Cette publication contient une autre tâche de planimétrie pour vous. Il concerne les tâches complexité accrue(niveau profil). Mais, comme vous le constaterez, le processus de résolution ne présente en réalité aucune difficulté particulière. Une telle tâche peut être considérée comme un cadeau à l'examen. Alors, commençons!

Un cercle s’inscrit dans un triangle régulier de côté « a ». Un triangle régulier est inscrit dans ce cercle, dans lequel est inscrit un cercle, et ainsi de suite.
a) Montrer que les aires des cercles forment une progression géométrique.
b) Trouvez la somme des aires de tous les cercles.

*Référence! Qu'est-ce que la progression géométrique ? Il s'agit d'une séquence où chaque membre suivant est égal au précédent multiplié par le même nombre. Un exemple simple : 3, 6, 12, 24, 48…. Le terme précédent de la suite est multiplié par 2 pour obtenir le suivant. Le nombre "2" est appelé le dénominateur progression géométrique.

a) Construisons un triangle régulier, inscrivons un cercle, inscrivons-y un triangle et un autre cercle (on s'arrête là) :

Appelons les cercles (du plus grand au plus petit) simplement « premier » et « deuxième ». Notez que le rayon du premier cercle (le plus grand) sera le double supérieur au rayon seconde (dans un triangle rectangle, la jambe se trouve à l'opposé d'un angle de 30 degrés égal à la moitié hypoténuse).

Qu’arrive-t-il aux aires des cercles ? Nous avons:

C'est-à-dire que l'aire du deuxième cercle est quatre fois moins de superficie d'abord. Si nous considérons davantage les cercles inscrits les uns par rapport aux autres, nous obtiendrons la même relation (dépendance) de leurs aires les unes par rapport aux autres, c'est-à-dire que l'aire de chaque cercle suivant sera 4 fois inférieure à l'aire de ​le précédent. Écrivons-le plus en détail :

*La formule générale de la progression géométrique est :

Nous avons donc une progression géométrique. Son dénominateur est ¼. Éprouvé!

b) La formule d'une progression géométrique infinie a la forme :

Cela signifie que la somme des aires de tous les cercles sera égale à :

Exprimons maintenant le rayon du premier cercle passant par le côté du triangle égal à « a ». On a (si le côté est égal à « a », alors la moitié du côté vaut 0,5a) :

Ainsi, nous obtenons :

Deuxième approche de la solution.

a) Puisque les rayons des cercles voisins diffèrent d'un facteur deux, il s'avère que le coefficient de similarité est de 0,5 (les cercles sont toujours similaires). Nous pouvons écrire:

Il s'agit d'une progression géométrique.

b) Calculons maintenant la somme des aires des cercles. Laisser

On sait que dans un triangle équilatéral le rayon du cercle inscrit est égal au tiers de sa hauteur, soit :

L'aire du cercle sera donc égale à :

Premier niveau

Triangle équilatéral. Guide illustré (2019)

Quelles propriétés particulières sont inhérentes à un triangle équilatéral ?

Triangle équilatéral. Propriétés.

Naturel, n'est-ce pas ? Trois angles identiques, au total, ça veut dire chacun.

Pourquoi donc? Regardons triangle équilatéral:

Cela signifie que toute altitude dans un triangle équilatéral est aussi une bissectrice, une médiane et médiatrice! Dans le triangle équilatéral, il n’y avait pas de lignes spéciales, comme dans n’importe quel triangle ordinaire, mais seulement trois !

Alors, encore une fois :

Il devrait déjà être évident pourquoi il en est ainsi.

Regardez l'image : le point est le centre du triangle. Cela signifie que c'est le rayon du cercle circonscrit (nous le désignons) et le rayon du cercle inscrit (nous le désignons).

Mais un point est aussi un point d'intersection de médianes ! Rappelons que les médianes sont divisées par le point d'intersection dans un rapport partant du sommet.

C’est donc le cas.

Assurons-nous-en.

Triangle équilatéral. Hauteur

Regardons-le : c'est rectangulaire.

Triangle équilatéral. Circonstance

Pourquoi est-ce?

Nous avons déjà découvert qu'un point n'est pas seulement le centre du cercle circonscrit, mais aussi le point d'intersection des médianes. Moyens, .

Nous avons déjà trouvé la valeur. Maintenant, nous remplaçons :

Triangle équilatéral. Rayon du cercle inscrit

Cela devrait être assez clair maintenant

Eh bien, toutes les informations de base ont été discutées. Bien sûr, vous pouvez poser des centaines de questions sur toutes sortes de longueurs de toutes sortes de segments dans un triangle équilatéral.

Mais la principale chose à garder à l’esprit lors de la résolution de problèmes concernant un triangle équilatéral est la suivante : c'est que tous ses angles sont connus- sont égaux et toutes les hauteurs sont des bissectrices, des médianes et des médiatrices perpendiculaires.

TRIANGLE ÉQUILATÉRAL. RÉSUMÉ ET FORMULES DE BASE

Triangle équilatéral - un triangle dont tous les côtés sont égaux : .

Dans un triangle équilatéral, les longueurs de tous les éléments « puits » sont exprimées en termes de longueur du côté :

Eh bien, le sujet est terminé. Si vous lisez ces lignes, c’est que vous êtes très cool.

Parce que seulement 5 % des gens sont capables de maîtriser quelque chose par eux-mêmes. Et si vous lisez jusqu'au bout, alors vous êtes dans ces 5% !

Maintenant, le plus important.

Vous avez compris la théorie sur ce sujet. Et je le répète, ça... c'est juste super ! Vous êtes déjà meilleur que la grande majorité de vos pairs.

Le problème est que cela ne suffit peut-être pas...

Pour quoi?

Pour réussir réussir l'examen d'État unifié, pour l'admission à l'université avec un budget limité et, SURTOUT, à vie.

Je ne vais vous convaincre de rien, je dirai juste une chose...

Les personnes qui ont reçu une bonne éducation, gagnent bien plus que ceux qui ne l’ont pas reçu. Ce sont des statistiques.

Mais ce n’est pas l’essentiel.

L'essentiel est qu'ils soient PLUS HEUREUX (il existe de telles études). Peut-être parce qu'il y a beaucoup plus d'ouverture devant eux plus de possibilités et la vie devient plus lumineuse ? Je ne sais pas...

Mais pensez par vous-même...

Que faut-il pour être sûr d'être meilleur que les autres à l'examen d'État unifié et finalement être... plus heureux ?

GAGNEZ VOTRE MAIN EN RÉSOUDANT DES PROBLÈMES SUR CE SUJET.

Aucune théorie ne vous sera demandée lors de l'examen.

Tu auras besoin de résoudre des problèmes contre le temps.

Et si vous ne les avez pas résolus (BEAUCOUP !), vous ferez certainement une erreur stupide quelque part ou vous n’aurez tout simplement pas le temps.

C'est comme dans le sport : il faut répéter plusieurs fois pour gagner avec certitude.

Retrouvez la collection où vous voulez, nécessairement avec des solutions, analyse détaillée et décidez, décidez, décidez !

Vous pouvez utiliser nos tâches (facultatif) et nous les recommandons bien sûr.

Afin de mieux utiliser nos tâches, vous devez contribuer à prolonger la durée de vie du manuel YouClever que vous lisez actuellement.

Comment? Il existe deux options :

1. Débloquez toutes les tâches cachées dans cet article - 299 roubles.
2. Débloquez l'accès à toutes les tâches cachées dans les 99 articles du manuel - 999 roubles.

Oui, nous avons 99 articles de ce type dans notre manuel et l'accès à toutes les tâches et à tous les textes cachés qu'elles contiennent peut être ouvert immédiatement.

Dans le deuxième cas nous vous donnerons simulateur « 6000 problèmes avec solutions et réponses, pour chaque sujet, à tous les niveaux de complexité. » Ce sera certainement suffisant pour mettre la main sur la résolution de problèmes sur n'importe quel sujet.

En fait, il s’agit bien plus qu’un simple simulateur : tout un programme de formation. Si nécessaire, vous pouvez également l'utiliser GRATUITEMENT.

L’accès à tous les textes et programmes est assuré pendant TOUTE la durée d’existence du site.

En conclusion...

Si vous n'aimez pas nos tâches, trouvez-en d'autres. Ne vous arrêtez pas à la théorie.

« Compris » et « Je peux résoudre » sont des compétences complètement différentes. Vous avez besoin des deux.

Trouvez les problèmes et résolvez-les !

Le cours vidéo « Obtenir un A » comprend tous les sujets dont vous avez besoin pour réussite Examen d'État unifié en mathématiques pour 60-65 points. Complètement tous les problèmes 1-13 Profil Examen d'État unifié mathématiques. Convient également pour réussir l'examen d'État unifié de base en mathématiques. Si vous souhaitez réussir l'examen d'État unifié avec 90 à 100 points, vous devez résoudre la partie 1 en 30 minutes et sans erreurs !

Cours de préparation à l'examen d'État unifié pour les classes 10-11, ainsi que pour les enseignants. Tout ce dont vous avez besoin pour résoudre la partie 1 de l'examen d'État unifié en mathématiques (les 12 premiers problèmes) et le problème 13 (trigonométrie). Et cela représente plus de 70 points à l'examen d'État unifié, et ni un étudiant de 100 points ni un étudiant en sciences humaines ne peuvent s'en passer.

Tous théorie nécessaire. Moyens rapides solutions, pièges et secrets de l'examen d'État unifié. Toutes les tâches actuelles de la partie 1 de la banque de tâches FIPI ont été analysées. Le cours est entièrement conforme aux exigences de l'examen d'État unifié 2018.

Le cours contient 5 grands sujets, 2,5 heures chacun. Chaque sujet est donné de toutes pièces, simplement et clairement.

Des centaines de tâches d'examen d'État unifié. Problèmes de mots et la théorie des probabilités. Algorithmes simples et faciles à retenir pour résoudre des problèmes. Géométrie. Théorie, matériel de référence, analyse de tous types de tâches d'examen d'État unifié. Stéréométrie. Solutions délicates, aide-mémoire utiles, développement de l'imagination spatiale. Trigonométrie de zéro au problème 13. Comprendre au lieu de bachoter. Explication visuelle notions complexes. Algèbre. Racines, puissances et logarithmes, fonction et dérivée. Base de solution tâches complexes 2 parties de l'examen d'État unifié.

Instructions

Si vous avez la possibilité d'utiliser un rapporteur lors de la construction, commencez par choisir point arbitraire sur un cercle, qui devrait devenir l'un des sommets du bon. Étiquetez-le, par exemple, avec la lettre A.

Dessinez un segment auxiliaire reliant A au centre du cercle. Fixez un rapporteur sur ce segment pour que la division zéro coïncide avec le centre du cercle, et placez un point auxiliaire au repère 120°. Par ce point, tracez un autre segment auxiliaire dont le début est au centre du cercle à l'intersection avec circonférence. Marquez le point d'intersection avec la lettre B - c'est le deuxième sommet de l'inscrit Triangle.

Répétez l'étape précédente, mais appliquez le rapporteur au deuxième segment auxiliaire, et le point d'intersection avec circonférence désignez-le par la lettre C. Vous n’aurez plus besoin de rapporteur.

S'il n'y a pas de rapporteur, mais qu'il y a un compas et , commencez par calculer la longueur du côté Triangle. Vous savez probablement qu'il peut être exprimé en termes de rayon du cercle circonscrit, en le multipliant par trois pour obtenir racine carrée sur trois, soit d'environ 1,732050807568877. Arrondissez-le à la précision souhaitée et multipliez par le rayon du cercle.

Mettez de côté la longueur du côté trouvée à la cinquième étape de la boussole. Triangle et un cercle auxiliaire avec un centre au point A. Désignons les points d'intersection des deux cercles par les lettres B et C - ce sont les deux autres sommets du cercle régulier inscrits dans le cercle Triangle.

Connectez les points A et B, B et C, C et A et la construction sera terminée.

Si un cercle touche les trois côtés triangle donné, et son centre est à l’intérieur du triangle, alors il est dit inscrit dans le triangle.

Tu auras besoin de

• règle, boussole

Instructions

Le point d'intersection des arcs le long de la règle est relié au sommet de l'angle divisible ;

La même chose est faite avec n’importe quel autre angle ;

Sources:

• http://www.alleng.ru/d/math/math42.htm

Correct Triangle- celui dont tous les côtés ont la même longueur. Sur la base de cette définition, la construction d'une telle variété Triangle mais ce n'est pas une tâche difficile.

Tu auras besoin de

• Règle, feuille de papier lignée, crayon

Instructions

note

Dans un triangle régulier (équilatéral), tous les angles sont égaux à 60 degrés.

Conseil utile

Un triangle équilatéral est aussi un triangle isocèle. Si un triangle est isocèle, cela signifie que 2 de ses 3 côtés sont égaux et que le troisième côté est considéré comme la base. Tout triangle régulier est isocèle, alors que l’inverse n’est pas vrai.

Astuce 4 : Comment trouver l'aire d'un triangle inscrit dans un cercle

L'aire d'un triangle peut être calculée de plusieurs manières, en fonction de la valeur connue des conditions problématiques. Étant donné la base et la hauteur d’un triangle, l’aire peut être trouvée en calculant le produit de la moitié de la base et de la hauteur. Dans la deuxième méthode, l’aire est calculée à travers le cercle circonscrit du triangle.

Instructions

Dans les problèmes de planimétrie, il faut trouver l'aire d'un polygone inscrit dans un cercle ou circonscrit autour de celui-ci. Un polygone est considéré comme circonscrit à un cercle s’il est extérieur et que ses côtés touchent le cercle. Un polygone situé à l'intérieur d'un cercle est considéré comme inscrit dans celui-ci si ses cercles s'y trouvent. Si le problème est donné , qui est inscrit, ses trois sommets touchent le cercle. En fonction du type de triangle considéré, la méthode de tâche est choisie.

Le cas le plus simple est celui où un triangle régulier est inscrit. Puisqu'un tel triangle a tout, le rayon du cercle est égal à la moitié de sa hauteur. Par conséquent, d’un triangle, vous pouvez trouver son aire. Calculez cette surface en dans ce cas peut être effectué de l’une des manières suivantes, par exemple :
R=abc/4S, où S est l'aire du triangle, a, b, c sont les côtés du triangle

Une autre situation se présente lorsque le triangle est isocèle. Si la base du triangle coïncide avec la ligne du diamètre du cercle ou si le diamètre est également la hauteur du triangle, l'aire peut être calculée comme suit :
S=1/2h*AC, où AC est la base du triangle
Si le rayon d'un cercle est connu, ses angles, ainsi que la base coïncidant avec le diamètre du cercle, peuvent être trouvés à l'aide du théorème de Pythagore. hauteur inconnue. L'aire d'un triangle dont la base coïncide avec le diamètre du cercle est :
S=R*h
Dans un autre cas, lorsque la hauteur est égale au diamètre du cercle circonscrit autour triangle isocèle, son aire est égale à :
S=R*AC

Dans un certain nombre de problèmes, un cercle est inscrit triangle rectangle. Dans ce cas, le centre du cercle se situe au milieu de l’hypoténuse. Connaissant les angles et la base d'un triangle, vous pouvez calculer l'aire en utilisant l'une des méthodes décrites ci-dessus.
Dans les autres cas, notamment lorsque le triangle est aigu ou obtus, seule la première des formules ci-dessus est applicable.

La tâche est de s'intégrer dans cercle polygone peut souvent dérouter un adulte. L'écolière doit expliquer sa décision, alors les parents vont surfer World Wide Webà la recherche d'une solution.

Instructions

Dessiner cercle. Placez l'aiguille de la boussole sur le côté du cercle, mais ne modifiez pas le rayon. Dessinez deux arcs qui se croisent cercle, en tournant la boussole vers la droite et la gauche.

Déplacez l’aiguille de la boussole le long du cercle jusqu’au point où l’arc le coupe. Tournez à nouveau la boussole et tracez deux autres arcs traversant le contour du cercle. Répétez cette procédure jusqu'à ce qu'elle croise le premier point.

Dessiner cercle. Tracez le diamètre passant par son centre, la ligne doit être horizontale. Construisez une perpendiculaire passant par le centre du cercle, vous obtenez ligne verticale(SV, par exemple).

Divisez le rayon en deux. Marquez ce point sur la ligne de diamètre (étiquetez-le A). Construire cercle de centre au point A et de rayon AC. En croisant avec ligne horizontale vous obtiendrez un autre point (D, par exemple). En conséquence, le segment CD sera le côté du pentagone qui doit être inscrit.

Posez des demi-cercles dont le rayon est égal à CD le long du contour du cercle. Ainsi, l'original cercle sera divisé en cinq parts égales. Reliez les points avec une règle. Le problème de l'inscription d'un pentagone dans cercleégalement terminé.

Ce qui suit est décrit en s'inscrivant dans cercle carré. Tracez une ligne de diamètre. Prenez un rapporteur. Placez-le au point où le diamètre coupe le côté du cercle. Ouvrez la boussole sur la longueur du rayon.

Dessinez deux arcs jusqu'à ce qu'ils se croisent avec cercle yu, en tournant la boussole dans un sens ou dans l'autre. Déplacez la branche de la boussole vers le point opposé et tracez deux autres arcs avec la même solution. Reliez les points résultants.

Mettez le diamètre au carré, divisez par deux et prenez la racine. En conséquence, vous obtiendrez un côté d'un carré qui s'intégrera facilement dans cercle. Ouvrez la boussole à cette longueur. Mettez son aiguille cercle et tracez un arc coupant un côté du cercle. Déplacez le pied de la boussole vers le point obtenu. Dessinez à nouveau l'arc.

Répétez la procédure et dessinez deux autres points. Connectez les quatre points. C'est un moyen plus simple d'insérer un carré dans cercle.

Considérez la tâche de s'intégrer dans cercle. Dessiner cercle. Prenez arbitrairement un point sur le cercle - ce sera le sommet du triangle. À partir de ce point, en gardant le compas, tracez un arc jusqu'à ce qu'il croise cercle Yu. Ce sera le deuxième pic. Construisez un troisième sommet à partir de celui-ci de la même manière. Reliez les points avec une règle. La solution a été trouvée.

Vidéo sur le sujet

Être l'une des parties intégrantes programme scolaire, problèmes géométriques construire polygones réguliers sont assez triviaux. En règle générale, la construction est réalisée en inscrivant un polygone dans cercle, qui est dessiné en premier. Mais si cercle donné, mais le chiffre est très complexe ?

Tu auras besoin de

• - règle;
• - boussole;
• - crayon;
• - papier.

Instructions

Construisez un segment de droite perpendiculaire à AB et divisez-le en deux parties égales au point d’intersection. Placez l'aiguille de la boussole au point A. Placez la jambe avec la laisse au point B, ou à n'importe quel point du segment qui est plus proche de B que de A. Dessinez cercle. Sans changer l'angle des branches de la boussole, installez son aiguille au point B. Dessinez un autre cercle.Les cercles dessinés se couperont en deux. Tracez une ligne droite à travers eux. Marquer le point d'intersection de ce segment avec le segment AB comme C. Marquez les points d'intersection de ce segment avec l'original cercle tu aimes D et E.

Construisez un segment DE droite en le divisant en deux. Réalisez des actions similaires à celles décrites à l’étape précédente en relation avec le segment DE. Laissez le segment dessiné couper DE au point O. Ce point sera le centre du cercle. Marquez également les points d'intersection de la perpendiculaire construite avec celle d'origine cercle tu aimes F et G.

Réglez l'ouverture des branches de la boussole de manière à ce que la distance entre leurs extrémités corresponde au rayon du cercle d'origine. Pour cela, placez l'aiguille de la boussole à l'un des points A, B, D, E, F ou G. Placez l'extrémité de la jambe avec la laisse au point O.

Construisez un hexagone régulier. Placez l'aiguille de la boussole à n'importe quel point de la ligne circulaire. Étiquetez ce point H. Dans le sens des aiguilles d'une montre, faites une encoche arquée avec un compas afin qu'elle coupe la ligne du cercle. Étiquetez ce point I. Déplacez l'aiguille de la boussole jusqu'au point I. Faites à nouveau une encoche sur le cercle et étiquetez le point résultant J. De même, construisez les points K, L, M. Connectez systématiquement les points H, I, J, K, L, M, H par paire. Reçu