Formule de soustraction vectorielle. Ajouter et soustraire des vecteurs avec des composants connus

ov, vous devez d'abord comprendre un concept tel que différer un vecteur à partir d'un point donné.

Définition 1

Si le point $A$ est le début d'un vecteur $\overrightarrow(a)$, alors le vecteur $\overrightarrow(a)$ est dit être retardé du point $A$ (Fig. 1).

Figure 1. $\overrightarrow(a)$ tracé à partir du point $A$

Introduisons le théorème suivant :

Théorème 1

A partir de n'importe quel point $K$ on peut tracer un vecteur $\overrightarrow(a)$ et, de plus, un seul.

Preuve.

Existence: Il y a deux cas à considérer ici :

Le vecteur $\overrightarrow(a)$ est nul.

Dans ce cas, il est évident que le vecteur recherché est le vecteur $\overrightarrow(KK)$.

Le vecteur $\overrightarrow(a)$ est non nul.

Notons par le point $A$ le début du vecteur $\overrightarrow(a)$, et par le point $B$ la fin du vecteur $\overrightarrow(a)$. Traçons une droite $b$ passant par le point $K$ parallèle au vecteur $\overrightarrow(a)$. Traçons les segments $\left|KL\right|=|AB|$ et $\left|KM\right|=|AB|$ sur cette ligne. Considérons les vecteurs $\overrightarrow(KL)$ et $\overrightarrow(KM)$. De ces deux vecteurs, celui souhaité sera celui qui sera co-dirigé avec le vecteur $\overrightarrow(a)$ (Fig. 2)

Figure 2. Illustration du théorème 1

Unicité: l’unicité découle immédiatement de la construction effectuée au point « existence ».

Le théorème est prouvé.

Soustraction de vecteurs. Règle un

Donnons-nous les vecteurs $\overrightarrow(a)$ et $\overrightarrow(b)$.

Définition 2

La différence entre deux vecteurs $\overrightarrow(a)$ et $\overrightarrow(b)$ est un vecteur $\overrightarrow(c)$ qui, ajouté au vecteur $\overrightarrow(b)$, donne le vecteur $\ overrightarrow(a)$ , c'est-à-dire

\[\overrightarrow(b)+\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\]

Désignation:$\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(c)$.

Considérons la construction de la différence entre deux vecteurs en utilisant le problème.

Exemple 1

Soit donnés les vecteurs $\overrightarrow(a)$ et $\overrightarrow(b)$. Construisez le vecteur $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$.

Solution.

Construisons un point arbitraire $O$ et traçons les vecteurs $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a)$ et $\overrightarrow(OB)=\overrightarrow(b)$ à partir de celui-ci. En reliant le point $B$ au point $A$, on obtient le vecteur $\overrightarrow(BA)$ (Fig. 3).

Figure 3. Différence de deux vecteurs

En utilisant la règle du triangle pour construire la somme de deux vecteurs, on voit que

\[\overrightarrow(OB)+\overrightarrow(BA)=\overrightarrow(OA)\]

\[\overrightarrow(b)+\overrightarrow(BA)=\overrightarrow(a)\]

De la définition 2, on obtient que

\[\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(BA)\]

Répondre:$\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(BA)$.

De ce problème, nous obtenons la règle suivante pour trouver la différence de deux vecteurs. Pour trouver la différence $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$, vous devez tracer les vecteurs $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a)$ et $\overrightarrow(OB)=\overrightarrow(b) à partir de un point arbitraire $O$ )$ et connectez la fin du deuxième vecteur à la fin du premier vecteur.

Soustraction de vecteurs. Règle deux

Rappelons-nous le concept suivant dont nous avons besoin.

Définition 3

Le vecteur $\overrightarrow(a_1)$ est dit arbitraire pour le vecteur $\overrightarrow(a)$ si ces vecteurs sont de direction opposée et ont la même longueur.

Désignation: Le vecteur $(-\overrightarrow(a))$ est l'opposé du vecteur $\overrightarrow(a)$.

Afin d’introduire la deuxième règle pour la différence de deux vecteurs, nous devons d’abord introduire et prouver le théorème suivant.

Théorème 2

Pour deux vecteurs $\overrightarrow(a)$ et $\overrightarrow(b)$, l'égalité suivante est vraie :

\[\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(a)+(-\overrightarrow(b))\]

Preuve.

Par définition 2, nous avons

On ajoute le vecteur $\left(-\overrightarrow(b)\right)$ aux deux parties, on obtient

Puisque les vecteurs $\overrightarrow(b)$ et $\left(-\overrightarrow(b)\right)$ sont opposés, alors $\overrightarrow(b)+\left(-\overrightarrow(b)\right)=\ flèche droite (0)$. Nous avons

Le théorème est prouvé.

De ce théorème, nous obtenons la règle suivante pour la différence entre deux vecteurs : Pour trouver la différence $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$, nous devons tracer le vecteur $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a )$ à partir d'un point arbitraire $O$, puis, à partir du point résultant $A$, tracez le vecteur $\overrightarrow(AB)=-\overrightarrow(b)$ et reliez le début du premier vecteur à la fin du deuxième vecteur.

Exemple de problème sur la notion de différence vectorielle

Exemple 2

Soit un parallélogramme $ADCD$ dont les diagonales se coupent au point $O$. $\overrightarrow(AB)=\overrightarrow(a)$, $\overrightarrow(AD)=\overrightarrow(b)$ (Fig. 4). Exprimez les vecteurs suivants à travers les vecteurs $\overrightarrow(a)$ et $\overrightarrow(b)$ :

a) $\overrightarrow(DC)+\overrightarrow(CB)$

b) $\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(OC)$

Figure 4. Parallélogramme

Solution.

a) On effectue l'addition selon la règle du triangle, on obtient

\[\overrightarrow(DC)+\overrightarrow(CB)=\overrightarrow(DB)\]

De la première règle pour la différence de deux vecteurs, on obtient

\[\overrightarrow(DB)=\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)\]

b) Puisque $\overrightarrow(OC)=\overrightarrow(AO)$, on obtient

\[\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(OC)=\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(AO)\]

D'après le théorème 2, on a

\[\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(AO)=\overrightarrow(BO)+\left(-\overrightarrow(AO)\right)=\overrightarrow(BO)+\overrightarrow(OA)\]

En utilisant la règle du triangle, on a finalement

\[\overrightarrow(BO)+\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(BA)=-\overrightarrow(AB)=-\overrightarrow(a)\]

La façon dont se produit l’addition de vecteurs n’est pas toujours claire pour les étudiants. Les enfants n’ont aucune idée de ce qui se cache derrière eux. Il suffit de se souvenir des règles et de ne pas penser à l'essence. Ce sont donc précisément les principes d'addition et de soustraction de quantités vectorielles qui nécessitent beaucoup de connaissances.

L’addition de deux vecteurs ou plus en résulte toujours un de plus. De plus, ce sera toujours le même, quelle que soit la manière dont on le trouve.

Le plus souvent, dans un cours de géométrie scolaire, l'addition de deux vecteurs est envisagée. Elle peut être réalisée selon la règle du triangle ou du parallélogramme. Ces dessins sont différents, mais le résultat de l'action est le même.

Comment se produit l’addition en utilisant la règle du triangle ?

Il est utilisé lorsque les vecteurs ne sont pas colinéaires. Autrement dit, ils ne se trouvent pas sur la même ligne droite ou sur des lignes parallèles.

Dans ce cas, le premier vecteur doit être tracé à partir d’un point arbitraire. De son extrémité, il faut tracer un parallèle et un égal à la seconde. Le résultat sera un vecteur commençant au début du premier et se terminant à la fin du second. Le motif ressemble à un triangle. D'où le nom de la règle.

Si les vecteurs sont colinéaires, alors cette règle peut également être appliquée. Seul le dessin sera situé le long d'une seule ligne.

Comment s’effectue l’addition à l’aide de la règle du parallélogramme ?

Encore? s'applique uniquement aux vecteurs non colinéaires. La construction est réalisée selon un principe différent. Même si le début est le même. Nous devons mettre de côté le premier vecteur. Et depuis le début – le deuxième. Sur cette base, complétez le parallélogramme et tracez une diagonale à partir du début des deux vecteurs. Ce sera le résultat. C'est ainsi que l'addition vectorielle est effectuée selon la règle du parallélogramme.

Jusqu'à présent, il y en a eu deux. Mais que se passe-t-il s’il y en a 3 ou 10 ? Utilisez la technique suivante.

Comment et quand la règle des polygones s’applique-t-elle ?

Si vous devez effectuer une addition de vecteurs dont le nombre est supérieur à deux, n'ayez pas peur. Il suffit de les mettre tous de côté séquentiellement et de relier le début de la chaîne à sa fin. Ce vecteur sera le montant requis.

Quelles propriétés sont valables pour les opérations avec des vecteurs ?

À propos du vecteur zéro. Ce qui indique que lorsqu'on y ajoute l'original, on obtient.

À propos du vecteur opposé. C’est-à-dire environ celui qui a la direction opposée et la même ampleur. Leur somme sera nulle.

Sur la commutativité de l'addition. Quelque chose qui est connu depuis l'école primaire. Changer la position des termes ne change pas le résultat. En d’autres termes, peu importe le vecteur à retarder en premier. La réponse sera toujours correcte et unique.

Sur l'associativité de l'addition. Cette loi permet d'additionner n'importe quel vecteur d'un triple par paires et de leur en ajouter un troisième. Si vous écrivez ceci en utilisant des symboles, vous obtenez ce qui suit :

premier + (deuxième + troisième) = deuxième + (premier + troisième) = troisième + (premier + deuxième).

Que sait-on de la différence vectorielle ?

Il n’y a pas d’opération de soustraction distincte. Cela est dû au fait qu’il s’agit essentiellement d’une addition. Seul le deuxième d’entre eux reçoit la direction opposée. Et puis tout se fait comme si l’ajout de vecteurs était envisagé. Par conséquent, on ne parle pratiquement pas de leur différence.

Afin de simplifier le travail de soustraction, la règle du triangle est modifiée. Maintenant (lors de la soustraction), le deuxième vecteur doit être mis de côté depuis le début du premier. La réponse sera celle qui relie le point final du menu avec le même que le sous-trahend. Bien que vous puissiez le reporter comme décrit précédemment, simplement en changeant la direction de la seconde.

Comment trouver la somme et la différence des vecteurs en coordonnées ?

Le problème donne les coordonnées des vecteurs et nécessite de connaître leurs valeurs pour le résultat final. Dans ce cas, il n’est pas nécessaire de réaliser des constructions. Autrement dit, vous pouvez utiliser des formules simples décrivant la règle d'ajout de vecteurs. Ils ressemblent à ceci :

a (x, y, z) + b (k, l, m) = c (x + k, y + l, z + m) ;

a (x, y, z) -b (k, l, m) = c (x-k, y-l, z-m).

Il est facile de voir que les coordonnées doivent simplement être ajoutées ou soustraites en fonction de la tâche spécifique.

Premier exemple avec solution

Condition. Étant donné un rectangle ABCD. Ses côtés sont égaux à 6 et 8 cm. Le point d'intersection des diagonales est désigné par la lettre O. Il faut calculer la différence entre les vecteurs AO et VO.

Solution. Vous devez d’abord dessiner ces vecteurs. Ils sont dirigés depuis les sommets du rectangle jusqu'au point d'intersection des diagonales.

Si vous regardez attentivement le dessin, vous remarquerez que les vecteurs sont déjà combinés de sorte que le second d'entre eux est en contact avec l'extrémité du premier. C'est juste que sa direction est fausse. Il faut partir de ce point. C'est le cas si les vecteurs sont ajoutés, mais le problème implique une soustraction. Arrêt. Cette action signifie que vous devez ajouter le vecteur de direction opposée. Cela signifie que VO doit être remplacé par OV. Et il s’avère que les deux vecteurs ont déjà formé une paire de côtés à partir de la règle du triangle. Par conséquent, le résultat de leur addition, c’est-à-dire la différence souhaitée, est le vecteur AB.

Et cela coïncide avec le côté du rectangle. Pour écrire votre réponse numérique, vous aurez besoin des éléments suivants. Dessinez un rectangle dans le sens de la longueur afin que le plus grand côté soit horizontal. Commencez à numéroter les sommets en partant du coin inférieur gauche et continuez dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. La longueur du vecteur AB sera alors de 8 cm.

Répondre. La différence entre AO et VO est de 8 cm.

Deuxième exemple et sa solution détaillée

Condition. Les diagonales du losange ABCD mesurent 12 et 16 cm. Le point de leur intersection est indiqué par la lettre O. Calculez la longueur du vecteur formé par la différence entre les vecteurs AO et VO.

Solution. Que la désignation des sommets du losange soit la même que dans le problème précédent. Semblable à la solution du premier exemple, il s’avère que la différence requise est égale au vecteur AB. Et sa longueur est inconnue. Résoudre le problème revenait à calculer l'un des côtés du losange.

Pour cela, vous devrez considérer le triangle ABO. Il est rectangulaire car les diagonales d’un losange se coupent à un angle de 90 degrés. Et ses pattes sont égales à la moitié des diagonales. C'est-à-dire 6 et 8 cm. Le côté recherché dans le problème coïncide avec l'hypoténuse de ce triangle.

Pour le trouver, vous aurez besoin du théorème de Pythagore. Le carré de l'hypoténuse sera égal à la somme des nombres 6 2 et 8 2. Après mise au carré, les valeurs obtenues sont : 36 et 64. Leur somme est 100. Il s'ensuit que l'hypoténuse est égale à 10 cm.

Répondre. La différence entre les vecteurs AO et VO est de 10 cm.

Troisième exemple avec solution détaillée

Condition. Calculez la différence et la somme de deux vecteurs. Leurs coordonnées sont connues : la première a 1 et 2, la seconde a 4 et 8.

Solution. Pour trouver la somme, vous devrez additionner les première et deuxième coordonnées par paires. Le résultat sera les nombres 5 et 10. La réponse sera un vecteur de coordonnées (5 ; 10).

Pour la différence, vous devez soustraire les coordonnées. Après avoir effectué cette action, les nombres -3 et -6 seront obtenus. Ce seront les coordonnées du vecteur souhaité.

Répondre. La somme des vecteurs est (5 ; 10), leur différence est (-3 ; -6).

Quatrième exemple

Condition. La longueur du vecteur AB est de 6 cm, BC est de 8 cm. Le second est disposé à partir de l'extrémité du premier selon un angle de 90 degrés. Calculer : a) la différence entre les modules des vecteurs VA et BC et le module de la différence entre VA et BC ; b) la somme des mêmes modules et le module de la somme.

Solution : a) Les longueurs des vecteurs sont déjà données dans le problème. Par conséquent, calculer leur différence n’est pas difficile. 6 - 8 = -2. La situation avec le module de différence est un peu plus compliquée. Vous devez d’abord savoir quel vecteur sera le résultat de la soustraction. A cet effet, il convient de réserver le vecteur BA, qui est dirigé dans la direction opposée AB. Dessinez ensuite le vecteur BC à partir de son extrémité, en le dirigeant dans la direction opposée à celle d'origine. Le résultat de la soustraction est le vecteur CA. Son module peut être calculé à l'aide du théorème de Pythagore. Des calculs simples conduisent à une valeur de 10 cm.

b) La somme des modules des vecteurs est égale à 14 cm. Pour trouver la deuxième réponse, une transformation sera nécessaire. Le vecteur BA est dirigé à l'opposé de celui donné - AB. Les deux vecteurs partent du même point. Dans cette situation, vous pouvez utiliser la règle du parallélogramme. Le résultat de l'addition sera une diagonale, et pas seulement un parallélogramme, mais un rectangle. Ses diagonales sont égales, ce qui signifie que le module de la somme est le même que dans le paragraphe précédent.

Réponse : a) -2 et 10 cm ; b) 14 et 10 cm.

En mathématiques et en physique, les étudiants et les écoliers sont souvent confrontés à des problèmes impliquant des quantités vectorielles et à effectuer diverses opérations sur celles-ci. Quelle est la différence entre les grandeurs vectorielles et les grandeurs scalaires auxquelles nous sommes habitués, dont la seule caractéristique est leur valeur numérique ? Le fait est qu’ils ont une direction.

L’utilisation des quantités vectorielles est expliquée plus clairement en physique. Les exemples les plus simples sont les forces (force de frottement, force élastique, poids), la vitesse et l'accélération, car en plus des valeurs numériques, elles ont également une direction d'action. A titre de comparaison, donnons exemple de quantités scalaires: Cela peut être la distance entre deux points ou la masse d'un corps. Pourquoi est-il nécessaire d’effectuer des opérations sur des quantités vectorielles telles que des additions ou des soustractions ? Ceci est nécessaire pour pouvoir déterminer le résultat de l'action d'un système vectoriel composé de 2 éléments ou plus.

Définitions des mathématiques vectorielles

Présentons les principales définitions utilisées lors de l'exécution d'opérations linéaires.

1. Un vecteur est un segment orienté (ayant un point de départ et un point d'arrivée).
2. La longueur (module) est la longueur du segment dirigé.
3. Les colinéaires sont deux vecteurs qui sont soit parallèles à la même ligne, soit situés simultanément sur celle-ci.
4. Les vecteurs de direction opposée sont appelés colinéaires et en même temps dirigés dans des directions différentes. Si leurs directions coïncident, alors ils sont codirectionnels.
5. Les vecteurs sont égaux lorsqu'ils sont codirectionnels et de magnitude identique.
6. La somme de deux vecteurs un Et b est-ce un tel vecteur c, dont le début coïncide avec le début du premier et la fin avec la fin du second, à condition que b commence au même point où il se termine un.
7. Différence vectorielle un Et b nommer le montant un Et ( - b ), Où ( - b ) - dirigé à l'opposé du vecteur b. Aussi, la définition de la différence entre deux vecteurs peut être donnée comme suit : la différence c paires de vecteurs un Et b ils appellent ça c, qui, une fois ajouté au sous-trahend b forme un menu un.

Méthode analytique

La méthode analytique consiste à obtenir les coordonnées de la différence à l'aide d'une formule sans tracé. Il est possible d'effectuer des calculs pour un espace plat (bidimensionnel), volumétrique (tridimensionnel) ou à n dimensions.

Pour un espace bidimensionnel et quantités vectorielles un {a₁;une₂) Et b {b₁;b₂} les calculs ressembleront à ceci : c {c₁; c₂} = {a₁ – b₁ ; a₂ – b₂}.

Dans le cas de l'ajout d'une troisième coordonnée, le calcul sera effectué de la même manière, et pour un {a₁;une₂; une₃) Et b {b₁;b₂; b₃) les coordonnées de la différence seront également obtenues par soustraction deux à deux : c {c₁; c₂; c₃} = {a₁ – b₁ ; a₂ – b₂; a₃ – b₃}.

Calculer graphiquement la différence

Afin de construire graphiquement la différence, vous devez utiliser la règle du triangle. Pour ce faire, vous devez effectuer la séquence d'actions suivante :

1. En utilisant les coordonnées données, construisez des vecteurs dont vous devez trouver la différence.
2. Combinez leurs extrémités (c'est-à-dire construisez deux segments dirigés égaux à ceux donnés, qui se termineront au même point).
3. Reliez les débuts des deux segments dirigés et indiquez la direction ; le résultat commencera au même point où le vecteur en cours de minuend a commencé et se terminera au point où le sous-trahend a commencé.

Le résultat de l'opération de soustraction est présenté dans la figure ci-dessous.

Il existe également une méthode de construction de la différence, légèrement différente de la précédente. Son essence réside dans l'application du théorème de différence vectorielle, qui est formulé comme suit : pour trouver la différence d'une paire de segments orientés, il suffit de trouver la somme du premier d'entre eux avec un segment dirigé de manière opposée vers le deuxième. L'algorithme de construction ressemblera à ceci :

1. Construisez les segments dirigés initiaux.
2. Celui qui est soustrait doit être réfléchi, c'est-à-dire construire un segment de direction opposée et égal à lui ; puis combinez son début avec la fin du menu.
3. Construisez une somme : reliez le début du premier segment à la fin du second.

Le résultat de cette décision est présenté dans la figure :

Résolution de problème

Pour consolider la compétence, nous analyserons plusieurs tâches dans lesquelles vous devrez calculer la différence de manière analytique ou graphique.

Problème 1. Il y a 4 points donnés sur l'avion : A (1 ; -3), B (0 ; 4), C (5 ; 8), D (-3 ; 2). Déterminez les coordonnées du vecteur q = AB - CD, et calculez également sa longueur.

Solution. Vous devez d'abord trouver les coordonnées UN B Et CD. Pour ce faire, soustrayez les coordonnées des points initiaux des coordonnées des points finaux. Pour UN B le début est UN(1 ; -3), et la fin – B(0 ; 4). Calculons les coordonnées du segment orienté :

UN B {0 - 1; 4 - (- 3)} = {- 1; 7}

Un calcul similaire est effectué pour CD:

CD {- 3 - 5; 2 - 8} = {- 8; - 6}

Maintenant, connaissant les coordonnées, vous pouvez trouver la différence entre les vecteurs. La formule pour la solution analytique des problèmes plans a été envisagée plus tôt : pour c = un- b les coordonnées ont la forme ( c₁; c₂} = {a₁ – b₁ ; a₂ – b₂). Pour un cas précis, vous pouvez écrire :

q = {- 1 - 8; 7 - (- 6)} = { - 9; - 1}

Pour trouver la longueur q, utilisons la formule | q| = √(q₁² + q₂²) = √((- 9)² + (- 1)²) = √(81 + 1) = √82 ≈ 9,06.

Problème 2. La figure montre les vecteurs m, n et p.

Il faut construire des différences pour eux : p-n; m-n; m-n-p. Découvrez lequel d’entre eux a le plus petit module.

Solution. Le problème nécessite trois constructions. Examinons chaque partie de la tâche plus en détail.

Partie 1. Afin de représenter p- n, Utilisons la règle du triangle. Pour ce faire, en utilisant la traduction parallèle, nous connectons les segments de manière à ce que leur point final coïncide. Relions maintenant les points de départ et déterminons la direction. Dans notre cas, le vecteur différence commence au même endroit que le sous-trahend n.

Partie 2. Décrivons m-n. Maintenant, pour résoudre, nous utiliserons le théorème de la différence vectorielle. Pour ce faire, construisons un vecteur opposé n, puis trouvez sa somme avec m. Le résultat résultant ressemblera à ceci :

Partie 3. Pour trouver la différence m - n - p, vous devez diviser l'expression en deux actions. Puisque l'algèbre vectorielle a des lois similaires aux lois de l'arithmétique, les options suivantes sont possibles :

• m - (n + p): dans ce cas, la somme est d'abord tracée n+p, qui est ensuite soustrait de m;
• (m - n) - p: ici, vous devez d'abord trouver m-n, puis soustrayez de cette différence p;
• (m - p) - n: la première action est déterminée m-p, après quoi vous devez soustraire du résultat obtenu n.

Puisque dans la partie précédente du problème nous avons déjà trouvé la différence m-n, il suffit d'en soustraire p. Construisons la différence entre deux vecteurs donnés en utilisant le théorème de la différence. La réponse est affichée dans l'image ci-dessous (le rouge indique le résultat intermédiaire et le vert indique le résultat final).

Reste à déterminer lequel des segments a le plus petit module. Rappelons que les notions de longueur et de module en mathématiques vectorielles sont identiques. Estimons visuellement les longueurs p- n, m-n Et m-n-p. Évidemment, la réponse la plus courte et celle avec le plus petit module est la réponse dans la dernière partie du problème, à savoir m-n-p.

Les scalaires peuvent être ajoutés, multipliés et divisés tout comme les nombres ordinaires.

Puisqu'un vecteur est caractérisé non seulement par une valeur numérique, mais aussi par une direction, l'addition de vecteurs n'obéit pas aux règles d'addition des nombres. Par exemple, laissez les longueurs des vecteurs un= 3 m, b= 4 m, alors un + b= 3 m + 4 m = 7 m. Mais la longueur du vecteur \(\vec c = \vec a + \vec b\) ne sera pas égale à 7 m (Fig. 1).

Riz. 1.

Afin de construire le vecteur \(\vec c = \vec a + \vec b\) (Fig. 2), des règles spéciales d'addition de vecteurs sont appliquées.

Et la longueur du vecteur somme \(\vec c = \vec a + \vec b\) est déterminée par le théorème du cosinus \(c = \sqrt(a^2+b^2-2a\cdot b\cdot \ cos \alpha)\ ), où \(\alpha\,\) est l'angle entre les vecteurs \(\vec a\) et \(\vec b\).

Règle du triangle

Dans la littérature étrangère, cette méthode est appelée « queue à tête ».

Afin d'ajouter deux vecteurs \(\vec a\) et \(\vec b\) (Fig. 3, a), vous devez déplacer le vecteur \(\vec b\) parallèlement à lui-même pour que son début coïncide avec la fin du vecteur \(\vec a\) (Fig. 3, b). Alors leur somme sera le vecteur \(\vec c\), dont le début coïncide avec le début du vecteur \(\vec a\), et la fin avec la fin du vecteur \(\vec b\). (Fig. 3, c).

Le résultat ne changera pas si vous déplacez le vecteur \(\vec a\) au lieu du vecteur \(\vec b\) (Fig. 4), c'est-à-dire \(\vec b + \vec a = \vec a + \vec b\) ( propriété commutative des vecteurs).

En utilisant la règle du triangle, vous pouvez ajouter deux vecteurs parallèles \(\vec a\) et \(\vec b\) (Fig. 6, a) et \(\vec a\) et \(\vec d\) ( Figure 7, a). Les sommes de ces vecteurs \(\vec c = \vec a + \vec b\) et \(\vec f = \vec a + \vec d\) sont représentées sur la Fig. 6, b et 7, b. De plus, les modules des vecteurs \(c = a + b\) et \(f=\left|a-d\right|\).

La règle du triangle peut être appliquée lors de l’ajout de trois vecteurs ou plus. Par exemple, \(\vec c = \vec a_1 + \vec a_2 +\vec a_3 +\vec a_4\) (Fig. 8).

Règle du parallélogramme

Afin d'ajouter deux vecteurs \(\vec a\) et \(\vec b\) (Fig. 9, a), vous devez les déplacer parallèlement à eux-mêmes afin que les débuts des vecteurs \(\vec a\) et \(\ vec b\) étaient à un moment donné (Fig. 9, b). Construisez ensuite un parallélogramme dont les côtés seront ces vecteurs (Fig. 9, c). Alors la somme \(\vec a+ \vec b\) sera le vecteur \(\vec c\), dont le début coïncide avec le début commun des vecteurs, et la fin avec le sommet opposé du parallélogramme (Fig. .9,d).

Soustraction vectorielle

Afin de trouver la différence entre deux vecteurs \(\vec a\) et \(\vec b\) (Fig. 11), vous devez trouver le vecteur \(\vec c = \vec a + \left(- \vec b \right) \) (cm.

X et oui appelé vecteur z tel que z+y=x.

Option 1. Les points de départ de tous les vecteurs coïncident avec l'origine des coordonnées.

Construisons la différence des vecteurs et .

Pour tracer la différence vectorielle z=x-y, vous devez ajouter le vecteur X avec le contraire de oui vecteur oui". Vecteur opposé oui" c'est facile à construire :

Vecteur oui" est opposé au vecteur oui, parce que y+y"= 0, où 0 est un vecteur nul de taille appropriée. Ensuite, l'addition de vecteurs est effectuée X Et oui":

De l'expression (1) il ressort clairement que pour construire la différence entre les vecteurs, il suffit de calculer les différences dans les coordonnées correspondantes des vecteurs X Et oui.

Riz. 1

Sur la photo fig. 1 dans un espace bidimensionnel, la différence des vecteurs est représentée X=(10.3) et oui=(2,4).

Calculons z=x-y=(10-3,3-4)=(7,-1). Comparons le résultat obtenu avec l'interprétation géométrique. En effet, après avoir construit le vecteur oui" et mouvement parallèle du point de départ du vecteur oui" au point final du vecteur X, on obtient le vecteur y"", et après avoir ajouté des vecteurs X Et y"", on obtient le vecteur z.

Option 2. Les points de départ des vecteurs sont arbitraires.

Riz. 2

Sur la photo fig. 2 dans l'espace bidimensionnel, la différence des vecteurs est représentée X=UN B Et oui=CD, Où UN(1,0), B(11,3), C(1,2), D(3.6). Pour calculer le vecteur z=x-y, construit à l'opposé du vecteur oui vecteur oui":

Ensuite, vous devez ajouter les vecteurs X Et oui". Vecteur oui" se déplace parallèlement de sorte que le point C" coïncidait avec le point B. Pour ce faire, les différences de coordonnées des points sont calculées B Et AVEC.