Lequel des énoncés suivants est une factorisation d’un polynôme. Exemples de factorisation de polynômes avec des racines entières

Lors de la résolution d’équations et d’inéquations, il est souvent nécessaire de factoriser un polynôme dont le degré est égal ou supérieur à trois. Dans cet article, nous examinerons la manière la plus simple de procéder.

Comme d'habitude, tournons-nous vers la théorie pour obtenir de l'aide.

Théorème de Bezout déclare que le reste lors de la division d'un polynôme par un binôme est .

Mais ce qui est important pour nous, ce n'est pas le théorème lui-même, mais corollaire de celui-ci :

Si le nombre est la racine d’un polynôme, alors le polynôme est divisible par le binôme sans reste.

Nous sommes confrontés à la tâche de trouver d'une manière ou d'une autre au moins une racine du polynôme, puis de diviser le polynôme par , où est la racine du polynôme. En conséquence, nous obtenons un polynôme dont le degré est inférieur de un au degré d'origine. Et puis, si nécessaire, vous pouvez répéter le processus.

Cette tâche se décompose en deux : comment trouver la racine d'un polynôme et comment diviser un polynôme par un binôme.

Examinons ces points de plus près.

1. Comment trouver la racine d'un polynôme.

Tout d’abord, nous vérifions si les nombres 1 et -1 sont des racines du polynôme.

Les faits suivants nous aideront ici :

Si la somme de tous les coefficients d’un polynôme est nulle, alors le nombre est la racine du polynôme.

Par exemple, dans un polynôme la somme des coefficients est nulle : . Il est facile de vérifier quelle est la racine d'un polynôme.

Si la somme des coefficients d’un polynôme aux puissances paires est égale à la somme des coefficients aux puissances impaires, alors le nombre est la racine du polynôme. Le terme libre est considéré comme un coefficient pour un degré pair, puisque , a est un nombre pair.

Par exemple, dans un polynôme, la somme des coefficients des puissances paires est : , et la somme des coefficients des puissances impaires est : . Il est facile de vérifier quelle est la racine d'un polynôme.

Si ni 1 ni -1 ne sont des racines du polynôme, alors nous passons à autre chose.

Pour un polynôme de degré réduit (c'est-à-dire un polynôme dans lequel le coefficient dominant - le coefficient à - est égal à l'unité), la formule de Vieta est valable :

Où sont les racines du polynôme.

Il existe également des formules Vieta concernant les coefficients restants du polynôme, mais celle-ci nous intéresse.

De cette formule Vieta, il s'ensuit que si les racines d'un polynôme sont des nombres entiers, alors elles sont des diviseurs de son terme libre, qui est également un nombre entier.

Basé sur ceci, nous devons factoriser le terme libre du polynôme en facteurs, et séquentiellement, du plus petit au plus grand, vérifier lequel des facteurs est la racine du polynôme.

Prenons par exemple le polynôme

Diviseurs du terme libre : ;

;

;

La somme de tous les coefficients d'un polynôme est égale à , donc le nombre 1 n'est pas la racine du polynôme.

Somme des coefficients pour puissances paires :

Somme des coefficients pour les puissances impaires :

Par conséquent, le nombre -1 n’est pas non plus une racine du polynôme.

Vérifions si le nombre 2 est la racine du polynôme : le nombre 2 est donc la racine du polynôme. Cela signifie que, selon le théorème de Bezout, le polynôme est divisible par un binôme sans reste.

2. Comment diviser un polynôme en un binôme.

Un polynôme peut être divisé en binôme par une colonne.

Divisez le polynôme par un binôme à l'aide d'une colonne : Il existe une autre façon de diviser un polynôme par un binôme : le schéma de Horner.

Regardez cette vidéo pour comprendre

comment diviser un polynôme par un binôme avec une colonne, et en utilisant le diagramme de Horner.

Je remarque que si, lors de la division par colonne, un certain degré d'inconnu manque dans le polynôme d'origine, nous écrivons 0 à sa place - de la même manière que lors de la compilation d'un tableau pour le schéma de Horner. Ainsi, si nous devons diviser un polynôme par un binôme et que, à la suite de la division, nous obtenons un polynôme, nous pouvons alors trouver les coefficients du polynôme en utilisant le schéma de Horner : Nous pouvons également utiliser

Schéma Horner

afin de vérifier si un nombre donné est la racine d'un polynôme : si le nombre est la racine d'un polynôme, alors le reste en divisant le polynôme par est égal à zéro, c'est-à-dire dans la dernière colonne de la deuxième ligne de Avec le diagramme de Horner, nous obtenons 0. En utilisant le schéma de Horner, on « fait d'une pierre deux coups » : on vérifie simultanément si le nombre est la racine d'un polynôme et on divise ce polynôme par un binôme.

Exemple.

Résous l'équation:

1. Écrivons les diviseurs du terme libre et cherchons les racines du polynôme parmi les diviseurs du terme libre.

Diviseurs de 24 :

2. Vérifions si le nombre 1 est la racine du polynôme.

La somme des coefficients d'un polynôme, donc le nombre 1 est la racine du polynôme.

3. Divisez le polynôme d'origine en un binôme en utilisant le schéma de Horner.

A) Écrivons les coefficients du polynôme d’origine dans la première ligne du tableau.

Dans la dernière colonne, comme prévu, nous avons obtenu zéro ; nous avons divisé le polynôme d'origine par un binôme sans reste. Les coefficients du polynôme issu de la division sont indiqués en bleu dans la deuxième ligne du tableau :

Il est facile de vérifier que les nombres 1 et -1 ne sont pas des racines du polynôme

B) Continuons le tableau. Vérifions si le nombre 2 est la racine du polynôme :

Ainsi, le degré du polynôme, obtenu à la suite d'une division par un, est inférieur au degré du polynôme d'origine, par conséquent, le nombre de coefficients et le nombre de colonnes sont un de moins.

Dans la dernière colonne, nous avons -40 - un nombre qui n'est pas égal à zéro, donc le polynôme est divisible par un binôme avec un reste et le nombre 2 n'est pas la racine du polynôme.

C) Vérifions si le nombre -2 est la racine du polynôme. La tentative précédente ayant échoué, pour éviter toute confusion avec les coefficients, j'effacerai la ligne correspondant à cette tentative :

Super! Nous avons obtenu zéro comme reste, donc le polynôme a été divisé en un binôme sans reste, donc le nombre -2 est la racine du polynôme. Les coefficients du polynôme obtenu en divisant un polynôme par un binôme sont indiqués en vert dans le tableau.

À la suite de la division, nous obtenons un trinôme quadratique , dont les racines peuvent facilement être trouvées à l’aide du théorème de Vieta :

Ainsi, les racines de l’équation originale sont :

{}

Répondre: ( }

Ce qui s'est passé factorisation ? C'est une façon de transformer un exemple peu pratique et complexe en un exemple simple et mignon.) Une technique très puissante ! On le retrouve à chaque étape des mathématiques élémentaires et supérieures.

De telles transformations en langage mathématique sont appelées transformations identiques d'expressions. Pour ceux qui ne sont pas au courant, jetez un œil au lien. Il y a très peu de choses là-bas, simples et utiles.) Le sens de toute transformation identitaire est l'enregistrement de l'expression sous une autre forme tout en conservant son essence.

Signification factorisation extrêmement simple et clair. Dès le nom lui-même. Vous avez peut-être oublié (ou ne savez pas) ce qu'est un multiplicateur, mais vous pouvez comprendre que ce mot vient du mot « multiplier » ?) L'affacturage signifie : représente une expression sous la forme de la multiplication de quelque chose par quelque chose. Que les mathématiques et la langue russe me pardonnent...) C'est tout.

Par exemple, vous devez développer le nombre 12. Vous pouvez écrire en toute sécurité :

Nous avons donc présenté le nombre 12 comme une multiplication de 3 par 4. Attention, les nombres à droite (3 et 4) sont complètement différents de ceux à gauche (1 et 2). Mais on comprend parfaitement que 12 et 3 4 même. L'essence du nombre 12 de la transformation n'a pas changé.

Est-il possible de décomposer 12 différemment ? Facilement!

12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=........

Les options de décomposition sont infinies.

La factorisation des nombres est une chose utile. Cela aide beaucoup, par exemple, lorsque l'on travaille avec des racines. Mais la factorisation d'expressions algébriques n'est pas seulement utile, elle est nécessaire! Juste par exemple :

Simplifier:

Ceux qui ne savent pas factoriser une expression restent sur la touche. Ceux qui savent comment - simplifient et obtiennent :

L'effet est incroyable, non ?) D'ailleurs, la solution est assez simple. Vous le constaterez par vous-même ci-dessous. Ou, par exemple, cette tâche :

Résous l'équation:

x5 - x4 = 0

Cela se décide d’ailleurs dans la tête. Utiliser la factorisation. Nous allons résoudre cet exemple ci-dessous. Répondre: x1 = 0 ; x2 = 1.

Ou, la même chose, mais pour les plus grands) :

Résous l'équation:

Dans ces exemples, j'ai montré objectif principal factorisation : simplifier des expressions fractionnaires et résoudre certains types d'équations. Voici une règle générale à retenir :

Si nous avons devant nous une expression fractionnaire effrayante, nous pouvons essayer de factoriser le numérateur et le dénominateur. Très souvent, la fraction est réduite et simplifiée.

Si nous avons devant nous une équation où à droite il y a zéro et à gauche - je ne comprends pas quoi, nous pouvons essayer de factoriser le côté gauche. Parfois ça aide).

Méthodes de base de factorisation.

Voici les méthodes les plus populaires :

4. Développement d'un trinôme quadratique.

Ces méthodes doivent être mémorisées. Exactement dans cet ordre. Les exemples complexes sont vérifiés pour toutes les méthodes de décomposition possibles. Et il vaut mieux vérifier dans l'ordre pour ne pas se tromper... Alors commençons dans l'ordre.)

1. Retirer le facteur commun des parenthèses.

Un moyen simple et fiable. Rien de mal ne vient de lui ! Cela arrive bien ou pas du tout.) C’est pourquoi il passe en premier. Voyons cela.

Tout le monde connaît (je crois !) la règle :

a(b+c) = ab+ac

Ou, plus généralement :

a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....

Toutes les égalités fonctionnent aussi bien de gauche à droite que vice versa, de droite à gauche. Tu peux écrire:

ab+ac = a(b+c)

ab+ac+ad+.... = une(b+c+d+.....)

C’est tout l’intérêt de retirer le facteur commun des parenthèses.

Sur le côté gauche UN - multiplicateur commun pour tous les termes. Multiplié par tout ce qui existe). A droite se trouve le plus UN est déjà localisé en dehors des parenthèses.

Nous examinerons l'application pratique de la méthode à l'aide d'exemples. Au début l'option est simple, voire primitive.) Mais dans cette option je marquerai (en vert) les points très importants pour toute factorisation.

Factoriser :

ah+9x

Lequel général le multiplicateur apparaît-il dans les deux termes ? X, bien sûr ! Nous le retirerons des parenthèses. Faisons cela. On écrit immédiatement X en dehors des parenthèses :

hache+9x=x(

Et entre parenthèses on écrit le résultat de la division chaque terme sur ce même X. En ordre:

C'est tout. Bien sûr, il n’est pas nécessaire de le décrire avec autant de détails, cela se fait dans l’esprit. Mais il est conseillé de comprendre ce que c’est). On enregistre en mémoire :

Nous écrivons le facteur commun en dehors des parenthèses. Entre parenthèses, nous écrivons les résultats de la division de tous les termes par ce facteur commun. En ordre.

Nous avons donc élargi l'expression ah+9x par des multiplicateurs. Je l'ai transformé en multiplication de x par (a+9). Je constate que dans l'expression originale il y avait aussi une multiplication, voire deux : a·x et 9·x. Mais ça n'a pas été factorisé ! Car en plus de la multiplication, cette expression contenait aussi l’addition, le signe « + » ! Et en expression x(a+9) Il n'y a rien d'autre que la multiplication !

Comment ça!? - J'entends la voix indignée du peuple - Et entre parenthèses !?)

Oui, il y a un ajout entre parenthèses. Mais le truc, c'est que tant que les parenthèses ne sont pas ouvertes, nous les considérons comme une lettre. Et nous faisons toutes les actions entièrement entre parenthèses, comme avec une lettre. En ce sens, dans l'expression x(a+9) Il n'y a rien sauf la multiplication. C’est tout l’intérêt de la factorisation.

Au fait, est-il possible de vérifier d'une manière ou d'une autre si nous avons tout fait correctement ? Facilement! Il suffit de multiplier ce que vous avez mis (x) par parenthèses et de voir si cela a fonctionné original expression? Si ça marche, tout va bien !)

x(a+9)=hache+9x

Arrivé.)

Il n'y a aucun problème dans cet exemple primitif. Mais s'il y a plusieurs termes, et même avec des signes différents... Bref, un élève sur trois se trompe). Donc:

Si nécessaire, vérifiez la factorisation par multiplication inverse.

Factoriser :

3ax+9x

Nous recherchons un facteur commun. Bon, tout est clair avec X, on peut le retirer. Y a t-il plus général facteur? Oui! C'est un trois. Vous pouvez écrire l'expression comme ceci :

3ax+3 3x

Ici, il est immédiatement clair que le facteur commun sera 3x. Ici, nous le retirons :

3ax+3 3x=3x(a+3)

Étaler.

Que se passe-t-il si vous le retirez seulement x ? Rien de spécial:

3ax+9x=x(3a+9)

Ce sera également une factorisation. Mais dans ce processus fascinant, il est d'usage de tout mettre en œuvre jusqu'aux limites tant qu'il y a une opportunité. Ici, entre parenthèses, il y a la possibilité de mettre un trois. Il s'avérera :

3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)

La même chose, mais avec une action supplémentaire.) Rappelez-vous :

En retirant le facteur commun des parenthèses, on essaie de retirer maximum facteur commun.

Allons-nous continuer à nous amuser ?)

Factorisez l'expression :

3akh+9х-8а-24

Qu'allons-nous retenir ? Trois, X ? Non... Vous ne pouvez pas. Je vous rappelle que vous ne pouvez retirer général multiplicateur qui est dans tout termes de l'expression. C'est pourquoi il général. Il n'y a pas de multiplicateur de ce type ici... Quoi, vous n'êtes pas obligé de l'étendre !? Eh bien oui, nous étions si heureux... Rencontre :

2. Regroupement.

En fait, le regroupement peut difficilement être qualifié de méthode de factorisation indépendante. C'est plutôt une façon de sortir d'un exemple complexe.) Il faut regrouper les termes pour que tout se passe bien. Cela ne peut être démontré que par un exemple. On a donc l'expression :

3akh+9х-8а-24

On peut voir qu'il existe des lettres et des chiffres communs. Mais... Général il n’y a pas de multiplicateur dans tous les termes. Ne perdons pas courage et briser l’expression en morceaux. Regroupement. Pour que chaque pièce ait un facteur commun, il y a quelque chose à retenir. Comment peut-on le casser ? Oui, nous mettons juste des parenthèses.

Je vous rappelle que les parenthèses peuvent être placées n'importe où et comme vous le souhaitez. Juste l'essence de l'exemple n'a pas changé. Par exemple, vous pouvez faire ceci :

3akh+9х-8а-24=(3а+9х)-(8а+24)

Faites attention aux deuxièmes parenthèses ! Ils sont précédés d'un signe moins et 8a Et 24 devenu positif ! Si, pour vérifier, nous ouvrons les parenthèses, les signes changeront et nous obtiendrons original expression. Ceux. l'essence de l'expression entre parenthèses n'a pas changé.

Mais si vous venez d'insérer des parenthèses sans tenir compte du changement de signe, par exemple, comme ceci :

3akh+9х-8а-24=(3ax+9x) -(8a-24 )

ce serait une erreur. A droite - déjà autre expression. Ouvrez les supports et tout deviendra visible. Vous n'avez pas à décider davantage, oui...)

Mais revenons à la factorisation. Regardons les premières parenthèses (3ax+9x) et nous nous demandons : y a-t-il quelque chose que nous pouvons retirer ? Eh bien, nous avons résolu cet exemple ci-dessus, nous pouvons le prendre 3x :

(3ax+9x)=3x(a+3)

Etudions les deuxièmes parenthèses, on peut y ajouter un huit :

(8a+24)=8(a+3)

Notre expression entière sera :

(3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)

Factorisé ? Non. Le résultat de la décomposition devrait être seulement la multiplication mais chez nous le signe moins gâche tout. Mais... Les deux termes ont un facteur commun ! Ce (a+3). Ce n'est pas pour rien que j'ai dit que les parenthèses entières sont pour ainsi dire une seule lettre. Cela signifie que ces parenthèses peuvent être retirées des parenthèses. Oui, c'est exactement à cela que cela ressemble.)

Nous faisons comme décrit ci-dessus. On écrit le facteur commun (a+3), dans les deuxièmes parenthèses nous écrivons les résultats de la division des termes par (a+3):

3x(une+3)-8(une+3)=(une+3)(3x-8)

Tous! Il n'y a rien à droite sauf la multiplication ! Cela signifie que la factorisation a été effectuée avec succès !) Le voici :

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

Répétons brièvement l'essence du groupe.

Si l'expression ne correspond pas général multiplicateur pour tout le monde termes, nous divisons l'expression entre parenthèses afin qu'à l'intérieur des parenthèses le facteur commun était. Nous le retirons et voyons ce qui se passe. Si vous avez de la chance et qu'il reste des expressions absolument identiques entre parenthèses, nous retirons ces parenthèses des parenthèses.

J'ajouterai que le regroupement est un processus créatif). Cela ne fonctionne pas toujours du premier coup. C'est bon. Parfois, vous devez échanger les termes et envisager différentes options de regroupement jusqu'à ce que vous en trouviez une qui réussisse. L'essentiel ici est de ne pas se décourager !)

Exemples.

Maintenant, après vous être enrichi de connaissances, vous pouvez résoudre des exemples délicats.) Au début de la leçon, il y en avait trois...

Simplifier:

En substance, nous avons déjà résolu cet exemple. À notre insu.) Je vous le rappelle : si on nous donne une fraction terrible, nous essayons de factoriser le numérateur et le dénominateur. Autres options de simplification tout simplement non.

Eh bien, le dénominateur ici n'est pas développé, mais le numérateur... Nous avons déjà développé le numérateur pendant la leçon ! Comme ça:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

On écrit le résultat du développement au numérateur de la fraction :

Selon la règle des fractions réductrices (propriété principale d'une fraction), on peut diviser (en même temps !) le numérateur et le dénominateur par le même nombre, ou expression. Fraction de ceci ne change pas. On divise donc le numérateur et le dénominateur par l'expression (3x-8). Et ici et là, nous en aurons un. Le résultat final de la simplification :

Je tiens particulièrement à souligner : réduire une fraction est possible si et seulement si au numérateur et au dénominateur, en plus de multiplier des expressions il n'y a rien. C'est pourquoi la transformation de la somme (différence) en multiplication si important pour la simplification. Bien entendu, si les expressions différent, alors rien ne sera réduit. Cela va arriver. Mais la factorisation donne une chance. Cette chance sans décomposition n’existe tout simplement pas.

Exemple avec équation :

Résous l'équation:

x5 - x4 = 0

Nous retirons le facteur commun x4 hors parenthèses. On a:

x4 (x-1)=0

On se rend compte que le produit des facteurs est égal à zéro alors et seulement alors, quand l’un d’eux est nul. En cas de doute, trouvez-moi quelques nombres non nuls qui, une fois multipliés, donneront zéro.) Nous écrivons donc d'abord le premier facteur :

Avec une telle égalité, le deuxième facteur ne nous concerne pas. Tout le monde peut l’être, mais au final, ce sera toujours zéro. Quel nombre à la puissance quatrième zéro donne-t-il ? Seulement zéro ! Et aucun autre... Donc :

Nous avons compris le premier facteur et trouvé une racine. Examinons le deuxième facteur. Maintenant, nous ne nous soucions pas du premier multiplicateur.) :

Ici, nous avons trouvé une solution : x1 = 0 ; x2 = 1. Chacune de ces racines correspond à notre équation.

Remarque très importante. Veuillez noter que nous avons résolu l'équation pièce par pièce! Chaque facteur était égal à zéro, indépendamment d’autres facteurs. D'ailleurs, si dans une telle équation il n'y a pas deux facteurs, comme le nôtre, mais trois, cinq, autant que vous le souhaitez, nous résoudrons similaire. Pièce par pièce. Par exemple:

(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0

Quiconque ouvre les parenthèses et multiplie tout restera bloqué pour toujours sur cette équation.) Un élève correct verra immédiatement qu'il n'y a rien à gauche sauf la multiplication et zéro à droite. Et il commencera (dans son esprit !) à égaliser toutes les parenthèses afin d'obtenir zéro. Et il obtiendra (en 10 secondes !) la bonne solution : x1 = 1 ; x2 = -5 ; x3 = 3 ; x4 = -2.

Cool, n'est-ce pas ?) Une solution aussi élégante est possible si le côté gauche de l'équation factorisé. Vous avez l'indice ?)

Bon, un dernier exemple, pour les plus grands) :

Résous l'équation:

C’est un peu similaire au précédent, vous ne trouvez pas ?) Bien sûr. Il est temps de se rappeler qu'en algèbre de septième année, les sinus, les logarithmes et tout le reste peuvent être cachés sous les lettres ! La factorisation fonctionne dans toutes les mathématiques.

Nous retirons le facteur commun lg 4x hors parenthèses. On a:

journal 4 x=0

C'est une racine. Examinons le deuxième facteur.

Voici la réponse finale : x1 = 1 ; x2 = 10.

J'espère que vous avez réalisé le pouvoir de la factorisation pour simplifier des fractions et résoudre des équations.)

Dans cette leçon, nous avons appris la factorisation et le regroupement courants. Reste à traiter les formules de multiplication abrégée et le trinôme quadratique.

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Dans cette leçon, nous rappellerons toutes les méthodes de factorisation d'un polynôme précédemment étudiées et examinerons des exemples de leur application. De plus, nous étudierons une nouvelle méthode - la méthode d'isolement d'un carré complet et apprendrons à l'utiliser pour résoudre divers problèmes. .

Sujet:Factorisation de polynômes

Leçon:Factorisation de polynômes. Méthode de sélection d'un carré complet. Combinaison de méthodes

Rappelons les méthodes de base de factorisation d'un polynôme qui ont été étudiées précédemment :

Méthode consistant à mettre entre parenthèses un facteur commun, c'est-à-dire un facteur présent dans tous les termes du polynôme. Regardons un exemple :

Rappelons qu'un monôme est le produit de puissances et de nombres. Dans notre exemple, les deux termes ont des éléments communs et identiques.

Alors, retirons le facteur commun entre parenthèses :

;

Rappelons qu'en multipliant le facteur retiré par une parenthèse, vous pouvez vérifier l'exactitude du facteur retiré.

Méthode de regroupement. Il n’est pas toujours possible d’extraire un facteur commun dans un polynôme. Dans ce cas, vous devez diviser ses membres en groupes de manière à ce que dans chaque groupe vous puissiez retirer un facteur commun et essayer de le décomposer de sorte qu'après avoir retiré les facteurs des groupes, un facteur commun apparaisse dans le expression entière, et vous pouvez continuer la décomposition. Regardons un exemple :

Regroupons le premier terme avec le quatrième, le deuxième avec le cinquième et le troisième avec le sixième :

Sortons les facteurs communs aux groupes :

L’expression a désormais un facteur commun. Sortons-le :

Application de formules de multiplication abrégées. Regardons un exemple :

;

Écrivons l'expression en détail :

Évidemment, nous avons devant nous la formule de la différence au carré, puisqu'il s'agit de la somme des carrés de deux expressions et dont on soustrait leur double produit. Utilisons la formule :

Aujourd'hui, nous allons apprendre une autre méthode : la méthode de sélection d'un carré complet. Il est basé sur les formules du carré de la somme et du carré de la différence. Rappelons-leur :

Formule du carré de la somme (différence) ;

La particularité de ces formules est qu'elles contiennent les carrés de deux expressions et leur produit double. Regardons un exemple :

Écrivons l'expression :

Ainsi, la première expression est , et la seconde est .

Pour créer une formule pour le carré d’une somme ou d’une différence, il ne suffit pas de doubler le produit des expressions. Il faut ajouter et soustraire :

Complétons le carré de la somme :

Transformons l'expression résultante :

Appliquons la formule de la différence des carrés, rappelons que la différence des carrés de deux expressions est le produit et la somme de leur différence :

Ainsi, cette méthode consiste tout d'abord à identifier les expressions a et b qui sont au carré, c'est-à-dire à déterminer quelles expressions sont au carré dans cet exemple. Après cela, vous devez vérifier la présence d'un produit doublé et s'il n'y est pas, alors l'ajouter et le soustraire, cela ne changera pas le sens de l'exemple, mais le polynôme peut être factorisé à l'aide des formules du carré de la somme ou la différence et la différence des carrés, si possible.

Passons à la résolution d'exemples.

Exemple 1 - factoriser :

Trouvons des expressions au carré :

Écrivons ce que devrait être leur double produit :

Ajoutons et soustrayons le double du produit :

Complétons le carré de la somme et donnons des carrés similaires :

Écrivons-le en utilisant la formule de la différence des carrés :

Exemple 2 - résoudre l'équation :

;

Du côté gauche de l’équation se trouve un trinôme. Vous devez en tenir compte dans les facteurs. Nous utilisons la formule de différence au carré :

Nous avons le carré de la première expression et le produit double, il manque le carré de la deuxième expression, ajoutons-le et soustrayons-le :

Plions un carré complet et donnons des termes similaires :

Appliquons la formule de la différence des carrés :

On a donc l'équation

On sait qu’un produit n’est égal à zéro que si au moins un des facteurs est égal à zéro. Créons les équations suivantes sur cette base :

Résolvons la première équation :

Résolvons la deuxième équation :

Réponse : ou

;

Nous procédons de la même manière que dans l'exemple précédent : sélectionnons le carré de la différence.

La factorisation d'une équation est le processus consistant à trouver les termes ou expressions qui, une fois multipliés, conduisent à l'équation initiale. La factorisation est une compétence utile pour résoudre des problèmes d'algèbre de base et devient presque essentielle lorsque l'on travaille avec des équations quadratiques et d'autres polynômes. La factorisation est utilisée pour simplifier les équations algébriques afin de les rendre plus faciles à résoudre. La factorisation peut vous aider à éliminer certaines réponses possibles plus rapidement qu’en résolvant une équation à la main.

Pas

Factorisation des nombres et expressions algébriques de base

1. Factorisation des nombres. Le concept de factorisation est simple, mais en pratique, la factorisation peut s'avérer difficile (si une équation complexe est donnée). Examinons donc d’abord le concept de factorisation en utilisant les nombres comme exemple, continuons avec des équations simples, puis passons aux équations complexes. Les facteurs d'un nombre donné sont les nombres qui, multipliés, donnent le nombre d'origine. Par exemple, les facteurs du nombre 12 sont les nombres : 1, 12, 2, 6, 3, 4, puisque 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • De même, vous pouvez considérer les facteurs d’un nombre comme ses diviseurs, c’est-à-dire les nombres par lesquels le nombre est divisible.
   • Trouvez tous les facteurs du nombre 60. On utilise souvent le nombre 60 (par exemple, 60 minutes dans une heure, 60 secondes dans une minute, etc.) et ce nombre comporte un assez grand nombre de facteurs.
     • 60 multiplicateurs : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 et 60.

2. Souviens-toi: les termes d'une expression contenant un coefficient (nombre) et une variable peuvent également être factorisés. Pour ce faire, trouvez les facteurs de coefficient de la variable. En sachant factoriser les termes des équations, vous pouvez facilement simplifier cette équation.

   • Par exemple, le terme 12x peut être écrit comme le produit de 12 et x. Vous pouvez également écrire 12x sous la forme 3(4x), 2(6x), etc., en décomposant 12 en facteurs qui vous conviennent le mieux.
     • Vous pouvez distribuer 12x plusieurs fois de suite. En d’autres termes, vous ne devriez pas vous arrêter à 3(4x) ou 2(6x) ; continuer l'expansion : 3(2(2x)) ou 2(3(2x)) (évidemment 3(4x)=3(2(2x)), etc.)

3. Appliquez la propriété distributive de la multiplication aux équations algébriques factorielles. En sachant factoriser les nombres et les termes d'expression (coefficients avec variables), vous pouvez simplifier des équations algébriques simples en trouvant le facteur commun d'un nombre et d'un terme d'expression. En règle générale, pour simplifier une équation, vous devez trouver le plus grand facteur commun (PGCD). Cette simplification est possible grâce à la propriété distributive de la multiplication : pour tout nombre a, b, c, l'égalité a(b+c) = ab+ac est vraie.

   • Exemple. Factorisez l'équation 12x + 6. Tout d'abord, trouvez le pgcd de 12x et 6. 6 est le plus grand nombre qui divise à la fois 12x et 6, vous pouvez donc factoriser cette équation par : 6(2x+1).
   • Ce processus est également vrai pour les équations comportant des termes négatifs et fractionnaires. Par exemple, x/2+4 peut être pris en compte dans 1/2(x+8) ; par exemple, -7x+(-21) peut être pris en compte dans -7(x+3).

   Factorisation d'équations quadratiques

   1. Assurez-vous que l'équation est donnée sous forme quadratique (ax 2 + bx + c = 0). Les équations quadratiques ont la forme : ax 2 + bx + c = 0, où a, b, c sont des coefficients numériques autres que 0. Si on vous donne une équation avec une variable (x) et que dans cette équation il y a un ou plusieurs termes avec une variable du second ordre, vous pouvez déplacer tous les termes de l'équation d'un côté de l'équation et la définir égale à zéro.

      • Par exemple, étant donné l'équation : 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. Cela peut être converti en l'équation x 2 + 6x + 9 = 0, qui est une équation quadratique.
      • Équations avec variable x de gros ordres, par exemple x 3, x 4, etc. ne sont pas des équations quadratiques. Il s'agit d'équations cubiques, d'équations du quatrième ordre, etc. (à moins que ces équations puissent être simplifiées en équations quadratiques avec la variable x élevée à la puissance 2).

   2. Les équations quadratiques, où a = 1, sont développées en (x+d)(x+e), où d*e=c et d+e=b. Si l'équation quadratique qui vous est donnée a la forme : x 2 + bx + c = 0 (c'est-à-dire que le coefficient de x 2 est 1), alors une telle équation peut (mais n'est pas garantie) être développée dans les facteurs ci-dessus. Pour ce faire, vous devez trouver deux nombres qui, lorsqu'ils sont multipliés, donnent « c » et lorsqu'ils sont ajoutés, « b ». Une fois que vous avez trouvé ces deux nombres (d et e), remplacez-les par l'expression suivante : (x+d)(x+e), qui, en ouvrant les parenthèses, conduit à l'équation originale.

      • Par exemple, étant donné une équation quadratique x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 et 3+2=5, vous pouvez donc factoriser cette équation en (x+3)(x+2).
      • Pour les termes négatifs, apportez les modifications mineures suivantes au processus de factorisation :
        • Si une équation quadratique a la forme x 2 -bx+c, alors elle se développe en : (x-_)(x-_).
        • Si une équation quadratique a la forme x 2 -bx-c, alors elle se développe en : (x+_)(x-_).
      • Remarque : Les espaces peuvent être remplacés par des fractions ou des décimales. Par exemple, l'équation x 2 + (21/2)x + 5 = 0 est développée en (x+10)(x+1/2).

   3. Factorisation par essais et erreurs. Des équations quadratiques simples peuvent être factorisées en remplaçant simplement des nombres dans les solutions possibles jusqu'à ce que vous trouviez la bonne solution. Si l'équation a la forme ax 2 +bx+c, où a>1, les solutions possibles s'écrivent sous la forme (dx +/- _)(ex +/- _), où d et e sont des coefficients numériques non nuls , qui, une fois multiplié, donne a. Soit d soit e (ou les deux coefficients) peuvent être égaux à 1. Si les deux coefficients sont égaux à 1, utilisez alors la méthode décrite ci-dessus.

      • Par exemple, étant donné l'équation 3x 2 - 8x + 4. Ici, 3 n'a que deux facteurs (3 et 1), donc les solutions possibles s'écrivent sous la forme (3x +/- _)(x +/- _). Dans ce cas, en remplaçant les espaces par -2, vous trouverez la bonne réponse : -2*3x=-6x et -2*x=-2x ; - 6x+(-2x)=-8x et -2*-2=4, c'est-à-dire qu'une telle expansion lors de l'ouverture des parenthèses conduira aux termes de l'équation d'origine.

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