Certains problèmes de mathématiques nécessitent la capacité de calculer la valeur de la racine carrée. Ces problèmes incluent la résolution d’équations du second ordre. Dans cet article, nous présenterons une méthode efficace pour calculer des racines carrées et l'utiliserons lorsque nous travaillerons avec des formules pour les racines d'une équation quadratique.

Qu'est-ce qu'une racine carrée ?

En mathématiques, ce concept correspond au symbole √. Les données historiques indiquent qu'il a été utilisé pour la première fois en Allemagne vers la première moitié du XVIe siècle (premier ouvrage allemand sur l'algèbre de Christoph Rudolf). Les scientifiques pensent que le symbole est une lettre latine transformée r (radix signifie « racine » en latin).

La racine de tout nombre est égale à la valeur dont le carré correspond à l'expression radicale. Dans le langage mathématique, cette définition ressemblera à ceci : √x = y, si y 2 = x.

La racine d'un nombre positif (x > 0) est aussi un nombre positif (y > 0), mais si vous prenez la racine d'un nombre négatif (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Voici deux exemples simples :

√9 = 3, puisque 3 2 = 9 ; √(-9) = 3i, puisque i 2 = -1.

Formule itérative de Heron pour trouver les valeurs des racines carrées

Les exemples ci-dessus sont très simples et le calcul des racines n’est pas difficile. Des difficultés commencent à apparaître même lors de la recherche de valeurs fondamentales pour toute valeur qui ne peut pas être représentée par le carré d'un nombre naturel, par exemple √10, √11, √12, √13, sans parler du fait qu'en pratique c'est nécessaire de trouver les racines des nombres non entiers : par exemple √(12,15), √(8,5) et ainsi de suite.

Dans tous les cas ci-dessus, une méthode spéciale de calcul de la racine carrée doit être utilisée. Actuellement, plusieurs méthodes de ce type sont connues : par exemple, l'expansion en série de Taylor, la division en colonnes et quelques autres. De toutes les méthodes connues, la plus simple et la plus efficace est peut-être l'utilisation de la formule itérative de Heron, également connue sous le nom de méthode babylonienne de détermination des racines carrées (il existe des preuves que les anciens Babyloniens l'utilisaient dans leurs calculs pratiques).

Soit qu'il soit nécessaire de déterminer la valeur de √x. La formule pour trouver la racine carrée est la suivante :

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), où lim n->∞ (a n) => x.

Décryptons cette notation mathématique. Pour calculer √x, vous devez prendre un certain nombre a 0 (cela peut être arbitraire, mais pour obtenir rapidement le résultat, vous devez le choisir pour que (a 0) 2 soit le plus proche possible de x. Remplacez-le ensuite dans le formule indiquée pour calculer la racine carrée et obtenir un nouveau nombre un 1, qui sera déjà plus proche de la valeur souhaitée. Après cela, il est nécessaire de remplacer un 1 dans l'expression et d'obtenir un 2. Cette procédure doit être répétée jusqu'à ce que. la précision requise est obtenue.

Un exemple d'utilisation de la formule itérative de Heron

L'algorithme décrit ci-dessus pour obtenir la racine carrée d'un nombre donné peut sembler assez compliqué et déroutant pour beaucoup, mais en réalité tout s'avère beaucoup plus simple, puisque cette formule converge très rapidement (surtout si un nombre réussi a 0 est choisi) .

Donnons un exemple simple : vous devez calculer √11. Choisissons un 0 = 3, puisque 3 2 = 9, qui est plus proche de 11 que 4 2 = 16. En substituant dans la formule, nous obtenons :

une 1 = 1/2(3 + 11/3) = 3,333333 ;

une 2 = 1/2(3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668 ;

une 3 = 1/2(3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.

Il ne sert à rien de poursuivre les calculs, puisque nous avons constaté qu'un 2 et un 3 ne commencent à différer qu'à la 5ème décimale. Ainsi, il suffisait d'appliquer la formule seulement 2 fois pour calculer √11 avec une précision de 0,0001.

De nos jours, les calculatrices et les ordinateurs sont largement utilisés pour calculer les racines, cependant, il est utile de se souvenir de la formule marquée afin de pouvoir calculer manuellement leur valeur exacte.

Équations du second ordre

Comprendre ce qu'est une racine carrée et la capacité de la calculer est utilisé pour résoudre des équations quadratiques. Ces équations sont appelées égalités à une inconnue dont la forme générale est représentée dans la figure ci-dessous.

Ici, c, b et a représentent des nombres, et a ne doit pas être égal à zéro, et les valeurs de c et b peuvent être complètement arbitraires, y compris égales à zéro.

Toutes les valeurs de x qui satisfont à l'égalité indiquée sur la figure sont appelées ses racines (ce concept ne doit pas être confondu avec la racine carrée √). Puisque l'équation considérée est du 2ème ordre (x 2), alors il ne peut y avoir plus de deux racines pour elle. Examinons plus loin dans l'article comment trouver ces racines.

Trouver les racines d'une équation quadratique (formule)

Cette méthode de résolution du type d'égalités considéré est également appelée méthode universelle, ou méthode discriminante. Il peut être utilisé pour toutes les équations quadratiques. La formule du discriminant et des racines de l’équation quadratique est la suivante :

Il montre que les racines dépendent de la valeur de chacun des trois coefficients de l'équation. De plus, le calcul de x 1 ne diffère du calcul de x 2 que par le signe devant la racine carrée. L'expression radicale, qui est égale à b 2 - 4ac, n'est rien d'autre que le discriminant de l'égalité en question. Le discriminant dans la formule des racines d’une équation quadratique joue un rôle important car il détermine le nombre et le type de solutions. Ainsi, s'il est égal à zéro, alors il n'y aura qu'une seule solution, s'il est positif, alors l'équation a deux racines réelles, et enfin, un discriminant négatif conduit à deux racines complexes x 1 et x 2.

Théorème de Vieta ou quelques propriétés des racines des équations du second ordre

A la fin du XVIe siècle, l'un des fondateurs de l'algèbre moderne, un Français, étudiant les équations du second ordre, put obtenir les propriétés de ses racines. Mathématiquement, ils peuvent s'écrire ainsi :

x 1 + x 2 = -b/a et x 1 * x 2 = c/a.

Les deux égalités peuvent être facilement obtenues par n'importe qui ; pour ce faire, il suffit d'effectuer les opérations mathématiques appropriées avec les racines obtenues grâce à la formule avec le discriminant.

La combinaison de ces deux expressions peut à juste titre être appelée la deuxième formule des racines d'une équation quadratique, qui permet de deviner ses solutions sans utiliser de discriminant. Il convient de noter ici que même si les deux expressions sont toujours valides, il n’est pratique de les utiliser pour résoudre une équation que si elle peut être factorisée.

La tâche de consolider les connaissances acquises

Résolvons un problème mathématique dans lequel nous démontrerons toutes les techniques abordées dans l'article. Les conditions du problème sont les suivantes : vous devez trouver deux nombres dont le produit est -13 et la somme est 4.

Cette condition rappelle immédiatement le théorème de Vieta ; en utilisant les formules de la somme des racines carrées et de leur produit, on écrit :

x 1 + x 2 = -b / a = 4 ;

x 1 * x 2 = c / a = -13.

Si nous supposons que a = 1, alors b = -4 et c = -13. Ces coefficients nous permettent de créer une équation du second ordre :

x2 - 4x - 13 = 0.

Utilisons la formule avec le discriminant et obtenons les racines suivantes :

x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Autrement dit, le problème se réduisait à trouver le nombre √68. Notez que 68 = 4 * 17, alors, en utilisant la propriété racine carrée, nous obtenons : √68 = 2√17.

Utilisons maintenant la formule de racine carrée considérée : a 0 = 4, alors :

une 1 = 1/2(4 + 17/4) = 4,125 ;

une 2 = 1/2(4,125 + 17/4,125) = 4,1231.

Il n'est pas nécessaire de calculer un 3 puisque les valeurs trouvées ne diffèrent que de 0,02. Ainsi, √68 = 8,246. En le substituant dans la formule pour x 1,2, nous obtenons :

x 1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 et x 2 = (4 - 8,246)/2 = -2,123.

Comme on peut le voir, la somme des nombres trouvés est en réalité égale à 4, mais si l'on trouve leur produit, alors il sera égal à -12,999, ce qui satisfait aux conditions du problème avec une précision de 0,001.

Avec ce programme de mathématiques, vous pouvez résoudre une équation quadratique.

Le programme donne non seulement la réponse au problème, mais affiche également le processus de solution de deux manières :
- utiliser un discriminant
- en utilisant le théorème de Vieta (si possible).

De plus, la réponse est affichée comme étant exacte et non approximative.
Par exemple, pour l'équation \(81x^2-16x-1=0\), la réponse s'affiche sous la forme suivante :

Ce programme peut être utile aux lycéens des écoles d'enseignement général lors de la préparation des tests et des examens, lors du test des connaissances avant l'examen d'État unifié et aux parents pour contrôler la solution de nombreux problèmes de mathématiques et d'algèbre.

Ou peut-être que cela vous coûte trop cher d’embaucher un tuteur ou d’acheter de nouveaux manuels ? Ou souhaitez-vous simplement terminer vos devoirs de mathématiques ou d’algèbre le plus rapidement possible ? Dans ce cas, vous pouvez également utiliser nos programmes avec des solutions détaillées.

De cette façon, vous pouvez organiser votre propre formation et/ou celle de vos jeunes frères ou sœurs, tandis que le niveau d'éducation dans le domaine de la résolution de problèmes augmente.

Si vous n'êtes pas familier avec les règles de saisie d'un polynôme quadratique, nous vous recommandons de vous familiariser avec elles.

Règles de saisie d'un polynôme quadratique
N'importe quelle lettre latine peut servir de variable.

Par exemple : \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.
Les nombres peuvent être saisis sous forme de nombres entiers ou fractionnaires.

De plus, les nombres fractionnaires peuvent être saisis non seulement sous forme décimale, mais également sous forme de fraction ordinaire.
Règles de saisie des fractions décimales.
Dans les fractions décimales, la partie fractionnaire peut être séparée de la partie entière par un point ou une virgule.

Par exemple, vous pouvez saisir des décimales comme ceci : 2,5x - 3,5x^2
Règles de saisie des fractions ordinaires.

Seul un nombre entier peut servir de numérateur, de dénominateur et de partie entière d’une fraction.

Le dénominateur ne peut pas être négatif. /
La partie entière est séparée de la fraction par le signe esperluette : &
Entrée : 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Résultat : \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Lors de la saisie d'une expression tu peux utiliser des parenthèses. Dans ce cas, lors de la résolution d'une équation quadratique, l'expression introduite est d'abord simplifiée.
Par exemple : 1/2(a-1)(a+1)-(5a-10&1/2)

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Un peu de théorie.

Équation quadratique et ses racines. Équations quadratiques incomplètes

Chacune des équations
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
ressemble à
\(ax^2+bx+c=0, \)
où x est une variable, a, b et c sont des nombres.
Dans la première équation a = -1, b = 6 et c = 1,4, dans la seconde a = 8, b = -7 et c = 0, dans la troisième a = 1, b = 0 et c = 4/9. De telles équations sont appelées équations du second degré.

Définition.
Équation quadratique est appelée une équation de la forme ax 2 +bx+c=0, où x est une variable, a, b et c sont des nombres et \(a \neq 0 \).

Les nombres a, b et c sont les coefficients de l'équation quadratique. Le nombre a est appelé premier coefficient, le nombre b est le deuxième coefficient et le nombre c est le terme libre.

Dans chacune des équations de la forme ax 2 +bx+c=0, où \(a\neq 0\), la plus grande puissance de la variable x est un carré. D'où le nom : équation quadratique.

Notez qu'une équation quadratique est aussi appelée équation du deuxième degré, puisque son côté gauche est un polynôme du deuxième degré.

Une équation quadratique dans laquelle le coefficient de x 2 est égal à 1 est appelée équation quadratique donnée. Par exemple, les équations quadratiques données sont les équations
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Si dans une équation quadratique ax 2 +bx+c=0 au moins un des coefficients b ou c est égal à zéro, alors une telle équation est appelée équation quadratique incomplète. Ainsi, les équations -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 sont des équations quadratiques incomplètes. Dans le premier d’entre eux b=0, dans le deuxième c=0, dans le troisième b=0 et c=0.

Il existe trois types d'équations quadratiques incomplètes :
1) ax 2 +c=0, où \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, où \(b \neq 0 \);
3) hache 2 =0.

Considérons la résolution d'équations de chacun de ces types.

Pour résoudre une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 +c=0 pour \(c \neq 0 \), déplacez son terme libre vers la droite et divisez les deux côtés de l'équation par a :
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Puisque \(c \neq 0 \), alors \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Si \(-\frac(c)(a)>0\), alors l'équation a deux racines.

Si \(-\frac(c)(a) Résoudre une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 +bx=0 avec \(b \neq 0 \) factoriser son côté gauche et obtenir l'équation
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right.

Cela signifie qu'une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 +bx=0 pour \(b \neq 0 \) a toujours deux racines.

Une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 =0 est équivalente à l'équation x 2 =0 et a donc une seule racine 0.

Formule pour les racines d'une équation quadratique

Voyons maintenant comment résoudre des équations quadratiques dans lesquelles les coefficients des inconnues et le terme libre sont non nuls.

Résolvons l'équation quadratique sous forme générale et obtenons ainsi la formule des racines. Cette formule peut ensuite être utilisée pour résoudre n’importe quelle équation quadratique.

Résolvons l'équation quadratique axe 2 +bx+c=0

En divisant les deux côtés par a, nous obtenons l'équation quadratique réduite équivalente
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Transformons cette équation en sélectionnant le carré du binôme :
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

L'expression radicale s'appelle discriminant d'une équation quadratique ax 2 +bx+c=0 (« discriminant » en latin - discriminateur). Il est désigné par la lettre D, c'est-à-dire
\(D = b^2-4ac\)

Maintenant, en utilisant la notation discriminante, nous réécrivons la formule des racines de l'équation quadratique :
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), où \(D= b^2-4ac \)

Il est évident que:
1) Si D>0, alors l'équation quadratique a deux racines.
2) Si D=0, alors l'équation quadratique a une racine \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Si D Ainsi, selon la valeur du discriminant, une équation quadratique peut avoir deux racines (pour D > 0), une racine (pour D = 0) ou n'avoir aucune racine (pour D). Lors de la résolution d'une équation quadratique en utilisant ce formule, il est conseillé de procéder de la manière suivante :
1) calculer le discriminant et le comparer à zéro ;
2) si le discriminant est positif ou égal à zéro, alors utilisez la formule racine si le discriminant est négatif, notez qu'il n'y a pas de racines ;

Théorème de Vieta

L'équation quadratique donnée ax 2 -7x+10=0 a les racines 2 et 5. La somme des racines est 7 et le produit est 10. On voit que la somme des racines est égale au deuxième coefficient pris avec l'opposé signe, et le produit des racines est égal au terme libre. Toute équation quadratique réduite ayant des racines possède cette propriété.

La somme des racines de l'équation quadratique ci-dessus est égale au deuxième coefficient pris de signe opposé, et le produit des racines est égal au terme libre.

Ceux. Le théorème de Vieta stipule que les racines x 1 et x 2 de l'équation quadratique réduite x 2 +px+q=0 ont la propriété :
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Dans la société moderne, la capacité d'effectuer des opérations avec des équations contenant une variable carrée peut être utile dans de nombreux domaines d'activité et est largement utilisée dans la pratique dans les développements scientifiques et techniques. On en trouve des preuves dans la conception des navires maritimes et fluviaux, des avions et des missiles. À l'aide de tels calculs, les trajectoires de mouvement d'une grande variété de corps, y compris des objets spatiaux, sont déterminées. Les exemples de résolution d'équations quadratiques sont utilisés non seulement dans les prévisions économiques, dans la conception et la construction de bâtiments, mais également dans les circonstances quotidiennes les plus ordinaires. Ils peuvent être nécessaires lors de randonnées, lors d'événements sportifs, dans les magasins pour faire des achats et dans d'autres situations très courantes.

Décomposons l'expression en ses facteurs constitutifs

Le degré d'une équation est déterminé par la valeur maximale du degré de la variable que contient l'expression. S'il est égal à 2, alors une telle équation est dite quadratique.

Si nous parlons dans le langage des formules, alors les expressions indiquées, quelle que soit leur apparence, peuvent toujours être mises sous la forme lorsque le côté gauche de l'expression est constitué de trois termes. Parmi eux : ax 2 (c'est-à-dire une variable au carré avec son coefficient), bx (une inconnue sans carré avec son coefficient) et c (une composante libre, c'est-à-dire un nombre ordinaire). Tout cela du côté droit est égal à 0. Dans le cas où un tel polynôme manque d'un de ses termes constitutifs, à l'exception de l'axe 2, on parle d'équation quadratique incomplète. Des exemples de solutions à de tels problèmes, dans lesquels les valeurs des variables sont faciles à trouver, doivent être considérés en premier.

Si l'expression semble telle que l'expression du côté droit comporte deux termes, plus précisément ax 2 et bx, le moyen le plus simple de trouver x est de placer la variable entre parenthèses. Maintenant, notre équation ressemblera à ceci : x(ax+b). Ensuite, il devient évident que soit x=0, soit le problème revient à trouver une variable à partir de l'expression suivante : ax+b=0. Ceci est dicté par l'une des propriétés de la multiplication. La règle stipule que le produit de deux facteurs donne 0 seulement si l’un d’eux est nul.

Exemple

x=0 ou 8x - 3 = 0

En conséquence, nous obtenons deux racines de l'équation : 0 et 0,375.

Des équations de ce type peuvent décrire le mouvement de corps sous l'influence de la gravité, qui ont commencé à se déplacer à partir d'un certain point pris comme origine des coordonnées. Ici la notation mathématique prend la forme suivante : y = v 0 t + gt 2 /2. En substituant les valeurs nécessaires, en assimilant le côté droit à 0 et en trouvant d'éventuelles inconnues, vous pouvez connaître le temps qui s'écoule depuis le moment où le corps se lève jusqu'au moment où il tombe, ainsi que de nombreuses autres quantités. Mais nous en reparlerons plus tard.

Factoriser une expression

La règle décrite ci-dessus permet de résoudre ces problèmes dans des cas plus complexes. Regardons des exemples de résolution d'équations quadratiques de ce type.

X2 - 33x + 200 = 0

Ce trinôme quadratique est complet. Tout d’abord, transformons l’expression et factorisons-la. Il y en a deux : (x-8) et (x-25) = 0. On a donc deux racines 8 et 25.

Des exemples de résolution d'équations quadratiques en 9e année permettent avec cette méthode de trouver une variable dans des expressions non seulement du deuxième, mais même du troisième et du quatrième ordre.

Par exemple : 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Lors de la factorisation du côté droit en facteurs avec une variable, il y en a trois, à savoir (x+1), (x-3) et (x+ 3).

En conséquence, il devient évident que cette équation a trois racines : -3 ; -1; 3.

Racine carrée

Un autre cas d'équation incomplète du second ordre est une expression représentée dans le langage des lettres de telle manière que le membre de droite est construit à partir des composantes ax 2 et c. Ici, pour obtenir la valeur de la variable, le terme libre est transféré vers la droite, puis la racine carrée est extraite des deux côtés de l'égalité. Il convient de noter que dans ce cas, l’équation a généralement deux racines. Les seules exceptions peuvent être les égalités qui ne contiennent aucun terme avec, où la variable est égale à zéro, ainsi que les variantes d'expressions lorsque le côté droit est négatif. Dans ce dernier cas, il n'y a aucune solution, puisque les actions ci-dessus ne peuvent pas être effectuées avec des racines. Des exemples de solutions à des équations quadratiques de ce type doivent être pris en compte.

Dans ce cas, les racines de l’équation seront les nombres -4 et 4.

Calcul de la superficie du terrain

La nécessité de ce type de calculs est apparue dans l'Antiquité, car le développement des mathématiques à cette époque lointaine était largement déterminé par la nécessité de déterminer avec la plus grande précision les superficies et les périmètres des parcelles.

Nous devrions également considérer des exemples de résolution d’équations quadratiques basées sur des problèmes de ce type.

Supposons donc qu'il y ait un terrain rectangulaire dont la longueur est supérieure de 16 mètres à la largeur. Vous devriez connaître la longueur, la largeur et le périmètre du terrain si vous savez que sa superficie est de 612 m2.

Pour commencer, créons d’abord l’équation nécessaire. Notons x la largeur de la zone, alors sa longueur sera (x+16). De ce qui a été écrit, il s'ensuit que l'aire est déterminée par l'expression x(x+16), qui, selon les conditions de notre problème, est 612. Cela signifie que x(x+16) = 612.

La résolution d’équations quadratiques complètes, et cette expression est exactement cela, ne peut pas se faire de la même manière. Pourquoi? Bien que le côté gauche contienne toujours deux facteurs, leur produit n’est pas du tout égal à 0, c’est pourquoi différentes méthodes sont utilisées ici.

Discriminant

Tout d'abord, nous ferons les transformations nécessaires, puis l'apparition de cette expression ressemblera à ceci : x 2 + 16x - 612 = 0. Cela signifie que nous avons reçu l'expression sous une forme correspondant à la norme spécifiée précédemment, où a=1, b=16, c= -612.

Cela pourrait être un exemple de résolution d’équations quadratiques à l’aide d’un discriminant. Ici, les calculs nécessaires sont effectués selon le schéma : D = b 2 - 4ac. Cette grandeur auxiliaire permet non seulement de trouver les grandeurs recherchées dans une équation du second ordre, elle détermine le nombre d'options possibles. Si D>0, il y en a deux ; pour D=0, il y a une racine. Dans le cas D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

À propos des racines et de leur formule

Dans notre cas, le discriminant est égal à : 256 - 4(-612) = 2704. Cela suggère que notre problème a une réponse. Si vous connaissez k, la solution des équations quadratiques doit être poursuivie en utilisant la formule ci-dessous. Il permet de calculer les racines.

Cela signifie que dans le cas présenté : x 1 =18, x 2 =-34. La deuxième option dans ce dilemme ne peut pas être une solution, car les dimensions du terrain ne peuvent pas être mesurées en quantités négatives, ce qui signifie que x (c'est-à-dire la largeur du terrain) est de 18 m. À partir de là, nous calculons la longueur : 18. +16=34, et le périmètre 2(34+ 18)=104(m2).

Exemples et tâches

Nous poursuivons notre étude des équations quadratiques. Des exemples et des solutions détaillées de plusieurs d’entre eux seront donnés ci-dessous.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Déplaçons tout vers la gauche de l'égalité, effectuons une transformation, c'est-à-dire que nous obtenons la forme de l'équation, généralement appelée standard, et l'assimilons à zéro.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

En ajoutant des similaires, nous déterminons le discriminant : D = 49 - 48 = 1. Cela signifie que notre équation aura deux racines. Calculons-les selon la formule ci-dessus, ce qui signifie que le premier d'entre eux sera égal à 4/3 et le second à 1.

2) Résolvons maintenant des mystères d'un autre genre.

Voyons s'il y a des racines ici x 2 - 4x + 5 = 1 ? Pour obtenir une réponse complète, réduisons le polynôme à la forme habituelle correspondante et calculons le discriminant. Dans l’exemple ci-dessus, il n’est pas nécessaire de résoudre l’équation quadratique, car ce n’est pas du tout l’essence du problème. Dans ce cas, D = 16 - 20 = -4, ce qui signifie qu’il n’y a vraiment pas de racines.

Théorème de Vieta

Il est pratique de résoudre des équations quadratiques en utilisant les formules ci-dessus et le discriminant, lorsque la racine carrée est extraite de la valeur de ce dernier. Mais cela n’arrive pas toujours. Cependant, il existe de nombreuses façons d'obtenir les valeurs des variables dans ce cas. Exemple : résolution d'équations quadratiques à l'aide du théorème de Vieta. Elle porte le nom de celui qui vécut au XVIe siècle en France et fit une brillante carrière grâce à ses talents mathématiques et ses relations à la cour. Son portrait est visible dans l'article.

Le schéma remarqué par le célèbre Français était le suivant. Il a prouvé que les racines de l’équation totalisent numériquement -p=b/a et que leur produit correspond à q=c/a.

Examinons maintenant les tâches spécifiques.

3x2 + 21x-54 = 0

Pour plus de simplicité, transformons l'expression :

x2 + 7x - 18 = 0

Utilisons le théorème de Vieta, cela nous donnera ceci : la somme des racines est -7, et leur produit est -18. De là, nous obtenons que les racines de l'équation sont les nombres -9 et 2. Après vérification, nous nous assurerons que ces valeurs variables correspondent réellement à l'expression.

Graphique et équation parabolique

Les concepts de fonction quadratique et d'équations quadratiques sont étroitement liés. Des exemples en ont déjà été donnés plus tôt. Examinons maintenant quelques énigmes mathématiques plus en détail. Toute équation du type décrit peut être représentée visuellement. Une telle relation, dessinée sous forme de graphique, s’appelle une parabole. Ses différents types sont présentés dans la figure ci-dessous.

Toute parabole a un sommet, c'est-à-dire un point d'où émergent ses branches. Si a>0, ils vont vers l'infini, et quand a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Les représentations visuelles des fonctions aident à résoudre toutes les équations, y compris les équations quadratiques. Cette méthode est dite graphique. Et la valeur de la variable x est la coordonnée en abscisse aux points où la ligne graphique coupe 0x. Les coordonnées du sommet peuvent être trouvées en utilisant la formule qui vient d'être donnée x 0 = -b/2a. Et en substituant la valeur résultante dans l'équation originale de la fonction, vous pouvez découvrir y 0, c'est-à-dire la deuxième coordonnée du sommet de la parabole, qui appartient à l'axe des ordonnées.

L'intersection des branches d'une parabole avec l'axe des abscisses

Il existe de nombreux exemples de résolution d'équations quadratiques, mais il existe également des modèles généraux. Regardons-les. Il est clair que l'intersection du graphique avec l'axe 0x pour a>0 n'est possible que si 0 prend des valeurs négatives. Et pour un<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Sinon D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

À partir du graphique de la parabole, vous pouvez également déterminer les racines. L'inverse est également vrai. Autrement dit, s'il n'est pas facile d'obtenir une représentation visuelle d'une fonction quadratique, vous pouvez assimiler le côté droit de l'expression à 0 et résoudre l'équation résultante. Et connaissant les points d'intersection avec l'axe 0x, il est plus facile de construire un graphique.

De l'histoire

En utilisant des équations contenant une variable carrée, autrefois, ils effectuaient non seulement des calculs mathématiques et déterminaient les aires des figures géométriques. Les anciens avaient besoin de tels calculs pour réaliser de grandes découvertes dans les domaines de la physique et de l'astronomie, ainsi que pour faire des prévisions astrologiques.

Comme le suggèrent les scientifiques modernes, les habitants de Babylone ont été parmi les premiers à résoudre des équations quadratiques. Cela s'est produit quatre siècles avant notre ère. Bien entendu, leurs calculs étaient radicalement différents de ceux actuellement acceptés et se sont révélés beaucoup plus primitifs. Par exemple, les mathématiciens mésopotamiens n’avaient aucune idée de l’existence des nombres négatifs. Ils n'étaient pas non plus familiers avec d'autres subtilités que tout écolier moderne connaît.

Peut-être même avant les scientifiques de Babylone, le sage indien Baudhayama a commencé à résoudre des équations quadratiques. Cela s'est produit environ huit siècles avant l'ère du Christ. Certes, les équations du second ordre, les méthodes de résolution qu'il a données, étaient les plus simples. Outre lui, des mathématiciens chinois s’intéressaient également autrefois à des questions similaires. En Europe, les équations quadratiques n'ont commencé à être résolues qu'au début du XIIIe siècle, mais elles ont ensuite été utilisées dans leurs travaux par de grands scientifiques tels que Newton, Descartes et bien d'autres.

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. 1

1 Établissement d'enseignement budgétaire municipal école secondaire n°11

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Histoire des équations quadratiques

Babylone

La nécessité de résoudre des équations non seulement du premier degré, mais aussi du second, dans les temps anciens, était due à la nécessité de résoudre des problèmes liés à la recherche des superficies des parcelles terrestres, avec le développement de l'astronomie et des mathématiques elles-mêmes. Les équations quadratiques ont pu être résolues vers 2000 avant JC. e. Babyloniens. Les règles pour résoudre ces équations énoncées dans les textes babyloniens sont essentiellement les mêmes que celles modernes, mais ces textes manquent du concept de nombre négatif et de méthodes générales pour résoudre les équations quadratiques.

La Grèce ancienne

Dans la Grèce antique, des scientifiques tels que Diophante, Euclide et Héron ont également travaillé sur la résolution d’équations quadratiques. Diophantus Diophantus d'Alexandrie est un mathématicien grec ancien qui a vraisemblablement vécu au 3ème siècle après JC. L'œuvre principale de Diophante est « l'Arithmétique » en 13 livres. Euclide. Euclide est un mathématicien grec ancien, auteur du premier traité théorique de mathématiques qui nous soit parvenu, Héron. Héron - mathématicien et ingénieur grec apparu pour la première fois en Grèce au 1er siècle après JC. donne une manière purement algébrique de résoudre une équation quadratique

Inde

Des problèmes sur les équations quadratiques se retrouvent déjà dans le traité astronomique « Aryabhattiam », compilé en 499 par le mathématicien et astronome indien Aryabhatta. Un autre scientifique indien, Brahmagupta (VIIe siècle), a esquissé la règle générale de résolution des équations quadratiques réduites à une seule forme canonique : ax2 + bx = c, a> 0. (1) Dans l'équation (1) les coefficients peuvent être négatifs. La règle de Brahmagupta est essentiellement la même que la nôtre. Les concours publics visant à résoudre des problèmes difficiles étaient courants en Inde. Un vieux livre indien dit à propos de ces concours : « De même que le soleil éclipse les étoiles par son éclat, de même un homme érudit éclipsera sa gloire dans les assemblées publiques en proposant et en résolvant des problèmes algébriques. » Les problèmes étaient souvent présentés sous forme poétique.

C’est l’un des problèmes du célèbre mathématicien indien du XIIe siècle. Bhaskars.

"Un troupeau de singes fringants

Et douze au bord des vignes, après avoir mangé à cœur joie, se sont amusés

Ils ont commencé à sauter, à se suspendre

La huitième partie d'entre eux au carré

Combien y avait-il de singes ?

Je m'amusais dans la clairière

Dis-moi, dans ce pack ?

La solution de Bhaskara indique que l'auteur savait que les racines des équations quadratiques sont à deux valeurs. Bhaskar écrit l'équation correspondant au problème sous la forme x2 - 64x = - 768 et, afin de compléter le côté gauche de cette équation en un carré, ajoute 322 aux deux côtés, obtenant alors : x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 , (x - 32)2 = 256, x - 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48.

Les équations quadratiques dans l'Europe du XVIIe siècle

Les formules permettant de résoudre des équations quadratiques sur le modèle d'Al-Khorezmi en Europe ont été présentées pour la première fois dans le Livre de l'Abacus, écrit en 1202 par le mathématicien italien Leonardo Fibonacci. Cet ouvrage volumineux, qui reflète l'influence des mathématiques, tant des pays d'Islam que de la Grèce antique, se distingue par son exhaustivité et la clarté de sa présentation. L'auteur a développé de manière indépendante de nouveaux exemples algébriques de résolution de problèmes et a été le premier en Europe à aborder l'introduction de nombres négatifs. Son livre a contribué à la diffusion des connaissances algébriques non seulement en Italie, mais aussi en Allemagne, en France et dans d'autres pays européens. De nombreux problèmes du Livre de l'Abacus ont été utilisés dans presque tous les manuels européens des XVIe et XVIIe siècles. et en partie XVIII. La dérivation de la formule pour résoudre une équation quadratique sous forme générale est disponible auprès de Vieth, mais Vieth n'a reconnu que les racines positives. Les mathématiciens italiens Tartaglia, Cardano, Bombelli furent parmi les premiers au XVIe siècle. En plus des racines positives, les racines négatives sont également prises en compte. Seulement au 17ème siècle. Grâce aux travaux de Girard, Descartes, Newton et d'autres scientifiques, la méthode de résolution des équations quadratiques prend une forme moderne.

Définition d'une équation quadratique

Une équation de la forme ax 2 + bx + c = 0, où a, b, c sont des nombres, est dite quadratique.

Coefficients d'équation quadratique

Les nombres a, b, c sont les coefficients de l'équation quadratique. a est le premier coefficient (avant x²), a ≠ 0 ;

Laquelle de ces équations n’est pas quadratique ??

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x-7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0 ;

7. 4x² + 1 = 0;8. x² - 1/x = 0;9. 2x² -x = 0;10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

Types d'équations quadratiques

Réduit est une équation quadratique dans laquelle le coefficient principal est égal à un. Une telle équation peut être obtenue en divisant l'expression entière par le coefficient dominant un:

X 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

Une équation quadratique est dite complète si tous ses coefficients sont différents de zéro.

Une équation quadratique est dite incomplète dans laquelle au moins un des coefficients, à l'exception du premier (soit le deuxième coefficient, soit le terme libre), est égal à zéro.

Méthodes de résolution d'équations quadratiques

Méthode I Formule générale de calcul des racines

Pour trouver les racines d'une équation quadratique hache 2 + b + c = 0 En général, vous devez utiliser l'algorithme ci-dessous :

Calculer la valeur du discriminant d'une équation quadratique : voici son expression D= b 2 - 4ac

Dérivation de la formule :

Note: Il est évident que la formule d'une racine de multiplicité 2 est un cas particulier de la formule générale, obtenue en y substituant l'égalité D=0, et la conclusion sur l'absence de racines réelles en D0, et (displaystyle (sqrt ( -1))=i) = je.

La méthode présentée est universelle, mais elle est loin d'être la seule. La résolution d’une seule équation peut être abordée de différentes manières, les préférences dépendant généralement du solveur. De plus, souvent à cette fin, certaines méthodes s'avèrent beaucoup plus élégantes, simples et moins laborieuses que la méthode standard.

IIème méthode. Racines d'une équation quadratique à coefficient pair b Méthode III. Résolution d'équations quadratiques incomplètes

Méthode IV. Utilisation de rapports partiels de coefficients

Il existe des cas particuliers d'équations quadratiques dans lesquelles les coefficients sont en relation les uns avec les autres, ce qui les rend beaucoup plus faciles à résoudre.

Racines d'une équation quadratique dans laquelle la somme du coefficient dominant et du terme libre est égale au deuxième coefficient

Si dans une équation quadratique hache 2 + bx + c = 0 la somme du premier coefficient et du terme libre est égale au deuxième coefficient : a+b=c, alors ses racines sont -1 et le nombre opposé au rapport du terme libre au coefficient dominant ( -Californie).

Par conséquent, avant de résoudre une équation quadratique, vous devez vérifier la possibilité de lui appliquer ce théorème : comparer la somme du coefficient principal et du terme libre avec le deuxième coefficient.

Racines d'une équation quadratique dont la somme de tous les coefficients est nulle

Si dans une équation quadratique la somme de tous ses coefficients est nulle, alors les racines d'une telle équation sont 1 et le rapport du terme libre au coefficient dominant ( Californie).

Par conséquent, avant de résoudre une équation à l'aide de méthodes standards, vous devez vérifier l'applicabilité de ce théorème : additionnez tous les coefficients de cette équation et voyez si cette somme n'est pas égale à zéro.

Méthode V. Factorisation d'un trinôme quadratique en facteurs linéaires

Si le trinôme est de la forme (style d'affichage hache ^ (2) + bx + c (anot = 0)) hache 2 + bx + c(une ≠ 0) peut en quelque sorte être représenté comme un produit de facteurs linéaires (displaystyle (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), alors nous pouvons trouver les racines de l'équation hache 2 + bx + c = 0- ils seront -m/k et n/l, en effet, après tout (displaystyle (kx+m)(lx+n)=0Longleftrightarrow kx+m=0cup lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n, et après avoir résolu les équations linéaires indiquées, nous obtenons ce qui précède. A noter que le trinôme quadratique ne se décompose pas toujours en facteurs linéaires à coefficients réels : cela est possible si l'équation correspondante a des racines réelles.

Considérons quelques cas particuliers

Utilisation de la formule de la somme au carré (différence)

Si le trinôme quadratique a la forme (displaystyle (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 , alors en lui appliquant la formule ci-dessus, nous pouvons le factoriser en facteurs linéaires et , donc, trouvez des racines :

(hache) 2 + 2abx + b 2 = (hache + b) 2

Isoler le carré complet de la somme (différence)

La formule ci-dessus est également utilisée en utilisant une méthode appelée « sélection du carré complet de la somme (différence) ». Par rapport à l’équation quadratique ci-dessus avec la notation introduite précédemment, cela signifie ce qui suit :

Note: Si vous remarquez, cette formule coïncide avec celle proposée dans la section « Racines de l'équation quadratique réduite », qui, à son tour, peut être obtenue à partir de la formule générale (1) en substituant l'égalité a=1. Ce fait n'est pas une simple coïncidence : en utilisant la méthode décrite, bien qu'avec quelques raisonnements supplémentaires, on peut dériver une formule générale et également prouver les propriétés du discriminant.

Méthode VI. Utilisation du théorème de Vieta direct et inverse

Le théorème direct de Vieta (voir ci-dessous dans la section du même nom) et son théorème inverse permettent de résoudre oralement les équations quadratiques ci-dessus, sans recourir à des calculs assez fastidieux utilisant la formule (1).

Selon le théorème inverse, chaque paire de nombres (nombre) (displaystyle x_(1),x_(2))x 1, x 2, étant une solution du système d'équations ci-dessous, sont les racines de l'équation

Dans le cas général, c'est-à-dire pour une équation quadratique non réduite ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -b/a, x 1 * x 2 = c/a

Un théorème direct vous aidera à trouver des nombres qui satisfont oralement à ces équations. Avec son aide, vous pouvez déterminer les signes des racines sans connaître les racines elles-mêmes. Pour ce faire, vous devez suivre la règle :

1) si le terme libre est négatif, alors les racines ont des signes différents, et la plus grande en valeur absolue des racines a un signe opposé au signe du deuxième coefficient de l'équation ;

2) si le terme libre est positif, alors les deux racines ont le même signe, et c'est le signe opposé au signe du deuxième coefficient.

Méthode VII. Méthode de transfert

La méthode dite de « transfert » permet de réduire la solution d'équations non réduites et irréductibles à la forme d'équations réduites à coefficients entiers en les divisant par le coefficient dominant à la solution d'équations réduites à coefficients entiers. C'est le suivant :

Ensuite, l'équation est résolue oralement de la manière décrite ci-dessus, puis ils reviennent à la variable d'origine et trouvent les racines des équations (displaystyle y_(1)=ax_(1)) oui 1 =hache 1 Et oui 2 =hache 2 .(style d'affichage y_(2)=ax_(2))

Signification géométrique

Le graphique d'une fonction quadratique est une parabole. Les solutions (racines) d'une équation quadratique sont les abscisses des points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses. Si la parabole décrite par une fonction quadratique ne coupe pas l'axe des x, l'équation n'a pas de véritables racines. Si une parabole coupe l'axe des x en un point (au sommet de la parabole), l'équation a une racine réelle (on dit aussi que l'équation a deux racines coïncidantes). Si la parabole coupe l'axe des x en deux points, l'équation a deux racines réelles (voir l'image de droite.)

Si coefficient (style d'affichage a) un positif, les branches de la parabole sont dirigées vers le haut et vice versa. Si le coefficient (style d'affichage b) bpositif (si positif (style d'affichage a) un, si négatif, vice versa), alors le sommet de la parabole se situe dans le demi-plan gauche et vice versa.

Application des équations quadratiques dans la vie

L'équation quadratique est largement utilisée. Il est utilisé dans de nombreux calculs, structures, sports, et aussi autour de nous.

Considérons et donnons quelques exemples d'application de l'équation quadratique.

Sport. Sauts en hauteur : lors de l'élan du sauteur, des calculs liés à la parabole sont utilisés pour obtenir l'impact le plus net possible sur la barre d'envol et le vol en hauteur.

De plus, des calculs similaires sont nécessaires pour le lancer. La portée de vol d'un objet dépend de l'équation quadratique.

Astronomie. La trajectoire des planètes peut être trouvée à l’aide d’une équation quadratique.

Vol d'avion. Le décollage d’un avion est l’élément principal du vol. Nous prenons ici le calcul de la faible résistance et de l'accélération du décollage.

Les équations quadratiques sont également utilisées dans diverses disciplines économiques, dans des programmes de traitement de graphiques audio, vidéo, vectoriels et raster.

Conclusion

À la suite des travaux effectués, il s'est avéré que les équations quadratiques ont attiré les scientifiques dans l'Antiquité ; ils les avaient déjà rencontrées lors de la résolution de certains problèmes et essayaient de les résoudre. En examinant différentes manières de résoudre des équations quadratiques, je suis arrivé à la conclusion qu'elles ne sont pas toutes simples. À mon avis, la meilleure façon de résoudre des équations quadratiques est de les résoudre à l’aide de formules. Les formules sont faciles à retenir, cette méthode est universelle. L'hypothèse selon laquelle les équations sont largement utilisées dans la vie et en mathématiques a été confirmée. Après avoir étudié le sujet, j'ai appris de nombreux faits intéressants sur les équations quadratiques, leur utilisation, leur application, leurs types et leurs solutions. Et je serai heureux de continuer à les étudier. J'espère que cela m'aidera à réussir mes examens.

Liste de la littérature utilisée

Matériaux du chantier :

Wikipédia

Cours ouvert.rf

Manuel de mathématiques élémentaires Vygodsky M. Ya.

", c'est-à-dire les équations du premier degré. Dans cette leçon, nous examinerons ce qu'on appelle une équation quadratique et comment le résoudre.

Qu'est-ce qu'une équation quadratique ?

Important!

Le degré d’une équation est déterminé par le degré le plus élevé auquel se situe l’inconnue.

Si la puissance maximale dans laquelle l’inconnue est « 2 », alors vous avez une équation quadratique.

Exemples d'équations quadratiques

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Important! La forme générale d'une équation quadratique ressemble à ceci :

A x 2 + b x + c = 0

• « a » est le premier ou le coefficient le plus élevé ;
• « b » est le deuxième coefficient ;
• «c» est un membre gratuit.

Pour trouver « a », « b » et « c », vous devez comparer votre équation avec la forme générale de l'équation quadratique « ax 2 + bx + c = 0 ».

Pratiquons-nous à déterminer les coefficients "a", "b" et "c" dans les équations quadratiques.

• une = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

• une = 1
• b = 0,25
• c = 0

• une = 1
• b = 0
• c = −8

Comment résoudre des équations quadratiques

Contrairement aux équations linéaires, une méthode spéciale est utilisée pour résoudre les équations quadratiques. formule pour trouver des racines.

Souviens-toi!

Pour résoudre une équation quadratique, vous avez besoin de :

• amener l'équation quadratique à la forme générale « ax 2 + bx + c = 0 ».
• Autrement dit, seul « 0 » doit rester sur le côté droit ;

utiliser la formule pour les racines :

Regardons un exemple d'utilisation de la formule pour trouver les racines d'une équation quadratique. Résolvons une équation quadratique.

L'équation « x 2 − 3x − 4 = 0 » a déjà été réduite à la forme générale « ax 2 + bx + c = 0 » et ne nécessite pas de simplifications supplémentaires. Pour le résoudre, il suffit d'appliquer formule pour trouver les racines d'une équation quadratique.

Déterminons les coefficients « a », « b » et « c » pour cette équation.

Il peut être utilisé pour résoudre n’importe quelle équation quadratique.

Dans la formule « x 1;2 = », l'expression radicale est souvent remplacée
« b 2 − 4ac » pour la lettre « D » et est appelé discriminant. La notion de discriminant est abordée plus en détail dans la leçon « Qu'est-ce qu'un discriminant ».

Regardons un autre exemple d'équation quadratique.

x2 + 9 + x = 7x

Sous cette forme, il est assez difficile de déterminer les coefficients « a », « b » et « c ». Réduisons d'abord l'équation à la forme générale « ax 2 + bx + c = 0 ».

X2 + 9 +x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Vous pouvez maintenant utiliser la formule pour les racines.

X1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
X =

Il arrive parfois que les équations quadratiques n’aient pas de racines. Cette situation se produit lorsque la formule contient un nombre négatif sous la racine.