− Professeur Dumbadze V.A.
de l'école 162 du district de Kirov à Saint-Pétersbourg.

Notre groupe VKontakte
Applications mobiles :

(Où x t- temps en secondes mesuré depuis le début du mouvement). Trouver sa vitesse (en m/s) à un instant donné t= 9 s.

À t= 9 s on a :

Pourquoi omettons-nous le nombre 17 de l’équation originale ?

trouver la dérivée de la fonction d'origine.

il n'y a pas de chiffre 17 dans la dérivée

Pourquoi trouver la dérivée ?

La vitesse est la dérivée d'une coordonnée par rapport au temps.

Le problème vous demande de trouver la vitesse

x- distance du point de référence en mètres, t- temps en secondes mesuré depuis le début du mouvement). Trouver sa vitesse en (m/s) à un moment donné t= 6 s.

Trouvons la loi du changement de vitesse :

(6)=3/2*36-6*6+2=54-38=16, pas 20

rappelez-vous la procédure

Depuis quand l’addition est-elle préférable à la soustraction ?

La multiplication a priorité sur l'addition et la soustraction. Rappelez-vous l'exemple de l'école des enfants : 2 + 2 · 2. Permettez-moi de vous rappeler qu'ici, il s'avère non pas 8, comme certains le pensent, mais 6.

Vous n'avez pas compris la réponse du client.

1,5*36 — 6*6 + 2 = 54 — 36 + 2 = 18 + 2 = 20.

Donc tout est correct, faites le calcul par vous-même.

2) multiplication/division (dépend de l'ordre dans l'équation ; ce qui vient en premier est résolu en premier) ;

3) addition/soustraction (cela dépend également de l'ordre dans l'exemple).

Multiplication = division, addition = soustraction =>

Pas 54 - (36+2), mais 54-36+2 = 54+2-36 = 20

Tout d'abord, pour vous - Sergei Batkovich. Deuxièmement, avez-vous compris ce que vous vouliez dire et à qui ? Je ne t'ai pas compris.

Un point matériel se déplace de manière rectiligne selon la loi (où x est la distance du point de référence en mètres, t est le temps en secondes mesuré depuis le début du mouvement). Trouvez sa vitesse en (m/s) au temps s.

Trouvons la loi du changement de vitesse : m/s. Quand on a :

Leçon sur le thème : « Règles de différenciation », 11e année

Rubriques : Mathématiques

Type de cours: généralisation et systématisation des connaissances.

Objectifs de la leçon :

pédagogique:
- généraliser et systématiser le matériel sur le thème de la recherche de la dérivée ;
- consolider les règles de différenciation ;
- révéler aux étudiants l'importance polytechnique et appliquée du sujet ;
développement:
- exercer un contrôle sur l’acquisition de connaissances et de compétences ;
- développer et améliorer la capacité d'appliquer les connaissances dans une situation modifiée ;
- développer une culture de la parole et la capacité de tirer des conclusions et de généraliser ;
pédagogique:
- développer le processus cognitif;
- Inculquer aux étudiants la précision dans la conception et la détermination.

Équipement:

rétroprojecteur, écran ;
cartes;
ordinateurs;
tableau;
tâches différenciées sous forme de présentations multimédia.

I. Vérification des devoirs.

1. Écoutez les rapports des élèves sur des exemples d'utilisation de produits dérivés.

2. Considérez des exemples d'utilisation de dérivés en physique, chimie, ingénierie et autres domaines proposés par les étudiants.

II. Actualisation des connaissances.

Professeur:

Définir la dérivée d'une fonction.
Quelle opération est appelée différenciation ?
Quelles règles de différenciation sont utilisées pour calculer la dérivée ? (Les étudiants recherchés sont invités à venir au tableau).
- dérivée de la somme;
- dérivé de l'œuvre;
- dérivé contenant un facteur constant;
- dérivée du quotient;
- dérivée d'une fonction complexe;
Donnez des exemples de problèmes appliqués qui mènent à la notion de dérivée.

Un certain nombre de problèmes particuliers dans divers domaines scientifiques.

Tâche n°1. Le corps se déplace en ligne droite selon la loi x(t). Écrivez la formule pour trouver la vitesse et l’accélération d’un corps au temps t.

Tâche n°2. Le rayon du cercle R varie selon la loi R = 4 + 2t 2. Déterminer la vitesse à laquelle sa surface change V instant t = 2 s. Le rayon d'un cercle se mesure en centimètres. Réponse : 603 cm 2 /s.

Tâche n°3. Un point matériel d'une masse de 5 kg se déplace de manière rectiligne selon la loi

S(t) = 2t+ , où S— distance en mètres, t– temps en secondes. Trouver la force agissant sur le point en ce moment t = 4 s.

Répondre: N.

Tâche n°4. Le volant, retenu par le frein, tourne derrière c'est sous un angle de 3t - 0,1t 2 (rad). Trouver:

a) vitesse angulaire de rotation du volant à l'instant t = 7 Avec;
b) à quel moment le volant s'arrêtera.

Répondre: une) 2,86 ; b) 150 s.

Des exemples d'utilisation de la dérivée peuvent également être des problèmes de recherche : la capacité thermique spécifique de la substance d'un corps donné, la densité linéaire et l'énergie cinétique du corps, etc.

III. Effectuer des tâches différenciées.

Ceux qui souhaitent accomplir des tâches de niveau « A » s'assoient devant l'ordinateur et effectuent un test avec une réponse programmée. ( Application. )

1. Trouvez la valeur de la dérivée de la fonction au point x 0 = 3.

2. Trouvez la valeur de la dérivée de la fonction y = xe x au point x 0 = 1.

1) 2e ;
2)e;
3) 1 + e ;
4) 2 + e.

3. Résolvez l'équation f / (x) = 0 si f (x) = (3x 2 + 1)(3x 2 – 1).

1) ;
2) 2;
3) ;
4) 0.

4. Calculez f/(1) si f(x) = (x 2 + 1)(x 3 – x).

5. Trouvez la valeur de la dérivée de la fonction f(t) = (t4 – 3)(t2 + 2) au point t0 = 1.

6. Le point se déplace rectiligne selon la loi : S(t) = t 3 – 3t 2. Choisissez une formule qui précise la vitesse de déplacement de ce point au temps t.

1) t 2 – 2t ;
2) 3t 2 – 3t;
3) 3t 2 – 6t;
4) t 3 + 6t.

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Application des dérivés en physique, technologie, biologie, vie

Présentation de la leçon

Attention! Les aperçus des diapositives sont fournis à titre informatif uniquement et peuvent ne pas représenter toutes les fonctionnalités de la présentation. Si ce travail vous intéresse, veuillez télécharger la version complète.

Type de cours : intégré.

Objectif de la leçon :étudier certains aspects de l'application des dérivés dans divers domaines de la physique, de la chimie et de la biologie.

Tâches :élargir les horizons et l'activité cognitive des étudiants, développer la pensée logique et la capacité d'appliquer leurs connaissances.

Assistance technique : tableau blanc interactif; ordinateur et disque.

I. Moment organisationnel

II. Fixer un objectif de cours

– Je voudrais donner une leçon sous la devise d'Alexeï Nikolaïevitch Krylov, mathématicien et constructeur naval soviétique : « La théorie sans pratique est morte ou inutile, la pratique sans théorie est impossible ou préjudiciable. »

– Passons en revue les concepts de base et répondons aux questions :

– Dites-moi la définition de base d’un dérivé ?
– Que savez-vous de la dérivée (propriétés, théorèmes) ?
– Connaissez-vous des exemples de problèmes utilisant des dérivées en physique, mathématiques et biologie ?

Considération de la définition de base d'un dérivé et de sa justification (réponse à la première question) :

Dérivé – l’un des concepts fondamentaux des mathématiques. La capacité à résoudre des problèmes à l'aide de dérivés nécessite une bonne connaissance du matériel théorique et la capacité de mener des recherches dans diverses situations.

Par conséquent, aujourd'hui, dans la leçon, nous consoliderons et systématiserons les connaissances acquises, examinerons et évaluerons le travail de chaque groupe et, en utilisant l'exemple de certains problèmes, nous montrerons comment utiliser la dérivée pour résoudre d'autres problèmes et problèmes non standard en utilisant la dérivée.

III. Explication du nouveau matériel

1. La puissance instantanée est la dérivée du travail par rapport au temps :

W = lim ΔA/Δt ΔA – changement d'emploi.

2. Si un corps tourne autour d’un axe, alors l’angle de rotation est fonction du temps t
Alors la vitesse angulaire est égale à :

W = lim Δφ/Δt = φ׳(t) Δ t → 0

3. La force actuelle est un dérivé Ι = lim Δg/Δt = g′, Où g– charge électrique positive transférée à travers la section transversale du conducteur au cours du temps Δt.

4. Laissez ΔQ– la quantité de chaleur nécessaire pour modifier la température Δt le temps, alors lim ΔQ/Δt = Q′ = C – chaleur spécifique.

5. Problème concernant la vitesse d'une réaction chimique

m(t) – m(t0) – quantité de substance qui réagit avec le temps t0à t

V= lim Δm/Δt = m Δt → 0

6. Soit m la masse de la substance radioactive. Taux de désintégration radioactive : V = lim Δm/Δt = m׳(t) Δt→0

Sous forme différenciée, la loi de la désintégration radioactive a la forme : dN/dt = – λN, Où N– nombre de noyaux qui ne se sont pas désintégrés au fil du temps t.

En intégrant cette expression, on obtient : dN/N = – λdt ∫dN/N = – λ∫dt lnN = – λt + c, c = constà t = 0 nombre de noyaux radioactifs N = N0, d'ici nous avons : ln N0 = const, ainsi

n N = – λt + ln N0.

En potentialisant cette expression on obtient :

– la loi de la désintégration radioactive, où N0– nombre de cœurs à la fois t0 = 0, N– nombre de noyaux qui ne se sont pas désintégrés au fil du temps t.

7. D’après l’équation de transfert de chaleur de Newton, le débit thermique dQ/dt est directement proportionnelle à la surface de la fenêtre S et à la différence de température ΔT entre le verre intérieur et extérieur et inversement proportionnelle à son épaisseur d :

dQ/dt =A S/d ΔT

8. Le phénomène de diffusion est le processus d'établissement d'une distribution d'équilibre

Dans des phases de concentration. La diffusion se fait sur le côté, nivelant les concentrations.

m = D Δc/Δx c – concentration
m = D c×x x – coordonner, D - coefficient de diffusion

9. On savait qu'un champ électrique excite soit des charges électriques, soit un champ magnétique, qui a une seule source : le courant électrique. James Clark Maxwell a introduit un amendement aux lois de l'électromagnétisme découvert avant lui : un champ magnétique apparaît également lorsque le champ électrique change. Un amendement apparemment minime a eu d'énormes conséquences : un objet physique complètement nouveau est apparu, même si ce n'était qu'au bout du stylo : une onde électromagnétique. Maxwell a magistralement dérivé, contrairement à Faraday, qui pensait que son existence était possible, l'équation du champ électrique :

∂E/∂x = M∂B/Mo ∂t Mo = const t

Un changement dans le champ électrique provoque l’apparition d’un champ magnétique en tout point de l’espace ; en d’autres termes, la vitesse de changement du champ électrique détermine l’ampleur du champ magnétique ; Sous un courant électrique plus important, il existe un champ magnétique plus important.

IV. Consolidation des acquis

– Vous et moi avons étudié le dérivé et ses propriétés. J’aimerais lire la déclaration philosophique de Gilbert : « Chaque personne a une certaine vision. Lorsque cet horizon se rétrécit jusqu’à l’infinitésimal, il se transforme en point. Ensuite, la personne dit que tel est son point de vue.
Essayons de mesurer le point de vue sur l'application de la dérivée !

L'intrigue de "Feuille"(utilisation de dérivé en biologie, physique, vie)

Considérons la chute comme un mouvement inégal selon le temps.

Donc: S = S(t) V = S′(t) = x′(t), a = V′(t) = S″(t)

(Enquête théorique : signification mécanique de la dérivée).

1. Résolution de problèmes

Résolvez les problèmes vous-même.

2. F = ma F = mV′ F = mS″

Écrivons la loi de Porton II, et compte tenu de la signification mécanique de la dérivée, nous la réécrivons sous la forme : F = mV′ F = mS″

L'intrigue de "Wolves, Gophers"

Revenons aux équations : Considérons les équations différentielles de croissance et de décroissance exponentielle : F = ma F = mV’ F = mS"
La solution de nombreux problèmes en physique, en biologie technique et en sciences sociales se résume au problème de la recherche de fonctions f"(x) = kf(x), satisfaisant l'équation différentielle, où k = const .

Formule humaine

Une personne est autant de fois plus grande qu'un atome qu'elle est plus petite qu'une étoile :

Il s'ensuit que
C’est la formule qui détermine la place de l’homme dans l’univers. Conformément à cela, la taille d'une personne représente la proportionnalité moyenne d'une étoile et d'un atome.

Je voudrais terminer la leçon avec les mots de Lobatchevski : « Il n'y a pas un seul domaine des mathématiques, aussi abstrait soit-il, qui ne soit un jour applicable aux phénomènes du monde réel.

V. Solution des numéros de la collection :

Résolution indépendante de problèmes au sein du tableau, analyse collective des solutions de problèmes :

№ 1 Trouver la vitesse de déplacement d'un point matériel à la fin de la 3ème seconde, si le mouvement du point est donné par l'équation s = t^2 –11t + 30.

№ 2 Le point se déplace rectiligne selon la loi s = 6t – t^2. A quel moment sa vitesse sera-t-elle nulle ?

№ 3 Deux corps se déplacent de manière rectiligne : l'un selon la loi s = t^3 – t^2 – 27t, l'autre selon la loi s = t^2 + 1. Déterminer le moment où les vitesses de ces corps s'avèrent égales .

№ 4 Pour une voiture se déplaçant à une vitesse de 30 m/s, la distance de freinage est déterminée par la formule s(t) = 30t-16t^2, où s(t) est la distance en mètres, t est le temps de freinage en secondes . Combien de temps faut-il pour freiner jusqu'à ce que la voiture s'arrête complètement ? Quelle distance la voiture parcourra-t-elle entre le début du freinage et son arrêt complet ?

№5 Un corps pesant 8 kg se déplace de manière rectiligne selon la loi s = 2t^2+ 3t – 1. Trouvez l'énergie cinétique du corps (mv^2/2) 3 secondes après le début du mouvement.

Solution: Trouvons la vitesse de mouvement du corps à tout moment :
V = ds/dt = 4t + 3
Calculons la vitesse du corps au temps t = 3 :
Vt=3 = 4 * 3 + 3=15 (m/s).
Déterminons l'énergie cinétique du corps au temps t = 3 :
mv2/2 = 8 – 15^2 /2 = 900 (J).

№6 Trouvez l'énergie cinétique du corps 4 s après le début du mouvement, si sa masse est de 25 kg et que la loi du mouvement a la forme s = 3t^2- 1.

№7 Un corps dont la masse est de 30 kg se déplace de manière rectiligne selon la loi s = 4t^2 + t. Montrer que le mouvement d'un corps se produit sous l'influence d'une force constante.
Solution: On a s' = 8t + 1, s” = 8. Donc, a(t) = 8 (m/s^2), c'est-à-dire qu'avec une loi de mouvement donnée, le corps se déplace avec une accélération constante de 8 m /s^2. De plus, puisque la masse du corps est constante (30 kg), alors, selon la deuxième loi de Newton, la force agissant sur lui F = ma = 30 * 8 = 240 (H) est également une valeur constante.

№8 Un corps pesant 3 kg se déplace de manière rectiligne selon la loi s(t) = t^3 – 3t^2 + 2. Trouvez la force agissant sur le corps au temps t = 4s.

№9 Un point matériel se déplace selon la loi s = 2t^3 – 6t^2 + 4t. Retrouvez son accélération à la fin de la 3ème seconde.

VI. Application de la dérivée en mathématiques :

Une dérivée en mathématiques montre une expression numérique du degré de changement d'une quantité située au même point sous l'influence de diverses conditions.

La formule dérivée remonte au XVe siècle. Le grand mathématicien italien Tartagli, considérant et développant la question de savoir dans quelle mesure la portée de vol d'un projectile dépend de l'inclinaison du canon, l'applique dans ses travaux.

La formule dérivée se retrouve souvent dans les travaux de mathématiciens célèbres du XVIIe siècle. Il a été utilisé par Newton et Leibniz.

Le célèbre scientifique Galileo Galilei consacre un traité entier au rôle des dérivées en mathématiques. Puis la dérivée et diverses présentations avec son application ont commencé à être trouvées dans les travaux de Descartes, du mathématicien français Roberval et de l'Anglais Gregory. De grandes contributions à l'étude de la dérivée ont été apportées par des esprits tels que L'Hôpital, Bernoulli, Langrange et d'autres.

1. Tracez un graphique et examinez la fonction :

Solution à ce problème :

Un moment de détente

VII. Application de la dérivée en physique :

Lors de l'étude de certains processus et phénomènes, la tâche de déterminer la vitesse de ces processus se pose souvent. Sa solution conduit au concept de dérivée, qui est le concept de base du calcul différentiel.

La méthode de calcul différentiel a été créée aux XVIIe et XVIIIe siècles. Les noms de deux grands mathématiciens – I. Newton et G.V. – sont associés à l’émergence de cette méthode. Leibniz.

Newton a découvert le calcul différentiel en résolvant des problèmes concernant la vitesse de déplacement d'un point matériel à un instant donné (vitesse instantanée).

En physique, la dérivée est principalement utilisée pour calculer les valeurs les plus grandes ou les plus petites de n'importe quelle quantité.

№1 Énergie potentielle U le champ d'une particule dans lequel il y en a une autre, exactement la même particule a la forme : U = a/r 2 – p/r, Où un Et b- des constantes positives, r- distance entre les particules. Trouver : a) valeur r0 correspondant à la position d'équilibre de la particule ; b) savoir si cette situation est stable ; V) Fmax la valeur de la force d'attraction ; d) tracer des graphiques de dépendance approximatifs U(r) Et F(r).

Solution à ce problème : Déterminer r0 correspondant à la position d'équilibre de la particule que nous étudions f = U(r)à l'extrême.

Utiliser la connexion entre l'énergie potentielle du champ

U Et F, Alors F = – dU/dr, nous obtenons F = – dU/dr = – (2a/r3+ b/r2) = 0; en même temps r = r0; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b; On détermine l'équilibre stable ou instable par le signe de la dérivée seconde :
d2U/dr02= dF/dr0 = – 6a/r02 + 2b/r03 = – 6a/(2a/b)4 + 2b/(2a/b)3 = (– b4/8a3) 2 = FM / (M + µt ) 2

Prenons le cas où du sable s'échappe d'une plate-forme remplie.
Changement de dynamique sur une courte période :
Δ p = (M – µ(t + Δ t))(u+ Δ u) +Δ µtu – (M – µt)u = FΔ t
Terme Δ µtu est l'impulsion de la quantité de sable qui s'est déversée hors de la plate-forme pendant le temps Δ t. Alors:
Δ p = MΔ u – µtΔ tu – Δ µtΔ u = FΔ t
Diviser par Δ t et on passe à la limite Δ t → 0
(M – µt)du/dt = F
Ou a1= du/dt= F/(M – µt)

Répondre: a = FM / (M + µt) 2 , a1= F/(M – µt)

VIII. Travail indépendant :

Trouver des dérivées de fonctions :

La droite y = 2x est tangente à la fonction : y = x 3 + 5x 2 + 9x + 3. Trouver l'abscisse du point de tangence.

IX. Résumer la leçon :

– À quelles questions la leçon était-elle consacrée ?
– Qu’avez-vous appris pendant la leçon ?
– Quels faits théoriques ont été résumés dans la leçon ?
– Quelles tâches considérées se sont révélées les plus difficiles ? Pourquoi?

Références :

Amelkin V.V., Sadovsky A.P. Modèles mathématiques et équations différentielles. – Minsk : Ecole Supérieure, 1982. – 272 p.
Amelkin V.V.Équations différentielles dans les applications. M. : Sciences. Rédaction principale de littérature physique et mathématique, 1987. – 160 p.
Erugin N.P. Un livre à lire sur le cours général des équations différentielles. – Minsk : Science et Technologie, 1979. – 744 p.
.Magazine "Potentiel" Novembre 2007 n°11
«L'algèbre et les débuts de l'analyse» 11e année S.M. Nikolski, M.K. Potapov et autres.
"Algèbre et analyse mathématique" N.Ya. Vilenkin et coll.
"Mathématiques" V.T. Lisichkin, I.L. Soloveichik, 1991

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Signification physique du dérivé. Tâches !

Signification physique du dérivé. L'examen d'État unifié de mathématiques comprend un groupe de problèmes à résoudre qui nécessitent la connaissance et la compréhension de la signification physique de la dérivée. En particulier, il existe des problèmes où la loi du mouvement d'un certain point (objet) est donnée, exprimée par une équation, et il est nécessaire de trouver sa vitesse à un certain moment du mouvement, ou le temps après lequel l'objet va acquérir une certaine vitesse donnée. Les tâches sont très simples, elles peuvent être résolues en une seule action. Donc:

Soit la loi du mouvement d'un point matériel x (t) le long de l'axe des coordonnées, où x est la coordonnée du point en mouvement, t est le temps.

La vitesse à un moment donné est la dérivée de la coordonnée par rapport au temps. C'est la signification mécanique de la dérivée.

De même, l’accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps :

Ainsi, la signification physique de la dérivée est la vitesse. Cela peut être la vitesse de déplacement, la vitesse de changement d'un processus (par exemple, la croissance de bactéries), la vitesse de travail (et ainsi de suite, il existe de nombreux problèmes appliqués).

De plus, vous devez connaître la table des dérivées (vous devez la connaître tout comme la table de multiplication) et les règles de différenciation. Plus précisément, pour résoudre les problèmes spécifiés, la connaissance des six premières dérivées est nécessaire (voir tableau) :

x (t) = t 2 – 7t – 20

où x est la distance du point de référence en mètres, t est le temps en secondes, mesuré depuis le début du mouvement. Trouvez sa vitesse (en mètres par seconde) au temps t = 5 s.

La signification physique d'un dérivé est la vitesse (vitesse de mouvement, taux de changement d'un processus, vitesse de travail, etc.)

Trouvons la loi du changement de vitesse : v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

Le point matériel se déplace rectiligne selon la loi x (t) = 6t 2 – 48t + 17, où x- distance du point de référence en mètres, t- temps en secondes mesuré depuis le début du mouvement. Trouvez sa vitesse (en mètres par seconde) au temps t = 9 s.

Le point matériel se déplace rectiligne selon la loi x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, où x- distance du point de référence en mètres, t- temps en secondes mesuré depuis le début du mouvement. Trouvez sa vitesse (en mètres par seconde) au temps t = 6 s.

Un point matériel se déplace de manière rectiligne selon la loi

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

Où x- distance du point de référence en mètres, t- temps en secondes mesuré depuis le début du mouvement. Trouvez sa vitesse (en mètres par seconde) au temps t = 3 s.

Un point matériel se déplace de manière rectiligne selon la loi

x(t) = (1/6)t2 + 5t + 28

où x est la distance du point de référence en mètres, t est le temps en secondes, mesuré depuis le début du mouvement. À quel moment (en secondes) sa vitesse était-elle égale à 6 m/s ?

Trouvons la loi du changement de vitesse :

Afin de savoir à quel moment t la vitesse était de 3 m/s, il faut résoudre l'équation :

Le point matériel se déplace rectiligne selon la loi x (t) = t 2 – 13t + 23, où x- distance du point de référence en mètres, t- temps en secondes mesuré depuis le début du mouvement. À quel moment (en secondes) sa vitesse était-elle égale à 3 m/s ?

Un point matériel se déplace de manière rectiligne selon la loi

x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

Où x- distance du point de référence en mètres, t- temps en secondes mesuré depuis le début du mouvement. À quel moment (en secondes) sa vitesse était-elle égale à 2 m/s ?

Je voudrais noter que vous ne devez pas vous concentrer uniquement sur ce type de tâches lors de l'examen d'État unifié. Ils peuvent introduire de manière totalement inattendue des problèmes opposés à ceux présentés. Lorsque la loi du changement de vitesse sera donnée, la question sera de trouver la loi du mouvement.

Astuce : dans ce cas, vous devez trouver l'intégrale de la fonction vitesse (c'est aussi un problème en une étape). Si vous avez besoin de trouver la distance parcourue à un moment donné, vous devez remplacer le temps dans l'équation résultante et calculer la distance. Cependant, nous analyserons également ces problèmes, ne le manquez pas ! Bonne chance à vous !

matematikalegko.ru

Algèbre et principes de l'analyse mathématique, 11e année (S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin) 2009

Page n° 094.

Manuel:

Version OCR de la page du manuel (texte de la page située au dessus) :

Comme il ressort des problèmes examinés au début de ce paragraphe, les affirmations suivantes sont vraies :

1. Si, lors d'un mouvement rectiligne, la trajectoire s parcourue par un point est fonction du temps t, c'est-à-dire s = f(t), alors la vitesse du point est la dérivée de la trajectoire par rapport au temps, c'est-à-dire v( t) =

Ce fait exprime la signification mécanique de la dérivée.

2. Si au point x 0 une tangente est tracée au graphique de la fonction y = f (jc), alors le nombre f"(xo) est la tangente de l'angle a entre cette tangente et la direction positive de l'axe Ox , c'est-à-dire /"(x 0) =

Tga. Cet angle est appelé angle tangent.

Ce fait exprime la signification géométrique de la dérivée.

EXEMPLE 3. Trouvons la tangente de l'angle d'inclinaison de la tangente au graphique de la fonction y = 0,5jc 2 - 2x + 4 au point d'abscisse x = 0.

Trouvons la dérivée de la fonction f(x) = 0,5jc 2 - 2x + 4 en tout point x, en utilisant l'égalité (2) :

0,5 2 x - 2 = jc - 2.

Calculons la valeur de cette dérivée au point x = 0 :

Donc tga = -2. Le graphique x de la fonction y = /(jc) et la tangente à son graphique au point d'abscisse jc = 0 sont représentés sur la figure 95.

4.1 Laissez le point se déplacer rectiligne selon la loi s = t 2. Trouver:

a) incrément de temps D£ sur l'intervalle de temps de t x = 1 à £ 2 - 2 ;

b) incrément du chemin As sur la période de temps de t x = 1 à t 2 = 2 ;

c) vitesse moyenne sur l'intervalle de temps de t x = 1 à t 2 = 2.

4.2 Dans la tâche 4.1, trouvez :

b) vitesse moyenne sur l'intervalle de temps de t à t + At ;

c) vitesse instantanée au temps t ;

d) vitesse instantanée au temps t = 1.

4.3 Soit le point se déplace rectiligne selon la loi :

1) s = 3t + 5 ; 2) s = t 2 - bt.

a) incrément du trajet As sur la période de temps de t à t + At ;

Manuel: Algèbre et débuts de l'analyse mathématique. 11e année : pédagogique. pour l'enseignement général institutions : base et profil. niveaux / [S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin]. - 8e éd. - M. : Éducation, 2009. - 464 p. : ill.

Le point se déplace rectiligne selon la loi S = t 4 +2t (S - en mètres, t- en secondes). Trouver son accélération moyenne dans l'intervalle entre les instants t 1 = 5 s, t 2 = 7 s, ainsi que sa véritable accélération du moment t 3 = 6 s.

Solution.

1. Trouver la vitesse du point comme dérivée du chemin S par rapport au temps t, ceux.

2. En substituant à t ses valeurs t 1 = 5 s et t 2 = 7 s, on retrouve les vitesses :

V 1 = 4 5 3 + 2 = 502 m/s ; V2 = 4 7 3 + 2 = 1374 m/s.

3. Déterminez l'incrément de vitesse ΔV pour le temps Δt = 7 - 5 =2 s :

ΔV = V2 - V1= 1374 - 502 = 872 m/s.

4. Ainsi, l'accélération moyenne du point sera égale à

5. Pour déterminer la vraie valeur de l'accélération d'un point, on prend la dérivée de la vitesse par rapport au temps :

6. Remplacer à la place t valeur t 3 = 6 s, on obtient une accélération à ce moment

une moyenne =12-6 3 =432 m/s 2 .

Mouvement curviligne. Lors d'un mouvement curviligne, la vitesse d'un point change d'ampleur et de direction.

Imaginons un point M, qui, pendant le temps Δt, se déplaçant le long d'une trajectoire curviligne, s'est déplacé vers la position M1(Fig.6).

Vecteur d'incrément de vitesse (changement) ΔV volonté

Pour pour trouver le vecteur ΔV, déplacez le vecteur V 1 au point M et construisons un triangle de vitesse. Déterminons le vecteur d'accélération moyenne :

Vecteur un mer est parallèle au vecteur ΔV, puisque la division du vecteur par une quantité scalaire ne change pas la direction du vecteur. Le vrai vecteur d'accélération est la limite vers laquelle le rapport du vecteur vitesse à l'intervalle de temps correspondant Δt tend vers zéro, c'est-à-dire

Cette limite est appelée dérivée vectorielle.

Ainsi, la véritable accélération d'un point lors d'un mouvement curviligne est égale à la dérivée vectorielle par rapport à la vitesse.

De la fig. 6 il est clair que le vecteur accélération lors d'un mouvement curviligne est toujours dirigé vers la concavité de la trajectoire.

Pour la commodité des calculs, l'accélération est décomposée en deux composantes à la trajectoire du mouvement : le long d'une tangente, appelée accélération tangentielle (tangentielle) UN, et le long de la normale, appelée accélération normale an (Fig. 7).

Dans ce cas, l'accélération totale sera égale à

L'accélération tangentielle coïncide en direction avec la vitesse du point ou lui est opposée. Il caractérise le changement de vitesse et est donc déterminé par la formule

L'accélération normale est perpendiculaire à la direction de la vitesse du point et sa valeur numérique est déterminée par la formule

où r - rayon de courbure de la trajectoire au point considéré.

Puisque les accélérations tangentielles et normales sont mutuellement perpendiculaires, la valeur de l'accélération totale est déterminée par la formule

et sa direction

Si , alors les vecteurs d'accélération et de vitesse tangentiels sont dirigés dans une direction et le mouvement sera accéléré.

Si , alors le vecteur accélération tangentielle est dirigé dans la direction opposée au vecteur vitesse et le mouvement sera lent.

Le vecteur accélération normale est toujours dirigé vers le centre de courbure, c'est pourquoi on l'appelle centripète.

Signification physique du dérivé. L'examen d'État unifié de mathématiques comprend un groupe de problèmes à résoudre qui nécessitent la connaissance et la compréhension de la signification physique de la dérivée. En particulier, il existe des problèmes où la loi du mouvement d'un certain point (objet) est donnée, exprimée par une équation, et il est nécessaire de trouver sa vitesse à un certain moment du mouvement, ou le temps après lequel l'objet va acquérir une certaine vitesse donnée.Les tâches sont très simples, elles peuvent être résolues en une seule action. Donc:

Soit la loi du mouvement d'un point matériel x (t) le long de l'axe des coordonnées, où x est la coordonnée du point en mouvement, t est le temps.

La vitesse à un moment donné est la dérivée de la coordonnée par rapport au temps. C'est la signification mécanique de la dérivée.

De même, l’accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps :

Considérons les tâches :

x (t) = t 2 – 7t – 20

où x t est le temps en secondes mesuré depuis le début du mouvement. Trouvez sa vitesse (en mètres par seconde) au temps t = 5 s.

La signification physique d'un dérivé est la vitesse (vitesse de mouvement, taux de changement d'un processus, vitesse de travail, etc.)

Trouvons la loi du changement de vitesse : v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

A t = 5 on a :

Réponse : 3

Décidez vous-même :

Le point matériel se déplace rectiligne selon la loi x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, où xt- temps en secondes mesuré depuis le début du mouvement. Trouvez sa vitesse (en mètres par seconde) au temps t = 6 s.

Un point matériel se déplace de manière rectiligne selon la loi

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

Où x- distance du point de référence en mètres,t- temps en secondes mesuré depuis le début du mouvement. Trouvez sa vitesse (en mètres par seconde) au temps t = 3 s.

Un point matériel se déplace de manière rectiligne selon la loi

x(t) = (1/6)t2 + 5t + 28

où x est la distance du point de référence en mètres, t est le temps en secondes, mesuré depuis le début du mouvement. À quel moment (en secondes) sa vitesse était-elle égale à 6 m/s ?

Trouvons la loi du changement de vitesse :

Afin de savoir à quel momenttla vitesse était de 3 m/s, il faut résoudre l'équation :

Réponse : 3

Décidez vous-même :

Un point matériel se déplace de manière rectiligne selon la loi

x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

Où x- distance du point de référence en mètres, t- temps en secondes mesuré depuis le début du mouvement. À quel moment (en secondes) sa vitesse était-elle égale à 2 m/s ?

Cordialement, Alexandre Krutitskikh.

P.S : je vous serais reconnaissant de me parler du site sur les réseaux sociaux.