Équations linéaires utilisant une matrice inverse. Équations linéaires

Méthode matricielle Solutions SLAU appliqué à la résolution de systèmes d'équations dans lesquels le nombre d'équations correspond au nombre d'inconnues. La méthode est mieux utilisée pour résoudre des systèmes d’ordre inférieur. La méthode matricielle pour résoudre des systèmes d'équations linéaires est basée sur l'application des propriétés de la multiplication matricielle.

Cette méthode, en d'autres termes méthode matricielle inverse, ainsi appelé parce que la solution se réduit à une équation matricielle ordinaire, pour résoudre laquelle vous devez trouver la matrice inverse.

Méthode de solution matricielle Un SLAE dont le déterminant est supérieur ou inférieur à zéro est le suivant :

Supposons qu'il existe un SLE (système d'équations linéaires) avec n inconnu (sur un champ arbitraire) :

Cela signifie qu’il peut être facilement converti sous forme matricielle :

AX=B, Où UN— la matrice principale du système, B Et X— colonnes de termes libres et de solutions du système, respectivement :

Multiplions cette équation matricielle en partant de la gauche par A−1— matrice inverse à matrice UNE : UNE −1 (AX)=UNE −1 B.

Parce que UNE−1 UNE=E, Moyens, X = UNE −1 B. Le côté droit de l’équation donne la colonne de solution du système initial. La condition d'applicabilité de la méthode matricielle est la non-dégénérescence de la matrice UN. Une condition nécessaire et suffisante pour cela est que le déterminant de la matrice ne soit pas égal à zéro UN:

detA≠0.

Pour système homogène d'équations linéaires, c'est à dire. si vecteur B=0, la règle inverse est vraie : le système AX=0 il existe une solution non triviale (c'est-à-dire non égale à zéro) uniquement lorsque detA=0. Cette connexion entre les solutions de systèmes homogènes et inhomogènes d'équations linéaires est appelée Alternative à Fredholm.

Ainsi, la solution du SLAE par la méthode matricielle s'effectue selon la formule . Ou bien, la solution au SLAE se trouve en utilisant matrice inverse A−1.

On sait que pour une matrice carrée UN commande n sur n il existe une matrice inverse A−1 seulement si son déterminant est non nul. Ainsi, le système néquations algébriques linéaires avec n On résout les inconnues par la méthode matricielle uniquement si le déterminant de la matrice principale du système n'est pas égal à zéro.

Malgré le fait qu'il existe des limites à l'applicabilité d'une telle méthode et aux difficultés de calcul pour de grandes valeurs de coefficients et de systèmes d'ordre élevé, la méthode peut être facilement mise en œuvre sur un ordinateur.

Un exemple de résolution d’un SLAE non homogène.

Vérifions d’abord si le déterminant de la matrice des coefficients des SLAE inconnus n’est pas égal à zéro.

Maintenant nous trouvons matrice syndicale, transposez-le et remplacez-le dans la formule pour déterminer la matrice inverse.

Remplacez les variables dans la formule :

On trouve maintenant les inconnues en multipliant la matrice inverse et la colonne de termes libres.

Donc, x=2 ; y = 1 ; z=4.

Lorsque vous passez de la forme habituelle de SLAE à la forme matricielle, soyez prudent avec l'ordre des variables inconnues dans les équations du système. Par exemple:

Il NE PEUT PAS être écrit comme suit :

Il faut d'abord ordonner les variables inconnues dans chaque équation du système et ensuite seulement procéder à la notation matricielle :

De plus, vous devez être prudent avec la désignation des variables inconnues, au lieu de cela x1, x 2 , …, x n il peut y avoir d'autres lettres. Par exemple:

sous forme matricielle on l'écrit comme ceci :

La méthode matricielle est meilleure pour résoudre des systèmes d'équations linéaires dans lesquels le nombre d'équations coïncide avec le nombre de variables inconnues et le déterminant de la matrice principale du système n'est pas égal à zéro. Lorsqu'il y a plus de 3 équations dans un système, trouver la matrice inverse nécessitera plus d'efforts de calcul. Par conséquent, dans ce cas, il est conseillé d'utiliser la méthode de résolution gaussienne.

Ce calculateur en ligne résout un système d'équations linéaires en utilisant la méthode matricielle. Une solution très détaillée est donnée. Pour résoudre un système d'équations linéaires, sélectionnez le nombre de variables. Choisissez une méthode de calcul de la matrice inverse. Saisissez ensuite les données dans les cellules et cliquez sur le bouton "Calculer".

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Instructions pour la saisie des données. Les nombres sont saisis sous forme de nombres entiers (exemples : 487, 5, -7623, etc.), décimaux (ex. 67., 102,54, etc.) ou de fractions. La fraction doit être saisie sous la forme a/b, où a et b sont des nombres entiers ou décimaux. Exemples 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7, etc.

Méthode matricielle pour résoudre des systèmes d'équations linéaires

Considérons le système d'équations linéaires suivant :

Étant donné la définition d’une matrice inverse, nous avons UN −1 UN=E, Où E- matrice d'identité. Donc (4) peut s’écrire comme suit :

Ainsi, pour résoudre le système d'équations linéaires (1) (ou (2)), il suffit de multiplier l'inverse de UN matrice par vecteur de contrainte b.

Exemples de résolution d'un système d'équations linéaires à l'aide de la méthode matricielle

Exemple 1. Résolvez le système d'équations linéaires suivant en utilisant la méthode matricielle :

Trouvons l'inverse de la matrice A en utilisant la méthode Jordan-Gauss. Sur le côté droit de la matrice UNÉcrivons la matrice d'identité :

Excluons les éléments de la 1ère colonne de la matrice en dessous de la diagonale principale. Pour ce faire, additionnez les lignes 2,3 avec la ligne 1, multipliées respectivement par -1/3, -1/3 :

Excluons les éléments de la 2ème colonne de la matrice en dessous de la diagonale principale. Pour cela, additionnez la ligne 3 avec la ligne 2 multipliée par -24/51 :

Excluons les éléments de la 2ème colonne de la matrice au dessus de la diagonale principale. Pour cela, additionnez la ligne 1 avec la ligne 2 multipliée par -3/17 :

Séparez le côté droit de la matrice. La matrice résultante est la matrice inverse de UN :

Forme matricielle d'écriture d'un système d'équations linéaires : Hache=b, Où

Calculons tous les compléments algébriques de la matrice UN:

La matrice inverse est calculée à partir de l'expression suivante.

Un système de m équations linéaires à n inconnues appelé système de la forme

Où un ij Et b je (je=1,…,m; b=1,…,n) sont des nombres connus, et x 1 ,…,xn- inconnu. Dans la désignation des coefficients un ij premier indice je désigne le numéro de l'équation, et le deuxième j– le nombre d'inconnu auquel se situe ce coefficient.

Nous écrirons les coefficients des inconnues sous forme de matrice , que nous appellerons matrice du système.

Les nombres à droite des équations sont b 1 ,…,bm sont appelés membres libres.

Totalité n Nombres c 1 ,…,cn appelé décision d'un système donné, si chaque équation du système devient une égalité après y avoir substitué des nombres c 1 ,…,cn au lieu des inconnues correspondantes x 1 ,…,xn.

Notre tâche sera de trouver des solutions au système. Dans ce cas, trois situations peuvent se présenter :

Un système d'équations linéaires qui a au moins une solution s'appelle articulation. Sinon, c'est à dire si le système n'a pas de solutions, alors on l'appelle non conjoint.

Examinons les moyens de trouver des solutions au système.

MÉTHODE MATRICIELLE POUR RÉSOUDRE DES SYSTÈMES D'ÉQUATIONS LINÉAIRES

Les matrices permettent d'écrire brièvement un système d'équations linéaires. Soit un système de 3 équations à trois inconnues :

Considérez la matrice du système et colonnes de matrices de termes inconnus et libres

Trouvons le travail

ceux. grâce au produit, on obtient les membres de gauche des équations de ce système. Ensuite, en utilisant la définition de l’égalité matricielle, ce système peut s’écrire sous la forme

ou plus court UN∙X=B.

Voici les matrices UN Et B sont connus, et la matrice X inconnu. Il faut le trouver, parce que... ses éléments sont la solution à ce système. Cette équation s'appelle équation matricielle.

Soit le déterminant matriciel différent de zéro | UN| ≠ 0. Ensuite, l'équation matricielle est résolue comme suit. Multipliez les deux côtés de l'équation de gauche par la matrice A-1, inverse de la matrice UN: . Parce que le A -1 A = E Et E∙X = X, alors on obtient une solution de l'équation matricielle sous la forme X = A-1B .

Notez que puisque la matrice inverse ne peut être trouvée que pour les matrices carrées, la méthode matricielle ne peut résoudre que les systèmes dans lesquels le nombre d'équations coïncide avec le nombre d'inconnues. Cependant, l'enregistrement matriciel du système est également possible dans le cas où le nombre d'équations n'est pas égal au nombre d'inconnues, alors la matrice UN ne sera pas carré et il est donc impossible de trouver une solution au système sous la forme X = A-1B.

Exemples. Résoudre des systèmes d'équations.

RÈGLE DE CRAMER

Considérons un système de 3 équations linéaires à trois inconnues :

Déterminant du troisième ordre correspondant à la matrice du système, c'est-à-dire composé de coefficients pour inconnues,

appelé déterminant du système.

Composons trois autres déterminants comme suit : remplacez séquentiellement 1, 2 et 3 colonnes du déterminant D par une colonne de termes libres

On peut alors prouver le résultat suivant.

Théorème (règle de Cramer). Si le déterminant du système Δ ≠ 0, alors le système considéré a une et une seule solution, et

Preuve. Considérons donc un système de 3 équations à trois inconnues. Multiplions la 1ère équation du système par le complément algébrique Un 11élément un 11, 2ème équation – activé Un 21 et 3ème – sur Un 31:

Ajoutons ces équations :

Examinons chacune des parenthèses et le côté droit de cette équation. Par le théorème du développement du déterminant en éléments de la 1ère colonne

De même, on peut montrer que et .

Finalement, il est facile de remarquer que

Ainsi, on obtient l'égalité : .

Ainsi, .

Les égalités et sont dérivées de la même manière, d'où découle l'énoncé du théorème.

Ainsi, on remarque que si le déterminant du système Δ ≠ 0, alors le système a une solution unique et vice versa. Si le déterminant du système est égal à zéro, alors le système a un nombre infini de solutions ou n'a pas de solutions, c'est-à-dire incompatible.

Exemples. Résoudre un système d'équations

MÉTHODE GAUSS

Les méthodes discutées précédemment peuvent être utilisées pour résoudre uniquement les systèmes dans lesquels le nombre d'équations coïncide avec le nombre d'inconnues et le déterminant du système doit être différent de zéro. La méthode de Gauss est plus universelle et convient aux systèmes comportant un nombre quelconque d'équations. Elle consiste en l'élimination cohérente des inconnues des équations du système.

Considérons à nouveau un système de trois équations à trois inconnues :

Nous laisserons la première équation inchangée, et à partir de la 2ème et de la 3ème nous exclurons les termes contenant x1. Pour ce faire, divisez la deuxième équation par UN 21 et multiplier par – UN 11, puis ajoutez-le à la 1ère équation. De même, nous divisons la troisième équation par UN 31 et multiplier par – UN 11, puis ajoutez-le avec le premier. En conséquence, le système original prendra la forme :

Maintenant, de la dernière équation, nous éliminons le terme contenant x2. Pour ce faire, divisez la troisième équation par, multipliez par et additionnez avec la seconde. Nous aurons alors un système d’équations :

A partir de là, à partir de la dernière équation, il est facile de trouver x3, puis à partir de la 2ème équation x2 et enfin, du 1er - x1.

Lors de l'utilisation de la méthode gaussienne, les équations peuvent être interverties si nécessaire.

Souvent, au lieu d’écrire un nouveau système d’équations, ils se limitent à écrire la matrice étendue du système :

puis amenez-le à une forme triangulaire ou diagonale à l'aide de transformations élémentaires.

À transformations élémentaires les matrices incluent les transformations suivantes :

réorganiser les lignes ou les colonnes ;
multiplier une chaîne par un nombre autre que zéro ;
ajouter d'autres lignes à une seule ligne.

Exemples: Résolvez des systèmes d'équations en utilisant la méthode de Gauss.

Le système possède donc une infinité de solutions.

Thème 2. SYSTÈMES D'ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES LINÉAIRES.

Concepts de base.

Définition 1. Système méquations linéaires avec n les inconnues sont un système de la forme :

où et sont des nombres.

Définition 2. Une solution du système (I) est un ensemble d'inconnues dans lequel chaque équation de ce système devient une identité.

Définition 3. Le système (I) est appelé articulation, s'il a au moins une solution et non conjoint, s'il n'a pas de solutions. Le système commun est appelé certain, s'il a une solution unique, et incertain sinon.

Définition 4. Équation de la forme

appelé zéro, et l'équation est de la forme

appelé incompatible. Évidemment, un système d’équations contenant une équation incompatible est incohérent.

Définition 5. Deux systèmes d'équations linéaires sont appelés équivalent, si toute solution d’un système sert de solution à un autre et, inversement, toute solution du deuxième système est une solution du premier.

Représentation matricielle d'un système d'équations linéaires.

Considérons le système (I) (voir §1).

Notons :

Matrice de coefficients pour les inconnues

Matrice - colonne de termes libres

Matrice – colonne d'inconnues

Définition 1. La matrice s'appelle matrice principale du système(I), et la matrice est la matrice étendue du système (I).

Par la définition de l'égalité des matrices, le système (I) correspond à l'égalité matricielle :

Le membre droit de cette égalité par définition du produit de matrices ( voir définition 3 § 5 chapitre 1) peut être factorisé :

, c'est à dire.

Égalité (2) appelé notation matricielle du système (I).

Résoudre un système d'équations linéaires à l'aide de la méthode de Cramer.

Laisser entrer le système (I) (voir §1) m=n, c'est à dire. le nombre d'équations est égal au nombre d'inconnues et la matrice principale du système est non singulière, c'est-à-dire . Alors le système (I) du §1 a une solution unique

où Δ = dét A appelé principal déterminant du système(Je), Δ je est obtenu à partir du déterminant Δ en remplaçant jeème colonne à une colonne de membres libres du système (I).

Exemple : Résolvez le système en utilisant la méthode de Cramer :

Par formules (3) .

On calcule les déterminants du système :

Pour obtenir le déterminant, nous avons remplacé la première colonne du déterminant par une colonne de termes libres ; en remplaçant la 2ème colonne du déterminant par une colonne de termes libres, on obtient ; de la même manière, en remplaçant la 3ème colonne du déterminant par une colonne de termes libres, on obtient . Solution système :

Résolution de systèmes d'équations linéaires à l'aide d'une matrice inverse.

Laisser entrer le système (I) (voir §1) m=n et la matrice principale du système est non singulière. Écrivons le système (I) sous forme matricielle ( voir §2):

parce que matrice UN non singulier, alors il a une matrice inverse ( voir Théorème 1 §6 du Chapitre 1). Multiplions les deux côtés de l'égalité (2) à la matrice, alors

Par définition d'une matrice inverse. De l'égalité (3) nous avons

Résoudre le système en utilisant la matrice inverse

Notons

Dans l'exemple (§ 3) nous avons calculé le déterminant, donc la matrice UN a une matrice inverse. Puis en effet (4) , c'est à dire.

. (5)

Trouvons la matrice ( voir §6 chapitre 1)

, , ,

Méthode Gauss.

Soit un système d'équations linéaires :

. (JE)

Il faut trouver toutes les solutions du système (I) ou vérifier que le système est incohérent.

Définition 1.Appelons cela une transformation élémentaire du système(I) l'une des trois actions suivantes :

1) barrer l'équation zéro ;

2) ajouter aux deux côtés de l'équation les parties correspondantes d'une autre équation, multipliées par le nombre l ;

3) échanger les termes dans les équations du système afin que les inconnues avec les mêmes nombres dans toutes les équations occupent les mêmes places, c'est-à-dire si, par exemple, dans la 1ère équation nous avons modifié les 2ème et 3ème termes, alors il faut faire de même dans toutes les équations du système.

La méthode de Gauss consiste dans le fait que le système (I) à l'aide de transformations élémentaires est réduit à un système équivalent dont la solution est trouvée directement ou son insolvabilité est établie.

Comme décrit au §2, le système (I) est déterminé de manière unique par sa matrice étendue et toute transformation élémentaire du système (I) correspond à une transformation élémentaire de la matrice étendue :

La transformation 1) correspond à la suppression de la ligne zéro dans la matrice, la transformation 2) équivaut à ajouter une autre ligne à la ligne correspondante de la matrice, multipliée par le nombre l, la transformation 3) équivaut à réorganiser les colonnes de la matrice.

Il est aisé de voir qu'au contraire, à chaque transformation élémentaire de la matrice correspond une transformation élémentaire du système (I). Pour cette raison, au lieu d’opérations avec le système (I), nous travaillerons avec la matrice étendue de ce système.

Dans la matrice, la 1ère colonne est constituée de coefficients pour x1, 2ème colonne - à partir des coefficients pour x2 etc. Si les colonnes sont réorganisées, il convient de tenir compte du fait que cette condition n'est pas respectée. Par exemple, si nous échangeons les 1ère et 2ème colonnes, alors la 1ère colonne contiendra désormais les coefficients pour x2, et dans la 2ème colonne - les coefficients pour x1.

Nous allons résoudre le système (I) en utilisant la méthode gaussienne.

1. Rayez toutes les lignes nulles de la matrice, le cas échéant (c'est-à-dire rayez toutes les équations nulles du système (I).

2. Vérifions s'il existe parmi les lignes de la matrice une ligne dans laquelle tous les éléments sauf le dernier sont égaux à zéro (appelons une telle ligne incohérente). Évidemment, une telle droite correspond à une équation incohérente dans le système (I), donc le système (I) n'a pas de solutions et c'est là que se termine le processus.

3. Que la matrice ne contienne pas de lignes incohérentes (le système (I) ne contient pas d'équations incohérentes). Si un 11 =0, puis on trouve dans la 1ère ligne un élément (sauf le dernier) autre que zéro et on réorganise les colonnes pour que dans la 1ère ligne il n'y ait pas de zéro à la 1ère place. Nous allons maintenant supposer cela (c'est-à-dire que nous échangerons les termes correspondants dans les équations du système (I)).

4. Multipliez la 1ère ligne par et additionnez le résultat avec la 2ème ligne, puis multipliez la 1ère ligne par et additionnez le résultat avec la 3ème ligne, etc. Évidemment, ce processus équivaut à éliminer l'inconnu x1 de toutes les équations du système (I), sauf la 1ère. Dans la nouvelle matrice, nous obtenons des zéros dans la 1ère colonne sous l'élément un 11:

5. Rayons toutes les lignes nulles de la matrice, s'il y en a, et vérifions s'il y a une ligne incohérente (s'il y en a une, alors le système est incohérent et la solution s'arrête là). Vérifions s'il y aura une 22 / =0, si oui, alors on retrouve dans la 2ème ligne un élément différent de zéro et on réorganise les colonnes pour que . Ensuite, multipliez les éléments de la 2ème ligne par et additionner avec les éléments correspondants de la 3ème ligne, puis - les éléments de la 2ème ligne et ajouter avec les éléments correspondants de la 4ème ligne, etc., jusqu'à obtenir des zéros sous un 22/

Les actions entreprises équivalent à éliminer l'inconnu x2 de toutes les équations du système (I), à l'exception de la 1ère et de la 2ème. Puisque le nombre de lignes est fini, donc après un nombre fini d'étapes, nous obtenons que soit le système est incohérent, soit nous nous retrouvons avec une matrice d'étapes ( voir définition 2 §7 chapitre 1) :

Écrivons le système d'équations correspondant à la matrice . Ce système est équivalent au système (I)

De la dernière équation que nous exprimons ; remplacer dans l'équation précédente, trouver, etc., jusqu'à ce que nous obtenions .

Note 1. Ainsi, lors de la résolution du système (I) par la méthode gaussienne, on arrive à l'un des cas suivants.

1. Le système (I) est incohérent.

2. Le système (I) a une solution unique si le nombre de lignes de la matrice est égal au nombre d'inconnues ().

3. Le système (I) a un nombre infini de solutions si le nombre de lignes de la matrice est inférieur au nombre d'inconnues ().

D’où le théorème suivant.

Théorème. Un système d’équations linéaires est soit incohérent, soit possède une solution unique, soit possède un nombre infini de solutions.

Exemples. Résolvez le système d'équations à l'aide de la méthode de Gauss ou prouvez son incohérence :

b) ;

a) Réécrivons le système donné sous la forme :

Nous avons interverti les 1ère et 2ème équations du système d'origine pour simplifier les calculs (au lieu de fractions, nous n'opérerons qu'avec des entiers en utilisant ce réarrangement).

Créons une matrice étendue :

Il n'y a pas de lignes nulles ; il n'y a pas de lignes incompatibles, ; Excluons la 1ère inconnue de toutes les équations du système sauf la 1ère. Pour cela, multipliez les éléments de la 1ère ligne de la matrice par « -2 » et additionnez-les avec les éléments correspondants de la 2ème ligne, ce qui équivaut à multiplier la 1ère équation par « -2 » et à l'ajouter avec la 2ème équation. Ensuite on multiplie les éléments de la 1ère ligne par « -3 » et on les additionne avec les éléments correspondants de la troisième ligne, soit multipliez la 2ème équation du système donné par « -3 » et ajoutez-la à la 3ème équation. On a

La matrice correspond à un système d'équations). - (voir définition 3§7 du chapitre 1).

C'est un concept qui généralise toutes les opérations possibles effectuées avec des matrices. Matrice mathématique - tableau des éléments. A propos d'une table où m lignes et n colonnes, on dit que cette matrice a la dimension m sur n.

Vue générale de la matrice :

Pour solutions matricielles il faut comprendre ce qu'est une matrice et connaître ses principaux paramètres. Principaux éléments de la matrice :

La diagonale principale, composée d'éléments un 11, un 22…..un mn.
Diagonale latérale composée d'éléments un 1n , un 2n-1 .....un m1.

Principaux types de matrices :

Square est une matrice où le nombre de lignes = le nombre de colonnes ( m=n).
Zéro - où tous les éléments de la matrice = 0.
Matrice transposée - matrice DANS, qui a été obtenu à partir de la matrice originale UN en remplaçant les lignes par des colonnes.
Unité - tous les éléments de la diagonale principale = 1, tous les autres = 0.
Une matrice inverse est une matrice qui, multipliée par la matrice d'origine, donne une matrice d'identité.

La matrice peut être symétrique par rapport aux diagonales principale et secondaire. Autrement dit, si un 12 = un 21, un 13 =un 31,….un 23 =un 32…. un m-1n =un mn-1, alors la matrice est symétrique par rapport à la diagonale principale. Seules les matrices carrées peuvent être symétriques.

Méthodes de résolution de matrices.

Presque toutes méthodes de résolution matricielle consiste à trouver son déterminant n-ème ordre et la plupart d'entre eux sont assez encombrants. Pour trouver le déterminant du 2ème et du 3ème ordre, il existe d'autres méthodes plus rationnelles.

Trouver des déterminants de 2ème ordre.

Pour calculer le déterminant d'une matrice UN 2ème ordre, il faut soustraire le produit des éléments de la diagonale secondaire du produit des éléments de la diagonale principale :

Méthodes pour trouver des déterminants de 3ème ordre.

Vous trouverez ci-dessous les règles pour trouver le déterminant du 3ème ordre.

Règle simplifiée du triangle comme l'une des méthodes de résolution matricielle, peut être représenté de cette façon :

En d'autres termes, le produit des éléments du premier déterminant reliés par des lignes droites est pris avec le signe « + » ; Aussi, pour le 2ème déterminant, les produits correspondants sont pris avec le signe « - », c'est-à-dire selon le schéma suivant :

À résoudre des matrices en utilisant la règle de Sarrus, à droite du déterminant, additionner les 2 premières colonnes et les produits des éléments correspondants sur la diagonale principale et sur les diagonales qui lui sont parallèles sont pris avec un signe « + » ; et les produits des éléments correspondants de la diagonale secondaire et des diagonales qui lui sont parallèles, avec le signe « - » :

Décomposition du déterminant en ligne ou en colonne lors de la résolution de matrices.

Le déterminant est égal à la somme des produits des éléments de la rangée du déterminant et de leurs compléments algébriques. En règle générale, la ligne/colonne contenant des zéros est sélectionnée. La ligne ou la colonne le long de laquelle la décomposition est effectuée sera indiquée par une flèche.

Réduire le déterminant à la forme triangulaire lors de la résolution de matrices.

À résolution de matrices méthode de réduction du déterminant à une forme triangulaire, ils fonctionnent comme ceci : en utilisant les transformations les plus simples sur des lignes ou des colonnes, le déterminant prend une forme triangulaire puis sa valeur, conformément aux propriétés du déterminant, sera égale au produit des éléments qui se trouvent sur la diagonale principale.

Théorème de Laplace pour résoudre des matrices.

Lors de la résolution de matrices à l'aide du théorème de Laplace, vous devez connaître le théorème lui-même. Théorème de Laplace : Soit Δ - c'est un déterminant n-ième ordre. Nous sélectionnons n'importe quel k lignes (ou colonnes), à condition k≤ n-1. Dans ce cas, la somme des produits de tous les mineurs k-ième ordre contenu dans le sélectionné k les lignes (colonnes), par leurs compléments algébriques seront égales au déterminant.

Résoudre la matrice inverse.

Séquence d'actions pour solutions matricielles inverses:

Déterminez si une matrice donnée est carrée. Si la réponse est négative, il devient clair qu’il ne peut pas y avoir de matrice inverse.
Nous calculons des compléments algébriques.
Nous composons une matrice d'union (mutuelle, adjointe) C.
On compose la matrice inverse à partir d'additions algébriques : tous les éléments de la matrice adjointe C diviser par le déterminant de la matrice initiale. La matrice finale sera la matrice inverse requise par rapport à celle donnée.
On vérifie le travail effectué : multipliez la matrice initiale et la matrice résultante, le résultat devrait être une matrice identité.

Résolution de systèmes matriciels.

Pour solutions de systèmes matriciels La méthode gaussienne est la plus souvent utilisée.

La méthode de Gauss est une méthode standard pour résoudre des systèmes d'équations algébriques linéaires (SLAE) et consiste dans le fait que les variables sont séquentiellement éliminées, c'est-à-dire qu'à l'aide de changements élémentaires, le système d'équations est amené à un système triangulaire équivalent et à partir de là, séquentiellement, en partant de ce dernier (par numéro), trouvez chaque élément du système.

Méthode Gauss est l'outil le plus polyvalent et le meilleur pour trouver des solutions matricielles. Si un système a un nombre infini de solutions ou si le système est incompatible, alors il ne peut pas être résolu en utilisant la règle de Cramer et la méthode matricielle.

La méthode de Gauss implique également des mouvements directs (réduction de la matrice étendue à une forme pas à pas, c'est-à-dire obtention de zéros sous la diagonale principale) et inverses (obtention de zéros au-dessus de la diagonale principale de la matrice étendue). Le mouvement vers l'avant est la méthode de Gauss, le mouvement inverse est la méthode de Gauss-Jordan. La méthode Gauss-Jordan ne diffère de la méthode Gauss que par la séquence d'élimination des variables.