Dans l'école de type VIII, les élèves sont initiés aux transformations de fractions suivantes : exprimer des fractions en fractions plus grandes (6e), exprimer une fraction impropre sous la forme d'un nombre entier ou fractionnaire (6e), exprimer des fractions en fractions semblables (7e) , exprimant un nombre fractionnaire sous forme de fraction impropre (7e année).

Exprimer une fraction impropre avec un toutou numéro mixte

I L'étude de ce matériel doit commencer par la tâche : prendre 2 cercles cousus et diviser chacun d'eux en 4 parts égales, compter le nombre de quatrièmes parts (Fig. 25). Ensuite, il est proposé d'écrire cette quantité sous forme de fraction (t). Ensuite, les quatrièmes parties sont ajoutées les unes aux autres et les élèves sont convaincus que le résultat est.

1er cercle. Ainsi, -t= 1 . Aux quatre quarts il ajoute successivement un autre -T, et les élèves écrivent : t=1, -7=1 6 2 7 3 8 9

L'enseignant attire l'attention des élèves sur le fait que dans tous les cas considérés, ils ont pris une fraction impropre et, à la suite de la transformation, ils ont reçu soit un nombre entier, soit un nombre fractionnaire, c'est-à-dire qu'ils ont exprimé la fraction impropre dans son ensemble. ou numéro mixte. Ensuite, nous devons nous efforcer de garantir que les élèves déterminent de manière indépendante par quelle opération arithmétique cette transformation peut être effectuée. Des exemples frappants menant à la réponse.

4 . 8 0 5 .1 7 .3 „ L

à la question sont : -2-=! et t = 2,4" = 1t et t T " YV °D : à

Pour exprimer une fraction impropre sous la forme d'un nombre entier ou fractionnaire, vous devez diviser le numérateur de la fraction par le dénominateur, écrire le quotient sous forme d'entier, écrire le reste au numérateur et laisser le dénominateur inchangé. La règle étant lourde, il n’est pas du tout nécessaire que les élèves l’apprennent par cœur. Ils doivent être capables de communiquer de manière cohérente les étapes impliquées dans la réalisation d’une transformation donnée.

Avant d'initier les élèves à l'expression d'une fraction impropre avec un nombre entier ou fractionnaire, il convient de revoir avec eux la division d'un nombre entier par un nombre entier avec un reste.

La consolidation d'une nouvelle transformation pour les étudiants est facilitée par la résolution de problèmes d'ordre pratique, par exemple :

« Il y a neuf quartiers d’orange dans un vase. Skol| Peut-on fabriquer des oranges entières à partir de ces parties ? Combien de quartiers restera-t-il ?

« Pour fabriquer des couvercles de boîtes, chaque feuille de carton

35 est découpé en 16 parts égales. A obtenu -^. Combien sont intacts !

as-tu coupé les feuilles de carton ? Combien de seizièmes représente la coupe ! du morceau suivant ? Etc.

Exprimer des nombres entiers et des nombres fractionnairesfraction impropre

L’initiation des élèves à cette nouvelle transformation doit être précédée de la résolution de problèmes, par exemple :

« 2 morceaux de tissu de longueur égale, en forme de carré. > couper en 4 parts égales. Une écharpe a été cousue à partir de chacune de ces parties. Combien de foulards avez-vous reçu ? J'enregistre : 2= - 1 4^-, 2= -% ]

as-tu eu le vin ? Notez : il y avait 1 * cercle, maintenant il y a * cercle, ce qui signifie

Ainsi, sur la base d’une base visuelle et pratique, nous considérons un certain nombre d’exemples supplémentaires. Dans les exemples considérés, les élèves sont invités à comparer le nombre original (mixte ou entier) et le nombre obtenu après transformation (une fraction impropre).

Pour initier les élèves à la règle d'expression d'un nombre entier et d'un nombre fractionnaire sous forme de fraction impropre, il faut attirer leur attention sur la comparaison des dénominateurs du nombre fractionnaire et de la fraction impropre, ainsi que sur la façon dont le numérateur est obtenu, par exemple :

1 2"=?, 1 = 2", et aussi ^, total ^ 3 ^=?, 3=-^-, et aussi ^, total

sera -^-. En conséquence, la règle est formulée : pour qu'un nombre mixte

pour l'exprimer sous forme de fraction impropre, vous devez multiplier le dénominateur par un nombre entier, ajouter le numérateur au produit et écrire la somme comme numérateur, en laissant le dénominateur inchangé.

Tout d'abord, vous devez entraîner les étudiants à exprimer un nombre impropre, puis tout autre nombre entier indiquant le dénominateur, et ensuite seulement un nombre fractionnaire :

La propriété principale d'une fraction 1

[le concept de l'immuabilité d'une fraction en augmentant

1 réduction de ses membres, c'est-à-dire le numérateur et le dénominateur, sera maîtrisée par les élèves de l'école de type VIII avec beaucoup de difficulté. Cette compréhension doit être introduite à l'aide de matériel visuel et didactique,

« et il est important que les étudiants non seulement observent les activités de l'enseignant, mais travaillent également activement avec le matériel didactique et, sur la base d'observations et d'activités pratiques, parviennent à certaines conclusions et généralisations.

Par exemple, l'enseignant prend un navet entier, le divise en 2 parties égales et demande : « Qu'avez-vous obtenu en divisant un navet entier ?

à moitié? (2 moitiés.) Montrer * les navets. Coupons (divisons)

la moitié du navet en 2 parties plus égales. Qu'obtiendrons-nous ? -y. Écrivons :

tt=-t- Comparons les numérateurs et les dénominateurs de ces fractions. À quelle heure

le numérateur a-t-il augmenté fois ? Combien de fois le dénominateur a-t-il augmenté ? Combien de fois le numérateur et le dénominateur ont-ils augmenté ? La fraction a-t-elle changé ? Pourquoi n’a-t-il pas changé ? Comment les actions sont-elles devenues : plus grandes ou plus petites ? Le nombre a-t-il augmenté ou diminué

Ensuite, tous les élèves divisent le cercle en 2 parties égales, chaque moitié est divisée en 2 parties plus égales, chaque quart en un autre

2 parties égales, etc. et notez : « o^A^tr^tgg et m - L- Ensuite, ils établissent combien de fois le numérateur et le dénominateur de la fraction ont augmenté, si la fraction a changé. Puis dessinez un segment et. divisez-le séquentiellement par 3 , 6, 12 parties égales et écrivez :

1 21 4 En comparant les fractions -^ et -^, -^ et -^, on constate que

Le numérateur et le dénominateur de la fraction tg augmentent du même nombre de fois, la fraction ne change pas.

Après avoir examiné plusieurs exemples, il convient de demander aux élèves de répondre à la question : « La fraction changera-t-elle si le numérateur ? Certaines connaissances sur le thème « Fractions ordinaires » sont exclues des programmes de mathématiques dans les écoles correctionnelles de type VIII, mais elles sont communiquées. aux élèves des écoles pour enfants présentant un retard mental, dans des classes de mise à niveau pour les enfants ayant des difficultés à apprendre les mathématiques. Dans ce manuel, il y a des paragraphes où la méthodologie pour étudier ce matériel est donnée,

sont signalés par un astérisque (*).

Des exemples similaires sont donnés lorsqu'on envisage de diminuer le numérateur et le dénominateur du même nombre de fois (les numérateurs et le dénominateur sont divisés par le même nombre). Par exemple, cr>"

( 4 \ divisé en 8 parties égales, prenons 4 huitièmes du cercle I -o- ]

Après avoir agrandi les parts, ils prennent les quatrièmes, il y en aura 2. En agrandissant les parts.

4 2 1 prend la deuxième. Il y en aura 1 : ~ème = -d--%- Comparez le suiveur ! I

numérateurs et dénominateurs de ces fractions, répondant aux questions : « Dans<>Combien de fois le numérateur et le dénominateur diminuent-ils ?

La fraction va-t-elle changer ?

Un bon guide est constitué de rayures divisées en 12, 6, 3 parties égales (Fig. 26).

N

A partir des exemples considérés, les élèves peuvent conclure : la fraction ne changera pas si le numérateur et le dénominateur de la fraction sont divisés par le même nombre (réduit du même nombre de fois). Ensuite, une conclusion généralisée est donnée - la propriété principale d'une fraction : la fraction ne changera pas si le numérateur et le dénominateur de la fraction sont augmentés ou diminués du même nombre de fois.

Fractions
Attention!
Il y a des supplémentaires
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)

Les fractions ne sont pas vraiment une nuisance au lycée. Pour le moment. Jusqu'à ce que vous rencontriez des puissances avec des exposants rationnels et des logarithmes. Et là... Vous appuyez et appuyez sur la calculatrice, et elle affiche un affichage complet de certains nombres. Il faut penser avec sa tête comme en troisième année.

Trouvons enfin les fractions ! Eh bien, à quel point pouvez-vous vous y perdre !? De plus, tout est simple et logique. Donc, quels sont les types de fractions ?

Types de fractions. Transformations.

Il existe trois types de fractions.

1. Fractions communes , Par exemple:

Parfois, au lieu d'une ligne horizontale, ils mettent une barre oblique : 1/2, 3/4, 19/5, enfin, et ainsi de suite. Ici, nous utiliserons souvent cette orthographe. Le numéro du haut est appelé numérateur, inférieur - dénominateur. Si vous confondez constamment ces noms (ça arrive...), dites-vous la phrase : " Zzzzz souviens-toi! Zzzzz dénominateur - regarde zzzzz euh!" Écoutez, tout sera rappelé zzzz.)

Le tiret, qu'il soit horizontal ou incliné, signifie division le nombre du haut (numérateur) vers le bas (dénominateur). C'est tout! Au lieu d'un tiret, il est tout à fait possible de mettre un signe de division - deux points.

Lorsqu’une division complète est possible, cela doit être fait. Ainsi, au lieu de la fraction « 32/8 », il est bien plus agréable d'écrire le chiffre « 4 ». Ceux. 32 est simplement divisé par 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Je ne parle même pas de la fraction « 4/1 ». Ce qui est aussi juste "4". Et si ce n’est pas complètement divisible, on le laisse sous forme de fraction. Parfois il faut faire l’opération inverse. Convertissez un nombre entier en fraction. Mais plus là-dessus plus tard.

2. Décimales , Par exemple:

C'est sous cette forme que vous devrez noter les réponses aux tâches « B ».

3. Numéros mixtes , Par exemple:

Les nombres mixtes ne sont pratiquement pas utilisés au lycée. Pour pouvoir travailler avec eux, ils doivent être convertis en fractions ordinaires. Mais il faut absolument être capable de le faire ! Sinon, vous rencontrerez un tel numéro dans un problème et vous vous figerez... Sorti de nulle part. Mais on retiendra cette procédure ! Un peu plus bas.

Le plus polyvalent fractions communes. Commençons par eux. D'ailleurs, si une fraction contient toutes sortes de logarithmes, sinus et autres lettres, cela ne change rien. Dans le sens où tout les actions avec des expressions fractionnaires ne sont pas différentes des actions avec des fractions ordinaires!

La propriété principale d'une fraction.

Alors allons-y! Pour commencer, je vais vous surprendre. Toute la variété des transformations de fractions est assurée par une seule propriété ! C'est comme ça que ça s'appelle propriété principale d'une fraction. Souviens-toi: Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont multipliés (divisés) par le même nombre, la fraction ne change pas. Ceux:

Il est clair que vous pouvez continuer à écrire jusqu’à ce que vous ayez le visage bleu. Ne vous laissez pas dérouter par les sinus et les logarithmes, nous y reviendrons plus loin. L'essentiel est de comprendre que toutes ces diverses expressions sont la même fraction . 2/3.

En avons-nous besoin, toutes ces transformations ? Et comment! Maintenant, vous verrez par vous-même. Pour commencer, utilisons la propriété de base d'une fraction pour fractions réductrices. Cela semblerait être une chose élémentaire. Divisez le numérateur et le dénominateur par le même nombre et c'est tout ! Il est impossible de se tromper ! Mais... l'homme est un être créateur. Vous pouvez faire une erreur n’importe où ! Surtout si vous devez réduire non pas une fraction comme 5/10, mais une expression fractionnaire avec toutes sortes de lettres.

Comment réduire correctement et rapidement des fractions sans effectuer de travail supplémentaire peut être lu dans la section spéciale 555.

Un étudiant normal ne prend pas la peine de diviser le numérateur et le dénominateur par le même nombre (ou expression) ! Il raye simplement tout ce qui est pareil en haut et en bas ! C’est là que se cache une erreur typique, une bévue, si vous préférez.

Par exemple, vous devez simplifier l'expression :

Il n’y a rien à penser ici, rayez la lettre « a » en haut et le « 2 » en bas ! On a:

Tout est correct. Mais en réalité tu es divisé tous numérateur et tous le dénominateur est "a". Si vous avez l'habitude de simplement rayer, vous pouvez rapidement rayer le « a » dans l'expression

et récupère-le à nouveau

Ce qui serait catégoriquement faux. Parce qu'ici tous le numérateur sur "a" est déjà non partagé! Cette fraction ne peut pas être réduite. D'ailleurs, une telle réduction est, euh... un sérieux défi pour l'enseignant. Ce n'est pas pardonné ! Vous souvenez-vous? Lors de la réduction, vous devez diviser tous numérateur et tous dénominateur!

Réduire les fractions rend la vie beaucoup plus facile. Vous obtiendrez une fraction quelque part, par exemple 375/1000. Comment puis-je continuer à travailler avec elle maintenant ? Sans calculatrice ? Multipliez, disons, additionnez, mettez au carré !? Et si vous n'êtes pas trop paresseux, et réduisez-le soigneusement de cinq, et de cinq encore, et même... pendant qu'on le raccourcit, bref. Prenons 3/8 ! Beaucoup plus sympa, non ?

La propriété principale d'une fraction vous permet de convertir des fractions ordinaires en décimales et vice versa sans calculatrice! C'est important pour l'examen d'État unifié, n'est-ce pas ?

Comment convertir des fractions d'un type à un autre.

Avec les fractions décimales, tout est simple. Comme on l’entend, ainsi c’est écrit ! Disons 0,25. C'est zéro virgule vingt-cinq centièmes. On écrit donc : 25/100. On réduit (on divise le numérateur et le dénominateur par 25), on obtient la fraction habituelle : 1/4. Tous. Cela arrive et rien n'est réduit. Comme 0,3. C'est trois dixièmes, c'est-à-dire 3/10.

Et si les entiers ne sont pas nuls ? C'est bon. Nous écrivons la fraction entière sans aucune virgule au numérateur et au dénominateur - ce qui est entendu. Par exemple : 3.17. C'est trois virgule dix-sept centièmes. On écrit 317 au numérateur et 100 au dénominateur. On obtient 317/100. Rien n'est réduit, cela veut dire tout. C'est la réponse. Watson élémentaire ! De tout ce qui a été dit, une conclusion utile : n'importe quelle fraction décimale peut être convertie en une fraction commune .

Mais certaines personnes ne peuvent pas effectuer la conversion inverse de l’ordinaire en décimal sans calculatrice. Et c'est nécessaire ! Comment allez-vous écrire la réponse à l'examen d'État unifié !? Lisez attentivement et maîtrisez ce processus.

Quelle est la caractéristique d’une fraction décimale ? Son dénominateur est Toujours coûte 10, ou 100, ou 1000, ou 10000 et ainsi de suite. Si votre fraction commune a un dénominateur comme celui-ci, il n'y a pas de problème. Par exemple, 4/10 = 0,4. Ou 7/100 = 0,07. Ou 12/10 = 1,2. Et si la réponse à la tâche de la section « B » s'avérait être 1/2 ? Qu’écrirons-nous en réponse ? Les décimales sont obligatoires...

Souvenons-nous propriété principale d'une fraction ! Les mathématiques vous permettent avantageusement de multiplier le numérateur et le dénominateur par le même nombre. N'importe quoi, d'ailleurs ! Sauf zéro, bien sûr. Alors utilisons cette propriété à notre avantage ! Par quoi le dénominateur peut-il être multiplié, c'est-à-dire 2 pour que ça devienne 10, ou 100, ou 1000 (plus petit c'est mieux, bien sûr...) ? A 5 heures, évidemment. N'hésitez pas à multiplier le dénominateur (c'est nous nécessaire) par 5. Mais alors le numérateur doit également être multiplié par 5. C'est déjà mathématiques demandes! Nous obtenons 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. C'est tout.

Cependant, toutes sortes de dénominateurs apparaissent. Vous rencontrerez par exemple la fraction 3/16. Essayez de trouver par quoi multiplier 16 pour obtenir 100 ou 1000... Ça ne marche pas ? Ensuite, vous pourrez simplement diviser 3 par 16. En l’absence de calculatrice, vous devrez diviser avec un coin, sur une feuille de papier, comme on l’enseignait à l’école primaire. Nous obtenons 0,1875.

Et il y a aussi de très mauvais dénominateurs. Par exemple, il n’existe aucun moyen de transformer la fraction 1/3 en une bonne décimale. À la fois sur la calculatrice et sur une feuille de papier, nous obtenons 0,3333333... Cela signifie que 1/3 est une fraction décimale exacte ne traduit pas. Identique à 1/7, 5/6 et ainsi de suite. Il y en a beaucoup, intraduisibles. Cela nous amène à une autre conclusion utile. Toutes les fractions ne peuvent pas être converties en nombre décimal !

Soit dit en passant, ce sont des informations utiles pour l’auto-test. Dans la section « B », vous devez écrire une fraction décimale dans votre réponse. Et vous avez, par exemple, 4/3. Cette fraction n'est pas convertie en décimale. Cela signifie que vous avez fait une erreur quelque part en cours de route ! Revenez en arrière et vérifiez la solution.

Nous avons donc compris les fractions ordinaires et décimales. Reste à traiter des nombres mixtes. Pour travailler avec eux, ils doivent être convertis en fractions ordinaires. Comment faire? Vous pouvez attraper un élève de sixième et lui demander. Mais un élève de sixième ne sera pas toujours à portée de main... Vous devrez le faire vous-même. Ce n'est pas difficile. Vous devez multiplier le dénominateur de la partie fractionnaire par la partie entière et ajouter le numérateur de la partie fractionnaire. Ce sera le numérateur de la fraction commune. Et le dénominateur ? Le dénominateur restera le même. Cela semble compliqué, mais en réalité tout est simple. Regardons un exemple.

Supposons que vous soyez horrifié de voir le numéro dans le problème :

Calmement, sans panique, réfléchissons-nous. La partie entière est 1. Unité. La partie fractionnaire est 3/7. Le dénominateur de la partie fractionnaire est donc 7. Ce dénominateur sera le dénominateur de la fraction ordinaire. On compte le numérateur. On multiplie 7 par 1 (la partie entière) et on ajoute 3 (le numérateur de la partie fractionnaire). Nous obtenons 10. Ce sera le numérateur d'une fraction commune. C'est tout. Cela semble encore plus simple en notation mathématique :

Est-ce clair? Alors assurez votre succès ! Convertissez en fractions ordinaires. Vous devriez obtenir 10/7, 7/2, 23/10 et 21/4.

L’opération inverse – convertir une fraction impropre en nombre fractionnaire – est rarement requise au lycée. Eh bien, si c'est le cas... Et si vous n'êtes pas au lycée, vous pouvez consulter l'article spécial 555. À propos, vous y découvrirez également les fractions impropres.

Eh bien, c'est pratiquement tout. Vous vous êtes souvenu des types de fractions et avez compris Comment les transférer d'un type à un autre. La question demeure : Pour quoi fais-le? Où et quand appliquer ces connaissances approfondies ?

Je réponds. Tout exemple lui-même suggère les actions nécessaires. Si dans l’exemple des fractions ordinaires, des décimales et même des nombres fractionnaires sont mélangés, nous convertissons le tout en fractions ordinaires. Cela peut toujours être fait. Eh bien, si cela dit quelque chose comme 0,8 + 0,3, alors nous le comptons de cette façon, sans aucune traduction. Pourquoi avons-nous besoin de travail supplémentaire ? Nous choisissons la solution qui vous convient nous !

Si la tâche est uniquement composée de fractions décimales, mais euh... des sortes de fractions maléfiques, allez aux fractions ordinaires, essayez-la ! Écoute, tout s'arrangera. Par exemple, vous devrez mettre au carré le nombre 0,125. Ce n’est pas si simple si on n’a pas l’habitude d’utiliser une calculatrice ! Non seulement il faut multiplier les nombres dans une colonne, mais il faut aussi réfléchir à l'endroit où insérer la virgule ! Cela ne fonctionnera certainement pas dans votre tête ! Et si on passait à une fraction ordinaire ?

0,125 = 125/1000. On le réduit de 5 (c'est pour commencer). Nous obtenons 25/200. Encore une fois à 5 heures. Nous obtenons 5/40. Oh, ça rétrécit encore ! Retour à 5 ! Nous obtenons 1/8. Nous pouvons facilement le mettre au carré (dans notre esprit !) et obtenir 1/64. Tous!

Résumons cette leçon.

1. Il existe trois types de fractions. Nombres communs, décimaux et mixtes.

2. Décimaux et nombres fractionnaires Toujours peut être converti en fractions ordinaires. Transfert inversé pas toujours disponible.

3. Le choix du type de fractions à utiliser avec une tâche dépend de la tâche elle-même. S'il existe différents types de fractions dans une tâche, le plus fiable est de passer aux fractions ordinaires.

Vous pouvez maintenant vous entraîner. Tout d’abord, convertissez ces fractions décimales en fractions ordinaires :

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Vous devriez obtenir des réponses comme celle-ci (dans le désordre !) :

Finissons ici. Dans cette leçon, nous avons rafraîchi notre mémoire sur les points clés concernant les fractions. Il arrive cependant qu'il n'y ait rien de particulier à rafraîchir...) Si quelqu'un l'a complètement oublié, ou ne l'a pas encore maîtrisé... Alors vous pouvez vous rendre dans une section spéciale 555. Toutes les bases y sont abordées en détail. Beaucoup soudainement comprend tout commencent. Et ils résolvent des fractions à la volée).

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Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

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Cet article fournit un aperçu général de la conversion d'expressions contenant des fractions. Nous examinerons ici les transformations de base typiques des expressions avec des fractions.

Navigation dans les pages.

Expressions avec fractions et expressions fractionnaires

Tout d’abord, clarifions le type de transformation d’expression que nous allons traiter.

Le titre de l’article contient la phrase explicite « expressions avec des fractions" Autrement dit, nous parlerons ci-dessous de la conversion d'expressions numériques et d'expressions avec des variables contenant au moins une fraction.

Notons tout de suite qu'après la publication de l'article « Conversion de fractions : une vue générale » nous ne nous intéressons plus aux fractions individuelles. Ainsi, nous considérerons plus loin les sommes, les différences, les produits, les expressions partielles et plus complexes avec des racines, des puissances, des logarithmes, qui ne sont unis que par la présence d'au moins une fraction.

Et faisons également une réservation sur expressions fractionnaires. Ce ne sont pas les mêmes expressions que les expressions avec des fractions. Les expressions avec des fractions sont un concept plus général. Toutes les expressions avec des fractions ne sont pas des expressions fractionnaires. Par exemple, l'expression n'est pas une expression fractionnaire, même si elle contient une fraction, c'est une expression rationnelle entière. Vous ne devriez donc pas appeler une expression avec des fractions une expression de fraction sans être complètement sûr qu'elle en est une.

Transformations d'identité de base des expressions avec des fractions

Exemple.

Simplifier l'expression .

Solution.

Dans ce cas, vous pouvez ouvrir les parenthèses, ce qui donne l'expression , qui contient des termes similaires et , ainsi que −3 et 3 . Après les avoir rassemblés, nous obtenons la fraction.

Montrons une courte forme d'écriture de la solution :

Répondre:

.

Travailler avec des fractions individuelles

Les expressions dont nous parlons de conversion diffèrent des autres expressions principalement par la présence de fractions. Et la présence de fractions nécessite des outils pour travailler avec elles. Dans ce paragraphe, nous discuterons de la transformation des fractions individuelles incluses dans la notation d'une expression donnée, et dans le paragraphe suivant, nous passerons à l'exécution d'actions avec des fractions qui composent l'expression originale.

Avec n'importe quelle fraction faisant partie intégrante de l'expression originale, vous pouvez effectuer n'importe laquelle des transformations indiquées dans l'article sur la conversion des fractions. Autrement dit, vous pouvez prendre une fraction distincte, travailler avec son numérateur et son dénominateur, la réduire, la réduire à un nouveau dénominateur, etc. Il est clair qu'avec cette transformation, la fraction sélectionnée sera remplacée par une fraction identiquement égale, et l'expression originale sera remplacée par une expression identiquement égale. Regardons un exemple.

Exemple.

Convertir une expression avec une fraction à une forme plus simple.

Solution.

Commençons la transformation en travaillant avec la fraction. Tout d’abord, ouvrons les parenthèses et présentons des termes similaires au numérateur de la fraction : . Il convient maintenant de retirer entre parenthèses le facteur commun x au numérateur et la réduction ultérieure de la fraction algébrique : . Il ne reste plus qu'à substituer le résultat obtenu à la place de la fraction dans l'expression originale, ce qui donne .

Répondre:

.

Faire des choses avec des fractions

Une partie du processus de conversion d'expressions fractionnaires implique souvent de faire opérations avec des fractions. Elles sont réalisées conformément à l'ordre des actions accepté. Il convient également de garder à l’esprit que tout nombre ou expression peut toujours être exprimé sous forme de fraction avec un dénominateur de 1.

Exemple.

Simplifier l'expression .

Solution.

La solution au problème peut être abordée sous différents angles. Dans le cadre du sujet abordé, nous procéderons en effectuant des opérations avec des fractions. Commençons par multiplier des fractions :

Nous allons maintenant écrire le produit sous la forme d'une fraction avec un dénominateur 1, après quoi nous soustrairons les fractions :

Si vous le souhaitez et si nécessaire, vous pouvez toujours vous libérer de l'irrationalité du dénominateur , où vous pouvez terminer la transformation.

Répondre:

Application des propriétés des racines, puissances, logarithmes, etc.

La classe des expressions avec fractions est très large. De telles expressions, en plus des fractions elles-mêmes, peuvent contenir des racines, des puissances avec divers exposants, des modules, des logarithmes, des fonctions trigonométriques, etc. Naturellement, lors de leur conversion, les propriétés correspondantes sont appliquées.

Applicable aux fractions, il convient de souligner la propriété de la racine d'une fraction, la propriété d'une fraction à une puissance, la propriété du module du quotient et la propriété du logarithme de la différence .

Pour plus de clarté, voici quelques exemples. Par exemple, dans l'expression Il peut être utile, en fonction des propriétés du degré, de remplacer la première fraction par le degré, ce qui permet ensuite de présenter l'expression sous la forme d'une différence au carré. Lors de la conversion d'une expression logarithmique vous pouvez remplacer le logarithme d'une fraction par la différence des logarithmes, ce qui permet par la suite de rapprocher des termes similaires et ainsi de simplifier l'expression : . La conversion d'expressions trigonométriques peut nécessiter de remplacer le rapport sinus/cosinus du même angle par une tangente. Il peut également être nécessaire de passer d'un demi-argument à un argument complet en utilisant les formules appropriées, éliminant ainsi l'argument fraction, par exemple : .

Application des propriétés des racines, des pouvoirs, etc. la transformation des expressions est traitée plus en détail dans les articles :

• Transformation d'expressions irrationnelles utilisant les propriétés des racines,
• Conversion d'expressions utilisant les propriétés des puissances,
• Conversion d'expressions logarithmiques à l'aide des propriétés des logarithmes,
• Conversion d'expressions trigonométriques.

L'opération arithmétique effectuée en dernier lors du calcul de la valeur d'une expression est l'opération « maître ».

Autrement dit, si vous remplacez des lettres par des (n'importe quel) nombres et essayez de calculer la valeur de l'expression, alors si la dernière action est une multiplication, alors nous avons un produit (l'expression est factorisée).

Si la dernière action est une addition ou une soustraction, cela signifie que l'expression n'est pas factorisée (et donc ne peut pas être réduite).

Pour renforcer cela, résolvez vous-même quelques exemples :

Exemples:

Solutions:

1. J'espère que vous ne vous êtes pas immédiatement précipité pour couper et ? Il ne suffisait toujours pas de « réduire » des unités comme celle-ci :

La première étape devrait être la factorisation :

4. Additionner et soustraire des fractions. Réduire les fractions à un dénominateur commun.

Additionner et soustraire des fractions ordinaires est une opération familière : on cherche un dénominateur commun, on multiplie chaque fraction par le facteur manquant et on additionne/soustrait les numérateurs.

Souvenons-nous:

Réponses:

1. Les dénominateurs et sont relativement premiers, c'est-à-dire qu'ils n'ont pas de facteurs communs. Par conséquent, le LCM de ces nombres est égal à leur produit. Ce sera le dénominateur commun :

2. Ici, le dénominateur commun est :

3. Ici, tout d'abord, nous convertissons les fractions mixtes en fractions impropres, puis selon le schéma habituel :

C'est une tout autre affaire si les fractions contiennent des lettres, par exemple :

Commençons par quelque chose de simple :

a) Les dénominateurs ne contiennent pas de lettres

Ici, tout est comme avec les fractions numériques ordinaires : on trouve le dénominateur commun, on multiplie chaque fraction par le facteur manquant et on additionne/soustrait les numérateurs :

Maintenant, au numérateur, vous pouvez en donner des similaires, le cas échéant, et les factoriser :

Essayez-le vous-même :

Réponses:

b) Les dénominateurs contiennent des lettres

Rappelons le principe de trouver un dénominateur commun sans lettres :

· tout d'abord, nous déterminons les facteurs communs ;

· puis nous écrivons tous les facteurs communs un par un ;

· et multipliez-les par tous les autres facteurs non communs.

Pour déterminer les facteurs communs des dénominateurs, on les factorise d'abord en facteurs premiers :

Soulignons les facteurs communs :

Écrivons maintenant les facteurs communs un par un et ajoutons-y tous les facteurs non communs (non soulignés) :

C'est le dénominateur commun.

Revenons aux lettres. Les dénominateurs sont donnés exactement de la même manière :

· factoriser les dénominateurs ;

· déterminer les facteurs communs (identiques);

· notez tous les facteurs communs une fois ;

· multipliez-les par tous les autres facteurs non communs.

Donc dans l'ordre :

1) factoriser les dénominateurs :

2) déterminer les facteurs communs (identiques) :

3) écrivez une fois tous les facteurs communs et multipliez-les par tous les autres facteurs (non soulignés) :

Il y a donc ici un dénominateur commun. La première fraction doit être multipliée par, la seconde - par :

Au fait, il y a une astuce :

Par exemple: .

Nous voyons les mêmes facteurs dans les dénominateurs, mais tous avec des indicateurs différents. Le dénominateur commun sera :

à un degré

à un degré

à un degré

à un degré.

Compliquons la tâche :

Comment faire en sorte que des fractions aient le même dénominateur ?

Rappelons la propriété fondamentale d'une fraction :

Nulle part il n'est dit que le même nombre peut être soustrait (ou ajouté) au numérateur et au dénominateur d'une fraction. Parce que ce n'est pas vrai !

Voyez par vous-même : prenez n'importe quelle fraction, par exemple, et ajoutez un nombre au numérateur et au dénominateur, par exemple . Qu'as-tu appris?

Alors, une autre règle inébranlable :

Lorsque vous réduisez des fractions à un dénominateur commun, utilisez uniquement l’opération de multiplication !

Mais par quoi faut-il multiplier pour obtenir ?

Alors multipliez par. Et multipliez par :

Nous appellerons les expressions non factorisables « facteurs élémentaires ».

Par exemple, c'est un facteur élémentaire. - Même. Mais non : cela peut être factorisé.

Et l'expression ? Est-ce élémentaire ?

Non, car il peut être factorisé :

(vous avez déjà lu sur la factorisation dans le sujet "").

Ainsi, les facteurs élémentaires en lesquels vous décomposez une expression avec des lettres sont analogues aux facteurs simples en lesquels vous décomposez des nombres. Et nous les traiterons de la même manière.

On voit que les deux dénominateurs ont un multiplicateur. Cela ira au dénominateur commun au degré (rappelez-vous pourquoi ?).

Le facteur est élémentaire, et ils n'ont pas de facteur commun, ce qui signifie qu'il faudra simplement multiplier la première fraction par celui-ci :

Un autre exemple:

Solution:

Avant de multiplier ces dénominateurs en panique, faut-il réfléchir à comment les factoriser ? Ils représentent tous deux :

Super! Alors:

Un autre exemple:

Solution:

Comme d'habitude, factorisons les dénominateurs. Dans le premier dénominateur, nous le mettons simplement entre parenthèses ; dans le second - la différence des carrés :

Il semblerait qu’il n’y ait pas de facteurs communs. Mais si on y regarde bien, ils se ressemblent... Et c'est vrai :

Alors écrivons :

Autrement dit, cela s'est passé comme ceci : à l'intérieur de la parenthèse, nous avons échangé les termes, et en même temps le signe devant la fraction a changé pour le contraire. Attention, vous devrez le faire souvent.

Maintenant, ramenons-le à un dénominateur commun :

J'ai compris? Vérifions-le maintenant.

Tâches pour une solution indépendante :

Réponses:

Ici, nous devons nous rappeler encore une chose : la différence entre les cubes :

Attention, le dénominateur de la deuxième fraction ne contient pas la formule « carré de la somme » ! Le carré de la somme ressemblerait à ceci : .

A est le carré dit incomplet de la somme : le deuxième terme est le produit du premier et du dernier, et non leur double produit. Le carré partiel de la somme est l'un des facteurs d'expansion de la différence des cubes :

Que faire s'il y a déjà trois fractions ?

Oui, la même chose ! Tout d’abord, assurons-nous que le nombre maximum de facteurs dans les dénominateurs est le même :

Attention : si vous changez les signes à l'intérieur d'une parenthèse, le signe devant la fraction change à l'opposé. Lorsque nous changeons les signes de la deuxième parenthèse, le signe devant la fraction change à nouveau en sens inverse. En conséquence, celui-ci (le signe devant la fraction) n'a pas changé.

Nous écrivons tout le premier dénominateur dans le dénominateur commun, puis y ajoutons tous les facteurs qui n'ont pas encore été écrits, du deuxième, puis du troisième (et ainsi de suite, s'il y a plus de fractions). Autrement dit, cela se passe comme ceci :

Hmm... Ce qu'il faut faire avec les fractions est clair. Mais qu’en est-il des deux ?

C'est simple : vous savez additionner des fractions, non ? Nous devons donc faire en sorte que deux deviennent une fraction ! Rappelons-le : une fraction est une opération de division (le numérateur est divisé par le dénominateur, au cas où vous l'auriez oublié). Et il n’y a rien de plus simple que de diviser un nombre par. Dans ce cas, le nombre lui-même ne changera pas, mais se transformera en fraction :

Exactement ce qu'il faut !

5. Multiplication et division de fractions.

Eh bien, le plus dur est passé maintenant. Et devant nous se trouve le plus simple, mais en même temps le plus important :

Procédure

Quelle est la procédure pour calculer une expression numérique ? Rappelez-vous en calculant le sens de cette expression :

As-tu compté ?

Cela devrait fonctionner.

Alors laissez-moi vous le rappeler.

La première étape consiste à calculer le diplôme.

La seconde est la multiplication et la division. S’il y a plusieurs multiplications et divisions en même temps, elles peuvent être effectuées dans n’importe quel ordre.

Et enfin, nous effectuons des additions et des soustractions. Encore une fois, dans n'importe quel ordre.

Mais : l'expression entre parenthèses est évaluée à contre-courant !

Si plusieurs parenthèses sont multipliées ou divisées les unes par les autres, nous calculons d'abord l'expression dans chacune des parenthèses, puis nous les multiplions ou les divisons.

Que se passe-t-il s'il y a plus de parenthèses à l'intérieur des parenthèses ? Eh bien, réfléchissons : une expression est écrite entre parenthèses. Lorsque vous calculez une expression, que devez-vous faire en premier ? C'est vrai, calculez les parenthèses. Eh bien, nous l'avons compris : nous calculons d'abord les parenthèses intérieures, puis tout le reste.

Ainsi, la procédure pour l'expression ci-dessus est la suivante (l'action en cours est surlignée en rouge, c'est-à-dire l'action que j'effectue en ce moment) :

D'accord, c'est tout simple.

Mais ce n’est pas la même chose qu’une expression avec des lettres ?

Non, c'est pareil ! Seulement au lieu d'opérations arithmétiques, vous devez effectuer des opérations algébriques, c'est-à-dire les actions décrites dans la section précédente : apportant des choses similaires, ajouter des fractions, réduire des fractions, etc. La seule différence sera l'action de factorisation des polynômes (nous l'utilisons souvent lorsque nous travaillons avec des fractions). Le plus souvent, pour factoriser, il faut utiliser I ou simplement mettre le facteur commun entre parenthèses.

Habituellement, notre objectif est de représenter l’expression sous forme de produit ou de quotient.

Par exemple:

Simplifions l'expression.

1) Tout d’abord, nous simplifions l’expression entre parenthèses. Nous avons là une différence de fractions, et notre objectif est de la présenter sous forme de produit ou de quotient. Ainsi, on ramène les fractions à un dénominateur commun et on ajoute :

Il est impossible de simplifier davantage cette expression ; tous les facteurs ici sont élémentaires (vous souvenez-vous encore de ce que cela signifie ?).

2) On obtient :

Multiplier des fractions : quoi de plus simple.

3) Vous pouvez maintenant raccourcir :

OK, c'est fini maintenant. Rien de compliqué, non ?

Un autre exemple:

Simplifiez l'expression.

Tout d’abord, essayez de le résoudre vous-même, puis examinez la solution.

Solution:

Tout d'abord, déterminons l'ordre des actions.

Tout d’abord, ajoutons les fractions entre parenthèses, ainsi au lieu de deux fractions, nous en obtenons une.

Ensuite, nous ferons la division des fractions. Eh bien, ajoutons le résultat avec la dernière fraction.

Je vais numéroter schématiquement les étapes :

Je vais maintenant vous montrer le processus, en teintant l'action en cours en rouge :

1. S'il y en a des similaires, ils doivent être apportés immédiatement. Chaque fois que des situations similaires surviennent dans notre pays, il convient de les évoquer immédiatement.

2. Il en va de même pour les fractions réductrices : dès que l'opportunité de réduire apparaît, il faut en profiter. L'exception concerne les fractions que vous ajoutez ou soustrayez : si elles ont maintenant les mêmes dénominateurs, alors la réduction doit être laissée pour plus tard.

Voici quelques tâches à résoudre par vous-même :

Et ce qui a été promis au tout début :

Réponses:

Solutions (bref) :

Si vous avez traité au moins les trois premiers exemples, alors vous maîtrisez le sujet.

Passons maintenant à l'apprentissage !

CONVERSION DES EXPRESSIONS. RÉSUMÉ ET FORMULES DE BASE

Opérations de simplification de base :

• Apporter des choses similaires: pour ajouter (réduire) des termes similaires, vous devez ajouter leurs coefficients et attribuer la partie lettre.
• Factorisation : mettre le facteur commun entre parenthèses, l'appliquer, etc.
• Réduire une fraction: Le numérateur et le dénominateur d'une fraction peuvent être multipliés ou divisés par le même nombre non nul, ce qui ne change pas la valeur de la fraction.
  1) numérateur et dénominateur factoriser
  2) si le numérateur et le dénominateur ont des facteurs communs, ils peuvent être barrés.

  IMPORTANT : seuls les multiplicateurs peuvent être réduits !

• Additionner et soustraire des fractions :
  ;
• Multiplier et diviser des fractions :
  ;

Du cours d'algèbre scolaire, nous passons aux détails. Dans cet article, nous étudierons en détail un type particulier d'expressions rationnelles - fractions rationnelles, et considérons également quelle caractéristique est identique conversions de fractions rationnelles prend place.

Notons tout de suite que les fractions rationnelles au sens dans lequel nous les définissons ci-dessous sont appelées fractions algébriques dans certains manuels d'algèbre. Autrement dit, dans cet article, nous comprendrons les fractions rationnelles et algébriques comme une seule et même chose.

Comme d'habitude, commençons par une définition et des exemples. Nous parlerons ensuite de la façon d’amener une fraction rationnelle à un nouveau dénominateur et de changer les signes des membres de la fraction. Après cela, nous verrons comment réduire les fractions. Enfin, regardons la représentation d'une fraction rationnelle comme une somme de plusieurs fractions. Nous fournirons toutes les informations avec des exemples et des descriptions détaillées des solutions.

Navigation dans les pages.

Définition et exemples de fractions rationnelles

Les fractions rationnelles sont étudiées dans les cours d'algèbre de 8e année. Nous utiliserons la définition d'une fraction rationnelle, qui est donnée dans le manuel d'algèbre pour la 8e année de Yu N. Makarychev et al.

Cette définition ne précise pas si les polynômes du numérateur et du dénominateur d'une fraction rationnelle doivent être des polynômes de la forme standard ou non. Par conséquent, nous supposerons que les notations des fractions rationnelles peuvent contenir à la fois des polynômes standards et non standard.

Voici quelques-uns exemples de fractions rationnelles. Donc x/8 et - les fractions rationnelles. Et les fractions et ne correspondent pas à la définition déclarée d'une fraction rationnelle, puisque dans le premier d'entre eux le numérateur ne contient pas de polynôme, et dans le second, le numérateur et le dénominateur contiennent des expressions qui ne sont pas des polynômes.

Conversion du numérateur et du dénominateur d'une fraction rationnelle

Le numérateur et le dénominateur de toute fraction sont des expressions mathématiques autosuffisantes ; dans le cas de fractions rationnelles, ce sont des polynômes dans un cas particulier, des monômes et des nombres ; Ainsi, des transformations identiques peuvent être effectuées avec le numérateur et le dénominateur d'une fraction rationnelle, comme pour toute expression. Autrement dit, l’expression au numérateur d’une fraction rationnelle peut être remplacée par une expression identiquement égale, tout comme le dénominateur.

Vous pouvez effectuer des transformations identiques au numérateur et au dénominateur d'une fraction rationnelle. Par exemple, au numérateur, vous pouvez regrouper et réduire des termes similaires, et au dénominateur, vous pouvez remplacer le produit de plusieurs nombres par sa valeur. Et comme le numérateur et le dénominateur d'une fraction rationnelle sont des polynômes, il est possible d'effectuer avec eux des transformations caractéristiques des polynômes, par exemple une réduction à une forme standard ou une représentation sous forme de produit.

Pour plus de clarté, considérons des solutions à plusieurs exemples.

Exemple.

Convertir une fraction rationnelle de sorte que le numérateur contient un polynôme de forme standard et que le dénominateur contient le produit de polynômes.

Solution.

La réduction de fractions rationnelles à un nouveau dénominateur est principalement utilisée pour additionner et soustraire des fractions rationnelles.

Changer les signes devant une fraction, ainsi que dans son numérateur et son dénominateur

La propriété principale d'une fraction peut être utilisée pour changer les signes des membres d'une fraction. En effet, multiplier le numérateur et le dénominateur d'une fraction rationnelle par -1 équivaut à changer leurs signes, et le résultat est une fraction identiquement égale à celle donnée. Cette transformation doit être utilisée assez souvent lorsqu'on travaille avec des fractions rationnelles.

Ainsi, si vous changez simultanément les signes du numérateur et du dénominateur d'une fraction, vous obtiendrez une fraction égale à celle d'origine. Cette affirmation trouve une réponse par l’égalité.

Donnons un exemple. Une fraction rationnelle peut être remplacée par une fraction identiquement égale avec des signes modifiés du numérateur et du dénominateur de la forme.

Avec les fractions, vous pouvez effectuer une autre transformation identique, dans laquelle le signe du numérateur ou du dénominateur change. Énonçons la règle correspondante. Si vous remplacez le signe d'une fraction par le signe du numérateur ou du dénominateur, vous obtenez une fraction identique à celle d'origine. L'énoncé écrit correspond aux égalités et .

Prouver ces égalités n’est pas difficile. La preuve est basée sur les propriétés de multiplication des nombres. Démontrons le premier d'entre eux : . En utilisant des transformations similaires, l’égalité est prouvée.

Par exemple, une fraction peut être remplacée par l'expression ou.

Pour conclure ce point, nous présentons deux autres égalités utiles et . Autrement dit, si vous changez le signe uniquement du numérateur ou uniquement du dénominateur, la fraction changera de signe. Par exemple, Et .

Les transformations considérées, qui permettent de changer le signe des termes d'une fraction, sont souvent utilisées lors de la transformation d'expressions rationnelles fractionnaires.

Réduire les fractions rationnelles

La transformation suivante de fractions rationnelles, appelée réduction de fractions rationnelles, est basée sur la même propriété fondamentale d'une fraction. Cette transformation correspond à l'égalité , où a, b et c sont des polynômes, et b et c sont non nuls.

De l'égalité ci-dessus, il devient clair que réduire une fraction rationnelle implique de se débarrasser du facteur commun dans son numérateur et son dénominateur.

Exemple.

Annulez une fraction rationnelle.

Solution.

Le facteur commun 2 est immédiatement visible, effectuons une réduction par celui-ci (lors de l'écriture, il est pratique de rayer les facteurs communs par lesquels on réduit). Nous avons . Puisque x 2 =x x et y 7 =y 3 y 4 (voir si nécessaire), il est clair que x est un facteur commun au numérateur et au dénominateur de la fraction résultante, tout comme y 3. Réduisons par ces facteurs : . Ceci termine la réduction.

Ci-dessus, nous avons effectué la réduction des fractions rationnelles de manière séquentielle. Ou il était possible d'effectuer la réduction en une seule étape, réduisant immédiatement la fraction de 2 x y 3. Dans ce cas, la solution ressemblerait à ceci : .

Répondre:

.

Lors de la réduction de fractions rationnelles, le principal problème est que le facteur commun du numérateur et du dénominateur n'est pas toujours visible. De plus, cela n’existe pas toujours. Afin de trouver un facteur commun ou de vérifier son absence, il faut factoriser le numérateur et le dénominateur d'une fraction rationnelle. S’il n’y a pas de facteur commun, alors la fraction rationnelle originale n’a pas besoin d’être réduite, sinon une réduction est effectuée.

Diverses nuances peuvent survenir lors du processus de réduction de fractions rationnelles. Les principales subtilités sont abordées dans l'article réduction des fractions algébriques à l'aide d'exemples et en détail.

En concluant la conversation sur la réduction des fractions rationnelles, on constate que cette transformation est identique, et la principale difficulté de sa mise en œuvre réside dans la factorisation des polynômes au numérateur et au dénominateur.

Représentation d'une fraction rationnelle comme somme de fractions

Assez spécifique, mais dans certains cas très utile, est la transformation d'une fraction rationnelle, qui consiste en sa représentation comme la somme de plusieurs fractions, ou la somme d'une expression entière et d'une fraction.

Une fraction rationnelle, dont le numérateur contient un polynôme représentant la somme de plusieurs monômes, peut toujours s'écrire comme une somme de fractions de mêmes dénominateurs, dont les numérateurs contiennent les monômes correspondants. Par exemple, . Cette représentation s'explique par la règle d'addition et de soustraction de fractions algébriques de mêmes dénominateurs.

En général, toute fraction rationnelle peut être exprimée comme une somme de fractions de différentes manières. Par exemple, la fraction a/b peut être représentée comme la somme de deux fractions : une fraction arbitraire c/d et une fraction égale à la différence entre les fractions a/b et c/d. Cette affirmation est vraie, puisque l’égalité est vraie . Par exemple, une fraction rationnelle peut être représentée comme une somme de fractions de différentes manières : Imaginons la fraction originale comme la somme d'une expression entière et d'une fraction. En divisant le numérateur par le dénominateur avec une colonne, on obtient l'égalité . La valeur de l'expression n 3 +4 pour tout entier n est un entier. Et la valeur d’une fraction est un entier si et seulement si son dénominateur est 1, −1, 3 ou −3. Ces valeurs correspondent respectivement aux valeurs n=3, n=1, n=5 et n=−1.

Répondre:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Bibliographie.

• Algèbre: cahier de texte pour la 8ème année. enseignement général institutions / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova] ; édité par S.A. Telyakovsky. - 16e éd. - M. : Éducation, 2008. - 271 p. : je vais. - ISBN978-5-09-019243-9.
• Mordkovitch A.G. Algèbre. 7e année. En 2 heures Partie 1. Manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement général / A. G. Mordkovich. - 13e éd., rév. - M. : Mnémosyne, 2009. - 160 pp. : ill. ISBN978-5-346-01198-9.
• Mordkovitch A.G. Algèbre. 8e année. En 2 heures Partie 1. Manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement général / A. G. Mordkovich. - 11e éd., effacée. - M. : Mnémosyne, 2009. - 215 p. : ill. ISBN978-5-346-01155-2.
• Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour ceux qui entrent dans les écoles techniques) : Proc. allocation.- M.; Plus haut école, 1984.-351 p., ill.