Travaux de test

Tâche 1 à 10. Les vecteurs sont donnés. Montrer que les vecteurs forment une base de l'espace tridimensionnel et trouver les coordonnées du vecteur dans cette base :

Étant donné les vecteurs ε 1 (3;1;6), ε 2 (-2;2;-3), ε 3 (-4;5;-1), X(3;0;1). Montrer que les vecteurs constituent la base de l'espace tridimensionnel et trouver les coordonnées du vecteur X dans cette base.

Cette tâche se compose de deux parties. Vous devez d’abord vérifier si les vecteurs forment une base. Les vecteurs forment une base si le déterminant composé des coordonnées de ces vecteurs est non nul, sinon les vecteurs ne sont pas basiques et le vecteur X ne peut pas être développé sur cette base.

Calculons le déterminant de la matrice :

∆ = 3*(2*(-1) - 5*(-3)) - -2*(1*(-1) - 5*6) + -4*(1*(-3) - 2*6) = 37

Le déterminant de la matrice est ∆ =37

Puisque le déterminant est différent de zéro, les vecteurs forment une base, le vecteur X peut donc être développé sur cette base. Ceux. il existe des nombres α 1, α 2, α 3 tels que l'égalité est vraie :

X = α 1 ε 1 + α 2 ε 2 + α 3 ε 3

Écrivons cette égalité sous forme de coordonnées :

(3;0;1) = α(3;1;6) + α(-2;2;-3) + α(-4;5;-1)

En utilisant les propriétés des vecteurs, on obtient l'égalité suivante :

(3;0;1) = (3α 1 ;1α 1 ;6α 1 ;) + (-2α 2 ;2α 2 ;-3α 2 ;) + (-4α 3 ;5α 3 ;-1α 3 ;)

(3;0;1) = (3α 1 -2α 2 -4α 3 ;1α 1 + 2α 2 + 5α 3 ;6α 1 -3α 2 -1α 3)

Par la propriété d'égalité des vecteurs on a :

3α 1 -2α 2 -4α 3 = 3

1α 1 + 2α 2 + 5α 3 = 0

6α 1 -3α 2 -1α 3 = 1

Nous résolvons le système d'équations résultant Méthode gaussienne ou La méthode de Cramer.

X = ε 1 + 2ε 2 - ε 3

La solution a été reçue et traitée via le service :

Coordonnées vectorielles dans la base

Parallèlement à ce problème, ils résolvent également :

Résolution d'équations matricielles

Méthode Cramer

Méthode Gauss

Matrice inverse utilisant la méthode Jordano-Gauss

Matrice inverse via compléments algébriques

Multiplication matricielle en ligne

Dépendance linéaire et indépendance linéaire des vecteurs.
Base des vecteurs. Système de coordonnées affines

Il y a un chariot avec des chocolats dans l'auditorium, et chaque visiteur d'aujourd'hui recevra un joli couple : la géométrie analytique et l'algèbre linéaire. Cet article abordera deux sections des mathématiques supérieures à la fois, et nous verrons comment elles coexistent dans un seul emballage. Faites une pause, mangez un Twix ! ... putain, quel tas d'absurdités. Même si, d’accord, je ne marquerai pas, en fin de compte, vous devriez avoir une attitude positive à l’égard des études.

Dépendance linéaire des vecteurs, indépendance du vecteur linéaire, base de vecteurs et d'autres termes ont non seulement une interprétation géométrique, mais surtout une signification algébrique. Le concept même de « vecteur » du point de vue de l'algèbre linéaire n'est pas toujours le vecteur « ordinaire » que l'on peut représenter sur un plan ou dans l'espace. Vous n’avez pas besoin de chercher bien loin pour en trouver la preuve, essayez de dessiner un vecteur d’espace à cinq dimensions . Ou le vecteur météo, pour lequel je viens d'aller sur Gismeteo : respectivement la température et la pression atmosphérique. L'exemple, bien sûr, est incorrect du point de vue des propriétés de l'espace vectoriel, mais néanmoins personne n'interdit de formaliser ces paramètres comme vecteur. Souffle d'automne...

Non, je ne vais pas vous ennuyer avec la théorie, les espaces vectoriels linéaires, la tâche est de comprendre définitions et théorèmes. Les nouveaux termes (dépendance linéaire, indépendance, combinaison linéaire, base, etc.) s'appliquent à tous les vecteurs d'un point de vue algébrique, mais des exemples géométriques seront donnés. Ainsi, tout est simple, accessible et clair. En plus des problèmes de géométrie analytique, nous considérerons également quelques problèmes typiques d’algèbre. Pour maîtriser la matière, il est conseillé de se familiariser avec les cours Vecteurs pour les nuls Et Comment calculer le déterminant ?

Dépendance linéaire et indépendance des vecteurs plans.
Base plane et système de coordonnées affines

Considérons le plan de votre bureau d'ordinateur (juste une table, une table de chevet, le sol, le plafond, tout ce que vous voulez). La tâche comprendra les actions suivantes :

1) Sélectionnez la base du plan. En gros, un plateau de table a une longueur et une largeur, il est donc intuitif que deux vecteurs seront nécessaires pour construire la base. Un vecteur n’est clairement pas suffisant, trois vecteurs c’est trop.

2) Basé sur la base sélectionnée définir le système de coordonnées(grille de coordonnées) pour attribuer des coordonnées à tous les objets de la table.

Ne soyez pas surpris, au début les explications seront sur les doigts. De plus, sur le vôtre. Veuillez placer index gauche sur le bord de la table pour qu'il puisse regarder le moniteur. Ce sera un vecteur. Maintenant place petit doigt droit sur le bord de la table de la même manière - afin qu'il soit dirigé vers l'écran du moniteur. Ce sera un vecteur. Souriez, vous êtes superbe ! Que dire des vecteurs ? Vecteurs de données colinéaire, ce qui signifie linéaire exprimés les uns par les autres :
, eh bien, ou vice versa : , où est un nombre différent de zéro.

Vous pouvez voir une image de cette action en classe. Vecteurs pour les nuls, où j'ai expliqué la règle pour multiplier un vecteur par un nombre.

Vos doigts poseront-ils la base sur le plan du bureau d'ordinateur ? Évidemment pas. Les vecteurs colinéaires se déplacent d'avant en arrière à travers seul direction, et un plan a une longueur et une largeur.

De tels vecteurs sont appelés linéairement dépendant.

Référence: Les mots « linéaire », « linéairement » désignent le fait que dans les équations et expressions mathématiques, il n'y a pas de carrés, cubes, autres puissances, logarithmes, sinus, etc. Il n’existe que des expressions et dépendances linéaires (1er degré).

Deux vecteurs plans linéairement dépendant si et seulement s'ils sont colinéaires.

Croisez les doigts sur la table pour qu'il y ait un angle entre eux autre que 0 ou 180 degrés. Deux vecteurs planslinéaire Pas dépendants si et seulement s'ils ne sont pas colinéaires. Ainsi, la base est obtenue. Il n'y a pas lieu d'être gêné par le fait que la base s'est avérée « asymétrique » avec des vecteurs non perpendiculaires de différentes longueurs. Très bientôt, nous verrons que non seulement un angle de 90 degrés convient à sa construction, mais pas seulement des vecteurs unitaires d'égale longueur.

N'importe lequel vecteur d'avion Le seul moyen est élargi selon la base :
, où sont les nombres réels. Les numéros sont appelés coordonnées vectorielles dans cette base.

On dit aussi que vecteurprésenté comme combinaison linéaire vecteurs de base. Autrement dit, l'expression s'appelle décomposition vectoriellepar base ou combinaison linéaire vecteurs de base.

Par exemple, nous pouvons dire que le vecteur est décomposé le long d’une base orthonormée du plan, ou nous pouvons dire qu’il est représenté comme une combinaison linéaire de vecteurs.

Formulons définition de base officiellement: La base de l'avion est appelé une paire de vecteurs linéairement indépendants (non colinéaires), , dans lequel n'importe lequel un vecteur plan est une combinaison linéaire de vecteurs de base.

Un point essentiel de la définition est le fait que les vecteurs sont pris dans un certain ordre. Socles – ce sont deux bases complètement différentes ! Comme on dit, vous ne pouvez pas remplacer le petit doigt de votre main gauche par le petit doigt de votre main droite.

Nous avons trouvé la base, mais il ne suffit pas de définir une grille de coordonnées et d'attribuer des coordonnées à chaque élément de votre bureau d'ordinateur. Pourquoi n'est-ce pas suffisant ? Les vecteurs sont libres et errent dans tout le plan. Alors, comment attribuer des coordonnées à ces petits endroits sales sur la table, laissés par un week-end endiablé ? Un point de départ est nécessaire. Et un tel point de repère est un point familier à tout le monde : l'origine des coordonnées. Comprenons le système de coordonnées :

Je vais commencer par le système « scolaire ». Déjà dans la leçon d'introduction Vecteurs pour les nuls J'ai mis en évidence quelques différences entre le système de coordonnées rectangulaires et la base orthonormée. Voici l'image standard :

Quand ils parlent de système de coordonnées rectangulaires, alors le plus souvent ils désignent l'origine, les axes de coordonnées et l'échelle le long des axes. Essayez de taper « système de coordonnées rectangulaires » dans un moteur de recherche et vous verrez que de nombreuses sources vous parleront des axes de coordonnées familiers de la 5e à la 6e année et comment tracer des points sur un plan.

En revanche, il semble qu’un système de coordonnées rectangulaires puisse être défini en termes de base orthonormée. Et c'est presque vrai. La formulation est la suivante :

origine, Et orthonormé la base est posée Système de coordonnées de plan rectangulaire cartésien . Autrement dit, le système de coordonnées rectangulaires certainement est défini par un seul point et deux vecteurs orthogonaux unitaires. C'est pourquoi vous voyez le dessin que j'ai donné ci-dessus - dans les problèmes géométriques, les vecteurs et les axes de coordonnées sont souvent (mais pas toujours) dessinés.

Je pense que tout le monde comprend qu'utiliser un point (origine) et une base orthonormée N'IMPORTE QUEL POINT dans l'avion et N'IMPORTE QUEL VECTEUR dans l'avion des coordonnées peuvent être attribuées. Au sens figuré, « tout ce qui se trouve dans un avion peut être numéroté ».

Les vecteurs de coordonnées doivent-ils être des unités ? Non, ils peuvent avoir une longueur arbitraire non nulle. Considérons un point et deux vecteurs orthogonaux de longueur arbitraire non nulle :

Une telle base est appelée orthogonal. L'origine des coordonnées avec des vecteurs est définie par une grille de coordonnées, et tout point du plan, tout vecteur a ses coordonnées dans une base donnée. Par exemple, ou. L'inconvénient évident est que les vecteurs de coordonnées en général ont des longueurs différentes autres que l'unité. Si les longueurs sont égales à un, alors la base orthonormée habituelle est obtenue.

! Note : dans la base orthogonale, ainsi qu'en dessous dans les bases affines du plan et de l'espace, les unités le long des axes sont considérées CONDITIONNEL. Par exemple, une unité le long de l'axe des abscisses contient 4 cm, une unité le long de l'axe des ordonnées contient 2 cm. Cette information suffit pour, si nécessaire, convertir des coordonnées « non standards » en « nos centimètres habituels ».

Et la deuxième question, à laquelle on a déjà répondu, est de savoir si l'angle entre les vecteurs de base doit être égal à 90 degrés ? Non! Comme l'indique la définition, les vecteurs de base doivent être seulement non colinéaire. En conséquence, l'angle peut être n'importe quoi sauf 0 et 180 degrés.

Un point sur l'avion appelé origine, Et non colinéaire vecteurs, , ensemble système de coordonnées plan affine :

Parfois, un tel système de coordonnées est appelé oblique système. A titre d'exemples, le dessin montre des points et des vecteurs :

Comme vous le comprenez, le système de coordonnées affines est encore moins pratique ; les formules pour les longueurs des vecteurs et des segments, dont nous avons parlé dans la deuxième partie de la leçon, n'y fonctionnent pas. Vecteurs pour les nuls, de nombreuses formules délicieuses liées à produit scalaire de vecteurs. Mais les règles d'addition de vecteurs et de multiplication d'un vecteur par un nombre, les formules de division d'un segment dans cette relation, ainsi que certains autres types de problèmes que nous examinerons bientôt, sont valables.

Et la conclusion est que le cas particulier le plus pratique d’un système de coordonnées affines est le système rectangulaire cartésien. C’est pourquoi tu dois la voir le plus souvent, ma chérie. ...Cependant, tout dans cette vie est relatif - il existe de nombreuses situations dans lesquelles un angle oblique (ou un autre, par exemple, polaire) système de coordonnées. Et les humanoïdes pourraient aimer de tels systèmes =)

Passons à la partie pratique. Tous les problèmes de cette leçon sont valables à la fois pour le système de coordonnées rectangulaires et pour le cas affine général. Il n'y a rien de compliqué ici ; tout le matériel est accessible même à un écolier.

Comment déterminer la colinéarité des vecteurs plans ?

Chose typique. Pour que deux vecteurs plans étaient colinéaires, il est nécessaire et suffisant que leurs coordonnées correspondantes soient proportionnelles Il s’agit essentiellement d’un détail coordonnée par coordonnée de la relation évidente.

Exemple 1

a) Vérifiez si les vecteurs sont colinéaires .
b) Les vecteurs constituent-ils une base ? ?

Solution:
a) Voyons s'il existe pour les vecteurs coefficient de proportionnalité, tel que les égalités soient satisfaites :

Je vais certainement vous parler de la version « farfelue » de l'application de cette règle, qui fonctionne plutôt bien dans la pratique. L’idée est de faire immédiatement la proportion et de voir si elle est correcte :

Faisons une proportion à partir des rapports des coordonnées correspondantes des vecteurs :

Raccourcissons :
, donc les coordonnées correspondantes sont proportionnelles, donc,

La relation pourrait être inverse ; il s’agit d’une option équivalente :

Pour l'auto-test, vous pouvez utiliser le fait que les vecteurs colinéaires sont exprimés linéairement les uns par les autres. Dans ce cas, les égalités ont lieu . Leur validité peut être facilement vérifiée par des opérations élémentaires avec des vecteurs :

b) Deux vecteurs plans forment une base s'ils ne sont pas colinéaires (linéairement indépendants). Nous examinons les vecteurs pour la colinéarité . Créons un système :

De la première équation il s'ensuit que , de la deuxième équation il s'ensuit que , ce qui signifie le système est incohérent(pas de solutions). Ainsi, les coordonnées correspondantes des vecteurs ne sont pas proportionnelles.

Conclusion: les vecteurs sont linéairement indépendants et forment une base.

Une version simplifiée de la solution ressemble à ceci :

Faisons une proportion à partir des coordonnées correspondantes des vecteurs :
, ce qui signifie que ces vecteurs sont linéairement indépendants et forment une base.

Habituellement, cette option n'est pas rejetée par les réviseurs, mais un problème se pose dans les cas où certaines coordonnées sont égales à zéro. Comme ça: . Ou comme ceci : . Ou comme ceci : . Comment travailler les proportions ici ? (en effet, on ne peut pas diviser par zéro). C’est pour cette raison que j’ai qualifié la solution simplifiée de « farfelue ».

Répondre: a) , b) formulaire.

Un petit exemple créatif pour votre propre solution :

Exemple 2

A quelle valeur du paramètre sont les vecteurs seront-ils colinéaires ?

Dans la solution échantillon, le paramètre se trouve grâce à la proportion.

Il existe une manière algébrique élégante de vérifier la colinéarité des vecteurs. Systématisons nos connaissances et ajoutons-la comme cinquième point :

Pour deux vecteurs plans, les déclarations suivantes sont équivalentes:

2) les vecteurs forment une base ;
3) les vecteurs ne sont pas colinéaires ;

+ 5) le déterminant composé des coordonnées de ces vecteurs est non nul.

Respectivement, les affirmations opposées suivantes sont équivalentes:
1) les vecteurs sont linéairement dépendants ;
2) les vecteurs ne constituent pas une base ;
3) les vecteurs sont colinéaires ;
4) les vecteurs peuvent être exprimés linéairement les uns par les autres ;
+ 5) le déterminant composé des coordonnées de ces vecteurs est égal à zéro.

J’espère vraiment, vraiment que vous comprenez déjà tous les termes et déclarations que vous avez rencontrés.

Examinons de plus près le nouveau cinquième point : deux vecteurs plans sont colinéaires si et seulement si le déterminant composé des coordonnées des vecteurs donnés est égal à zéro:. Pour appliquer cette fonctionnalité, vous devez bien entendu être capable de trouver des déterminants.

Décidons Exemple 1 de la deuxième manière :

a) Calculons le déterminant constitué des coordonnées des vecteurs :
, ce qui signifie que ces vecteurs sont colinéaires.

b) Deux vecteurs plans forment une base s'ils ne sont pas colinéaires (linéairement indépendants). Calculons le déterminant constitué de coordonnées vectorielles :
, ce qui signifie que les vecteurs sont linéairement indépendants et forment une base.

Répondre: a) , b) formulaire.

Cela semble beaucoup plus compact et plus joli qu'une solution avec des proportions.

A l'aide du matériel considéré, il est possible d'établir non seulement la colinéarité des vecteurs, mais aussi de prouver le parallélisme des segments et des droites. Considérons quelques problèmes liés à des formes géométriques spécifiques.

Exemple 3

Les sommets d'un quadrilatère sont donnés. Montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme.

Preuve: Il n'est pas nécessaire de créer un dessin dans le problème, puisque la solution sera purement analytique. Rappelons la définition d'un parallélogramme :
Parallélogramme On appelle un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Il faut donc prouver :
1) parallélisme des côtés opposés et ;
2) parallélisme des côtés opposés et.

Nous prouvons :

1) Trouvez les vecteurs :

2) Trouvez les vecteurs :

Le résultat est le même vecteur (« selon l'école » – vecteurs égaux). La colinéarité est assez évidente, mais il vaut mieux formaliser la décision clairement, avec arrangement. Calculons le déterminant constitué de coordonnées vectorielles :
, ce qui signifie que ces vecteurs sont colinéaires, et .

Conclusion: Les côtés opposés d'un quadrilatère sont parallèles deux à deux, ce qui signifie qu'il s'agit d'un parallélogramme par définition. QED.

D'autres chiffres bons et différents :

Exemple 4

Les sommets d'un quadrilatère sont donnés. Montrer qu'un quadrilatère est un trapèze.

Pour une formulation plus rigoureuse de la preuve, il vaut mieux, bien sûr, se procurer la définition d'un trapèze, mais il suffit simplement de rappeler à quoi il ressemble.

C'est une tâche que vous devez résoudre vous-même. Solution complète à la fin de la leçon.

Et maintenant, il est temps de passer lentement de l’avion à l’espace :

Comment déterminer la colinéarité des vecteurs spatiaux ?

La règle est très similaire. Pour que deux vecteurs spatiaux soient colinéaires, il faut et suffisant que leurs coordonnées correspondantes soient proportionnelles.

Exemple 5

Découvrez si les vecteurs spatiaux suivants sont colinéaires :

UN) ;
b)
V)

Solution:
a) Vérifions s'il existe un coefficient de proportionnalité pour les coordonnées correspondantes des vecteurs :

Le système n’a pas de solution, ce qui signifie que les vecteurs ne sont pas colinéaires.

« Simplifié » est formalisé en vérifiant la proportion. Dans ce cas:
– les coordonnées correspondantes ne sont pas proportionnelles, ce qui signifie que les vecteurs ne sont pas colinéaires.

Répondre: les vecteurs ne sont pas colinéaires.

b-c) Ce sont des points pour une décision indépendante. Essayez-le de deux manières.

Il existe une méthode pour vérifier la colinéarité des vecteurs spatiaux via un déterminant du troisième ordre, cette méthode est abordée dans l'article ; Produit vectoriel de vecteurs.

Semblables au cas plan, les outils considérés peuvent être utilisés pour étudier le parallélisme de segments spatiaux et de lignes droites.

Bienvenue dans la deuxième section :

Dépendance linéaire et indépendance des vecteurs dans l'espace tridimensionnel.
Base spatiale et système de coordonnées affines

Bon nombre des modèles que nous avons examinés sur l’avion seront valables pour l’espace. J'ai essayé de minimiser les notes théoriques, car la part du lion des informations a déjà été mâchée. Cependant, je vous recommande de lire attentivement la partie introductive, car de nouveaux termes et concepts apparaîtront.

Désormais, au lieu du plan du bureau d’ordinateur, nous explorons l’espace tridimensionnel. Commençons par créer sa base. Quelqu’un est désormais à l’intérieur, quelqu’un à l’extérieur, mais de toute façon, on ne peut échapper aux trois dimensions : la largeur, la longueur et la hauteur. Par conséquent, pour construire une base, trois vecteurs spatiaux seront nécessaires. Un ou deux vecteurs ne suffisent pas, le quatrième est superflu.

Et encore une fois on s'échauffe sur nos doigts. S'il vous plaît, levez la main et étendez-la dans différentes directions pouce, index et majeur. Ce seront des vecteurs, ils regardent dans des directions différentes, ont des longueurs différentes et ont des angles différents entre eux. Félicitations, la base de l'espace tridimensionnel est prête ! D'ailleurs, il n'est pas nécessaire de le démontrer aux enseignants, peu importe la force avec laquelle vous vous tordez les doigts, mais il n'y a pas d'échappatoire aux définitions =)

Ensuite, posons-nous une question importante : est-ce que trois vecteurs quelconques forment la base d'un espace tridimensionnel? Veuillez appuyer fermement trois doigts sur le dessus du bureau de l'ordinateur. Ce qui s'est passé? Trois vecteurs sont situés dans le même plan et, grosso modo, nous avons perdu l'une des dimensions - la hauteur. De tels vecteurs sont coplanaire et il est bien évident que la base de l’espace tridimensionnel n’est pas créée.

Il convient de noter que les vecteurs coplanaires ne doivent pas nécessairement se trouver dans le même plan, ils peuvent être dans des plans parallèles (ne le faites pas avec vos doigts, seul Salvador Dali l'a fait =)).

Définition: les vecteurs sont appelés coplanaire, s'il existe un plan auquel ils sont parallèles. Il est logique d'ajouter ici que si un tel plan n'existe pas, alors les vecteurs ne seront pas coplanaires.

Trois vecteurs coplanaires sont toujours linéairement dépendants, c'est-à-dire qu'ils sont exprimés linéairement les uns par les autres. Pour simplifier, imaginons à nouveau qu’ils se trouvent dans le même plan. Premièrement, les vecteurs ne sont pas seulement coplanaires, ils peuvent aussi être colinéaires, alors n'importe quel vecteur peut être exprimé par n'importe quel vecteur. Dans le deuxième cas, si par exemple les vecteurs ne sont pas colinéaires, alors le troisième vecteur s'exprime à travers eux de manière unique : (et pourquoi est facile à deviner à partir des documents de la section précédente).

L’inverse est également vrai : trois vecteurs non coplanaires sont toujours linéairement indépendants, c'est-à-dire qu'ils ne s'expriment en aucune manière les uns par les autres. Et, évidemment, seuls de tels vecteurs peuvent constituer la base d’un espace tridimensionnel.

Définition: La base de l'espace tridimensionnel est appelé un triplet de vecteurs linéairement indépendants (non coplanaires), pris dans un certain ordre, et tout vecteur d'espace Le seul moyen est décomposé sur une base donnée, où sont les coordonnées du vecteur dans cette base

Je vous rappelle qu'on peut aussi dire que le vecteur est représenté sous la forme combinaison linéaire vecteurs de base.

Le concept de système de coordonnées est introduit exactement de la même manière que pour le cas plan ; un point et trois vecteurs linéairement indépendants suffisent :

origine, Et non coplanaire vecteurs, pris dans un certain ordre, ensemble système de coordonnées affines d'un espace tridimensionnel :

Bien sûr, la grille de coordonnées est « oblique » et peu pratique, mais le système de coordonnées construit nous permet néanmoins certainement déterminer les coordonnées de n’importe quel vecteur et les coordonnées de n’importe quel point de l’espace. Semblable à un avion, certaines formules que j'ai déjà mentionnées ne fonctionneront pas dans le système de coordonnées affines de l'espace.

Le cas particulier le plus familier et le plus pratique d'un système de coordonnées affines, comme tout le monde le devine, est système de coordonnées d'espace rectangulaire:

Un point dans l'espace appelé origine, Et orthonormé la base est posée Système de coordonnées d'espace rectangulaire cartésien . Image familière :

Avant de passer aux tâches pratiques, systématisons à nouveau les informations :

Pour trois vecteurs spatiaux, les déclarations suivantes sont équivalentes:
1) les vecteurs sont linéairement indépendants ;
2) les vecteurs forment une base ;
3) les vecteurs ne sont pas coplanaires ;
4) les vecteurs ne peuvent pas être exprimés linéairement les uns par les autres ;
5) le déterminant, composé des coordonnées de ces vecteurs, est différent de zéro.

Je pense que les déclarations opposées sont compréhensibles.

La dépendance/indépendance linéaire des vecteurs spatiaux est traditionnellement vérifiée à l'aide d'un déterminant (point 5). Les tâches pratiques restantes seront de nature clairement algébrique. Il est temps de raccrocher le bâton de géométrie et de manier la batte de baseball de l'algèbre linéaire :

Trois vecteurs de l'espace sont coplanaires si et seulement si le déterminant composé des coordonnées des vecteurs donnés est égal à zéro : .

Je voudrais attirer votre attention sur une petite nuance technique : les coordonnées des vecteurs peuvent être écrites non seulement en colonnes, mais aussi en lignes (la valeur du déterminant ne changera pas à partir de cela - voir propriétés des déterminants). Mais c'est bien mieux en colonnes, car c'est plus bénéfique pour résoudre certains problèmes pratiques.

Pour les lecteurs qui ont un peu oublié les méthodes de calcul des déterminants, ou peut-être qui les comprennent peu, je recommande l'une de mes plus anciennes leçons : Comment calculer le déterminant ?

Exemple 6

Vérifiez si les vecteurs suivants constituent la base de l'espace tridimensionnel :

Solution: En fait, toute la solution se résume au calcul du déterminant.

a) Calculons le déterminant constitué de coordonnées vectorielles (le déterminant est révélé en première ligne) :

, ce qui signifie que les vecteurs sont linéairement indépendants (non coplanaires) et forment la base de l'espace tridimensionnel.

Répondre: ces vecteurs forment une base

b) Il s’agit d’un point pour une décision indépendante. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Il existe également des tâches créatives :

Exemple 7

A quelle valeur du paramètre les vecteurs seront-ils coplanaires ?

Solution: Les vecteurs sont coplanaires si et seulement si le déterminant composé des coordonnées de ces vecteurs est égal à zéro :

Essentiellement, vous devez résoudre une équation avec un déterminant. On fonce sur les zéros comme des cerfs-volants sur des gerboises - il est préférable d'ouvrir le déterminant dans la deuxième ligne et de se débarrasser immédiatement des moins :

Nous procédons à des simplifications supplémentaires et réduisons le problème à l'équation linéaire la plus simple :

Répondre: à

C'est facile à vérifier ici ; pour ce faire, vous devez substituer la valeur résultante au déterminant d'origine et vous assurer que , en l'ouvrant à nouveau.

En conclusion, nous considérerons un autre problème typique, de nature plus algébrique et traditionnellement inclus dans un cours d'algèbre linéaire. C'est tellement courant qu'il mérite son propre sujet :

Prouver que 3 vecteurs constituent la base de l'espace tridimensionnel
et trouver les coordonnées du 4ème vecteur dans cette base

Exemple 8

Les vecteurs sont donnés. Montrer que les vecteurs forment une base dans un espace tridimensionnel et trouver les coordonnées du vecteur dans cette base.

Solution: Tout d'abord, parlons de la condition. Par condition, quatre vecteurs sont donnés et, comme vous pouvez le voir, ils ont déjà des coordonnées sur une certaine base. Ce qu'est cette base ne nous intéresse pas. Et la chose suivante est intéressante : trois vecteurs pourraient bien constituer une nouvelle base. Et la première étape coïncide complètement avec la solution de l'exemple 6 il faut vérifier si les vecteurs sont bien linéairement indépendants :

Calculons le déterminant constitué de coordonnées vectorielles :

, ce qui signifie que les vecteurs sont linéairement indépendants et constituent la base de l’espace tridimensionnel.

! Important : coordonnées vectorielles Nécessairementécrire en colonnes déterminant, pas en chaînes. Sinon, il y aura de la confusion dans l'algorithme de solution ultérieur.

Exemple 8

Les vecteurs sont donnés. Montrer que les vecteurs forment une base dans un espace tridimensionnel et trouver les coordonnées du vecteur dans cette base.

Solution: Tout d’abord, parlons de la condition. Par condition, quatre vecteurs sont donnés et, comme vous pouvez le voir, ils ont déjà des coordonnées sur une certaine base. Ce qu'est cette base ne nous intéresse pas. Et la chose suivante est intéressante : trois vecteurs pourraient bien constituer une nouvelle base. Et la première étape coïncide complètement avec la solution de l'exemple 6 il faut vérifier si les vecteurs sont bien linéairement indépendants :

Calculons le déterminant constitué de coordonnées vectorielles :

, ce qui signifie que les vecteurs sont linéairement indépendants et constituent la base de l’espace tridimensionnel.

! Important: coordonnées vectorielles Nécessairementécrire en colonnes déterminant, pas en chaînes. Sinon, il y aura de la confusion dans l'algorithme de solution ultérieur.

Rappelons maintenant la partie théorique : si les vecteurs forment une base, alors n'importe quel vecteur peut être développé dans une base donnée d'une manière unique : , où sont les coordonnées du vecteur dans la base.

Puisque nos vecteurs constituent la base de l'espace tridimensionnel (cela a déjà été prouvé), le vecteur peut être développé d'une manière unique sur cette base :
, où sont les coordonnées du vecteur dans la base.

Selon la condition et il faut trouver les coordonnées.

Pour faciliter l’explication, je vais échanger les parties : . Pour la trouver, vous devez noter cette égalité coordonnée par coordonnée :

Sur quelle base sont fixés les coefficients ? Tous les coefficients du côté gauche sont exactement transférés du déterminant , les coordonnées du vecteur sont écrites sur le côté droit.

Le résultat est un système de trois équations linéaires à trois inconnues. Habituellement, cela est résolu par Les formules de Cramer, souvent même dans l'énoncé du problème, il y a une telle exigence.

Le principal déterminant du système a déjà été trouvé :
, ce qui signifie que le système a une solution unique.

Ce qui suit est une question de technique :

Ainsi:
– expansion du vecteur selon la base.

Répondre:

Comme je l’ai déjà noté, le problème est de nature algébrique. Les vecteurs considérés ne sont pas nécessairement ceux qui peuvent être dessinés dans l'espace, mais avant tout des vecteurs abstraits du cours d'algèbre linéaire. Pour le cas des vecteurs bidimensionnels, un problème similaire peut être formulé et résolu ; la solution sera beaucoup plus simple. Cependant, dans la pratique, je n'ai jamais rencontré une telle tâche, c'est pourquoi je l'ai ignorée dans la section précédente.

Le même problème avec des vecteurs tridimensionnels pour une solution indépendante :

Exemple 9

Les vecteurs sont donnés. Montrer que les vecteurs forment une base et trouver les coordonnées du vecteur dans cette base. Résolvez un système d'équations linéaires en utilisant la méthode de Cramer.

Une solution complète et un échantillon approximatif de la conception finale à la fin de la leçon.

De même, on peut considérer le quadridimensionnel, le cinqdimensionnel, etc. espaces vectoriels, où les vecteurs ont respectivement 4, 5 coordonnées ou plus. Pour ces espaces vectoriels, il y a aussi la notion de dépendance linéaire, d'indépendance linéaire des vecteurs, il existe une base, y compris une base orthonormée, un développement d'un vecteur par rapport à une base. Oui, de tels espaces ne peuvent pas être dessinés géométriquement, mais toutes les règles, propriétés et théorèmes des cas bidimensionnels et tridimensionnels y fonctionnent - de l'algèbre pure. En fait, j'étais déjà tenté de parler de questions philosophiques dans l'article Dérivées partielles d'une fonction de trois variables, qui est apparu avant cette leçon.

Aimez les vecteurs, et les vecteurs vous aimeront !

Solutions et réponses :

Exemple 2 : Solution: faisons une proportion à partir des coordonnées correspondantes des vecteurs :

Répondre: à

Exemple 4 : Preuve: Trapèze Un quadrilatère est un quadrilatère dont deux côtés sont parallèles et les deux autres côtés ne sont pas parallèles.
1) Vérifions le parallélisme des côtés opposés et .
Trouvons les vecteurs :


, ce qui signifie que ces vecteurs ne sont pas colinéaires et que les côtés ne sont pas parallèles.
2) Vérifions le parallélisme des côtés opposés et .
Trouvons les vecteurs :

Calculons le déterminant constitué de coordonnées vectorielles :
, ce qui signifie que ces vecteurs sont colinéaires, et .
Conclusion: Deux côtés d’un quadrilatère sont parallèles, mais les deux autres côtés ne sont pas parallèles, ce qui signifie qu’il s’agit par définition d’un trapèze. QED.

Exemple 5 : Solution:
b) Vérifions s'il existe un coefficient de proportionnalité pour les coordonnées correspondantes des vecteurs :

Le système n’a pas de solution, ce qui signifie que les vecteurs ne sont pas colinéaires.
Conception plus simple :
– les deuxième et troisième coordonnées ne sont pas proportionnelles, ce qui signifie que les vecteurs ne sont pas colinéaires.
Répondre: les vecteurs ne sont pas colinéaires.
c) Nous examinons la colinéarité des vecteurs . Créons un système :

Les coordonnées correspondantes des vecteurs sont proportionnelles, ce qui signifie
C’est là que la méthode de conception « fantaisiste » échoue.
Répondre:

Exemple 6 : Solution: b) Calculons le déterminant constitué de coordonnées vectorielles (le déterminant est révélé en première ligne) :

, ce qui signifie que les vecteurs sont linéairement dépendants et ne constituent pas la base d’un espace tridimensionnel.
Répondre : ces vecteurs ne constituent pas une base

Exemple 9 : Solution: Calculons le déterminant constitué de coordonnées vectorielles :


Ainsi, les vecteurs sont linéairement indépendants et forment une base.
Représentons le vecteur comme une combinaison linéaire de vecteurs de base :

Coordonner :

Résolvons le système en utilisant les formules de Cramer :
, ce qui signifie que le système a une solution unique.

Répondre:Les vecteurs forment une base,

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Produit croisé de vecteurs.
Produit mixte de vecteurs

Dans cette leçon, nous examinerons deux autres opérations avec des vecteurs : produit vectoriel de vecteurs Et produit mixte de vecteurs. Ce n'est pas grave, il arrive parfois que pour un bonheur complet, en plus de produit scalaire de vecteurs, il en faut de plus en plus. C’est une dépendance aux vecteurs. Il peut sembler que nous entrons dans la jungle de la géométrie analytique. C'est faux. Dans cette section des mathématiques supérieures, il y a généralement peu de bois, sauf peut-être assez pour Pinocchio. En fait, le matériel est très courant et simple - à peine plus compliqué que le même produit scalaire, il y aura encore moins de tâches typiques. L'essentiel en géométrie analytique, comme beaucoup en seront convaincus ou l'ont déjà été, est de NE PAS FAIRE D'ERREURS DANS LES CALCULS. Répétez comme un sort et vous serez heureux =)

Si les vecteurs scintillent quelque part au loin, comme des éclairs à l’horizon, peu importe, commencez par la leçon Vecteurs pour les nuls restaurer ou réacquérir les connaissances de base sur les vecteurs. Les lecteurs plus préparés peuvent se familiariser avec les informations de manière sélective ; j'ai essayé de rassembler la collection la plus complète d'exemples que l'on trouve souvent dans les travaux pratiques.

Qu'est-ce qui vous rendra heureux tout de suite ? Quand j'étais petite, je savais jongler avec deux voire trois balles. Cela a bien fonctionné. Désormais, vous n'aurez plus du tout à jongler, puisque nous considérerons uniquement des vecteurs spatiaux, et les vecteurs plats avec deux coordonnées seront laissés de côté. Pourquoi? C'est ainsi que sont nées ces actions : le vecteur et le produit mixte de vecteurs sont définis et fonctionnent dans un espace tridimensionnel. C'est déjà plus simple !