Remarques préliminaires. Trouvons l'image de Fourier de d-les fonctions.
Évidemment juste et conversion inverse Fourier :
Et:
1. Laissez le processus se dérouler valeur constante x(t)=A o . Comme nous l'avons déjà découvert précédemment, la fonction de corrélation d'un tel processus est égale à Trouvons la densité spectrale du processus par conversion directe Fonctions de Fourier R(t) :
Le spectre du processus est constitué d'un seul pic de type fonction impulsionnelle situé à l'origine. Ainsi, s’il n’y a qu’une seule fréquence dans un processus w=0, cela signifie que toute la puissance du processus est concentrée à cette fréquence, ce qui confirme la forme de la fonction S(w). Si une fonction aléatoire contient une composante constante, c'est-à-dire valeur moyenne, alors S(w) aura une discontinuité à l'origine et sera caractérisé par la présence d-fonctionne en un point w=0.
2. Pour fonction harmonique X=A o péché(w 0 t+j) fonction de corrélation :
La densité spectrale est
Calendrier S(w) aura deux pics de type fonction impulsionnelle, situés symétriquement par rapport à l'origine des coordonnées à w=+w 0 et w=-w 0 . Cela suggère que la puissance du processus est concentrée sur deux fréquences + w 0 et - w 0 .
Si une fonction aléatoire a des composantes harmoniques, alors la densité spectrale présente des discontinuités en certains points. w= ± w 0 et se caractérise par la présence de deux fonctions delta situées en ces points.
bruit blanc . Le bruit blanc est un processus aléatoire qui a mêmes valeurs densité spectraleà toutes les fréquences de -¥ à +¥ : S( w) = Const.
Un exemple d'un tel processus sous certaines hypothèses est le bruit thermique, rayonnement cosmique etc. La fonction de corrélation d'un tel processus est égale à
Ainsi R(t) représente fonction d'impulsion, situé à l'origine.
Ce processus est un processus purement aléatoire, car à n'importe t¹0 il n'y a aucune corrélation entre les valeurs suivantes et précédentes de la fonction aléatoire. Un processus avec une telle densité spectrale est physiquement irréaliste, car cela correspond à une variance et un carré moyen infiniment grands de la variable aléatoire :
Un tel processus correspond à une puissance infiniment grande et à une source d’énergie infiniment grande.
2. Bruit blanc à bande limitée. Ce processus est caractérisé par une densité spectrale de la forme
S(w)=Cà ½sem½<w n,
S(w)=0 à ½w½>w n.
Où (- w n, w n) bande de fréquences pour la densité spectrale.
Il s'agit d'un processus aléatoire dont la densité spectrale reste quasiment constante dans la gamme de fréquences pouvant influencer le système de contrôle considéré, c'est-à-dire dans la gamme de fréquences transmise par le système. Type de courbe S(w) en dehors de cette plage n'a pas d'importance, car partie de la courbe correspondant fréquences plus élevées, n’affectera pas le fonctionnement du système. Ce processus correspond à la fonction de corrélation
La variance du processus est égale à
5. Signal d'entrée typique d'un système de suivi. Le signal dont le graphique est représenté sur la figure 63 est considéré comme un signal typique. La vitesse de rotation de l'arbre d'entraînement du système d'asservissement est maintenue valeur constante pendant certaines périodes t 1, t 2,...
Le passage d'une valeur à une autre se produit instantanément. Les intervalles de temps obéissent à la loi de distribution de Poisson. Valeur attendue
Figure 63. Signal typique
Un graphique de ce type est obtenu en première approximation lors du suivi Radar derrière une cible en mouvement. Les valeurs de vitesse constante correspondent au déplacement de la cible en ligne droite. Un changement de signe ou d'amplitude de la vitesse correspond à la manœuvre cible.
Laisser m-nombre moyen de changements de vitesse par 1 s. Alors T=1/m sera la valeur moyenne des intervalles de temps pendant lesquels la vitesse angulaire maintient sa valeur constante. Appliqué à Radar cette valeur sera la durée moyenne pendant laquelle la cible se déplace en ligne droite. Pour déterminer la fonction de corrélation, il faut trouver la valeur moyenne du produit
Lors de la recherche de cette valeur, il peut y avoir deux cas.
1. Moments dans le temps t Et t+t appartiennent au même intervalle. Alors la moyenne du produit des vitesses angulaires sera égale au carré moyen vitesse angulaire ou écart :
2. Moments dans le temps t Et t+t appartiennent à des intervalles différents. Alors la moyenne du produit des vitesses sera égale à zéro, puisque les quantités W(t) Et W(t+t) pour différents intervalles peuvent être envisagés grandeurs indépendantes:
La fonction de corrélation est égale à :
où P 1 est la probabilité de trouver les instants t et t+t dans le même intervalle, et P 2 =1- P 1 la probabilité de les trouver dans des intervalles différents.
Estimons la valeur de P 1 . La probabilité qu'un changement de vitesse se produise dans un court intervalle de temps Dt est proportionnelle à cet intervalle et est égale à mDt ou Dt/T. La probabilité que la vitesse ne change pas pendant le même intervalle sera égale à 1-Dt/T. Pour un intervalle de temps t, la probabilité qu'il n'y ait aucun changement de vitesse, c'est-à-dire la probabilité de trouver les instants t et t+t dans le même intervalle de vitesse constante sera égale au produit de la probabilité de non changement de vitesse à chaque intervalle élémentaire Dt, car ces événements sont indépendants. Pour un intervalle fini on trouve que le nombre d'intervalles est égal à t/Dt et
En passant à la limite, on obtient
Objectifs principaux
On peut distinguer deux grands types de problèmes dont la solution nécessite le recours à la théorie des fonctions aléatoires.
Tâche directe (analyse): les paramètres d'un certain appareil et ses caractéristiques probabilistes(espérances mathématiques, fonctions de corrélation, lois de distribution) de la fonction (signal, processus) arrivant à son « entrée » ; il est nécessaire de déterminer les caractéristiques à la « sortie » de l'appareil (elles servent à juger de la « qualité » du fonctionnement de l'appareil).
Problème inverse (la synthèse): les caractéristiques probabilistes des fonctions « entrée » et « sortie » sont précisées ; il est nécessaire de concevoir un dispositif optimal (trouver ses paramètres) qui transforme une fonction d'entrée donnée en une telle fonction de sortie, qui a les caractéristiques données. La solution à ce problème nécessite, outre l'appareil des fonctions aléatoires d'attraction, d'autres disciplines et en ce livre pas considéré.
Définition d'une fonction aléatoire
Fonction aléatoire appelé fonction d'un argument non aléatoire t, qui pour chaque valeur fixe de l'argument est une variable aléatoire. Fonctionnalités aléatoires argument t dénoter en majuscule X(t), Oui(t) etc.
Par exemple, si U- variable aléatoire, alors la fonction X(!)=CU - aléatoire. En effet, pour chaque valeur fixe de l'argument, cette fonction est une variable aléatoire : pour t ( = 2
on obtient une variable aléatoire Xx = UAà t 2= 1,5 - variable aléatoire X2 = 2,25 U etc.
Pour simplifier la présentation, nous introduisons le concept de section.
Section Une fonction aléatoire est une variable aléatoire correspondant à une valeur fixe de l'argument d'une fonction aléatoire. Par exemple, pour une fonction aléatoire X(t) = t 2 U, donné ci-dessus, avec les valeurs d'argument 7, = 2 et t 2= 1,5 ont été obtenus en conséquence Variables aléatoires X ( = AUn X 2 = 2,2577, qui sont les sections de la fonction aléatoire donnée.
Ainsi, une fonction aléatoire peut être considérée comme un ensemble de variables aléatoires (X(?)), selon le paramètre t. Une autre interprétation d'une fonction aléatoire est possible si l'on introduit le concept de sa mise en œuvre.
Mise en œuvre (trajectoire, fonction sélective) fonction aléatoire X(t) appeler une fonction d'argument non aléatoire t, égal à lequel une fonction aléatoire peut s'avérer être à la suite du test.
Ainsi, si une fonction aléatoire est observée dans une expérience, alors en réalité l'une de ses implémentations possibles est observée ; Évidemment, lorsque l’expérience sera répétée, une mise en œuvre différente sera observée.
Implémentations de fonctions X(t) dénoter minuscules x t (t) t x 2 (t) etc., où l'index indique le numéro du test. Par exemple, si X(t)= (/péché t, Où U- une variable aléatoire continue qui a pris une valeur possible lors du premier test et ( = 3, et dans le deuxième test et 2 = 4.6, puis implémentations X(t) sont respectivement des fonctions non aléatoires X ( (t) = 3 péché t Et x 2 (t) = 4,6 péché t.
Ainsi, une fonction aléatoire peut être considérée comme un ensemble de ses implémentations possibles.
Aléatoire (stochastique) processus appeler la fonction d'argument aléatoire t, qui est interprété comme le temps. Par exemple, si un avion doit voler à une heure donnée vitesse constante, puis en réalité, sous l'influence de facteurs aléatoires (fluctuations de température, changements de force du vent, etc.), dont l'influence ne peut être prise en compte à l'avance, la vitesse change. Dans cet exemple, la vitesse de l'avion est une fonction aléatoire d'un argument (le temps) en constante évolution, c'est-à-dire : la vitesse est un processus aléatoire.
Notez que si l'argument d'une fonction aléatoire change discrètement, alors les valeurs correspondantes de la fonction aléatoire (variables aléatoires) se forment séquence aléatoire.
L'argument d'une fonction aléatoire ne peut pas être seulement le temps. Par exemple, si le diamètre d'un fil de tissage est mesuré sur sa longueur, alors en raison de l'influence de facteurs aléatoires, le diamètre du fil change. Dans cet exemple, le diamètre est une fonction aléatoire d'un argument variant continuellement (la longueur du filetage).
Évidemment, il est généralement impossible de définir analytiquement (par une formule) une fonction aléatoire. Dans des cas particuliers, si la forme d'une fonction aléatoire est connue et que ses paramètres déterminants sont des variables aléatoires, elle peut être spécifiée analytiquement. Par exemple, les fonctions aléatoires sont :
X(t)= sin Qf, où Q est une variable aléatoire,
X(t)= G/péché t, Où U- valeur aléatoire,
X(t) = G/sin Qt, où À PROPOS DE. Et .
En particulier, pour Y==0 on obtient D z ( t)=M[| (t)|] 2 =Dx(t), c'est-à-dire que l'exigence (**) est satisfaite.
Étant donné que valeur attendue somme est égale à la somme des espérances mathématiques des termes, on a
Dz(t)=M[| (t)| 2 ]=M{[ (t)] 2 + [ (t) 2 ]}=M[ (t)] 2 +M[ (t) 2 ]=Dx(t)+D y(t).
Donc, la variance d'une fonction aléatoire complexe est égale à la somme des variances de ses parties réelle et imaginaire :
ré z ( t)=Dx(t)+D y(t).
On sait que la fonction de corrélation d'une fonction aléatoire réelle X(t) à différentes significations arguments égaux à la variance Dx(t). Généralisons la définition de la fonction de corrélation aux fonctions aléatoires complexes Z(t) pour que lorsque valeurs égales arguments t 1 =t 2 =t fonction de corrélation Kz(t,t) était égal à la variance Dz(t), c'est-à-dire pour que l'exigence soit satisfaite
Kz(t,t)=Dz(t). (***)
La fonction de corrélation de la fonction aléatoire complexe Z(t) sont appelés moment de corrélation sections ( t 1) et ( t 2)
Kz(t 1 ,t 2)=M.
En particulier, à valeurs égales des arguments
Kz(t,t)=M=M[| | 2 ]=Dz(t).
c'est-à-dire que l'exigence (***) est satisfaite.
Si de vraies fonctions aléatoires X(t) Et Oui(t) sont corrélés, alors
Kz(t 1 ,t 2)= Kx(t 1 ,t 2)+K y(t 1 ,t 2)+ [Rxy(t 2 ,t 1)]+ [Rxy(t 1 ,t 1)].
Si X(t) Et Oui(t) ne sont pas corrélés, alors
Kz(t 1 ,t 2)= Kx(t 1 ,t 2)+K y(t 1 ,t 2).
Généralisons la définition de la fonction de corrélation croisée aux fonctions aléatoires complexes Z 1 (t)=X 1 (t)+Oui 1 (t)je Et Z 2 (t)=X 2 (t)+Oui 2 (t)je de sorte que, notamment, lorsque Oui 1 =Y 2 = 0 exigence remplie
Fonction de corrélation croisée de deux fonctions aléatoires complexes appeler une fonction (non aléatoire)
En particulier, lorsque Oui 1 =Y 2 = 0 on obtient
c'est-à-dire que l'exigence (****) est remplie.
La fonction de corrélation croisée de deux fonctions aléatoires complexes s'exprime à travers les fonctions de corrélation croisée de leurs parties réelles et imaginaires. la formule suivante:
Tâches
1. Trouvez l'espérance mathématique des fonctions aléatoires :
un) X(t)=Ut 2 où U- variable aléatoire, et M(U)=5 ,
b)X(t)=U cos2 t+Vt, Où U Et V- variables aléatoires, et M(U)=3 ,M(V)=4 .
représentant une) m x (t)=5t 2 ; b) t x (t)=3 cos2t+4t.
2. Kx(t 1 ,t 2) fonction aléatoire X(t). Trouver des fonctions de corrélation de fonctions aléatoires :
un) Oui(t)= X(t)+t; b) Oui(t)=(t+1)X(t); V) Oui(t)=4X(t).
représentant a) K y (t 1 ,t 2) = K x (t 1 ,t 2) ; b) K y (t 1 ,t 2)=(t 1 +1)(t 2 +1) K x (t 1 ,t 2) ; c) K y (t 1 ,t 2)=16 K x (t 1 ,t 2)=.
3. L'écart est précisé Dx(t) fonction aléatoire X(t). Trouver la variance des fonctions aléatoires : a) Oui(t)= X(t)+e t b)Oui(t)=tX(t).
Répondre. un) Dy(t)=Dx(t); b) Dy(t)=t 2 Dx(t).
4. Trouvez : a) l'espérance mathématique ; b) fonction de corrélation ; c) variance d'une fonction aléatoire X(t)=Utilisation 2t, Où U- variable aléatoire, et M(U)=3 ,D(U)=6 .
Répondre. UN) m x(t) =3péché 2t ; b) Kx(t 1 ,t 2)= 6péché 2t 1 péché 2t 2 ; V) Dx(t)=6péché 2 2t.
5. Trouvez la fonction de corrélation normalisée de la fonction aléatoire X(t), connaissant sa fonction de corrélation Kx(t 1 ,t 2)=3parce que(t 2 -t 1).
représentant ρ X (t 1 ,t 2)=cos(t 2 -t 1).
6. Trouvez : a) la fonction de corrélation mutuelle ; b) fonction de corrélation croisée normalisée de deux fonctions aléatoires X(t)=(t+1)U, Andy( t)= (t 2 + 1)U, Où U- variable aléatoire, et D(U)=7.
Répondre. un) Rxy(t 1 ,t 2)=7(t 1 +l)( t 2 2 +l); b) ρ xy(t 1 ,t 2)=1.
7. Des fonctions aléatoires sont données X(t)= (t- 1)U Et Oui(t)=t 2 U, Où U Et V- variables aléatoires non corrélées, et M(U)=2, M(V)= 3,D(U)=4 , D(V)=5 . Trouver : a) l'espérance mathématique ; b) fonction de corrélation ; c) variance de la somme Z(t)= X(t)+Y(t).
Note: Assurez-vous que la fonction de corrélation croisée des fonctions aléatoires données est égale à zéro et, par conséquent, X(t) Et Oui(t) ne sont pas corrélés.
Répondre. UN) mz(t)=2(t- 1)+3t 2 ; b) Kz(t 1 ,t 2)=4(t 1 - l)( t 2 - 1)+6t 1 2 t 2 2 ; V) Dz(t)=4(t- 1) 2 +6t 4.
8. L'espérance mathématique est donnée m x(t)=t 2 +1 fonction aléatoire X(t). Trouvez l'espérance mathématique de sa dérivée.
9. L'espérance mathématique est donnée m x(t)=t 2 +3 fonction aléatoire X(t). Trouver l'espérance mathématique d'une fonction aléatoire Oui(t)=tX"(t)+t 3.
représentant m y (t)=t 2 (t+2).
10. La fonction de corrélation est donnée Kx(t 1 ,t 2)= fonction aléatoire X(t). Trouvez la fonction de corrélation de sa dérivée.
11. La fonction de corrélation est donnée Kx(t 1 ,t 2)= fonction aléatoire X(t). Trouvez des fonctions de corrélation croisée.
