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Bissectrice d'un triangle. Théorie détaillée avec des exemples (2019)

Bissectrice d'un triangle et ses propriétés

Savez-vous quel est le milieu d’un segment ? Bien sûr, vous le faites. Et le centre du cercle ? Même. Quel est le milieu d’un angle ? On peut dire que cela n'arrive pas. Mais pourquoi un segment peut-il être divisé en deux, mais pas un angle ? C'est tout à fait possible - mais pas un point, mais…. doubler.

Vous souvenez-vous de la blague : une bissectrice est un rat qui court dans les coins et divise le coin en deux. Ainsi, la vraie définition d’une bissectrice est très similaire à cette blague :

Bissectrice d'un triangle- c'est le segment bissecteur d'un angle d'un triangle reliant le sommet de cet angle avec un point du côté opposé.

Il était une fois d’anciens astronomes et mathématiciens qui découvrirent beaucoup de choses propriétés intéressantes bissectrices. Cette connaissance a grandement simplifié la vie des gens. Il est devenu plus facile de construire, de compter les distances, voire d'ajuster le tir des canons... La connaissance de ces propriétés nous aidera à résoudre certaines tâches du GIA et de l'Examen d'État unifié !

La première connaissance qui aidera à cela est bissectrice d'un triangle isocèle.

Au fait, vous souvenez-vous de tous ces termes ? Vous souvenez-vous en quoi ils diffèrent les uns des autres ? Non? Pas effrayant. Voyons cela maintenant.

Donc, base d'un triangle isocèle- c'est le côté qui n'est égal à aucun autre. Regardez la photo, de quel côté pensez-vous que c'est ? C'est vrai - c'est le côté.

La médiane est une ligne tirée du sommet d'un triangle et divisant le côté opposé(encore une fois) en deux.

Remarquez que nous ne disons pas « Médiane d'un triangle isocèle ». Est-ce que tu sais pourquoi? Parce qu'une médiane tirée d'un sommet d'un triangle coupe le côté opposé de N'IMPORTE QUEL triangle.

Eh bien, la hauteur est une ligne tracée depuis le haut et perpendiculaire à la base. Tu as remarqué? Nous parlons encore une fois de n’importe quel triangle, pas seulement d’un triangle isocèle. La hauteur de TOUT triangle est toujours perpendiculaire à la base.

Alors, avez-vous compris ? Presque. Pour mieux comprendre et se souvenir à jamais de ce que sont une bissectrice, une médiane et une hauteur, vous devez les comparer entre elles et comprendre en quoi elles sont similaires et en quoi elles diffèrent les unes des autres. En même temps, pour mieux mémoriser, il vaut mieux tout décrire » langage humain" Ensuite, vous opérerez facilement dans le langage des mathématiques, mais au début vous ne comprenez pas ce langage et vous devez tout comprendre dans votre propre langage.

Alors, en quoi sont-ils similaires ? Bissectrice, médiane et hauteur - elles « sortent » toutes du sommet du triangle et reposent du côté opposé et « font quelque chose » soit avec l'angle d'où elles sortent, soit avec le côté opposé. Je pense que c'est simple, non ?

Comment sont-ils différents?

• La bissectrice divise en deux l’angle d’où elle émerge.
• La médiane divise le côté opposé en deux.
• La hauteur est toujours perpendiculaire au côté opposé.

C'est ça. C'est facile à comprendre. Et une fois que vous avez compris, vous pouvez vous en souvenir.

Maintenant question suivante. Pourquoi, dans le cas d'un triangle isocèle, la bissectrice est-elle à la fois la médiane et l'altitude ?

Vous pouvez simplement regarder la figure et vous assurer que la médiane se divise absolument en deux. triangle égal. C'est tout! Mais les mathématiciens n’aiment pas en croire leurs yeux. Ils doivent tout prouver. Mot effrayant? Rien de tel, c'est simple ! Regardez : les deux ont des côtés égaux et, ils ont généralement un côté commun et. (- bissectrice !) Et il s'avère donc que deux triangles ont deux côtés égaux et l'angle entre eux. On rappelle le premier signe d'égalité des triangles (si vous ne vous en souvenez pas, regardez dans le sujet) et concluez que, et donc = et.

C'est déjà bien - cela signifie que c'est la médiane.

Mais qu'est-ce que c'est?

Regardons l'image - . Et nous l'avons eu. De même! Enfin, hourra ! Et.

Vous avez trouvé cette preuve un peu lourde ? Regardez l'image : deux triangles identiques parlent d'eux-mêmes.

Dans tous les cas, rappelez-vous bien :

Maintenant c'est plus difficile : on comptera angle entre les bissectrices dans n'importe quel triangle ! N'ayez pas peur, ce n'est pas si compliqué. Regarde l'image:

Comptons-le. Vous souvenez-vous que la somme des angles d'un triangle est?

Appliquons ce fait étonnant.

D'une part, de :

C'est-à-dire.

Voyons maintenant :

Mais bissectrices, bissectrices !

Rappelons :

Maintenant à travers les lettres

\angle AOC=90()^\circ +\frac(\angle B)(2)

N'est-ce pas surprenant ? Il s'est avéré que l'angle entre les bissectrices de deux angles ne dépend que du troisième angle!

Eh bien, nous avons regardé deux bissectrices. Et s'il y en avait trois ??!! Vont-ils tous se croiser à un moment donné ?

Ou est-ce que ce sera comme ça ?

Comment penses-tu? Ainsi les mathématiciens pensaient, pensaient et prouvaient :

N'est-ce pas génial ?

Voulez-vous savoir pourquoi cela se produit ?

Donc... deux triangles rectangles : et. Ils ont:

• Hypoténuse générale.
• (parce que c'est une bissectrice !)

Cela signifie - par angle et hypoténuse. Par conséquent, les jambes correspondantes de ces triangles sont égales ! C'est-à-dire.

Nous avons prouvé que le point est également (ou également) éloigné des côtés de l'angle. Le point 1 est traité. Passons maintenant au point 2.

Pourquoi 2 est-il vrai ?

Et connectons les points et.

Cela signifie qu'il se trouve sur la bissectrice !

C'est tout!

Comment tout cela peut-il être appliqué pour résoudre des problèmes ? Par exemple, dans les problèmes, on trouve souvent la phrase suivante : « Un cercle touche les côtés d'un angle... ». Eh bien, tu dois trouver quelque chose.

Puis on se rend vite compte que

Et vous pouvez utiliser l'égalité.

3. Trois bissectrices d'un triangle se coupent en un point

De la propriété d'une bissectrice à être lieu points équidistants des côtés de l’angle, l’énoncé suivant s’ensuit :

Comment ça ressort exactement ? Mais regardez : deux bissectrices vont certainement se croiser, n'est-ce pas ?

Et la troisième bissectrice pourrait ressembler à ceci :

Mais en réalité, tout va bien mieux !

Regardons le point d'intersection de deux bissectrices. Appelons-le.

Qu'avons-nous utilisé ici les deux fois ? Oui paragraphe 1, bien sûr! Si un point se trouve sur une bissectrice, alors il est à égale distance des côtés de l'angle.

Et c’est ce qui s’est passé.

Mais regardez bien ces deux égalités ! Après tout, il en résulte que et, par conséquent, .

Et maintenant, ça entrera en jeu point 2: si les distances aux côtés d'un angle sont égales, alors le point se trouve sur la bissectrice... quel angle ? Regardez à nouveau l'image :

et sont les distances aux côtés de l'angle, et elles sont égales, ce qui signifie que le point se trouve sur la bissectrice de l'angle. La troisième bissectrice passait par le même point ! Les trois bissectrices se coupent en un point ! Et comme cadeau supplémentaire -

Rayons inscrit cercles.

(Pour être sûr, regarde un autre sujet).

Eh bien, maintenant vous n'oublierez jamais :

Le point d'intersection des bissectrices d'un triangle est le centre du cercle qui y est inscrit.

Passons à à la propriété suivante... Wow, la bissectrice a de nombreuses propriétés, n'est-ce pas ? Et c'est génial, parce que plus de propriétés, ceux plus d'outils pour résoudre les problèmes de bissectrice.

4. Bissectrice et parallélisme, bissectrices d'angles adjacents

Le fait que la bissectrice divise l'angle en deux conduit dans certains cas à des résultats complètement inattendus. Par exemple,

Cas 1

Super, non ? Comprenons pourquoi il en est ainsi.

D'une part, on trace une bissectrice !

Mais d’un autre côté, il y a des angles transversaux (rappelez-vous le thème).

Et maintenant, il s’avère que ; jeter au milieu : ! - isocèle !

Cas 2

Imaginez un triangle (ou regardez l'image)

Continuons le côté au-delà du point. Nous avons maintenant deux angles :

• - coin intérieur
• - le coin extérieur est à l'extérieur, non ?

Alors maintenant, quelqu'un voulait dessiner non pas une, mais deux bissectrices à la fois : à la fois pour et pour. Que va-t-il se passer ?

Est-ce que ça marchera ? rectangulaire!

Étonnamment, c’est exactement le cas.

Voyons cela.

Selon vous, quel est le montant ?

Bien sûr, après tout, ils forment tous ensemble un tel angle qu'il s'avère être une ligne droite.

Maintenant rappelez-vous que et sont des bissectrices et voyez qu'à l'intérieur de l'angle il y a exactement moitié de la somme des quatre angles : et - - c'est-à-dire exactement. Vous pouvez également l'écrire sous forme d'équation :

Alors, incroyable mais vrai :

L'angle entre les bissectrices des angles interne et externe d'un triangle est égal.

Cas 3

Voyez-vous que tout est pareil ici que pour les coins intérieurs et extérieurs ?

Ou réfléchissons à nouveau, pourquoi cela se produit ?

Encore une fois, quant à coins adjacents,

(comme correspondant aux bases parallèles).

Et encore une fois, ils inventent exactement la moitié de la somme

Conclusion: Si le problème contient des bissectrices adjacent angles ou bissectrices pertinent angles d'un parallélogramme ou d'un trapèze, alors dans ce problème certainement il s’agit d’un triangle rectangle, ou peut-être même d’un rectangle entier.

5. Bissectrice et côté opposé

Il s'avère que la bissectrice d'un angle d'un triangle divise le côté opposé non seulement d'une manière ou d'une autre, mais d'une manière particulière et très intéressante :

C'est-à-dire:

Un fait étonnant, n'est-ce pas ?

Nous allons maintenant prouver ce fait, mais préparez-vous : ce sera un peu plus difficile qu'avant.

Encore une fois - sortie vers « l'espace » - formation supplémentaire !

Allons tout droit.

Pour quoi? Nous verrons maintenant.

Continuons la bissectrice jusqu'à ce qu'elle croise la ligne.

Est-ce une image familière ? Oui, oui, oui, exactement la même chose qu'au point 4, cas 1 - il s'avère que (- bissectrice)

Allongé en travers

Donc ça aussi.

Regardons maintenant les triangles et.

Que pouvez-vous dire d’eux ?

Ils sont similaires. Eh bien, oui, leurs angles sont égaux aux angles verticaux. Donc, dans deux coins.

Nous avons désormais le droit d'écrire les relations des parties concernées.

Et maintenant en notation courte :

Oh! Ça me rappelle quelque chose, non ? N'est-ce pas ce que nous voulions prouver ? Oui, oui, exactement ça !

Vous voyez à quel point la "sortie dans l'espace" - la construction d'une ligne droite supplémentaire - s'est avérée formidable - sans elle, rien ne serait arrivé ! Et ainsi, nous avons prouvé que

Vous pouvez désormais l'utiliser en toute sécurité ! Regardons une autre propriété des bissectrices des angles d'un triangle - ne vous inquiétez pas, maintenant le plus difficile est passé - ce sera plus facile.

Nous obtenons cela

Théorème 1 :

Théorème 2 :

Théorème 3 :

Théorème 4 :

Théorème 5 :

Théorème 6 :

Les mathématiques, on le sait, sont la reine des sciences. Ce n’est pas un hasard si les enseignants, notamment ceux de la génération plus âgée, aiment tant cette expression. Les mathématiques s'ouvrent exclusivement à ceux qui savent, d'une part, penser logiquement, et d'autre part, à ceux qui aiment toujours obtenir une réponse, en opérant avec des conditions initiales, sans tricher, mais en basant leurs décisions sur l'analyse, en établissant à nouveau des connexions logiques. Ces qualités, acquises à l'école, sont capables de se moduler dans la vie adulte sérieuse, tant au travail que dans d'autres domaines. moments difficiles.

Aujourd'hui, de nombreuses personnes ont du mal à résoudre problèmes mathématiques aussi dans école primaire.

Cependant, même les écoliers qui maîtrisent avec succès le primaire programme de mathématiques, déménager dans une nouvelle école et étape de la vie là où l'algèbre est séparée de la géométrie, ils rencontrent parfois de sérieuses difficultés. Pendant ce temps, après avoir appris et, surtout, compris, comment trouver la bissectrice d'un triangle, l'étudiant se souviendra toujours de cette formule. Considérons le triangle ABC à trois bissectrices. Comme le montre la figure, ils convergent tous en un point.

Tout d'abord, déterminons que la bissectrice d'un triangle, et c'est l'une de ses propriétés les plus importantes, divise en deux l'angle d'où part un tel segment. Autrement dit, dans l’exemple ci-dessus, l’angle BAD est égal à l’angle DAC.

Propriétés

1. La bissectrice d'un triangle divise le côté sur lequel elle est dessinée en deux segments qui ont respectivement les propriétés de proportionnalité aux côtés adjacents à chaque segment. Ainsi, BD/CD = AB/AC.
2. Chaque triangle peut avoir trois segments donnés. Autre propriétés importantes concernent à la fois le secteur privé et cas généraux triangles spécifiques considérés.

Propriétés des triangles isocèles

Détermination de la bissectrice d'un triangle

Supposons que dans le cas considéré triangle ABC côté AB = 5 cm, AC = 4 cm. Section CD = 3 cm.

Détermination de la longueur

La longueur peut être déterminée par la formule suivante . AD= Racine carrée de la différence entre le produit des côtés et le produit segments proportionnels.

Trouver la longueur du côté BC.

• D'après les propriétés, on sait que BD/CD = AB/AC.
• Donc BD/CD = 5/4 = 1,25.
• BD/3 = 5/4.
• Donc BD = 3,75.
• ABxAC = 5×4=20.
• CDxBD = 3x3,75 = 11,25.

Cet exemple est également destiné à indiquer explicitement la situation où les valeurs de la longueur de la bissectrice, comme toutes les autres valeurs en mathématiques, ne seront pas exprimées en nombres naturels, cependant, il n’y a pas lieu d’avoir peur de cela.

Trouver l'angle

Pour trouver les angles formés par une bissectrice, il faut tout d’abord rappelez-vous la somme des angles, toujours 180 degrés. Supposons que l’angle ABC soit de 70 degrés et l’angle BCA de 50 degrés. Cela signifie que par des calculs simples, nous trouvons que CAB = 180 – (70+50) = 60 degrés.

Si l'on utilise la propriété principale, selon laquelle le coin d'où elle sort, se divise en deux, on a valeurs égales angles BAD et CAD, dont chacun sera de 60/2 = 30 degrés.

Si supplémentaire exemple clair, considérons une situation où seul l'angle BAD est connu, égal à 28 degrés, ainsi que l'angle ABC, égal à 70 degrés. En utilisant la propriété de la bissectrice, on trouve immédiatement l'angle CAB en multipliant la valeur de l'angle BAD par deux. CAB = 28×2 =56. Donc, BAC = 180 – (70+56) ou 180 – (70+28×2) = 180 – 126 = 54 degrés.

La situation dans laquelle ce segment fait office de médiane ou de hauteur n'a pas été spécifiquement prise en compte, laissant d'autres articles spécialisés pour cela.

Ainsi, nous avons considéré un concept tel que bissectrice du triangle, dont la formule pour trouver la longueur et les angles est définie et mise en œuvre dans les exemples donnés, qui visent à montrer clairement comment elle peut être utilisée pour résoudre certains problèmes de géométrie. Des concepts tels que la médiane et la hauteur sont également liés à ce sujet. Si cette question Ceci étant clarifié, nous devrions nous tourner vers une étude plus approfondie de diverses autres propriétés du triangle, sans lesquelles une étude plus approfondie de la géométrie est impensable.

La bissectrice d'un triangle est un concept géométrique courant qui ne pose pas beaucoup de difficultés d'apprentissage. Connaissant ses propriétés, vous pouvez résoudre de nombreux problèmes sans trop de difficultés. Qu'est-ce qu'une bissectrice ? Nous essaierons de familiariser le lecteur avec tous les secrets de cette ligne mathématique.

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L'essence du concept

Le nom du concept vient de l'utilisation de mots latins dont le sens est "bi" - deux, "sectio" - couper. Ils soulignent spécifiquement signification géométrique concepts - briser l'espace entre les rayons en deux parties égales.

La bissectrice d'un triangle est un segment qui part du sommet de la figure et dont l'autre extrémité est placée du côté qui lui est opposé, tout en divisant l'espace en deux parties identiques.

De nombreux professeurs pour une mémorisation associative rapide par les élèves concepts mathématiques utiliser une terminologie différente, qui se reflète dans les poèmes ou les associations. Bien entendu, l’utilisation de cette définition est recommandée pour les enfants plus âgés.

Comment est désignée cette ligne ? On s'appuie ici sur les règles de désignation des segments ou rayons. Si nous parlons de concernant la désignation de la bissectrice d'un angle d'une figure triangulaire, elle est généralement écrite comme un segment dont les extrémités sont sommet et point d'intersection avec en face du sommet côté. De plus, le début de la notation s’écrit précisément à partir du sommet.

Attention! Combien de bissectrices possède un triangle ? La réponse est évidente : autant qu'il y a de sommets, trois.

Propriétés

Outre la définition, dans manuel scolaire vous ne pouvez pas trouver beaucoup de propriétés de ceci concept géométrique. La première propriété de la bissectrice d'un triangle, présentée aux écoliers, est le centre inscrit, et la seconde, directement liée à celui-ci, est la proportionnalité des segments. L'essentiel est le suivant :

1. Quelle que soit la ligne de démarcation, elle comporte des points qui sont à la même distance des côtés, qui constituent l'espace entre les rayons.
2. Afin d'adapter un cercle à une figure triangulaire, il est nécessaire de déterminer le point d'intersection de ces segments. C'est le point central du cercle.
3. Parties d'un côté triangulaire figure géométrique, en lequel se divise sa ligne de démarcation, sont V dépendance proportionnelle des côtés formant l'angle.

Nous essaierons d'intégrer les fonctionnalités restantes dans le système et présenterons des faits supplémentaires qui aideront à mieux comprendre les avantages de ce concept géométrique.

Longueur

L'un des types de problèmes qui posent des difficultés aux écoliers est de trouver la longueur de la bissectrice d'un angle d'un triangle. La première option, qui contient sa longueur, contient les données suivantes :

• la quantité d'espace entre les rayons du sommet duquel émerge un segment donné ;
• les longueurs des côtés qui forment cet angle.

Résoudre le problème formule utilisée, dont le sens est de trouver le rapport du produit des valeurs des côtés qui composent l'angle, augmenté de 2 fois, par le cosinus de sa moitié à la somme des côtés.

Regardons exemple spécifique. Supposons que l'on nous donne une figure ABC, dans laquelle un segment est tiré de l'angle A et coupe le côté BC au point K. Nous notons la valeur de A par Y. Sur cette base, AK = (2*AB*AC*cos(Y /2))/(AB+AC).

La deuxième version du problème, dans laquelle la longueur de la bissectrice d'un triangle est déterminée, contient les données suivantes :

• les significations de tous les côtés de la figure sont connues.

Lors de la résolution d'un problème de ce type, dans un premier temps déterminer le demi-périmètre. Pour ce faire, vous devez additionner les valeurs de tous les côtés et diviser en deux : p=(AB+BC+AC)/2. Ensuite, nous appliquons la formule de calcul qui a été utilisée pour déterminer la longueur ce segment V tâche précédente. Il suffit d'apporter quelques modifications à l'essence de la formule conformément aux nouveaux paramètres. Il faut donc trouver le rapport de la racine double de la puissance seconde du produit des longueurs des côtés adjacents au sommet par le demi-périmètre et la différence entre le demi-périmètre et la longueur du côté opposé à la somme des côtés qui composent l’angle. Autrement dit, AK = (2٦AB*AC*p*(p-BC))/(AB+AC).

Attention! Pour faciliter la maîtrise de la matière, vous pouvez vous tourner vers les contes comiques disponibles sur Internet qui racontent les « aventures » de cette lignée.

La bissectrice d'un triangle est le segment qui divise l'angle du triangle en deux angles égaux. Par exemple, si l'angle d'un triangle est de 120 0, alors en traçant une bissectrice, nous construirons deux angles de 60 0 chacun.

Et comme il y a trois angles dans un triangle, on peut tracer trois bissectrices. Ils ont tous un seuil. Ce point est le centre du cercle inscrit dans le triangle. D'une autre manière, ce point d'intersection est appelé le centre du triangle.

Lorsque deux bissectrices d'un angle interne et externe se croisent, un angle de 90 0 est obtenu. Coin extérieur dans un triangle, l'angle adjacent à coin interne Triangle.

Riz. 1. Un triangle contenant 3 bissectrices

La bissectrice divise le côté opposé en deux segments reliés aux côtés :

$$(CL\plus(LB)) = (AC\plus(AB))$$

Les points bissecteurs sont équidistants des côtés de l’angle, ce qui signifie qu’ils sont à la même distance des côtés de l’angle. Autrement dit, si à partir de n'importe quel point de la bissectrice, nous déposons des perpendiculaires à chacun des côtés de l'angle du triangle, alors ces perpendiculaires seront égales.

Si vous dessinez une médiane, une bissectrice et une hauteur à partir d'un sommet, alors la médiane sera le segment le plus long et la hauteur sera la plus courte.

Quelques propriétés de la bissectrice

DANS certains types triangles, la bissectrice a propriétés spéciales. Cela s'applique principalement à un triangle isocèle. Cette figure comporte deux identiques côtés, et le troisième s'appelle la base.

Si vous dessinez une bissectrice depuis le sommet d'un angle d'un triangle isocèle jusqu'à la base, elle aura alors les propriétés à la fois de hauteur et de médiane. En conséquence, la longueur de la bissectrice coïncide avec la longueur de la médiane et la hauteur.

Définitions :

• Hauteur- une perpendiculaire tracée du sommet d'un triangle au côté opposé.
• Médian– un segment qui relie le sommet d'un triangle et le milieu du côté opposé.

Riz. 2. Bissectrice dans triangle isocèle

Ceci s'applique également triangle équilatéral, c'est-à-dire un triangle dont les trois côtés sont égaux.

Exemple de devoir

Dans le triangle ABC : BR est la bissectrice, avec AB = 6 cm, BC = 4 cm et RC = 2 cm Soustrayez la longueur du troisième côté.

Riz. 3. Bissectrice dans un triangle

Solution:

Une bissectrice divise un côté d'un triangle en une certaine proportion. Utilisons cette proportion et exprimons AR. Nous trouverons ensuite la longueur du troisième côté comme la somme des segments en lesquels ce côté a été divisé par la bissectrice.

• $(AB\plus(BC)) = (AR\plus(RC))$
• $RC=(6\over(4))*2=3 cm$

Alors le segment entier AC = RC+ AR

CA = 3+2=5 cm.

Notes totales reçues : 107.

L’une des bases de la géométrie consiste à trouver la bissectrice, le rayon qui coupe un angle. La bissectrice d'un triangle est la partie de la bissectrice d'un angle quelconque. Il s'agit d'un segment allant du sommet de l'angle jusqu'à l'intersection avec le côté opposé du triangle.

Si vous dessinez des bissectrices sous tous les angles, elles se couperont en un point, appelé centre du triangle inscrit.

Vous pouvez calculer la bissectrice si vous connaissez la longueur du côté qu'elle coupe en son milieu ou la taille des angles du triangle.

Bissectrice d'un triangle isocèle

Puisque dans un triangle isocèle, deux côtés sont égaux, alors les bissectrices des angles adjacents seront égales. Parce que Les angles du triangle sont également égaux.

Lorsque vous dessinez une bissectrice à partir de l'un des coins, elle sera considérée comme la hauteur triangle donné et sa médiane.

Les problèmes consistant à trouver la bissectrice d'un triangle sont résolus à l'aide de formules.

Pour résoudre ces formules, les conditions doivent indiquer les valeurs des longueurs des côtés, ou les valeurs des angles du triangle. Les connaissant, vous pouvez calculer la bissectrice en utilisant les cosinus ou le périmètre.

Par exemple, prenons un triangle isocèle ABC et dessinons la bissectrice AE jusqu'à la base BC. Le triangle AEB résultant est rectangle. La bissectrice est sa hauteur, le côté AB est l'hypoténuse triangle rectangle, et BE et AE sont des jambes.

Le théorème de Pythagore est appliqué - le carré de l'hypoténuse égal à la somme carrés de jambes. Sur cette base BE = v (AB - AE). Puisque AE est la médiane du triangle ABC, alors le côté BE = BC/2. Ainsi BE = v(AB - (BC/4)).

Si l'angle de base ABC est donné, alors la bissectrice du triangle est AEB, AE = AB/sin(ABC). Angle de base AEB, BAE = BAC/2. Donc la bissectrice AE = AB/cos (BAC/2).

Comment trouver la bissectrice d'un triangle inscrit dans un autre triangle ?

Dans un triangle isocèle ABC, tracez le côté BC vers le côté AC. Ce segment ne sera ni la bissectrice du triangle ni sa médiane. La formule Stewart s'applique ici.

Il est utilisé pour calculer le périmètre d’un triangle – la somme des longueurs de tous ses côtés. Pour ABC, nous calculons le demi-périmètre. C'est le périmètre du triangle divisé en deux.

P = (AB+ BC+AC)/2. En utilisant cette formule, nous calculons la bissectrice tracée sur le côté. VK = v(4*VS*AS*P (R-AV)/ (VS+AS).

Par le théorème de Stewart, vous pouvez également voir que la bissectrice tracée de l'autre côté du triangle sera égale à VC, car ces deux côtés du triangle sont égaux l’un à l’autre.

Bissectrice d'un triangle rectangle

Pour savoir comment trouver la bissectrice d’un triangle rectangle, il faut également utiliser des formules. N'oubliez pas que dans un triangle rectangle un angle est nécessairement droit, c'est-à-dire égal à 90 degrés. Ainsi, si la bissectrice part de angle droit, même si la condition n'indique pas le sinus ou le cosinus de l'angle, vous pouvez les reconnaître grâce à la taille de l'angle.

• La bissectrice est trouvée à l'aide de la formule de Stewart. S'il existe un triangle ABC et que son demi-périmètre est calculé comme P = (AB+ BC+ AK)/2. Sur cette base, nous calculons la bissectrice AE = v(4*VK*AK*P (P-AB)/ (VK+AK).
• La longueur de la bissectrice est ainsi déterminée. AE = v (BK*AK) – (EB*EK), où EB et EK sont les segments en lesquels la bissectrice AE divise le côté BK.
• Ou vous pouvez utiliser les cosinus des angles d’un triangle rectangle, s’ils sont connus. La bissectrice sera égale à (2*аb*(cos c/2))/(a+b).
• Ou trouvez la bissectrice comme ceci. À l’aide de la formule (cos a) – (cos b)/2, trouvez le diviseur dont vous aurez besoin à l’avenir. Ensuite, la hauteur tracée vers le côté c est divisée par la valeur résultante. Pour obtenir des cosinus, il faut connaître la grandeur des angles. Ou calculez-les en fonction de la valeur uniquement angle connu- droit, 90 degrés.

Triangle équilatéral

Dans un tel triangle, tous les côtés sont égaux, tout comme les angles. Par conséquent, toutes les bissectrices et médianes seront également égales. Si certaines valeurs latérales sont inconnues, alors la valeur d'un côté sera nécessaire. Parce que les côtés sont égaux. Et les tailles des angles aussi. Par conséquent, pour trouver la bissectrice à l'aide de la formule du cosinus, vous devez connaître ou calculer la valeur d'un seul des angles.

La longueur de la médiane et de la bissectrice d'un triangle est égale à - L.

Les côtés du triangle sont égaux - a.

DANS triangle ABC, bissectrice AE = (ABCv3)/2.

La même formule est utilisée pour calculer la hauteur et la médiane d'un triangle équilatéral.

Triangle scalène

Dans un tel triangle, tous les côtés ont différentes significations, donc les bissectrices ne sont pas égales les unes aux autres.

Prenons un triangle avec des valeurs de côtés arbitraires. Si certaines valeurs des côtés sont inconnues, elles sont alors calculées à l'aide de la formule du périmètre d'un triangle.

Une fois les bissectrices tracées, il convient d'ajouter un indice1 à leurs désignations. Les segments en lesquels la bissectrice divise le côté opposé sont également désignés par l'indice 1.

Les longueurs de ces segments sont calculées à l'aide du théorème des sinus.

La longueur de la bissectrice est calculée comme L = v ab – a1b1, où ab sont les côtés adjacents aux segments et a1b1 est le produit des segments. La formule s'applique à tous les côtés triangle scalène. L'essentiel est de connaître les longueurs des côtés, ou de les calculer, en connaissant les valeurs des angles adjacents.