Le plus important pour nous est de pouvoir calculer le déplacement d'un corps, car, connaissant le déplacement, nous pouvons aussi trouver les coordonnées du corps, et c'est la tâche principale de la mécanique. Comment calculer le déplacement lors d’un mouvement uniformément accéléré ?
Le moyen le plus simple d'obtenir la formule permettant de déterminer le déplacement est d'utiliser la méthode graphique.
Au § 9 nous avons vu qu'en cas de mouvement rectiligne uniforme, le déplacement du corps est numériquement égal à l'aire de la figure (rectangle) située sous le graphique de vitesse. Est-ce vrai pour un mouvement uniformément accéléré ?
Avec un mouvement uniformément accéléré d'un corps se produisant le long de l'axe de coordonnées X, la vitesse ne reste pas constante dans le temps, mais change avec le temps selon les formules :
Par conséquent, les graphiques de vitesse ont la forme représentée sur la figure 40. La ligne 1 de cette figure correspond à un mouvement avec une accélération « positive » (la vitesse augmente), la ligne 2 correspond à un mouvement avec une accélération « négative » (la vitesse diminue). Les deux graphiques se réfèrent au cas où, à un moment donné, le corps avait une vitesse
Sélectionnons une petite section sur le graphique de vitesse d'un mouvement uniformément accéléré (Fig. 41) et déposons des points a et perpendiculaires à l'axe. La longueur du segment sur l'axe est numériquement égale à la petite période de temps pendant laquelle le. la vitesse est passée de sa valeur au point a à sa valeur au point En dessous de la section, le graphique s'est avéré être une bande étroite
Si la période de temps numériquement égale au segment est suffisamment petite, alors pendant ce temps, le changement de vitesse est également faible. Le mouvement pendant cette période de temps peut être considéré comme uniforme, et la bande différera alors peu du rectangle. L'aire de la bande est donc numériquement égale au déplacement du corps pendant le temps correspondant au segment
Mais toute la zone de la figure située sous le graphique de vitesse peut être divisée en bandes aussi étroites. Par conséquent, le déplacement sur tout le temps est numériquement égal à l'aire du trapèze. L'aire du trapèze, comme le sait la géométrie, est égale au produit de la moitié de la somme de ses bases et de la hauteur. Dans notre cas, la longueur de l'une des bases du trapèze est numériquement égale à la longueur de l'autre - V. Sa hauteur est numériquement égale, il s'ensuit que le déplacement est égal à :
Remplaçons l'expression (1a) dans cette formule, alors
En divisant le numérateur par le dénominateur terme par terme, on obtient :
En remplaçant l'expression (16) dans la formule (2), nous obtenons (voir Fig. 42) :
La formule (2a) est utilisée dans le cas où le vecteur d'accélération est dirigé de la même manière que l'axe de coordonnées, et la formule (26) lorsque la direction du vecteur d'accélération est opposée à la direction de cet axe.
Si la vitesse initiale est nulle (Fig. 43) et que le vecteur d'accélération est dirigé le long de l'axe de coordonnées, alors de la formule (2a), il s'ensuit que
Si la direction du vecteur d'accélération est opposée à la direction de l'axe des coordonnées, alors de la formule (26), il s'ensuit que
(le signe « - » signifie ici que le vecteur déplacement, ainsi que le vecteur accélération, sont dirigés à l'opposé de l'axe de coordonnées sélectionné).
Rappelons que dans les formules (2a) et (26) les quantités et peuvent être à la fois positives et négatives - ce sont des projections des vecteurs et
Maintenant que nous avons obtenu les formules de calcul du déplacement, il nous est facile d'obtenir une formule de calcul des coordonnées du corps. Nous avons vu (voir § 8) que pour trouver la coordonnée d'un corps à un instant donné, il faut ajouter à la coordonnée initiale la projection du vecteur déplacement du corps sur l'axe des coordonnées :
(Pour) si le vecteur accélération est dirigé de la même manière que l'axe de coordonnées, et
si la direction du vecteur accélération est opposée à la direction de l'axe des coordonnées.
Ce sont les formules qui vous permettent de trouver la position d’un corps à tout moment lors d’un mouvement rectiligne uniformément accéléré. Pour ce faire, vous devez connaître la coordonnée initiale du corps, sa vitesse et son accélération initiales a.
Problème 1. Le conducteur d'une voiture circulant à une vitesse de 72 km/h a vu un feu rouge et a appuyé sur le frein. Après cela, la voiture a commencé à ralentir, se déplaçant avec une accélération
Quelle distance la voiture parcourra-t-elle en quelques secondes après le début du freinage ? Quelle distance la voiture parcourra-t-elle avant de s’arrêter complètement ?
Solution. Pour l'origine des coordonnées, on choisit le point de la route où la voiture a commencé à ralentir. Nous dirigerons l'axe de coordonnées dans le sens de déplacement de la voiture (Fig. 44), et nous rapporterons le début du décompte du temps au moment où le conducteur a appuyé sur le frein. La vitesse de la voiture est dans la même direction que l’axe X et l’accélération de la voiture est opposée à la direction de cet axe. Par conséquent, la projection de la vitesse sur l'axe X est positive et la projection de l'accélération est négative, et les coordonnées de la voiture doivent être trouvées à l'aide de la formule (36) :
Remplacer les valeurs dans cette formule
Voyons maintenant quelle distance la voiture parcourra avant de s’arrêter complètement. Pour ce faire, nous devons connaître le temps de déplacement. On peut le découvrir à l'aide de la formule
Puisqu'au moment où la voiture s'arrête, sa vitesse est nulle, alors
La distance que la voiture parcourra avant de s'arrêter complètement est égale aux coordonnées de la voiture à ce moment précis.
Tâche 2. Déterminer le déplacement du corps dont le graphique de vitesse est illustré à la figure 45. L'accélération du corps est égale à a.
Solution. Puisqu’au début le module de vitesse du corps diminue avec le temps, le vecteur accélération est dirigé à l’opposé de la direction . Pour calculer le déplacement, nous pouvons utiliser la formule
D’après le graphique, il ressort clairement que le temps de déplacement est donc :
La réponse obtenue montre que le graphique représenté sur la figure 45 correspond au mouvement d'un corps d'abord dans un sens, puis de la même distance dans le sens opposé, de sorte que le corps se retrouve au point de départ. Un tel graphique pourrait, par exemple, concerner le mouvement d'un corps projeté verticalement vers le haut.
Problème 3. Un corps se déplace le long d'une ligne droite uniformément accéléré avec l'accélération a. Trouver la différence entre les distances parcourues par le corps en deux périodes de temps successives égales, c'est-à-dire
Solution. Prenons la droite le long de laquelle le corps se déplace comme axe X. Si au point A (Fig. 46) la vitesse du corps était égale, alors son déplacement dans le temps est égal à :
Au point B, le corps avait une vitesse et son déplacement sur la période de temps suivante est égal à :
2. La figure 47 montre des graphiques de la vitesse de déplacement de trois corps ? Quelle est la nature du mouvement de ces corps ? Que peut-on dire des vitesses de déplacement des corps à des instants correspondant aux points A et B ? Déterminez les accélérations et écrivez les équations du mouvement (formules de vitesse et de déplacement) de ces corps.
3. À l'aide des graphiques des vitesses de trois corps illustrés à la figure 48, accomplissez les tâches suivantes : a) Déterminer les accélérations de ces corps ; b) compenser
de chaque corps, la formule de dépendance de la vitesse au temps : c) en quoi les mouvements correspondant aux graphiques 2 et 3 sont-ils similaires et différents ?
4. La figure 49 montre des graphiques de la vitesse de déplacement de trois corps. A l'aide de ces graphiques : a) déterminer à quoi correspondent les segments OA, OB et OS sur les axes de coordonnées ; 6) trouver les accélérations avec lesquelles les corps se déplacent : c) écrire les équations du mouvement pour chaque corps.
5. Au décollage, un avion passe la piste en 15 secondes et au moment où il décolle du sol, il a une vitesse de 100 m/sec. À quelle vitesse l’avion se déplaçait-il et quelle était la longueur de la piste ?
6. La voiture s’est arrêtée à un feu tricolore. Une fois le signal vert allumé, il commence à se déplacer avec accélération et se déplace jusqu'à ce que sa vitesse devienne égale à 16 m/sec, après quoi il continue à se déplacer à une vitesse constante. À quelle distance du feu se trouvera la voiture 15 secondes après l'apparition du signal vert ?
7. Un projectile dont la vitesse est de 1 000 m/sec pénètre dans la paroi de la pirogue pendant et a ensuite une vitesse de 200 m/sec. En supposant que le mouvement d’un projectile dans l’épaisseur d’un mur est uniformément accéléré, trouvez l’épaisseur du mur.
8. La fusée se déplace avec accélération et atteint à un moment donné une vitesse de 900 m/sec. Quel chemin empruntera-t-elle ensuite ?
9. À quelle distance de la Terre le vaisseau spatial se trouverait-il 30 minutes après le lancement s'il se déplaçait constamment en ligne droite avec une accélération ?
Mouvement uniforme– il s’agit d’un mouvement à vitesse constante, c’est-à-dire lorsque la vitesse ne change pas (v = const) et qu’il n’y a pas d’accélération ou de décélération (a = 0).
Mouvement en ligne droite- c'est un mouvement en ligne droite, c'est-à-dire que la trajectoire du mouvement rectiligne est une ligne droite.
- il s'agit d'un mouvement dans lequel un corps effectue des mouvements égaux à des intervalles de temps égaux. Par exemple, si nous divisons un certain intervalle de temps en intervalles d'une seconde, alors avec un mouvement uniforme, le corps se déplacera de la même distance pour chacun de ces intervalles de temps.
La vitesse du mouvement rectiligne uniforme ne dépend pas du temps et à chaque point de la trajectoire est dirigée de la même manière que le mouvement du corps. Autrement dit, le vecteur déplacement coïncide en direction avec le vecteur vitesse. Dans ce cas, la vitesse moyenne pour une période de temps quelconque est égale à la vitesse instantanée :
Vitesse d'un mouvement rectiligne uniforme est une grandeur vectorielle physique égale au rapport du mouvement d'un corps sur une période de temps quelconque à la valeur de cet intervalle t :
V(vecteur) = s(vecteur) / t
Ainsi, la vitesse d’un mouvement rectiligne uniforme montre l’ampleur du mouvement effectué par un point matériel par unité de temps.
En mouvement avec un mouvement linéaire uniforme est déterminé par la formule :
s(vecteur) = V(vecteur) t
Distance parcourue en mouvement linéaire est égal au module de déplacement. Si la direction positive de l'axe OX coïncide avec la direction du mouvement, alors la projection de la vitesse sur l'axe OX est égale à la grandeur de la vitesse et est positive :
v x = v, c'est-à-dire v > 0
La projection du déplacement sur l'axe OX est égale à :
s = vt = x – x 0
où x 0 est la coordonnée initiale du corps, x est la coordonnée finale du corps (ou la coordonnée du corps à tout moment)
Équation du mouvement, c'est-à-dire la dépendance des coordonnées du corps au temps x = x(t), prend la forme :
Si la direction positive de l'axe OX est opposée à la direction du mouvement du corps, alors la projection de la vitesse du corps sur l'axe OX est négative, la vitesse est inférieure à zéro (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:
4. Mouvement également alterné.
Mouvement linéaire uniforme- Il s'agit d'un cas particulier de mouvement irrégulier.
Mouvement inégal- il s'agit d'un mouvement dans lequel un corps (point matériel) effectue des mouvements inégaux sur des périodes de temps égales. Par exemple, un bus urbain se déplace de manière inégale, puisque son mouvement consiste principalement en accélérations et décélérations.
Mouvement également alterné- il s'agit d'un mouvement dans lequel la vitesse d'un corps (point matériel) change de manière égale sur des périodes de temps égales.
Accélération d'un corps lors d'un mouvement uniforme reste constant en ampleur et en direction (a = const).
Un mouvement uniforme peut être uniformément accéléré ou uniformément ralenti.
Mouvement uniformément accéléré- c'est le mouvement d'un corps (point matériel) avec une accélération positive, c'est-à-dire qu'avec un tel mouvement le corps accélère avec une accélération constante. Dans le cas d’un mouvement uniformément accéléré, le module de vitesse du corps augmente avec le temps et la direction de l’accélération coïncide avec la direction de la vitesse de mouvement.
Ralenti égal- c'est le mouvement d'un corps (point matériel) avec une accélération négative, c'est-à-dire qu'avec un tel mouvement le corps ralentit uniformément. En mouvement uniformément lent, les vecteurs vitesse et accélération sont opposés et le module de vitesse diminue avec le temps.
En mécanique, tout mouvement rectiligne est accéléré, donc le mouvement lent ne diffère du mouvement accéléré que par le signe de la projection du vecteur accélération sur l'axe sélectionné du système de coordonnées.
Vitesse variable moyenne est déterminé en divisant le mouvement du corps par le temps pendant lequel ce mouvement a été effectué. L'unité de vitesse moyenne est le m/s.
Vitesse instantanée est la vitesse d'un corps (point matériel) à un instant donné ou en un point donné de la trajectoire, c'est-à-dire la limite vers laquelle tend la vitesse moyenne avec une diminution infinie de l'intervalle de temps Δt :
V=lim(^t-0) ^s/^t
Vecteur vitesse instantanée un mouvement uniformément alternatif peut être trouvé comme la dérivée première du vecteur déplacement par rapport au temps :
V(vecteur) = s’(vecteur)
Projection vectorielle de vitesse sur l'axe OX :
c'est la dérivée de la coordonnée par rapport au temps (les projections du vecteur vitesse sur d'autres axes de coordonnées sont obtenues de la même manière).
Accélération est une quantité qui détermine le taux de variation de la vitesse d'un corps, c'est-à-dire la limite vers laquelle tend le changement de vitesse avec une diminution infinie de la période de temps Δt :
a(vecteur) = lim(t-0) ^v(vecteur)/^t
Vecteur d'accélération d'un mouvement uniformément alterné peut être trouvé comme la dérivée première du vecteur vitesse par rapport au temps ou comme la dérivée seconde du vecteur déplacement par rapport au temps :
a(vecteur) = v(vecteur)" = s(vecteur)"
Considérant que 0 est la vitesse du corps à l'instant initial (vitesse initiale), est la vitesse du corps à un instant donné (vitesse finale), t est la période de temps pendant laquelle le changement de vitesse s'est produit , formule d'accélération sera la suivante :
a(vecteur) = v(vecteur)-v0(vecteur)/t
D'ici formule de vitesse uniformeà tout moment:
v(vecteur) = v 0 (vecteur) + a(vecteur)t
Si un corps se déplace de manière rectiligne le long de l'axe OX d'un système de coordonnées cartésiennes rectilignes, coïncidant avec la trajectoire du corps, alors la projection du vecteur vitesse sur cet axe est déterminée par la formule :
v x = v 0x ± a x t
Le signe « - » (moins) devant la projection du vecteur accélération fait référence à un mouvement uniformément lent. Les équations pour les projections du vecteur vitesse sur d'autres axes de coordonnées sont écrites de la même manière.
Puisque dans un mouvement uniforme l'accélération est constante (a = const), le graphique de l'accélération est une ligne droite parallèle à l'axe 0t (axe du temps, Fig. 1.15).
Riz. 1.15. Dépendance de l'accélération du corps au temps.
Dépendance de la vitesse au temps est une fonction linéaire dont le graphique est une ligne droite (Fig. 1.16).
Riz. 1.16. Dépendance de la vitesse du corps au temps.
Graphique vitesse/temps(Fig. 1.16) montre que
Dans ce cas, le déplacement est numériquement égal à l'aire de la figure 0abc (Fig. 1.16).
L'aire d'un trapèze est égale au produit de la moitié de la somme des longueurs de ses bases et de sa hauteur. Les bases du trapèze 0abc sont numériquement égales :
La hauteur du trapèze est t. Ainsi, l'aire du trapèze, et donc la projection du déplacement sur l'axe OX est égale à :
Dans le cas d'un mouvement uniformément lent, la projection d'accélération est négative et dans la formule de projection de déplacement, un signe « – » (moins) est placé avant l'accélération.
Formule générale pour déterminer la projection de déplacement :
Un graphique de la vitesse d'un corps en fonction du temps à diverses accélérations est présenté sur la figure. 1.17. Le graphique du déplacement en fonction du temps pour v0 = 0 est présenté sur la Fig. 1.18.
Riz. 1.17. Dépendance de la vitesse du corps en fonction du temps pour différentes valeurs d'accélération.
Riz. 1.18. Dépendance du mouvement du corps au temps.
La vitesse du corps à un instant donné t 1 est égale à la tangente de l'angle d'inclinaison entre la tangente au graphique et l'axe du temps v = tg α, et le déplacement est déterminé par la formule :
Si le temps de mouvement du corps est inconnu, vous pouvez utiliser une autre formule de déplacement en résolvant un système de deux équations :
Formule de multiplication abrégée de la différence carrée nous aidera à dériver la formule de projection du déplacement :
Puisque la coordonnée du corps à tout moment est déterminée par la somme de la coordonnée initiale et de la projection du déplacement, alors équation du mouvement du corps ressemblera à ceci :
Le graphe de la coordonnée x(t) est aussi une parabole (comme le graphe de déplacement), mais le sommet de la parabole dans le cas général ne coïncide pas avec l'origine. Quand un x< 0 и х 0 = 0 ветви параболы направлены вниз (рис. 1.18).
Trajectoire(du latin tardif trajectoires - liées au mouvement) est la ligne le long de laquelle un corps (point matériel) se déplace. La trajectoire du mouvement peut être droite (le corps se déplace dans une direction) et courbe, c'est-à-dire que le mouvement mécanique peut être rectiligne et curviligne.
Trajectoire en ligne droite dans ce système de coordonnées, c'est une ligne droite. Par exemple, on peut supposer que la trajectoire d’une voiture sur une route plate sans virages est droite.
Mouvement curviligne est le mouvement des corps dans un cercle, une ellipse, une parabole ou une hyperbole. Un exemple de mouvement curviligne est le mouvement d'un point sur la roue d'une voiture en mouvement ou le mouvement d'une voiture dans un virage.
Le mouvement peut être difficile. Par exemple, la trajectoire d’un corps au début de son voyage peut être rectiligne, puis courbe. Par exemple, au début du trajet, une voiture se déplace sur une route droite, puis la route commence à « s'enrouler » et la voiture commence à se déplacer dans une direction courbe.
Chemin
Chemin est la longueur de la trajectoire. Le chemin est une quantité scalaire et est mesuré en mètres (m) dans le système SI. Le calcul du chemin est effectué dans de nombreux problèmes de physique. Quelques exemples seront abordés plus loin dans ce didacticiel.
Déplacer le vecteur
Déplacer le vecteur(ou simplement en mouvement) est un segment de ligne droite dirigé reliant la position initiale du corps à sa position ultérieure (Fig. 1.1). Le déplacement est une quantité vectorielle. Le vecteur de déplacement est dirigé du point de départ du mouvement au point final.
Module vectoriel de mouvement(c'est-à-dire la longueur du segment qui relie les points de départ et d'arrivée du mouvement) peut être égale à la distance parcourue ou inférieure à la distance parcourue. Mais la grandeur du vecteur déplacement ne peut jamais être supérieure à la distance parcourue.
L'amplitude du vecteur déplacement est égale à la distance parcourue lorsque le chemin coïncide avec la trajectoire (voir sections et ), par exemple, si une voiture se déplace d'un point A à un point B le long d'une route droite. L'amplitude du vecteur déplacement est inférieure à la distance parcourue lorsqu'un point matériel se déplace le long d'un chemin courbe (Fig. 1.1).
Riz. 1.1. Vecteur de déplacement et distance parcourue.
En figue. 1.1 :
Un autre exemple. Si la voiture roule une fois en cercle, il s'avère que le point où le mouvement commence coïncidera avec le point où le mouvement se termine, puis le vecteur déplacement sera égal à zéro et la distance parcourue sera égale à la longueur du cercle. Ainsi, le chemin et le mouvement sont deux notions différentes.
Règle d'addition de vecteurs
Les vecteurs de déplacement sont additionnés géométriquement selon la règle d'addition vectorielle (règle du triangle ou règle du parallélogramme, voir Fig. 1.2).
Riz. 1.2. Ajout de vecteurs de déplacement.
La figure 1.2 montre les règles d'addition des vecteurs S1 et S2 :
a) Addition selon la règle du triangle
b) Addition selon la règle du parallélogramme
Projections de vecteurs de mouvement
Lors de la résolution de problèmes de physique, les projections du vecteur déplacement sur les axes de coordonnées sont souvent utilisées. Les projections du vecteur déplacement sur les axes de coordonnées peuvent être exprimées à travers les différences dans les coordonnées de sa fin et de son début. Par exemple, si un point matériel se déplace du point A au point B, alors le vecteur déplacement (voir Fig. 1.3).
Choisissons l'axe OX pour que le vecteur soit dans le même plan que cet axe. Abaissons les perpendiculaires des points A et B (à partir des points de départ et d'arrivée du vecteur déplacement) jusqu'à ce qu'elles coupent l'axe OX. Ainsi, nous obtenons les projections des points A et B sur l'axe X. Notons respectivement les projections des points A et B comme A x et B x. La longueur du segment A x B x sur l'axe OX est projection vectorielle de déplacement sur l'axe OX, c'est-à-dire
S x = A x B x
IMPORTANT!
Je vous rappelle pour ceux qui ne connaissent pas très bien les mathématiques : ne confondez pas un vecteur avec la projection d'un vecteur sur n'importe quel axe (par exemple, S x). Un vecteur est toujours indiqué par une ou plusieurs lettres, au-dessus desquelles se trouve une flèche. Dans certains documents électroniques, la flèche n'est pas placée, car cela peut entraîner des difficultés lors de la création d'un document électronique. Dans de tels cas, laissez-vous guider par le contenu de l'article, où le mot « vecteur » peut être écrit à côté de la lettre ou d'une autre manière, ils vous indiquent qu'il s'agit d'un vecteur, et pas seulement d'un segment.
Riz. 1.3. Projection du vecteur déplacement.
La projection du vecteur déplacement sur l'axe OX est égale à la différence entre les coordonnées de fin et de début du vecteur, soit
S x = x – x 0
Les projections du vecteur déplacement sur les axes OY et OZ sont déterminées et écrites de la même manière :
S y = y – y 0 S z = z – z 0
Ici x 0 , y 0 , z 0 sont les coordonnées initiales, ou les coordonnées de la position initiale du corps (point matériel) ; x, y, z - coordonnées finales ou coordonnées de la position ultérieure du corps (point matériel).
La projection du vecteur déplacement est considérée comme positive si la direction du vecteur et la direction de l'axe des coordonnées coïncident (comme sur la Fig. 1.3). Si la direction du vecteur et la direction de l'axe des coordonnées ne coïncident pas (opposées), alors la projection du vecteur est négative (Fig. 1.4).
Si le vecteur déplacement est parallèle à l'axe, alors le module de sa projection est égal au module du vecteur lui-même. Si le vecteur déplacement est perpendiculaire à l'axe, alors le module de sa projection est égal à zéro (Fig. 1.4).
Riz. 1.4. Modules de projection de vecteurs de mouvement.
La différence entre les valeurs ultérieures et initiales d'une certaine quantité est appelée la variation de cette quantité. C'est-à-dire que la projection du vecteur de déplacement sur l'axe des coordonnées est égale au changement de la coordonnée correspondante. Par exemple, dans le cas où le corps se déplace perpendiculairement à l'axe X (Fig. 1.4), il s'avère que le corps NE BOUGE PAS par rapport à l'axe X. Autrement dit, le mouvement du corps le long de l’axe X est nul.
Prenons un exemple de mouvement d'un corps dans un avion. La position initiale du corps est le point A de coordonnées x 0 et y 0, c'est-à-dire A(x 0, y 0). La position finale du corps est le point B de coordonnées x et y, c'est-à-dire B(x, y). Trouvons le module de déplacement du corps.
À partir des points A et B, nous abaissons les perpendiculaires aux axes de coordonnées OX et OY (Fig. 1.5).
Riz. 1.5. Mouvement d'un corps dans un avion.
Déterminons les projections du vecteur déplacement sur les axes OX et OY :
S x = x – x 0 S y = y – y 0
En figue. 1.5, il est clair que le triangle ABC est un triangle rectangle. Il s'ensuit que pour résoudre le problème, on peut utiliser théorème de Pythagore, avec lequel vous pouvez trouver le module du vecteur déplacement, puisque
AC = s x CB = s y
D'après le théorème de Pythagore
S 2 = S x 2 + S y 2
Où trouver le module du vecteur déplacement, c'est-à-dire la longueur du trajet du corps du point A au point B :
Et enfin, je vous propose de consolider vos connaissances et de calculer quelques exemples à votre discrétion. Pour ce faire, entrez quelques nombres dans les champs de coordonnées et cliquez sur le bouton CALCULER. Votre navigateur doit prendre en charge l'exécution de scripts JavaScript et l'exécution de scripts doit être activée dans les paramètres de votre navigateur, sinon le calcul ne sera pas effectué. Dans les nombres réels, les parties entières et fractionnaires doivent être séparées par un point, par exemple 10,5.
Comment, connaissant la distance de freinage, déterminer la vitesse initiale de la voiture et comment, connaissant les caractéristiques du mouvement, telles que la vitesse initiale, l'accélération, le temps, déterminer le mouvement de la voiture ? Nous obtiendrons les réponses après avoir pris connaissance du sujet de la leçon d'aujourd'hui : « Mouvement lors d'un mouvement uniformément accéléré, dépendance des coordonnées au temps lors d'un mouvement uniformément accéléré »
Avec un mouvement uniformément accéléré, le graphique ressemble à une ligne droite montant, puisque sa projection d’accélération est supérieure à zéro.
Avec un mouvement rectiligne uniforme, l'aire sera numériquement égale au module de projection du mouvement du corps. Il s'avère que ce fait peut être généralisé non seulement au cas d'un mouvement uniforme, mais également à tout mouvement, c'est-à-dire qu'il peut être montré que l'aire sous le graphique est numériquement égale au module de la projection de déplacement. Cela se fait strictement mathématiquement, mais nous utiliserons une méthode graphique.
Riz. 2. Graphique de la vitesse en fonction du temps pour un mouvement uniformément accéléré ()
Divisons le graphique de la projection de la vitesse en fonction du temps pour un mouvement uniformément accéléré en petits intervalles de temps Δt. Supposons qu'ils soient si petits que la vitesse n'a pratiquement pas changé sur leur longueur, c'est-à-dire que nous transformerons conditionnellement le graphique de la dépendance linéaire dans la figure en une échelle. A chaque étape, nous pensons que la vitesse n'a pratiquement pas changé. Imaginons que nous rendions les intervalles de temps Δt infinitésimaux. En mathématiques, on dit : on fait le passage à la limite. Dans ce cas, l'aire d'une telle échelle coïncidera indéfiniment étroitement avec l'aire du trapèze, qui est limitée par le graphique V x (t). Cela signifie que dans le cas d'un mouvement uniformément accéléré on peut dire que le module de la projection du déplacement est numériquement égal à l'aire limitée par le graphe V x (t) : les axes des abscisses et des ordonnées et la perpendiculaire abaissée à l'abscisse, c'est-à-dire c'est-à-dire l'aire du trapèze OABC que nous voyons sur la figure 2.
Le problème passe d'un problème physique à un problème mathématique : trouver l'aire d'un trapèze. Il s'agit d'une situation standard lorsque les physiciens créent un modèle qui décrit un phénomène particulier, puis les mathématiques entrent en jeu, enrichissant ce modèle d'équations, de lois - quelque chose qui transforme le modèle en théorie.
On retrouve l'aire du trapèze : le trapèze est rectangulaire, puisque l'angle entre les axes est de 90 0, on divise le trapèze en deux figures - un rectangle et un triangle. Évidemment, la superficie totale sera égale à la somme des superficies de ces figures (Fig. 3). Trouvons leurs aires : l'aire du rectangle est égale au produit des côtés, c'est-à-dire V 0x t, l'aire du triangle rectangle sera égale à la moitié du produit des jambes - 1/2AD BD, en substituant les valeurs des projections, on obtient : 1/2t (V x - V 0x), et, en se rappelant la loi des changements de vitesse dans le temps lors d'un mouvement uniformément accéléré : V x (t) = V 0x + a x t, il est bien évident que la différence entre les projections de vitesse est égale au produit de la projection d'accélération a x par le temps t, c'est-à-dire V x - V 0x = a x t.
Riz. 3. Détermination de l'aire du trapèze ( Source)
Compte tenu du fait que l'aire du trapèze est numériquement égale au module de la projection de déplacement, on obtient :
S x(t) = V 0 x t + a x t 2 /2
Nous avons obtenu la loi de dépendance de la projection du déplacement au temps lors d'un mouvement uniformément accéléré sous forme scalaire sous forme vectorielle, elle ressemblera à ceci :
(t) = t + t 2 / 2
Dérivons une autre formule pour la projection de déplacement, qui n'inclura pas le temps comme variable. Résolvons le système d'équations en éliminant le temps :
S x (t) = V 0 x + a x t 2 /2
V x (t) = V 0 x + a x t
Imaginons que le temps nous soit inconnu, alors nous exprimerons le temps à partir de la deuxième équation :
t = V x - V 0x / a x
Remplaçons la valeur résultante dans la première équation :
Prenons cette expression encombrante, mettons-la au carré et donnons-en des similaires :
Nous avons obtenu une expression très pratique pour la projection du mouvement dans le cas où l’on ne connaît pas l’heure du mouvement.
Soit la vitesse initiale de la voiture, au début du freinage, V 0 = 72 km/h, la vitesse finale V = 0, l'accélération a = 4 m/s 2 . Découvrez la longueur de la distance de freinage. En convertissant les kilomètres en mètres et en remplaçant les valeurs dans la formule, nous constatons que la distance de freinage sera :
S x = 0 - 400(m/s) 2 / -2 · 4 m/s 2 = 50 m
Analysons la formule suivante :
S x = (V 0 x + V x) / 2 t
La projection de déplacement est la demi-somme des projections des vitesses initiale et finale, multipliée par le temps de mouvement. Rappelons la formule de déplacement pour la vitesse moyenne
S x = V av · t
Dans le cas d’un mouvement uniformément accéléré, la vitesse moyenne sera :
Vav = (V0 + Vk) / 2
Nous sommes sur le point de résoudre le problème principal de la mécanique du mouvement uniformément accéléré, c'est-à-dire l'obtention de la loi selon laquelle la coordonnée change avec le temps :
x(t) = x 0 + V 0 x t + a x t 2 /2
Afin d'apprendre à utiliser cette loi, analysons un problème typique.
Une voiture quittant l'arrêt acquiert une accélération de 2 m/s 2 . Trouvez la distance parcourue par la voiture en 3 secondes et en une troisième seconde.
Étant donné : V 0 x = 0
Écrivons la loi selon laquelle le déplacement change avec le temps à
mouvement uniformément accéléré : S x = V 0 x t + a x t 2 /2. 2 s< Δt 2 < 3.
Nous pouvons répondre à la première question du problème en branchant les données :
t 1 = 3 c S 1x = a x t 2 /2 = 2 3 2 / 2 = 9 (m) - c'est le chemin parcouru
c voiture en 3 secondes.
Voyons quelle distance il a parcourue en 2 secondes :
S x (2 s) = a x t 2 /2 = 2 2 2 / 2 = 4 (m)
Donc, vous et moi savons qu'en deux secondes, la voiture a parcouru 4 mètres.
Maintenant, connaissant ces deux distances, nous pouvons retrouver le chemin qu'il a parcouru dans la troisième seconde :
S 2x = S 1x + S x (2 s) = 9 - 4 = 5 (m)
Dans les manuels et les supports pédagogiques (par exemple), une formule est dérivée pour la projection d'un mouvement rectiligne uniformément accéléré (RUM) en utilisant un exemple particulier de graphique de vitesse lorsque la projection de la vitesse initiale v x> 0 et accélération un x> 0, et la direction de l'axe X coïncide avec la direction du mouvement. Dans ce cas, l'ampleur de la projection de déplacement est considérée comme égale à l'aire du trapèze. Cependant, il n'est pas tenu compte du fait que, par exemple, lorsque v x> 0 et un x < 0 получается не трапеция, а два треугольника, расположенных по разные стороны оси времени.
Les formules obtenues pour la projection du déplacement lors du PRUD ne sont pas transformées sous forme vectorielle. Apparemment, les auteurs comprennent que cela conduira à des formules valables pour n'importe quel levier de poussée (pas nécessairement en ligne droite). Lier la dérivation de la formule de déplacement au propulseur conduit au fait que lors de l'analyse du propulseur avec une vitesse initiale qui n'est pas colinéaire à l'accélération, il faut à chaque fois décomposer le mouvement en uniforme et rectiligne uniformément accéléré (par exemple, lors de l'analyse du mouvement curviligne d'un corps sous l'influence de la gravité, le mouvement curviligne d'une charge dans un champ électrique homogène).
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Pour éviter cela, nous proposons de dériver une formule vectorielle valable pour un mouvement avec n'importe quel papillon (pas seulement en ligne droite). Laissez le corps effectuer un mouvement uniformément accéléré avec une vitesse initiale υ 0 et accélération un . Ce mouvement peut être considéré comme consistant en un mouvement uniforme avec une vitesse υ 0 et mouvement uniformément accéléré avec vitesse initiale υ 0 = 0 et accélération un .
En mouvement s avec un mouvement uniforme dans le temps téquivaut à υ 0 t. Le mouvement à la commande des gaz avec une vitesse initiale nulle ne peut évidemment dépendre que de l'accélération un et le temps t, c'est à dire. est une fonction F( un,t). Ainsi, pour la somme de ces deux mouvements, on peut écrire :
s = υ 0 t + F( un,t). (1)
Pendant t le corps atteindra la vitesse υ = υ 0 + un t.
Pour définir une fonction F( un,t), supposons que le mouvement soit filmé et montré dans l’ordre inverse. Dans ce cas, l'image corporelle en même temps t et avec la même accélération un fera un geste s arr = – s avec vitesse initiale υ arr = – υ = –(υ 0 + un t).
Exemple de formule (1) : s arr = υ arr. t + F( un,t), et en tenant compte des expressions pour s arr. υ arrivée :
–s = –(υ 0 + un t)t + F( un,t) ⇒ s = υ 0 t + un t 2 – F( un,t). (2)
Égalisons les membres droits des expressions (1) et (2) pour la même quantité s : υ 0 t + F( un,t) =υ 0 t + un t 2 – F( un,t).
En résolvant cette équation, on obtient F( un,t)= à 2 /2.
Maintenant, la formule (1) pour un mouvement uniformément accéléré peut s'écrire comme suit : s = υ 0 t + un t 2 /2.
Littérature
- Kikoin I.K., Kikoin A.K. Physique-9. – M. : Éducation, 1999.
- Kabardine O.F. La physique. – M. : AST-Ecole de Presse, 2009.
