Pour chaque valeur du paramètre a a résoudre l'inégalité | 2x + une | ≤ x + 2 |2x+une| \leq x+2 .

Tout d’abord, résolvons un problème auxiliaire. Considérons cette inégalité comme une inégalité avec deux variables x x et a a et représentez-la sur plan de coordonnées x O a xOa tous les points dont les coordonnées satisfont à l'inégalité.

Si 2 x + a ≥ 0 2x+a \geq 0 (c'est-à-dire sur la droite a = - 2 x a=-2x et plus), alors on obtient 2 x + a ≤ x + 2 ⇔ a ≤ 2 - x 2x+ a \leq x+2 \Leftrightarrow a \leq 2-x .

L'ensemble est représenté sur la Fig. 11.

Résolvons maintenant le problème initial en utilisant ce dessin. Si nous corrigeons a a , alors nous obtenons une ligne horizontale a = const a = \textrm(const) . Pour déterminer les valeurs de x x, il faut trouver l'abscisse des points d'intersection de cette droite avec l'ensemble des solutions de l'inégalité. Par exemple, si a = 8 a=8, alors l'inégalité n'a pas de solution (la droite ne coupe pas l'ensemble) ; si a = 1 a=1 , alors les solutions sont toutes x x de l'intervalle [ - 1 ; 1 ] [-1;1], etc. Ainsi, trois options sont possibles.

1) Si $$a>4$$, alors il n'y a pas de solutions.

2) Si a = 4 a=4, alors x = - 2 x=-2.

RÉPONDRE

à $$a

pour a = 4 a=4 - x = - 2 x=-2 ;

pour $$a>4$$ - il n'y a pas de solutions.

Trouver toutes les valeurs du paramètre a a pour lesquelles l'inégalité $$3-|x-a| > x^2$$ a) a au moins une solution ; b) a au moins une solution positive.

Réécrivons l'inégalité sous la forme $$3-x^2 > |x-a)$$. Construisons des graphiques de gauche et bonnes pièces sur le plan x O y xOy . Le graphique du côté gauche est une parabole avec des branches vers le bas avec le sommet au point (0; 3) (0;3) . Le graphique coupe l'axe des x aux points (± 3 ; 0) (\pm \sqrt(3);0) . Le graphique du côté droit est un angle avec le sommet sur l'axe des x, dont les côtés sont dirigés vers le haut selon un angle de 45 ° 45^(\circ) par rapport aux axes de coordonnées. L'abscisse du sommet est le point x = a x=a .

a) Pour qu'une inégalité ait au moins une solution, il faut et suffisant qu'au moins en un point la parabole soit au dessus du graphe y = | x - une | y=|x-a| . Ceci est accompli si le sommet de l'angle se situe entre les points A A et B B de l'axe des abscisses (voir Fig. 12 - les points A A et B B ne sont pas inclus). Ainsi, il faut déterminer à quelle position du sommet une des branches de l'angle touche la parabole.

Considérons le cas où le sommet du coin est au point A A . Ensuite la branche droite de l’angle touche la parabole. Sa pente égal à un. Cela signifie que la dérivée de la fonction y = 3 - x 2 y = 3-x^2 au point de tangence est égale à 1 1, soit - 2 x = 1 -2x=1, d'où x = - 1 2 x = -\frac( 1)(2) . Alors l'ordonnée du point tangent est y = 3 - (1 2) 2 = 11 4 y = 3 - (\frac(1)(2))^2 = \frac(11)(4) . L'équation d'une droite ayant un coefficient angulaire k = 1 k=1 et passant par un point de coordonnées (- 1 2 ; 11 4) (-\frac(1)(2); \frac(11)(4) ) est le suivant * ( \^* : y - 11 4 = 1 · (x + 1 2) y - \frac{11}{4} = 1 \cdot (x+ \frac{1}{2}) , откуда y = x + 13 4 y = x + \frac{13}{4} .!}

C'est l'équation de la branche droite du coin. L'abscisse du point d'intersection avec l'axe des x est égale à - 13 4 -\frac(13)(4), c'est-à-dire que le point A A a pour coordonnées A (- 13 4 ; 0) A(-\frac(13)(4 ); 0) . Pour des raisons de symétrie, le point B B a pour coordonnées : B (13 4 ; 0) B(\frac(13)(4); 0) .

De là, nous obtenons que a ∈ (- 13 4 ; 13 4) a\in (-\frac(13)(4); \frac(13)(4)) .

b) L'inégalité a des solutions positives si le sommet du coin est entre les points F F et B B (voir Fig. 13). Trouver la position du point F F n'est pas difficile : si le sommet du coin est au point F F, alors sa branche droite (la droite donnée par l'équation y = x - a y = x-a passe par le point (0 ; 3 ) (0;3). De là, nous trouvons que a = - 3 a=-3 et le point F F a pour coordonnées (- 3 ; 0) (-3;0) . \in (-3; \frac(13)(4) ) .

RÉPONDRE

a) a ∈ (- 13 4 ; 13 4) ,       a\in (-\frac(13)(4); \frac(13)(4)),\:\:\: b) a ∈ (- 3 ; 13 4) a \in (-3; \frac(13)(4)) .

* {\!}^* Formules utiles:

- \-- une droite passant par le point (x 0 ; y 0) (x_0;y_0) et ayant un coefficient angulaire k k est donnée par l'équation y - y 0 = k (x - x 0) y-y_0= k(x-x_0 ) ;

- \-- le coefficient angulaire de la droite passant par les points (x 0 ; y 0) (x_0;y_0) et (x 1 ; y 1) (x_1;y_1), où x 0 ≠ x 1 x_0 \neq x_1, est calculé par la formule k = y 1 - y 0 x 1 - x 0 k = \dfrac(y_1-y_0)(x_1-x_0) .

Commentaire. Si vous avez besoin de trouver la valeur du paramètre auquel la droite y = k x + l y=kx+l et la parabole y = a x 2 + b x + c y = ax^2+bx+c se touchent, alors vous pouvez écrire le condition que l'équation k x + l = a x 2 + b x + c kx+l = ax^2+bx+c ait exactement une solution. Puis une autre façon de trouver les valeurs du paramètre a a pour lequel le sommet de l'angle. est au point A A est la suivante : l'équation x - a = 3 - x 2 x-a = 3-x^2 a exactement une solution ⇔ D = 1 + 4 (a + 3) = 0 ⇔ a = - 13 4 \Leftrightarrow D = 1 + 4(a+3) = 0 \Leftrightarrow a = -\ dfrac(13)(4) .

Veuillez noter que de cette manière, il est impossible d'écrire la condition pour qu'une ligne touche un graphique arbitraire. Par exemple, la droite y = 3 x - 2 y = 3x - 2 touche la parabole cubique y = x 3 y=x^3 au point (1 ; 1) (1;1) et la coupe au point (- 2 ; - 8) (-2;-8), c'est-à-dire que l'équation x 3 = 3 x + 2 x^3 = 3x+2 a deux solutions.

Trouver toutes les valeurs du paramètre a a , pour chacune desquelles l'équation (a + 1 - | x + 2 |) (x 2 + 4 x + 1 - a) = 0 (a+1-|x+2| )(x^2 +4x+1-a) = 0 a a) exactement deux racines distinctes ; b) exactement trois racines différentes.

Faisons la même chose que dans l'exemple 25. Représentons l'ensemble des solutions de cette équation sur le plan x O a xOa . Cela équivaut à la combinaison de deux équations :

1) une = | x + 2 | - 1 une = |x+2| -1 est un angle avec des branches vers le haut et le sommet au point (- 2 ; - 1) (-2;-1) .

2) a = x 2 + 4 x + 1 a = x^2 + 4x + 1 - c'est une parabole avec des branches vers le haut et le sommet au point (- 2 ; - 3) (-2 ; -3) . Voir fig. 14.

On trouve les points d'intersection de deux graphiques. La branche droite de l'angle est donnée par l'équation y = x + 1 y=x+1 . Résoudre l'équation

x + 1 = x 2 + 4 x + 1 x+1 = x^2+4x+1

nous trouvons que x = 0 x=0 ou x = - 3 x=-3 . Seule la valeur x = 0 x=0 convient (puisque pour la branche droite x + 2 ≥ 0 x+2 \geq 0). Alors a = 1 a=1 . De même, on retrouve les coordonnées du deuxième point d'intersection - (- 4 ; 1) (-4 ; 1) .

Revenons au problème initial. L'équation a exactement deux solutions pour celles a a pour lesquelles la ligne horizontale a = const a=\textrm(const) coupe l'ensemble des solutions de l'équation en deux points. D'après le graphique, nous voyons que cela est vrai pour a ∈ (- 3 ; - 1) ∪ ( 1 ) a\in (-3;-1)\bigcup\(1\) . Exactement trois solutions seront disponibles cas de trois points d'intersection, ce qui n'est possible que lorsque a = - 1 a=-1 .

RÉPONDRE

une) une ∈ (- 3 ; - 1) ∪ ( 1 ) ;      

a\in (-3;-1)\bigcup\(1\);\:\:\: b) a = - 1 a=-1 .

$$\begin(cases) x^2-x-a \leq 0,\\ x^2+2x-6a \leq 0 \end(cases) $$

a exactement une solution.

La première inégalité est satisfaite par les points situés sur la parabole a = - x 2 + x a = -x^2+x et en dessous, et la seconde est satisfaite par les points situés sur la parabole a = x 2 + 6 x 6 a = \dfrac(x^2 +6x)(6) et supérieur. Nous trouvons les coordonnées des sommets des paraboles et leurs points d'intersection, puis construisons un graphique. Le sommet de la première parabole est (1 2 ; 1 4) (\dfrac(1)(2);\dfrac(1)(4)), le sommet de la deuxième parabole est (- 1 ; - 1 6) ( -1; -\dfrac( 1)(6)), les points d'intersection sont (0; 0) (0;0) et (4 7; 12 49) (\dfrac(4)(7); \dfrac(12 )(49)). L'ensemble des points satisfaisant le système est représenté sur la Fig. 15. On peut voir que la ligne horizontale a = const a=\textrm(const) a exactement un point commun avec cet ensemble (ce qui signifie que le système a exactement une solution) dans les cas a = 0 a=0 et a = 1 4 une= \dfrac(1)(4) .

RÉPONDRE

A = 0 ,  a = 1 4 a=0,\: a=\dfrac(1)(4)

Trouver plus petite valeur paramètre a a , pour chacun duquel le système

$$\begin(cases) x^2+y^2 + 3a^2 = 2y + 2\sqrt(3)ax,\\ \sqrt(3)|x|-y=4 \end(cases) $$

a une solution unique.

Transformons la première équation, mettre en évidence des carrés complets:

(x 2 - 2 3 une x + 3 une 2) + (y 2 - 2 y + 1) = 1 ⇔ (x - une 3) 2 + (y - 1) 2 = 1.      

18 (x^2- 2\sqrt(3)ax+3a^2)+(y^2-2y+1)=1 \Leftrightarrow (x-a\sqrt(3))^2+(y-1)^2 =1. \:\:\:\gauche(18\droite) Contrairement à tâches précédentes ici, il est préférable de représenter le dessin sur le plan x O y xOy (le dessin dans le plan « variable - paramètre » est généralement utilisé pour les problèmes avec une variable et un paramètre - le résultat est un ensemble sur le plan. Dans ce problème nous avons affaire à deux variables et un paramètre. Dessinez un ensemble de points (x; y; a) (x; y; a) dans espace tridimensionnel - Ce tâche difficile

; de plus, il est peu probable qu'un tel dessin soit visuel). L'équation (18) spécifie un cercle de centre (a 3 ; 1) (a\sqrt(3);1) de rayon 1. Le centre de ce cercle, selon la valeur de a a, peut être situé en tout point de la ligne y = 1 y=1.

La deuxième équation du système est y = 3 | X | - 4 y = \sqrt(3)|x|-4 fixe l'angle avec les côtés vers le haut à un angle de 60 ° 60^(\circ) par rapport à l'axe des abscisses (le coefficient angulaire de la droite est la tangente de la angle d'inclinaison tg 60 ° = 3 \textrm(tg )(60^(\circ)) = \sqrt(3)), avec le sommet au point (0; - 4) (0;-4) . Ce système L’équation a exactement une solution si le cercle touche l’une des branches de l’angle. Ceci est possible dans quatre cas (Fig. 16) : le centre du cercle peut être en l'un des points A A, B B, C C, D D. Puisqu'il faut trouver la plus petite valeur du paramètre a a , on s'intéresse à l'abscisse du point D D . Considérons D H M D H M . La distance du point D D à la droite H M HM est égale au rayon du cercle, donc D H = 1 DH=1. Donc, D M = DH sin 60 ° = 2 3 DM=\dfrac(DH)(\textrm(sin)(60^(\circ))) = \dfrac(2)(\sqrt(3)) . Les coordonnées du point M M se trouvent comme les coordonnées du point d'intersection de deux droites y = 1 y=1 et y = - 3 x - 4 y=-\sqrt(3)x-4 ( côté gauche angle).

Nous obtenons M (- 5 3) M(-\dfrac(5)(\sqrt(3))) . Alors l'abscisse du point D D est égale à - 5 3 - 2 3 = - 7 3 -\dfrac(5)(\sqrt(3))-\dfrac(2)(\sqrt(3))=-\dfrac( 7)(\ sqrt(3)) .

Puisque l'abscisse du centre du cercle est égale à a 3 a\sqrt(3) , il s'ensuit que a = - 7 3 a=-\dfrac(7)(3) .

RÉPONDRE

A = - 7 3 a=-\dfrac(7)(3)

Trouver toutes les valeurs du paramètre a a , pour chacune desquelles le système

$$\begin(cas) |4x+3y| \leq 12a,\\ x^2+y^2 \leq 14ax +6ay -57a^2+16a+64 \end(cases) $$

$$\begin(cases) x^2-x-a \leq 0,\\ x^2+2x-6a \leq 0 \end(cases) $$

Décrivons les ensembles de solutions à chacune des inégalités sur le plan x O y xOy .

Dans la deuxième inégalité, on sélectionne des carrés parfaits :

x 2 - 14 une x + 49 + y 2 - 6 une y + 9 une 2 ≤ une 2 + 16 une + 64 ⇔ (x - 7 une) 2 + (y - 3 une) 2 ≤ (une + 8) 2         (19 ) x^2-14ax+49 + y^2-6ay + 9a^2 \leq a^2 + 16a + 64 \Leftrightarrow (x-7a)^2+(y-3a)^2 \leq (a+8 )^2 \:\:\:\: (19)

Lorsque a + 8 = 0 a+8=0 (a = - 8 a=-8), l'inégalité (19) spécifie un point de coordonnées (7 a ; 3 a) (7a;3a), soit (- 56 ; - 24) (-56;-24) . Pour toutes les autres valeurs de a a (19) définit un cercle centré au point (7 a ; 3 a) (7a;3a) de rayon | a+8 | |a+8| .

Considérons la première inégalité.
1) Pour a a négatif, il n’a pas de solutions. Cela signifie que le système n'a pas de solutions.

2) Si a = 0 a=0, alors on obtient la droite 4 x + 3 y = 0 4x+3y=0. De la deuxième inégalité, nous obtenons un cercle de centre (0 ; 0) (0 ; 0) de rayon 8. Évidemment, il existe plusieurs solutions.

3) Si $$a>0$$, alors cette inégalité équivaut à la double inégalité - 12 a ≤ 4 x + 3 y ≤ 12 a -12a \leq 4x+3y \leq 12a . Il définit une bande entre deux droites y = ± 4 a - 4 x 3 y=\pm 4a -\dfrac(4x)(3) , dont chacune est parallèle à la droite 4 x + 3 y = 0 4x+ 3y=0 (Fig.17).

Puisque nous considérons $$a>0$$, le centre du cercle est situé au premier quart sur la droite y = 3 x 7 y = \dfrac(3x)(7) . En effet, les coordonnées du centre sont x = 7 a x=7a , y = 3 a y=3a ; en exprimant a a et en assimilant, nous obtenons x 7 = y 3 \dfrac(x)(7)=\dfrac(y)(3) , d'où y = 3 x 7 y = \dfrac(3x)(7) . Pour que le système ait exactement une solution, il faut et suffisant que le cercle touche la droite a 2 a_2 . Cela se produit lorsque le rayon du cercle égale à la distance du centre du cercle à la droite a 2 a_2 . D'après la formule de la distance d'un point à une ligne * (\^{*} получаем, что расстояние от точки (7 a ; 3 a) (7a;3a) до прямой 4 x + 3 y - 12 a = 0 4x+3y-12a=0 равно | 4 · 7 a + 3 · 3 a - 12 a | 4 2 + 3 2 = 5 a \dfrac{|4\cdot 7a + 3\cdot 3a -12a|}{\sqrt{4^2+3^2}} = 5\left|a\right| . Приравнивая к радиусу круга, получаем 5 a = | a + 8 | 5{a} = |a+8| . Так как $$a>0$$, опускаем модули и находим, что a = 2 a=2 .!}

RÉPONDRE

A = 2 a=2

* {\^{*} Пусть даны точка M (x 0 ; y 0) M (x_0;y_0) и прямая l l , !} donné par l'équation a x + b y + c = 0 ax+by+c=0 . Ensuite, la distance du point M M à la droite l l est déterminée par la formule ρ = | une x 0 + b x 0 + c | a 2 + b 2 \rho = \dfrac(|ax_0+bx_0+c|)(\sqrt(a^2+b^2)) .

A quelles valeurs du paramètre a a le système fonctionne-t-il

$$\begin(cases) |x|+|y|=1,\\ |x+a|+|y+a|=1 \end(cases)$$ n'a pas de solutions ?

La première équation du système définit le carré A B C D ABCD sur le plan x O y xOy (pour le construire, considérons x ≥ 0 x\geq 0 et y ≥ 0 y\geq 0 . Alors l'équation prend la forme x + y = 1 x+y=1 . Nous obtenons un segment - une partie de la droite x + y = 1 x+y=1, située dans le premier quart, nous reflétons ensuite ce segment par rapport à l'axe O x Ox. reflètent l'ensemble résultant par rapport à l'axe O y Oy (voir Fig. 18). La deuxième équation définit le carré P Q R S PQRS , égal au carré A B C D ABCD , mais centré en (- a ; - a) (-a;-a) . Sur la fig. A titre d'exemple, la figure 18 montre ce carré pour a = - 2 a=-2. Le système n’a pas de solution si ces deux carrés ne se coupent pas.

Il est facile de voir que si les segments P Q PQ et BC BC coïncident, alors le centre du deuxième carré est au point (1 ; 1) (1 ;1). Ces valeurs de a a nous conviennent, dont le centre est situé « au-dessus » et « à droite », c'est-à-dire $$a1$$.

RÉPONDRE

A ∈ (- ∞ ; - 1) ∪ (1 ; + ∞) a\in (-\infty;-1)\bigcup(1;+\infty) .

Trouver toutes les valeurs du paramètre b b pour lesquelles le système

$$\begin(cases) y=|b-x^2|,\\ y=a(x-b) \end(cases) $$

a au moins une solution pour toute valeur de a a .

Considérons plusieurs cas.

1) Si $$b2) Si b = 0 b=0 , alors le système prend la forme $$\begin(cases) y=x^2,\\ y=ax .\end(cases) $$

Pour tout a a la paire de nombres (0 ; 0) (0;0) est une solution à ce système, donc b = 0 b=0 convient.

3) Corrigeons quelques $$b>0$$. La première équation est satisfaite par l'ensemble de points obtenus à partir de la parabole y = x 2 - b y=x^2-b en réfléchissant une partie de cette parabole par rapport à l'axe O x Ox (voir Fig. 19a, b). La deuxième équation définit une famille de droites (en remplaçant différentes significations a a , vous pouvez obtenir toutes sortes de droites passant par le point (b ; 0) (b;0) , sauf la verticale), passant par le point (b ; 0) (b;0) . Si le point (b ; 0) (b;0) se trouve sur le segment [ - b ; b ] [-\sqrt(b);\sqrt(b)] . axe des abscisses, alors la ligne droite coupe le graphique de la première fonction pour n'importe quelle pente (Fig. 19a). Sinon (Fig. 19b) dans tous les cas, il y aura une ligne droite qui ne coupe pas ce calendrier. En résolvant l'inégalité - b ≤ b ≤ b -\sqrt(b)\leq b \leq \sqrt(b) et en tenant compte du fait que $$b>0$$, on obtient que b ∈ (0 ; 1 ] b \ dans ( 0;1] .

Nous combinons les résultats : $$b \in $$.

RÉPONDRE

$$b \dans $$

Trouver toutes les valeurs de a a , pour chacune desquelles la fonction f (x) = x 2 - | x - une 2 | - 3 x f(x) = x^2-|x-a^2|-3x a au moins un point maximum.

En développant le module, nous obtenons cela

$$f(x) = \begin(cases) x^2-4x+a^2, \:\:\: x\geq a^2 ,\\ x^2-2x-a^2, \:\ :\: x\leq a^2 . \fin(cas) $$

Sur chacun des deux intervalles, le graphique de la fonction y = f (x) y=f(x) est une parabole dont les branches sont ascendantes.

Puisque les paraboles avec des branches ascendantes ne peuvent pas avoir de points maximum, la seule possibilité est que le point maximum soit le point limite de ces intervalles - le point x = a 2 x=a^2 . À ce stade, il y aura un maximum si le sommet de la parabole y = x 2 - 4 x + a 2 y=x^2-4x+a^2 tombe sur l'intervalle $$x>a^2$$, et le sommet de la parabole y = x 2 - 2 x - a 2 y=x^2-2x-a^2 - pour l'intervalle $$x\lt a^2$$ (voir Fig. 20). Cette condition est donnée par les inégalités et $$2 \gt a^2$$ et $$1 \lt a^2$$, en résolvant lesquelles on trouve que a ∈ (- 2 ; 1) ∪ (1 ; 2) a\in (-\ sqrt(2);1)\bigcup(1;\sqrt(2)) .

RÉPONDRE

A ∈ (- 2 ; 1) ∪ (1 ; 2) a\in (-\sqrt(2);1)\bigcup(1;\sqrt(2))

Trouver toutes les valeurs de a a , pour chacune desquelles solutions générales inégalités

y + 2 x ≥ a y+2x \geq a et y - x ≥ 2 a             (20) y-x \geq 2a \:\:\:\:\:\:\:\: (20)

sont des solutions aux inégalités

$$2y-x>a+3 \:\:\:\:\:\:\:\:\: (21)$$

Pour naviguer dans la situation, il est parfois utile de considérer une valeur de paramètre. Faisons un dessin, par exemple, pour a = 0 a=0 . Les inégalités (20) (en fait, nous avons affaire à un système d'inégalités (20)) sont satisfaites par les points de l'angle B A C BAC (voir Fig. 21) - points dont chacun se situe au-dessus des deux droites y = - 2 x y=-2x et y = x y =x (ou sur ces lignes). L'inégalité (21) est satisfaite par les points situés au-dessus de la droite y = 1 2 x + 3 2 y = \dfrac(1)(2)x + \dfrac(3)(2) . On peut voir que lorsque a = 0 a=0 la condition du problème n’est pas satisfaite.

Qu'est-ce qui changera si nous prenons une valeur différente pour le paramètre a a ? Chacune des lignes se déplacera et se transformera en une ligne parallèle à elle-même, puisque les coefficients angulaires des lignes ne dépendent pas de a. Pour que la condition du problème soit remplie, l'angle entier B A C BAC doit se situer au-dessus de la droite l l . Puisque les coefficients angulaires des droites A B AB et A C AC sont plus grands en valeur absolue pente droite l l , il faut et suffisant que le sommet de l'angle se situe au dessus de la droite l l .

Résoudre un système d'équations

$$\begin(cases) y+2x=a,\\ y-x=2a, \end(cases)$$

trouver les coordonnées du point A (- a 3 ; 5 a 3) A(-\dfrac(a)(3);\dfrac(5a)(3)) . Ils doivent satisfaire l'inégalité (21), donc $$\dfrac(10a)(3)+\dfrac(a)(3) > a+3$$, d'où $$a>\dfrac(9)(8)$$ .

RÉPONDRE

$$a>\dfrac(9)(8)$$

Equations avec paramètres : méthode de résolution graphique

8e-9e années

L'article traite d'une méthode graphique pour résoudre certaines équations avec paramètres, qui est très efficace lorsque vous devez établir le nombre de racines d'une équation en fonction du paramètre. un.

Problème 1. Combien de racines l’équation a-t-elle ? | | X | – 2 | = un en fonction du paramètre un?

Solution. Dans le système de coordonnées (x; y), nous construirons des graphiques des fonctions y = | | X | – 2 | et y = un. Graphique de la fonction y = | | X | – 2 | montré sur la figure.

Le graphique de la fonction y = a est une droite parallèle à l'axe Ox ou coïncidant avec lui (si un = 0).

D'après le dessin, on peut voir que :

Si un= 0, alors droite y = un coïncide avec l'axe Ox et a le graphique de la fonction y = | | X | – 2 | deux points communs ; Cela signifie que l'équation originale a deux racines (en dans ce cas
les racines peuvent être trouvées : x 1,2 = d 2).< un < 2, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | четыре общие точки и, следовательно, Si 0équation originale
a quatre racines. un Si
a quatre racines. un= 2, alors la droite y = 2 a trois points communs avec le graphique de la fonction. L’équation originale a alors trois racines. un> 2, alors droite y =

aura deux points avec le graphique de la fonction originale, c'est-à-dire que cette équation aura deux racines. un < 0, то корней нет;
Si un = 0, un Si
Si un> 2, alors il y a deux racines ;
= 2, puis trois racines ;< un < 2, то четыре корня.

si 0 Problème 2. Combien de racines l’équation a-t-elle ? un en fonction du paramètre un?

| x2 – 2| X | – 3 | = un.

Solution. Dans le système de coordonnées (x; y), nous construirons des graphiques des fonctions y = | x2 – 2| X | – 3 | et y = un = 0).

Graphique de la fonction y = | x2 – 2| X | – 3 | montré sur la figure. Le graphique de la fonction y = a est une droite parallèle à Ox ou coïncidant avec lui (quand

Si un= 0, alors droite y = un Sur le dessin, vous pouvez voir : un coïncide avec l'axe Ox et a le graphique de la fonction y = | x2 – 2| X | – 3 | deux points communs, ainsi que la droite y = un aura avec le graphique de la fonction y = | x2 – 2| X | – 3 | deux points communs à un> 4. Alors, quand un= 0 et
les racines peuvent être trouvées : x 1,2 = d 2).< un < 3, то прямая y = un> 4 l'équation originale a deux racines. un a avec le graphique de la fonction y = | x2 – 2| X | – 3 | un quatre points communs, ainsi que la droite y=< un < 3, un aura quatre points communs avec le graphe de la fonction construite à
a quatre racines. un= 4. Donc, à 0 un= 4 l'équation originale a quatre racines.
= 3, puis droite y =< un < 4, прямая y = a пересекает график построенной функции в шести точках; значит, при этих значениях параметра исходное уравнение имеет шесть корней.
a quatre racines. un < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = a не пересекает график функции y = | x 2 – 2| x | – 3 |.

aura deux points avec le graphique de la fonction originale, c'est-à-dire que cette équation aura deux racines. un < 0, то корней нет;
Si un = 0, un coupe le graphique d'une fonction en cinq points ; l’équation a donc cinq racines.
= 2, puis trois racines ;< un < 3, un Si 3
Si un> 4, alors il y a deux racines ;
= 4, alors il y a quatre racines ;< un < 4, то шесть корней.

= 3, puis cinq racines ;

si 3 un?

Problème 3. Combien de racines l’équation a-t-elle ? en fonction du paramètre

Les droites x = 1, y = 1 sont des asymptotes du graphique de la fonction. Graphique de la fonction y = | X | + un obtenu à partir du graphique de la fonction y = | X | déplacement d'unités a le long de l'axe Oy.

Graphiques de fonctions se croisent en un point à un> – 1 ; Cela signifie que l'équation (1) pour ces valeurs de paramètres a une solution.

À un = – 1, un= – 2 graphiques se coupent en deux points ; Cela signifie que pour ces valeurs de paramètres, l'équation (1) a deux racines.
À – 2< un < – 1, un < – 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

aura deux points avec le graphique de la fonction originale, c'est-à-dire que cette équation aura deux racines. un> – 1, puis une solution ;
Si un = – 1, un= – 2, alors il y a deux solutions ;
si – 2< un < – 1, un < – 1, то три решения.

Commentaire. Lors de la résolution de l'équation (1) du problème 3, une attention particulière doit être accordée au cas où un= – 2, puisque le point (– 1 ; – 1) n'appartient pas au graphique de la fonction mais appartient au graphe de la fonction y = | X | + un.

Passons à la résolution d'un autre problème.

Problème 4. Combien de racines l’équation a-t-elle ?

x + 2 = un| x – 1 |

si 3 un?

(2) Solution. Notez que x = 1 n'est pas une racineéquation donnée un, puisque l'égalité 3 = un· 0 ne peut être vrai pour aucune valeur de paramètre . Divisons les deux côtés de l'équation par | x – 1 |(| x – 1 | No. 0), alors l'équation (2) prendra la forme

Dans le système de coordonnées xOy nous tracerons la fonction un Le graphique de cette fonction est présenté sur la figure. Graphique de la fonction y = un = 0).

aura deux points avec le graphique de la fonction originale, c'est-à-dire que cette équation aura deux racines. un est une droite parallèle à l'axe Ox ou coïncidant avec lui (si
Ј – 1, alors il n’y a pas de racines ;< un si – 1
Si unЈ 1, puis une racine ;

> 1, alors il y a deux racines.

Considérons l'équation la plus complexe. un Problème 5. A quelles valeurs du paramètre

unéquation

x2 + | x – 1 | = 0 (3)

a trois solutions ? un Solution. 1. La valeur de contrôle du paramètre pour cette équation sera le nombre un= 0, auquel l'équation (3) prend la forme 0 + | x – 1 | = 0, d'où x = 1. Par conséquent, lorsque

= 0, l'équation (3) a une racine, ce qui ne satisfait pas aux conditions du problème. un № 0.

2. Considérons le cas où un Réécrivons l'équation (3) sous la forme suivante : un < 0.

x2 = – | x – 1 |. Notez que l'équation n'aura de solutions que lorsque un Dans le système de coordonnées xOy nous construirons des graphiques des fonctions y = | x – 1 | et y = un x2 . Graphique de la fonction y = | x – 1 | montré sur la figure. Graphique de la fonction y = un < 0. Вершина параболы - точка (0; 0).

x 2 est une parabole dont les branches sont dirigées vers le bas, puisque un L'équation (3) n'aura trois solutions que lorsque la droite y = – x + 1 est tangente au graphique de la fonction y=

x2 . un Soit x 0 l'abscisse du point de tangence de la droite y = – x + 1 avec la parabole y =

x2 . L'équation tangente a la forme

y = y(x 0) + y "(x 0)(x – x 0).

Écrivons les conditions de tangence :

Cette équation peut être résolue sans utiliser la notion de dérivée. un Considérons une autre méthode. Utilisons le fait que si la droite y = kx + b a un seul point commun avec la parabole y = un x 2 + px + q = kx + b doit avoir une solution unique, c'est-à-dire que son discriminant est nul. Dans notre cas, nous avons l'équation un x 2 = – x + 1 ( un n°0). Équation discriminante

Problèmes à résoudre de manière autonome

6. Combien de racines l'équation a-t-elle en fonction du paramètre un?

1)| | X | – 3 | = un;
2)| x + 1 | + | x + 2 | = un;
3)| x2 – 4| X | + 3 | = un;
4)| x2 – 6| X | + 5 | = un.

1) si un<0, то корней нет; если un=0, un>3, puis deux racines ; Si un=3, puis trois racines ; si 0<un<3, то четыре корня;
2) si un<1, то корней нет; если un=1, alors il existe un ensemble infini de solutions de l'intervalle [– 2; un– 1]; Si
> 1, alors il y a deux solutions ; un<0, то корней нет; если un=0, un<3, то четыре корня; если 0<un<1, то восемь корней; если un 3) si un=1, puis six racines ; Si un=3, alors il y a trois solutions ; Si
>3, alors il y a deux solutions ; un<0, то корней нет; если un=0, 4<un<5, то четыре корня; если 0<un< 4, то восемь корней; если un 4) si un=4, puis six racines ; Si un=5, puis trois racines ; Si

>5, alors il y a deux racines. un 7. Combien de racines l'équation a-t-elle | x + 1 | = un?

(x – 1) selon le paramètre .

Note. Puisque x = 1 n’est pas une racine de l’équation, cette équation peut se réduire à la forme un Réponse : si un > 1, un J-1,<un<0, то два корня; если 0<un=0, puis une racine ; si – 1

Ј 1, alors il n’y a pas de racines. un 8. Combien de racines l’équation x + 1 = a-t-elle ? un?

| x – 1 |selon le paramètre

Note. Puisque x = 1 n’est pas une racine de l’équation, cette équation peut se réduire à la forme un Dessinez un graphique (voir figure).<unЈ –1, alors il n’y a pas de racines ; si – 1 unЈ 1, puis une racine ; Si

>1, alors il y a deux racines.

9. Combien de racines l’équation a-t-elle ?

si 3 un?

2| X | – 1 = une(x – 1)

Note. Puisque x = 1 n’est pas une racine de l’équation, cette équation peut se réduire à la forme un Note. Réduire l'équation pour former un>2, un J-2,<un<1, то два корня; если 1<un=1, puis une racine ; si –2

Ј 2, alors il n’y a pas de racines.

si 3 un?

Note. Puisque x = 1 n’est pas une racine de l’équation, cette équation peut se réduire à la forme unЈ 0, un 10. Combien de racines l’équation a-t-elle ?<un<2, то два корня.

je 2, puis une racine ; si 0 un Problème 5. A quelles valeurs du paramètre

11. A quelles valeurs du paramètre un x2 +

x2 + | x – 1 | = 0 (3)

| x – 2 | = 0 un Note. Réduisez l’équation à la forme x 2 = –

| x – 2 |. un Réponse : quand

J-8. un Problème 5. A quelles valeurs du paramètre

un 12. A quelles valeurs du paramètre

x2 + | x – 1 | = 0 (3)

x2 + | x + 1 | = 0 un Note. Utilisez le problème 5. Cette équation a trois solutions seulement si l’équation un x 2 + x + 1 = 0 a une solution, et le cas

= 0 ne satisfait pas aux conditions du problème, c'est-à-dire que le cas demeure lorsque

13. Combien de racines l’équation a-t-elle ? un

si 3 un?

X | x – 2 | = 1 – Note. Réduisez l’équation sous la forme –x |x – 2| + 1 =

si 3 un?

un

Note. Puisque x = 1 n’est pas une racine de l’équation, cette équation peut se réduire à la forme un<0, un Note. Construisez des graphiques des côtés gauche et droit de cette équation. un>2, alors il y a deux racines ; si 0Ј

Ј 2, puis une racine.

si 3 un?

16. Combien de racines l’équation a-t-elle ? Note. Construisez des graphiques des côtés gauche et droit de cette équation. Pour représenter graphiquement une fonction

Note. Puisque x = 1 n’est pas une racine de l’équation, cette équation peut se réduire à la forme un Trouvons les intervalles de signe constant des expressions x + 2 et x : un>– 1, puis une solution ; Si<un<–1, то четыре решения; если un= – 1, alors il y a deux solutions ; si – 3

Ј –3, alors il y a trois solutions.

Ce sujet fait partie intégrante du cours d'algèbre scolaire. Le but de ce travail est d'étudier ce sujet plus en profondeur, d'identifier la solution la plus rationnelle qui conduit rapidement à une réponse. Cet essai aidera les autres étudiants à comprendre l'utilisation de la méthode graphique pour résoudre des équations avec paramètres, à découvrir l'origine et le développement de cette méthode.

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Aperçu :

Introduction2

Chapitre 1. Équations avec un paramètre

Histoire de l'émergence des équations avec paramètre3

Théorème de Vieta4

Concepts de base5

Chapitre 2. Types d'équations avec paramètres.

Équations linéaires6

Équations quadratiques……………………………………………………………......7

Chapitre 3. Méthodes de résolution d'équations avec un paramètre

Méthode analytique….…………………………………………......8

Méthode graphique. Histoire d'origine….…………………………9

Algorithme de résolution de la méthode graphique..……………....…………….10

Solution de l'équation de module………………...…………………………….11

Partie pratique…………………...……………………………………12

Conclusion………………………………………………………………………………….19

Références……………………………………………………………20

Introduction.

J'ai choisi ce sujet car il fait partie intégrante du cours d'algèbre scolaire. En préparant ce travail, je me suis fixé pour objectif une étude plus approfondie de ce sujet, en identifiant la solution la plus rationnelle qui mène rapidement à une réponse. Mon essai aidera d'autres étudiants à comprendre l'utilisation de la méthode graphique pour résoudre des équations avec paramètres, à découvrir l'origine et le développement de cette méthode.

Dans la vie moderne, l'étude de nombreux processus physiques et modèles géométriques conduit souvent à résoudre des problèmes liés aux paramètres.

Pour résoudre de telles équations, la méthode graphique est très efficace lorsqu'il est nécessaire de déterminer le nombre de racines de l'équation en fonction du paramètre α.

Les problèmes avec des paramètres ont un intérêt purement mathématique, contribuent au développement intellectuel des étudiants et constituent un bon matériel pour mettre en pratique les compétences. Ils ont une valeur diagnostique, car ils peuvent être utilisés pour tester les connaissances des principales branches des mathématiques, le niveau de pensée mathématique et logique, les compétences initiales en recherche et les opportunités prometteuses pour maîtriser avec succès un cours de mathématiques dans les établissements d'enseignement supérieur.

Mon essai traite des types d'équations fréquemment rencontrés et j'espère que les connaissances que j'ai acquises au cours du travail m'aideront à réussir les examens scolaires, caréquations avec paramètressont à juste titre considérés comme l'un des problèmes les plus difficiles des mathématiques scolaires. Ce sont précisément ces tâches qui sont incluses dans la liste des tâches de l'examen d'État unifié.

Histoire de l'émergence des équations avec un paramètre

Des problèmes sur les équations avec un paramètre ont déjà été rencontrés dans le traité d'astronomie « Aryabhattiam », compilé en 499 par le mathématicien et astronome indien Aryabhatta. Un autre scientifique indien, Brahmagupta (VIIe siècle), a esquissé une règle générale pour résoudre des équations quadratiques réduites à une seule forme canonique :

αx 2 + bx = c, α>0

Les coefficients de l'équation, à l'exception du paramètre, peut aussi être négatif.

Équations quadratiques par al-Khwarizmi.

Dans le traité algébrique, al-Khwarizmi donne une classification des équations linéaires et quadratiques avec le paramètre a. L'auteur dénombre 6 types d'équations, les exprimant ainsi :

1) « Les carrés sont égaux aux racines », c'est-à-dire αx 2 = boîte.

2) « Les carrés sont égaux aux nombres », c'est-à-dire αx 2 = c.

3) « Les racines sont égales au nombre », c'est-à-dire αx = c.

4) « Les carrés et les nombres sont égaux aux racines », c'est-à-dire αx 2 + c = bx.

5) « Les carrés et les racines sont égaux au nombre », c'est-à-dire αx 2 + bx = c.

6) « Les racines et les nombres sont égaux aux carrés », c'est-à-dire bx + c = αx 2 .

Les formules permettant de résoudre les équations quadratiques selon al-Khwarizmi en Europe ont été présentées pour la première fois dans le « Livre du Boulier », écrit en 1202 par le mathématicien italien Leonardo Fibonacci.

La dérivation de la formule pour résoudre une équation quadratique avec un paramètre sous forme générale est disponible auprès de Vieta, mais Vieta n'a reconnu que les racines positives. Les mathématiciens italiens Tartaglia, Cardano, Bombelli furent parmi les premiers au XIIe siècle. En plus des racines positives, les racines négatives sont également prises en compte. Seulement au 17ème siècle. Grâce aux travaux de Girard, Descartes, Newton et d'autres scientifiques, la méthode de résolution des équations quadratiques a acquis sa forme moderne.

Théorème de Vieta

Le théorème exprimant la relation entre les paramètres, coefficients d'une équation quadratique et ses racines, du nom de Vieta, fut formulé par lui pour la première fois en 1591. Comme suit : « Si b + d multiplié par α moins α 2 , est égal à bc, alors α est égal à b et égal à d.

Pour comprendre Vieta, il faut se rappeler que α, comme toute voyelle, signifiait l'inconnu (notre x), tandis que les voyelles b, d sont des coefficients pour l'inconnu. Dans le langage de l'algèbre moderne, la formulation Vieta ci-dessus signifie :

S'il y a

(α + b)x - x 2 = αb,

Autrement dit, x 2 - (α -b)x + αb =0,

alors x 1 = α, x 2 = b.

En exprimant la relation entre les racines et les coefficients des équations par des formules générales écrites à l'aide de symboles, Vieta a établi l'uniformité des méthodes de résolution des équations. Cependant, la symbolique du Viet est encore loin de sa forme moderne. Il ne reconnaissait pas les nombres négatifs et, par conséquent, lors de la résolution d'équations, il ne considérait que les cas où toutes les racines étaient positives.

Concepts de base

Paramètre - une variable indépendante dont la valeur est considérée comme un nombre fixe ou arbitraire, ou un nombre appartenant à l'intervalle spécifié par la condition du problème.

Équation avec paramètre— mathématiqueéquation, dont l'apparence et la solution dépendent des valeurs d'un ou plusieurs paramètres.

Décider équation avec des moyennes de paramètres pour chaque valeurtrouver les valeurs de x qui satisfont cette équation, et aussi :

1. 1. Recherchez à quelles valeurs des paramètres l'équation a des racines et combien il y en a pour différentes valeurs des paramètres.
2. 2. Trouvez toutes les expressions pour les racines et indiquez pour chacune d'elles les valeurs des paramètres pour lesquelles cette expression détermine réellement la racine de l'équation.

Considérons l'équation α(x+k)= α +c, où α, c, k, x sont des quantités variables.

Système de valeurs admissibles des variables α, c, k, xest tout système de valeurs variables dans lequel les côtés gauche et droit de cette équation prennent des valeurs réelles.

Soit A l'ensemble de toutes les valeurs admissibles de α, K l'ensemble de toutes les valeurs admissibles de k, X l'ensemble de toutes les valeurs admissibles de x, C l'ensemble de toutes les valeurs admissibles de c. Si pour chacun des ensembles A, K, C, X nous sélectionnons et fixons, respectivement, une valeur α, k, c et les substituons dans l'équation, alors nous obtenons une équation pour x, c'est-à-dire équation à une inconnue.

Les variables α, k, c, qui sont considérées comme constantes lors de la résolution d'une équation, sont appelées paramètres, et l'équation elle-même est appelée une équation contenant des paramètres.

Les paramètres sont désignés par les premières lettres de l'alphabet latin : α, b, c, d, ..., k, l, m, n, et les inconnues sont désignées par les lettres x, y, z.

Deux équations contenant les mêmes paramètres sont appeléeséquivalent si :

a) ils ont un sens pour les mêmes valeurs de paramètres ;

b) toute solution de la première équation est une solution de la seconde et vice versa.

Types d'équations avec paramètres

Les équations avec paramètres sont : linéaires et carré.

1) Équation linéaire. Vue générale :

α x = b, où x est inconnu ;α, b - paramètres.

Pour cette équation, la valeur spéciale ou de contrôle du paramètre est celle à laquelle le coefficient de l'inconnue devient nul.

Lors de la résolution d'une équation linéaire avec un paramètre, les cas sont pris en compte lorsque le paramètre est égal à sa valeur spéciale et différent de celle-ci.

Une valeur spéciale du paramètre α est la valeurα = 0.

1.Si, et ≠0, alors pour toute paire de paramètresα et b il a une solution unique x = .

2.Si, et =0, alors l'équation prend la forme :0 x = b . Dans ce cas la valeur b = 0 est une valeur de paramètre spécial b.

2.1. À b ≠ 0 l'équation n'a pas de solution.

2.2. À b =0 l'équation prendra la forme :0 x =0.

La solution de cette équation est n’importe quel nombre réel.

Équation quadratique avec paramètre.

Vue générale :

α x 2 + bx + c = 0

où paramètre α ≠0, b et c - nombres arbitraires

Si α =1, alors l’équation est appelée équation quadratique réduite.

Les racines d'une équation quadratique se trouvent à l'aide des formules

Expression D = b 2 - 4 αc est appelé discriminant.

1. Si D> 0, l'équation a deux racines différentes.

2. Si D< 0 — уравнение не имеет корней.

3. Si D = 0, l'équation a deux racines égales.

Méthodes de résolution d'équations avec un paramètre :

1. Analytique - une méthode de solution directe, répétant des procédures standard pour trouver la réponse dans une équation sans paramètres.
2. Graphique - en fonction des conditions du problème, la position du graphique de la fonction quadratique correspondante dans le système de coordonnées est prise en compte.

Méthode analytique

Algorithme de solution :

1. Avant de commencer à résoudre un problème avec des paramètres à l'aide de la méthode analytique, vous devez comprendre la situation pour une valeur numérique spécifique du paramètre. Par exemple, prenons la valeur du paramètre α =1 et répondez à la question : la valeur du paramètre α =1 est-elle requise pour cette tâche.

Exemple 1. Résoudre relativement X équation linéaire avec paramètre m:

D'après la signification du problème (m-1)(x+3) = 0, soit m= 1, x = -3.

En multipliant les deux côtés de l'équation par (m-1)(x+3), on obtient l'équation

Nous obtenons

Donc à m= 2,25.

Nous devons maintenant vérifier s'il existe des valeurs de m pour lesquelles

la valeur de x trouvée est -3.

en résolvant cette équation, nous trouvons que x est égal à -3 avec m = -0,4.

Réponse : avec m=1, m =2,25.

Méthode graphique. Histoire d'origine

L'étude des dépendances communes débute au XIVe siècle. La science médiévale était scolastique. Avec cette nature, il n'y avait plus de place pour l'étude des dépendances quantitatives ; il s'agissait uniquement des qualités des objets et de leurs connexions les uns avec les autres. Mais parmi les scolastiques est née une école qui soutenait que les qualités peuvent être plus ou moins intenses (le vêtement d'une personne tombée dans une rivière est plus mouillé que celui de quelqu'un qui vient d'être surpris sous la pluie).

Le scientifique français Nikolai Oresme a commencé à représenter l'intensité avec la longueur des segments. Lorsqu'il plaçait ces segments perpendiculairement à une certaine ligne droite, leurs extrémités formaient une ligne, qu'il appelait la « ligne d'intensité » ou la « ligne du bord supérieur » (le graphique de la dépendance fonctionnelle correspondante qu'Oresme a même étudié « planaire »). » et des qualités « physiques », c'est-à-dire des fonctions, dépendant de deux ou trois variables.

La réalisation importante d'Oresme fut sa tentative de classifier les graphiques résultants. Il a identifié trois types de qualités : Uniforme (à intensité constante), uniforme-inégale (avec un taux de changement d'intensité constant) et inégale-inégale (toutes les autres), ainsi que les propriétés caractéristiques des graphiques de ces qualités.

Pour créer un appareil mathématique permettant d'étudier les graphiques de fonctions, le concept de variable était nécessaire. Ce concept a été introduit dans la science par le philosophe et mathématicien français René Descartes (1596-1650). C'est Descartes qui a eu l'idée de l'unité de l'algèbre et de la géométrie et du rôle des variables ; Descartes a introduit un segment unitaire fixe et a commencé à considérer les relations des autres segments avec celui-ci.

Ainsi, les graphiques de fonctions sur toute la période de leur existence ont subi un certain nombre de transformations fondamentales, qui les ont conduits à la forme à laquelle nous sommes habitués. Chaque étape ou étape du développement des graphes de fonctions fait partie intégrante de l'histoire de l'algèbre et de la géométrie modernes.

La méthode graphique permettant de déterminer le nombre de racines d'une équation en fonction du paramètre qu'elle contient est plus pratique que la méthode analytique.

Algorithme de résolution par méthode graphique

Graphique d'une fonction - un ensemble de points auxquelsabscissesont des valeurs d'argument valides, UN ordonnées- valeurs correspondantesfonctions.

Algorithme de résolution graphique d'équations avec un paramètre :

1. Trouvez le domaine de définition de l'équation.
2. On exprime α en fonction de x.
3. Dans le système de coordonnées, nous construisons un graphique de la fonctionα (x) pour les valeurs de x qui sont incluses dans le domaine de définition de cette équation.
4. Trouver les points d'intersection d'une ligneα =с, avec le graphique de la fonction

α(x). Si la droite α =с traverse le graphiqueα (x), puis on détermine les abscisses des points d'intersection. Pour ce faire, il suffit de résoudre l'équation c = α (x) par rapport à x.

1. Écrivez la réponse

Résolution d'équations avec module

Lors de la résolution graphique d'équations avec un module contenant un paramètre, il est nécessaire de construire des graphiques de fonctions et de considérer tous les cas possibles pour différentes valeurs du paramètre.

Par exemple, │x│= une,

Réponse : si un < 0, то нет корней, a > 0, alors x = a, x = - a, si a = 0, alors x = 0.

Résolution de problèmes.

Problème 1. Combien de racines l’équation a-t-elle ?| | X | - 2 | =un en fonction du paramètre un?

Solution. Dans le système de coordonnées (x; y), nous construirons des graphiques des fonctions y = | | X | - 2 | et y = Note. Réduisez l’équation sous la forme –x |x – 2| + 1 = . Graphique de la fonction y = | | X | - 2 | montré sur la figure.

Graphique de la fonction y =α a = 0).

Sur le graphique, on peut voir que :

Si a = 0, alors la droite y = a coïncide avec l'axe Ox et a le graphique de la fonction y = | | X | - 2 | deux points communs ; cela signifie que l'équation originale a deux racines (dans ce cas, les racines peuvent être trouvées : x 1,2 = + 2).
Si 0< a < 2, то прямая y = α a avec le graphique de la fonction y = | | X | - 2 | quatre points communs et, par conséquent, l’équation originale a quatre racines.
Si Note. Réduisez l’équation sous la forme –x |x – 2| + 1 = = 2, alors la droite y = 2 a trois points communs avec le graphique de la fonction. L’équation originale a alors trois racines.
Si a > 2, alors droite y = a aura deux points avec le graphique de la fonction originale, c'est-à-dire que cette équation aura deux racines.

Réponse : si un < 0, то корней нет;
si a = 0, a > 2, alors il y a deux racines ;
si a = 2, alors il y a trois racines ;
si 0< a < 2, то четыре корня.

Problème 2. Combien de racines l’équation a-t-elle ?| x2 - 2| X | - 3 | =un en fonction du paramètre un?

Solution. Dans le système de coordonnées (x; y), nous construirons des graphiques des fonctions y = | x 2 - 2| X | - 3 | et y = une.

Graphique de la fonction y = | x 2 - 2| X | - 3 | montré sur la figure. Graphique de la fonction y =α est une droite parallèle à Ox ou coïncidant avec lui (quand une = 0).

Sur le graphique, vous pouvez voir :

Si a = 0, alors la droite y = a coïncide avec l'axe Ox et a le graphique de la fonction y = | x2 - 2| X | - 3 | deux points communs, ainsi que la droite y = Note. Réduisez l’équation sous la forme –x |x – 2| + 1 = aura avec le graphique de la fonction y = | x 2 - 2| X | - 3 | deux points communs à a > 4. Donc, pour a = 0 et a > 4 l'équation originale a deux racines.
Si 0< Note. Réduisez l’équation sous la forme –x |x – 2| + 1 =< 3, то прямая y = a a avec le graphique de la fonction y = | x 2 - 2| X | - 3 | quatre points communs, ainsi que la droite y= Note. Réduisez l’équation sous la forme –x |x – 2| + 1 = aura quatre points communs avec le graphe de la fonction construite à a = 4. Donc, à 0< a < 3, a = 4 l'équation originale a quatre racines.
Si a = 3, puis droite y = a coupe le graphique d'une fonction en cinq points ; l’équation a donc cinq racines.
Si 3< Note. Réduisez l’équation sous la forme –x |x – 2| + 1 =< 4, прямая y = α coupe le graphique de la fonction construite en six points ; Cela signifie que pour ces valeurs de paramètres, l'équation d'origine a six racines.
Si Note. Réduisez l’équation sous la forme –x |x – 2| + 1 = < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = α ne coupe pas le graphique de la fonction y = | x 2 - 2| X | - 3 |.

Réponse : si un < 0, то корней нет;
si a = 0, a > 4, alors il y a deux racines ;
si 0< a < 3, a = 4, alors il y a quatre racines ;

si un = 3, puis cinq racines ;
si 3< a < 4, то шесть корней.

Problème 3. Combien de racines l’équation a-t-elle ?

en fonction du paramètre un?

Solution. Construisons un graphique de la fonction dans le système de coordonnées (x; y)

mais présentons-le d'abord sous la forme :

Les droites x = 1, y = 1 sont des asymptotes du graphique de la fonction. Graphique de la fonction y = | X | + Note. Réduisez l’équation sous la forme –x |x – 2| + 1 = obtenu à partir du graphique de la fonction y = | X | déplacement d'unités a le long de l'axe Oy.

Graphiques de fonctions se croisent en un point à Note. Réduisez l’équation sous la forme –x |x – 2| + 1 = > - 1 ; Cela signifie que l'équation (1) pour ces valeurs de paramètres a une solution.

Lorsque a = - 1, a = - 2 graphiques se coupent en deux points ; Cela signifie que pour ces valeurs de paramètres, l'équation (1) a deux racines.
À - 2< Note. Réduisez l’équation sous la forme –x |x – 2| + 1 =< - 1, a < - 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

Réponse : si un > - 1, puis une solution ;
si a = - 1, a = - 2, alors il y a deux solutions ;
si - 2< a < - 1, a < - 1, то три решения.

Commentaire. Lors de la résolution de l'équation du problème, une attention particulière doit être accordée au cas où Note. Réduisez l’équation sous la forme –x |x – 2| + 1 = = - 2, puisque le point (- 1 ; - 1) n'appartient pas au graphe de la fonctionmais appartient au graphe de la fonction y = | X | + un.

Problème 4. Combien de racines l’équation a-t-elle ?

x + 2 = une | x-1 |

en fonction du paramètre un?

Solution. Notez que x = 1 n'est pas une racine de cette équation, puisque l'égalité 3 = Note. Réduisez l’équation sous la forme –x |x – 2| + 1 = 0 ne peut pas être vrai pour aucune valeur de paramètre Note. Réduisez l’équation sous la forme –x |x – 2| + 1 = . Divisons les deux côtés de l'équation par | x-1 |(| x-1 |0), alors l’équation prend la formeDans le système de coordonnées xOy nous tracerons la fonction

Le graphique de cette fonction est présenté sur la figure. Graphique de la fonction y = Note. Réduisez l’équation sous la forme –x |x – 2| + 1 = est une droite parallèle à l'axe Ox ou coïncidant avec lui (si une = 0).

Afin de révéler pleinement les capacités de cette méthode, considérons les principaux types de problèmes.

Exemples de tâches pour tester les connaissances et les compétences lors de la résolution de problèmes avec des paramètres à l'aide de la méthode graphique (plan de coordonnées)

Tâche 1.

A quelles valeursunl'équation = a-t-elle deux racines ?

Solution.

Passons à un système équivalent :

Ce système sur le plan de coordonnées (;) définit une courbe. Il est clair que tous les points de cet arc parabolique (et eux seuls) ont des coordonnées qui satisfont à l'équation d'origine. Par conséquent, le nombre de solutions de l'équation pour chaque valeur fixe du paramètre, égal au nombre de points d'intersection de la courbe avec la ligne horizontale correspondant à la valeur de ce paramètre.

Répondre:à.

Tâche 2.

Trouver toutes les valeurs de a pour lesquelles le système a une solution unique.

Solution.

Réécrivons le système d'origine sous cette forme :

Toutes les solutions de ce système (paires de la forme) forment la zone représentée sur la figure par hachures. L'exigence d'une solution unique à un système donné se traduit en langage graphique comme suit : les lignes horizontales ne doivent avoir qu'un seul point commun avec la région résultante. Il est facile de voir que seulement directementet satisfaire à l'exigence indiquée.

Les deux tâches qui viennent d’être évoquées nous permettent de donner des recommandations plus précises par rapport à celles données précédemment :

essayez d'exprimer le paramètre à travers une variable, c'est-à-dire obtenez des égalités de la forme, puis

construire un graphique d'une fonction sur un plan.

Tâche 3.

A quelles valeursUN l'équation a-t-elle exactement trois racines ?

Solution.

Nous avons

Le graphique de cet ensemble est l’union d’un « coin » et d’une parabole. Évidemment, seule une ligne droite coupe l’union résultante en trois points.

Commentaire: Le paramètre est généralement considéré comme un numéro fixe mais inconnu. Or, d’un point de vue formel, un paramètre est une variable, et « égale » aux autres paramètres présents dans le problème. Avec cette vue du paramètre de formulaire, les fonctions sont définies non pas avec une, mais avec deux variables.

Tâche 4.

Rechercher toutes les valeurs des paramètres, pour lequel l'équation a une solution.

Solution.

Une fraction est égale à zéro si et seulement si le numérateur de la fraction est nul et le dénominateur est non nul.

Trouver les racines du trinôme quadratique :

Répondre: Et.

Tâche 5.

À quelles valeurs de paramètre,UN l'équation a une solution unique.

Solution.

Écrivons un système équivalent à l'équation originale

De là, nous obtenons

Construisons un graphique et traçons des lignes droites perpendiculaires aux axesUN .

Les deux premières inégalités du système définissent un ensemble de points, représentés par un ombrage, et cet ensemble n'inclut pas les hyperboles et.

Répondre : 2 < < или < или = .

Tâche 6.

Rechercher toutes les valeurs des paramètresUN , pour lequel l'équation

a exactement deux solutions différentes

Solution.

Considérons un ensemble de deux systèmes

Si , Que.

Si < , Que.

D'ici

ou

Les paraboles et une droite ont deux points communs :UN (-2; - 2), DANS(-1 ; -1), et, DANS – le sommet de la première parabole,D - le haut de la seconde. Ainsi, le graphique de l'équation originale est présenté sur la figure.

Il doit y avoir exactement deux solutions différentes. Cela se fait avec ou.

Répondre: ou.

Tâche 7.

Trouver l'ensemble de tous les nombres pour chacun desquels l'équation

n'a que deux racines différentes.

Solution.

Réécrivons cette équation sous la forme

Les racines de l’équation, à condition que.

Construisons un graphique de cette équation. Dans ce cas, il est pratique de construire un graphique en attribuant une variable à l'axe des ordonnées. Ici on « lit » la réponse avec des droites verticales, on constate que cette équation n'a que deux racines différentes en = -1 ou ou.

Répondre:à = -1 ou ou.

Tâche 8.

Pour lequel l’ensemble des solutions de l’inégalité contient un intervalle.

Solution.

Écrivons un ensemble de deux systèmes équivalents à l'équation originale :

ou

Puisque la solution du premier système neUN ne peut pas être inclus dans le segment, nous effectuerons alors les recherches nécessaires pour le deuxième système.

Nous avons

Notons . Alors la deuxième inégalité du système prend la forme< - et sur le plan de coordonnées définit l'ensemble représenté sur la figure.

Puis, à partir d'ici.

Répondre : .

Tâche 9.

Trouver tous les nombres non négatifs pour lesquels il existe un numéro unique qui satisfait le système

Solution.

Nous avons

La première équation sur le plan de coordonnées spécifie une famille de lignes verticales. Lignes droites et divisez les avions en quatre zones. Certaines d’entre elles sont des solutions au système d’inégalités. Ceux-ci peuvent être déterminés exactement en prenant un point de test dans chaque région. La région dont le point satisfait l'inégalité est sa solution (cette technique est associée à la méthode des intervalles lors de la résolution des inégalités à une variable). Construire des lignes droites

Par exemple, nous prenons un point et le substituons aux coordonnées des points qui satisfont l'inégalité.

Ainsi, le système original est satisfait par tous les points (et eux seuls) situés sur les rayons et mis en évidence dans le dessin avec des lignes grasses (c'est-à-dire que nous construisons des points dans une zone donnée).

Nous devons maintenant trouver l'unique une fois corrigé. Nous construisons des lignes parallèles coupant l'axe. et trouvez où il y aura un point d'intersection avec la ligne.

On constate sur la figure que l'exigence d'unicité de la solution est remplie si (pour déjà 2 points),

où est l'ordonnée du point d'intersection des droites et,

où est l'ordonnée du point d'intersection des droites et.

Nous obtenons donc< .

Répondre: < .

Tâche 10.

A quelles valeurs du paramètre le système a-t-il des solutions ?

Solution.

Factorisons le membre de gauche de l'inégalité du système, nous avons

Nous construisons des lignes droites et... Nous montrons sur la figure en ombrant l'ensemble des points du plan qui satisfait l'inégalité du système.

Alors les abscisses des arcs sélectionnés de l'hyperbole sont des solutions du système d'origine.M , P. , N , Q – les points nodaux. Trouvons leurs abscisses.

Pour les points P. , Q nous avons

Reste à écrire la réponse : ou.

Répondre: ou.

Tâche 11.

Trouvez toutes les valeurs pour lesquelles toute solution de l'inégalité de module ne dépasse pas deux ().

Solution .

Réécrivons cette inégalité sous cette forme. Construisons des graphiques des équations et =.

En utilisant la « méthode des intervalles », nous établissons que la solution à l’inégalité d’origine sera les zones ombrées.

Ceux. maintenant, si pour une valeur fixe la droite à l'intersection avec l'aire résultante ne donne que des points dont les abscisses satisfont à la condition < 2, alors est l’une des valeurs de paramètre souhaitées.

Donc on voit ça.

Répondre: .

Tâche 12.

Pour quelles valeurs du paramètre l'ensemble des solutions de l'inégalité ne contient-il pas plus de quatre valeurs entières ?

Solution.

Transformons cette inégalité en forme. Cette inégalité équivaut à la combinaison de deux systèmes

ou

Traçons des lignes droites où. Ensuite, la valeur pour laquelle la ligne coupe les lignes en quatre points maximum de l'ensemble marqué sera celle souhaitée. Nous voyons donc que c'est soit ou.

Répondre: ou ou.

Tâche 13.

À quelles valeurs de paramètreUN a un système de solution

Solution.

Racines d'un trinôme quadratique et.

Alors

Nous construisons des lignes droites et...

En utilisant la méthode des « intervalles », nous trouvons une solution à l’inégalité du système (zone ombrée).

On retrouve les valeurs du système

Le sens de et vient du système.

Répondre:

Tâche 14.

En fonction des valeurs des paramètresUN résoudre l’inégalité > .

Solution.

Réécrivons cette inégalité sous la forme et considérons la fonction, lequel, en développant les modules, nous écrivons comme ceci :

Directement à partir de la figure on obtient :

il n'y a pas de solutions ;

à ;

à.

Répondre: il n'y a pas de solutions ;

à ;

à.

Tâche 15.

Trouver toutes les valeurs du paramètre pour lequel le système d'inégalités

se contente d’un seul.

Solution.

Réécrivons ce système sous cette forme :

Construisons la région définie par ce système.

1) , est le sommet de la parabole.

2) - une ligne droite passant par des points et.

Trouvons la valeur :

= (ne convient pas aux besoins du problème),

Trouver l'ordonnée :

Répondre: ,

Tâche 16.

Rechercher toutes les valeurs des paramètresUN, dans lequel le système des inégalités

ne satisfait que pour un x.

Solution .

Construisons des paraboles et montrons en ombrant la solution du dernier système.

2) , .

La figure montre que la condition du problème est satisfaite lorsque ou.

Répondre: ou.

Tâche 17.

Pour quelles valeurs l'équation a-t-elle exactement trois racines ?

Solution.

Cette équation est équivalente à l'ensemble

Le graphique de population est une combinaison de graphiques paraboliques et angulaires.

Répondre:à.

Tâche 18.

Pour quelles valeurs l'équation a-t-elle exactement trois solutions ?

Solution.

Transformons le côté gauche de cette équation. On obtient une équation quadratique relative à.

On obtient l'équation

Ce qui équivaut à la totalité

Trouver les ordonnées des points d'intersection des paraboles :

On lit les informations nécessaires sur la figure : cette équation a trois solutions à ou

Répondre:à ou

Tâche 19.

En fonction du paramètre, déterminer le nombre de racines de l'équation

Solution .

Considérez cette équation comme quadratique par rapport à a.

,

.

On obtient la totalité

Répondre:: aucune solution ;

: une solution;

: deux solutions;

ou : trois solutions ;

ou : quatre solutions.

Tâche 20.

Combien de solutions le système propose-t-il ?

Solution.

Il est clair que le nombre de racines de la deuxième équation du système est égal au nombre de solutions du système lui-même.

Nous avons, .

En considérant cette équation comme une équation quadratique, on obtient l'ensemble.

Désormais, accéder au plan de coordonnées simplifie la tâche. On trouve les coordonnées des points d'intersection en résolvant l'équation

Sommets des paraboles et.

Réponse : quatre solutions ;

: deux solutions;

: une solution;

: pas de solutions.

Tâche 21.

Trouver toutes les valeurs réelles du paramètre pour lequel l'équation n'a que deux racines distinctes. Notez ces racines.

Solution .

Trouvons les racines du trinôme quadratique entre parenthèses :

Nous lisons les informations nécessaires sur l'image. Donc, cette équation a deux racines différentes en (et) et en (et)

Réponse : à (et) et

à (et).

Tâche 2 2 .

Résoudre le système d'inégalités :

Solution.

Tous les points dans la zone ombrée constituent une solution du système. Divisons la zone construite en deux parties.

Si c'est le cas, il n'y a pas de solutions.

Si, alors l'abscisse des points de la zone ombrée sera supérieure à l'abscisse des points de la droite, mais inférieure à l'abscisse (racine la plus grande de l'équation) de la parabole.

Exprimons-le par l'équation de la droite :

Trouvons les racines de l'équation :

Alors.

Si c'est le cas, alors.

Répondre: pour et 1, il n'y a pas de solutions ;

à;

à.

Tâche 23.

Résoudre le système d’inégalités

Solution.

– le sommet de la parabole.

Le sommet de la parabole.

Trouver l'abscisse des points d'intersection des paraboles :

Dans les équations des paraboles, nous les exprimons par :

Écrivons-le répondre:

si oui, alors il n’y a pas de solutions ;

si, alors< ;

si, alors.

Tâche 24.

À quelles valeurs et l'équation n'a pas de solutions ?

Solution.

L'équation est équivalente au système

Construisons de nombreuses solutions du système.

Trouvons à quoi et excluons-le.

Donc, car il n’y a pas de solutions ;

quand il n’y a pas de solutions ;

(attention : pour le resteUNil y a une ou deux solutions).

Répondre: ; .

Tâche 25.

Pour quelles valeurs réelles du paramètre y en a-t-il au moins une qui satisfait aux conditions :

Solution.

Résolvons l'inégalité graphiquement en utilisant la « méthode des intervalles » et construisons un graphique. Voyons quelle partie du graphique tombe dans la zone construite pour résoudre l'inégalité et trouvons les valeurs correspondantesUN.

Nous construisons des graphiques de lignes droites et

Ils divisent le plan de coordonnées en 4 régions.

Nous allons résoudre graphiquement la dernière inégalité en utilisant la méthode des intervalles.

La zone ombrée est sa solution. Une partie du graphique parabolique se situe dans cette zone. Sur l'intervalle; (par condition, l'inégalité du système est stricte) existent qui satisfont aux conditions du système donné.

Répondre:

Tâche 26.

Trouver toutes les valeurs du paramètre pour chacune desquelles l'ensemble des solutions de l'inégalité ne contient pas une seule solution de l'inégalité.

Solution.

Répondre: ou.

Tâche 27.

Pour quelles valeurs du paramètre l'équation a-t-elle une solution unique ?

Solution.

Factorisons le numérateur de la fraction.

Cette équation est équivalente au système :

Construisons un graphique de la population dans le plan de coordonnées.

ou

– point d'intersection des lignes et. Un graphique de population est une union de lignes droites.

« Poinçonnez » les points du graphique avec des abscisses.

Il est évident que ce n’est que pour ou que cette équation a une solution unique.

Répondre: ou.

Tâche 28.

Pour quelles valeurs réelles du paramètre le système d'inégalités n'a-t-il pas de solutions ?

Solution.

Nous construisons des lignes droites. A partir de la figure, nous déterminons que lorsque ( est l'abscisse du point d'intersection de l'hyperbole et de la droite), les droites ne coupent pas la zone ombrée.

Répondre:à.

Tâche 29.

À quelles valeurs de paramètreUN le système a une solution unique.

Solution.

Passons à un système équivalent à celui-ci.

Dans le plan de coordonnées, nous construirons respectivement des graphiques de paraboles et des sommets de paraboles, des points et.

Calculons les abscisses des points d'intersection des paraboles en résolvant l'équation

La zone grisée est la solution au système d’inégalités. Direct et

Répondre: chez moi.

Tâche 30.

Résoudre l'inégalité :

Solution.

En fonction du paramètre, nous trouverons la valeur.

Nous résoudrons l’inégalité en utilisant la « méthode des intervalles ».

Construisons des paraboles

: .

Calculons les coordonnées du point d'intersection des paraboles :

1) Si, alors il n’y a pas de solutions.

2) Si, alors dans l'équation nous l'exprimons par:

Ainsi, dans la zoneje nous avons.

Si c'est le cas, regardez :

a) région II .

Exprimons-le dans l'équation par.

Racine plus petite

Racine plus grosse.

Donc dans la région II nous avons.

b) région III : .

Répondre: quand il n’y a pas de solutions ;

à

à, .

Littérature:

Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Recueil de problèmes d'algèbre pour les classes 8 à 9 : Un manuel pour les élèves des écoles et des classes avec des études avancées de mathématiques - 2e éd. – M. : Éducation, 1994.

P. I. Gornshtein, V. B. Polonsky, M. S. Yakir. Problèmes avec les paramètres. 3e édition, augmentée et révisée. – M. : Ilexa, Kharkov : Gymnase, 2003.

Faddeev D.K. Algèbre 6 – 8. – M. : Éducation, 1983 (b – ka professeur de mathématiques).

A.H. Shakhmeister. Équations et inégalités avec paramètres. Edité par BG Ziv. S – Pétersbourg. Moscou. 2004.

V. V. Amelkin, V. L. Rabtsevich. Problèmes avec les paramètres Minsk « Asar », 2002.

A.H. Shakhmeister. Problèmes avec les paramètres de l'examen d'État unifié. Maison d'édition de l'Université de Moscou, CheRo sur Neva MTsNMO.

Les équations avec paramètres sont à juste titre considérées comme l'un des problèmes les plus difficiles en mathématiques scolaires. Ce sont précisément ces tâches qui, année après année, sont inscrites dans la liste des tâches de type B et C de l'examen d'État unifié de l'examen d'État unifié. Cependant, parmi le grand nombre d'équations avec paramètres, il existe celles qui peuvent facilement être résolues graphiquement. Considérons cette méthode en utilisant l'exemple de la résolution de plusieurs problèmes.

Trouver la somme des valeurs entières du nombre a pour laquelle l'équation |x 2 – 2x – 3| = a a quatre racines.

Solution.

Pour répondre à la question du problème, construisons des graphiques de fonctions sur un plan de coordonnées

y = |x 2 – 2x – 3| et y = une.

Graphique de la première fonction y = |x 2 – 2x – 3| sera obtenu à partir du graphique de la parabole y = x 2 – 2x – 3 en affichant symétriquement par rapport à l'axe des x la partie du graphique qui se trouve en dessous de l'axe Ox. La partie du graphique située au-dessus de l'axe des x restera inchangée.

Faisons-le étape par étape. Le graphique de la fonction y = x 2 – 2x – 3 est une parabole dont les branches sont dirigées vers le haut. Pour construire son graphe, on trouve les coordonnées du sommet. Cela peut être fait en utilisant la formule x 0 = -b/2a. Ainsi, x 0 = 2/2 = 1. Pour trouver la coordonnée du sommet de la parabole le long de l'axe des ordonnées, nous substituons la valeur résultante de x 0 dans l'équation de la fonction en question. On obtient que y 0 = 1 – 2 – 3 = -4. Cela signifie que le sommet de la parabole a les coordonnées (1 ; -4).

Ensuite, vous devez trouver les points d'intersection des branches de la parabole avec les axes de coordonnées. Aux points d'intersection des branches de la parabole avec l'axe des abscisses, la valeur de la fonction est nulle. Par conséquent, nous résolvons l’équation quadratique x 2 – 2x – 3 = 0. Ses racines seront les points requis. D’après le théorème de Vieta, nous avons x 1 = -1, x 2 = 3.

Aux points d'intersection des branches de la parabole avec l'axe des ordonnées, la valeur de l'argument est nulle. Ainsi, le point y = -3 est le point d'intersection des branches de la parabole avec l'axe y. Le graphique résultant est présenté à la figure 1.

Pour obtenir un graphique de la fonction y = |x 2 – 2x – 3|, affichons la partie du graphique située sous l'axe des x symétriquement par rapport à l'axe des x. Le graphique résultant est présenté à la figure 2.

Le graphique de la fonction y = a est une droite parallèle à l'axe des abscisses. Il est représenté sur la figure 3. En utilisant la figure, nous constatons que les graphiques ont quatre points communs (et l'équation a quatre racines) si a appartient à l'intervalle (0 ; 4).

Valeurs entières du nombre a de l'intervalle résultant : 1 ; 2 ; 3. Pour répondre à la question du problème, trouvons la somme de ces nombres : 1 + 2 + 3 = 6.

Réponse : 6.

Trouver la moyenne arithmétique des valeurs entières du nombre a pour lequel l'équation |x 2 – 4|x| – 1| = a a six racines.

Commençons par tracer la fonction y = |x 2 – 4|x| – 1|. Pour ce faire, on utilise l'égalité a 2 = |a| 2 et sélectionnez le carré complet dans l'expression sous-modulaire écrite à droite de la fonction :

x2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 – 4|x| + 4) – 1 – 4 = (|x |– 2) 2 – 5.

Alors la fonction originale aura la forme y = |(|x| – 2) 2 – 5|.

Pour construire un graphique de cette fonction, nous construisons des graphiques séquentiels de fonctions :

1) y = (x – 2) 2 – 5 – parabole dont le sommet est au point de coordonnées (2 ; -5) ; (Fig.1).

2) y = (|x| – 2) 2 – 5 – une partie de la parabole construite à l'étape 1, qui est située à droite de l'axe des ordonnées, est affichée symétriquement à gauche de l'axe Oy ; (Fig.2).

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| – la partie du graphique construite au point 2, qui est située en dessous de l'axe des x, est affichée symétriquement par rapport à l'axe des x vers le haut. (Fig. 3).

Regardons les dessins résultants :

Le graphique de la fonction y = a est une droite parallèle à l'axe des abscisses.

A l'aide de la figure, nous concluons que les graphiques de fonctions ont six points communs (l'équation a six racines) si a appartient à l'intervalle (1 ; 5).

Cela peut être vu dans la figure suivante :

Trouvons la moyenne arithmétique des valeurs entières du paramètre a :

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

Réponse : 3.

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