont, à proprement parler, des éléments non linéaires. Lorsqu'un condensateur est rempli d'un ferroélectrique, c'est-à-dire d'une substance dont la constante diélectrique dépend fortement du champ électrique appliqué, la capacité du condensateur ne peut plus être considérée comme constante. De même, l'inductance d'une bobine à noyau ferromagnétique dépend de l'intensité du courant, puisque le ferromagnétique a la propriété de saturation magnétique.
Si dans les systèmes oscillatoires mécaniques, la masse, en règle générale, peut être considérée comme constante et que la non-linéarité se produit uniquement en raison de la nature non linéaire de la force agissant, alors dans un circuit oscillatoire électromagnétique, la non-linéarité peut survenir à la fois en raison d'un condensateur (analogue d'un ressort élastique ) et grâce à un inducteur (analogue de masse).
Pourquoi l'idéalisation dans laquelle le système est considéré comme conservateur n'est-elle pas applicable à un circuit oscillant avec deux condensateurs parallèles (Fig. 164) ?
Pourquoi les oscillations rapides conduisent-elles à une dissipation de l'énergie d'oscillation dans le circuit de la Fig. 164, ne s'est pas produit dans un circuit avec deux condensateurs en série illustré à la Fig. 162 ?
Quelles raisons peuvent conduire à des oscillations électromagnétiques non sinusoïdales dans le circuit ?
