Quelle est la forme originale de l'équation linéaire. Résolution d'équations linéaires à une variable

• Une égalité avec une variable s’appelle une équation.
• Résoudre une équation signifie trouver ses nombreuses racines. Une équation peut avoir une, deux, plusieurs, plusieurs racines ou aucune.
• Chaque valeur d'une variable à laquelle une équation donnée se transforme en une véritable égalité est appelée racine de l'équation.
• Les équations qui ont les mêmes racines sont appelées équations équivalentes.
• N'importe quel terme de l'équation peut être transféré d'une partie de l'égalité à une autre, en changeant le signe du terme en son contraire.
• Si les deux côtés d’une équation sont multipliés ou divisés par le même nombre non nul, vous obtenez une équation équivalente à l’équation donnée.

Exemples. Résolvez l’équation.

1. 1,5x+4 = 0,3x-2.

1,5x-0,3x = -2-4. Nous avons collecté les termes contenant la variable du côté gauche de l'égalité, et les termes libres du côté droit de l'égalité. Dans ce cas, la propriété suivante a été utilisée :

1,2x = -6. Apporté termes similaires selon la règle :

x = -6 : 1.2. Les deux côtés de l'égalité ont été divisés par le coefficient de la variable, puisque

x = -5. Divisé selon la règle de division d'une fraction décimale par décimal:

Pour diviser un nombre par une fraction décimale, vous devez déplacer les virgules du dividende et du diviseur d'autant de chiffres vers la droite qu'il y a après la virgule décimale du diviseur, puis diviser par l'entier naturel :

6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.

Répondre: 5.

2. 3∙ (2x-9) = 4 ∙ (x-4).

6x-27 = 4x-16. Nous avons ouvert les parenthèses en utilisant la loi distributive de multiplication relative à la soustraction : (a-b) ∙ c = une ∙ c-b ∙ c.

6x-4x = -16+27. Nous avons collecté les termes contenant la variable du côté gauche de l'égalité, et les termes libres du côté droit de l'égalité. Dans ce cas, la propriété suivante a été utilisée : n'importe quel terme de l'équation peut être transféré d'une partie de l'égalité à une autre, changeant ainsi le signe du terme en son contraire.

2x = 11. Des termes similaires ont été donnés selon la règle : pour amener des termes similaires, vous devez additionner leurs coefficients et multiplier le résultat obtenu par leur partie de lettre commune (c'est-à-dire ajouter leur partie de lettre commune au résultat obtenu).

x = 11 : 2. Les deux côtés de l'égalité ont été divisés par le coefficient de la variable, puisque Si les deux côtés de l’équation sont multipliés ou divisés par le même nombre non nul, vous obtenez une équation équivalente à l’équation donnée.

Répondre: 5,5.

3. 7x- (3+2x)=x-9.

7x-3-2x = x-9. Nous avons ouvert les parenthèses selon la règle d'ouverture des parenthèses précédée du signe « - » : s'il y a un signe « - » devant les parenthèses, alors retirez les parenthèses, le signe « - » et écrivez les termes entre parenthèses avec des signes opposés.

7x-2x-x = -9+3. Nous avons collecté les termes contenant la variable du côté gauche de l'égalité, et les termes libres du côté droit de l'égalité. Dans ce cas, la propriété suivante a été utilisée : n'importe quel terme de l'équation peut être transféré d'une partie de l'égalité à une autre, changeant ainsi le signe du terme en son contraire.

4x = -6. Des termes similaires ont été donnés selon la règle : pour amener des termes similaires, vous devez additionner leurs coefficients et multiplier le résultat obtenu par leur partie de lettre commune (c'est-à-dire ajouter leur partie de lettre commune au résultat obtenu).

x = -6 : 4. Les deux côtés de l'égalité ont été divisés par le coefficient de la variable, puisque Si les deux côtés de l’équation sont multipliés ou divisés par le même nombre non nul, vous obtenez une équation équivalente à l’équation donnée.

Répondre: -1,5.

3 ∙ (x-5) = 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2x-11). Multipliez les deux côtés de l'équation par 12 - le plus petit dénominateur commun pour les dénominateurs de ces fractions.

3x-15 = 84-8x+44. Nous avons ouvert les parenthèses en utilisant la loi distributive de multiplication relative à la soustraction : Afin de multiplier la différence de deux nombres par un troisième nombre, vous pouvez multiplier séparément le minuend et le soustrahend par le troisième nombre, puis soustraire le deuxième résultat du premier résultat, c'est-à-dire(a-b) ∙ c = une ∙ c-b ∙ c.

3x+8x = 84+44+15. Nous avons collecté les termes contenant la variable du côté gauche de l'égalité, et les termes libres du côté droit de l'égalité. Dans ce cas, la propriété suivante a été utilisée : n'importe quel terme de l'équation peut être transféré d'une partie de l'égalité à une autre, changeant ainsi le signe du terme en son contraire.

Lors de la résolution d’équations linéaires, nous nous efforçons de trouver une racine, c’est-à-dire une valeur pour une variable qui transformera l’équation en une égalité correcte.

Pour trouver la racine de l'équation dont vous avez besoin des transformations équivalentes amènent l'équation qui nous est donnée à la forme

\(x=[nombre]\)

Ce numéro sera la racine.

Autrement dit, nous transformons l'équation, la rendant plus simple à chaque étape, jusqu'à la réduire à une équation complètement primitive « x = nombre », où la racine est évidente. Le plus souvent utilisé pour résoudre équations linéaires sont les transformations suivantes :

Par exemple: ajoutez \(5\) aux deux côtés de l'équation \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Veuillez noter que nous pourrions obtenir le même résultat plus rapidement en écrivant simplement le cinq de l’autre côté de l’équation et en changeant son signe. En fait, c’est exactement ainsi que se fait le « transfert d’égal à égal avec changement de signe vers l’opposé » de l’école.

2. Multiplier ou diviser les deux côtés d'une équation par le même nombre ou la même expression.

Par exemple: divisez l'équation \(-2x=8\) par moins deux

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

Généralement cette étape est effectué à la toute fin, lorsque l'équation est déjà réduite à la forme \(ax=b\), et on divise par \(a\) pour la supprimer de la gauche.

3. Utiliser les propriétés et les lois des mathématiques : ouvrir des parenthèses, rapprocher des termes similaires, réduire des fractions, etc.

Ajouter \(2x\) à gauche et à droite

Soustraire \(24\) des deux côtés de l'équation

Nous présentons à nouveau des termes similaires

Maintenant, nous divisons l'équation par \(-3\), supprimant ainsi le devant X sur le côté gauche.

Répondre : \(7\)

La réponse a été trouvée. Cependant, vérifions-le. Si sept est vraiment une racine, alors le remplacer à la place de X dans l'équation d'origine devrait donner l'égalité correcte - mêmes numéros gauche et droite. Essayons.

Examen:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

Ça a marché. Cela signifie que sept est bien la racine de l’équation linéaire originale.

Ne soyez pas paresseux pour vérifier les réponses que vous avez trouvées par substitution, surtout si vous résolvez une équation lors d'un test ou d'un examen.

La question demeure : comment déterminer quoi faire de l’équation à l’étape suivante ? Comment le convertir exactement ? Diviser par quelque chose ? Ou soustraire ? Et que dois-je soustraire exactement ? Diviser par quoi ?

La réponse est simple :

Votre objectif est d'amener l'équation à la forme \(x=[nombre]\), c'est-à-dire qu'à gauche se trouve x sans coefficients ni nombres, et à droite se trouve uniquement un nombre sans variables. Par conséquent, regardez ce qui vous arrête et faire le contraire de ce que fait le composant interférent.

Pour mieux comprendre cela, examinons la solution de l'équation linéaire \(x+3=13-4x\) étape par étape.

Réfléchissons : en quoi cette équation diffère-t-elle de \(x=[number]\) ? Qu'est-ce qui nous arrête ? Qu'est-ce qui ne va pas?

Eh bien, premièrement, les trois interfèrent, puisqu'à gauche il ne devrait y avoir qu'un seul X, sans chiffres. Que « fait » la troïka ? Ajoutéà X. Donc, pour le supprimer - soustraire les trois mêmes. Mais si on soustrait les trois à gauche, il faut le soustraire à droite pour que l’égalité ne soit pas violée.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

Bien. Maintenant, qu'est-ce qui t'arrête ? \(4x\) à droite, car il ne devrait y avoir que des chiffres. \(4x\) déduit- nous supprimons en ajoutant.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Nous présentons maintenant des termes similaires à gauche et à droite.

C'est presque prêt. Il ne reste plus qu'à supprimer les cinq de gauche. Que « fait-elle » ? Multiplie sur x. Alors supprimons-le division.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

La solution est complète, la racine de l’équation est deux. Vous pouvez vérifier par substitution.

Noter que le plus souvent, il n'y a qu'une seule racine dans les équations linéaires. Toutefois, deux cas particuliers peuvent se présenter.

Cas particulier 1 – il n'y a pas de racines dans une équation linéaire.

Exemple . Résoudre l'équation \(3x-1=2(x+3)+x\)

Solution :

Répondre : pas de racines.

En fait, le fait que nous parviendrons à un tel résultat était visible plus tôt, même lorsque nous avons reçu \(3x-1=3x+6\). Pensez-y : comment \(3x\) auquel nous avons soustrait \(1\), et \(3x\) auquel nous avons ajouté \(6\) peuvent-ils être égaux ? Évidemment, pas question, car ils ont fait la même chose différentes actions! Il est clair que les résultats varieront.

Cas particulier 2 – une équation linéaire a un nombre infini de racines.

Solution :

Répondre : n'importe quel nombre.

Ceci, d'ailleurs, était perceptible encore plus tôt, au stade : \(8x+12=8x+12\). En effet, gauche et droite sont les mêmes expressions. Quel que soit le X que vous remplacez, ce sera le même numéro ici et là.

Équations linéaires plus complexes.

L'équation originale ne semble pas toujours immédiatement linéaire ; parfois elle est « masquée » par d'autres, plus équations complexes. Cependant, au cours du processus de transformation, le déguisement disparaît.

Exemple . Trouver la racine de l'équation \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)

Solution :

Répondre : \(x=5\)

Exemple . Résoudre l'équation linéaire \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)( 6 )\)

Solution :

Répondre : \(x=-1,25\)

Remarques importantes !
1. Si vous voyez du charabia au lieu de formules, videz votre cache. Comment faire cela dans votre navigateur est écrit ici :
2. Avant de commencer à lire l'article, faites attention à notre navigateur pour la plupart ressource utile Pour

Que sont les « équations linéaires »

ou dans oralement- Trois amis ont reçu des pommes en partant du principe que Vasya avait toutes les pommes qu'il avait.

Et maintenant tu as déjà décidé équation linéaire
Donnons maintenant à ce terme une définition mathématique.

Équation linéaire - Ce équation algébrique, qui a diplôme complet de ses polynômes constitutifs est égal à. Cela ressemble à ceci :

Où et sont des chiffres et

Pour notre cas avec Vasya et les pommes, nous écrirons :

- "si Vasya donne le même nombre de pommes aux trois amis, il n'aura plus de pommes"

Les équations linéaires « cachées », ou l'importance des transformations identitaires

Malgré le fait qu'à première vue tout soit extrêmement simple, il faut être prudent lors de la résolution d'équations, car les équations linéaires sont appelées non seulement des équations de ce type, mais aussi toutes les équations qui peuvent être réduites à ce type par des transformations et des simplifications. Par exemple:

On voit ce qui se trouve à droite, ce qui, en théorie, indique déjà que l'équation n'est pas linéaire. De plus, si nous ouvrons les parenthèses, nous obtiendrons deux termes supplémentaires dans lesquels ce sera, mais ne te précipite pas pour tirer des conclusions! Avant de juger si une équation est linéaire, il faut faire toutes les transformations et ainsi simplifier exemple original. Dans ce cas, les transformations peuvent changer apparence, mais pas l’essence même de l’équation.

En d'autres termes, les données de transformation doivent être identique ou équivalent. Il n'y a que deux transformations de ce type, mais elles jouent très, TRÈS rôle important lors de la résolution de problèmes. Examinons les deux transformations à l'aide d'exemples spécifiques.

Transfert gauche - droite.

Disons que nous devons résoudre l'équation suivante :

De retour école primaire On nous a dit : « avec des X - à gauche, sans X - à droite ». Quelle expression avec un X se trouve à droite ? C'est vrai, mais pas comment. Et c'est important, car si cela est mal compris, il semblerait question simple, la mauvaise réponse apparaît. Quelle expression avec un X se trouve à gauche ? Droite, .

Maintenant que nous avons compris cela, nous transférons tous les termes avec des inconnues vers côté gauche, et tout ce qui est connu - à droite, en rappelant que s'il n'y a pas de signe devant le nombre, par exemple, alors le nombre est positif, c'est-à-dire qu'il y a un signe « » devant lui.

Transféré? Qu'as-tu obtenu ?

Il ne reste plus qu'à adopter des conditions similaires. Nous présentons :

Nous avons donc analysé avec succès la première transformation identique, même si je suis sûr que vous la connaissiez et que vous l'avez activement utilisée sans moi. L'essentiel est de ne pas oublier les signes des nombres et de les remplacer par des signes opposés lors du passage par le signe égal !

Multiplication-division.

Commençons tout de suite par un exemple

Regardons et réfléchissons : qu’est-ce qui ne nous plaît pas dans cet exemple ? L'inconnu est dans une partie, le connu dans une autre, mais quelque chose nous arrête... Et ce quelque chose vaut quatre, car sans cela, tout serait parfait - x égal au nombre- exactement ce dont nous avons besoin !

Comment s'en débarrasser ? Nous ne pouvons pas le déplacer vers la droite, car nous devons alors déplacer tout le multiplicateur (nous ne pouvons pas le prendre et l'en arracher), et déplacer tout le multiplicateur n'a également aucun sens...

Il est temps de se souvenir de la division, alors divisons tout par ! Tout - cela signifie à la fois la gauche et côté droit. Par ici et seulement par ici ! Que faisons-nous ?

Voici la réponse.

Regardons maintenant un autre exemple :

Pouvez-vous deviner ce qu’il faut faire dans ce cas ? C'est vrai, multipliez les côtés gauche et droit par ! Quelle réponse avez-vous reçu ? Droite. .

Sûrement tout est question transformations identitaires tu le savais déjà. Considérez que nous avons simplement rafraîchi ces connaissances dans votre mémoire et qu'il est temps de faire quelque chose de plus - Par exemple, pour résoudre notre grand exemple :

Comme nous l'avons dit plus tôt, en y regardant, on ne peut pas dire que cette équation est linéaire, mais il faut ouvrir les parenthèses et effectuer des transformations identiques. Alors commençons !

Pour commencer, rappelons les formules de multiplication abrégée, notamment le carré de la somme et le carré de la différence. Si vous ne vous souvenez pas de ce que c'est et comment les parenthèses sont ouvertes, je vous recommande fortement de lire le sujet, car ces compétences vous seront utiles pour résoudre presque tous les exemples rencontrés lors de l'examen.
Révélé? Comparons :

Il est maintenant temps d'introduire des termes similaires. Tu te souviens comment nous étions dans le même école primaire ont-ils dit « on ne met pas de mouches avec des côtelettes » ? Ici, je vous le rappelle. Nous ajoutons tout séparément : les facteurs qui les possèdent, les facteurs qui les possèdent et les facteurs restants qui n'ont pas d'inconnues. Lorsque vous apportez des termes similaires, déplacez toutes les inconnues vers la gauche et tout ce qui est connu vers la droite. Qu'as-tu obtenu ?

Comme vous pouvez le constater, les X sur le carré ont disparu et nous voyons quelque chose de tout à fait normal. équation linéaire. Il ne reste plus qu'à le trouver !

Et enfin, j'en dirai encore une très chose importanteà propos des transformations d'identité - les transformations d'identité sont applicables non seulement aux équations linéaires, mais également aux équations quadratiques, fractionnaires rationnelles et autres. Vous devez juste vous rappeler que lorsque nous transférons des facteurs via le signe égal, nous changeons le signe en celui opposé, et lorsque nous divisons ou multiplions par un nombre, nous multiplions/divisons les deux côtés de l'équation par le MÊME nombre.

Qu’avez-vous retenu d’autre de cet exemple ? Qu’en examinant une équation, il n’est pas toujours possible de déterminer directement et précisément si elle est linéaire ou non. Il faut d'abord simplifier complètement l'expression, et ensuite seulement juger de quoi il s'agit.

Équations linéaires. Exemples.

Voici quelques exemples supplémentaires que vous pourrez pratiquer par vous-même : déterminez si l'équation est linéaire et si c'est le cas, trouvez ses racines :

Réponses :

1. Est.

2. Ce n'est pas.

Ouvrons les parenthèses et présentons des termes similaires :

Effectuons une transformation identique - divisons les côtés gauche et droit en :

On voit que l’équation n’est pas linéaire, il n’est donc pas nécessaire de chercher ses racines.

3. Est.

Effectuons une transformation identique : multipliez les côtés gauche et droit par pour éliminer le dénominateur.

Pensez à pourquoi c'est si important ? Si vous connaissez la réponse à cette question, passez à la résolution plus approfondie de l'équation ; sinon, assurez-vous d'examiner le sujet afin de ne pas commettre d'erreurs ; exemples complexes. D’ailleurs, comme vous pouvez le constater, la situation est impossible. Pourquoi?
Alors, allons-y et réorganisons l'équation :

Si vous avez tout géré sans difficulté, parlons des équations linéaires à deux variables.

Équations linéaires à deux variables

Passons maintenant à des équations un peu plus complexes : linéaires à deux variables.

Équations linéairesà deux variables ont la forme :

Où, et - tous les chiffres et.

Comme vous pouvez le constater, la seule différence est qu’une autre variable est ajoutée à l’équation. Et donc tout est pareil - il n'y a pas de x au carré, pas de division par une variable, etc. etc.

Lequel dois-je vous apporter ? exemple de vie... Prenons le même Vasya. Disons qu'il décide de donner à chacun de ses 3 amis le même nombre de pommes et de garder les pommes pour lui. Combien de pommes Vasya doit-il acheter s'il donne une pomme à chaque ami ? Et ? Et si par ?

La dépendance du nombre de pommes que chaque personne recevra par nombre total les pommes qui doivent être achetées seront exprimées par l'équation :

• - le nombre de pommes qu'une personne recevra (, ou, ou) ;
• - le nombre de pommes que Vasya prendra pour lui-même ;
• - combien de pommes Vasya doit-il acheter, en tenant compte du nombre de pommes par personne ?

En résolvant ce problème, nous obtenons que si Vasya donne une pomme à un ami, alors il doit en acheter des morceaux, s'il donne des pommes, etc.

Et en général. Nous avons deux variables. Pourquoi ne pas tracer cette relation sur un graphique ? Nous construisons et marquons la valeur des nôtres, c'est-à-dire des points, avec des coordonnées, et !

Comme vous pouvez le voir, ils dépendent les uns des autres linéaire, d'où le nom des équations - " linéaire».

Faisons abstraction des pommes et regardons-les graphiquement diverses équations. Regardez attentivement les deux graphiques construits - une droite et une parabole, spécifiés par des fonctions arbitraires :

Trouvez et marquez les points correspondants dans les deux images.
Qu'as-tu obtenu ?

Vous voyez cela sur le graphique de la première fonction seul correspond un, c'est-à-dire qu'ils dépendent également linéairement les uns des autres, ce qui ne peut pas être dit de la deuxième fonction. Bien sûr, vous pouvez affirmer que dans le deuxième graphique, x - correspond également, mais ce n'est qu'un point, c'est-à-dire cas particulier, puisque vous pouvez toujours en trouver un qui correspond à plusieurs. Et le graphique construit ne ressemble en aucun cas à une ligne, mais est une parabole.

Je le répète encore une fois : le graphique d'une équation linéaire doit être une ligne DROITE.

Avec le fait que l'équation ne sera pas linéaire si nous allons jusqu'à un certain degré - cela est compréhensible en utilisant l'exemple d'une parabole, bien que vous puissiez en construire quelques autres pour vous-même graphiques simples, par exemple ou. Mais je vous assure qu’aucun d’entre eux ne sera une LIGNE DROITE.

Vous ne me croyez pas ? Construisez-le puis comparez-le avec ce que j'ai obtenu :

Que se passe-t-il si nous divisons quelque chose par, par exemple, un nombre ? Y aura-t-il dépendance linéaire Et? Ne discutons pas, mais construisons ! Par exemple, construisons un graphique d'une fonction.

D’une manière ou d’une autre, cela ne semble pas être construit comme une ligne droite… par conséquent, l’équation n’est pas linéaire.
Résumons :

1. Équation linéaire - est une équation algébrique dans laquelle le degré total de ses polynômes constitutifs est égal.
2. Équation linéaire avec une variable a la forme :
   , où et sont des nombres ;
   Équation linéaire avec deux variables :
   , où et sont des nombres.
3. Il n’est pas toujours possible de déterminer immédiatement si une équation est linéaire ou non. Parfois, pour comprendre cela, il faut effectuer des transformations identiques, déplacer des termes similaires vers la gauche/droite, sans oublier de changer de signe, ou multiplier/diviser les deux côtés de l'équation par le même nombre.

ÉQUATIONS LINÉAIRES. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

1. Équation linéaire

Il s'agit d'une équation algébrique dans laquelle le degré total de ses polynômes constitutifs est égal.

2. Équation linéaire à une variable a la forme :

Où et sont des chiffres ?

3. Équation linéaire à deux variables a la forme :

Où, et - n'importe quel nombre.

4. Transformations identitaires

Pour déterminer si une équation est linéaire ou non, il faut effectuer des transformations identiques :

• déplacer les termes similaires vers la gauche/droite, sans oublier de changer le signe ;
• multiplier/diviser les deux côtés de l’équation par le même nombre.

Eh bien, le sujet est terminé. Si vous lisez ces lignes, c’est que vous êtes très cool.

Parce que seulement 5 % des gens sont capables de maîtriser quelque chose par eux-mêmes. Et si vous lisez jusqu'au bout, alors vous êtes dans ces 5% !

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Les équations en mathématiques sont aussi importantes que les verbes en russe. Sans la capacité de trouver la racine d’une équation, il est difficile de dire que l’élève maîtrise le cours d’algèbre. De plus, chaque type possède ses propres solutions spéciales.

Qu'est-ce que c'est?

Une équation est constituée de deux expressions arbitraires contenant des variables entre lesquelles un signe égal est placé. De plus, le nombre de quantités inconnues peut être arbitraire. Quantité minimale- un.

Le résoudre signifie découvrir s’il existe une racine de l’équation. C’est-à-dire le nombre qui en fait une véritable égalité. S’il n’y en a pas, alors la réponse est qu’« il n’y a pas de racines ». Mais l’inverse peut aussi être vrai, lorsque la réponse est une série de chiffres.

Quels types d’équations existe-t-il ?

Linéaire. Il contient une variable dont le degré est égal à un.

• Carré. La variable a une puissance de 2, ou des transformations font apparaître une telle puissance.
• Équation du plus haut degré.
• Fractionnel-rationnel. Lorsqu'une variable apparaît au dénominateur d'une fraction.
• Avec module.
• Irrationnel. C'est-à-dire celui qui contient une racine algébrique.

Comment résoudre une équation linéaire ?

C'est basique. C’est le look que tout le monde s’efforce d’atteindre. Puisqu'il est assez facile de trouver la racine de l'équation.

• Vous devez d’abord effectuer les transformations possibles, c’est-à-dire ouvrir les parenthèses et apporter des termes similaires.
• Déplacez tous les monômes de variableà gauche de l'égalité, laissant les termes libres à droite.
• Donnez des termes similaires dans chaque partie de l’équation à résoudre.
• Dans l'égalité résultante, la moitié gauche contiendra le produit du coefficient et de la variable, et la moitié droite contiendra le nombre.
• Reste à trouver la racine de l'équation en divisant le nombre de droite par le coefficient devant l'inconnue.

Comment trouver les racines d’une équation quadratique ?

Il faut d'abord l'amener à vue standard, c'est-à-dire ouvrez toutes les parenthèses, apportez des termes similaires et déplacez tous les monômes vers la gauche. Il ne devrait rester que zéro du côté droit de l’égalité.

• Utilisez la formule discriminante. Mettez au carré le coefficient de l’inconnue de puissance « 1 ». Multipliez le monôme libre et le nombre devant la variable au carré par le nombre 4. Soustrayez le produit du carré obtenu.
• Estimer la valeur du discriminant. C’est négatif : la solution est complète, puisqu’elle n’a pas de racines. Égal à zéro- la réponse sera un chiffre. Positif - la variable a deux valeurs.

Comment résoudre une équation cubique ?

Trouvez d’abord la racine de l’équation x. Il est déterminé en sélectionnant des nombres diviseurs du terme libre. Il est pratique d’envisager cette méthode à exemple spécifique. Soit l'équation : x 3 - 3x 2 - 4x + 12 = 0.

Son membre gratuit est égal à 12. Alors les diviseurs à vérifier seront positifs et nombres négatifs: 1, 2, 3, 4, 6 et 12. La recherche peut déjà être complétée au chiffre 2. Cela donne l'égalité correcte dans l'équation. Autrement dit, son côté gauche s'avère être nul. Le nombre 2 est donc la première racine de l’équation cubique.

Vous devez maintenant diviser l'équation d'origine par la différence de la variable et de la première racine. Dans l'exemple spécifique, il s'agit de (x - 2). Une simple transformation conduit le numérateur à la factorisation suivante : (x - 2)(x + 2)(x - 3). Les mêmes facteurs du numérateur et du dénominateur s'annulent, et les deux parenthèses restantes une fois ouvertes donnent un simple équation quadratique: x 2 - x - 6 = 0.

Trouvez ici les deux racines de l’équation en utilisant le principe décrit dans la section précédente. Il s'avère que ce sont des nombres : 3 et -2.

Total, pour un équation cubique nous avons trois racines : 2, -2 et 3.

Comment les systèmes d’équations linéaires sont-ils résolus ?

Une méthode d'élimination des inconnues est proposée ici. Elle consiste à exprimer une inconnue par rapport à une autre dans une équation et à substituer cette expression dans une autre. De plus, la solution d’un système de deux équations à deux inconnues est toujours une paire de variables.

Si les variables qu'ils contiennent sont désignées par les lettres x 1 et x 2, alors il est possible de déduire, par exemple, x 2 de la première égalité. Ensuite, il est remplacé par le second. La transformation nécessaire est effectuée : ouverture des équerres et coulée membres similaires. Le résultat est une équation linéaire simple dont la racine est facile à calculer.

Revenez maintenant à la première équation et trouvez la racine de l'équation x 2 en utilisant l'équation résultante. Ces deux chiffres sont la réponse.

Afin d'être sûr de la réponse reçue, il est recommandé de toujours vérifier. Il n’est pas nécessaire de l’écrire.

Si une équation est résolue, chacune de ses racines doit être remplacée par l'égalité d'origine et obtenir les mêmes nombres des deux côtés. Tout s'est mis en place - la décision était la bonne.

Lorsque vous travaillez avec le système, des racines doivent être insérées dans chaque solution et tout actions possibles. L'équation est-elle correcte ? La décision est donc correcte.

Vous devez d’abord comprendre de quoi il s’agit.

Il existe une définition simple équation linéaire qui est donné dans école ordinaire: "une équation dans laquelle la variable n'apparaît qu'à la première puissance." Mais ce n’est pas tout à fait exact : l’équation n’est pas linéaire, elle ne se réduit même pas à cela, elle se réduit au quadratique.

Plus définition précise est-ce: équation linéaire est une équation qui, en utilisant transformations équivalentes peut être réduit à la forme , où title="a,b in bbR, ~a0">. На деле мы будем приводить это уравнение к виду путём переноса в правую часть и деления обеих частей уравнения на . Осталось разъяснить, какие уравнения и как мы можем привести к такому виду, и, самое главное, что дальше делать с ними, чтобы решить его.!}

En fait, pour comprendre si une équation est linéaire ou non, il faut d'abord la simplifier, c'est-à-dire la mettre sous une forme où sa classification sera sans ambiguïté. N'oubliez pas que vous pouvez faire ce que vous voulez avec une équation tant qu'elle ne change pas ses racines - c'est ce que c'est. conversion équivalente. Les transformations équivalentes les plus simples incluent :

1. parenthèses ouvrantes
2. apportant des choses similaires
3. multiplier et/ou diviser les deux côtés d'une équation par un nombre non nul
4. ajouter et/ou soustraire des deux côtés du même nombre ou de la même expression*

Exemple 1 :
(ouvrons les parenthèses)
(ajouter aux deux parties et soustraire/transférer en changeant le signe du nombre à gauche et les variables à droite)
(donnons-en des similaires)
(divisez les deux côtés de l'équation par 3)

Nous obtenons donc une équation qui a les mêmes racines que celle d’origine. Rappelons au lecteur que "résoudre l'équation"- c'est retrouver toutes ses racines et prouver qu'il n'y en a pas d'autres, et "racine de l'équation"- c'est un nombre qui, substitué à l'inconnue, transformera l'équation en une véritable égalité. Eh bien, dans la dernière équation, trouver un nombre qui transforme l'équation en une véritable égalité est très simple : c'est le nombre. Aucun autre numéro d'identité de équation donnée je ne le ferai pas. Répondre:

Exemple 2 :
(multipliez les deux côtés de l'équation par , après s'être assuré qu'on ne multiplie pas par : title="x3/2"> и title="x3">. То есть если такие корни получатся, то мы их обязаны будем выкинуть.)!}
(ouvrons les parenthèses)
(déplaçons les termes)
(donnons-en des similaires)
(on divise les deux parties par )

C’est à peu près ainsi que toutes les équations linéaires sont résolues. Pour les jeunes lecteurs, probablement explication donnée cela semblait compliqué, nous vous proposons donc une version "équations linéaires pour la 5e année"