Formules pour rectangles pour calculer une intégrale définie. Calcul d'intégrales définies à l'aide de la règle des rectangles

En général formule du rectangle gauche sur le segment comme suit (21) :

Dans cette formule X 0 = une, x n =b, puisque toute intégrale ressemble en général à : (voir formule 18 ).

h peut être calculé à l'aide de la formule 19 .

oui 0 , oui 1 ,..., oui n-1 X 0 , X 1 ,..., X n-1 (X je =x je-1 +h).

Formule pour les rectangles droits.

En général formule du rectangle droit sur le segment comme suit (22) :

Dans cette formule X 0 = une, x n =b(voir formule pour les rectangles de gauche).

h peut être calculé en utilisant la même formule que dans la formule des rectangles de gauche.

oui 1 , oui 2 ,..., oui n sont les valeurs de la fonction correspondante f(x) aux points X 1 , X 2 ,..., X n (X je =x je-1 +h).

Formule pour rectangles moyens.

En général formule du rectangle du milieu sur le segment comme suit (23) :

Où X je =x je-1 +h.

Dans cette formule, comme dans les précédentes, h doit multiplier la somme des valeurs de la fonction f(x), mais pas simplement en substituant les valeurs correspondantes X 0 ,X 1 ,...,X n-1 dans la fonction f(x), et en ajoutant à chacune de ces valeurs h/2(x 0 +h/2, x 1 +h/2,..., x n-1 +h/2), puis en les remplaçant uniquement dans la fonction donnée.

h peut être calculé en utilisant la même formule que dans la formule des rectangles de gauche." [ 6 ]

En pratique, ces méthodes sont mises en œuvre de la manière suivante :

Mathcad ;

Exceller .

Mathcad ;

Exceller .

Afin de calculer l'intégrale à l'aide de la formule des rectangles moyens dans Excel, vous devez effectuer les étapes suivantes :

Continuez à travailler dans le même document que lors du calcul de l'intégrale en utilisant les formules des rectangles gauche et droit.

Dans la cellule E6, saisissez le texte xi+h/2 et dans F6 - f(xi+h/2).

Entrez la formule =B7+$B$4/2 dans la cellule E7, copiez cette formule en la faisant glisser vers la plage de cellules E8:E16

Entrez la formule =ROOT(E7^4-E7^3+8) dans la cellule F7, copiez cette formule en la faisant glisser vers la plage de cellules F8:F16.

Entrez la formule =SUM(F7:F16) dans la cellule F18.

Entrez la formule =B4*F18 dans la cellule F19.

Entrez les moyennes du texte dans la cellule F20.

En conséquence, nous obtenons ce qui suit :

Réponse : la valeur de l'intégrale donnée est 13,40797.

Sur la base des résultats obtenus, nous pouvons conclure que la formule des rectangles du milieu est plus précise que les formules des rectangles de droite et de gauche.

1. Méthode de Monte Carlo

"L'idée principale de la méthode de Monte Carlo est de répéter plusieurs fois des tests aléatoires. Une caractéristique de la méthode de Monte Carlo est l'utilisation de nombres aléatoires (valeurs numériques d'une variable aléatoire). De tels nombres peuvent être obtenus en utilisant capteurs de nombres aléatoires. Par exemple, dans le langage de programmation Turbo Pascal, il existe une fonction standard. aléatoire, dont les valeurs sont des nombres aléatoires uniformément répartis sur le segment . Cela signifie que si vous divisez le segment spécifié en un certain nombre d'intervalles égaux et calculez la valeur de la fonction aléatoire un grand nombre de fois, alors environ le même nombre de nombres aléatoires tomberont dans chaque intervalle. Dans le langage de programmation du bassin, un capteur similaire est la fonction rnd. Dans le tableur MS Excel, la fonction RAND renvoie un nombre aléatoire uniformément distribué supérieur ou égal à 0 et inférieur à 1 (change lors du recalcul)" [ 7 ].

Pour le calculer, vous devez utiliser la formule () :

Où (i=1, 2, …, n) sont des nombres aléatoires situés dans l'intervalle .

Pour obtenir de tels nombres à partir d'une séquence de nombres aléatoires x i , uniformément répartis dans l'intervalle , il suffit d'effectuer la transformation x i =a+(b-a)x i .

En pratique, cette méthode est mise en œuvre de la manière suivante :

Afin de calculer l'intégrale à l'aide de la méthode de Monte Carlo dans Excel, vous devez effectuer les étapes suivantes :

Dans la cellule B1, saisissez le texte n=.

Dans la cellule B2, saisissez le texte a=.

Dans la cellule B3, saisissez le texte b=.

Entrez le chiffre 10 dans la cellule C1.

Entrez le chiffre 0 dans la cellule C2.

Dans la cellule C3, entrez le chiffre 3.2.

Entrez I dans la cellule A5, xi dans B5, f(xi) dans C5.

Remplissez les cellules A6:A15 avec les nombres 1,2,3, ...,10 – puisque n=10.

Entrez la formule =RAND()*3.2 dans la cellule B6 (des nombres compris entre 0 et 3,2 sont générés), copiez cette formule en la faisant glisser dans la plage de cellules B7:B15.

Entrez la formule =ROOT(B6^4-B6^3+8) dans la cellule C6 et copiez cette formule en la faisant glisser vers la plage de cellules C7:C15.

Saisissez le texte « montant » dans la cellule B16, « (b-a)/n » dans B17, « I= » dans B18.

Entrez la formule =SUM(C6:C15) dans la cellule C16.

Entrez la formule =(C3-C2)/C1 dans la cellule C17.

Entrez la formule =C16*C17 dans la cellule C18.

En conséquence nous obtenons :

Réponse : la valeur de l'intégrale donnée est 13,12416.

Formule du rectangle de gauche :

Méthode du rectangle du milieu

Divisons le segment en n parties égales, c'est-à-dire en n segments élémentaires. La longueur de chaque segment élémentaire. Les points de division seront : x 0 =a ; x 1 =a+h; x 2 =a+2Х h,., x n-1 =a+ (n-1) Х h; xn =b. Nous appellerons ces nombres des nœuds. Calculons les valeurs de la fonction f (x) aux nœuds, notons-les y 0 , y 1 ,y 2 ,., y n . Par conséquent, y 0 =f (a), y 1 =f (x 1),y 2 =f (x 2),., y n =f (b). Les nombres y 0 , y 1 ,y 2 ,., y n sont les ordonnées des points du graphe de fonctions correspondant à l'abscisse x 0 , x 1 ,x 2 ,., x n. L'aire d'un trapèze courbe est approximativement remplacée par l'aire d'un polygone composé de n rectangles. Ainsi, calculer une intégrale définie se réduit à trouver la somme de n rectangles élémentaires.

Formule pour les rectangles moyens

Méthode du rectangle droit

Divisons le segment en n parties égales, c'est-à-dire en n segments élémentaires. La longueur de chaque segment élémentaire. Les points de division seront : x 0 =a ; x 1 =a+h; x 2 =a+2Х h,., x n-1 =a+ (n-1) Х h; xn =b. Nous appellerons ces nombres des nœuds. Calculons les valeurs de la fonction f (x) aux nœuds, notons-les y 0 , y 1 ,y 2 ,., y n . Par conséquent, y 0 =f (a), y 1 =f (x 1),y 2 =f (x 2),., y n =f (b). Les nombres y 0 , y 1 ,y 2 ,., y n sont les ordonnées des points du graphe de fonctions correspondant à l'abscisse x 0 , x 1 ,x 2 ,., x n. L'aire d'un trapèze courbe est approximativement remplacée par l'aire d'un polygone composé de n rectangles. Ainsi, calculer une intégrale définie se réduit à trouver la somme de n rectangles élémentaires.

Formule du rectangle droit

Méthode Simpson

Géométriquement, l'illustration de la formule de Simpson est que sur chacun des doubles segments partiels on remplace l'arc d'une courbe donnée par l'arc du graphe d'un trinôme quadratique.

Divisons le segment d'intégration en 2 x n parties égales de longueur. Notons les points de partition x 0 =a ; x 1 =x 0 +h,., x i =x 0 +iH h,., x 2n =b. Les valeurs de la fonction f aux points x i seront notées y i , c'est-à-dire y je =f (x je). Alors selon la méthode de Simpson

Méthode trapézoïdale

Divisons le segment en n parties égales, c'est-à-dire en n segments élémentaires. La longueur de chaque segment élémentaire. Les points de division seront : x 0 =a ; x 1 =a+h; x 2 =a+2Х h,., x n-1 =a+ (n-1) Х h; xn =b. Nous appellerons ces nombres des nœuds. Calculons les valeurs de la fonction f (x) aux nœuds, notons-les y 0 , y 1 ,y 2 ,., y n . Par conséquent, y 0 =f (a), y 1 =f (x 1),y 2 =f (x 2),., y n =f (b). Les nombres y 0 , y 1 ,y 2 ,., y n sont les ordonnées des points du graphe de fonctions correspondant à l'abscisse x 0 , x 1 ,x 2 ,., x n

Formule trapézoïdale :

La formule signifie que l'aire d'un trapèze curviligne est remplacée par l'aire d'un polygone composé de n trapèzes (Fig. 5) ; dans ce cas, la courbe est remplacée par une ligne brisée qui y est inscrite.

Passons aux modifications de la méthode rectangle.

Ce formule de la méthode du rectangle gauche.

- Ce formule de la méthode du rectangle droit.

La différence avec la méthode des rectangles médians est que les points ne sont pas sélectionnés au milieu, mais respectivement sur les limites gauche et droite des segments élémentaires.

L'erreur absolue des méthodes des rectangles gauche et droit est estimée à .

Diagramme

Afin de calculer l'intégrale à l'aide de la formule du rectangle droit dans Excel, vous devez effectuer les étapes suivantes :

1. Continuez à travailler dans le même document que lors du calcul de l'intégrale à l'aide de la formule du rectangle de gauche.

2. Dans la cellule D6, saisissez le texte y1,…,yn.

3. Entrez la formule =ROOT(B8^4-B8^3+8) dans la cellule D8, copiez cette formule en la faisant glisser vers la plage de cellules D9:D17.

4. Entrez la formule =SUM(D7:D17) dans la cellule D18.

5. Entrez la formule =B4*D18 dans la cellule D19.

6. Entrez le texte directement dans la cellule D20.

En conséquence, nous obtenons ce qui suit :

Afin de calculer l'intégrale à l'aide de la formule du rectangle droit dans Mathcad, vous devez effectuer les étapes suivantes :

1. Saisissez les expressions suivantes dans le champ de saisie sur une ligne à une certaine distance : a:=0, b:=3.2, n:=10.

2. Dans la ligne suivante, saisissez la formule du clavier h:=(b-a)/n ( ).

3. Affichez la valeur de cette expression à côté d'elle ; pour cela, tapez au clavier : h=.

4. Ci-dessous, saisissez la formule de calcul de la fonction intégrande, pour cela tapez f(x):= depuis le clavier, puis ouvrez la barre d'outils « Arithmétique », soit à l'aide de l'icône, soit de la manière suivante :

Après cela, dans la barre d'outils « Arithmétique », sélectionnez « Racine carrée » : , puis dans le carré sombre qui apparaît, saisissez l'expression au clavier x^4-x^3+8, déplacez le curseur à l'aide des flèches du clavier ( Veuillez noter que dans le champ de saisie, cette expression est immédiatement convertie en forme standard).

5. Saisissez l'expression I1:=0 ci-dessous.

6. Entrez ci-dessous l'expression pr_p(a,b,n,h,I1):=.

7. Sélectionnez ensuite la barre d'outils « Programmation » (soit : « Affichage » - « Barres d'outils » - « Programmation », soit : icône ).

8. Dans la barre d'outils « Programmation », ajoutez la ligne de programme : , puis placez le curseur dans le premier rectangle sombre et sélectionnez « pour » dans la barre d'outils « Programmation ».

9. Dans la ligne résultante, après le mot pour, placez le curseur dans le premier des rectangles et tapez i.

10. Sélectionnez ensuite la barre d'outils « Matrice » (soit : « Affichage » - « Barres d'outils » - « Matrice », soit : icône).

11. Placez le curseur dans le rectangle sombre suivant et dans la barre d'outils « Matrice » cliquez : , où tapez les deux rectangles qui apparaissent respectivement : 1 et n.

12. Placez le curseur dans le rectangle sombre ci-dessous et ajoutez deux fois la ligne de programme.

13. Après cela, remettez le curseur sur le premier rectangle qui apparaît et tapez x1, puis cliquez sur « Affectation locale » dans le panneau « Programmation » : et après cela tapez a+h.

14. Placez le curseur dans le rectangle sombre suivant, où vous tapez I1 et attribuez (le bouton « Affectation locale ») I1+f(x1).

15. Placez le curseur dans le rectangle sombre suivant, où tapez une assignation (bouton "Affectation locale") x1.

16. Dans le rectangle sombre suivant, ajoutez une ligne de programme, où dans le premier des rectangles résultants, tapez I1 et attribuez (le bouton « Affectation locale ») I1*h ( Veuillez noter que le signe de multiplication dans le champ de saisie se transforme automatiquement en signe standard).

17. Dans le dernier rectangle sombre, tapez I1.

18. Ci-dessous, entrez pr_p(a,b,n,h,I1) et appuyez sur le signe =.

19. Afin de formater la réponse, vous devez double-cliquer sur le nombre obtenu et indiquer le nombre de décimales - 5.

En conséquence nous obtenons :

Réponse : la valeur de l'intégrale donnée est 14,45905.

La méthode du rectangle est certainement très pratique pour calculer l’intégrale définie. Le travail était très passionnant et éducatif.

Les références

http://www.cleverstudents.ru/method_of_rectangles.html

(méthodes de calcul des intégrales)

http://algmet.narod.ru/theory_a4m/integr_prav/index.htm

(l'essence de la méthode)

http://ru.wikipedia.org/wiki/%CC%E5%F2%EE%E4_%EF%F0%FF%EC%EE%F3%E3%EE%EB%FC%ED%E8%EA%EE %E2

(Wikipédia)

1) introduction et théorie

2) L'essence de la méthode et les solutions aux exemples

3) Pascal

Objet de la prestation. Le service est conçu pour le calcul en ligne d'une intégrale définie à l'aide de la formule du rectangle.

Instructions. Entrez la fonction intégrande f(x) , cliquez sur Résoudre. La solution résultante est enregistrée dans un fichier Word. Un modèle de solution est également créé dans Excel. Vous trouverez ci-dessous une instruction vidéo.

Règles de saisie d'une fonction

Dans le deuxième terme, l'intégrande est impair et les limites d'intégration sont symétriques par rapport au point ε 0. La deuxième intégrale est donc égale à zéro. Ainsi, de (8.5.3) il résulte .
Puisque le deuxième facteur de l'intégrande ne change pas de signe, alors par le théorème de la valeur moyenne on obtient , Où . Après intégration on obtient . (8.5.4)
En comparant avec le reste de la formule du trapèze, nous voyons que l'erreur de la formule du rectangle est deux fois inférieure à l'erreur de la formule du trapèze. Ce résultat est vrai si dans la formule du rectangle on prend la valeur de la fonction au milieu.
On obtient la formule des rectangles et le terme restant pour l'intervalle. Soit la grille x i =a+ih, i=0,1,...,n, . Considérons la grille ε i =ε 0 +ih, i=1,2,..,n, ε 0 =a-h/2. Alors . (8.5.5)
Durée restante .
Géométriquement, la formule des rectangles peut être représentée par la figure suivante :

Si la fonction f(x) est donnée dans un tableau, utilisez alors soit la formule du rectangle de gauche (pour une grille uniforme)

ou formule de rectangle droitier

.
L'erreur de ces formules est estimée via la dérivée première. Pour l'intervalle, l'erreur est égale à

; .
Après intégration on obtient .

Exemple. Calculez l'intégrale pour n=5 :
a) selon la formule trapézoïdale ;
b) en utilisant la formule des rectangles ;
c) selon la formule de Simpson ;
d) selon la formule de Gauss ;
e) selon la formule de Chebyshev.
Calculez l'erreur.
Solution. Pour 5 nœuds d'intégration, le pas de grille sera de 0,125.
Lors de la résolution, nous utiliserons un tableau de valeurs de fonctions. Ici f(x)=1/x.

Le calcul d'intégrales définies à l'aide de la formule de Newton-Leibniz n'est pas toujours possible. De nombreux intégrandes n'ont pas de primitives sous forme de fonctions élémentaires, donc dans de nombreux cas, nous ne pouvons pas trouver la valeur exacte de l'intégrale définie à l'aide de la formule de Newton-Leibniz. En revanche, la valeur exacte n’est pas toujours nécessaire. En pratique, il nous suffit souvent de connaître la valeur approximative d'une certaine intégrale avec un certain degré de précision spécifié (par exemple, avec une précision au millième). Dans ces cas-là, des méthodes d'intégration numérique nous viennent en aide, comme la méthode des rectangles, la méthode des trapèzes, la méthode de Simpson (paraboles), etc.

Dans cet article, nous analyserons en détail le calcul approximatif d'une intégrale définie.

Tout d'abord, attardons-nous sur l'essence de cette méthode d'intégration numérique, dérivons la formule des rectangles et obtenons une formule pour estimer l'erreur absolue de la méthode. Ensuite, en utilisant le même schéma, nous considérerons des modifications de la méthode du rectangle, telles que la méthode du rectangle droit et la méthode du rectangle gauche. En conclusion, nous examinerons une solution détaillée d'exemples et de problèmes typiques avec les explications nécessaires.

Navigation dans les pages.

L'essence de la méthode du rectangle.

Soit la fonction y = f(x) continue sur l'intervalle. Nous devons calculer l'intégrale définie.

Comme vous pouvez le constater, la valeur exacte de l'intégrale définie diffère de la valeur obtenue par la méthode du rectangle pour n = 10 de moins de six centièmes de un.

Illustration graphique.

Exemple.

Calculer la valeur approximative de l'intégrale définie méthodes de rectangles gauche et droit avec une précision au centième.

Solution.

Par condition nous avons a = 1, b = 2, .

Pour appliquer les formules des rectangles droit et gauche, nous devons connaître le pas h, et pour calculer le pas h, nous devons savoir en combien de segments n diviser le segment d'intégration. Puisque dans l'énoncé du problème, on nous donne une précision de calcul de 0,01, nous pouvons trouver le nombre n en estimant l'erreur absolue des méthodes des rectangles gauche et droit.

Nous savons que . Par conséquent, si nous trouvons n pour lequel l’inégalité sera vraie , le degré de précision requis sera alors atteint.

Trouvons la plus grande valeur du module de la dérivée première de l'intégrande sur le segment. Dans notre exemple, c'est assez simple à faire.

Le graphique de la fonction de la dérivée de l'intégrande est une parabole dont les branches sont dirigées vers le bas et son graphique diminue de manière monotone le long du segment. Il suffit donc de calculer les valeurs absolues de la dérivée aux extrémités du segment et de choisir la plus grande :

Dans les exemples avec des intégrandes complexes, vous aurez peut-être besoin de la théorie des partitions.

Ainsi:

Nombre n ne peut pas être fractionnaire (puisque n est un nombre naturel - le nombre de segments de la partition de l'intervalle d'intégration). Par conséquent, pour obtenir une précision de 0,01 en utilisant la méthode du rectangle droit ou gauche, nous pouvons prendre n'importe quel n = 9, 10, 11, ... Pour faciliter les calculs, nous prenons n = 10.

La formule pour les rectangles de gauche ressemble à , et les rectangles de droite . Pour les utiliser, nous devons trouver h et pour n = 10.

Donc,

Les points de séparation d'un segment sont définis comme .

Pour i = 0 nous avons et .

Pour i = 1 nous avons et .

Il convient de présenter les résultats obtenus sous forme de tableau :

Nous substituons les rectangles de gauche dans la formule :

Nous substituons les rectangles de droite dans la formule :

Calculons la valeur exacte de l'intégrale définie à l'aide de la formule de Newton-Leibniz :

Bien entendu, la précision au centième est maintenue.

Illustration graphique.

Commentaire.

Dans de nombreux cas, trouver la plus grande valeur du module de la dérivée première (ou dérivée seconde pour la méthode des rectangles moyens) de l'intégrande sur l'intervalle d'intégration est une procédure très laborieuse.

Il est donc possible de procéder sans utiliser l’inégalité pour estimer l’erreur absolue des méthodes d’intégration numérique. Bien que les estimations soient préférables.

Pour les méthodes de rectangle droit et gauche, vous pouvez utiliser le diagramme suivant.

Nous prenons un n arbitraire (par exemple, n = 5) et calculons la valeur approximative de l'intégrale. Ensuite, nous doublons le nombre de segments de la division de l'intervalle d'intégration, c'est-à-dire que nous prenons n = 10 et calculons à nouveau la valeur approximative d'une certaine intégrale. On retrouve la différence entre les valeurs approximatives obtenues pour n = 5 et n = 10. Si la valeur absolue de cette différence ne dépasse pas la précision requise, alors comme valeur approximative d'une certaine intégrale, nous prenons la valeur à n = 10, après l'avoir préalablement arrondie à l'ordre de précision. Si la valeur absolue de la différence dépasse la précision requise, alors nous doublons à nouveau n et comparons les valeurs approximatives des intégrales pour n = 10 et n = 20. Et ainsi nous continuons jusqu'à ce que la précision requise soit atteinte.

Pour la méthode des rectangles moyens, on procède de la même manière, mais à chaque étape on calcule un tiers de la valeur absolue de la différence entre les valeurs intégrales approximatives obtenues pour n et 2n. Cette méthode est appelée règle de Runge.

Calculons l'intégrale définie de l'exemple précédent avec une précision au millième en utilisant la méthode du rectangle de gauche.

Nous ne nous attarderons pas sur les calculs en détail.

Pour n = 5 on a , pour n = 10 on a .

Depuis, nous prenons n = 20. Dans ce cas .

Depuis, nous prenons n = 40. Dans ce cas .

Puisque , en arrondissant 0,01686093 aux millièmes, nous affirmons que la valeur de l'intégrale définie est égal à 0,017 avec une erreur absolue de 0,001.

En conclusion, nous nous attarderons plus en détail sur les erreurs des méthodes des rectangles gauche, droit et central.

D’après les estimations de l’erreur absolue, il est clair que la méthode du rectangle central donnera une plus grande précision que les méthodes des rectangles gauche et droit pour un n donné. Dans le même temps, le nombre de calculs est le même, il est donc préférable d'utiliser la méthode du rectangle moyen.

Si nous parlons d'intégrandes continues, alors avec une augmentation infinie du nombre de points de partition du segment d'intégration, la valeur approximative de l'intégrale définie tend théoriquement vers la valeur exacte. L'utilisation de méthodes d'intégration numérique implique l'utilisation de la technologie informatique. Par conséquent, il convient de garder à l’esprit qu’en général, l’erreur de calcul commence à s’accumuler.

Notons également que si vous devez calculer une intégrale définie avec une certaine précision, effectuez des calculs intermédiaires avec une plus grande précision. Par exemple, vous devez calculer une intégrale définie avec une précision au centième, puis effectuer des calculs intermédiaires avec une précision d'au moins 0,0001.

Résumer.

Lors du calcul de l'intégrale définie par la méthode des rectangles (méthode des rectangles moyens), on utilise la formule et estimez l'erreur absolue comme .

Pour la méthode des rectangles gauche et droit, nous utilisons les formules Et respectivement. Nous estimons l’erreur absolue à .