Équations quadratiques linéaires et inégalités pour leurs solutions. Inégalités quadratiques

La méthode des intervalles est à juste titre considérée comme une méthode universelle de résolution des inégalités. C'est le plus simple à utiliser pour résoudre des inégalités quadratiques à une variable. Dans ce document, nous examinerons tous les aspects de l'utilisation de la méthode des intervalles pour résoudre les inégalités quadratiques. Pour faciliter l'assimilation de la matière, nous considérerons un grand nombre d'exemples plus ou moins complexes.

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Algorithme d'application de la méthode des intervalles

Considérons un algorithme utilisant la méthode des intervalles dans une version adaptée, adaptée à la résolution d'inégalités quadratiques. C'est cette version de la méthode des intervalles que les étudiants découvrent dans les cours d'algèbre. Ne compliquons pas non plus la tâche.

Passons à l'algorithme lui-même.

Nous avons le trinôme quadratique a · x 2 + b · x + c du côté gauche de l'inégalité quadratique. On retrouve les zéros de ce trinôme.

Dans le système de coordonnées, nous représentons une ligne de coordonnées. Nous y marquons les racines. Pour plus de commodité, nous pouvons introduire différentes manières de noter les points pour les inégalités strictes et non strictes. Convenons que nous utiliserons des points « vides » pour marquer les coordonnées lors de la résolution d'une inégalité stricte, et des points ordinaires pour marquer les non strictes. En marquant les points, nous obtenons plusieurs intervalles sur l'axe des coordonnées.

Si à la première étape nous avons trouvé des zéros, alors nous déterminons les signes des valeurs du trinôme pour chacun des intervalles résultants. Si nous ne recevons pas de zéros, nous effectuons cette action pour toute la droite numérique. Nous marquons les espaces avec les signes «+» ou «-».

De plus, nous introduirons un ombrage dans les cas où nous résolvons des inégalités avec des signes > ou ≥ et< или ≤ . В первом случае штриховка будет наноситься над промежутками, отмеченными « + », во втором над участками, отмеченными « - ».

En notant les signes des valeurs du trinôme et en appliquant un ombrage sur les segments, nous obtenons une image géométrique d'un certain ensemble numérique, qui est en fait une solution de l'inégalité. Tout ce que nous avons à faire est d'écrire la réponse.

Arrêtons-nous plus en détail sur la troisième étape de l'algorithme, qui consiste à déterminer le signe de l'écart. Il existe plusieurs approches pour définir les signes. Examinons-les dans l'ordre, en commençant par le plus précis, mais pas le plus rapide. Cette méthode consiste à calculer les valeurs du trinôme en plusieurs points dans les intervalles résultants.

Exemple 1

Par exemple, prenons le trinôme x 2 + 4 · x − 5 .

Les racines de ce trinôme 1 et - 5 divisent l'axe des coordonnées en trois intervalles (− ∞, − 5), (− 5, 1) et (1, + ∞).

Commençons par l'intervalle (1, + ∞). Afin de simplifier notre tâche, prenons x = 2. On obtient 2 2 + 4 · 2 − 5 = 7.

7 est un nombre positif. Cela signifie que les valeurs de ce trinôme quadratique sur l'intervalle (1, + ∞) sont positives et peuvent être désignées par le signe « + ».

Pour déterminer le signe de l'intervalle (− 5, 1) on prend x = 0. Nous avons 0 2 + 4 · 0 − 5 = − 5 . Placez un signe « - » au-dessus de l'intervalle.

Pour l'intervalle (− ∞, − 5) on prend x = − 6, on obtient (− 6) 2 + 4 · (− 6) − 5 = 7. Nous marquons cet intervalle avec un signe «+».

Vous pouvez identifier les signes beaucoup plus rapidement en prenant en compte les faits suivants.

Avec un discriminant positif, un trinôme carré à deux racines donne une alternance de signes de ses valeurs sur les intervalles dans lesquels la droite numérique est divisée par les racines de ce trinôme. Cela signifie qu’il n’est pas nécessairement nécessaire de définir des signes pour chacun des intervalles. Il suffit d'effectuer des calculs pour l'un et de poser des panneaux pour le reste, en tenant compte du principe d'alternance.

Si vous le souhaitez, vous pouvez vous passer complètement de calculs en tirant des conclusions sur les signes en fonction de la valeur du coefficient dominant. Si a > 0, alors on obtient une séquence de signes +, −, +, et si a< 0 – то − , + , − .

Pour les trinômes quadratiques à une racine, lorsque le discriminant est nul, on obtient deux intervalles sur l'axe des coordonnées avec les mêmes signes. Cela signifie que nous déterminons le signe pour l'un des intervalles et définissons le même pour le second.

Ici on applique également la méthode de détermination du signe basée sur la valeur du coefficient a : si a > 0, alors ce sera +, +, et si a< 0 , то − , − .

Si un trinôme quadratique n'a pas de racines, alors les signes de ses valeurs pour toute la ligne de coordonnées coïncident à la fois avec le signe du coefficient dominant a et avec le signe du terme libre c.

Par exemple, si l’on prend le trinôme quadratique − 4 x 2 − 7, il n’a pas de racine (son discriminant est négatif). Le coefficient de x 2 est négatif − 4, et l'ordonnée à l'origine − 7 est également négative. Cela signifie que sur l'intervalle (− ∞, + ∞) ses valeurs sont négatives.

Examinons des exemples de résolution d'inégalités quadratiques à l'aide de l'algorithme discuté ci-dessus.

Exemple 2

Résolvez l'inégalité 8 x 2 − 4 x − 1 ≥ 0.

Solution

Nous utilisons la méthode des intervalles pour résoudre l'inégalité. Pour ce faire, trouvons les racines du trinôme carré 8 x 2 − 4 x − 1 . Du fait que le coefficient de x est pair, il nous sera plus pratique de calculer non pas le discriminant, mais la quatrième partie du discriminant : D " = (− 2) 2 − 8 · (− 1) = 12 .

Le discriminant est supérieur à zéro. Cela nous permet de trouver les deux racines du trinôme carré : x 1 = 2 - 12 9 , x 1 = 1 - 3 4 et x 2 = 2 + 12 8 , x 2 = 1 + 3 4 . Marquons ces valeurs sur la droite numérique. Comme l’équation n’est pas stricte, nous utilisons des points ordinaires sur le graphique.

Maintenant, en utilisant la méthode des intervalles, nous déterminons les signes des trois intervalles résultants. Le coefficient de x 2 est égal à 8, c'est-à-dire positif, donc la séquence de signes sera +, −, +.

Puisque nous résolvons une inégalité avec le signe ≥, nous dessinons un ombrage sur les intervalles avec des signes plus :

Écrivons analytiquement l'ensemble numérique à partir de l'image graphique résultante. Nous pouvons le faire de deux manières :

Répondre:(- ∞ ; 1 - 3 4 ] ∪ [ 1 + 3 4 , + ∞) ou x ≤ 1 - 3 4 , x ≥ 1 + 3 4 .

Exemple 3

Résoudre l'inégalité quadratique - 1 7 x 2 + 2 x - 7< 0 методом интервалов.

Solution

Tout d'abord, trouvons les racines du trinôme quadratique du côté gauche de l'inégalité :

D " = 1 2 - - 1 7 · - 7 = 0 x 0 = - 1 - 1 7 x 0 = 7

Il s’agit d’une inégalité stricte, nous utilisons donc un point « vide » sur le graphique. Avec la coordonnée 7.

Nous devons maintenant déterminer les signes sur les intervalles résultants (− ∞, 7) et (7, + ∞). Puisque le discriminant d'un trinôme quadratique est nul et que le coefficient dominant est négatif, on note les signes − , − :

Puisque nous résolvons une inégalité de signe< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус:

Dans ce cas, les solutions sont les deux intervalles (− ∞ , 7) , (7 , + ∞) .

Répondre:(− ∞ , 7) ∪ (7 , + ∞) ou dans une autre notation x ≠ 7 .

Exemple 4

L'inégalité quadratique x 2 + x + 7< 0 решения?

Solution

Trouvons les racines du trinôme quadratique du côté gauche de l'inégalité. Pour ce faire, trouvons le discriminant : D = 1 2 − 4 · 1 · 7 = 1 − 28 = − 27 . Le discriminant est inférieur à zéro, ce qui signifie qu’il n’y a pas de véritables racines.

L'image graphique ressemblera à une droite numérique sans points marqués dessus.

Déterminons le signe des valeurs du trinôme quadratique. En D< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + :

Dans ce cas, nous pourrions appliquer un ombrage sur les espaces avec le signe « - ». Mais nous n’avons pas de telles lacunes. Le dessin ressemble donc à ceci :

À la suite des calculs, nous avons reçu un ensemble vide. Cela signifie que cette inégalité quadratique n’a pas de solution.

Répondre: Non.

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Il est nécessaire de comparer des quantités et des quantités pour résoudre des problèmes pratiques depuis l'Antiquité. Dans le même temps, des mots tels que plus et moins, plus haut et plus bas, plus léger et plus lourd, plus silencieux et plus fort, moins cher et plus cher, etc. sont apparus, désignant les résultats de la comparaison de quantités homogènes.

Les concepts de plus et de moins sont apparus en relation avec le comptage d'objets, la mesure et la comparaison de quantités. Par exemple, les mathématiciens de la Grèce antique savaient que le côté de tout triangle est inférieur à la somme des deux autres côtés et que le plus grand côté se trouve à l’opposé du plus grand angle d’un triangle. Archimède, en calculant la circonférence, a établi que le périmètre de tout cercle est égal à trois fois le diamètre avec un excès inférieur au septième du diamètre, mais supérieur à dix soixante-dix fois le diamètre.

Écrivez symboliquement les relations entre les nombres et les quantités à l'aide des signes > et b. Dossiers dans lesquels deux nombres sont reliés par l'un des signes : > (supérieur à), Vous avez également rencontré des inégalités numériques dans les classes inférieures. Vous savez que les inégalités peuvent être vraies ou fausses. Par exemple, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) est une inégalité numérique correcte, 0,23 > 0,235 est une inégalité numérique incorrecte.

Les inégalités impliquant des inconnues peuvent être vraies pour certaines valeurs des inconnues et fausses pour d'autres. Par exemple, l'inégalité 2x+1>5 est vraie pour x = 3, mais fausse pour x = -3. Pour une inégalité à une inconnue, vous pouvez définir la tâche : résoudre l'inégalité. Dans la pratique, les problèmes de résolution d'inégalités ne sont pas moins souvent posés et résolus que les problèmes de résolution d'équations. Par exemple, de nombreux problèmes économiques se résument à l’étude et à la solution de systèmes d’inégalités linéaires. Dans de nombreuses branches des mathématiques, les inégalités sont plus courantes que les équations.

Certaines inégalités constituent le seul moyen auxiliaire de prouver ou de réfuter l'existence d'un certain objet, par exemple la racine d'une équation.

Inégalités numériques

Vous pouvez comparer des nombres entiers et des fractions décimales. Connaître les règles de comparaison de fractions ordinaires ayant les mêmes dénominateurs mais des numérateurs différents ; avec les mêmes numérateurs mais des dénominateurs différents. Ici, vous apprendrez à comparer deux nombres en trouvant le signe de leur différence.

La comparaison de nombres est largement utilisée dans la pratique. Par exemple, un économiste compare les indicateurs prévus avec les indicateurs réels, un médecin compare la température d’un patient à la normale, un tourneur compare les dimensions d’une pièce usinée à une norme. Dans tous ces cas, certains chiffres sont comparés. À la suite de la comparaison des nombres, des inégalités numériques apparaissent.

Définition. Le nombre a est supérieur au nombre b si la différence a-b est positive. Le nombre a est inférieur au nombre b si la différence a-b est négative.

Si a est supérieur à b, alors ils écrivent : a > b ; si a est inférieur à b, alors ils écrivent : a Ainsi, l'inégalité a > b signifie que la différence a - b est positive, c'est-à-dire a - b > 0. Inégalité a Pour deux nombres a et b quelconques issus des trois relations suivantes a > b, a = b, a Comparer les nombres a et b signifie savoir lequel des signes >, = ou Théorème. Si a > b et b > c, alors a > c.

Théorème. Si vous ajoutez le même nombre aux deux côtés de l’inégalité, le signe de l’inégalité ne changera pas.
Conséquence. N'importe quel terme peut être déplacé d'une partie de l'inégalité à une autre en changeant le signe de ce terme en sens inverse.

Théorème. Si les deux côtés de l’inégalité sont multipliés par le même nombre positif, alors le signe de l’inégalité ne change pas. Si les deux côtés de l'inégalité sont multipliés par le même nombre négatif, alors le signe de l'inégalité changera pour l'opposé.
Conséquence. Si les deux côtés de l’inégalité sont divisés par le même nombre positif, alors le signe de l’inégalité ne changera pas. Si les deux côtés de l’inégalité sont divisés par le même nombre négatif, alors le signe de l’inégalité changera pour l’opposé.

Vous savez que les égalités numériques peuvent être additionnées et multipliées terme par terme. Ensuite, vous apprendrez comment effectuer des actions similaires avec des inégalités. La possibilité d’additionner et de multiplier les inégalités terme par terme est souvent utilisée en pratique. Ces actions aident à résoudre les problèmes d'évaluation et de comparaison du sens des expressions.

Lors de la résolution de divers problèmes, il est souvent nécessaire d'ajouter ou de multiplier terme par terme les côtés gauche et droit des inégalités. Parallèlement, on dit parfois que les inégalités s’additionnent ou se multiplient. Par exemple, si un touriste a marché plus de 20 km le premier jour et plus de 25 km le deuxième, alors on peut dire qu'en deux jours il a marché plus de 45 km. De même, si la longueur d'un rectangle est inférieure à 13 cm et la largeur est inférieure à 5 cm, alors on peut dire que l'aire de ce rectangle est inférieure à 65 cm2.

Lors de l’examen de ces exemples, les éléments suivants ont été utilisés : théorèmes d'addition et de multiplication des inégalités :

Théorème. En ajoutant des inégalités de même signe, on obtient une inégalité de même signe : si a > b et c > d, alors a + c > b + d.

Théorème. En multipliant des inégalités de même signe, dont les côtés gauche et droit sont positifs, on obtient une inégalité de même signe : si a > b, c > d et a, b, c, d sont des nombres positifs, alors ac > bd.

Inégalités de signe > (supérieur à) et 1/2, 3/4 b, c Avec les signes d'inégalités strictes > et De la même manière, l'inégalité \(a \geq b \) signifie que le nombre a est supérieur ou égal à b, c'est-à-dire .et non inférieur à b.

Les inégalités contenant le signe \(\geq \) ou le signe \(\leq \) sont dites non strictes. Par exemple, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) ne sont pas des inégalités strictes.

Toutes les propriétés des inégalités strictes sont également valables pour les inégalités non strictes. De plus, si pour des inégalités strictes les signes > étaient considérés comme opposés et que vous savez que pour résoudre un certain nombre de problèmes appliqués, vous devez créer un modèle mathématique sous la forme d'une équation ou d'un système d'équations. Ensuite, vous apprendrez que les modèles mathématiques permettant de résoudre de nombreux problèmes sont des inégalités avec des inconnues. Le concept de résolution d'une inégalité sera introduit et comment tester si un nombre donné est une solution à une inégalité particulière.

Inégalités de forme
\(ax > b, \quad ax dans lesquels a et b reçoivent des nombres et x est une inconnue, sont appelés inégalités linéaires à une inconnue.

Définition. La solution d’une inégalité à une inconnue est la valeur de l’inconnue à laquelle cette inégalité devient une véritable inégalité numérique. Résoudre une inégalité, c’est trouver toutes ses solutions ou établir qu’il n’y en a pas.

Vous avez résolu les équations en les réduisant aux équations les plus simples. De même, lorsqu’on résout des inégalités, on essaie de les réduire, à l’aide de propriétés, à la forme d’inégalités simples.

Résoudre les inégalités du deuxième degré avec une seule variable

Inégalités de forme
\(ax^2+bx+c >0 \) et \(ax^2+bx+c où x est une variable, a, b et c sont des nombres et \(a \neq 0 \), appelés inégalités du deuxième degré à une variable.

Solution aux inégalités
\(ax^2+bx+c >0 \) ou \(ax^2+bx+c peut être considéré comme trouvant des intervalles dans lesquels la fonction \(y= ax^2+bx+c \) prend du positif ou du négatif valeurs Pour ce faire, il suffit d'analyser comment se situe le graphique de la fonction \(y= ax^2+bx+c\) dans le plan de coordonnées : où sont dirigées les branches de la parabole - vers le haut ou vers le bas, que ce soit la parabole coupe l'axe des x et si c'est le cas, à quels points.

Algorithme de résolution des inégalités du deuxième degré à une variable :
1) trouver le discriminant du trinôme carré \(ax^2+bx+c\) et découvrir si le trinôme a des racines ;
2) si le trinôme a des racines, alors marquez-les sur l'axe des x et tracez à travers les points marqués une parabole schématique dont les branches sont dirigées vers le haut pour un > 0 ou vers le bas pour un 0 ou vers le bas pour un 3) trouver les intervalles sur l'axe des x pour lesquels les points paraboles sont situés au-dessus de l'axe des x (s'ils résolvent l'inégalité \(ax^2+bx+c >0\)) ou en dessous de l'axe des x (s'ils résolvent l'inégalité \(ax^2+bx+c >0\)) inégalité
\(ax^2+bx+c Résoudre les inégalités à l'aide de la méthode des intervalles

Considérez la fonction
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Le domaine de cette fonction est l’ensemble de tous les nombres. Les zéros de la fonction sont les nombres -2, 3, 5. Ils divisent le domaine de définition de la fonction en intervalles \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) et \( (5; +\infty)\)

Voyons quels sont les signes de cette fonction dans chacun des intervalles indiqués.

L'expression (x + 2)(x - 3)(x - 5) est le produit de trois facteurs. Le signe de chacun de ces facteurs dans les intervalles considérés est indiqué dans le tableau :

En général, soit la fonction donnée par la formule
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
où x est une variable et x 1, x 2, ..., x n sont des nombres qui ne sont pas égaux les uns aux autres. Les nombres x 1 , x 2 , ..., x n sont les zéros de la fonction. Dans chacun des intervalles dans lesquels le domaine de définition est divisé par les zéros de la fonction, le signe de la fonction est conservé, et lors du passage par zéro, son signe change.

Cette propriété est utilisée pour résoudre des inégalités de la forme
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) où x 1, x 2, ..., x n sont des nombres non égaux les uns aux autres

Méthode considérée la résolution des inégalités est appelée la méthode des intervalles.

Donnons des exemples de résolution d'inégalités à l'aide de la méthode des intervalles.

Résoudre les inégalités :

Nous traçons les zéros de la fonction sur l'axe des nombres et calculons le signe sur chaque intervalle :

Nous sélectionnons les intervalles auxquels la fonction est inférieure ou égale à zéro et notons la réponse.

Répondre:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

Inégalités quadratiques sont appelés , qui peuvent être réduits à la forme \(ax^2+bx+c\) \(⋁\) \(0\), où \(a\),\(b\) et \(c\) sont des nombres (et \(a≠0\)), \(x\) est inconnu et \(⋁\) est l'un des signes de comparaison (\(>\),\(<\),\(≤\),\(≥\)).

En termes simples, de telles inégalités ressemblent à , mais avec au lieu du signe égal.
Exemples:

\(x^2+2x-3>0\)
\(3x^2-x≥0\)
\((2x+5)(x-1)≤5\)

Comment résoudre les inégalités quadratiques ?

Les inégalités quadratiques sont généralement résolues. Vous trouverez ci-dessous un algorithme pour résoudre les inégalités quadratiques avec un discriminant supérieur à zéro. La résolution des inégalités quadratiques avec un discriminant égal à zéro ou inférieur à zéro est discutée séparément.

Exemple. Résoudre l'inégalité quadratique \(≥\) \(\frac(8)(15)\)
Solution:

\(\frac(x^2)(5)+\frac(2x)(3)\)\(≥\) \(\frac(8)(15)\)
\(D=100+4⋅3⋅8=196=14^2\) \(x_1=\frac(-10-14)(6)=-4\) \(x_2=\frac(-10+14)(6)=\frac(2)(3)\)		Une fois les racines trouvées, on écrit l’inégalité sous la forme formulaire.
\(3(x+4)(x-\frac(2)(3))≥0\)		Traçons maintenant une droite numérique, marquons les racines dessus et plaçons les signes aux intervalles.
		Notons les intervalles qui nous intéressent. Puisque le signe de l'inégalité est \(≥\), nous avons besoin d'intervalles avec le signe \(+\), et nous incluons les racines elles-mêmes dans la réponse (les parenthèses en ces points sont carrées).

Répondre : \(x∈(-∞;-4]∪[ \frac(2)(3);∞)\)

Inégalités quadratiques avec discriminant négatif et nul

L'algorithme ci-dessus fonctionne lorsque le discriminant est supérieur à zéro, c'est-à-dire qu'il a des racines \(2\). Que faire dans les autres cas ? Par exemple, ceux-ci :

Si \(D<0\), то квадратный трехчлен имеет постоянный знак, совпадающий со знаком коэффициента \(a\) (тем, что стоит перед \(x^2\)).

C'est-à-dire l'expression :
\(x^2+2x+9\) – positif pour tout \(x\), car \(a=1>0\)
\(-x^2-64\) - négatif pour tout \(x\), car \(a=-1<0\)

Si \(D=0\), alors le trinôme quadratique pour une valeur \(x\) est égal à zéro, et pour toutes les autres, il a un signe constant, qui coïncide avec le signe du coefficient \(a\).

C'est-à-dire l'expression :
\(x^2+6x+9\) est égal à zéro pour \(x=-3\) et positif pour tous les autres x, car \(a=1>0\)
\(-x^2-4x-4\) - égal à zéro pour \(x=-2\) et négatif pour tous les autres, car \(a=-1<0\).

Comment trouver x pour lequel le trinôme quadratique est égal à zéro ? Nous devons résoudre l’équation quadratique correspondante.

Compte tenu de ces informations, résolvons les inégalités quadratiques :

Inégalité quadratique – « DE et À ».Dans cet article, nous examinerons la solution des inégalités quadratiques, qui est appelée jusque dans les subtilités. Je recommande d'étudier attentivement le contenu de l'article sans rien manquer. Vous ne pourrez pas maîtriser l'article tout de suite, je vous recommande de le faire selon plusieurs approches, il y a beaucoup d'informations.

Contenu:

Introduction. Important!

Introduction. Important!

Une inégalité quadratique est une inégalité de la forme :

Si vous prenez une équation quadratique et remplacez le signe égal par l’un des signes ci-dessus, vous obtenez une inégalité quadratique. Résoudre une inégalité signifie répondre à la question pour quelles valeurs de x cette inégalité sera vraie. Exemples:

10 X 2 – 6 X+12 ≤ 0

2 X 2 + 5 X –500 > 0

– 15 X 2 – 2 X+13 > 0

8 X 2 – 15 X+45≠ 0

L'inégalité quadratique peut être spécifiée implicitement, par exemple :

10 X 2 – 6 X+14 X 2 –5 X +2≤ 56

2 X 2 > 36

8 X 2 <–15 X 2 – 2 X+13

0> – 15 X 2 – 2 X+13

Dans ce cas, il faut effectuer des transformations algébriques et le ramener à la forme standard (1).

*Les coefficients peuvent être fractionnaires et irrationnels, mais de tels exemples sont rares dans le programme scolaire et ne se retrouvent pas du tout dans les tâches de l'examen d'État unifié. Mais ne vous inquiétez pas si, par exemple, vous rencontrez :

C'est aussi une inégalité quadratique.

Tout d'abord, examinons un algorithme de solution simple qui ne nécessite pas de comprendre ce qu'est une fonction quadratique et à quoi ressemble son graphique sur le plan de coordonnées par rapport aux axes de coordonnées. Si vous êtes capable de mémoriser des informations fermement et pendant longtemps, et de les renforcer régulièrement par la pratique, alors l'algorithme vous aidera. De plus, si, comme on dit, vous devez résoudre une telle inégalité « à la fois », alors l'algorithme vous aidera. En le suivant, vous mettrez facilement en œuvre la solution.

Si vous étudiez à l'école, alors je vous recommande fortement de commencer à étudier l'article à partir de la deuxième partie, qui raconte tout le sens de la solution (voir ci-dessous à partir du point -). Si vous comprenez l'essence, il ne sera pas nécessaire d'apprendre ou de mémoriser l'algorithme spécifié, vous pourrez facilement résoudre rapidement toute inégalité quadratique.

Bien sûr, j'aurais dû immédiatement commencer l'explication avec le graphique de la fonction quadratique et une explication de la signification elle-même, mais j'ai décidé de « construire » l'article de cette façon.

Encore un point théorique ! Regardez la formule de factorisation d'un trinôme quadratique :

où x 1 et x 2 sont les racines de l'équation quadratique ax 2+ bx+c=0

*Afin de résoudre une inégalité quadratique, il faudra factoriser le trinôme quadratique.

L'algorithme présenté ci-dessous est également appelé méthode des intervalles. Il convient pour résoudre des inégalités de la forme F(X)>0, F(X)<0 , F(X)≥0 etF(X)≤0 . Veuillez noter qu'il peut y avoir plus de deux multiplicateurs, par exemple :

(x–10)(x+5)(x–1)(x+104)(x+6)(x–1)<0

Algorithme de solution. Méthode d'intervalle. Exemples.

Compte tenu des inégalités hache 2 + bx+ c > 0 (n'importe quel signe).

1. Écrivez une équation quadratique hache 2 + bx+ c = 0 et résolvez-le. On a x1 et x2– racines d'une équation quadratique.

2. Remplacez le coefficient dans la formule (2) un et les racines. :

hache – X 1 )(X – x2)>0

3. Définissez des intervalles sur la droite numérique (les racines de l'équation divisent la droite numérique en intervalles) :

4. Déterminez les « signes » sur les intervalles (+ ou –) en substituant une valeur « x » arbitraire de chaque intervalle résultant dans l'expression :

hache – X 1 )(X – x2)

et les célébrer.

5. Il ne reste plus qu'à noter les intervalles qui nous intéressent, ils sont marqués :

- avec un signe « + » si l'inégalité contenait « >0 » ou « ≥0 ».

- signe « – » si l'inégalité comprenait «<0» или «≤0».

NOTE!!! Les signes eux-mêmes de l'inégalité peuvent être :

strict – c'est ">", "<» и нестрогими – это «≥», «≤».

Comment cela affecte-t-il le résultat de la décision ?

Avec des signes d'inégalité stricte, les limites de l'intervalle ne sont PAS INCLUSES dans la solution, tandis que dans la réponse, l'intervalle lui-même est écrit sous la forme ( X 1 ; X 2 ) – parenthèses rondes.

Pour les signes d'inégalité faibles, les limites de l'intervalle sont incluses dans la solution et la réponse s'écrit sous la forme [ X 1 ; X 2 ] - crochets.

*Cela ne s'applique pas uniquement aux inégalités quadratiques. Le crochet signifie que la limite de l'intervalle elle-même est incluse dans la solution.

Vous le verrez dans les exemples. Examinons-en quelques-uns pour clarifier toutes les questions à ce sujet. En théorie, l’algorithme peut paraître un peu compliqué, mais en réalité tout est simple.

EXEMPLE 1 : Résoudre X 2 – 60 X+500 ≤ 0

Résoudre une équation quadratique X 2 –60 X+500=0

D = b 2 –4 ca = (–60) 2 –4∙1∙500 = 3600–2000 = 1600

Trouver les racines :

Remplacer le coefficient un

X 2 –60 X+500 = (x–50)(x–10)

On écrit l'inégalité sous la forme (x–50)(x–10) ≤ 0

Les racines de l’équation divisent la droite numérique en intervalles. Montrons-les sur la droite numérique :

Nous avons reçu trois intervalles (–∞;10), (10;50) et (50;+∞).

Nous déterminons les « signes » sur les intervalles ; nous le faisons en substituant des valeurs arbitraires de chaque intervalle résultant dans l'expression (x–50)(x–10) et examinons la correspondance du « signe » résultant avec le signe dans l'inégalité (x–50)(x–10) ≤ 0:

à x=2 (x–50)(x–10) = 384 > 0 incorrect

à x=20 (x–50)(x–10) = –300 < 0 верно

à x=60 (x–50)(x–10) = 500 > 0 incorrect

La solution sera l'intervalle.

Pour toutes les valeurs de x de cet intervalle, l'inégalité sera vraie.

*Notez que nous avons inclus des crochets.

Pour x = 10 et x = 50, l’inégalité sera également vraie, c’est-à-dire que les frontières sont incluses dans la solution.

Réponse : x∊

Encore:

— Les limites de l'intervalle sont INCLUSES dans la solution de l'inégalité lorsque la condition contient le signe ≤ ou ≥ (inégalité non stricte). Dans ce cas, il est d'usage d'afficher les racines résultantes dans un croquis avec un cercle HASHED.

— Les limites de l'intervalle NE SONT PAS INCLUSES dans la solution de l'inégalité lorsque la condition contient le signe< или >(inégalité stricte). Dans ce cas, il est d'usage d'afficher la racine dans l'esquisse sous la forme d'un cercle NON HASHÉ.

EXEMPLE 2 : Résoudre X 2 + 4 X–21 > 0

Résoudre une équation quadratique X 2 + 4 X–21 = 0

D = b 2 –4 ca = 4 2 –4∙1∙(–21) =16+84 = 100

Trouver les racines :

Remplacer le coefficient un et racines dans la formule (2), on obtient :

X 2 + 4 X–21 = (x–3)(x+7)

On écrit l'inégalité sous la forme (x–3)(x+7) > 0.

Les racines de l’équation divisent la droite numérique en intervalles. Marquons-les sur la droite numérique :

*L'inégalité n'est pas stricte, donc les symboles des racines ne sont PAS ombrés. Nous avons trois intervalles (–∞;–7), (–7;3) et (3;+∞).

Nous déterminons les « signes » sur les intervalles, nous le faisons en substituant des valeurs arbitraires de ces intervalles dans l'expression (x–3)(x+7) et recherchons le respect de l'inégalité (x–3)(x+7)> 0:

à x= –10 (–10–3)(–10 +7) = 39 > 0 correct

à x= 0 (0–3)(0 +7) = –21< 0 неверно

à x=10 (10–3)(10 +7) = 119 > 0 correct

La solution sera deux intervalles (–∞;–7) et (3;+∞). Pour toutes les valeurs de x de ces intervalles, l'inégalité sera vraie.

*Notez que nous avons inclus des parenthèses. À x = 3 et x = –7, l'inégalité sera incorrecte – les frontières ne sont pas incluses dans la solution.

Réponse : x∊(–∞;–7) U (3;+∞)

EXEMPLE 3 : Résoudre – X 2 –9 X–20 > 0

Résoudre une équation quadratique – X 2 –9 X–20 = 0.

un = –1 b = –9 c = –20

D = b 2 –4 ca = (–9) 2 –4∙(–1)∙ (–20) =81–80 = 1.

Trouver les racines :

Remplacer le coefficient un et racines dans la formule (2), on obtient :

– X 2 –9 X–20 =–(x–(–5))(x–(–4))= –(x+5)(x+4)

On écrit l'inégalité sous la forme –(x+5)(x+4) > 0.

Les racines de l’équation divisent la droite numérique en intervalles. Marquons sur la droite numérique :

*L'inégalité est stricte, les symboles des racines ne sont donc pas ombrés. Nous avons trois intervalles (–∞;–5), (–5; –4) et (–4;+∞).

Nous définissons des « signes » sur des intervalles, nous le faisons en les substituant dans l'expression –(x+5)(x+4) valeurs arbitraires de ces intervalles et regardez la correspondance avec l'inégalité –(x+5)(x+4)>0:

à x= –10 – (–10+5)(–10 +4) = –30< 0 неверно

à x= –4,5 – (–4,5+5)(–4,5+4) = 0,25 > 0 correct

à x= 0 – (0+5)(0 +4) = –20< 0 неверно

La solution sera l'intervalle (–5,–4). Pour toutes les valeurs de « x » qui lui appartiennent, l'inégalité sera vraie.

*Veuillez noter que les limites ne font pas partie de la solution. Pour x = –5 et x = –4 l’inégalité ne sera pas vraie.

COMMENTAIRE!

Lors de la résolution d'une équation quadratique, nous pouvons nous retrouver avec une racine ou aucune racine du tout, puis en utilisant cette méthode aveuglément, des difficultés peuvent survenir pour déterminer la solution.

Un petit résumé ! La méthode est bonne et pratique à utiliser, surtout si vous êtes familier avec la fonction quadratique et connaissez les propriétés de son graphique. Sinon, jetez-y un œil et passez à la section suivante.

Utiliser le graphique d'une fonction quadratique. Je recommande!

Quadratique est une fonction de la forme :

Son graphique est une parabole, les branches de la parabole sont dirigées vers le haut ou vers le bas :

Le graphique peut être positionné comme suit : il peut couper l'axe des x en deux points, il peut le toucher en un point (sommet) ou il ne peut pas se croiser. Nous en reparlerons plus tard.

Examinons maintenant cette approche avec un exemple. L'ensemble du processus de résolution comprend trois étapes. Résolvons les inégalités X 2 +2 X –8 >0.

Première étape

Résoudre l'équation X 2 +2 X–8=0.

D = b 2 –4 ca = 2 2 –4∙1∙(–8) = 4+32 = 36

Trouver les racines :

Nous avons x 1 = 2 et x 2 = – 4.

Seconde phase

Construire une parabole y=X 2 +2 X–8 par points :

Les points 4 et 2 sont les points d'intersection de la parabole et de l'axe des x. C'est simple! Qu'est-ce que tu as fait? Nous avons résolu l'équation quadratique X 2 +2 X–8=0. Découvrez son post comme ceci :

0 = x2+2x – 8

Zéro pour nous est la valeur de « y ». Lorsque y = 0, on obtient l'abscisse des points d'intersection de la parabole avec l'axe des x. On peut dire que la valeur zéro « y » est l'axe des x.

Regardez maintenant quelles valeurs de x l'expression X 2 +2 X – 8 supérieur (ou inférieur) à zéro ? Ce n'est pas difficile à déterminer à partir du graphique parabolique, comme on dit, tout est en vue :

1. À x< – 4 ветвь параболы лежит выше оси ох. То есть при указанных х трёхчлен X 2 +2 X –8 sera positif.

2. À –4< х < 2 график ниже оси ох. При этих х трёхчлен X 2 +2 X –8 sera négatif.

3. Pour x > 2, la branche de la parabole se situe au-dessus de l'axe des x. Pour le x spécifié, le trinôme X 2 +2 X –8 sera positif.

Troisième étape

De la parabole, nous pouvons immédiatement voir à quel x l'expression X 2 +2 X–8 supérieur à zéro, égal à zéro, inférieur à zéro. C'est l'essence de la troisième étape de la solution, à savoir voir et identifier les zones positives et négatives du dessin. Nous comparons le résultat obtenu avec l'inégalité d'origine et notons la réponse. Dans notre exemple, il faut déterminer toutes les valeurs de x pour lesquelles l'expression X 2 +2 X–8 Au dessus de zéro. Nous l'avons fait dans la deuxième étape.

Il ne reste plus qu'à écrire la réponse.

Réponse : x∊(–∞;–4) U (2;∞).

Résumons : après avoir calculé les racines de l'équation dans un premier temps, nous pouvons marquer les points résultants sur l'axe des x (ce sont les points d'intersection de la parabole avec l'axe des x). Ensuite, nous construisons schématiquement une parabole et nous pouvons déjà voir la solution. Pourquoi schématique ? Nous n’avons pas besoin d’un calendrier mathématiquement précis. Et imaginez, par exemple, si les racines s'avèrent être 10 et 1 500, essayez de construire un graphique précis sur une feuille de papier avec une telle plage de valeurs. La question se pose! Eh bien, nous avons les racines, eh bien, nous les avons marquées sur l'axe o, mais devrions-nous dessiner l'emplacement de la parabole elle-même - avec ses branches vers le haut ou vers le bas ? Tout est simple ici ! Le coefficient pour x 2 vous dira :

- s'il est supérieur à zéro, alors les branches de la parabole sont dirigées vers le haut.

- si inférieur à zéro, alors les branches de la parabole sont dirigées vers le bas.

Dans notre exemple, il est égal à un, c'est-à-dire positif.

*Note! Si l'inégalité contient un signe non strict, c'est-à-dire ≤ ou ≥, alors les racines de la droite numérique doivent être ombrées, cela indique classiquement que la limite de l'intervalle lui-même est incluse dans la solution de l'inégalité. Dans ce cas, les racines ne sont pas grisées (percées), puisque notre inégalité est stricte (il y a un signe « > »). De plus, dans ce cas, la réponse utilise des parenthèses plutôt que des carrés (les bordures ne sont pas incluses dans la solution).

Beaucoup de choses ont été écrites, j'ai probablement confondu quelqu'un. Mais si vous résolvez au moins 5 inégalités à l’aide de paraboles, alors votre admiration ne connaîtra aucune limite. C'est simple!

Alors, brièvement :

1. Nous écrivons l'inégalité et la réduisons à l'inégalité standard.

2. Écrivez une équation quadratique et résolvez-la.

3. Dessinez l'axe des x, marquez les racines résultantes, dessinez schématiquement une parabole, avec des branches vers le haut si le coefficient de x 2 est positif, ou vers le bas s'il est négatif.

4. Identifiez visuellement les domaines positifs ou négatifs et notez la réponse à l'inégalité d'origine.

Regardons des exemples.

EXEMPLE 1 : Résoudre X 2 –15 X+50 > 0

Première étape.

Résoudre une équation quadratique X 2 –15 X+50=0

D = b 2 –4 ca = (–15) 2 –4∙1∙50 = 225–200 = 25

Trouver les racines :

Seconde phase.

Nous construisons l'axe o. Marquons les racines résultantes. Puisque notre inégalité est stricte, nous ne les ombragerons pas. On construit schématiquement une parabole, elle est située branches vers le haut, puisque le coefficient de x 2 est positif :

Troisième étape.

Nous définissons les zones visuellement positives et négatives, ici nous les avons marquées de différentes couleurs pour plus de clarté, vous n'êtes pas obligé de le faire.

Nous écrivons la réponse.

Réponse : x∊(–∞;5) U (10;∞).

*Le signe U indique une solution d'unification. Au sens figuré, la solution est « ceci » ET « cet » intervalle.

EXEMPLE 2 : Résoudre – X 2 + X+20 ≤ 0

Première étape.

Résoudre une équation quadratique – X 2 + X+20=0

D = b 2 –4 ca = 1 2 –4∙(–1)∙20 = 1+80 = 81

Trouver les racines :

Seconde phase.

Nous construisons l'axe o. Marquons les racines résultantes. Puisque notre inégalité n'est pas stricte, nous ombrons les désignations des racines. On construit schématiquement une parabole, elle est située branches vers le bas, puisque le coefficient de x 2 est négatif (il est égal à –1) :

Troisième étape.

Nous identifions visuellement les zones positives et négatives. Nous la comparons à l'inégalité d'origine (notre signe est ≤ 0). L'inégalité sera vraie pour x ≤ – 4 et x ≥ 5.

Nous écrivons la réponse.

Réponse : x∊(–∞;–4] U. Il se compose d'un ensemble de nombres placés sur la ligne de coordonnées et situés entre -7 et 7, y compris les limites. Dans ce cas, les points sur le graphique sont représentés comme remplis cercles, et l'intervalle est enregistré en utilisant

La deuxième figure est une représentation graphique de l’inégalité stricte. Dans ce cas, les nombres limites -7 et 7, représentés par des points perforés (non remplis), ne sont pas inclus dans l'ensemble spécifié. Et l'intervalle lui-même est écrit entre parenthèses comme suit : (-7 ; 7).

Autrement dit, après avoir compris comment résoudre des inégalités de ce type et reçu une réponse similaire, nous pouvons conclure qu'il s'agit de nombres compris entre les limites en question, à l'exception de -7 et 7. Les deux cas suivants doivent être évalués de manière manière similaire. La troisième figure montre des images des intervalles (-∞; -7] U)