Comment trouver le plus petit commun multiple de deux. Que signifie NOC en mathématiques ?

Mais de nombreux nombres naturels sont également divisibles par d’autres nombres naturels.

Par exemple:

Le nombre 12 est divisible par 1, par 2, par 3, par 4, par 6, par 12 ;

Le nombre 36 est divisible par 1, par 2, par 3, par 4, par 6, par 12, par 18, par 36.

Les nombres par lesquels le nombre est divisible par un tout (pour 12 ce sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12) sont appelés diviseurs de nombres. Diviseur d'un nombre naturel un- est un nombre naturel qui divise un nombre donné un sans laisser de trace. Un nombre naturel qui a plus de deux diviseurs s'appelle composite .

Veuillez noter que les nombres 12 et 36 ont des facteurs communs. Ces nombres sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12. Le plus grand diviseur de ces nombres est 12. Le diviseur commun de ces deux nombres un Et b- c'est le nombre par lequel les deux nombres donnés sont divisés sans reste un Et b.

Multiples communs plusieurs nombres est un nombre divisible par chacun de ces nombres. Par exemple, les nombres 9, 18 et 45 ont un multiple commun de 180. Mais 90 et 360 sont aussi leurs multiples communs. Parmi tous les multiples communs, il y en a toujours un plus petit, dans ce cas il s'agit de 90. Ce nombre s'appelle le plus petitcommun multiple (CMM).

Le LCM est toujours un nombre naturel qui doit être supérieur au plus grand des nombres pour lesquels il est défini.

Le plus petit commun multiple (LCM). Propriétés.

Commutativité:

Associativité :

En particulier, si et sont des nombres premiers entre eux, alors :

Plus petit commun multiple de deux entiers m Et n est un diviseur de tous les autres multiples communs m Et n. De plus, l’ensemble des multiples communs m, n coïncide avec l'ensemble des multiples du LCM( m, n).

Les asymptotiques de peuvent être exprimées en termes de certaines fonctions de la théorie des nombres.

Donc, Fonction Chebyshev. Et:

Cela découle de la définition et des propriétés de la fonction de Landau g(n).

Ce qui découle de la loi de distribution des nombres premiers.

Recherche du plus petit commun multiple (LCM).

CNP ( un B) peut être calculé de plusieurs manières :

1. Si le plus grand diviseur commun est connu, vous pouvez utiliser sa connexion avec le LCM :

2. Connaître la décomposition canonique des deux nombres en facteurs premiers :

Où p 1 ,...,p k- divers nombres premiers, et d 1 ,...,dk Et e 1 ,...,ek— des entiers non négatifs (ils peuvent être des zéros si le nombre premier correspondant n'est pas dans le développement).

Puis CNP ( un,b) est calculé par la formule :

En d'autres termes, la décomposition LCM contient tous les facteurs premiers inclus dans au moins une des décompositions de nombres un B, et le plus grand des deux exposants de ce multiplicateur est pris.

Exemple:

Le calcul du plus petit commun multiple de plusieurs nombres peut se réduire à plusieurs calculs séquentiels du LCM de deux nombres :

Règle. Pour trouver le LCM d’une série de nombres, il vous faut :

- décomposer les nombres en facteurs premiers ;

- transférer la plus grande décomposition (le produit des facteurs du plus grand nombre de ceux donnés) aux facteurs du produit souhaité, puis ajouter des facteurs issus de la décomposition d'autres nombres qui n'apparaissent pas dans le premier nombre ou qui y apparaissent moins de fois ;

— le produit résultant de facteurs premiers sera le LCM des nombres donnés.

Deux nombres naturels ou plus ont leur propre LCM. Si les nombres ne sont pas des multiples les uns des autres ou n'ont pas les mêmes facteurs d'expansion, alors leur LCM est égal au produit de ces nombres.

Les facteurs premiers du nombre 28 (2, 2, 7) sont complétés par un facteur 3 (le nombre 21), le produit résultant (84) sera le plus petit nombre divisible par 21 et 28.

Les facteurs premiers du plus grand nombre 30 sont complétés par le facteur 5 du nombre 25, le produit résultant 150 est supérieur au plus grand nombre 30 et est divisible par tous les nombres donnés sans reste. Il s'agit du plus petit produit possible (150, 250, 300...) qui est un multiple de tous les nombres donnés.

Les nombres 2,3,11,37 sont des nombres premiers, donc leur LCM est égal au produit des nombres donnés.

Règle. Pour calculer le LCM des nombres premiers, vous devez multiplier tous ces nombres entre eux.

Une autre option:

Pour trouver le plus petit commun multiple (LCM) de plusieurs nombres dont vous avez besoin :

1) représenter chaque nombre comme un produit de ses facteurs premiers, par exemple :

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) écrire les puissances de tous les facteurs premiers :

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) noter tous les diviseurs premiers (multiplicateurs) de chacun de ces nombres ;

4) choisir le plus grand degré de chacun d'eux, trouvé dans tous les développements de ces nombres ;

5) multiplier ces pouvoirs.

Exemple. Trouvez le LCM des nombres : 168, 180 et 3024.

Solution. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Nous notons les plus grandes puissances de tous les diviseurs premiers et les multiplions :

CNP = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15 120.

Le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple sont des concepts arithmétiques clés qui facilitent le travail avec les fractions. LCM et sont le plus souvent utilisés pour trouver le dénominateur commun de plusieurs fractions.

Concepts de base

Le diviseur d'un entier X est un autre entier Y par lequel X est divisé sans laisser de reste. Par exemple, le diviseur de 4 est 2 et 36 est 4, 6, 9. Un multiple d'un entier X est un nombre Y divisible par X sans reste. Par exemple, 3 est un multiple de 15 et 6 est un multiple de 12.

Pour toute paire de nombres, nous pouvons trouver leurs diviseurs et multiples communs. Par exemple, pour 6 et 9, le commun multiple est 18 et le commun diviseur est 3. Évidemment, les paires peuvent avoir plusieurs diviseurs et multiples, donc les calculs utilisent le plus grand diviseur GCD et le plus petit multiple LCM.

Le plus petit diviseur n’a aucun sens puisque pour tout nombre, il vaut toujours un. Le plus grand multiple n’a également aucun sens, puisque la séquence des multiples va vers l’infini.

Trouver pgcd

Il existe de nombreuses méthodes pour trouver le plus grand diviseur commun, dont les plus connues sont :

recherche séquentielle de diviseurs, sélection des diviseurs communs pour une paire et recherche du plus grand d'entre eux ;
décomposition des nombres en facteurs indivisibles ;
Algorithme euclidien ;
algorithme binaire.

Aujourd'hui, dans les établissements d'enseignement, les méthodes les plus populaires sont la décomposition en facteurs premiers et l'algorithme euclidien. Ce dernier, à son tour, est utilisé lors de la résolution d'équations diophantiennes : la recherche de GCD est nécessaire pour vérifier l'équation pour la possibilité de résolution en nombres entiers.

Trouver le CNO

Le multiple le plus petit commun est également déterminé par recherche séquentielle ou décomposition en facteurs indivisibles. De plus, il est facile de trouver le LCM si le plus grand diviseur a déjà été déterminé. Pour les nombres X et Y, le LCM et le GCD sont liés par la relation suivante :

LCD(X,Y) = X × Y / PGCD(X,Y).

Par exemple, si GCM(15,18) = 3, alors LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. L'exemple le plus évident d'utilisation de LCM consiste à trouver le dénominateur commun, qui est le plus petit commun multiple de fractions données.

Nombres premiers entre eux

Si une paire de nombres n’a pas de diviseur commun, alors une telle paire est appelée premier entre eux. Le pgcd de ces paires est toujours égal à un, et sur la base de la relation entre les diviseurs et les multiples, le pgcd des paires premières entre elles est égal à leur produit. Par exemple, les nombres 25 et 28 sont relativement premiers, car ils n'ont pas de diviseur commun, et LCM(25, 28) = 700, ce qui correspond à leur produit. Deux nombres indivisibles seront toujours premiers relativement.

Diviseur commun et calculateur multiple

À l'aide de notre calculatrice, vous pouvez calculer GCD et LCM pour un nombre arbitraire de nombres parmi lesquels choisir. Les tâches de calcul des diviseurs communs et des multiples se trouvent en arithmétique de 5e et 6e années, mais GCD et LCM sont des concepts clés en mathématiques et sont utilisés en théorie des nombres, en planimétrie et en algèbre communicative.

Exemples concrets

Dénominateur commun des fractions

Le plus petit commun multiple est utilisé pour trouver le dénominateur commun de plusieurs fractions. Disons que dans un problème arithmétique, vous devez additionner 5 fractions :

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Pour additionner des fractions, l'expression doit être réduite à un dénominateur commun, ce qui se réduit au problème de trouver le LCM. Pour ce faire, sélectionnez 5 nombres dans la calculatrice et saisissez les valeurs des dénominateurs dans les cellules appropriées. Le programme calculera le LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Vous devez maintenant calculer des facteurs supplémentaires pour chaque fraction, qui sont définis comme le rapport du LCM au dénominateur. Les multiplicateurs supplémentaires ressembleraient donc à :

360/8 = 45
360/9 = 40
360/12 = 30
360/15 = 24
360/18 = 20.

Après cela, nous multiplions toutes les fractions par le facteur supplémentaire correspondant et obtenons :

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Nous pouvons facilement additionner ces fractions et obtenir le résultat 159/360. Nous réduisons la fraction de 3 et voyons la réponse finale - 53/120.

Résolution d'équations diophantiennes linéaires

Les équations diophantiennes linéaires sont des expressions de la forme ax + by = d. Si le rapport d / pgcd(a, b) est un nombre entier, alors l'équation peut être résolue en nombres entiers. Vérifions quelques équations pour voir si elles ont une solution entière. Vérifions d'abord l'équation 150x + 8y = 37. À l'aide d'une calculatrice, nous trouvons PGCD (150,8) = 2. Divisons 37/2 = 18,5. Le nombre n’est pas un nombre entier, donc l’équation n’a pas de racines entières.

Vérifions l'équation 1320x + 1760y = 10120. Utilisez une calculatrice pour trouver PGCD(1320, 1760) = 440. Divisons 10120/440 = 23. En conséquence, nous obtenons un nombre entier, par conséquent, l'équation diophantienne peut être résolue en coefficients entiers. .

Conclusion

GCD et LCM jouent un rôle important dans la théorie des nombres, et les concepts eux-mêmes sont largement utilisés dans une grande variété de domaines mathématiques. Utilisez notre calculatrice pour calculer les plus grands diviseurs et les plus petits multiples d'un nombre quelconque de nombres.

Le matériel présenté ci-dessous est une suite logique de la théorie de l'article intitulé LCM - moindre commun multiple, définition, exemples, lien entre LCM et GCD. Ici, nous parlerons de trouver le plus petit commun multiple (LCM), et nous accorderons une attention particulière à la résolution d’exemples. Tout d’abord, nous montrerons comment le LCM de deux nombres est calculé à l’aide du PGCD de ces nombres. Ensuite, nous verrons comment trouver le plus petit commun multiple en factorisant les nombres en facteurs premiers. Après cela, nous nous concentrerons sur la recherche du LCM de trois nombres ou plus, et ferons également attention au calcul du LCM des nombres négatifs.

Navigation dans les pages.

Calcul du plus petit commun multiple (LCM) via GCD

Une façon de trouver le multiple le plus petit commun est basée sur la relation entre LCM et GCD. La connexion existante entre LCM et GCD nous permet de calculer le plus petit commun multiple de deux entiers positifs via un plus grand commun diviseur connu. La formule correspondante est LCM(a, b)=ab:PGCD(a, b) . Examinons des exemples de recherche du LCM à l'aide de la formule donnée.

Exemple.

Trouvez le plus petit commun multiple de deux nombres 126 et 70.

Solution.

Dans cet exemple a=126 , b=70 . Utilisons la connexion entre LCM et GCD, exprimée par la formule LCM(a, b)=ab:PGCD(a, b). Autrement dit, nous devons d’abord trouver le plus grand diviseur commun des nombres 70 et 126, après quoi nous pouvons calculer le LCM de ces nombres à l’aide de la formule écrite.

Trouvons GCD(126, 70) en utilisant l'algorithme euclidien : 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, donc, GCD(126, 70)=14.

Nous trouvons maintenant le plus petit commun multiple requis : PGCD(126, 70)=126·70 :PGCD(126, 70)= 126·70:14=630.

Répondre:

LCM(126, 70)=630 .

Exemple.

À quoi est égal LCM(68, 34) ?

Solution.

Parce que 68 est divisible par 34, alors PGCD(68, 34)=34. Calculons maintenant le plus petit commun multiple : PGCD(68, 34)=68·34:PGCD(68, 34)= 68·34:34=68.

Répondre:

LCM(68, 34)=68 .

Notez que l'exemple précédent correspond à la règle suivante pour trouver le LCM pour les entiers positifs a et b : si le nombre a est divisible par b, alors le plus petit commun multiple de ces nombres est a.

Trouver le LCM en factorisant les nombres en facteurs premiers

Une autre façon de trouver le plus petit commun multiple consiste à factoriser les nombres en facteurs premiers. Si vous composez un produit à partir de tous les facteurs premiers de nombres donnés, puis excluez de ce produit tous les facteurs premiers communs présents dans les décompositions de nombres donnés, alors le produit résultant sera égal au plus petit commun multiple des nombres donnés. .

La règle énoncée pour trouver le LCM découle de l'égalité LCM(a, b)=ab:PGCD(a, b). En effet, le produit des nombres a et b est égal au produit de tous les facteurs impliqués dans le développement des nombres a et b. À son tour, GCD(a, b) est égal au produit de tous les facteurs premiers simultanément présents dans les développements des nombres a et b (comme décrit dans la section sur la recherche de GCD en utilisant le développement des nombres en facteurs premiers).

Donnons un exemple. Sachons que 75=3·5·5 et 210=2·3·5·7. Composons le produit à partir de tous les facteurs de ces développements : 2·3·3·5·5·5·7 . Maintenant de ce produit nous excluons tous les facteurs présents à la fois dans le développement du nombre 75 et dans le développement du nombre 210 (ces facteurs sont 3 et 5), alors le produit prendra la forme 2·3·5·5·7 . La valeur de ce produit est égale au plus petit commun multiple de 75 et 210, soit CNP(75, 210)= 2·3·5·5·7=1 050.

Exemple.

Factorisez les nombres 441 et 700 en facteurs premiers et trouvez le plus petit commun multiple de ces nombres.

Solution.

Factorisons les nombres 441 et 700 en facteurs premiers :

On obtient 441=3·3·7·7 et 700=2·2·5·5·7.

Créons maintenant un produit à partir de tous les facteurs impliqués dans le développement de ces nombres : 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Excluons de ce produit tous les facteurs qui sont simultanément présents dans les deux expansions (il n'existe qu'un seul de ces facteurs - c'est le nombre 7) : 2·2·3·3·5·5·7·7. Ainsi, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Répondre:

CNP(441, 700)= 44 100 .

La règle permettant de trouver le LCM en utilisant la factorisation des nombres en facteurs premiers peut être formulée un peu différemment. Si les facteurs manquants du développement du nombre b sont ajoutés aux facteurs du développement du nombre a, alors la valeur du produit résultant sera égale au plus petit commun multiple des nombres a et b..

Par exemple, prenons les mêmes nombres 75 et 210, leurs décompositions en facteurs premiers sont les suivantes : 75=3·5·5 et 210=2·3·5·7. Aux facteurs 3, 5 et 5 du développement du nombre 75 on ajoute les facteurs manquants 2 et 7 du développement du nombre 210, on obtient le produit 2·3·5·5·7 dont la valeur est égal à LCM(75, 210).

Exemple.

Trouvez le plus petit commun multiple de 84 et 648.

Solution.

On obtient d'abord les décompositions des nombres 84 et 648 en facteurs premiers. Ils ressemblent à 84=2·2·3·7 et 648=2·2·2·3·3·3·3. Aux facteurs 2, 2, 3 et 7 du développement du nombre 84 on ajoute les facteurs manquants 2, 3, 3 et 3 du développement du nombre 648, on obtient le produit 2 2 2 3 3 3 3 7, ce qui est égal à 4 536 . Ainsi, le plus petit commun multiple souhaité de 84 et 648 est 4 536.

Répondre:

LCM(84, 648)=4 536 .

Trouver le LCM de trois nombres ou plus

Le plus petit commun multiple de trois nombres ou plus peut être trouvé en trouvant séquentiellement le LCM de deux nombres. Rappelons le théorème correspondant, qui permet de trouver le LCM de trois nombres ou plus.

Théorème.

Soit des nombres entiers positifs a 1 , a 2 , …, a k, le plus petit commun multiple m k de ces nombres est trouvé en calculant séquentiellement m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Considérons l'application de ce théorème en utilisant l'exemple de la recherche du plus petit commun multiple de quatre nombres.

Exemple.

Trouvez le LCM de quatre nombres 140, 9, 54 et 250.

Solution.

Dans cet exemple, un 1 =140, un 2 =9, un 3 =54, un 4 =250.

On trouve d'abord m 2 = LOC(une 1 , une 2) = LOC(140, 9). Pour ce faire, en utilisant l'algorithme euclidien, on détermine PGCD(140, 9), on a 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, donc, GCD(140, 9)=1 , d'où PGCD(140, 9)=140 9:PGCD(140, 9)= 140·9:1=1 260. C'est-à-dire m 2 =1 260.

Maintenant nous trouvons m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Calculons-le via PGCD(1 260, 54), que nous déterminons également à l'aide de l'algorithme euclidien : 1 260=54·23+18, 54=18·3. Alors pgcd(1,260, 54)=18, d'où pgcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. C'est-à-dire m 3 =3 780.

Il ne reste plus qu'à trouver m 4 = LOC(m 3, une 4) = LOC(3 780, 250). Pour ce faire, on trouve GCD(3,780, 250) en utilisant l'algorithme euclidien : 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Par conséquent, GCM(3,780, 250)=10, d’où GCM(3,780, 250)= 3 780 250 : PGCD(3 780, 250)= 3 780·250:10=94 500. C'est-à-dire m 4 =94 500.

Ainsi, le plus petit commun multiple des quatre nombres originaux est 94 500.

Répondre:

LCM(140, 9, 54, 250)=94 500.

Dans de nombreux cas, il est pratique de trouver le plus petit commun multiple de trois nombres ou plus en utilisant des factorisations premières des nombres donnés. Dans ce cas, vous devez respecter la règle suivante. Le plus petit commun multiple de plusieurs nombres est égal au produit qui se compose comme suit : les facteurs manquants du développement du deuxième nombre s'ajoutent à tous les facteurs du développement du premier nombre, les facteurs manquants du développement du premier nombre le troisième nombre est ajouté aux facteurs résultants, et ainsi de suite.

Examinons un exemple de recherche du multiple le plus petit commun à l'aide de la factorisation première.

Exemple.

Trouvez le plus petit commun multiple des cinq nombres 84, 6, 48, 7, 143.

Solution.

Tout d'abord, on obtient des décompositions de ces nombres en facteurs premiers : 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 est un nombre premier, il coïncide avec sa décomposition en facteurs premiers) et 143=11.13.

Pour trouver le LCM de ces nombres, aux facteurs du premier nombre 84 (ils sont 2, 2, 3 et 7), il faut ajouter les facteurs manquants du développement du deuxième nombre 6. La décomposition du nombre 6 ne contient pas de facteurs manquants, puisque les 2 et 3 sont déjà présents dans la décomposition du premier nombre 84. Ensuite, aux facteurs 2, 2, 3 et 7, nous ajoutons les facteurs manquants 2 et 2 issus du développement du troisième nombre 48, nous obtenons un ensemble de facteurs 2, 2, 2, 2, 3 et 7. Il ne sera pas nécessaire d’ajouter des multiplicateurs à cet ensemble à l’étape suivante, puisque 7 y est déjà contenu. Enfin, aux facteurs 2, 2, 2, 2, 3 et 7 on ajoute les facteurs manquants 11 et 13 issus du développement du nombre 143. On obtient le produit 2·2·2·2·3·7·11·13, qui est égal à 48,048.

Examinons trois façons de trouver le plus petit commun multiple.

Recherche par factorisation

La première méthode consiste à trouver le plus petit commun multiple en factorisant les nombres donnés en facteurs premiers.

Disons que nous devons trouver le LCM des nombres : 99, 30 et 28. Pour ce faire, factorisons chacun de ces nombres en facteurs premiers :

Pour que le nombre souhaité soit divisible par 99, 30 et 28, il faut et suffisant qu'il comprenne tous les facteurs premiers de ces diviseurs. Pour ce faire, nous devons prendre tous les facteurs premiers de ces nombres à la plus grande puissance possible et les multiplier entre eux :

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Ainsi, LCM (99, 30, 28) = 13 860. Aucun autre nombre inférieur à 13 860 n’est divisible par 99, 30 ou 28.

Pour trouver le plus petit commun multiple de nombres donnés, vous les intégrez à leurs facteurs premiers, puis prenez chaque facteur premier avec le plus grand exposant dans lequel il apparaît et multipliez ces facteurs ensemble.

Puisque les nombres relativement premiers n’ont pas de facteurs premiers communs, leur plus petit commun multiple est égal au produit de ces nombres. Par exemple, trois nombres : 20, 49 et 33 sont premiers entre eux. C'est pourquoi

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

La même chose doit être faite pour trouver le plus petit commun multiple de différents nombres premiers. Par exemple, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Recherche par sélection

La deuxième méthode consiste à trouver le plus petit commun multiple par sélection.

Exemple 1. Lorsque le plus grand des nombres donnés est divisé par un autre nombre donné, alors le LCM de ces nombres est égal au plus grand d'entre eux. Par exemple, étant donné quatre nombres : 60, 30, 10 et 6. Chacun d'eux est divisible par 60, donc :

LCM(60, 30, 10, 6) = 60

Dans d'autres cas, pour trouver le plus petit commun multiple, la procédure suivante est utilisée :

Déterminez le plus grand nombre parmi les nombres donnés.
Ensuite, nous trouvons les nombres qui sont des multiples du plus grand nombre en le multipliant par des nombres naturels dans l'ordre croissant et en vérifiant si le produit obtenu est divisible par les nombres donnés restants.

Exemple 2. Étant donné trois nombres 24, 3 et 18. Nous déterminons le plus grand d'entre eux - c'est le nombre 24. Ensuite, nous trouvons les nombres multiples de 24, en vérifiant si chacun d'eux est divisible par 18 et 3 :

24 · 1 = 24 - divisible par 3, mais non divisible par 18.

24 · 2 = 48 - divisible par 3, mais non divisible par 18.

24 · 3 = 72 - divisible par 3 et 18.

Ainsi, LCM (24, 3, 18) = 72.

Recherche en trouvant séquentiellement le LCM

La troisième méthode consiste à trouver le plus petit commun multiple en trouvant séquentiellement le LCM.

Le LCM de deux nombres donnés est égal au produit de ces nombres divisé par leur plus grand diviseur commun.

Exemple 1. Trouvez le LCM de deux nombres donnés : 12 et 8. Déterminez leur plus grand diviseur commun : PGCD (12, 8) = 4. Multipliez ces nombres :

Nous divisons le produit par leur pgcd :

Ainsi, LCM (12, 8) = 24.

Pour trouver le LCM de trois nombres ou plus, utilisez la procédure suivante :

Tout d’abord, trouvez le LCM de deux de ces nombres.
Ensuite, LCM du plus petit commun multiple trouvé et du troisième nombre donné.
Ensuite, le LCM du plus petit commun multiple résultant et du quatrième nombre, etc.
Ainsi, la recherche du LCM se poursuit tant qu’il y a des chiffres.

Exemple 2. Trouvons le LCM de trois nombres donnés : 12, 8 et 9. Nous avons déjà trouvé le LCM des nombres 12 et 8 dans l'exemple précédent (c'est le nombre 24). Il reste à trouver le plus petit commun multiple du nombre 24 et du troisième nombre donné - 9. Déterminer leur plus grand commun diviseur : PGCD (24, 9) = 3. Multiplier le LCM par le nombre 9 :

Nous divisons le produit par leur pgcd :

Ainsi, LCM (12, 8, 9) = 72.

Plus grand diviseur commun

Définition 2

Si un nombre naturel a est divisible par un nombre naturel $b$, alors $b$ est appelé un diviseur de $a$ et $a$ est appelé un multiple de $b$.

Soient $a$ et $b$ des nombres naturels. Le nombre $c$ est appelé le diviseur commun de $a$ et de $b$.

L'ensemble des diviseurs communs des nombres $a$ et $b$ est fini, puisqu'aucun de ces diviseurs ne peut être supérieur à $a$. Cela signifie que parmi ces diviseurs, il y en a un plus grand, qui est appelé le plus grand diviseur commun des nombres $a$ et $b$ et est noté par la notation suivante :

$PGCD\(a;b)\ ou \D\(a;b)$

Pour trouver le plus grand diviseur commun de deux nombres, il vous faut :

Trouvez le produit des nombres trouvés à l’étape 2. Le nombre obtenu sera le plus grand diviseur commun souhaité.

Exemple 1

Trouvez le pgcd des nombres $121$ et $132.$

242$=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Choisissez les nombres qui sont inclus dans l'expansion de ces nombres

242$=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Trouvez le produit des nombres trouvés à l’étape 2. Le nombre obtenu sera le plus grand diviseur commun souhaité.

$PGCD=2\cdot 11=22$

Exemple 2

Trouvez le pgcd des monômes $63$ et $81$.

Nous trouverons selon l'algorithme présenté. Pour ça:

Factorisons les nombres en facteurs premiers

63$=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Nous sélectionnons les nombres qui sont inclus dans l'expansion de ces nombres

63$=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Trouvons le produit des nombres trouvés à l'étape 2. Le nombre résultant sera le plus grand diviseur commun souhaité.

$PGCD=3\cdot 3=9$

Vous pouvez trouver le pgcd de deux nombres d’une autre manière, en utilisant un ensemble de diviseurs de nombres.

Exemple 3

Trouvez le pgcd des nombres 48$ et 60$.

Solution:

Trouvons l'ensemble des diviseurs du nombre $48$ : $\left$(\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right$$

Trouvons maintenant l'ensemble des diviseurs du nombre $60$:$\ \left$(\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right$ $

Trouvons l'intersection de ces ensembles : $\left$(\rm 1,2,3,4,6,12)\right$$ - cet ensemble déterminera l'ensemble des diviseurs communs des nombres $48$ et $60 $. L'élément le plus important de cet ensemble sera le nombre $12$. Cela signifie que le plus grand diviseur commun des nombres 48$ et 60$ est 12$.

Définition du NPL

Définition 3

Multiples communs de nombres naturels$a$ et $b$ sont un nombre naturel qui est un multiple de $a$ et $b$.

Les multiples communs de nombres sont des nombres divisibles par les nombres d'origine sans reste. Par exemple, pour les nombres 25$ et 50$, les multiples communs seront les nombres 50,100,150,200$, etc.

Le plus petit commun multiple sera appelé plus petit commun multiple et sera noté LCM$(a;b)$ ou K$(a;b).$

Pour trouver le LCM de deux nombres, vous devez :

Factoriser les nombres en facteurs premiers
Notez les facteurs qui font partie du premier nombre et ajoutez-y les facteurs qui font partie du second et ne font pas partie du premier.

Exemple 4

Trouvez le LCM des nombres 99$ et 77$.

Nous trouverons selon l'algorithme présenté. Pour ça

Factoriser les nombres en facteurs premiers

99$=3\cdot 3\cdot 11$

Notez les facteurs inclus dans le premier

ajoutez-y des multiplicateurs qui font partie du second et ne font pas partie du premier

Trouvez le produit des nombres trouvés à l'étape 2. Le nombre résultant sera le plus petit commun multiple souhaité

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Compiler des listes de diviseurs de nombres est souvent une tâche très laborieuse. Il existe un moyen de trouver GCD appelé algorithme euclidien.

Énoncés sur lesquels est basé l'algorithme euclidien :

Si $a$ et $b$ sont des nombres naturels et $a\vdots b$, alors $D(a;b)=b$

Si $a$ et $b$ sont des nombres naturels tels que $b

En utilisant $D(a;b)= D(a-b;b)$, on peut réduire successivement les nombres considérés jusqu'à atteindre une paire de nombres telle que l'un d'eux soit divisible par l'autre. Ensuite, le plus petit de ces nombres sera le plus grand diviseur commun souhaité pour les nombres $a$ et $b$.