Un point mathématique est volumétrique. Point critique (mathématiques)

Le concept de point critique peut être généralisé au cas des applications différentiables, et au cas des applications différentiables de variétés arbitraires. f : N n → M m (\displaystyle f:N^(n)\to M^(m)). Dans ce cas, la définition d'un point critique est que le rang de la matrice jacobienne de la cartographie f (style d'affichage f) il contient moins que la valeur maximale possible égale à .

Les points critiques des fonctions et des cartes jouent un rôle important dans des domaines mathématiques tels que les équations différentielles, le calcul des variations, la théorie de la stabilité, ainsi qu'en mécanique et en physique. L’étude des points critiques des cartographies lisses est l’une des principales questions de la théorie des catastrophes. La notion de point critique est également généralisée au cas de fonctionnelles définies sur des espaces fonctionnels de dimension infinie. Trouver les points critiques de telles fonctionnelles est une partie importante du calcul des variations. Les points critiques des fonctionnelles (qui, à leur tour, sont des fonctions) sont appelés sports extrêmes.

Définition formelle

Critique(ou spécial ou stationnaire) point d'une cartographie continuellement différenciable f : R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m)) le point auquel le différentiel de cette cartographie est appelé f ∗ = ∂ f ∂ x (\displaystyle f_(*)=(\frac (\partial f)(\partial x))) est dégénérer transformation linéaire des espaces tangents correspondants T x 0 R n (\displaystyle T_(x_(0))\mathbb (R) ^(n)) Et T f (x 0) R m (\displaystyle T_(f(x_(0)))\mathbb (R) ^(m)), c'est-à-dire la dimension de l'image de transformation f ∗ (x 0) (\displaystyle f_(*)(x_(0))) moins min ( n , m ) (\displaystyle \min\(n,m\)). En notation de coordonnées lorsque n = m (\style d'affichage n=m) cela signifie que le jacobien est le déterminant de la matrice jacobienne de la cartographie f (style d'affichage f), composé de toutes les dérivées partielles ∂ f j ∂ x je (\displaystyle (\frac (\partial f_(j))(\partial x_(i))))- devient nul en un point. Espaces et R m (\displaystyle \mathbb (R) ^(m)) dans cette définition peut être remplacé par des variétés N n (\style d'affichage N^(n)) Et M m (\style d'affichage M^(m)) les mêmes dimensions.

Théorème de Sard

La valeur cartographique au point critique est appelée son valeur critique. D'après le théorème de Sard, l'ensemble des valeurs critiques de toute cartographie suffisamment fluide f : R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m)) a une mesure de Lebesgue nulle (bien qu'il puisse y avoir n'importe quel nombre de points critiques ; par exemple, pour une cartographie d'identité, n'importe quel point est critique).

Affichages de rang constant

Si à proximité d'un point x 0 ∈ R n (\displaystyle x_(0)\in \mathbb (R) ^(n)) rang de cartographie continuellement différenciable f : R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m))égal au même nombre r (style d'affichage r), puis au voisinage de ce point x 0 (\style d'affichage x_(0)) il y a des coordonnées locales centrées sur x 0 (\style d'affichage x_(0)), et au voisinage de son image - points y 0 = f (x 0) (\displaystyle y_(0)=f(x_(0)))- il y a des coordonnées locales (y 1 , … , y m) (\displaystyle (y_(1),\ldots,y_(m))) centré sur f (style d'affichage f) est donné par les relations :

Y 1 = x 1 , … , y r = x r , y r + 1 = 0 , … , y m = 0. (\displaystyle y_(1)=x_(1),\ \ldots ,\ y_(r)=x_(r ),\ y_(r+1)=0,\ \ldots ,\ y_(m)=0.)

En particulier, si r = n = m (\displaystyle r=n=m), alors il y a des coordonnées locales (x 1 , … , x n) (\displaystyle (x_(1),\ldots,x_(n))) centré sur x 0 (\style d'affichage x_(0)) et coordonnées locales (y 1 , … , y n) (\displaystyle (y_(1),\ldots,y_(n))) centré sur y 0 (\style d'affichage y_(0)), de telle sorte qu'en eux la cartographie f (style d'affichage f) est identique.

Événement m = 1

Dans ce cas, cette définition signifie que le gradient ∇ f = (f x 1 ′ , … , f x n ′) (\displaystyle \nabla f=(f"_(x_(1)),\ldots,f"_(x_(n))))à ce stade disparaît.

Supposons que la fonction f : R n → R (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ) a une classe de douceur non inférieure C 3 (\style d'affichage C^(3)). Point critique d'une fonction f appelé non dégénéré, s'il contient un Hessian |∂ 2 f ∂ x 2 | f(\displaystyle (\Bigl |)(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))(\Bigr |))

différent de zéro. Au voisinage d'un point critique non dégénéré il existe des coordonnées dans lesquelles la fonction a une forme normale quadratique (lemme Morse). Une généralisation naturelle du lemme de Morse pour les points critiques dégénérés est f Théorème de Tujron : au voisinage du point critique dégénéré de la fonction, différentiable un nombre infini de fois () de multiplicité finie μ (\displaystyle \mu) il existe un système de coordonnées dans lequel la fonction lisse a la forme d'un polynôme de degré μ + 1 (\displaystyle \mu +1)(comme P μ + 1 (x) (\displaystyle P_(\mu +1)(x)) on peut prendre le polynôme de Taylor de la fonction

À m = 1 (\ displaystyle m = 1) Il est logique de s’interroger sur le maximum et le minimum d’une fonction. Selon un énoncé bien connu de l'analyse mathématique, une fonction continuellement différentiable f (style d'affichage f), défini sur tout l'espace R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) ou dans son sous-ensemble ouvert, peut atteindre un maximum local (minimum) uniquement aux points critiques, et si le point est non dégénéré, alors la matrice (∂ 2 f ∂ x 2) = (∂ 2 f ∂ x i ∂ x j) , (\displaystyle (\Bigl ()(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))( \Bigr))=(\Bigl ()(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x_(i)\partial x_(j)))(\Bigr)),) je , j = 1 , … , n , (\displaystyle i,j=1,\ldots,n,) il doit être négatif (positif) défini. Cette dernière est également une condition suffisante pour un maximum local (respectivement un minimum).

Événement n = m = 2

Au cas où n=m=2 nous avons un affichage f plan à plan (ou variété bidimensionnelle à une autre variété bidimensionnelle). Supposons que la cartographie f différentiable un nombre infini de fois ( C ∞ (\displaystyle C^(\infty ))). Dans ce cas, les points critiques typiques de la cartographie f sont ceux dans lesquels le déterminant de la matrice jacobienne est égal à zéro, mais son rang est égal à 1, et donc le différentiel de l'application fà de tels points a un noyau unidimensionnel. La deuxième condition de typicité est qu'au voisinage du point considéré sur le plan prototype l'ensemble des points critiques forme une courbe régulière S, et à presque tous les points de la courbe S cœur ker f ∗ (\displaystyle \ker \,f_(*)) ne concerne pas S, et les points où ce n'est pas le cas sont isolés et la tangence à leur égard est du premier ordre. Les points critiques du premier type sont appelés points de pliage, et le deuxième type - points d'assemblage. Les plis et les assemblages sont les seuls types de singularités des applications plan à plan stables vis-à-vis des petites perturbations : pour les petites perturbations, les points de pli et d'assemblage ne se déplacent que légèrement avec la déformation de la courbe. S, mais ne disparaissent pas, ne dégénèrent pas et ne s'effondrent pas en d'autres caractéristiques.

ÉCOLE SANATORIUM MKOOUST - INTERNATION

Formes ponctuelles et géométriques.

Travaux de recherche en mathématiques.

Complété par : Anatoly Vasiliev, élève de 3e année

Chef de chantier :

Dubovaïa Natalia Leonidovna,

Professeur d'école primaire.

Tommot, 2013

1. Bref résumé. .................................................................. .......................2
2. Annotation. .................................................................. ......................................3
3. Article scientifique. .................................................................. ......................................6
4. Conclusion................................................. ............................................7

Références.

Bref résumé.

L'ouvrage examine le point et les figures géométriques : ligne, rayon, segment, angle, triangle, quadrilatère, cercle et cercle, ainsi que le rôle du point dans la composition et la construction de ces figures.

Annotation.

Objectif de l'étude :découvrez ce que signifient les notions de point et de quoi sont constituées les figures géométriques : droite, rayon, angle, quadrilatère, triangle, cercle.

Objet d'étude :point et définitions des figures géométriques : droite, rayon, angle, quadrilatère, triangle, cercle.

Sujet de recherche :points et figures géométriques : droite, rayon, angle, quadrilatère, triangle, cercle.

Hypothèse de recherche :un point est la seule figure géométrique, et toutes les autres sont constituées de plusieurs points.

Objectifs de recherche :

1. matériel d'étude sur le thème : « Figures ponctuelles et géométriques : ligne droite, rayon, angle, quadrilatère, triangle, cercle. » ;
2. trouver les définitions d'un point, d'une ligne droite, d'un quadrilatère, d'un triangle, d'un angle, d'un rayon, d'un cercle ;
3. présentez votre analyse et vos réflexions sur ce sujet ;
4. fournir une présentation basée sur ces travaux de recherche.

Méthodes de recherche :étudier la littérature, travailler avec des dictionnaires, analyse de recherche, conclusion.

Article scientifique.

Les mathématiques sont nées dans l’Antiquité des besoins pratiques des hommes. Personne ne contestera l'ancienneté des mathématiques, mais il existe une opinion différente sur ce qui a poussé les gens à les étudier. Selon lui, les mathématiques, tout comme la poésie, la peinture, la musique, le théâtre et l’art en général, ont été nées des besoins spirituels de l’homme, de son désir, peut-être pas encore pleinement réalisé, de connaissance et de beauté.

Vous êtes-vous déjà demandé ce qu'est un point et de quoi sont constituées les formes géométriques ?

À première vue, tout est clair ici : un point est un point, une droite est une droite, qu'est-ce qui pourrait être incompréhensible ici ? Mais comment expliquer cela à quelqu’un qui ne sait rien du tout et qui, en plus, comprend tout au pied de la lettre ? Est-ce vraiment aussi simple ? Il s'avère que pas du tout !

Pendant les cours de travail, lorsque nous étudiions la technique de l'isothread, je pensais que toutes les figures géométriques étaient constituées de points. C'est à ce sujet que j'ai décidé de consacrer mes travaux de recherche.

"Je sais que je ne sais rien", a déclaré Socrate et, à travers le dialogue avec son interlocuteur, il a essayé de découvrir ce qu'il savait exactement. C'est pourquoi j'ai décidé de découvrir d'abord ce que je sais sur les formes géométriques.

Regardons donc les définitions des formes géométriques désignées par le thème de mes travaux de recherche.

1. Point - c'est une marque, une marque d'un toucher, une injection avec quelque chose de pointu ; petite tache ronde, tache ; quelque chose de très petit, à peine visible. Un point est une figure géométrique de base

1. Doubler- c'est un ensemble de points. Si la base de la construction de la géométrie est le concept de distance entre les points dans l'espace, alors une ligne droite peut être définie comme une ligne le long de laquelle la distance entre deux points est la plus courte. Direct - il existe une ligne qui est également située par rapport à tous ses points. Le terme « ligne » vient du latin linum – « lin, fil de lin ».

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1. Faisceau est une partie d'une ligne composée de tous les points de cette ligne situés d'un côté d'un point donné.

1. Segment est une partie d'une ligne composée de tous les points de cette ligne situés entre deux points donnés.

1. Coin- Il s'agit d'une figure composée du point sommet de l'angle et de deux demi-lignes différentes descendant de ce point, les côtés de l'angle.

1. Quadrilatèreest une figure composée de quatre points et de quatre segments consécutifs qui les relient.

1. Triangle - une figure composée de trois points ne se trouvant pas sur une même ligne, reliés par des segments.

1. Cercle -

Cercle est une figure composée de tous les points du plan équidistants d'un point donné. Une ligne fermée autour d'un cercle.

CONCLUSION.

Les notions de point et de ligne droite se retrouvent partout dans nos vies. Par exemple, si vous regardez la langue russe, un point est un signe de ponctuation (.) séparant une phrase complète. Dans la langue russe également, il existe des signes de ponctuation tels que le point-virgule, le deux-points et les points de suspension.

En physique, un point est une valeur spécifique d'une quantité.

En géographie, un point est considéré comme un emplacement spécifique dans l'espace.

En biologie, c'est le point de croissance des plantes.

En chimie – point de congélation, point d’ébullition, point de fusion.

En musique, un point est un signe qui est l'un des principaux éléments de la notation musicale.

En mathématiques, un point est une figure géométrique de base ; l'intersection de deux lignes droites, la limite d'un segment de droite, le début d'un rayon, etc.

Pour construire une figure, nous avons besoin d’un point. Basé sur la définition d'une ligne droite,UNE LIGNE EST PLUSIEURS POINTS, et d'après les définitions, nous savons que toute figure est construite à l'aide d'un point et d'une ligne, donc toutes les figures sont constituées de points.

Dans notre vie, un point est une icône d'injection, un petit point.

Mes travaux de recherche me permettent de conclure que le point est la seule figure géométrique. Tout commence par un point et se termine par lui, et on ne sait pas encore à quel genre de découverte cela servira de début.

Littérature:

1 .Aksenova M.D. Encyclopédie pour enfants. T.11. - Mathématiques, M. : Avanta+, 1999. Page 575.

2 .Atanasyan L.S., géométrie, 7-9 : manuel pour les établissements d'enseignement / 12e éd. - M. : Éducation, 2002. Pp. 5, 146, 177,178.

3. Atanasyan L.S., géométrie, 10-11 : manuel pour les établissements d'enseignement / 15e éd., complémentaire. - M. : Éducation, 2006. pp. 5-7.

4 .Vinogradov I.M., encyclopédie mathématique/M. : Encyclopédie soviétique. Pages 410, 722.

5 .Evgenieva A.P. Dictionnaire de la langue russe. - M. : Éducation, 1984.

6 .Kabardin O.F. Physique : matériaux de référence. - M. : Éducation, 1991.

7 .Kramer G. Méthodes mathématiques de statistique, traduction de l'anglais, 2e éd., M., 1975.

8 .Lapatukhin M.S. Dictionnaire explicatif scolaire de la langue russe. - M. : Éducation, 1981.

9 .Prokhorov A.M. Grand dictionnaire encyclopédique. - M. : Éducation, 1998.

10. Prokhorov Yu.V. Dictionnaire encyclopédique mathématique. - M. : Éducation, 1998.

11 .Savin A.P. Dictionnaire encyclopédique d'un jeune mathématicien. - M. : Pédagogie, 1985, p.

12 Sharygin I.F. Géométrie visuelle. - M. : Éducation, 1995.

Point- un objet abstrait dans l'espace qui ne présente aucune caractéristique mesurable (objet de dimension zéro). Un point est l'un des concepts fondamentaux en mathématiques.

Point dans la géométrie euclidienne

Euclide a défini un point comme « un objet qui n'a aucune partie ». Dans l'axiomatique moderne de la géométrie euclidienne, un point est un concept primaire, défini uniquement par une liste de ses propriétés - les axiomes.

Dans le système de coordonnées choisi, tout point de l'espace euclidien bidimensionnel peut être représenté comme une paire ordonnée ( x; oui) nombres réels. De même, pointez n L'espace euclidien dimensionnel (ainsi que l'espace vectoriel ou affine) peut être représenté sous la forme d'un tuple ( un 1 , un 2 , … , un n) depuis n Nombres.

Links

• Indiquer(anglais) sur le site PlanetMath.
• Weisstein, Éric W. Point (anglais) sur le site Wolfram MathWorld.

le point est :

Modèle de points. | Point d'injection. | La ville est indiquée sur la carte par un petit point et on ne peut que deviner la présence d'une route de contournement.

2. Point- c'est quelque chose de très petit, difficile à voir en raison de la distance ou d'autres raisons.

Un point à l'horizon. | À mesure que la boule s’approchait de l’horizon dans le ciel occidental, sa taille commençait à diminuer lentement jusqu’à devenir un point.

3. Point- un signe de ponctuation placé à la fin d'une phrase ou lors de l'abréviation de mots.

Faites valoir un point. | N'oubliez pas de mettre un point à la fin de la phrase

4. En mathématiques, géométrie et physique point- c'est une unité qui a une position dans l'espace, la limite d'un segment de droite.

Point mathématique.

5. Point nommer un endroit précis dans l’espace, au sol ou à la surface de quelque chose.

Point de placement. | Point douloureux.

6. Point ils appellent le lieu où quelque chose se trouve ou se réalise, un nœud spécifique dans un système ou un réseau de certains points.

Chaque point de vente doit avoir sa propre enseigne.

7. Point Ils appellent la limite de développement de quelque chose, un certain niveau ou moment de développement.

Point culminant. | Point de développement. | La situation a atteint un point critique. | C’est le point culminant de la manifestation du pouvoir spirituel humain.

8. Point Ils appellent la limite de température à laquelle se produit la transformation d'une substance d'un état d'agrégation à un autre.

Point d'ébullition. | Point de congélation. | Point de fusion. | Plus l’altitude est élevée, plus le point d’ébullition de l’eau est bas.

9. Point-virgule (;) est un signe de ponctuation utilisé pour séparer les parties communes et plus indépendantes d'une phrase complexe.

En anglais, presque les mêmes signes de ponctuation sont utilisés qu'en russe : point, virgule, point-virgule, tiret, apostrophe, parenthèses, points de suspension, points d'interrogation et d'exclamation, trait d'union.

10. Quand ils parlent de point de vue, c’est-à-dire l’opinion de quelqu’un sur un certain problème, une façon de voir les choses.

Un autre point de vue, auparavant presque universellement accepté, est désormais moins populaire. | Personne ne partage ce point de vue à notre époque.

11. S'ils disent des gens qu'ils ont terrain d'entente, ce qui signifie qu’ils ont des intérêts communs.

Peut-être pouvons-nous trouver un terrain d’entente.

12. Si quelque chose est dit point à point, nous entendons une correspondance absolument exacte.

Point à point, à l'endroit où c'était indiqué, il y avait une voiture couleur café.

13. S'ils disent d'une personne qu'il atteint le point, ce qui signifie qu'il a atteint l'extrême limite dans la manifestation de certaines qualités négatives.

Nous avons atteint le point ! Tu ne peux plus vivre comme ça ! | Vous ne pouvez pas lui dire que les services spéciaux ont atteint ce point sous sa sage direction.

14. Si quelqu'un y met fin dans certaines affaires, cela signifie qu'il l'arrête.

Puis il revint de l'émigration dans son pays natal, en Russie, en Union soviétique, et ainsi il mit fin à toutes ses recherches et réflexions.

15. Si quelqu'un met des points sur les "i"(ou sur moi), ce qui signifie qu’il amène les choses à leur conclusion logique et ne laisse rien de non-dit.

Mettons les points sur les i. Je ne savais rien de votre initiative.

16. Si quelqu'un atteint un point, ce qui signifie qu'il a concentré tous ses efforts sur la réalisation d'un seul objectif.

C'est pourquoi ses images sont si claires ; il touche toujours au même point, sans jamais se laisser emporter par des détails mineurs. | Il comprend très bien quelle est la tâche de son entreprise et aborde délibérément un point.

17. Si quelqu'un frapper sur place, cela signifie qu'il a dit ou fait exactement ce qui était nécessaire, il a bien deviné.

La toute première lettre présentée au prochain tour du concours a agréablement surpris les éditeurs - dans l'une des options répertoriées, notre lecteur a immédiatement mis le doigt sur la tête !

Acupression.

Dictionnaire explicatif de la langue russe par Dmitriev. D.V. Dmitriev. 2003.

Point

Point peut signifier :

• Un point est un objet abstrait dans l’espace qui ne possède aucune caractéristique mesurable autre que des coordonnées.
• Un point est un signe diacritique qui peut être placé au-dessus, en dessous ou au milieu d'une lettre.
• Un point est une unité de mesure de distance dans les systèmes de mesures russe et anglais.
• Un point est l'une des représentations d'un séparateur décimal.
• Dot (technologies de réseau) - désignation du domaine racine dans la hiérarchie mondiale des domaines de réseau.
• Tochka - chaîne de magasins d'électronique et de divertissement
• Tochka - album du groupe "Leningrad"
• The Point est un film russe de 2006 basé sur l'histoire du même nom de Grigory Ryazhsky.
• Tochka est le deuxième album studio de l'artiste rap Stan.
• Tochka - complexe de missiles divisionnaire.
• Tochka - Magazine sous-culturel de la jeunesse de Krasnoïarsk.
• Tochka est un club et une salle de concert à Moscou.
• Le point est l'un des symboles du code Morse.
• Le point est le lieu du service de combat.
• Point (traitement) - le processus d'usinage, de tournage, d'affûtage.
• POINT - Programme d'information et d'analyse sur NTV.
• Tochka est un groupe de rock de Norilsk fondé en 2012.

Toponyme

Kazakhstan

• Point- jusqu'en 1992, le nom du village de Bayash Utepov dans le district d'Ulan de la région du Kazakhstan oriental.

Russie

• Tochka est un village du district de Sheksninsky de la région de Vologda.
• Tochka est un village du district de Volotovsky de la région de Novgorod.
• Tochka est un village du district de Lopatinsky de la région de Penza.

Pouvez-vous définir des concepts tels que le point et la ligne ?

Nos écoles et universités n’avaient pas ces définitions, même si elles sont essentielles à mon avis (je ne sais pas comment c’est dans d’autres pays). Nous pouvons définir ces concepts comme « réussis et infructueux » et nous demander si cela est utile au développement de la pensée.

Lutteur

C’est étrange, mais ils nous ont donné une définition d’un point. Il s'agit d'un objet abstrait (convention) situé dans un espace qui n'a aucune dimension. C'est la première chose qui nous a été martelée à l'école : un point n'a pas de dimensions, c'est un objet « zéro dimension ». Un concept conditionnel, comme tout en géométrie.

C'est encore plus difficile avec une ligne droite. Tout d’abord, c’est une ligne. Deuxièmement, il s'agit d'un ensemble de points situés d'une certaine manière dans l'espace. Dans sa définition la plus simple, c'est une ligne définie par deux points par lesquels elle passe.

Médivh

Un point est une sorte d’objet abstrait. Un point a des coordonnées, mais n'a ni masse ni dimensions. En géométrie, tout commence précisément par un point ; c'est le début de toutes les autres figures (en écriture aussi, sans point, il n'y aura pas de début de mot). Une ligne droite est la distance entre deux points.

Léonid Kutniy

Tout peut être défini de n'importe quelle manière. Mais une question se pose : cette définition « fonctionnera-t-elle » dans une science spécifique ? D’après ce dont nous disposons, cela ne sert à rien de donner une définition d’un point, d’une droite et d’un plan. J'ai beaucoup aimé les commentaires d'Arthur. Je voudrais ajouter qu'un point a de nombreuses propriétés : il n'a ni longueur, ni largeur, ni hauteur, n'a ni masse ni poids, etc. Mais la propriété principale d'un point est qu'il indique clairement l'emplacement de. un objet, un objet sur plan, dans l'espace. C'est pourquoi nous avons besoin d'un point ! Mais un lecteur intelligent dira qu'alors un livre, une chaise, une montre et d'autres choses peuvent être considérés comme un point. Absolument vrai ! Il ne sert donc à rien de donner une définition d’un point. Cordialement, L.A. Kutniy

Une ligne droite est l'un des concepts de base de la géométrie.

Le point est un signe de ponctuation lors de l’écriture dans de nombreuses langues.

De plus, un point est l'un des symboles du code Morse.

Tant de définitions :D

Les définitions d'un point, d'une ligne droite et d'un plan ont été données par moi à la fin des années 80 et au début des années 90 du 20e siècle. Je donne le lien :

https://yadi.sk/d/bn5Cr4iirZwDP

Dans le volume de 328 pages, l'essence cognitive de ces concepts est décrite sous un aspect complètement nouveau, qui sont expliqués sur la base d'une vision physique réelle du monde et du sentiment « je suis », qui signifie que « j'existe », tout comme le L'univers lui-même auquel j'appartiens existe.

Tout ce qui est écrit dans cet ouvrage est confirmé par la connaissance que l’humanité a de la nature et de ses propriétés, découvertes depuis longtemps et encore explorées à l’heure actuelle. Les mathématiques sont devenues si difficiles à comprendre et à conceptualiser afin d’appliquer leurs images abstraites à la pratique des avancées technologiques. En révélant les Fondements, qui sont les principes fondamentaux, il est possible d'expliquer même à un élève du primaire les raisons qui sous-tendent l'existence de l'Univers. Lisez et rapprochez-vous de la Vérité. Rassurez-vous, le monde dans lequel nous existons s’ouvre devant vous sous un jour nouveau.

Existe-t-il une définition du concept « point » en mathématiques et en géométrie.

Mikhaïl Levine

Le « concept indéterminable » est-il une définition ?

En fait, c’est précisément l’incertitude des concepts qui permet d’appliquer les mathématiques à différents objets.

Un mathématicien peut même dire « par un point j'entendrai le plan euclidien, par un plan - un point euclidien » - vérifier tous les axiomes et obtenir une nouvelle géométrie ou de nouveaux théorèmes.

Le fait est que pour définir le terme A, il faut utiliser le terme B. Pour définir B, il faut le terme C. Et ainsi de suite à l’infini. Et pour nous sauver de cet infini, nous devons accepter certains termes sans définition et construire sur eux des définitions d’autres. ©

Grigori Piven

En mathématiques, Piven Gregory, un point est une partie de l'espace, qui est prise abstraitement (en miroir) comme un segment minimum de longueur égale à 1, qui est utilisé pour mesurer d'autres parties de l'espace. Par conséquent, une personne choisit l'échelle d'un point par commodité, pour un processus de mesure productif : 1 mm, 1 cm, 1 m, 1 km, 1a. e., 1 St. année. etc.

Après avoir compris ce que sont les unités de mesure et les dimensions, nous pouvons maintenant passer aux mesures proprement dites. En mathématiques scolaires, deux instruments de mesure sont utilisés : (1) une règle pour mesurer les distances et (2) un rapporteur pour mesurer les angles.

Point

La distance est toujours mesurée entre deux points quelconques. Concrètement, un point est un petit point qui reste sur le papier lorsqu'on le pique avec un crayon ou un stylo. Une autre manière, plus préférable, de définir un point consiste à tracer une croix avec deux lignes fines, ce qui aboutit à définir point leurs intersections. Dans les dessins des livres, le point est souvent représenté par un petit cercle noir. Mais ce ne sont que des images visuelles approximatives, et au sens mathématique strict, point - c'est un objet imaginaire dont la taille dans toutes les directions est nulle. Pour les mathématiciens, le monde entier est constitué de points. Les points sont partout. Lorsque nous insérons un stylo dans du papier ou dessinons une croix, nous ne créons pas de nouveau point, mais marquons simplement un point existant afin d'attirer l'attention de quelqu'un sur celui-ci. Sauf indication contraire, on suppose que les points sont immobiles et ne changent pas de position relative. Mais il n'est pas difficile d'imaginer un point mobile qui se déplace d'un endroit à l'autre, comme s'il fusionnait avec un point fixe, puis avec un autre.

Droit

En plaçant une règle sur deux points, on peut tracer une ligne droite qui les traverse, et de plus le seul moyen. Mathématique imaginaire droit, tracé le long d'une règle idéale imaginaire, a une épaisseur nulle et s'étend dans les deux sens jusqu'à l'infini. Dans un dessin réel, cette structure imaginaire prend la forme :

En fait, tout est faux dans ce dessin. L’épaisseur de la ligne est ici clairement supérieure à zéro, et il n’y a aucun moyen de dire que la ligne s’étend à l’infini. Néanmoins, ces dessins irréguliers sont très utiles comme support à l’imagination, et nous les utiliserons constamment. Pour faciliter la distinction d'un point d'un autre, ils sont généralement marqués de lettres majuscules de l'alphabet latin. Sur cette figure par exemple, les points sont indiqués par des lettres UN Et B. Ligne passant par des points UN Et B, reçoit automatiquement le nom « droit UNB" Par souci de concision, la notation ( UNB), où le mot « droit » est omis et des parenthèses sont ajoutées. Les lignes droites peuvent également être indiquées en lettres minuscules. Dans la figure ci-dessus, la droite UNB indiqué par la lettre n.

Au-delà des points UN Et B en ligne droite n il existe un grand nombre d'autres points, dont chacun peut être représenté comme une intersection avec une autre ligne. De nombreuses lignes droites différentes peuvent être tracées passant par le même point.

Si nous savons qu'il y a des points qui ne coïncident pas sur une droite UN, B, C Et D, alors il peut à juste titre être désigné non seulement comme ( AB), mais aussi comment ( A.C.), (BD), (CD) etc.

Segment. Longueur du segment. Distance entre les points

La partie d'une droite délimitée par deux points s'appelle segment. Ces points limites appartiennent également au segment et sont appelés ses se termine. Un segment dont les extrémités tombent sur des points UN Et B, noté « segment UNB"ou, un peu plus court, [ UNB].

Chaque segment est caractérisé longueur- le nombre (éventuellement fractionnaire) de « pas » qu'il faut faire le long du segment pour passer d'un bout à l'autre. Dans ce cas, la longueur du « pas » lui-même est une valeur strictement fixe, qui est prise comme unité de mesure. Il est plus pratique de mesurer la longueur des segments dessinés sur une feuille de papier en centimètres. Si les extrémités du segment tombent sur les points UN Et B, alors sa longueur est notée | UNB|.

Sous distance entre deux points est la longueur du segment qui les relie. En fait, cependant, il n'est pas nécessaire de tracer un segment pour mesurer la distance - il suffit d'attacher une règle aux deux points (sur laquelle sont pré-marquées les traces des « marches »). Puisqu’en mathématiques un point est un objet fictif, rien ne nous empêche d’utiliser dans notre imagination une règle idéale qui mesure la distance avec une précision absolue. Il ne faut cependant pas oublier qu'une véritable règle appliquée aux points ou centres des croix sur papier ne permet de régler la distance qu'approximativement - avec une précision d'un millimètre. La distance est toujours non négative.

Position d'un point sur une droite

Donnons-nous une ligne droite. Marquons dessus un point arbitraire et désignons-le avec la lettre Ô. Mettons le chiffre 0 à côté. Appelons l'une des deux directions possibles le long de la ligne droite « positive » et l'autre - « négative ». Habituellement, la direction positive est prise de gauche à droite ou de bas en haut, mais ce n'est pas nécessaire. Marquons la direction positive avec une flèche, comme indiqué sur la figure :

Maintenant pour tout point situé sur une droite, on peut le déterminer position. Position des points UN est donné par une valeur qui peut être négative, nulle ou positive. Sa valeur absolue est égale à la distance entre les points Ô Et UN(c'est-à-dire la longueur du segment ÔUN), et le signe est déterminé par la direction à partir du point Ô il faut bouger pour aller droit au but UN. Si vous devez vous déplacer dans une direction positive, alors le signe est positif. S'il est négatif, alors le signe est négatif. Au lieu du mot « position », le mot « est souvent utilisé » coordonner».

Chiffres irrationnels et réels

Lorsqu'on a affaire à un dessin réel et qu'on détermine la position d'un point réel sur une ouverture réelle à l'aide d'une règle scolaire, on obtient une valeur arrondie au millimètre près. Autrement dit, le résultat est une valeur tirée de la série suivante :

0 mm, 1 mm, −1 mm, 2 mm, −2 mm, 3 mm, −3 mm etc.

Le résultat ne peut pas être égal par exemple à 1/3 cm, car, comme nous le savons, un tiers de centimètre peut être représenté comme une fraction périodique infinie

0,333333333... cm,

qui après arrondi devrait devenir égal à 0,3 cm.

Il en va tout autrement lorsque nous manipulons des objets mathématiques idéaux dans notre imagination.

Premièrement, dans ce cas, vous pouvez facilement abandonner les unités de mesure et opérer exclusivement avec des quantités sans dimension. Venons-en ensuite à la construction géométrique avec laquelle nous avons fait connaissance en parcourant les nombres rationnels, et que nous avons appelée droite numérique:

Puisque le mot « droit » en géométrie est déjà fortement « chargé », cette même construction est souvent appelée axe des nombres ou juste axe.

Deuxièmement, nous pouvons très bien imaginer que la coordonnée d'un point soit donnée par une fraction décimale périodique, comme

De plus, on peut imaginer une infinité non périodique fraction - comme, par exemple,

1 ,01 001 0001 00001 000001 0000001 ...

1 ,23 45 67 89 1011 1213 1415 1617 1819 2021 ...

De tels nombres imaginaires, représentables sous forme de fractions décimales infinies et non périodiques, sont appelés irrationnel. Les nombres irrationnels, avec les nombres rationnels déjà familiers, forment ce qu'on appelle valide Nombres. Au lieu du mot « réel », nous utiliserons également le mot « réel" Toute position imaginable d'un point sur une ligne peut être exprimée sous forme de nombre réel. Et vice versa, si on nous donne un nombre réel x, on peut toujours imaginer un point X, dont la position est précisée par le numéro x.

Biais

Laisser un- coordonnée du point UN, UN b- coordonnée du point B. Alors la valeur

v = b − un

est déplacement, ce qui traduit le point UN au point B. Cela devient particulièrement évident si l'égalité précédente est réécrite sous la forme

b = un + v.

Parfois, au lieu du mot « déplacement », ils utilisent le mot « vecteur" Il est facile de voir que la situation x point arbitraire X- ce n'est rien d'autre qu'un décalage qui traduit le point Ô(avec coordonnée égale à zéro) vers un point X:

x= 0 + x.

Les décalages peuvent être ajoutés les uns aux autres et également soustraits les uns aux autres. Ainsi, si le décalage ( b − un) traduit le point UN au point B, et le décalage ( c − b) indiquer B au point C, puis le décalage

(b − un) + (c − b) = c − un

traduit le point UN au point C.

Note. Logiquement, il serait nécessaire de clarifier comment additionner et soustraire des nombres irrationnels, puisque le déplacement pourrait bien s'avérer irrationnel. Bien entendu, les mathématiciens ont pris soin de développer les procédures formelles appropriées, mais en pratique nous ne le ferons pas, car des calculs approximatifs avec des valeurs arrondies suffisent toujours pour résoudre des problèmes pratiques. Pour l'instant, nous considérerons simplement que les concepts d'« addition » et de « soustraction » - ainsi que de « multiplication » et de « division » - sont correctement définis pour deux nombres réels quelconques (avec la mise en garde, cependant, que vous ne peut pas diviser par zéro).

Il conviendrait peut-être ici de noter la subtile différence entre les concepts de « déplacement » et de « distance ». La distance est toujours non négative. Il représente en fait un déplacement pris en valeur absolue. Donc, si le décalage

v = b − un

traduit le point UN au point B, puis la distance s entre les points UN Et B est égal

s = |v| = |b − une|.

Cette égalité reste valable quel que soit celui des deux nombres qui est le plus grand - un ou b.

Avion

D'un point de vue pratique, un avion est un morceau de papier sur lequel nous dessinons nos dessins géométriques. Imaginaire plan mathématique diffère d'une feuille de papier en ce qu'elle a une épaisseur nulle et une surface illimitée qui s'étend dans différentes directions jusqu'à l'infini. De plus, contrairement à une feuille de papier, un plan mathématique est absolument rigide : il ne se plie ni ne se froisse - même s'il est arraché du bureau et placé dans l'espace de quelque manière que ce soit.

L'emplacement de l'avion dans l'espace est déterminé de manière unique par trois points (à moins qu'ils ne se trouvent sur une ligne droite). Pour imaginer cela plus clairement, dessinons trois points arbitraires, Ô, UN Et B, et tracez deux lignes droites à travers eux O.A. Et O.B. comme le montre l'image :

« Étirer » un plan dans votre imagination sur deux lignes droites qui se croisent est un peu plus facile que de le « soutenir » sur trois points. Mais pour encore plus de clarté, faisons quelques constructions supplémentaires. Prenons quelques points au hasard : un n'importe où sur la ligne O.A., et l'autre - n'importe où sur la ligne droite O.B.. Traçons une nouvelle ligne passant par cette paire de points. Ensuite, de la même manière, sélectionnez une autre paire de points et tracez une autre ligne droite à travers eux. En répétant cette procédure plusieurs fois, nous obtenons quelque chose comme une toile d'araignée :

Il est déjà assez simple d'imposer un plan sur une telle structure - d'autant plus que cette toile imaginaire peut être rendue si épaisse qu'elle couvrira tout le plan sans espaces.

Notez que si nous prenons une paire de points divergents sur un plan et traçons une ligne droite qui les traverse, alors cette ligne droite se trouvera nécessairement dans le même plan.

Abstrait

Point (UN, B, etc.) : un objet imaginaire dont la taille dans toutes les directions est nulle.

Droit (n, m ou ( AB)) : une ligne infiniment fine ; est tracé par deux points ( UN Et B) le long de la ligne de manière sans ambiguïté ; s'étend dans les deux sens jusqu'à l'infini.

Segment ([AB]) : partie d'une droite délimitée par deux points ( UN Et B) - les extrémités du segment, qui sont également considérées comme appartenant au segment.

Longueur du segment(|AB| ): nombre (fractionnel) de centimètres (ou autre unité de mesure) qui s'inscrivent entre les extrémités ( UN Et B).

Distance entre deux points: longueur du segment se terminant en ces points.

Position d'un point sur une droite (coordonner) : la distance d'un point à un centre présélectionné (également situé sur une ligne droite) avec un signe plus ou moins attribué, en fonction du côté du centre où se trouve le point.

La position d'un point sur une ligne est spécifiée valide(réel)nombre, à savoir une fraction décimale, qui peut être soit (1) périodique finie ou infinie ( nombres rationnels), ou (2) infini non périodique ( nombres irrationnels).

Biais, ce qui traduit le point UN(avec coordonnées un) au point B(avec coordonnées b): v = b − un.

La distance est égale au déplacement pris en valeur absolue : | AB| = |b − un|.

Avion: une feuille de papier infiniment fine qui s'étend sur différentes faces jusqu'à l'infini ; est défini de manière unique par trois points qui ne se trouvent pas sur la même ligne.

Voir aussi : http://akotlin.com/index.php?sec=1&lnk=2_07

Depuis deux millénaires et demi, les mathématiques utilisent l'abstraction d'un point sans dimension, ce qui contredit non seulement le bon sens, mais aussi la connaissance du monde qui nous entoure obtenue par des sciences telles que la physique, la chimie, la mécanique quantique et l'informatique.

Contrairement à d'autres abstractions, l'abstraction d'un point mathématique sans dimension n'idéalise pas la réalité, simplifiant sa connaissance, mais la déforme délibérément, lui donnant le sens exactement opposé, ce qui, notamment, rend fondamentalement impossible la compréhension et l'étude des espaces de dimension supérieure !

L’utilisation de l’abstraction de points sans dimension en mathématiques peut être comparée à l’utilisation d’une unité monétaire de base de valeur nulle dans les calculs économiques. Heureusement, les économistes n’y ont pas pensé.

Prouvons l'absurdité de l'abstraction d'un point sans dimension.

Théorème. Un point mathématique est volumétrique.

Preuve.

Comme en mathématiques

point_size = 0,

Pour un segment de longueur finie (non nulle) on a

Taille_segment = 0 + 0 + ... + 0 = 0.

La taille nulle résultante du segment, en tant que séquence de ses points constitutifs, contredit la condition selon laquelle la longueur du segment est finie. De plus, la taille du point zéro est absurde dans la mesure où la somme des zéros ne dépend pas du nombre de termes, c'est-à-dire que le nombre de points « zéro » dans un segment n'affecte pas la taille du segment.

Par conséquent, l’hypothèse initiale concernant la taille nulle du point mathématique est FAUSSE.

Ainsi, on peut affirmer qu’un point mathématique a une taille non nulle (finie). Puisque le point appartient non seulement au segment, mais aussi à l'espace dans lequel se trouve le segment, il a la dimension de l'espace, c'est-à-dire que le point mathématique est volumétrique. Q.E.D.

Conséquence.

La preuve ci-dessus, réalisée à l'aide de l'appareil mathématique du groupe junior d'un jardin d'enfants, suscite la fierté de la sagesse illimitée des prêtres et des adeptes de la « reine de toutes les sciences », qui ont réussi à traverser les millénaires et à préserver pour la postérité son forme originale de l’illusion archaïque de l’humanité.

Avis

Cher Alexandre ! Je ne suis pas bon en mathématiques, mais peut-être pourriez-vous me dire où et par qui il est dit que le point est égal à zéro ? Une autre chose est qu’il a une valeur infinitésimale, même au point de convention, mais pas nulle du tout. Ainsi, tout segment peut être considéré comme nul, puisqu'il existe un autre segment qui contient, grosso modo, un nombre infini de segments originaux. Il n’est peut-être pas nécessaire de confondre mathématiques et physique. Les mathématiques sont la science de l'existence, la physique est la science de l'existence. Sincèrement.

J'ai mentionné Achille deux fois en détail et plusieurs fois en passant :
"Pourquoi Achille ne rattrape-t-il pas la tortue"
"Achille et la tortue - un paradoxe cubique"

Une solution au paradoxe de Zénon réside peut-être dans le fait que l'espace est discret et le temps continu. Il croyait, comme vous, que les deux étaient discrets. Un corps peut rester quelque temps dans l’espace. Mais il ne peut pas être à des endroits différents en même temps. Bien entendu, tout cela n’est que de l’amateurisme, comme tout notre dialogue. Sincèrement.
Au fait, si un point est tridimensionnel, alors quelles sont ses dimensions ?

La discrétion du temps découle, par exemple, de l’aporie « Arrow ». Seul un électron peut « rester à différents endroits en même temps » pour les physiciens, qui en principe ne comprennent et n’acceptent ni la structure de l’éther ni la structure de l’espace à 4 dimensions. Je ne connais pas d'autres exemples de ce phénomène. Je ne vois aucun « amateurisme » dans notre conversation. Au contraire, tout est extrêmement simple : un point soit est sans dimension, soit a une taille ; la continuité et l’infini existent ou non. Il n’y a pas de troisième choix : VRAI ou FAUX ! Les principes fondamentaux des mathématiques reposent malheureusement sur de faux dogmes adoptés par ignorance il y a 2 500 ans.

La taille du point dépend des conditions du problème à résoudre et de la précision requise. Par exemple, si vous concevez un engrenage pour une montre-bracelet, la précision peut être limitée par la taille de l'atome, c'est-à-dire huit décimales. L’atome lui-même sera ici un analogue physique d’un point mathématique. Peut-être qu'une précision allant jusqu'à 16 chiffres sera requise quelque part ; alors le rôle d'un point sera joué par une particule d'éther. Veuillez noter que parler d'une précision soi-disant « infinie » dans la pratique se transforme en un non-sens sauvage ou, pour le moins, en une absurdité.

Je ne comprends toujours pas : est-ce que le point existe ? S’il existe objectivement, il a donc une certaine valeur physique ; s’il existe subjectivement, sous la forme d’une abstraction de notre esprit, alors il a une valeur mathématique. Le zéro n'a RIEN, il n'existe pas, c'est une définition abstraite de la Non-existence en mathématiques ou du vide en physique. Un point n'existe pas par lui-même en dehors des relations. Dès que le deuxième point apparaît, un segment apparaît - Quelque chose, etc. Ce sujet peut être développé à l’infini. Avec UV.

Il m'a semblé avoir donné un exemple clair, mais sans doute pas assez détaillé. Objectivement, il existe un monde que la science connaît, et à l'heure actuelle, elle le connaît principalement à l'aide de méthodes mathématiques. Les mathématiques comprennent le monde en construisant des modèles mathématiques. Pour construire ces modèles, on utilise notamment des abstractions mathématiques de base telles que : point, ligne, continuité, infini. Ces abstractions sont fondamentales car il n’est plus possible de les fragmenter et de les simplifier davantage. Chacune des abstractions de base peut être adéquate à la réalité objective (vrai) ou non (faux). Toutes les abstractions ci-dessus sont intrinsèquement fausses car elles contredisent les dernières connaissances sur le monde réel. Cela signifie que ces abstractions empêchent une compréhension correcte du monde réel. Cela pourrait d’une manière ou d’une autre être toléré pendant que la science étudiait le monde tridimensionnel. Cependant, les abstractions du point sans dimension et de la continuité rendent en principe inconnaissables tous les mondes de dimension supérieure !

La brique de l’univers – un point – ne peut pas être vide. Tout le monde sait que rien ne vient du vide. Les physiciens, après avoir déclaré l’éther inexistant, ont rempli le monde de vide. Je crois que les mathématiques avec leur pointe vide les ont poussés à cette bêtise. Je ne parle même pas des atomes-points de mondes de dimensions supérieures à la 4D. Ainsi, pour chaque dimension, le rôle d'un point mathématique indivisible (conditionnellement) est joué par un atome (conditionnellement) indivisible de ce monde (espace, matière). Pour la 3D - un atome physique, pour la 4D - une particule d'éther, pour la 5D - un atome astral, pour la 6D - un atome mental et ainsi de suite. Sincèrement,

Alors, la brique de l’univers a-t-elle une sorte de valeur absolue ? Et à quoi cela ressemble-t-il, selon vous, dans le monde éthérique ou mental ? J’ai même peur de poser des questions sur les mondes eux-mêmes. Avec intérêt....

Les particules d'éther (ce ne sont pas des atomes !) sont des paires électron-positon, dans lesquelles les particules elles-mêmes tournent les unes par rapport aux autres à la vitesse de la lumière. Cela explique complètement la structure de tous les nucléons, la propagation des oscillations électromagnétiques et tous les effets de ce qu'on appelle le vide physique. La structure de l’atome de la pensée est inconnue de tous. Il existe seulement des preuves que TOUS les mondes supérieurs sont matériels, c'est-à-dire qu'ils ont leurs propres atomes. Jusqu'à la question de l'Absolu. Cependant, vous ironisez en vain. Les trous de ver et les grosses explosions vous semblent-ils plus plausibles ?

Quelle ironie ici, j'étais juste un peu interloqué après une telle avalanche d'informations. Contrairement à vous, je ne suis pas un professionnel et j'ai du mal à dire quoi que ce soit sur la cinq ou six dimensions des espaces. Je parle de notre point de souffrance depuis longtemps… D’après ce que je comprends, vous êtes contre la continuité matérielle, et point final, vous avez un atome « ​​démocratique » réellement existant. "Brique de l'Univers." Peut-être que j'étais inattentif, mais il serait quand même difficile de répéter quelle est sa structure, ses paramètres physiques, ses dimensions, etc.
Et aussi : l’unité existe-t-elle en elle-même, en tant que telle, en dehors de toute relation ? Merci.