Notion de zone
La notion d'aire de toute figure géométrique, notamment d'un triangle, sera associée à une figure telle qu'un carré. Pour l'aire unitaire de toute figure géométrique, nous prendrons l'aire d'un carré dont le côté est égal à un. Pour être complet, rappelons deux propriétés fondamentales de la notion d'aires de figures géométriques.
Propriété 1 : Si les figures géométriques sont égales, alors leurs aires sont également égales.
Propriété 2 : Toute figure peut être divisée en plusieurs figures. De plus, l'aire de la figure originale est égale à la somme des aires de toutes ses figures constitutives.
Regardons un exemple.
Exemple 1
Évidemment, l'un des côtés du triangle est une diagonale d'un rectangle dont un côté a une longueur de 5$ (puisqu'il y a des cellules de 5$) et l'autre mesure 6$ (puisqu'il y a des cellules de 6$). Par conséquent, l'aire de ce triangle sera égale à la moitié d'un tel rectangle. L'aire du rectangle est
Alors l'aire du triangle est égale à
Réponse : 15$.
Ensuite, nous examinerons plusieurs méthodes pour trouver les aires des triangles, à savoir en utilisant la hauteur et la base, en utilisant la formule et l'aire de Heron. triangle équilatéral.
Comment trouver l'aire d'un triangle en utilisant sa hauteur et sa base
Théorème 1
L'aire d'un triangle peut être trouvée comme la moitié du produit de la longueur d'un côté et de la hauteur de ce côté.
Mathématiquement, ça ressemble à ça
$S=\frac(1)(2)αh$
où $a$ est la longueur du côté, $h$ est la hauteur qui y est dessinée.
Preuve.
Considérons un triangle $ABC$ dans lequel $AC=α$. La hauteur $BH$ est tracée de ce côté, ce qui est égal à $h$. Construisons-le jusqu'au carré $AXYC$ comme dans la figure 2.
L'aire du rectangle $AXBH$ est $h\cdot AH$, et l'aire du rectangle $HBYC$ est $h\cdot HC$. Alors
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Par conséquent, l'aire requise du triangle, par la propriété 2, est égale à
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
Le théorème a été prouvé.
Exemple 2
Trouvez l'aire du triangle dans la figure ci-dessous si la cellule a une aire égale à un
La base de ce triangle est égale à 9$ (puisque 9$ sont des carrés de 9$). La hauteur est également de 9$. Alors, d'après le théorème 1, on obtient
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$
Réponse : 40,5$.
La formule du héron
Théorème 2
Si on nous donne trois côtés d'un triangle $α$, $β$ et $γ$, alors son aire peut être trouvée comme suit
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
ici $ρ$ signifie le demi-périmètre de ce triangle.
Preuve.
Considérons la figure suivante :
D'après le théorème de Pythagore, à partir du triangle $ABH$ on obtient
A partir du triangle $CBH$, d'après le théorème de Pythagore, on a
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
De ces deux relations on obtient l'égalité
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
Puisque $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, alors $α+β+γ=2ρ$, ce qui signifie
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
D'après le théorème 1, on obtient
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Pour déterminer l'aire d'un triangle, vous pouvez utiliser différentes formules. De toutes les méthodes, la plus simple et la plus fréquemment utilisée consiste à multiplier la hauteur par la longueur de la base puis à diviser le résultat par deux. Cependant cette méthode loin d'être le seul. Ci-dessous, vous pouvez lire comment trouver l'aire d'un triangle à l'aide de différentes formules.
Séparément, nous examinerons les moyens de calculer la superficie types spécifiques triangle - rectangulaire, isocèle et équilatéral. Nous accompagnons chaque formule d'une courte explication qui vous aidera à comprendre son essence.
Méthodes universelles pour trouver l'aire d'un triangle
Les formules ci-dessous utilisent une notation spéciale. Nous allons décrypter chacun d'eux :
- a, b, c – les longueurs des trois côtés de la figure que nous considérons ;
- r est le rayon du cercle pouvant être inscrit dans notre triangle ;
- R est le rayon du cercle qui peut être décrit autour de lui ;
- α est la grandeur de l'angle formé par les côtés b et c ;
- β est la grandeur de l'angle entre a et c ;
- γ est la grandeur de l'angle formé par les côtés a et b ;
- h est la hauteur de notre triangle, abaissé de l'angle α au côté a ;
- p – la moitié de la somme des côtés a, b et c.
Il est logiquement clair pourquoi vous pouvez trouver l'aire d'un triangle de cette manière. Le triangle peut facilement être complété en un parallélogramme, dans lequel un côté du triangle fera office de diagonale. L'aire d'un parallélogramme se trouve en multipliant la longueur d'un de ses côtés par la valeur de la hauteur qui y est dessinée. La diagonale divise ce parallélogramme conditionnel en 2 triangles identiques. Il est donc bien évident que l'aire de notre triangle d'origine doit être égale à la moitié de l'aire de ce parallélogramme auxiliaire.
S=½ a b sin γ
Selon cette formule, l'aire d'un triangle se trouve en multipliant les longueurs de ses deux côtés, c'est-à-dire a et b, par le sinus de l'angle qu'ils forment. Cette formule dérive logiquement de la précédente. Si l'on abaisse la hauteur de l'angle β au côté b, alors, selon les propriétés d'un triangle rectangle, lorsque l'on multiplie la longueur du côté a par le sinus de l'angle γ, on obtient la hauteur du triangle, c'est-à-dire h .
L'aire de la figure en question se trouve en multipliant la moitié du rayon du cercle qui peut y être inscrit par son périmètre. Autrement dit, on trouve le produit du demi-périmètre et du rayon du cercle mentionné.
S = a b c/4R
Selon cette formule, la valeur dont nous avons besoin peut être trouvée en divisant le produit des côtés de la figure par 4 rayons du cercle décrit autour d'elle.
Ces formules sont universelles, car elles permettent de déterminer l'aire de n'importe quel triangle (scalène, isocèle, équilatéral, rectangulaire). Cela peut également être fait en utilisant davantage calculs complexes, sur lequel nous ne nous attarderons pas en détail.
Aires de triangles avec des propriétés spécifiques
Comment trouver l'aire d'un triangle rectangle ? La particularité de cette figure est que ses deux côtés sont simultanément ses hauteurs. Si a et b sont des jambes et que c devient l'hypoténuse, alors nous trouvons l'aire comme ceci :
Comment trouver une zone triangle isocèle? Il a deux côtés de longueur a et un côté de longueur b. Par conséquent, son aire peut être déterminée en divisant par 2 le produit du carré du côté a par le sinus de l'angle γ.
Comment trouver l'aire d'un triangle équilatéral ? Dans celui-ci, la longueur de tous les côtés est égale à a et la grandeur de tous les angles est α. Sa hauteur est égale à la moitié du produit de la longueur du côté a par la racine carrée de 3. Pour trouver l'aire triangle régulier, vous devez multiplier le carré du côté a par la racine carrée de 3 et diviser par 4.
Notion de zone
La notion d'aire de toute figure géométrique, notamment d'un triangle, sera associée à une figure telle qu'un carré. Pour l'aire unitaire de toute figure géométrique, nous prendrons l'aire d'un carré dont le côté est égal à un. Pour être complet, rappelons deux propriétés fondamentales de la notion d'aires de figures géométriques.
Propriété 1 : Si les figures géométriques sont égales, alors leurs aires sont également égales.
Propriété 2 : Toute figure peut être divisée en plusieurs figures. De plus, l'aire de la figure originale est égale à la somme des aires de toutes ses figures constitutives.
Regardons un exemple.
Exemple 1
Évidemment, l'un des côtés du triangle est une diagonale d'un rectangle dont un côté a une longueur de 5$ (puisqu'il y a des cellules de 5$) et l'autre mesure 6$ (puisqu'il y a des cellules de 6$). Par conséquent, l'aire de ce triangle sera égale à la moitié d'un tel rectangle. L'aire du rectangle est
Alors l'aire du triangle est égale à
Réponse : 15$.
Ensuite, nous examinerons plusieurs méthodes pour trouver les aires des triangles, à savoir en utilisant la hauteur et la base, en utilisant la formule de Heron et l'aire d'un triangle équilatéral.
Comment trouver l'aire d'un triangle en utilisant sa hauteur et sa base
Théorème 1
L'aire d'un triangle peut être trouvée comme la moitié du produit de la longueur d'un côté et de la hauteur de ce côté.
Mathématiquement, ça ressemble à ça
$S=\frac(1)(2)αh$
où $a$ est la longueur du côté, $h$ est la hauteur qui y est dessinée.
Preuve.
Considérons un triangle $ABC$ dans lequel $AC=α$. La hauteur $BH$ est tracée de ce côté, ce qui est égal à $h$. Construisons-le jusqu'au carré $AXYC$ comme dans la figure 2.
L'aire du rectangle $AXBH$ est $h\cdot AH$, et l'aire du rectangle $HBYC$ est $h\cdot HC$. Alors
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Par conséquent, l'aire requise du triangle, par la propriété 2, est égale à
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
Le théorème a été prouvé.
Exemple 2
Trouvez l'aire du triangle dans la figure ci-dessous si la cellule a une aire égale à un
La base de ce triangle est égale à 9$ (puisque 9$ sont des carrés de 9$). La hauteur est également de 9$. Alors, d'après le théorème 1, on obtient
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$
Réponse : 40,5$.
La formule du héron
Théorème 2
Si on nous donne trois côtés d'un triangle $α$, $β$ et $γ$, alors son aire peut être trouvée comme suit
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
ici $ρ$ signifie le demi-périmètre de ce triangle.
Preuve.
Considérons la figure suivante :
D'après le théorème de Pythagore, à partir du triangle $ABH$ on obtient
A partir du triangle $CBH$, d'après le théorème de Pythagore, on a
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
De ces deux relations on obtient l'égalité
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
Puisque $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, alors $α+β+γ=2ρ$, ce qui signifie
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
D'après le théorème 1, on obtient
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Un triangle est comme ça figure géométrique, qui se compose de trois lignes se connectant en des points qui ne se trouvent pas sur la même ligne. Les points de connexion des lignes sont les sommets du triangle, qui sont désignés en lettres latines(par exemple A, B, C). Les lignes droites reliant un triangle sont appelées segments, qui sont également généralement désignés par des lettres latines. Distinguer types suivants triangles :
- Rectangulaire.
- Obtus.
- Angulaire aigu.
- Polyvalent.
- Équilatéral.
- Isocèle.
Formules générales pour calculer l'aire d'un triangle
Formule pour l'aire d'un triangle basée sur la longueur et la hauteur
S= une*h/2,
où a est la longueur du côté du triangle dont il faut trouver l'aire, h est la longueur de la hauteur tirée jusqu'à la base.
La formule du héron
S=√р*(р-а)*(р-b)*(pc),
où √ est racine carrée, p est le demi-périmètre du triangle, a,b,c est la longueur de chaque côté du triangle. Le demi-périmètre d'un triangle peut être calculé à l'aide de la formule p=(a+b+c)/2.
Formule pour l'aire d'un triangle basée sur l'angle et la longueur du segment
S = (a*b*sin(α))/2,
Où b, c est la longueur des côtés du triangle, sin(α) est le sinus de l'angle entre les deux côtés.
Formule pour l'aire d'un triangle étant donné le rayon du cercle inscrit et trois côtés
S=p*r,
où p est le demi-périmètre du triangle dont il faut trouver l'aire, r est le rayon du cercle inscrit dans ce triangle.
Formule pour l'aire d'un triangle basée sur trois côtés et le rayon du cercle circonscrit autour de lui
S= (a*b*c)/4*R,
où a,b,c est la longueur de chaque côté du triangle, R est le rayon du cercle circonscrit autour du triangle.
Formule pour l'aire d'un triangle utilisant les coordonnées cartésiennes des points
Les coordonnées cartésiennes des points sont des coordonnées dans le système xOy, où x est l'abscisse, y est l'ordonnée. Système cartésien les coordonnées xOy sur le plan sont dites mutuellement perpendiculaires axes numériques Ooh et Oy avec début commun référence au point O. Si les coordonnées des points sur ce plan sont données sous la forme A(x1, y1), B(x2, y2) et C(x3, y3), alors vous pouvez calculer l'aire du triangle en utilisant la formule suivante, qui est obtenu à partir de produit vectoriel deux vecteurs.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
où || signifie module.
Comment trouver l'aire d'un triangle rectangle
Un triangle rectangle est un triangle dont un angle mesure 90 degrés. Un triangle ne peut avoir qu’un seul angle.
Formule pour l'aire d'un triangle rectangle sur deux côtés
S= une*b/2,
où a,b est la longueur des jambes. Les jambes sont les côtés adjacents à un angle droit.
Formule pour l'aire d'un triangle rectangle basée sur l'hypoténuse et l'angle aigu
S = a*b*sin(α)/ 2,
où a, b sont les jambes du triangle et sin(α) est le sinus de l'angle auquel les lignes a, b se coupent.
Formule pour l'aire d'un triangle rectangle basée sur le côté et l'angle opposé
S = une*b/2*tg(β),
où a, b sont les branches du triangle, tan(β) est la tangente de l'angle auquel les branches a, b sont connectées.
Comment calculer l'aire d'un triangle isocèle
Un triangle isocèle est un triangle qui possède deux côtés égaux. Ces côtés sont appelés les côtés et l’autre côté est la base. Pour calculer l'aire d'un triangle isocèle, vous pouvez utiliser l'une des formules suivantes.
Formule de base pour calculer l'aire d'un triangle isocèle
S=h*c/2,
où c est la base du triangle, h est la hauteur du triangle abaissé jusqu'à la base.
Formule d'un triangle isocèle basée sur le côté et la base
S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
où c est la base du triangle, a est la taille de l'un des côtés latéraux du triangle isocèle.
Comment trouver l'aire d'un triangle équilatéral
Un triangle équilatéral est un triangle dont tous les côtés sont égaux. Pour calculer l'aire d'un triangle équilatéral, vous pouvez utiliser la formule suivante :
S = (√3*a*a)/4,
où a est la longueur du côté du triangle équilatéral.
Les formules ci-dessus vous permettront de calculer l'aire requise du triangle. Il est important de se rappeler que pour calculer l'aire des triangles, vous devez prendre en compte le type de triangle et les données disponibles qui peuvent être utilisées pour le calcul.
Parfois, dans la vie, il y a des situations où vous devez fouiller dans votre mémoire à la recherche de souvenirs oubliés depuis longtemps. connaissances scolaires. Par exemple, vous devez déterminer la superficie d'un terrain triangulaire, ou le moment est venu de procéder à une autre rénovation dans un appartement ou une maison privée, et vous devez calculer la quantité de matériau nécessaire pour la surface avec forme triangulaire. Il fut un temps où vous pouviez résoudre un tel problème en quelques minutes, mais maintenant vous essayez désespérément de vous rappeler comment déterminer l'aire d'un triangle ?
Ne vous inquiétez pas ! Après tout, il est tout à fait normal que le cerveau d’une personne décide de transférer des connaissances longtemps inutilisées quelque part vers un coin éloigné, d’où il n’est parfois pas si facile de les extraire. Pour que vous n'ayez pas à lutter pour rechercher des connaissances scolaires oubliées pour résoudre un tel problème, cet article contient diverses méthodes, ce qui permet de trouver facilement l'aire requise du triangle.
Il est bien connu qu’un triangle est un type de polygone peu limité numéro possible côtés En principe, tout polygone peut être divisé en plusieurs triangles en reliant ses sommets par des segments qui ne coupent pas ses côtés. Par conséquent, connaissant le triangle, vous pouvez calculer l'aire de presque n'importe quelle figure.
Parmi tous les triangles possibles qui apparaissent dans la vie, on peut distinguer les types particuliers suivants : et rectangulaires.
La façon la plus simple de calculer l'aire d'un triangle est lorsqu'un de ses angles est droit, c'est-à-dire dans le cas d'un triangle rectangle. Il est facile de voir qu’il s’agit d’un demi-rectangle. Son aire est donc égale à la moitié du produit des côtés qui forment un angle droit entre eux.
Si l'on connaît la hauteur d'un triangle tombé d'un de ses sommets à le côté opposé, et la longueur de ce côté, appelé base, alors l'aire est calculée comme la moitié du produit de la hauteur et de la base. Ceci s'écrit à l'aide de la formule suivante :
S = 1/2*b*h, dans lequel
S est l'aire requise du triangle ;
b, h - respectivement, la hauteur et la base du triangle.
Il est si facile de calculer l'aire d'un triangle isocèle car la hauteur divisera le côté opposé en deux et peut être facilement mesurée. Si la surface est déterminée, il est alors pratique de prendre comme hauteur la longueur de l'un des côtés formant un angle droit.
Tout cela est bien sûr bien, mais comment déterminer si l'un des angles d'un triangle est droit ou non ? Si la taille de notre figure est petite, nous pouvons alors utiliser un angle de construction, un triangle de dessin, une carte postale ou un autre objet de forme rectangulaire.
Mais que se passe-t-il si nous avons un triangle terrain? Dans ce cas, procédez comme suit : comptez à partir du haut de la valeur attendue angle droit d'un côté la distance est un multiple de 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), et de l'autre côté la distance est un multiple de 4 (40 cm, 160 cm, 4 m) mesurée dans la même proportion. Maintenant, vous devez mesurer la distance entre points de terminaison ces deux segments. Si le résultat est un multiple de 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), alors on peut dire que l'angle est droit.
Si la longueur de chacun des trois côtés de notre figure est connue, alors l'aire du triangle peut être déterminée à l'aide de la formule de Heron. Pour qu'il ait une forme plus simple, une nouvelle valeur est utilisée, appelée demi-périmètre. C'est la somme de tous les côtés de notre triangle, divisés en deux. Une fois le demi-périmètre calculé, vous pouvez commencer à déterminer la superficie à l'aide de la formule :
S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), où
sqrt - racine carrée ;
p - valeur du demi-périmètre (p = (a+b+c)/2) ;
a, b, c - bords (côtés) du triangle.
Mais que se passe-t-il si le triangle a forme irrégulière? Il y a deux manières possibles ici. La première consiste à essayer de diviser un tel chiffre en deux triangle rectangle, dont la somme des aires est calculée séparément puis additionnée. Ou, si l'angle entre deux côtés et la taille de ces côtés sont connus, alors appliquez la formule :
S = 0,5 * ab * sinC, où
a,b - côtés du triangle ;
c est la taille de l'angle entre ces côtés.
Dernier cas dans la pratique, c'est rare, mais néanmoins, dans la vie, tout est possible, donc la formule ci-dessus ne sera pas superflue. Bonne chance avec vos calculs!
