Définition. Combinaison linéaire de vecteurs une 1 , ..., une n avec des coefficients x 1 , ..., x n est appelé un vecteur

x 1 une 1 + ... + x n une n .

banal, si tous les coefficients x 1 , ..., x n sont égaux à zéro.

Définition. La combinaison linéaire x 1 a 1 + ... + x n a n est appelée non trivial, si au moins un des coefficients x 1, ..., x n n'est pas égal à zéro.

linéairement indépendant, s'il n'existe pas de combinaison non triviale de ces vecteurs égale au vecteur zéro.

Autrement dit, les vecteurs a 1, ..., an sont linéairement indépendants si x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 si et seulement si x 1 = 0, ..., x n = 0.

Définition. Les vecteurs a 1, ..., an sont appelés linéairement dépendant, s'il existe une combinaison non triviale de ces vecteurs égale au vecteur zéro.

Propriétés des vecteurs linéairement dépendants :

Pour les vecteurs à 2 et 3 dimensions.

Deux vecteurs linéairement dépendants sont colinéaires. (Les vecteurs colinéaires sont linéairement dépendants.)

Pour les vecteurs tridimensionnels.

Trois vecteurs linéairement dépendants sont coplanaires. (Trois vecteurs coplanaires sont linéairement dépendants.)

• Pour les vecteurs à n dimensions.

  n + 1 vecteurs sont toujours linéairement dépendants.

Exemples de problèmes sur la dépendance linéaire et l'indépendance linéaire des vecteurs :

Exemple 1. Vérifiez si les vecteurs a = (3 ; 4 ; 5), b = (-3 ; 0 ; 5), c = (4 ; 4 ; 4), d = (3 ; 4 ; 0) sont linéairement indépendants .

Solution:

Les vecteurs seront linéairement dépendants, puisque la dimension des vecteurs est inférieure au nombre de vecteurs.

Exemple 2. Vérifiez si les vecteurs a = (1 ; 1 ; 1), b = (1 ; 2 ; 0), c = (0 ; -1 ; 1) sont linéairement indépendants.

Solution:

soustrayez la deuxième de la première ligne ; ajoutez une deuxième ligne à la troisième ligne :

Cette solution montre que le système a de nombreuses solutions, c'est-à-dire qu'il existe une combinaison non nulle de valeurs des nombres x 1, x 2, x 3 telle que la combinaison linéaire des vecteurs a, b, c est égale à le vecteur zéro, par exemple :

A + b + c = 0

et cela signifie que les vecteurs a, b, c sont linéairement dépendants.

Répondre: les vecteurs a, b, c sont linéairement dépendants.

Exemple 3. Vérifiez si les vecteurs a = (1 ; 1 ; 1), b = (1 ; 2 ; 0), c = (0 ; -1 ; 2) sont linéairement indépendants.

Solution: Trouvons les valeurs des coefficients pour lesquels la combinaison linéaire de ces vecteurs sera égale au vecteur zéro.

Cette équation vectorielle peut s'écrire sous la forme d'un système d'équations linéaires

Résolvons ce système en utilisant la méthode de Gauss

soustrayez la première de la deuxième ligne ; soustrayez la première de la troisième ligne :

soustrayez la deuxième de la première ligne ; ajoutez une seconde à la troisième ligne.

un 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, un 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, un 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Solution. Nous recherchons une solution générale du système d'équations

un 1 X 1 + un 2 X 2 + un 3 X 3 = Θ

Méthode Gauss. Pour ce faire, on écrit ce système homogène en coordonnées :

Matrice du système

Le système autorisé a la forme : (r Un = 2, n= 3). Le système est coopératif et incertain. Sa solution générale ( X 2 – variable libre) : X 3 = 13X 2 ; 3X 1 – 2X 2 – 13X 2 = 0 => X 1 = 5X 2 => X o = . La présence d'une solution particulière non nulle, par exemple, indique que les vecteurs un 1 , un 2 , un 3 linéairement dépendant.

Exemple 2.

Découvrez si un système de vecteurs donné est linéairement dépendant ou linéairement indépendant :

1. un 1 = { -20, -15, - 4 }, un 2 = { –7, -2, -4 }, un 3 = { 3, –1, –2 }.

Solution. Considérons un système d'équations homogène un 1 X 1 + un 2 X 2 + un 3 X 3 = Θ

ou sous forme développée (par coordonnées)

Le système est homogène. S’il n’est pas dégénéré, alors il a une solution unique. Dans le cas d’un système homogène, il existe une solution nulle (triviale). Cela signifie que dans ce cas le système de vecteurs est indépendant. Si le système est dégénéré, alors il a des solutions non nulles et, par conséquent, il est dépendant.

Nous vérifions la dégénérescence du système :

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Le système est non dégénéré et donc les vecteurs un 1 , un 2 , un 3 linéairement indépendant.

Tâches. Découvrez si un système de vecteurs donné est linéairement dépendant ou linéairement indépendant :

1. un 1 = { -4, 2, 8 }, un 2 = { 14, -7, -28 }.

2. un 1 = { 2, -1, 3, 5 }, un 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. un 1 = { -7, 5, 19 }, un 2 = { -5, 7 , -7 }, un 3 = { -8, 7, 14 }.

4. un 1 = { 1, 2, -2 }, un 2 = { 0, -1, 4 }, un 3 = { 2, -3, 3 }.

5. un 1 = { 1, 8 , -1 }, un 2 = { -2, 3, 3 }, un 3 = { 4, -11, 9 }.

6. un 1 = { 1, 2 , 3 }, un 2 = { 2, -1 , 1 }, un 3 = { 1, 3, 4 }.

7. un 1 = {0, 1, 1 , 0}, un 2 = {1, 1 , 3, 1}, un 3 = {1, 3, 5, 1}, un 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. un 1 = {-1, 7, 1 , -2}, un 2 = {2, 3 , 2, 1}, un 3 = {4, 4, 4, -3}, un 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Montrer qu'un système de vecteurs sera linéairement dépendant s'il contient :

a) deux vecteurs égaux ;

b) deux vecteurs proportionnels.

Vecteurs, leurs propriétés et actions avec eux

Vecteurs, actions avec vecteurs, espace vectoriel linéaire.

Les vecteurs sont une collection ordonnée d’un nombre fini de nombres réels.

Actions: 1.Multiplier un vecteur par un nombre : lambda*vecteur x=(lamda*x 1, lambda*x 2 ... lambda*x n).(3.4, 0, 7)*3=(9, 12,0.21)

2. Addition de vecteurs (appartenant au même espace vectoriel) vecteur x + vecteur y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vecteur 0 = (0,0…0) --- n E n – vecteur à n dimensions (espace linéaire) x + vecteur 0 = vecteur x

Théorème. Pour qu'un système de n vecteurs, un espace linéaire à n dimensions, soit linéairement dépendant, il est nécessaire et suffisant que l'un des vecteurs soit une combinaison linéaire des autres.

Théorème. Tout ensemble de n+ 1ers vecteurs d’un espace linéaire de phénomènes à n dimensions. linéairement dépendant.

Addition de vecteurs, multiplication de vecteurs par des nombres. Soustraction de vecteurs.

La somme de deux vecteurs est un vecteur dirigé du début du vecteur vers la fin du vecteur, à condition que le début coïncide avec la fin du vecteur. Si les vecteurs sont donnés par leurs développements en vecteurs unitaires de base, alors lors de l'ajout de vecteurs, leurs coordonnées correspondantes sont ajoutées.

Considérons cela en utilisant l'exemple d'un système de coordonnées cartésiennes. Laisser

Montrons que

De la figure 3, il ressort clairement que

La somme d'un nombre fini de vecteurs peut être trouvée à l'aide de la règle des polygones (Fig. 4) : pour construire la somme d'un nombre fini de vecteurs, il suffit de combiner le début de chaque vecteur suivant avec la fin du précédent et construisons un vecteur reliant le début du premier vecteur à la fin du dernier.

Propriétés de l'opération d'addition vectorielle :

Dans ces expressions m, n sont des nombres.

La différence entre les vecteurs est appelée vecteur. Le deuxième terme est un vecteur opposé au vecteur en direction, mais qui lui est égal en longueur.

Ainsi, l'opération de soustraction de vecteurs est remplacée par une opération d'addition

Un vecteur dont le début est à l'origine et se termine au point A (x1, y1, z1) est appelé rayon vecteur du point A et est noté simplement. Puisque ses coordonnées coïncident avec les coordonnées du point A, son développement en vecteurs unitaires a la forme

Un vecteur qui commence au point A(x1, y1, z1) et se termine au point B(x2, y2, z2) peut s'écrire

où r 2 est le rayon vecteur du point B ; r 1 - rayon vecteur du point A.

Par conséquent, le développement du vecteur en vecteurs unitaires a la forme

Sa longueur est égale à la distance entre les points A et B

MULTIPLICATION

Ainsi dans le cas d'un problème plan, le produit d'un vecteur par a = (ax; ay) par le nombre b se trouve par la formule

une b = (hache b; ay b)

Exemple 1. Trouver le produit du vecteur a = (1; 2) par 3.

3 une = (3 1 ; 3 2) = (3 ; 6)

Ainsi, dans le cas d'un problème spatial, le produit du vecteur a = (ax ; ay ; az) par le nombre b se trouve par la formule

une b = (hache b; ay b; az b)

Exemple 1. Trouver le produit du vecteur a = (1; 2; -5) par 2.

2 une = (2 1 ; 2 2 ; 2 (-5)) = (2 ; 4 ; -10)

Produit scalaire des vecteurs et où est l'angle entre les vecteurs et ; si l'un ou l'autre, alors

De la définition du produit scalaire, il résulte que

où, par exemple, est la grandeur de la projection du vecteur sur la direction du vecteur.

Vecteur scalaire au carré :

Propriétés du produit scalaire :

Produit scalaire en coordonnées

Si Que

Angle entre les vecteurs

Angle entre vecteurs - l'angle entre les directions de ces vecteurs (le plus petit angle).

Produit croisé (Produit croisé de deux vecteurs.) - il s'agit d'un pseudovecteur perpendiculaire à un plan construit à partir de deux facteurs, qui est le résultat de l'opération binaire « multiplication vectorielle » sur des vecteurs dans l'espace euclidien tridimensionnel. Le produit n'est ni commutatif ni associatif (il est anticommutatif) et est différent du produit scalaire des vecteurs. Dans de nombreux problèmes d'ingénierie et de physique, vous devez être capable de construire un vecteur perpendiculaire à deux vecteurs existants - le produit vectoriel offre cette opportunité. Le produit vectoriel est utile pour "mesurer" la perpendiculaire des vecteurs - la longueur du produit vectoriel de deux vecteurs est égale au produit de leurs longueurs s'ils sont perpendiculaires, et diminue jusqu'à zéro si les vecteurs sont parallèles ou antiparallèles.

Le produit vectoriel est défini uniquement dans des espaces à trois et sept dimensions. Le résultat d'un produit vectoriel, comme d'un produit scalaire, dépend de la métrique de l'espace euclidien.

Contrairement à la formule de calcul des produits vectoriels scalaires à partir de coordonnées dans un système de coordonnées rectangulaires tridimensionnelles, la formule du produit vectoriel dépend de l'orientation du système de coordonnées rectangulaires ou, en d'autres termes, de sa « chiralité ».

Colinéarité des vecteurs.

Deux vecteurs non nuls (différents de 0) sont dits colinéaires s'ils se trouvent sur des droites parallèles ou sur la même droite. Un synonyme acceptable, mais non recommandé, est celui des vecteurs « parallèles ». Les vecteurs colinéaires peuvent être de direction identique (« codirectionnelle ») ou de direction opposée (dans ce dernier cas, ils sont parfois appelés « anticollinéaires » ou « antiparallèles »).

Produit mixte de vecteurs ( une, b, c)- produit scalaire du vecteur a et produit vectoriel des vecteurs b et c :

(une,b,c)=une ⋅(b ×c)

on l'appelle parfois le produit triple scalaire des vecteurs, apparemment parce que le résultat est un scalaire (plus précisément un pseudoscalaire).

Signification géométrique : Le module du produit mixte est numériquement égal au volume du parallélépipède formé par les vecteurs (abc) .

Propriétés

Un produit mixte est asymétrique par rapport à tous ses arguments : c'est-à-dire e. La réorganisation de deux facteurs modifie le signe du produit. Il s'ensuit que le Produit mixte dans le repère cartésien droit (dans une base orthonormée) est égal au déterminant d'une matrice composée de vecteurs et :

Le produit mixte dans le repère cartésien gauche (dans une base orthonormée) est égal au déterminant de la matrice composée de vecteurs et, pris avec un signe moins :

En particulier,

Si deux vecteurs sont parallèles, alors avec n'importe quel troisième vecteur, ils forment un produit mixte égal à zéro.

Si trois vecteurs sont linéairement dépendants (c'est-à-dire coplanaires, situés dans le même plan), alors leur produit mixte est égal à zéro.

Signification géométrique - Le produit mixte est égal en valeur absolue au volume du parallélépipède (voir figure) formé par les vecteurs et ; le signe dépend si ce triplet de vecteurs est droitier ou gaucher.

Coplanarité des vecteurs.

Trois vecteurs (ou plus) sont dits coplanaires s'ils, étant réduits à une origine commune, se trouvent dans le même plan

Propriétés de coplanarité

Si au moins un des trois vecteurs est nul, alors les trois vecteurs sont également considérés comme coplanaires.

Un triplet de vecteurs contenant une paire de vecteurs colinéaires est coplanaire.

Produit mixte de vecteurs coplanaires. C'est un critère de coplanarité de trois vecteurs.

Les vecteurs coplanaires sont linéairement dépendants. C'est aussi un critère de coplanarité.

Dans un espace tridimensionnel, 3 vecteurs non coplanaires forment une base

Vecteurs linéairement dépendants et linéairement indépendants.

Systèmes vectoriels linéairement dépendants et indépendants.Définition. Le système vectoriel s'appelle linéairement dépendant, s'il existe au moins une combinaison linéaire non triviale de ces vecteurs égale au vecteur zéro. Sinon, c'est à dire si seule une combinaison linéaire triviale de vecteurs donnés est égale au vecteur nul, les vecteurs sont appelés linéairement indépendant.

Théorème (critère de dépendance linéaire). Pour qu’un système de vecteurs dans un espace linéaire soit linéairement dépendant, il faut et il suffit qu’au moins un de ces vecteurs soit une combinaison linéaire des autres.

1) Si parmi les vecteurs il y a au moins un vecteur nul, alors l'ensemble du système de vecteurs est linéairement dépendant.

En fait, si, par exemple, , alors, en supposant , nous avons une combinaison linéaire non triviale .▲

2) Si parmi les vecteurs certains forment un système linéairement dépendant, alors le système entier est linéairement dépendant.

En effet, que les vecteurs , , soient linéairement dépendants. Cela signifie qu’il existe une combinaison linéaire non triviale égale au vecteur zéro. Mais alors, en supposant , nous obtenons également une combinaison linéaire non triviale égale au vecteur zéro.

2. Base et dimension. Définition. Système de vecteurs linéairement indépendants l'espace vectoriel est appelé base de cet espace si un vecteur de peut être représenté comme une combinaison linéaire de vecteurs de ce système, c'est-à-dire pour chaque vecteur il y a des nombres réels telle que l'égalité soit vraie. Cette égalité est appelée. décomposition vectorielle selon la base, et les chiffres sont appelés coordonnées du vecteur par rapport à la base(ou dans la base) .

Théorème (sur l'unicité du développement par rapport à la base). Chaque vecteur dans l'espace peut être développé en une base de la seule manière, c'est-à-dire coordonnées de chaque vecteur dans la base sont déterminés sans ambiguïté.

Dépendance linéaire et indépendance linéaire des vecteurs.
Base des vecteurs. Système de coordonnées affines

Il y a un chariot avec des chocolats dans l'auditorium, et chaque visiteur d'aujourd'hui recevra un joli couple : la géométrie analytique et l'algèbre linéaire. Cet article abordera deux sections des mathématiques supérieures à la fois, et nous verrons comment elles coexistent dans un seul emballage. Faites une pause, mangez un Twix ! ... putain, quel tas d'absurdités. Même si, d’accord, je ne marquerai pas, en fin de compte, vous devriez avoir une attitude positive à l’égard des études.

Dépendance linéaire des vecteurs, indépendance du vecteur linéaire, base de vecteurs et d'autres termes ont non seulement une interprétation géométrique, mais surtout une signification algébrique. Le concept même de « vecteur » du point de vue de l'algèbre linéaire n'est pas toujours le vecteur « ordinaire » que l'on peut représenter sur un plan ou dans l'espace. Vous n’avez pas besoin de chercher bien loin pour en trouver la preuve, essayez de dessiner un vecteur d’espace à cinq dimensions . Ou le vecteur météo, pour lequel je viens d'aller sur Gismeteo : respectivement la température et la pression atmosphérique. L'exemple, bien sûr, est incorrect du point de vue des propriétés de l'espace vectoriel, mais néanmoins personne n'interdit de formaliser ces paramètres comme vecteur. Souffle d'automne...

Non, je ne vais pas vous ennuyer avec la théorie, les espaces vectoriels linéaires, la tâche est de comprendre définitions et théorèmes. Les nouveaux termes (dépendance linéaire, indépendance, combinaison linéaire, base, etc.) s'appliquent à tous les vecteurs d'un point de vue algébrique, mais des exemples géométriques seront donnés. Ainsi, tout est simple, accessible et clair. En plus des problèmes de géométrie analytique, nous considérerons également quelques problèmes typiques d’algèbre. Pour maîtriser la matière, il est conseillé de se familiariser avec les cours Vecteurs pour les nuls Et Comment calculer le déterminant ?

Dépendance linéaire et indépendance des vecteurs plans.
Base plane et système de coordonnées affines

Considérons le plan de votre bureau d'ordinateur (juste une table, une table de chevet, le sol, le plafond, tout ce que vous voulez). La tâche comprendra les actions suivantes :

1) Sélectionnez la base du plan. En gros, un plateau de table a une longueur et une largeur, il est donc intuitif que deux vecteurs seront nécessaires pour construire la base. Un vecteur n’est clairement pas suffisant, trois vecteurs c’est trop.

2) Basé sur la base sélectionnée définir le système de coordonnées(grille de coordonnées) pour attribuer des coordonnées à tous les objets de la table.

Ne soyez pas surpris, au début les explications seront sur les doigts. De plus, sur le vôtre. Veuillez placer index gauche sur le bord de la table pour qu'il puisse regarder le moniteur. Ce sera un vecteur. Maintenant place petit doigt droit sur le bord de la table de la même manière - afin qu'il soit dirigé vers l'écran du moniteur. Ce sera un vecteur. Souriez, vous êtes superbe ! Que dire des vecteurs ? Vecteurs de données colinéaire, ce qui signifie linéaire exprimés les uns par les autres :
, eh bien, ou vice versa : , où est un nombre différent de zéro.

Vous pouvez voir une image de cette action en classe. Vecteurs pour les nuls, où j'ai expliqué la règle pour multiplier un vecteur par un nombre.

Vos doigts poseront-ils la base sur le plan du bureau d'ordinateur ? Évidemment pas. Les vecteurs colinéaires se déplacent d'avant en arrière à travers seul direction, et un plan a une longueur et une largeur.

De tels vecteurs sont appelés linéairement dépendant.

Référence: Les mots « linéaire », « linéairement » désignent le fait que dans les équations et expressions mathématiques, il n'y a pas de carrés, cubes, autres puissances, logarithmes, sinus, etc. Il n’existe que des expressions et dépendances linéaires (1er degré).

Deux vecteurs plans linéairement dépendant si et seulement s'ils sont colinéaires.

Croisez les doigts sur la table pour qu'il y ait un angle entre eux autre que 0 ou 180 degrés. Deux vecteurs planslinéaire Pas dépendants si et seulement s'ils ne sont pas colinéaires. Ainsi, la base est obtenue. Il n'y a pas lieu d'être gêné par le fait que la base s'est avérée « asymétrique » avec des vecteurs non perpendiculaires de différentes longueurs. Très bientôt, nous verrons que non seulement un angle de 90 degrés convient à sa construction, mais pas seulement des vecteurs unitaires d'égale longueur.

N'importe lequel vecteur d'avion Le seul moyen est élargi selon la base :
, où sont les nombres réels. Les numéros sont appelés coordonnées vectorielles dans cette base.

On dit aussi que vecteurprésenté comme combinaison linéaire vecteurs de base. Autrement dit, l'expression s'appelle décomposition vectoriellepar base ou combinaison linéaire vecteurs de base.

Par exemple, nous pouvons dire que le vecteur est décomposé le long d’une base orthonormée du plan, ou nous pouvons dire qu’il est représenté comme une combinaison linéaire de vecteurs.

Formulons définition de base officiellement: La base de l'avion est appelé une paire de vecteurs linéairement indépendants (non colinéaires), , dans lequel n'importe lequel un vecteur plan est une combinaison linéaire de vecteurs de base.

Un point essentiel de la définition est le fait que les vecteurs sont pris dans un certain ordre. Socles – ce sont deux bases complètement différentes ! Comme on dit, vous ne pouvez pas remplacer le petit doigt de votre main gauche par le petit doigt de votre main droite.

Nous avons trouvé la base, mais il ne suffit pas de définir une grille de coordonnées et d'attribuer des coordonnées à chaque élément de votre bureau d'ordinateur. Pourquoi n'est-ce pas suffisant ? Les vecteurs sont libres et errent dans tout le plan. Alors, comment attribuer des coordonnées à ces petits endroits sales sur la table, laissés par un week-end endiablé ? Un point de départ est nécessaire. Et un tel point de repère est un point familier à tout le monde : l'origine des coordonnées. Comprenons le système de coordonnées :

Je vais commencer par le système « scolaire ». Déjà dans la leçon d'introduction Vecteurs pour les nuls J'ai mis en évidence quelques différences entre le système de coordonnées rectangulaires et la base orthonormée. Voici l'image standard :

Quand ils parlent de système de coordonnées rectangulaires, alors le plus souvent ils désignent l'origine, les axes de coordonnées et l'échelle le long des axes. Essayez de taper « système de coordonnées rectangulaires » dans un moteur de recherche et vous verrez que de nombreuses sources vous parleront des axes de coordonnées familiers de la 5e à la 6e année et comment tracer des points sur un plan.

En revanche, il semble qu’un système de coordonnées rectangulaires puisse être défini en termes de base orthonormée. Et c'est presque vrai. La formulation est la suivante :

origine, Et orthonormé la base est posée Système de coordonnées de plan rectangulaire cartésien . Autrement dit, le système de coordonnées rectangulaires certainement est défini par un seul point et deux vecteurs orthogonaux unitaires. C'est pourquoi vous voyez le dessin que j'ai donné ci-dessus - dans les problèmes géométriques, les vecteurs et les axes de coordonnées sont souvent (mais pas toujours) dessinés.

Je pense que tout le monde comprend qu'utiliser un point (origine) et une base orthonormée N'IMPORTE QUEL POINT dans l'avion et N'IMPORTE QUEL VECTEUR dans l'avion des coordonnées peuvent être attribuées. Au sens figuré, « tout ce qui se trouve dans un avion peut être numéroté ».

Les vecteurs de coordonnées doivent-ils être des unités ? Non, ils peuvent avoir une longueur arbitraire non nulle. Considérons un point et deux vecteurs orthogonaux de longueur arbitraire non nulle :

Une telle base est appelée orthogonal. L'origine des coordonnées avec des vecteurs est définie par une grille de coordonnées, et tout point du plan, tout vecteur a ses coordonnées dans une base donnée. Par exemple, ou. L'inconvénient évident est que les vecteurs de coordonnées en général ont des longueurs différentes autres que l'unité. Si les longueurs sont égales à l’unité, alors la base orthonormée habituelle est obtenue.

! Note : dans la base orthogonale, ainsi qu'en dessous dans les bases affines du plan et de l'espace, les unités le long des axes sont considérées CONDITIONNEL. Par exemple, une unité le long de l'axe des abscisses contient 4 cm, une unité le long de l'axe des ordonnées contient 2 cm. Cette information suffit pour, si nécessaire, convertir des coordonnées « non standards » en « nos centimètres habituels ».

Et la deuxième question, à laquelle on a déjà répondu, est de savoir si l'angle entre les vecteurs de base doit être égal à 90 degrés ? Non! Comme l'indique la définition, les vecteurs de base doivent être seulement non colinéaire. En conséquence, l'angle peut être n'importe quoi sauf 0 et 180 degrés.

Un point sur l'avion appelé origine, Et non colinéaire vecteurs, , ensemble système de coordonnées plan affine :

Parfois, un tel système de coordonnées est appelé oblique système. A titre d'exemples, le dessin montre des points et des vecteurs :

Comme vous le comprenez, le système de coordonnées affines est encore moins pratique ; les formules pour les longueurs des vecteurs et des segments, dont nous avons parlé dans la deuxième partie de la leçon, n'y fonctionnent pas. Vecteurs pour les nuls, de nombreuses formules délicieuses liées à produit scalaire de vecteurs. Mais les règles d'addition de vecteurs et de multiplication d'un vecteur par un nombre, les formules pour diviser un segment à cet égard, ainsi que certains autres types de problèmes que nous examinerons bientôt, sont valables.

Et la conclusion est que le cas particulier le plus pratique d’un système de coordonnées affines est le système rectangulaire cartésien. C’est pourquoi tu dois la voir le plus souvent, ma chérie. ...Cependant, tout dans cette vie est relatif - il existe de nombreuses situations dans lesquelles un angle oblique (ou un autre, par exemple, polaire) système de coordonnées. Et les humanoïdes pourraient aimer de tels systèmes =)

Passons à la partie pratique. Tous les problèmes de cette leçon sont valables à la fois pour le système de coordonnées rectangulaires et pour le cas affine général. Il n'y a rien de compliqué ici ; tout le matériel est accessible même à un écolier.

Comment déterminer la colinéarité des vecteurs plans ?

Chose typique. Pour que deux vecteurs plans étaient colinéaires, il est nécessaire et suffisant que leurs coordonnées correspondantes soient proportionnelles Il s’agit essentiellement d’un détail coordonnée par coordonnée de la relation évidente.

Exemple 1

a) Vérifiez si les vecteurs sont colinéaires .
b) Les vecteurs constituent-ils une base ? ?

Solution:
a) Voyons s'il existe pour les vecteurs coefficient de proportionnalité, tel que les égalités soient satisfaites :

Je vais certainement vous parler de la version « farfelue » de l'application de cette règle, qui fonctionne plutôt bien dans la pratique. L’idée est de faire immédiatement la proportion et de voir si elle est correcte :

Faisons une proportion à partir des rapports des coordonnées correspondantes des vecteurs :

Raccourcissons :
, donc les coordonnées correspondantes sont proportionnelles, donc,

La relation pourrait être inverse ; il s’agit d’une option équivalente :

Pour l'auto-test, vous pouvez utiliser le fait que les vecteurs colinéaires sont exprimés linéairement les uns par les autres. Dans ce cas, les égalités ont lieu . Leur validité peut être facilement vérifiée par des opérations élémentaires avec des vecteurs :

b) Deux vecteurs plans forment une base s'ils ne sont pas colinéaires (linéairement indépendants). Nous examinons les vecteurs pour la colinéarité . Créons un système :

De la première équation il s'ensuit que , de la deuxième équation il s'ensuit que , ce qui signifie le système est incohérent(pas de solutions). Ainsi, les coordonnées correspondantes des vecteurs ne sont pas proportionnelles.

Conclusion: les vecteurs sont linéairement indépendants et forment une base.

Une version simplifiée de la solution ressemble à ceci :

Faisons une proportion à partir des coordonnées correspondantes des vecteurs :
, ce qui signifie que ces vecteurs sont linéairement indépendants et forment une base.

Habituellement, cette option n'est pas rejetée par les réviseurs, mais un problème se pose dans les cas où certaines coordonnées sont égales à zéro. Comme ça: . Ou comme ceci : . Ou comme ceci : . Comment travailler les proportions ici ? (en effet, on ne peut pas diviser par zéro). C’est pour cette raison que j’ai qualifié la solution simplifiée de « farfelue ».

Répondre: a) , b) formulaire.

Un petit exemple créatif pour votre propre solution :

Exemple 2

A quelle valeur du paramètre sont les vecteurs seront-ils colinéaires ?

Dans la solution échantillon, le paramètre se trouve grâce à la proportion.

Il existe une manière algébrique élégante de vérifier la colinéarité des vecteurs. Systématisons nos connaissances et ajoutons-la comme cinquième point :

Pour deux vecteurs plans, les déclarations suivantes sont équivalentes:

2) les vecteurs forment une base ;
3) les vecteurs ne sont pas colinéaires ;

+ 5) le déterminant composé des coordonnées de ces vecteurs est non nul.

Respectivement, les affirmations opposées suivantes sont équivalentes:
1) les vecteurs sont linéairement dépendants ;
2) les vecteurs ne constituent pas une base ;
3) les vecteurs sont colinéaires ;
4) les vecteurs peuvent être exprimés linéairement les uns par les autres ;
+ 5) le déterminant composé des coordonnées de ces vecteurs est égal à zéro.

J’espère vraiment, vraiment que vous comprenez déjà tous les termes et déclarations que vous avez rencontrés.

Examinons de plus près le nouveau cinquième point : deux vecteurs plans sont colinéaires si et seulement si le déterminant composé des coordonnées des vecteurs donnés est égal à zéro:. Pour appliquer cette fonctionnalité, vous devez bien entendu être capable de trouver des déterminants.

Décidons Exemple 1 de la deuxième manière :

a) Calculons le déterminant constitué des coordonnées des vecteurs :
, ce qui signifie que ces vecteurs sont colinéaires.

b) Deux vecteurs plans forment une base s'ils ne sont pas colinéaires (linéairement indépendants). Calculons le déterminant constitué de coordonnées vectorielles :
, ce qui signifie que les vecteurs sont linéairement indépendants et forment une base.

Répondre: a) , b) formulaire.

Cela semble beaucoup plus compact et plus joli qu'une solution avec des proportions.

A l'aide du matériel considéré, il est possible d'établir non seulement la colinéarité des vecteurs, mais aussi de prouver le parallélisme des segments et des droites. Considérons quelques problèmes liés à des formes géométriques spécifiques.

Exemple 3

Les sommets d'un quadrilatère sont donnés. Montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme.

Preuve: Il n'est pas nécessaire de construire un dessin dans le problème, puisque la solution sera purement analytique. Rappelons la définition d'un parallélogramme :
Parallélogramme On appelle un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Il faut donc prouver :
1) parallélisme des côtés opposés et ;
2) parallélisme des côtés opposés et.

Nous prouvons :

1) Trouvez les vecteurs :

2) Trouvez les vecteurs :

Le résultat est le même vecteur (« selon l'école » – vecteurs égaux). La colinéarité est assez évidente, mais il vaut mieux formaliser la décision clairement, avec arrangement. Calculons le déterminant constitué de coordonnées vectorielles :
, ce qui signifie que ces vecteurs sont colinéaires, et .

Conclusion: Les côtés opposés d'un quadrilatère sont parallèles deux à deux, ce qui signifie qu'il s'agit d'un parallélogramme par définition. QED.

D'autres chiffres bons et différents :

Exemple 4

Les sommets d'un quadrilatère sont donnés. Montrer qu'un quadrilatère est un trapèze.

Pour une formulation plus rigoureuse de la preuve, il vaut bien sûr mieux se procurer la définition d'un trapèze, mais il suffit simplement de rappeler à quoi il ressemble.

C'est une tâche que vous devez résoudre vous-même. Solution complète à la fin de la leçon.

Et maintenant, il est temps de passer lentement de l’avion à l’espace :

Comment déterminer la colinéarité des vecteurs spatiaux ?

La règle est très similaire. Pour que deux vecteurs spatiaux soient colinéaires, il faut et suffisant que leurs coordonnées correspondantes soient proportionnelles.

Exemple 5

Découvrez si les vecteurs spatiaux suivants sont colinéaires :

UN) ;
b)
V)

Solution:
a) Vérifions s'il existe un coefficient de proportionnalité pour les coordonnées correspondantes des vecteurs :

Le système n’a pas de solution, ce qui signifie que les vecteurs ne sont pas colinéaires.

« Simplifié » est formalisé en vérifiant la proportion. Dans ce cas:
– les coordonnées correspondantes ne sont pas proportionnelles, ce qui signifie que les vecteurs ne sont pas colinéaires.

Répondre: les vecteurs ne sont pas colinéaires.

b-c) Ce sont des points pour une décision indépendante. Essayez-le de deux manières.

Il existe une méthode pour vérifier la colinéarité des vecteurs spatiaux via un déterminant du troisième ordre, cette méthode est abordée dans l'article ; Produit vectoriel de vecteurs.

Semblables au cas plan, les outils considérés peuvent être utilisés pour étudier le parallélisme de segments spatiaux et de lignes droites.

Bienvenue dans la deuxième section :

Dépendance linéaire et indépendance des vecteurs dans l'espace tridimensionnel.
Base spatiale et système de coordonnées affines

Bon nombre des modèles que nous avons examinés sur l’avion seront valables pour l’espace. J'ai essayé de minimiser les notes théoriques, car la part du lion des informations a déjà été mâchée. Cependant, je vous recommande de lire attentivement la partie introductive, car de nouveaux termes et concepts apparaîtront.

Désormais, au lieu du plan du bureau d’ordinateur, nous explorons l’espace tridimensionnel. Commençons par créer sa base. Quelqu’un est désormais à l’intérieur, quelqu’un à l’extérieur, mais de toute façon, on ne peut échapper aux trois dimensions : la largeur, la longueur et la hauteur. Par conséquent, pour construire une base, trois vecteurs spatiaux seront nécessaires. Un ou deux vecteurs ne suffisent pas, le quatrième est superflu.

Et encore une fois on s'échauffe sur nos doigts. S'il vous plaît, levez la main et étendez-la dans différentes directions pouce, index et majeur. Ce seront des vecteurs, ils regardent dans des directions différentes, ont des longueurs différentes et ont des angles différents entre eux. Félicitations, la base de l'espace tridimensionnel est prête ! D'ailleurs, il n'est pas nécessaire de le démontrer aux enseignants, peu importe la force avec laquelle vous vous tordez les doigts, mais il n'y a pas d'échappatoire aux définitions =)

Ensuite, posons-nous une question importante : est-ce que trois vecteurs quelconques forment une base d'espace tridimensionnel? Veuillez appuyer fermement trois doigts sur le dessus du bureau de l'ordinateur. Ce qui s'est passé? Trois vecteurs sont situés dans le même plan et, grosso modo, nous avons perdu l'une des dimensions - la hauteur. De tels vecteurs sont coplanaire et il est bien évident que la base de l’espace tridimensionnel n’est pas créée.

Il convient de noter que les vecteurs coplanaires ne doivent pas nécessairement se trouver dans le même plan, ils peuvent être dans des plans parallèles (ne le faites pas avec vos doigts, seul Salvador Dali l'a fait =)).

Définition: les vecteurs sont appelés coplanaire, s'il existe un plan auquel ils sont parallèles. Il est logique d'ajouter ici que si un tel plan n'existe pas, alors les vecteurs ne seront pas coplanaires.

Trois vecteurs coplanaires sont toujours linéairement dépendants, c'est-à-dire qu'ils sont exprimés linéairement les uns par les autres. Pour simplifier, imaginons à nouveau qu’ils se trouvent dans le même plan. Premièrement, les vecteurs ne sont pas seulement coplanaires, ils peuvent aussi être colinéaires, alors n'importe quel vecteur peut être exprimé par n'importe quel vecteur. Dans le deuxième cas, si par exemple les vecteurs ne sont pas colinéaires, alors le troisième vecteur s'exprime à travers eux de manière unique : (et pourquoi est facile à deviner à partir des documents de la section précédente).

L’inverse est également vrai : trois vecteurs non coplanaires sont toujours linéairement indépendants, c'est-à-dire qu'ils ne s'expriment en aucune manière les uns par les autres. Et, évidemment, seuls de tels vecteurs peuvent constituer la base d’un espace tridimensionnel.

Définition: La base de l'espace tridimensionnel est appelé un triplet de vecteurs linéairement indépendants (non coplanaires), pris dans un certain ordre, et tout vecteur d'espace Le seul moyen est décomposé sur une base donnée, où sont les coordonnées du vecteur dans cette base

Je vous rappelle qu'on peut aussi dire que le vecteur est représenté sous la forme combinaison linéaire vecteurs de base.

Le concept de système de coordonnées est introduit exactement de la même manière que pour le cas plan ; un point et trois vecteurs linéairement indépendants suffisent :

origine, Et non coplanaire vecteurs, pris dans un certain ordre, ensemble système de coordonnées affines d'un espace tridimensionnel :

Bien sûr, la grille de coordonnées est « oblique » et peu pratique, mais le système de coordonnées construit nous permet néanmoins certainement déterminer les coordonnées de n’importe quel vecteur et les coordonnées de n’importe quel point de l’espace. Semblable à un avion, certaines formules que j'ai déjà mentionnées ne fonctionneront pas dans le système de coordonnées affines de l'espace.

Le cas particulier le plus familier et le plus pratique d'un système de coordonnées affines, comme tout le monde le devine, est système de coordonnées d'espace rectangulaire:

Un point dans l'espace appelé origine, Et orthonormé la base est posée Système de coordonnées d'espace rectangulaire cartésien . Image familière :

Avant de passer aux tâches pratiques, systématisons à nouveau les informations :

Pour trois vecteurs spatiaux, les déclarations suivantes sont équivalentes:
1) les vecteurs sont linéairement indépendants ;
2) les vecteurs forment une base ;
3) les vecteurs ne sont pas coplanaires ;
4) les vecteurs ne peuvent pas être exprimés linéairement les uns par les autres ;
5) le déterminant, composé des coordonnées de ces vecteurs, est différent de zéro.

Je pense que les déclarations opposées sont compréhensibles.

La dépendance/indépendance linéaire des vecteurs spatiaux est traditionnellement vérifiée à l'aide d'un déterminant (point 5). Les tâches pratiques restantes seront de nature clairement algébrique. Il est temps de raccrocher le bâton de géométrie et de manier la batte de baseball de l'algèbre linéaire :

Trois vecteurs de l'espace sont coplanaires si et seulement si le déterminant composé des coordonnées des vecteurs donnés est égal à zéro : .

Je voudrais attirer votre attention sur une petite nuance technique : les coordonnées des vecteurs peuvent être écrites non seulement en colonnes, mais aussi en lignes (la valeur du déterminant ne changera pas de ce fait - voir propriétés des déterminants). Mais c'est bien mieux en colonnes, car c'est plus bénéfique pour résoudre certains problèmes pratiques.

Pour les lecteurs qui ont un peu oublié les méthodes de calcul des déterminants, ou qui en ont peut-être peu de connaissances, je recommande une de mes plus anciennes leçons : Comment calculer le déterminant ?

Exemple 6

Vérifiez si les vecteurs suivants constituent la base de l'espace tridimensionnel :

Solution: En fait, toute la solution se résume au calcul du déterminant.

a) Calculons le déterminant constitué de coordonnées vectorielles (le déterminant est révélé en première ligne) :

, ce qui signifie que les vecteurs sont linéairement indépendants (non coplanaires) et forment la base de l'espace tridimensionnel.

Répondre: ces vecteurs forment une base

b) Il s’agit d’un point pour une décision indépendante. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Il existe également des tâches créatives :

Exemple 7

A quelle valeur du paramètre les vecteurs seront-ils coplanaires ?

Solution: Les vecteurs sont coplanaires si et seulement si le déterminant composé des coordonnées de ces vecteurs est égal à zéro :

Essentiellement, vous devez résoudre une équation avec un déterminant. On fonce sur les zéros comme des cerfs-volants sur des gerboises - il est préférable d'ouvrir le déterminant dans la deuxième ligne et de se débarrasser immédiatement des moins :

Nous procédons à des simplifications supplémentaires et réduisons le problème à l'équation linéaire la plus simple :

Répondre: à

C'est facile à vérifier ici ; pour ce faire, vous devez substituer la valeur résultante au déterminant d'origine et vous assurer que , en l'ouvrant à nouveau.

En conclusion, nous considérerons un autre problème typique, de nature plus algébrique et traditionnellement inclus dans un cours d'algèbre linéaire. C'est tellement courant qu'il mérite son propre sujet :

Prouver que 3 vecteurs constituent la base de l'espace tridimensionnel
et trouver les coordonnées du 4ème vecteur dans cette base

Exemple 8

Les vecteurs sont donnés. Montrer que les vecteurs forment une base dans un espace tridimensionnel et trouver les coordonnées du vecteur dans cette base.

Solution: Tout d'abord, parlons de la condition. Par condition, quatre vecteurs sont donnés et, comme vous pouvez le voir, ils ont déjà des coordonnées sur une certaine base. Ce qu’est cette base ne nous intéresse pas. Et la chose suivante est intéressante : trois vecteurs pourraient bien constituer une nouvelle base. Et la première étape coïncide complètement avec la solution de l'exemple 6 il faut vérifier si les vecteurs sont bien linéairement indépendants :

Calculons le déterminant constitué de coordonnées vectorielles :

, ce qui signifie que les vecteurs sont linéairement indépendants et constituent la base de l’espace tridimensionnel.

! Important : coordonnées vectorielles Nécessairementécrire en colonnes déterminant, pas en chaînes. Sinon, il y aura de la confusion dans l'algorithme de solution ultérieur.

Tache 1. Découvrez si le système de vecteurs est linéairement indépendant. Le système de vecteurs sera précisé par la matrice du système dont les colonnes sont constituées des coordonnées des vecteurs.

.

Solution. Soit la combinaison linéaire égal à zéro. Après avoir écrit cette égalité en coordonnées, on obtient le système d'équations suivant :

.

Un tel système d'équations est appelé triangulaire. Elle n'a qu'une solution . Donc les vecteurs linéairement indépendant.

Tâche 2. Découvrez si le système de vecteurs est linéairement indépendant.

.

Solution. Vecteurs sont linéairement indépendants (voir problème 1). Montrons que le vecteur est une combinaison linéaire de vecteurs . Coefficients de dilatation vectorielle sont déterminés à partir du système d’équations

.

Ce système, comme un système triangulaire, a une solution unique.

Donc le système de vecteurs linéairement dépendant.

Commentaire. Les matrices du même type que dans le problème 1 sont appelées triangulaire , et dans le problème 2 – triangulaire à gradins . La question de la dépendance linéaire d'un système de vecteurs est facilement résolue si la matrice composée des coordonnées de ces vecteurs est triangulaire à échelons. Si la matrice n'a pas de forme spéciale, alors en utilisant conversions de chaînes élémentaires , en préservant les relations linéaires entre les colonnes, il peut être réduit à une forme triangulaire en escalier.

Conversions de chaînes élémentaires matrices (EPS) les opérations suivantes sur une matrice sont appelées :

1) réarrangement des lignes ;

2) multiplier une chaîne par un nombre non nul ;

3) ajouter une autre chaîne à une chaîne, multipliée par un nombre arbitraire.

Tâche 3. Trouver le sous-système linéairement indépendant maximum et calculer le rang du système de vecteurs

.

Solution. Réduisons la matrice du système utilisant EPS à une forme triangulaire par étapes. Pour expliquer la procédure, on note la ligne avec le numéro de la matrice à transformer par le symbole . La colonne après la flèche indique les actions sur les lignes de la matrice en cours de conversion qui doivent être effectuées pour obtenir les lignes de la nouvelle matrice.

.

Évidemment, les deux premières colonnes de la matrice résultante sont linéairement indépendantes, la troisième colonne est leur combinaison linéaire et la quatrième ne dépend pas des deux premières. Vecteurs sont appelés basiques. Ils forment un sous-système maximal linéairement indépendant du système , et le rang du système est trois.

Base, coordonnées

Tâche 4. Trouver la base et les coordonnées des vecteurs de cette base sur l'ensemble des vecteurs géométriques dont les coordonnées satisfont à la condition .

Solution. L'ensemble est un plan passant par l'origine. Une base arbitraire sur un plan est constituée de deux vecteurs non colinéaires. Les coordonnées des vecteurs dans la base sélectionnée sont déterminées en résolvant le système d'équations linéaires correspondant.

Il existe une autre façon de résoudre ce problème, lorsque vous pouvez trouver la base à l'aide des coordonnées.

Coordonnées les espaces ne sont pas des coordonnées sur le plan, puisqu'ils sont liés par la relation , c'est-à-dire qu'ils ne sont pas indépendants. Les variables indépendantes et (appelées libres) définissent de manière unique un vecteur sur le plan et, par conséquent, elles peuvent être choisies comme coordonnées dans . Puis la base se compose de vecteurs appartenant et correspondant à des ensembles de variables libres Et , c'est .

Tâche 5. Trouvez la base et les coordonnées des vecteurs de cette base sur l'ensemble de tous les vecteurs de l'espace dont les coordonnées impaires sont égales entre elles.

Solution. Choisissons, comme dans le problème précédent, des coordonnées dans l'espace.

Parce que , puis variables libres déterminent de manière unique le vecteur à partir duquel et sont donc des coordonnées. La base correspondante est constituée de vecteurs.

Tâche 6. Trouver la base et les coordonnées des vecteurs de cette base sur l'ensemble de toutes les matrices de la forme , Où – des nombres arbitraires.

Solution. Chaque matrice de est représentable de manière unique sous la forme :

Cette relation est le développement du vecteur par rapport à la base
avec coordonnées .

Tâche 7. Trouver la dimension et la base de la coque linéaire d'un système de vecteurs

.

Solution.À l'aide de l'EPS, nous transformons la matrice des coordonnées des vecteurs du système en une forme triangulaire par étapes.

.

Colonnes les dernières matrices sont linéairement indépendantes, et les colonnes exprimé linéairement à travers eux. Donc les vecteurs former une base , Et .

Commentaire. Base en est choisi de manière ambiguë. Par exemple, les vecteurs constituent également une base .