Comment supprimer la partie entière d'une fraction. École de mathématiques pour tous ceux qui étudient et enseignent

Comment séparer la partie entière d’une fraction impropre ? Pour isoler la partie entière d'une fraction impropre, il faut : Diviser le numérateur par le dénominateur avec le reste ; Un quotient incomplet sera une partie entière ; Le reste (s'il y en a un) est donné par le numérateur et le diviseur est le dénominateur de la fraction. Numéros complets 1057, 1058, 1059, 1060. 1062, 1063. 1064. 7.

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Numéros mixtes

« Notes de cours de mathématiques » - Suivez l'exemple. a) 4/7+2/7= (4+2)/7= 6/7 b, c, d (au tableau) d) 7/9-2/9= (7-2)/9= 5 / 9 f, g, h (au tableau). 12 kg de concombres ont été récoltés dans le jardin. Les 2/3 de tous les concombres étaient marinés. 6/7-3/7=(6-3)/7=3/7 2/11+5/11=(2+5)/22=7/22 9/10-8/10=(9-8 )/10=2/10. Montrez la fraction 2/8+3/8. Formulez la règle de soustraction. Apprendre du nouveau matériel :

"Comparer des fractions décimales" - Le but de la leçon. Comparez les nombres : Comptage mental. 9,85 et 6,97 ; 75,7 et 75,700 ; 0,427 et 0,809 ; 5.3 et 5.03 ; 81.21 et 81.201 ; 76.005 et 76.05 ; 3,25 et 3,502 ; Lire les fractions : 41,1 ; 77,81 ; 21.005 ; 0,0203. 41.1 ; 77,81 ; 21.005 ; 0,0203. Égalisez le nombre de décimales. Plan de cours. Places des fractions décimales. Cours de renforcement en 5ème.

"Règles d'arrondi des nombres" - 1.8. 48. Bravo ! 3. 3. Apprenez à appliquer la règle d'arrondi à l'aide d'exemples. Essayez de comparer. Arrondissez les nombres entiers à la dizaine la plus proche. 1. N'oubliez pas la règle d'arrondi des nombres. Est-il pratique de travailler avec un tel numéro ? Cent millièmes. 3. Notez le résultat. 5312. >. 2. Dérivez une règle pour arrondir les fractions décimales à un chiffre donné. "Ajouter des nombres fractionnaires" - 25. Exemple 4. Trouver la valeur de la différence 3 4\9-1 5\6. 3 4\9=3 818 ; 1 5\6=1 15\18. 3 4\9=3 8\18=3+8\18=2+1+8\18=2+8\18+18\18=2+ +26\18=2 26\18. Notes de cours en 6e A la question Comment séparer la partie entière d'une fraction impropre ? donné par l'auteur Pour convertir un nombre, vous devez diviser le numérateur par le dénominateur avec le reste, c'est-à-dire savoir combien de fois « entières » il contient. Et ce quotient incomplet constituera une partie entière. Ensuite, le reste (s'il y en a un) est donné par le numérateur, et le diviseur est le dénominateur de la partie fractionnaire (pour que ce soit plus clair, vous devez multiplier le dénominateur par l'entier que vous avez reçu plus tôt, puis soustraire du NUMÉRATEUR ce que vous avez maintenant reçu)
Par exemple : 136/28 = 4 entiers 24/28, c'est une fraction réductible = 4 entiers 6/7
J'ai divisé 136 par 28 et j'ai obtenu 4. Ensuite, pour connaître le numérateur, j'ai multiplié 28 par 4 pour obtenir 112 et j'ai soustrait 112 de 136. Pour réduire, vous devez diviser à la fois le numérateur et le dénominateur par le même nombre ( dans ce cas c'est 4)
Bonne chance!

Réponse de Neuropathologiste[débutant]
25/22, 22/22 est un tout, et cela laisse 3/22, puis 1 entier et 3/22

Réponse de Dormir trop longtemps[gourou]
divisez le numérateur par le dénominateur, le nombre avant la virgule décimale est la partie entière, puis multipliez la partie entière par le dénominateur et soustrayez-la du numérateur d'origine. Ce chiffre sera le numérateur.
par exemple : 88/16=5,5
16*5=80
88-80=8
5 8/16=5 1/2

Réponse de Vadim Koulpinov[gourou]

Réponse de Anna[débutant]
par exemple 1000/9.... vous divisez facilement 1000 par 9... vous obtenez 111, qui est un entier et le reste va au numérateur et le dénominateur reste le même 9....

Réponse de ranch[débutant]
essayez de le calculer sur une calculatrice))
Divisez le chiffre par le dénominateur et écrivez le nombre à gauche de la virgule décimale.
si vous devez sélectionner la partie fractionnaire :
Vous multipliez la partie entière sélectionnée par le dénominateur et soustrayez le nombre obtenu du numérateur. C'est-à-dire:
79/3
1. sélectionnez toute la partie : 26
2. multipliez la partie entière sélectionnée par le dénominateur : 26*3
3. soustrayez le nombre obtenu du numérateur 79-(26*3)
Yay.

Réponse de Alexeï Laukhtine[gourou]
Divisez le numérateur par le dénominateur et écrivez le nombre obtenu sous forme d'entier et le reste car le numérateur et le dénominateur restent les mêmes.

Réponse de Yoman Geiko[expert]
Bon sang, j'ai d'abord appris à faire ça. Ce n'est qu'à ce moment-là qu'Internet est apparu, j'ai appris à l'utiliser correctement et je n'ai pas tardé à trouver ce site)

Réponse de _DaFNa_[actif]
par exemple, 23/3 - divisez le numérateur par le dénominateur à l'aide d'une calculatrice (si vous en avez une à proximité), prenez le premier nombre, multipliez par le dénominateur et obtenez la partie entière de cette fraction. Du numérateur, vous soustrayez le nombre obtenu en multipliant par le dénominateur et vous obtenez une fraction appropriée. Dans votre réponse, écrivez la partie entière et la fraction appropriée à côté.
S'il n'y a pas de calculatrice à proximité, vous divisez un peu intuitivement et faites de même.
Les meilleures fractions sont celles dont le dénominateur est 2, 5 ou 10 :)

Réponse de Le chiffre[expert]
Vous mettez en surbrillance combien de fois le dénominateur rentre dans le numérateur, puis soustrayez le dénominateur du numérateur, le dénominateur reste inchangé.

Réponse de Alexeï Antoshechkin[débutant]
233 divisez par le nombre et nous savons, prenez le premier nombre et multipliez

Réponse de Mi S Slonopotam[gourou]
Divisez le numérateur par le dénominateur - vous obtenez la partie entière et le reste (fraction)

Réponse de Hélène[actif]
Cela semble correct vers 3/2. Il suffit de diviser le numérateur par le dénominateur avec le reste. Alors le quotient est la partie entière, le reste est le numérateur et le diviseur est le dénominateur (c'est-à-dire qu'il reste tel qu'il était). Par exemple
48/13. Divisez 48 par 13 pour obtenir 3 et le reste est 9. Donc 48/13 = 3 entier 9/13
Source : mathématiques

Réponse de Pavel Tchouprakov[débutant]

Réponse de Sergueï Nesterenko[débutant]
1) Pour convertir une fraction impropre en fraction mixte, il faut : diviser le numérateur par le dénominateur avec un reste à l'aide d'une colonne, le quotient incomplet est la partie entière, le reste est le numérateur et le dénominateur est le même.
2) Pour transformer une fraction mixte en une fraction impropre, vous devez : multiplier la partie entière par le dénominateur et ajouter le numérateur, le nombre obtenu entre dans le numérateur, mais le dénominateur reste le même.

Il est d'usage d'écrire $“+”$ sans le signe sous la forme $n\frac(a)(b)$.

Exemple 1

Par exemple, la somme $4+\frac(3)(5)$ s'écrit $4\frac(3)(5)$. Cette notation est appelée fraction mixte, et le nombre qui lui correspond est appelé nombre mixte.

Définition 1

Numéro mixte-- est un nombre égal à la somme de l'entier naturel $n$ et de la fraction ordinaire appropriée $\frac(a)(b)$, et s'écrit $n\frac(a)(b)$. Dans ce cas, le nombre $n$ est appelé $n\frac(a)(b)$, et le nombre $\frac(a)(b)$ est appelé la partie fractionnaire du nombre/

Pour les nombres fractionnaires, les égalités $n\frac(a)(b)=n+\frac(a)(b)$ et $n+\frac(a)(b)=n\frac(a)(b)$ sont valide.

Exemple 2

Par exemple, le nombre $7\frac(4)(9)$ est un nombre fractionnaire, où l'entier naturel $7$ est sa partie entière, $\frac(4)(9)$ est sa partie fractionnaire. Exemples de nombres fractionnaires : 17 $\frac(1)(2)$, 456 $\frac(111)(500)$, 23 000 $\frac(4)(5)$.

Il existe des nombres en notation mixte qui contiennent une fraction impropre dans la partie fractionnaire. Par exemple, $3\frac(54)(5)$, $56\frac(9)(2)$. Ces nombres peuvent être écrits comme la somme de leurs parties entières et fractionnaires. Par exemple, $3\frac(54)(5)=3+\frac(54)(5)$ et $56\frac(9)(2)=56+\frac(9)(2)$. De tels nombres ne correspondent pas à la définition d'un nombre mixte, car La partie fractionnaire des nombres fractionnaires doit être une fraction propre.

Le nombre $0\frac(2)(7)$ n'est pas non plus un nombre mixte, car $0$ n'est pas un nombre naturel.

Conversion d'un nombre fractionnaire en fraction impropre

Algorithme pour convertir un nombre fractionnaire en fraction impropre :

Écrivez le nombre fractionnaire $n\frac(a)(b)$ comme la somme des parties entières et fractionnaires de ce nombre, c'est-à-dire sous la forme $n+\frac(a)(b)$.

Remplacez la partie entière du nombre mixte d'origine par une fraction avec un dénominateur de 1$.

Ajoutez les fractions communes $\frac(n)(1)$ et $\frac(a)(b)$ pour obtenir la fraction impropre souhaitée égale au nombre fractionnaire d'origine.

Exemple 3

Représentez le nombre mixte $7\frac(3)(5)$ comme une fraction impropre.

Solution.

Utilisons un algorithme pour convertir un nombre fractionnaire en une fraction impropre.

Nombre mixte $7\frac(3)(5)=7+\frac(3)(5)$.

Écrivons le nombre $7$ sous la forme $\frac(7)(1)$.

Ajoutons les fractions ordinaires $\frac(7)(1)+\frac(3)(5)=\frac(35)(5)+\frac(3)(5)=\frac(38)(5) $.

Écrivons un bref compte rendu de cette solution :

Répondre:$7\frac(3)(5)=\frac(38)(5)$

L'algorithme complet pour convertir un nombre fractionnaire $n\frac(a)(b)$ en fraction impropre se résume à \textit(formule pour convertir un nombre fractionnaire en fraction impropre) :

Exemple 4

Écrivez le nombre fractionnaire $14\frac(3)(5)$ comme fraction impropre.

Solution.

Utilisons la formule $n\frac(a)(b)=\frac(n\cdot b+a)(b)$ pour convertir un nombre fractionnaire en une fraction impropre. Dans cet exemple, $n=14$, $a=3$, $b=5$.

Nous obtenons $14\frac(3)(5)=\frac(14\cdot 5+3)(5)=\frac(73)(5)$.

Répondre:$14\frac(3)(5)=\frac(73)(5)$

Séparer la partie entière d'une fraction impropre

Lors de l'obtention d'une solution numérique, il n'est pas habituel de laisser la réponse sous la forme d'une fraction impropre. Une fraction impropre est convertie en un nombre naturel égal (si le numérateur est divisible par le dénominateur), ou la partie entière est séparée de la fraction impropre (si le numérateur n'est pas divisible par le dénominateur).

Définition 2

En séparant la partie entière d'une fraction impropre s'appelle remplacer une fraction par un nombre fractionnaire égal.

Pour isoler la partie entière d'une fraction impropre, vous devez représenter la fraction impropre $\frac(a)(b)$ comme un nombre fractionnaire $q\frac(r)(b)$, où $q$ est le partiel quotient, $r$-- le reste de $a$ divisé par $b$. Ainsi, la partie entière est égale au quotient partiel de $a$ divisé par $b$, et le reste est égal au numérateur de la partie fractionnaire.

Prouvons cette affirmation. Pour ce faire, il suffit de montrer que $q\frac(r)(b)=\frac(a)(b)$.

Convertissons le nombre fractionnaire $q\frac(r)(b)$ en une fraction impropre en utilisant la formule :

Parce que $q$ est un quotient incomplet, $r$ est le reste de la division de $a$ par $b$, alors l'égalité $a=b\cdot q+r$ est vraie. Ainsi, $\frac(q\cdot b+r)(b)=\frac(a)(b)$, d'où $q\frac(r)(b)=\frac(a)(b)$, ce qui c'est ce qu'il fallait montrer.

Ainsi, nous formulons \textit(la règle pour séparer la partie entière d'une fraction impropre) $\frac(a)(b)$ :

Divisez $a$ par $b$ avec le reste et déterminez le quotient partiel $q$ et le reste $r$.

Notez le nombre fractionnaire $q\frac(r)(b)$ égal à la fraction originale $\frac(a)(b)$.

Exemple 5

Sélectionnez la partie entière de la fraction $\frac(107)(4)$.

Solution.

Faisons la division des colonnes :

Image 1.

Ainsi, en divisant le numérateur $a=107$ par le dénominateur $b=4$, nous obtenons le quotient partiel $q=26$ et le reste $r=3$.

Nous constatons que la fraction impropre $\frac(107)(4)$ est égale au nombre mixte $q\frac(r)(b)=26\frac(3)(4)$.

Répondre: $\frac((\rm 107))((\rm 4))(\rm =26)\frac((\rm 3))((\rm 4))$.

Additionner un nombre mixte et un nombre naturel

Règle d'addition de nombres mixtes et naturels:

Pour ajouter un nombre mixte et un nombre naturel, vous devez ajouter l'entier naturel donné à la partie entière du nombre fractionnaire, la partie fractionnaire reste inchangée :

où $a\frac(b)(c)$ est un nombre mixte,

$n$ est un nombre naturel.

Exemple 6

Ajoutez le nombre mixte $23\frac(4)(7)$ et le nombre $3$.

Solution.

Répondre:$23\frac(4)(7)+3=26\frac(4)(7).$

Additionner deux nombres fractionnaires

Lors de l'addition de deux nombres fractionnaires, leurs parties entières et leurs parties fractionnaires sont ajoutées.

Exemple 7

Additionnez les nombres mixtes $3\frac(1)(5)$ et $7\frac(4)(7)$.

Solution.

Utilisons la formule :

\ \

Répondre: 10$\frac(27)(35).$

Numéros mixtes. Sélection d'une pièce entière

Parmi les fractions ordinaires, il en existe deux types différents.
Fractions propres et impropres
Regardons les fractions.

Attention, dans les deux premières fractions (3/7 et 5/7), les numérateurs sont plus petits que les dénominateurs. De telles fractions sont dites propres.

• Une fraction propre a un numérateur inférieur à son dénominateur. Une fraction propre est donc toujours inférieure à un.

Regardons les deux fractions restantes.
La fraction 7/7 a un numérateur égal au dénominateur (ces fractions sont égales à des unités) et la fraction 11/7 a un numérateur supérieur au dénominateur. De telles fractions sont dites impropres.

• Une fraction impropre a un numérateur égal ou supérieur à son dénominateur. Par conséquent, une fraction impropre est soit égale à un, soit supérieure à un.

Toute fraction impropre est toujours supérieure à une fraction propre.

Comment sélectionner une pièce entière
Une fraction impropre peut avoir une partie entière. Voyons comment cela peut être fait.

Pour isoler la partie entière d'une fraction impropre, il faut :
1. diviser le numérateur par le dénominateur avec le reste ;
2. Nous écrivons le quotient incomplet résultant dans la partie entière de la fraction ;
3. écrivez le reste au numérateur de la fraction ;
4. Nous écrivons le diviseur dans le dénominateur de la fraction.

Exemple. Sélectionnons la partie entière de la fraction impropre 11/2.
. Divisez le numérateur par le dénominateur dans une colonne.

. Maintenant, écrivons la réponse.

• Le nombre résultant ci-dessus, contenant un entier et une partie fractionnaire, est appelé nombre fractionnaire.

Nous obtenons un nombre fractionnaire à partir d’une fraction impropre, mais nous pouvons aussi faire le contraire, c’est-à-dire représenter le nombre fractionnaire comme une fraction impropre.
Pour représenter un nombre fractionnaire sous forme de fraction impropre :
1. multiplier sa partie entière par le dénominateur de la partie fractionnaire ;
2. ajouter le numérateur de la partie fractionnaire au produit obtenu ;
3. écrivez le montant résultant du point 2 dans le numérateur de la fraction et laissez le dénominateur de la partie fractionnaire inchangé.
Exemple. Représentons un nombre fractionnaire comme une fraction impropre.
. Multipliez la partie entière par le dénominateur.

3 . 5 = 15
. Ajoutez le numérateur.

15 + 2 = 17
. Nous écrivons le montant obtenu au numérateur de la nouvelle fraction et laissons le même dénominateur.

Tout nombre fractionnaire peut être représenté comme la somme d’un nombre entier et d’une partie fractionnaire.

• Tout nombre naturel peut s’écrire sous forme de fraction avec n’importe quel dénominateur naturel.

Le quotient de la division du numérateur par le dénominateur d'une telle fraction sera égal à l'entier naturel donné.
Exemples.

Voulez-vous vous sentir comme un sapeur ? Alors cette leçon est pour vous ! Parce que maintenant nous allons étudier les fractions - ce sont des objets mathématiques si simples et inoffensifs qui, en termes de capacité à « époustoufler », sont supérieurs au reste du cours d'algèbre.

Le principal danger des fractions est qu’elles se produisent dans la vie réelle. C'est en quoi ils diffèrent, par exemple, des polynômes et des logarithmes, que vous pouvez étudier et facilement oublier après l'examen. Par conséquent, le matériel présenté dans cette leçon peut, sans exagération, être qualifié d'explosif.

Une fraction numérique (ou simplement une fraction) est une paire d'entiers écrits séparés par une barre oblique ou une barre horizontale.

Fractions écrites sur une ligne horizontale :

Les mêmes fractions écrites avec une barre oblique :
5/7; 9/(−30); 64/11; (−1)/4; 12/1.

Les fractions sont généralement écrites sur une ligne horizontale - il est plus facile de travailler avec elles de cette façon et elles sont plus belles. Le nombre écrit en haut s'appelle le numérateur de la fraction et le nombre écrit en dessous s'appelle le dénominateur.

Tout nombre entier peut être représenté sous forme de fraction avec un dénominateur de 1. Par exemple, 12 = 12/1 est la fraction de l'exemple ci-dessus.

En général, vous pouvez mettre n’importe quel nombre entier au numérateur et au dénominateur d’une fraction. La seule limite est que le dénominateur doit être différent de zéro. Rappelez-vous la bonne vieille règle : « On ne peut pas diviser par zéro ! »

Si le dénominateur a toujours un zéro, la fraction est appelée fraction indéfinie. Un tel enregistrement n’a aucun sens et ne peut pas être utilisé dans les calculs.

La propriété principale d'une fraction

Les fractions a /b et c /d sont dites égales si ad = bc.

De cette définition il résulte qu’une même fraction peut s’écrire de différentes manières. Par exemple, 1/2 = 2/4, puisque 1 4 = 2 2. Bien sûr, il existe de nombreuses fractions qui ne sont pas égales les unes aux autres. Par exemple, 1/3 ≠ 5/4, puisque 1 4 ≠ 3 5.

Une question raisonnable se pose : comment trouver toutes les fractions égales à une fraction donnée ? Nous donnons la réponse sous forme de définition :

La propriété principale d'une fraction est que le numérateur et le dénominateur peuvent être multipliés par le même nombre autre que zéro. Cela donnera une fraction égale à celle donnée.

C'est une propriété très importante - rappelez-vous-en. En utilisant la propriété de base d’une fraction, vous pouvez simplifier et raccourcir de nombreuses expressions. À l'avenir, il « apparaîtra » constamment sous la forme de diverses propriétés et théorèmes.

Fractions inappropriées. Sélection d'une pièce entière

Si le numérateur est inférieur au dénominateur, on parle de fraction propre. Sinon (c'est-à-dire lorsque le numérateur est supérieur ou au moins égal au dénominateur), la fraction est dite impropre et une partie entière peut y être distinguée.

La partie entière est écrite avec un grand chiffre devant la fraction et ressemble à ceci (marqué en rouge) :

Pour isoler toute la partie d'une fraction impropre, vous devez suivre trois étapes simples :

1. Trouvez combien de fois le dénominateur rentre dans le numérateur. En d’autres termes, trouvez l’entier maximum qui, multiplié par le dénominateur, sera toujours inférieur au numérateur (au plus égal). Ce nombre sera la partie entière, on l'écrit donc devant ;
2. Multipliez le dénominateur par la partie entière trouvée à l'étape précédente et soustrayez le résultat du numérateur. Le « stub » résultant est appelé le reste de la division ; il sera toujours positif (dans les cas extrêmes, zéro). On l'écrit au numérateur de la nouvelle fraction ;
3. Nous réécrivons le dénominateur sans changement.

Eh bien, est-ce difficile ? À première vue, cela peut être difficile. Mais avec un peu de pratique, vous parviendrez à le faire quasiment oralement. En attendant, jetez un œil aux exemples :

Tâche. Sélectionnez la pièce entière dans les fractions indiquées :

Dans tous les exemples, la partie entière est surlignée en rouge et le reste de la division est surligné en vert.

Faites attention à la dernière fraction, où le reste de la division s'avère égal à zéro. Il s'avère que le numérateur est complètement divisé par le dénominateur. C'est tout à fait logique, car 24 : 6 = 4 est une donnée concrète de la table de multiplication.

Si tout est fait correctement, le numérateur de la nouvelle fraction sera certainement inférieur au dénominateur, c'est-à-dire la fraction deviendra correcte. Je noterai également qu'il vaut mieux mettre en évidence toute la partie à la toute fin du problème, avant d'écrire la réponse. Sinon, les calculs peuvent être considérablement compliqués.

Aller à une fraction impropre

Il y a aussi une opération inverse, où l'on se débarrasse de la pièce entière. C'est ce qu'on appelle la transition de fraction impropre et c'est beaucoup plus courant car travailler avec des fractions impropres est beaucoup plus facile.

Le passage à une fraction impropre s'effectue également en trois étapes :

1. Multipliez la partie entière par le dénominateur. Le résultat peut être des chiffres assez importants, mais cela ne devrait pas nous déranger ;
2. Ajoutez le nombre obtenu au numérateur de la fraction d'origine. Écrivez le résultat au numérateur de la fraction impropre ;
3. Réécrivez le dénominateur - encore une fois, sans changement.

Voici des exemples précis :

Tâche. Convertir en fraction impropre :

Pour plus de clarté, la partie entière est à nouveau surlignée en rouge et le numérateur de la fraction d'origine est surligné en vert.

Considérons le cas où le numérateur ou le dénominateur d'une fraction contient un nombre négatif. Par exemple:

En principe, il n’y a rien de criminel là-dedans. Cependant, travailler avec de telles fractions peut s’avérer peu pratique. Par conséquent, en mathématiques, il est d'usage de placer des moins comme signes de fraction.

C'est très simple à faire si vous vous souvenez des règles :

1. "Plus pour moins donne moins." Par conséquent, si le numérateur contient un nombre négatif et que le dénominateur contient un nombre positif (ou vice versa), n'hésitez pas à rayer le moins et à le placer devant la fraction entière ;
2. "Deux négatifs font un affirmatif". Lorsqu'il y a un moins au numérateur et au dénominateur, nous les barrons simplement - aucune action supplémentaire n'est requise.

Bien entendu, ces règles peuvent également s’appliquer dans le sens inverse, c’est-à-dire Vous pouvez saisir un signe moins sous le signe de la fraction (le plus souvent au numérateur).

Nous ne considérons délibérément pas le cas du «plus sur plus» - avec cela, je pense, tout est clair. Voyons comment ces règles fonctionnent dans la pratique :

Tâche. Retirez les négatifs des quatre fractions écrites ci-dessus.

Faites attention à la dernière fraction : il y a déjà un signe moins devant elle. Cependant, il est « brûlé » selon la règle « moins pour moins donne un plus ».

De plus, ne déplacez pas les moins dans les fractions avec la partie entière en surbrillance. Ces fractions sont d'abord converties en fractions impropres - et ce n'est qu'alors que les calculs commencent.