Comment résoudre un système d'équations. Systèmes d'équations linéaires : concepts de base

Cours et présentation sur le thème : "Systèmes d'équations. Méthode de substitution, méthode d'addition, méthode d'introduction d'une nouvelle variable"

Matériaux additionnels
Chers utilisateurs, n'oubliez pas de laisser vos commentaires, avis, souhaits ! Tous les documents ont été vérifiés par un programme antivirus.

Supports pédagogiques et simulateurs dans la boutique en ligne Integral pour la 9e année
Simulateur pour manuels scolaires d'Atanasyan L.S. Simulateur pour manuels Pogorelova A.V.

Méthodes de résolution des systèmes d'inégalités

Méthode de substitution

Comment procéder pour prendre une décision ?
1. Exprimez une des variables par rapport à une autre. Les variables les plus souvent utilisées dans les équations sont x et y. Dans l’une des équations, nous exprimons une variable par rapport à une autre. Astuce : examinez attentivement les deux équations avant de commencer à les résoudre et choisissez celle où il est plus facile d'exprimer la variable.
2. Remplacez l'expression résultante dans la deuxième équation, au lieu de la variable qui a été exprimée.
3. Résolvez l’équation que nous avons obtenue.
4. Remplacez la solution résultante dans la deuxième équation. S'il existe plusieurs solutions, vous devez les remplacer séquentiellement afin de ne pas perdre quelques solutions.
5. En conséquence, vous recevrez une paire de nombres $(x;y)$, qui doivent être écrits comme réponse.

Exemple.
Résolvez un système à deux variables en utilisant la méthode de substitution : $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$.

Solution.
Examinons de près nos équations. Évidemment, exprimer y en fonction de x dans la première équation est beaucoup plus simple.
$\begin(cases)y=5-x, \\xy=6\end(cases)$.
Remplaçons la première expression dans la deuxième équation $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$.
Résolvons la deuxième équation séparément :
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
Nous avons obtenu deux solutions à la deuxième équation $x_1=2$ et $x_2=3$.
Remplacez séquentiellement dans la deuxième équation.
Si $x=2$, alors $y=3$. Si $x=3$, alors $y=2$.
La réponse sera deux paires de nombres.
Réponse : $(2;3)$ et $(3;2)$.

Méthode d'addition algébrique

Exemple.
Résolvez le système : $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.

Solution.
Multiplions la première équation par 2.
$\begin(cases)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Soustrayons la seconde de la première équation.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Comme vous pouvez le constater, la forme de l’équation résultante est beaucoup plus simple que celle d’origine. Nous pouvons maintenant utiliser la méthode de substitution.
$\begin(cases)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Exprimons x en termes de y dans l'équation résultante.
$\begin(cases)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(cases)$.
Nous avons $y=-1$ et $y=-3$.
Remplaçons ces valeurs séquentiellement dans la première équation. Nous obtenons deux paires de nombres : $(1;-1)$ et $(-1;-3)$.
Réponse : $(1;-1)$ et $(-1;-3)$.

Méthode d'introduction d'une nouvelle variable

Exemple.
Résolvez le système : $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.

Solution.
Introduisons le remplacement $t=\frac(x)(y)$.
Réécrivons la première équation avec une nouvelle variable : $t+\frac(2)(t)=3$.
Résolvons l'équation résultante :
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
Nous avons $t=2$ ou $t=1$. Introduisons le changement inverse $t=\frac(x)(y)$.
Nous avons : $x=2y$ et $x=y$.

Pour chacune des expressions, le système d'origine doit être résolu séparément :
$\begin(cases)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.   
$\begin(cases)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(cases)$.   
$\begin(cases)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\7y^2=1\end(cases)$.      
$\begin(cases)x=2y, \\y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$.     
$\begin(cases)x=y, \\y=±1\end(cases)$.

Exemple.
$\begin(cases)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$.    

Solution.
$\begin(cases)x=±1, \\y=±1\end(cases)$.
Nous avons reçu quatre paires de solutions.
Réponse : $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.
Résolvez le système : $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2,\\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\end(cas)$.
Introduisons le remplacement : $z=\frac(2)(x-3y)$ et $t=\frac(3)(2x+y)$.
Réécrivons les équations originales avec de nouvelles variables :
$\begin(cases)z+t=2, \\4z-3t=1\end(cases)$.
Utilisons la méthode d'addition algébrique :
$\begin(cases)3z+3t=6, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)7z=7, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\-3t=1-4\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\t=1\end(cases)$.
Introduisons la substitution inverse :
$\begin(cases)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x-3y=2, \\2x+y=3\end(cases)$.
Utilisons la méthode de substitution :
$\begin(cases)x=2+3y, \\4+6y+y=3\end(cases)$.

$\begin(cases)x=2+3y, \\7y=-1\end(cases)$.

3. $\begin(cases)xy+y^2=3,\\y^2-xy=5\end(cases)$.
4. $\begin(cases)\frac(2)(x)+\frac(1)(y)=4, \\\frac(1)(x)+\frac(3)(y)=9\ fin(cas)$.

5. $\begin(cases)\frac(5)(x^2-xy)+\frac(4)(y^2-xy)=-\frac(1)(6), \\\frac(7 )(x^2-xy)-\frac(3)(y^2-xy)=\frac(6)(5)\end(cases)$. Analysons deux types de solutions aux systèmes d'équations : 1. Résoudre le système en utilisant la méthode de substitution.
2. Résoudre le système par addition (soustraction) terme par terme des équations du système.
Pour résoudre le système d'équations
par méthode de substitution

vous devez suivre un algorithme simple : 1. Exprimez. À partir de n'importe quelle équation, nous exprimons une variable. 2. Remplacer. Nous substituons la valeur résultante dans une autre équation au lieu de la variable exprimée.
1. Sélectionnez une variable pour laquelle nous ferons des coefficients identiques.
2. Nous ajoutons ou soustrayons des équations, ce qui donne une équation à une variable.
3. Résolvez l’équation linéaire résultante. Nous trouvons une solution au système.

La solution du système réside dans les points d’intersection des graphiques de fonctions.

Examinons en détail la solution des systèmes à l'aide d'exemples.

Exemple 1:

Résolvons par méthode de substitution

2x+5y=1 (1 équation)
x-10y=3 (2ème équation)

1. Exprimer
On peut voir que dans la deuxième équation il y a une variable x avec un coefficient de 1, ce qui signifie qu'il est plus simple d'exprimer la variable x à partir de la deuxième équation.
x=3+10a

2.Après l'avoir exprimé, nous substituons 3+10y dans la première équation au lieu de la variable x.
2(3+10 ans)+5 ans=1

3. Résolvez l'équation résultante avec une variable.
2(3+10y)+5y=1 (ouvrez les parenthèses)
6+20 ans+5 ans=1
25 ans = 1-6
25 ans = -5 | : (25)
y=-5:25
y=-0,2

La solution du système d'équations sont les points d'intersection des graphiques, nous devons donc trouver x et y, car le point d'intersection est constitué de x et y, trouvons x, au premier point où nous l'avons exprimé, nous y substituons y. .
x=3+10a
x=3+10*(-0,2)=1

Il est d'usage d'écrire des points en premier lieu on écrit la variable x, et en second lieu la variable y.
Réponse : (1 ; -0,2)

Exemple n°2 :

Résolvons en utilisant la méthode d'addition (soustraction) terme par terme.

3x-2y=1 (1 équation)
2x-3y=-10 (2ème équation)

1. Nous choisissons une variable, disons que nous choisissons x. Dans la première équation, la variable x a un coefficient de 3, dans la seconde - 2. Nous devons rendre les coefficients identiques, pour cela nous avons le droit de multiplier les équations ou de diviser par n'importe quel nombre. On multiplie la première équation par 2 et la seconde par 3 et obtenons un coefficient total de 6.

3x-2a=1 |*2
6x-4a=2

2x-3a=-10 |*3
6x-9a=-30

2. Soustrayez la seconde de la première équation pour éliminer la variable x. Résolvez l’équation linéaire.
__6x-4a=2

5 ans = 32 | :5
y=6,4

3. Trouvez x. Nous substituons le y trouvé dans n’importe laquelle des équations, disons dans la première équation.
3x-2a=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Le point d'intersection sera x=4,6 ; y=6,4
Réponse : (4.6 ; 6.4)

Vous souhaitez préparer vos examens gratuitement ? Tuteur en ligne gratuitement. Sans blague.

La résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires (SLAE) est sans aucun doute le sujet le plus important d'un cours d'algèbre linéaire. Un grand nombre de problèmes dans toutes les branches des mathématiques se résument à la résolution de systèmes d'équations linéaires. Ces facteurs expliquent la raison de cet article. Le matériel de l'article est sélectionné et structuré de manière à ce qu'avec son aide vous puissiez

• choisissez la méthode optimale pour résoudre votre système d'équations algébriques linéaires,
• étudier la théorie de la méthode choisie,
• résolvez votre système d'équations linéaires en considérant des solutions détaillées à des exemples et des problèmes typiques.

Brève description du matériel de l'article.

Tout d’abord, nous donnons toutes les définitions et concepts nécessaires et introduisons les notations.

Ensuite, nous considérerons des méthodes de résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires dans lesquelles le nombre d'équations est égal au nombre de variables inconnues et qui ont une solution unique. Premièrement, nous nous concentrerons sur la méthode de Cramer, deuxièmement, nous montrerons la méthode matricielle pour résoudre de tels systèmes d'équations, et troisièmement, nous analyserons la méthode de Gauss (la méthode d'élimination séquentielle de variables inconnues). Pour consolider la théorie, nous allons certainement résoudre plusieurs SLAE de différentes manières.

Après cela, nous passerons à la résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires de forme générale, dans lesquels le nombre d'équations ne coïncide pas avec le nombre de variables inconnues ou la matrice principale du système est singulière. Formulons le théorème de Kronecker-Capelli, qui permet d'établir la compatibilité des SLAE. Analysons la solution des systèmes (s'ils sont compatibles) en utilisant la notion de base mineure d'une matrice. Nous considérerons également la méthode de Gauss et décrirons en détail les solutions aux exemples.

Nous nous attarderons certainement sur la structure de la solution générale des systèmes homogènes et inhomogènes d'équations algébriques linéaires. Donnons le concept de système fondamental de solutions et montrons comment la solution générale d'un SLAE s'écrit en utilisant les vecteurs du système fondamental de solutions. Pour une meilleure compréhension, regardons quelques exemples.

En conclusion, nous examinerons les systèmes d'équations qui peuvent être réduits à des systèmes linéaires, ainsi que divers problèmes dans la solution desquels se posent les SLAE.

Navigation dans les pages.

Définitions, concepts, désignations.

Nous considérerons des systèmes de p équations algébriques linéaires à n variables inconnues (p peut être égal à n) de la forme

Variables inconnues, - coefficients (certains nombres réels ou complexes), - termes libres (également nombres réels ou complexes).

Cette forme d'enregistrement SLAE est appelée coordonner.

DANS forme matricielle l'écriture de ce système d'équations a la forme,
Où - la matrice principale du système, - une matrice colonnes de variables inconnues, - une matrice colonnes de termes libres.

Si nous ajoutons une colonne-matrice de termes libres à la matrice A comme (n+1)ième colonne, nous obtenons ce qu'on appelle matrice étendue systèmes d'équations linéaires. Généralement, une matrice étendue est désignée par la lettre T et la colonne de termes libres est séparée par une ligne verticale des colonnes restantes, c'est-à-dire

Résolution d'un système d'équations algébriques linéaires appelé un ensemble de valeurs de variables inconnues qui transforme toutes les équations du système en identités. L'équation matricielle pour des valeurs données de variables inconnues devient également une identité.

Si un système d’équations a au moins une solution, alors on l’appelle articulation.

Si un système d’équations n’a pas de solutions, alors on l’appelle non conjoint.

Si un SLAE a une solution unique, alors on l'appelle certain; s'il y a plus d'une solution, alors – incertain.

Si les termes libres de toutes les équations du système sont égaux à zéro , alors le système s'appelle homogène, sinon - hétérogène.

Résolution de systèmes élémentaires d'équations algébriques linéaires.

Si le nombre d'équations d'un système est égal au nombre de variables inconnues et que le déterminant de sa matrice principale n'est pas égal à zéro, alors ces SLAE seront appelés élémentaire. De tels systèmes d'équations ont une solution unique et dans le cas d'un système homogène, toutes les variables inconnues sont égales à zéro.

Nous avons commencé à étudier ces SLAE au lycée. Lors de leur résolution, nous avons pris une équation, exprimé une variable inconnue en termes d'autres et l'avons substituée dans les équations restantes, puis pris l'équation suivante, exprimé la variable inconnue suivante et l'avons substituée dans d'autres équations, et ainsi de suite. Ou bien ils ont utilisé la méthode d’addition, c’est-à-dire qu’ils ont ajouté deux ou plusieurs équations pour éliminer certaines variables inconnues. Nous ne nous attarderons pas sur ces méthodes en détail, puisqu'il s'agit essentiellement de modifications de la méthode de Gauss.

Les principales méthodes de résolution de systèmes élémentaires d'équations linéaires sont la méthode de Cramer, la méthode matricielle et la méthode de Gauss. Trions-les.

Résolution de systèmes d'équations linéaires à l'aide de la méthode de Cramer.

Supposons que nous devions résoudre un système d'équations algébriques linéaires

dans laquelle le nombre d'équations est égal au nombre de variables inconnues et le déterminant de la matrice principale du système est différent de zéro, c'est-à-dire .

Soit le déterminant de la matrice principale du système, et - les déterminants des matrices obtenues à partir de A par remplacement 1er, 2e, …, nième colonne respectivement à la colonne des membres libres :

Avec cette notation, les variables inconnues sont calculées en utilisant les formules de la méthode de Cramer comme . C'est ainsi que l'on trouve la solution d'un système d'équations algébriques linéaires grâce à la méthode de Cramer.

Exemple.

La méthode de Cramer .

Solution.

La matrice principale du système a la forme . Calculons son déterminant (si nécessaire, voir l'article) :

Puisque le déterminant de la matrice principale du système est non nul, le système possède une solution unique qui peut être trouvée par la méthode de Cramer.

Composons et calculons les déterminants nécessaires (on obtient le déterminant en remplaçant la première colonne de la matrice A par une colonne de termes libres, le déterminant en remplaçant la deuxième colonne par une colonne de termes libres, et en remplaçant la troisième colonne de la matrice A par une colonne de termes libres) :

Trouver des variables inconnues à l'aide de formules :

Répondre:

Le principal inconvénient de la méthode de Cramer (si on peut la qualifier d'inconvénient) est la complexité du calcul des déterminants lorsque le nombre d'équations dans le système est supérieur à trois.

Résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires à l'aide de la méthode matricielle (en utilisant une matrice inverse).

Soit un système d'équations algébriques linéaires sous forme matricielle, où la matrice A a une dimension n par n et son déterminant est non nul.

Puisque , la matrice A est inversible, c’est-à-dire qu’il existe une matrice inverse. Si nous multiplions les deux côtés de l'égalité par la gauche, nous obtenons une formule pour trouver une matrice-colonne de variables inconnues. C'est ainsi que nous avons obtenu une solution d'un système d'équations algébriques linéaires en utilisant la méthode matricielle.

Exemple.

Résoudre un système d'équations linéaires méthode matricielle.

Solution.

Réécrivons le système d'équations sous forme matricielle :

Parce que

alors le SLAE peut être résolu en utilisant la méthode matricielle. En utilisant la matrice inverse, la solution de ce système peut être trouvée comme .

Construisons une matrice inverse à partir d'une matrice à partir des compléments algébriques des éléments de la matrice A (si nécessaire, voir l'article) :

Il reste à calculer la matrice des variables inconnues en multipliant la matrice inverse à une matrice-colonne de membres libres (si nécessaire, voir l'article) :

Répondre:

ou dans une autre notation x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Le principal problème lors de la recherche de solutions à des systèmes d'équations algébriques linéaires à l'aide de la méthode matricielle est la complexité de trouver la matrice inverse, en particulier pour les matrices carrées d'ordre supérieur au tiers.

Résolution de systèmes d'équations linéaires à l'aide de la méthode de Gauss.

Supposons que nous devions trouver une solution à un système de n équations linéaires avec n variables inconnues
dont le déterminant de la matrice principale est différent de zéro.

L'essence de la méthode Gauss consiste à éliminer séquentiellement les variables inconnues : d'abord x 1 est exclu de toutes les équations du système, à partir de la seconde, puis x 2 est exclu de toutes les équations, à partir de la troisième, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'il ne reste que la variable inconnue x n la dernière équation. Ce processus de transformation des équations d'un système pour éliminer séquentiellement les variables inconnues est appelé méthode gaussienne directe. Après avoir terminé le mouvement vers l'avant de la méthode gaussienne, x n est trouvé à partir de la dernière équation, en utilisant cette valeur de l'avant-dernière équation, x n-1 est calculé, et ainsi de suite, x 1 est trouvé à partir de la première équation. Le processus de calcul des variables inconnues lors du passage de la dernière équation du système à la première est appelé inverse de la méthode gaussienne.

Décrivons brièvement l'algorithme d'élimination des variables inconnues.

Nous supposerons cela, puisque nous pouvons toujours y parvenir en réorganisant les équations du système. Éliminons la variable inconnue x 1 de toutes les équations du système, en commençant par la seconde. Pour ce faire, à la deuxième équation du système on ajoute la première, multipliée par , à la troisième équation on ajoute la première, multipliée par , et ainsi de suite, à la nième équation on ajoute la première, multipliée par . Le système d'équations après de telles transformations prendra la forme

où et .

Nous serions arrivés au même résultat si nous avions exprimé x 1 en termes d'autres variables inconnues dans la première équation du système et substitué l'expression résultante dans toutes les autres équations. Ainsi, la variable x 1 est exclue de toutes les équations, à partir de la seconde.

Ensuite, nous procédons de la même manière, mais seulement avec une partie du système résultant, qui est marquée sur la figure

Pour ce faire, à la troisième équation du système on ajoute la seconde, multipliée par , à la quatrième équation on ajoute la seconde, multipliée par , et ainsi de suite, à la nième équation on ajoute la seconde, multipliée par . Le système d'équations après de telles transformations prendra la forme

où et . Ainsi, la variable x 2 est exclue de toutes les équations, à partir de la troisième.

Ensuite, nous procédons à l'élimination de l'inconnu x 3, tandis que nous agissons de la même manière avec la partie du système marquée sur la figure

On continue donc la progression directe de la méthode gaussienne jusqu'à ce que le système prenne la forme

A partir de ce moment on commence l'inverse de la méthode gaussienne : on calcule x n à partir de la dernière équation comme , en utilisant la valeur obtenue de x n on trouve x n-1 à partir de l'avant-dernière équation, et ainsi de suite, on trouve x 1 à partir de la première équation .

Exemple.

Résoudre un système d'équations linéaires Méthode Gauss.

Solution.

Excluons la variable inconnue x 1 des deuxième et troisième équations du système. Pour ce faire, aux deux côtés des deuxième et troisième équations, nous ajoutons les parties correspondantes de la première équation, multipliées respectivement par et par :

Maintenant, nous éliminons x 2 de la troisième équation en ajoutant à ses côtés gauche et droit les côtés gauche et droit de la deuxième équation, multipliés par :

Ceci termine le mouvement vers l'avant de la méthode de Gauss ; nous commençons le mouvement vers l'arrière.

A partir de la dernière équation du système d'équations résultant, nous trouvons x 3 :

De la deuxième équation, nous obtenons .

À partir de la première équation, nous trouvons la variable inconnue restante et complétons ainsi l'inverse de la méthode de Gauss.

Répondre:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires de forme générale.

En général, le nombre d'équations du système p ne coïncide pas avec le nombre de variables inconnues n :

De tels SLAE peuvent n’avoir aucune solution, avoir une seule solution ou avoir une infinité de solutions. Cette affirmation s'applique également aux systèmes d'équations dont la matrice principale est carrée et singulière.

Théorème de Kronecker-Capelli.

Avant de trouver une solution à un système d’équations linéaires, il est nécessaire d’établir sa compatibilité. La réponse à la question de savoir quand SLAE est compatible et quand elle est incohérente est donnée par Théorème de Kronecker-Capelli:
Pour qu'un système de p équations à n inconnues (p peut être égal à n) soit cohérent, il faut et suffisant que le rang de la matrice principale du système soit égal au rang de la matrice étendue, c'est-à-dire , Rang(A)=Rang(T).

Considérons, à titre d'exemple, l'application du théorème de Kronecker-Capelli pour déterminer la compatibilité d'un système d'équations linéaires.

Exemple.

Découvrez si le système d'équations linéaires a solutions.

Solution.

. Utilisons la méthode des mineurs limitrophes. Mineur du second ordre différent de zéro. Regardons les mineurs de troisième ordre qui le bordent :

Puisque tous les mineurs limitrophes du troisième ordre sont égaux à zéro, le rang de la matrice principale est égal à deux.

À son tour, le rang de la matrice étendue est égal à trois, puisque le mineur est du troisième ordre

différent de zéro.

Ainsi, Rang(A), donc, en utilisant le théorème de Kronecker-Capelli, nous pouvons conclure que le système original d'équations linéaires est incohérent.

Répondre:

Le système n'a pas de solutions.

Nous avons donc appris à établir l'incohérence d'un système en utilisant le théorème de Kronecker-Capelli.

Mais comment trouver une solution à un SLAE si sa compatibilité est établie ?

Pour ce faire, nous avons besoin du concept de base mineure d’une matrice et d’un théorème sur le rang d’une matrice.

Le mineur d’ordre le plus élevé de la matrice A, différent de zéro, est appelé basique.

De la définition d'une base mineure il résulte que son ordre est égal au rang de la matrice. Pour une matrice A non nulle il peut y avoir plusieurs bases mineures ; il y a toujours une base mineure.

Par exemple, considérons la matrice .

Tous les mineurs du troisième ordre de cette matrice sont égaux à zéro, puisque les éléments de la troisième ligne de cette matrice sont la somme des éléments correspondants des première et deuxième lignes.

Les mineurs de second ordre suivants sont basiques, car non nuls

Mineurs ne sont pas basiques, puisqu’ils sont égaux à zéro.

Théorème du rang matriciel.

Si le rang d'une matrice d'ordre p par n est égal à r, alors tous les éléments de ligne (et de colonne) de la matrice qui ne forment pas la base mineure choisie sont exprimés linéairement en termes d'éléments de ligne (et de colonne) correspondants formant la base mineure.

Que nous dit le théorème du rang matriciel ?

Si, selon le théorème de Kronecker-Capelli, nous avons établi la compatibilité du système, alors nous choisissons n'importe quelle base mineure de la matrice principale du système (son ordre est égal à r), et excluons du système toutes les équations qui font ne constitue pas la base mineure sélectionnée. Le SLAE ainsi obtenu sera équivalent à l'original, puisque les équations rejetées sont toujours redondantes (selon le théorème du rang matriciel, elles sont une combinaison linéaire des équations restantes).

En conséquence, après avoir écarté les équations inutiles du système, deux cas sont possibles.

Si le nombre d'équations r dans le système résultant est égal au nombre de variables inconnues, alors il sera définitif et la seule solution pourra être trouvée par la méthode de Cramer, la méthode matricielle ou la méthode de Gauss.

Exemple.

.

Solution.

Rang de la matrice principale du système est égal à deux, puisque le mineur est du second ordre différent de zéro. Rang matriciel étendu est également égal à deux, puisque le seul mineur du troisième ordre est zéro

et le mineur du second ordre considéré ci-dessus est différent de zéro. Sur la base du théorème de Kronecker-Capelli, nous pouvons affirmer la compatibilité du système original d'équations linéaires, puisque Rang(A)=Rang(T)=2.

Comme base mineure nous prenons . Il est formé des coefficients des première et deuxième équations :


La troisième équation du système ne participe pas à la formation de la base mineure, on l'exclut donc du système basé sur le théorème sur le rang de la matrice :


C'est ainsi que nous avons obtenu un système élémentaire d'équations algébriques linéaires. Résolvons-le en utilisant la méthode de Cramer :


Répondre:

x1 = 1, x2 = 2.

Si le nombre d'équations r dans le SLAE résultant est inférieur au nombre de variables inconnues n, alors sur les côtés gauches des équations, nous laissons les termes qui forment la base mineure et nous transférons les termes restants vers les côtés droits du équations du système de signe opposé.

Les variables inconnues (r d'entre elles) restant sur les côtés gauches des équations sont appelées principal.

Les variables inconnues (il y a n - r pièces) qui se trouvent sur les côtés droits sont appelées gratuit.

Nous pensons maintenant que les variables inconnues libres peuvent prendre des valeurs arbitraires, tandis que les r variables inconnues principales seront exprimées à travers des variables inconnues libres d'une manière unique. Leur expression peut être trouvée en résolvant le SLAE résultant en utilisant la méthode de Cramer, la méthode matricielle ou la méthode de Gauss.

Regardons cela avec un exemple.

Exemple.

Résoudre un système d'équations algébriques linéaires .

Solution.

Trouvons le rang de la matrice principale du système par la méthode des mineurs limitrophes. Prenons un 1 1 = 1 comme mineur non nul du premier ordre. Commençons par rechercher un mineur non nul du second ordre limitrophe de ce mineur :


C’est ainsi que nous avons trouvé un mineur non nul du second ordre. Commençons par rechercher un mineur non nul du troisième ordre :


Ainsi, le rang de la matrice principale est de trois. Le rang de la matrice étendue est également égal à trois, c'est-à-dire que le système est cohérent.

Nous prenons comme base le mineur non nul trouvé du troisième ordre.

Pour plus de clarté, nous montrons les éléments qui constituent la base mineure :


Nous laissons les termes impliqués dans la base mineure du côté gauche des équations du système, et transférons le reste avec des signes opposés vers les côtés droits :


Donnons aux variables inconnues libres x 2 et x 5 des valeurs arbitraires, c'est-à-dire que nous acceptons , où sont des nombres arbitraires. Dans ce cas, le SLAE prendra la forme


Résolvons le système élémentaire d'équations algébriques linéaires résultant en utilisant la méthode de Cramer :


Ainsi, .

Dans votre réponse, n'oubliez pas d'indiquer les variables inconnues libres.

Répondre:

Où sont les nombres arbitraires.

Résumer.

Pour résoudre un système d’équations algébriques linéaires générales, nous déterminons d’abord sa compatibilité à l’aide du théorème de Kronecker – Capelli. Si le rang de la matrice principale n'est pas égal au rang de la matrice étendue, alors on conclut que le système est incompatible.

Si le rang de la matrice principale est égal au rang de la matrice étendue, alors on sélectionne une base mineure et écarte les équations du système qui ne participent pas à la formation de la base mineure sélectionnée.

Si l'ordre de la base mineure est égal au nombre de variables inconnues, alors le SLAE a une solution unique, qui peut être trouvée par n'importe quelle méthode que nous connaissons.

Si l'ordre de la base mineure est inférieur au nombre de variables inconnues, alors sur le côté gauche des équations du système, nous laissons les termes avec les principales variables inconnues, transférons les termes restants vers la droite et donnons des valeurs arbitraires à les variables inconnues libres. A partir du système d'équations linéaires résultant, nous trouvons les principales inconnues en utilisant la méthode de Cramer, la méthode matricielle ou la méthode de Gauss.

Méthode de Gauss pour résoudre des systèmes d'équations algébriques linéaires de forme générale.

La méthode de Gauss peut être utilisée pour résoudre des systèmes d’équations algébriques linéaires de toute nature sans tester au préalable leur compatibilité. Le processus d'élimination séquentielle des variables inconnues permet de conclure à la fois sur la compatibilité et l'incompatibilité du SLAE, et si une solution existe, il permet de la trouver.

D'un point de vue informatique, la méthode gaussienne est préférable.

Voir sa description détaillée et ses exemples analysés dans l'article Méthode de Gauss pour résoudre des systèmes d'équations algébriques linéaires générales.

Écrire une solution générale à des systèmes algébriques linéaires homogènes et inhomogènes en utilisant les vecteurs du système fondamental de solutions.

Dans cette section, nous parlerons de systèmes simultanés homogènes et inhomogènes d'équations algébriques linéaires qui ont un nombre infini de solutions.

Traitons d'abord des systèmes homogènes.

Système fondamental de solutions un système homogène de p équations algébriques linéaires avec n variables inconnues est un ensemble de (n – r) solutions linéairement indépendantes de ce système, où r est l'ordre de la base mineure de la matrice principale du système.

Si nous désignons les solutions linéairement indépendantes d'un SLAE homogène comme X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) sont des matrices en colonnes de dimension n par 1) , alors la solution générale de ce système homogène est représentée comme une combinaison linéaire de vecteurs du système fondamental de solutions avec des coefficients constants arbitraires C 1, C 2, ..., C (n-r), c'est-à-dire .

Que signifie le terme solution générale d'un système homogène d'équations algébriques linéaires (oroslau) ?

Le sens est simple : la formule spécifie toutes les solutions possibles du SLAE original, c'est-à-dire en prenant n'importe quel ensemble de valeurs de constantes arbitraires C 1, C 2, ..., C (n-r), en utilisant la formule que nous allons obtenir une des solutions du SLAE homogène original.

Ainsi, si nous trouvons un système fondamental de solutions, alors nous pouvons définir toutes les solutions de ce SLAE homogène comme .

Montrons le processus de construction d'un système fondamental de solutions à un SLAE homogène.

Nous sélectionnons la base mineure du système original d'équations linéaires, excluons toutes les autres équations du système et transférons tous les termes contenant des variables inconnues libres vers les membres droits des équations du système de signes opposés. Donnons aux variables inconnues libres les valeurs 1,0,0,...,0 et calculons les principales inconnues en résolvant le système élémentaire d'équations linéaires résultant de n'importe quelle manière, par exemple en utilisant la méthode Cramer. Cela donnera X (1) - la première solution du système fondamental. Si nous donnons aux inconnues libres les valeurs 0,1,0,0,…,0 et calculons les principales inconnues, nous obtenons X (2) . Et ainsi de suite. Si nous attribuons les valeurs 0,0,...,0,1 aux variables inconnues libres et calculons les principales inconnues, nous obtenons X (n-r) . De cette manière, un système fondamental de solutions à un SLAE homogène sera construit et sa solution générale pourra s'écrire sous la forme .

Pour les systèmes inhomogènes d'équations algébriques linéaires, la solution générale est représentée sous la forme , où est la solution générale du système homogène correspondant, et est la solution particulière du SLAE inhomogène original, que nous obtenons en donnant aux inconnues libres les valeurs ​​0,0,…,0 et calcul des valeurs des principales inconnues.

Regardons des exemples.

Exemple.

Trouver le système fondamental de solutions et la solution générale d'un système homogène d'équations algébriques linéaires .

Solution.

Le rang de la matrice principale des systèmes homogènes d'équations linéaires est toujours égal au rang de la matrice étendue. Trouvons le rang de la matrice principale en utilisant la méthode des mineurs limitrophes. Comme mineur non nul du premier ordre, on prend l'élément a 1 1 = 9 de la matrice principale du système. Trouvons le mineur limite non nul du deuxième ordre :

Un mineur du second ordre, différent de zéro, a été retrouvé. Parcourons les mineurs du troisième ordre qui le bordent à la recherche d'un non nul :

Tous les mineurs limitrophes du troisième ordre sont égaux à zéro, donc le rang de la matrice principale et étendue est égal à deux. Prenons . Pour plus de clarté, notons les éléments du système qui le composent :

La troisième équation du SLAE original ne participe pas à la formation de la base mineure, elle peut donc être exclue :

On laisse les termes contenant les principales inconnues sur les côtés droits des équations, et on transfère les termes à inconnues libres sur les côtés droits :

Construisons un système fondamental de solutions au système homogène original d'équations linéaires. Le système fondamental de solutions de ce SLAE consiste en deux solutions, puisque le SLAE original contient quatre variables inconnues, et l'ordre de sa base mineure est égal à deux. Pour trouver X (1), on donne aux inconnues libres les valeurs x 2 = 1, x 4 = 0, puis on trouve les principales inconnues du système d'équations
.

Dans cette leçon, nous examinerons les méthodes permettant de résoudre un système d'équations linéaires. Dans un cours de mathématiques supérieures, les systèmes d'équations linéaires doivent être résolus à la fois sous la forme de tâches distinctes, par exemple « Résoudre le système à l'aide des formules de Cramer », et au cours de la résolution d'autres problèmes. Les systèmes d’équations linéaires doivent être abordés dans presque toutes les branches des mathématiques supérieures.

Tout d'abord, un peu de théorie. Que signifie le mot mathématique « linéaire » dans ce cas ? Cela signifie que les équations du système Tous variables incluses au premier degré: sans trucs fantaisistes comme etc., dont seuls les participants aux Olympiades mathématiques sont ravis.

En mathématiques supérieures, non seulement les lettres familières de l'enfance sont utilisées pour désigner les variables.
Une option assez populaire est celle des variables avec index : .
Ou les premières lettres de l'alphabet latin, petites et grandes :
Il n'est pas si rare de trouver des lettres grecques : – connues par beaucoup sous le nom de « alpha, bêta, gamma ». Et aussi un ensemble d'indices, disons, avec la lettre « mu » :

L'utilisation de l'un ou l'autre ensemble de lettres dépend de la section de mathématiques supérieures dans laquelle nous sommes confrontés à un système d'équations linéaires. Ainsi, par exemple, dans les systèmes d'équations linéaires rencontrés lors de la résolution d'équations intégrales et différentielles, il est traditionnel d'utiliser la notation

Mais quelle que soit la façon dont les variables sont désignées, les principes, méthodes et méthodes de résolution d'un système d'équations linéaires ne changent pas. Ainsi, si vous tombez sur quelque chose d'effrayant comme , ne vous précipitez pas pour fermer le livre de problèmes de peur, après tout, vous pouvez dessiner le soleil à la place, un oiseau à la place et un visage (le professeur) à la place. Et aussi drôle que cela puisse paraître, un système d’équations linéaires avec ces notations peut également être résolu.

J'ai le sentiment que l'article va s'avérer assez long, donc une petite table des matières. Ainsi, le « débriefing » séquentiel ressemblera à ceci :

– Résolution d’un système d’équations linéaires par la méthode de substitution (« méthode scolaire »);
– Résolution du système par addition (soustraction) terme par terme des équations du système;
– Solution du système à l’aide des formules de Cramer;
– Résolution du système à l’aide d’une matrice inverse;
– Résolution du système par la méthode gaussienne.

Tout le monde connaît les systèmes d'équations linéaires grâce aux cours de mathématiques à l'école. Essentiellement, nous commençons par la répétition.

Résoudre un système d'équations linéaires à l'aide de la méthode de substitution

Cette méthode peut aussi être appelée « méthode scolaire » ou méthode d’élimination des inconnues. Au sens figuré, on peut aussi l’appeler « une méthode gaussienne inachevée ».

Exemple 1

On nous donne ici un système de deux équations à deux inconnues. Notez que les termes libres (numéros 5 et 7) sont situés sur le côté gauche de l'équation. D’une manière générale, peu importe où ils se trouvent, à gauche ou à droite, c’est juste que dans les problèmes de mathématiques supérieures, ils sont souvent situés ainsi. Et un tel enregistrement ne doit pas prêter à confusion ; si nécessaire, le système peut toujours être écrit « comme d'habitude » : . N’oubliez pas que lorsque vous déplacez un terme d’une partie à l’autre, il doit changer de signe.

Que signifie résoudre un système d’équations linéaires ? Résoudre un système d’équations signifie trouver plusieurs de ses solutions. La solution d'un système est un ensemble de valeurs de toutes les variables qu'il contient, ce qui transforme CHAQUE équation du système en une véritable égalité. De plus, le système peut être non conjoint (je n'ai pas de solutions).Ne soyez pas timide, c'est une définition générale =) Nous n'aurons qu'une seule valeur « x » et une seule valeur « y », qui satisfont chaque équation c-we.

Il existe une méthode graphique pour résoudre le système, avec laquelle vous pouvez vous familiariser en classe. Les problèmes les plus simples avec une ligne. Là, j'ai parlé sens géométrique systèmes de deux équations linéaires à deux inconnues. Mais maintenant, c’est l’ère de l’algèbre, et des nombres-nombres, des actions-actions.

Décidons: à partir de la première équation on exprime :
Nous substituons l'expression résultante dans la deuxième équation :

Nous ouvrons les parenthèses, ajoutons des termes similaires et trouvons la valeur :

Ensuite, nous nous souvenons de ce pour quoi nous avons dansé :
On connaît déjà la valeur, il ne reste plus qu'à trouver :

Répondre:

Après que TOUT système d'équations ait été résolu de QUELQUE manière que ce soit, je recommande fortement de vérifier (oralement, sur un brouillon ou sur une calculatrice). Heureusement, cela se fait facilement et rapidement.

1) Remplacez la réponse trouvée dans la première équation :

– l'égalité correcte est obtenue.

2) Remplacez la réponse trouvée dans la deuxième équation :

– l'égalité correcte est obtenue.

Ou, pour le dire plus simplement, « tout s’est mis en place »

La méthode de solution envisagée n'est pas la seule ; à partir de la première équation, il a été possible d'exprimer , et non .
Vous pouvez faire le contraire : exprimer quelque chose de la deuxième équation et le remplacer dans la première équation. A propos, notons que la plus désavantageuse des quatre méthodes est d'exprimer à partir de la deuxième équation :

Le résultat est des fractions, mais pourquoi ? Il existe une solution plus rationnelle.

Cependant, dans certains cas, on ne peut toujours pas se passer des fractions. À cet égard, je voudrais attirer votre attention sur COMMENT j'ai écrit l'expression. Pas comme ça : et en aucun cas comme ça : .

Si, en mathématiques supérieures, vous avez affaire à des nombres fractionnaires, essayez d'effectuer tous les calculs avec des fractions impropres ordinaires.

Exactement, et pas ou !

Une virgule ne peut être utilisée que parfois, en particulier si elle constitue la réponse finale à un problème, et aucune autre action ne doit être effectuée avec ce nombre.

De nombreux lecteurs se sont probablement demandé « pourquoi une explication aussi détaillée que pour un cours de correction, tout est clair ». Rien de tel, cela semble être un exemple scolaire si simple, mais il y a tellement de conclusions TRÈS importantes ! En voici un autre:

Vous devez vous efforcer d’accomplir n’importe quelle tâche de la manière la plus rationnelle. Ne serait-ce que parce que cela permet d'économiser du temps et des nerfs, et réduit également le risque de commettre une erreur.

Si, dans un problème de mathématiques supérieures, vous rencontrez un système de deux équations linéaires à deux inconnues, vous pouvez toujours utiliser la méthode de substitution (sauf s'il est indiqué que le système doit être résolu par une autre méthode). Aucun enseignant ne le fera. pense que tu es un idiot et que tu réduiras ta note pour avoir utilisé la « méthode scolaire » "
De plus, dans certains cas, il est conseillé d'utiliser la méthode de substitution avec un plus grand nombre de variables.

Exemple 2

Résoudre un système d'équations linéaires à trois inconnues

Un système d'équations similaire apparaît souvent lors de l'utilisation de la méthode dite des coefficients indéfinis, lorsque l'on trouve l'intégrale d'une fonction rationnelle fractionnaire. Le système en question a été récupéré par moi.

Lors de la recherche de l'intégrale, le but est rapide trouver les valeurs des coefficients, plutôt que d'utiliser les formules de Cramer, la méthode de la matrice inverse, etc. Par conséquent, dans ce cas, la méthode de substitution est appropriée.

Lorsqu'un système d'équations est donné, il est tout d'abord souhaitable de savoir s'il est possible de le simplifier IMMÉDIATEMENT d'une manière ou d'une autre ? En analysant les équations du système, nous remarquons que la deuxième équation du système peut être divisée par 2, ce que nous faisons :

Référence: le signe mathématique signifie « de ceci découle cela » et est souvent utilisé dans la résolution de problèmes.

Analysons maintenant les équations : nous devons exprimer une variable en fonction des autres. Quelle équation dois-je choisir ? Vous avez probablement déjà deviné que le moyen le plus simple pour cela est de prendre la première équation du système :

Ici, quelle que soit la variable à exprimer, on pourrait tout aussi bien exprimer ou .

Ensuite, nous substituons l'expression pour dans les deuxième et troisième équations du système :

Nous ouvrons les parenthèses et présentons des termes similaires :

Divisez la troisième équation par 2 :

À partir de la deuxième équation, nous exprimons et substituons dans la troisième équation :

Presque tout est prêt, à partir de la troisième équation on trouve :
De la deuxième équation :
De la première équation :

Vérifier : Remplacez les valeurs trouvées des variables dans le côté gauche de chaque équation du système :

1)
2)
3)

Les membres droits correspondants des équations sont obtenus, la solution est donc trouvée correctement.

Exemple 3

Résoudre un système d'équations linéaires à 4 inconnues

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même (réponse à la fin de la leçon).

Résolution du système par addition (soustraction) terme par terme des équations du système

Lors de la résolution de systèmes d'équations linéaires, vous devez essayer d'utiliser non pas la « méthode scolaire », mais la méthode d'addition (soustraction) terme par terme des équations du système. Pourquoi? Cela fait gagner du temps et simplifie les calculs, cependant, tout deviendra désormais plus clair.

Exemple 4

Résoudre un système d'équations linéaires :

J'ai pris le même système que dans le premier exemple.
En analysant le système d'équations, on remarque que les coefficients de la variable sont identiques en grandeur et opposés en signe (–1 et 1). Dans une telle situation, les équations peuvent être additionnées terme par terme :

Les actions entourées en rouge sont réalisées MENTALEMENT.
Comme vous pouvez le constater, suite à l’addition terme par terme, nous avons perdu la variable. C'est en fait ce que l'essence de la méthode est de se débarrasser de l'une des variables.

Avec cette vidéo je commence une série de leçons dédiées aux systèmes d'équations. Aujourd'hui, nous allons parler de la résolution de systèmes d'équations linéaires méthode d'addition- C'est l'une des méthodes les plus simples, mais en même temps l'une des plus efficaces.

La méthode d'addition comprend trois étapes simples :

1. Regardez le système et choisissez une variable qui a des coefficients identiques (ou opposés) dans chaque équation ;
2. Effectuer une soustraction algébrique (pour les nombres opposés - addition) d'équations les unes des autres, puis rapprocher des termes similaires ;
3. Résolvez la nouvelle équation obtenue après la deuxième étape.

Si tout est fait correctement, alors en sortie nous obtiendrons une seule équation avec une variable— il ne sera pas difficile de le résoudre. Il ne reste plus qu'à remplacer la racine trouvée dans le système d'origine et à obtenir la réponse finale.

Cependant, dans la pratique, tout n'est pas si simple. Il y a plusieurs raisons à cela:

• La résolution d'équations à l'aide de la méthode d'addition implique que toutes les lignes doivent contenir des variables avec des coefficients égaux/opposés. Que faire si cette condition n’est pas remplie ?
• Pas toujours, après avoir ajouté/soustrait des équations de la manière indiquée, nous obtenons une belle construction qui peut être facilement résolue. Est-il possible d'une manière ou d'une autre de simplifier les calculs et d'accélérer les calculs ?

Pour obtenir la réponse à ces questions, et en même temps comprendre quelques subtilités supplémentaires sur lesquelles de nombreux étudiants échouent, regardez ma leçon vidéo :

Avec cette leçon, nous commençons une série de cours consacrés aux systèmes d'équations. Et nous partirons du plus simple d’entre eux, à savoir ceux qui contiennent deux équations et deux variables. Chacun d'eux sera linéaire.

Les systèmes sont du matériel de 7e année, mais cette leçon sera également utile aux élèves du secondaire qui souhaitent parfaire leurs connaissances sur ce sujet.

En général, il existe deux méthodes pour résoudre de tels systèmes :

1. Méthode d'addition ;
2. Une méthode pour exprimer une variable en fonction d’une autre.

Aujourd'hui, nous traiterons de la première méthode - nous utiliserons la méthode de soustraction et d'addition. Mais pour ce faire, vous devez comprendre le fait suivant : une fois que vous avez deux équations ou plus, vous pouvez en prendre deux et les additionner les unes aux autres. Ils sont ajoutés membre par membre, c'est-à-dire Les « X » sont ajoutés aux « X » et les similaires sont donnés, les « Y » avec les « Y » sont à nouveau similaires, et ce qui est à droite du signe égal est également ajouté les uns aux autres, et des similaires y sont également donnés. .

Le résultat de telles machinations sera une nouvelle équation qui, si elle a des racines, sera certainement parmi les racines de l’équation originale. Par conséquent, notre tâche est d'effectuer la soustraction ou l'addition de telle manière que $x$ ou $y$ disparaissent.

Comment y parvenir et quel outil utiliser pour cela - nous en parlerons maintenant.

Résoudre des problèmes faciles en utilisant l'addition

Ainsi, nous apprenons à utiliser la méthode d'addition en utilisant l'exemple de deux expressions simples.

Tâche n°1

\[\gauche\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

Notez que $y$ a un coefficient de $-4$ dans la première équation, et $+4$ dans la seconde. Ils sont mutuellement opposés, il est donc logique de supposer que si nous les additionnons, alors dans la somme résultante, les « jeux » seront mutuellement détruits. Additionnez-le et obtenez :

Résolvons la construction la plus simple :

Super, nous avons trouvé le "x". Que devrions-nous en faire maintenant ? Nous avons le droit de le substituer dans n’importe quelle équation. Remplaçons par le premier :

\[-4y=12\gauche| :\gauche(-4 \droite) \droite.\]

Réponse : $\left(2;-3 \right)$.

Problème n°2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

La situation ici est complètement similaire, sauf avec les « X ». Additionnons-les :

Nous avons l'équation linéaire la plus simple, résolvons-la :

Trouvons maintenant $x$ :

Réponse : $\left(-3;3 \right)$.

Les points importants

Nous venons donc de résoudre deux systèmes simples d’équations linéaires en utilisant la méthode d’addition. Encore des points clés :

1. S'il existe des coefficients opposés pour l'une des variables, alors il est nécessaire d'ajouter toutes les variables de l'équation. Dans ce cas, l’un d’eux sera détruit.
2. Nous substituons la variable trouvée dans l'une des équations du système pour trouver la seconde.
3. Le dossier de réponse final peut être présenté de différentes manières. Par exemple, comme ceci - $x=...,y=...$, ou sous forme de coordonnées de points - $\left(...;... \right)$. La deuxième option est préférable. La principale chose à retenir est que la première coordonnée est $x$ et la seconde est $y$.
4. La règle consistant à écrire la réponse sous forme de coordonnées de points n'est pas toujours applicable. Par exemple, il ne peut pas être utilisé lorsque les variables ne sont pas $x$ et $y$, mais, par exemple, $a$ et $b$.

Dans les problèmes suivants nous considérerons la technique de soustraction lorsque les coefficients ne sont pas opposés.

Résoudre des problèmes faciles en utilisant la méthode de soustraction

Tâche n°1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Notez qu'il n'y a pas ici de coefficients opposés, mais il y en a des identiques. Par conséquent, nous soustrayons la seconde de la première équation :

Maintenant, nous remplaçons la valeur $x$ dans l'une des équations du système. Commençons par :

Réponse : $\left(2;5\right)$.

Problème n°2

\[\gauche\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

Nous voyons à nouveau le même coefficient de 5$ pour $x$ dans la première et la deuxième équation. Par conséquent, il est logique de supposer que vous devez soustraire la seconde de la première équation :

Nous avons calculé une variable. Trouvons maintenant la seconde, par exemple, en substituant la valeur $y$ dans la deuxième construction :

Réponse : $\left(-3;-2 \right)$.

Nuances de la solution

Alors que voit-on ? Fondamentalement, le schéma n’est pas différent de la solution des systèmes précédents. La seule différence est que nous n’ajoutons pas d’équations, mais les soustrayons. Nous faisons une soustraction algébrique.

En d’autres termes, dès que vous voyez un système composé de deux équations à deux inconnues, la première chose que vous devez examiner, ce sont les coefficients. Si elles sont identiques quelque part, les équations sont soustraites, et si elles sont opposées, la méthode d'addition est utilisée. Ceci est toujours fait pour que l'un d'eux disparaisse, et dans l'équation finale, qui reste après soustraction, il ne reste qu'une seule variable.

Bien sûr, ce n'est pas tout. Nous allons maintenant considérer des systèmes dans lesquels les équations sont généralement incohérentes. Ceux. Il n’y a pas de variables identiques ou opposées. Dans ce cas, pour résoudre de tels systèmes, une technique supplémentaire est utilisée, à savoir multiplier chacune des équations par un coefficient spécial. Comment le trouver et comment résoudre de tels systèmes en général, nous en parlerons maintenant.

Résoudre des problèmes en multipliant par un coefficient

Exemple 1

\[\gauche\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

On voit que ni pour $x$ ni pour $y$ les coefficients ne sont non seulement opposés entre eux, mais aussi nullement corrélés avec l'autre équation. Ces coefficients ne disparaîtront en aucun cas, même si l'on ajoute ou soustrait les équations les unes aux autres. Il est donc nécessaire d’appliquer la multiplication. Essayons de nous débarrasser de la variable $y$. Pour ce faire, on multiplie la première équation par le coefficient de $y$ de la deuxième équation, et la deuxième équation par le coefficient de $y$ de la première équation, sans toucher au signe. On multiplie et obtient un nouveau système :

\[\gauche\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

Regardons ça : à $y$ les coefficients sont opposés. Dans une telle situation, il est nécessaire d’utiliser la méthode de l’addition. Ajoutons :

Nous devons maintenant trouver $y$. Pour ce faire, remplacez $x$ dans la première expression :

\[-9y=18\gauche| :\gauche(-9 \droite) \droite.\]

Réponse : $\left(4;-2 \right)$.

Exemple n°2

\[\gauche\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Encore une fois, les coefficients d’aucune des variables ne sont cohérents. Multiplions par les coefficients de $y$ :

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\gauche\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

Notre nouveau système est équivalent au précédent, mais les coefficients de $y$ sont mutuellement opposés, et il est donc facile d'appliquer ici la méthode d'addition :

Trouvons maintenant $y$ en substituant $x$ dans la première équation :

Réponse : $\left(-2;1 \right)$.

Nuances de la solution

La règle clé ici est la suivante : nous multiplions toujours uniquement par des nombres positifs - cela vous évitera des erreurs stupides et offensantes associées au changement de signes. En général, le schéma de solution est assez simple :

1. Nous examinons le système et analysons chaque équation.
2. Si on voit que ni $y$ ni $x$ les coefficients ne sont cohérents, c'est-à-dire ils ne sont ni égaux ni opposés, alors on fait ce qui suit : on sélectionne la variable dont on doit se débarrasser, puis on regarde les coefficients de ces équations. Si nous multiplions la première équation par le coefficient de la seconde et que la seconde, en conséquence, multiplions par le coefficient de la première, nous obtiendrons finalement un système complètement équivalent au précédent, et les coefficients de $ y$ sera cohérent. Toutes nos actions ou transformations visent uniquement à obtenir une variable dans une équation.
3. Nous trouvons une variable.
4. Nous substituons la variable trouvée dans l'une des deux équations du système et trouvons la seconde.
5. On écrit la réponse sous forme de coordonnées de points si on a les variables $x$ et $y$.

Mais même un algorithme aussi simple a ses propres subtilités, par exemple, les coefficients de $x$ ou $y$ peuvent être des fractions et d'autres nombres « laids ». Nous allons maintenant considérer ces cas séparément, car vous pouvez y agir un peu différemment que selon l'algorithme standard.

Résoudre des problèmes avec des fractions

Exemple 1

\[\gauche\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end(align) \right.\]

Tout d’abord, notez que la deuxième équation contient des fractions. Mais notez que vous pouvez diviser 4$ par 0,8$. Nous recevrons 5$. Multiplions la deuxième équation par 5$ :

\[\gauche\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12.5m=-30 \\\end(align) \right.\]

On soustrait les équations les unes des autres :

Nous avons trouvé $n$, comptons maintenant $m$ :

Réponse : $n=-4;m=5$

Exemple n°2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ droite.\]

Ici, comme dans le système précédent, il existe des coefficients fractionnaires, mais pour aucune des variables, les coefficients ne s'emboîtent pas un nombre entier de fois. Nous utilisons donc l’algorithme standard. Débarrassez-vous de $p$ :

\[\gauche\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(align) \right.\]

Nous utilisons la méthode de soustraction :

Trouvons $p$ en substituant $k$ dans la deuxième construction :

Réponse : $p=-4;k=-2$.

Nuances de la solution

C'est toute l'optimisation. Dans la première équation, nous n'avons pas multiplié par quoi que ce soit, mais nous avons multiplié la deuxième équation par 5$. En conséquence, nous avons obtenu une équation cohérente et même identique pour la première variable. Dans le deuxième système, nous avons suivi un algorithme standard.

Mais comment trouver les nombres par lesquels multiplier les équations ? Après tout, si nous multiplions par des fractions, nous obtenons de nouvelles fractions. Par conséquent, les fractions doivent être multipliées par un nombre qui donnerait un nouvel entier, puis les variables doivent être multipliées par des coefficients, en suivant l'algorithme standard.

En conclusion, j'aimerais attirer votre attention sur le format d'enregistrement de la réponse. Comme je l'ai déjà dit, puisque ici nous n'avons pas $x$ et $y$, mais d'autres valeurs, nous utilisons une notation non standard de la forme :

Résolution de systèmes d'équations complexes

Pour conclure le didacticiel vidéo d'aujourd'hui, examinons quelques systèmes vraiment complexes. Leur complexité résidera dans le fait qu’ils auront des variables à gauche et à droite. Par conséquent, pour les résoudre, nous devrons appliquer un prétraitement.

Système n°1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​​​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]

Chaque équation comporte une certaine complexité. Par conséquent, traitons chaque expression comme une construction linéaire régulière.

Au total, nous obtenons le système final, qui est équivalent à celui d'origine :

\[\gauche\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Regardons les coefficients de $y$ : $3$ rentre deux fois dans $6$, multiplions donc la première équation par $2$ :

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Les coefficients de $y$ sont maintenant égaux, on soustrait donc la seconde de la première équation : $$

Trouvons maintenant $y$ :

Réponse : $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Système n°2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

Transformons la première expression :

Passons au deuxième :

\[-3\gauche(b-2a \droite)-12=2\gauche(a-5 \droite)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Au total, notre système initial prendra la forme suivante :

\[\gauche\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

En regardant les coefficients de $a$, nous voyons que la première équation doit être multipliée par $2$ :

\[\gauche\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Soustrayez la seconde de la première construction :

Trouvons maintenant $a$ :

Réponse : $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

C'est tout. J'espère que ce didacticiel vidéo vous aidera à comprendre ce sujet difficile, à savoir la résolution de systèmes d'équations linéaires simples. Il y aura bien d'autres leçons sur ce sujet à l'avenir : nous examinerons des exemples plus complexes, où il y aura plus de variables, et les équations elles-mêmes seront non linéaires. À la prochaine!