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Bonjour à tous. Dans cet article, je souhaite montrer l'une des méthodes graphiques permettant de construire des modèles mathématiques pour les systèmes dynamiques, appelée graphique des obligations(« lien » - connexions, « graphique » - graphique). Dans la littérature russe, j'ai trouvé des descriptions de cette méthode uniquement dans le manuel de l'Université polytechnique de Tomsk, A.V. Voronin « MODÉLISATION DES SYSTÈMES MÉCATRONIQUES » 2008 Montrer également la méthode classique à travers l'équation de Lagrange du 2ème type.

méthode Lagrange

Caractéristiques des méthodes de modélisation :

• Newton-Euler: équations vectorielles basées sur l'équilibre dynamique forcer Et des moments
• Lagrange: équations scalaires basées sur des fonctions d'état associées à la cinétique et au potentiel énergies
• Nombre d'obligations: méthode basée sur les flux pouvoir entre les éléments du système

Commençons par un exemple simple. Masse avec ressort et amortisseur. Nous ignorons la force de gravité.

Tout d'abord, nous désignons :

• système de coordonnées initial(NSK) ou sk fixe R0(i0,j0,k0). Où? Vous pouvez pointer le ciel du doigt, mais en remuant les pointes des neurones du cerveau, l'idée passe de placer le NSC sur la ligne de mouvement du corps M1.
• systèmes de coordonnées pour chaque corps avec masse(nous avons M1 R1(i1,j1,k1)), l'orientation peut être arbitraire, mais pourquoi vous compliquer la vie, la définir avec une différence minime avec le NSC
• coordonnées généralisées q_i(le nombre minimum de variables pouvant décrire le mouvement), dans cet exemple il y a une coordonnée généralisée, mouvement uniquement le long de l'axe j

On trouvera ensuite les énergies cinétique (C) et potentielle (P) ainsi que la fonction dissipative (D) pour l'amortisseur à l'aide des formules :

Dans notre exemple il n’y a pas de rotation, la deuxième composante est 0.

L'équation de Lagrange a la forme suivante :

Delta W_i Il s'agit d'un travail virtuel effectué par des forces et des moments appliqués. Retrouvons-la :

Où delta q_1 mouvement virtuel.

On substitue tout dans l'équation de Lagrange :

C'est là que s'arrête la méthode de Lagrange. Comme vous pouvez le voir, ce n’est pas si compliqué, mais cela reste un exemple très simple, pour lequel la méthode de Newton-Euler serait probablement encore plus simple. Pour les systèmes plus complexes, où plusieurs corps tourneront les uns par rapport aux autres sous des angles différents, la méthode de Lagrange sera plus simple.

Méthode du graphique de liaison

Ici, vous devrez raconter un peu de théorie, qui suffira à construire des modèles simples. Si quelqu'un est intéressé, vous pouvez lire le livre ( Méthodologie du graphique de liaison) ou ( Voronine A.V. Modélisation de systèmes mécatroniques : un tutoriel. – Tomsk : Maison d'édition de l'Université polytechnique de Tomsk, 2008).

Définissons d'abord que les systèmes complexes sont constitués de plusieurs domaines. Par exemple, un moteur électrique est constitué de pièces ou de domaines électriques et mécaniques.

graphique des obligations basé sur l’échange de pouvoir entre ces domaines, sous-systèmes. Notez que l'échange de pouvoir, quelle que soit sa forme, est toujours déterminé par deux variables ( puissance variable) à l'aide duquel nous pouvons étudier l'interaction de différents sous-systèmes au sein d'un système dynamique (voir tableau).

Comme le montre le tableau, l’expression du pouvoir est presque la même partout. En résumé, Pouvoir- Ce travail " flux - f" sur " effort - e».

Un effort(Anglais) effort) dans le domaine électrique c'est la tension (e), dans le domaine mécanique c'est la force (F) ou le couple (T), en hydraulique c'est la pression (p).

Couler(Anglais) couler) dans le domaine électrique c'est le courant (i), dans le domaine mécanique c'est la vitesse (v) ou vitesse angulaire (oméga), en hydraulique c'est le débit ou débit de fluide (Q).

En prenant ces notations, on obtient une expression de puissance :

Dans le langage bond-graph, la connexion entre deux sous-systèmes qui échangent du pouvoir est représentée par une liaison. lier). C'est pourquoi cette méthode est appelée graphique des obligations ou g connexions raf, graphique connecté. Considérons diagramme connexions dans un modèle avec moteur électrique (ce n'est pas encore un bond-graph) :

Si nous avons une source de tension, alors elle génère en conséquence une tension et la transfère au moteur pour l'enroulement (c'est pourquoi la flèche est dirigée vers le moteur), en fonction de la résistance de l'enroulement, un courant apparaît selon la loi d'Ohm (dirigé du moteur à la source). En conséquence, une variable est une entrée du sous-système et la seconde doit être sortie du sous-système. Ici la tension ( effort) – entrée, courant ( couler) - sortie.

Si vous utilisez une source actuelle, comment le diagramme va-t-il changer ? Droite. Le courant sera dirigé vers le moteur et la tension vers la source. Alors le courant ( couler) - tension d'entrée ( effort) - sortie.

Prenons un exemple en mécanique. Force agissant sur une masse.

Le schéma fonctionnel sera le suivant :

Dans cet exemple, Force ( effort) – variable d’entrée pour la masse. (Force appliquée à la masse)
D'après la deuxième loi de Newton :

La masse répond avec rapidité :

Dans cet exemple, si une variable ( forcer - effort) est entrée dans le domaine mécanique, puis une autre variable de puissance ( vitesse - couler) – devient automatiquement sortie.

Pour distinguer où se trouve l'entrée et où se trouve la sortie, une ligne verticale est utilisée à l'extrémité de la flèche (connexion) entre les éléments, cette ligne est appelée signe de causalité ou causalité (causalité). Il s'avère que la force appliquée est la cause et la vitesse est l'effet. Ce signe est très important pour la construction correcte d'un modèle de système, puisque la causalité est une conséquence du comportement physique et de l'échange de pouvoirs de deux sous-systèmes, le choix de l'emplacement du signe de causalité ne peut donc pas être arbitraire.

Cette ligne verticale montre quel sous-système reçoit la force ( effort) et génère par conséquent un flux ( couler). Dans l’exemple avec masse, cela donnerait ceci :

Il ressort clairement de la flèche que l'entrée pour la masse est - forcer, et la sortie est vitesse. Ceci est fait pour ne pas encombrer le schéma de flèches et systématiser la construction du modèle.

Prochain point important. Impulsion généralisée(quantité de mouvement) et en mouvement(variables énergétiques).

Tableau des variables de puissance et d'énergie dans différents domaines

Dans le domaine électrique :

Basé sur la loi de Faraday, tension aux extrémités du conducteur est égale à la dérivée du flux magnétique traversant ce conducteur.

De la 2ème loi de Newton, Forcer– dérivée temporelle de l'impulsion

Éléments basiques

Sources
Il existe des sources à la fois d’effort et de flux. Analogie dans le domaine électrique : source d'effort – source de voltage, source de flux – source actuelle. Les signes causals des sources ne devraient être que comme ceci.

Composant R – élément dissipatif

Composante I – élément inertiel

Composant C – élément capacitif

Comme le montrent les figures, différents éléments de même type R, C, I sont décrits par les mêmes équations. SEULEMENT il y a une différence pour la capacité électrique, il suffit de s'en souvenir !

Composants quadripolaires:

Regardons deux composants : un transformateur et un gyrateur.

Les derniers composants importants de la méthode bond-graph sont les connexions. Il existe deux types de nœuds :

Les principales étapes pour établir des relations causales après la construction d'un bond-graph :

1. Donnez des liens de causalité à tout le monde sources
2. Parcourez tous les nœuds et notez les relations causales après le point 1
3. Pour composants I attribuer une relation causale d'entrée (l'effort est inclus dans cette composante), par exemple composants C attribuer une causalité de sortie (l'effort sort de cette composante)
4. Répétez le point 2
5. Insérer des liens de causalité pour Composants R

Exemple 1

Vous obtiendrez le graphique de connexion suivant :

Nous devons maintenant établir des relations causales. En suivant les instructions pour la séquence de leur placement, commençons par la source.

1. Nous avons une source de tension (effort), une telle source n'a qu'une seule option de causalité - la sortie. Mettons-le.
2. Ensuite, il y a le composant I, voyons ce qu'ils recommandent. nous mettons
3. Nous l'avons mis pour 1 nœud. Manger
4. Un nœud 0 doit avoir une connexion causale d’entrée et toutes les connexions causales de sortie. Nous avons un jour de congé pour l'instant. Nous recherchons les composants C ou I. Nous l'avons trouvé. nous mettons
5. Listons ce qui reste

Il ne reste plus qu'à écrire les équations qui décrivent notre système. Pour ce faire, créez un tableau à 3 colonnes. Le premier contiendra tous les composants du système, le second contiendra la variable d'entrée pour chaque élément et le troisième contiendra la variable de sortie pour le même composant. Nous avons déjà défini l'entrée et la sortie par des relations causales. Il ne devrait donc y avoir aucun problème.

Numérotons chaque connexion pour faciliter l'enregistrement des niveaux. Nous prenons les équations de chaque élément de la liste des composants C, R, I.

Exemple 2. Je tiens à m'excuser immédiatement pour la qualité de la photo, l'essentiel est que vous puissiez lire

Résolvons un autre exemple de système mécanique, le même que celui que nous avons résolu en utilisant la méthode de Lagrange. Je vais montrer la solution sans commentaire. Vérifions laquelle de ces méthodes est la plus simple et la plus facile.

À Matbala, les deux modèles mathématiques avec les mêmes paramètres ont été compilés, obtenus par la méthode de Lagrange et le bond-graph. Le résultat est ci-dessous : Ajouter des tags

Méthode du multiplicateur de Lagrange est une méthode classique pour résoudre des problèmes de programmation mathématique (en particulier la programmation convexe). Malheureusement, l’application pratique de la méthode peut se heurter à d’importantes difficultés de calcul qui réduisent la portée de son utilisation. Nous considérons ici la méthode de Lagrange principalement parce qu'il s'agit d'un appareil activement utilisé pour justifier diverses méthodes numériques modernes largement utilisées dans la pratique. Quant à la fonction de Lagrange et aux multiplicateurs de Lagrange, ils jouent un rôle indépendant et extrêmement important dans la théorie et les applications non seulement de la programmation mathématique.

Considérons le problème d'optimisation classique

max (min) z=f(x) (7.20)

Ce problème se distingue du problème (7.18), (7.19) en ce sens que parmi les restrictions (7.21) il n'y a pas d'inégalités, il n'y a pas de conditions pour que les variables soient non négatives, leur discrétion et les fonctions f(x) sont continues et ont des dérivées partielles d'au moins le second ordre.

L'approche classique de résolution du problème (7.20), (7.21) donne un système d'équations (conditions nécessaires) qui doit être satisfaite par le point x*, qui fournit à la fonction f(x) un extremum local sur l'ensemble des points satisfaisant contraintes (7.21) (pour le problème de programmation convexe, le point trouvé x*, conformément au théorème 7.6, sera simultanément un point d'extremum global).

Supposons qu'au point x* la fonction (7.20) ait un extremum conditionnel local et que le rang de la matrice soit égal à . Ensuite les conditions nécessaires seront écrites sous la forme :

(7.22)

il existe une fonction de Lagrange ; - Multiplicateurs de Lagrange.

Il existe également des conditions suffisantes dans lesquelles la solution du système d'équations (7.22) détermine le point extremum de la fonction f(x). Cette question est résolue à partir de l'étude du signe de la différentielle seconde de la fonction de Lagrange. Cependant, les conditions suffisantes ont surtout un intérêt théorique.

Vous pouvez spécifier la procédure suivante pour résoudre le problème (7.20), (7.21) en utilisant la méthode du multiplicateur de Lagrange :

1) composer la fonction de Lagrange (7.23) ;

2) trouver les dérivées partielles de la fonction de Lagrange par rapport à toutes les variables et mettez-les égaux à zéro. Cela donnera lieu au système (7.22), composé d’équations. Résolvez le système résultant (si cela s'avère possible !) et trouvez ainsi tous les points stationnaires de la fonction de Lagrange ;

3) à partir de points stationnaires pris sans coordonnées, sélectionner les points auxquels la fonction f(x) a des extrema locaux conditionnels en présence de restrictions (7.21). Ce choix est fait, par exemple, en utilisant des conditions suffisantes pour un extremum local. Souvent, l'étude est simplifiée si des conditions spécifiques du problème sont utilisées.

Exemple 7.3. Trouver la répartition optimale d'une ressource limitée dans une unité. entre n consommateurs, si le profit tiré de l'allocation de x j unités de ressource au jème consommateur est calculé par la formule .

Solution. Le modèle mathématique du problème a la forme suivante :

On compose la fonction de Lagrange :

.

Nous trouvons dérivées partielles de la fonction de Lagrange et assimilons-les à zéro :

En résolvant ce système d'équations, on obtient :

Ainsi, si le jème consommateur se voit attribuer des unités. ressource, alors le profit total atteindra sa valeur maximale et s'élèvera à den. unités

Nous avons examiné la méthode de Lagrange appliquée à un problème d'optimisation classique. Cette méthode peut être généralisée au cas où les variables sont non négatives et où certaines contraintes sont données sous forme d'inégalités. Cependant, cette généralisation est avant tout théorique et ne conduit pas à des algorithmes de calcul spécifiques.

En conclusion, donnons aux multiplicateurs de Lagrange une interprétation économique. Pour ce faire, tournons-nous vers le problème d'optimisation classique le plus simple

maximum minimum) z=F(X 1 , X 2); (7.24)

𝜑(x 1, x 2)=b. (7.25)

Supposons que l'extremum conditionnel soit atteint au point . Valeur extrême correspondante de la fonction F(X)

Supposons que dans les restrictions (7.25) la quantité b peut changer, alors les coordonnées du point extremum, et donc la valeur extrême F* les fonctions F(X) deviendront des quantités en fonction de b, c'est à dire. ,, et donc la dérivée de la fonction (7.24)

Considérons une équation différentielle inhomogène linéaire du premier ordre :
(1) .
Il existe trois façons de résoudre cette équation :

• méthode de variation de constante (Lagrange).

Considérons la résolution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre à l'aide de la méthode de Lagrange.

Méthode de variation de constante (Lagrange)

Dans la méthode des variations de constantes, nous résolvons l’équation en deux étapes. Dans un premier temps, nous simplifions l’équation originale et résolvons une équation homogène. Dans la deuxième étape, nous remplaçons la constante d'intégration obtenue à la première étape de la solution par une fonction. Nous cherchons ensuite une solution générale à l’équation originale.

Considérons l'équation :
(1)

Étape 1 Résoudre une équation homogène

Nous recherchons une solution à l'équation homogène :

C'est une équation séparable

Nous séparons les variables - multiplions par dx, divisons par y :

Intégrons :

Intégrale sur y - tabulaire :

Alors

Potentialisons :

Remplaçons la constante e C par C et supprimons le signe du module, ce qui revient à multiplier par une constante ±1, que nous inclurons en C :

Étape 2 Remplacez la constante C par la fonction

Remplaçons maintenant la constante C par une fonction de x :
C → tu (X)
Autrement dit, nous chercherons une solution à l'équation originale (1) comme:
(2)
Trouver la dérivée.

D'après la règle de différenciation d'une fonction complexe :
.
Selon la règle de différenciation des produits :

.
Remplacer dans l'équation d'origine (1) :
(1) ;

.
Deux membres sont réduits :
;
.
Intégrons :
.
Remplacer dans (2) :
.
En conséquence, nous obtenons une solution générale d’une équation différentielle linéaire du premier ordre :
.

Un exemple de résolution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre par la méthode de Lagrange

Résous l'équation

Solution

On résout l'équation homogène :

On sépare les variables :

Multiplier par:

Intégrons :

Intégrales tabulaires :

Potentialisons :

Remplaçons la constante e C par C et supprimons les signes de module :

D'ici:

Remplaçons la constante C par une fonction de x :
C → tu (X)

Trouver la dérivée :
.
Remplacez dans l'équation d'origine :
;
;
Ou:
;
.
Intégrons :
;
Solution de l'équation :
.

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = f(t)

consiste à remplacer des constantes arbitraires ck dans la solution générale

z(t) = c1z1(t) + c2z2(t) + ...

Cnzn(t)

équation homogène correspondante

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = 0

aux fonctions auxiliaires ck(t), dont les dérivées satisfont le système algébrique linéaire

Le déterminant du système (1) est le Wronskien des fonctions z1,z2,...,zn, qui assure son unique solvabilité par rapport à .

Si ce sont des primitives pour , prises à des valeurs fixes des constantes d'intégration, alors la fonction

est une solution de l'équation différentielle inhomogène linéaire originale. L'intégration d'une équation inhomogène en présence d'une solution générale de l'équation homogène correspondante se réduit ainsi à des quadratures.

Méthode de Lagrange (méthode de variation de constantes arbitraires)

Méthode pour obtenir une solution générale d'une équation inhomogène, connaissant la solution générale d'une équation homogène sans trouver de solution particulière.

Pour une équation différentielle homogène linéaire d'ordre n

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = 0,

où y = y(x) est une fonction inconnue, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x) sont connus, continus, vrais : 1) il y a n linéairement solutions indépendantes équations y1(x), y2(x), ..., yn(x) ; 2) pour toutes valeurs des constantes c1, c2, ..., cn, la fonction y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) est un solution à l'équation; 3) pour toute valeur initiale x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 il existe des valeurs c*1, c*n, ..., c*n telles que la solution y *(x)= c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) satisfait les conditions initiales y*(x0)=y0, (y*)"( x0) pour x = x0 =y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

L'expression y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) est appelée la solution générale d'une équation différentielle homogène linéaire du nième ordre.

L'ensemble de n solutions linéairement indépendantes d'une équation différentielle homogène linéaire d'ordre n y1(x), y2(x), ..., yn(x) est appelé le système fondamental de solutions de l'équation.

Pour une équation différentielle homogène linéaire à coefficients constants, il existe un algorithme simple pour construire un système fondamental de solutions. Nous chercherons une solution à l'équation sous la forme y(x) = exp(lx) : exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx) " + anexp(lx) = = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an)exp(lx) = 0, c'est-à-dire que le nombre l est la racine de l'équation caractéristique ln + a1ln-1 + . .. + an-1l + an = 0. Le côté gauche de l'équation caractéristique est appelé le polynôme caractéristique de l'équation différentielle linéaire : P(l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an. Ainsi, le problème de la résolution d'une équation linéaire homogène d'ordre n avec des coefficients constants se réduit à la résolution d'une équation algébrique.

Si l'équation caractéristique a n racines réelles différentes l1№ l2 № ... № ln, alors le système fondamental de solutions est constitué des fonctions y1(x) = exp(l1x), y2(x) = exp(l2x), . .., yn (x) = exp(lnx), et la solution générale de l'équation homogène est : y(x)= c1 exp(l1x) + c2 exp(l2x) + ... + cn exp(lnx).

un système fondamental de solutions et une solution générale pour le cas de racines réelles simples.

Si l'une des racines réelles de l'équation caractéristique est répétée r fois (r-racine multiple), alors dans le système fondamental de solutions, il y a r fonctions qui lui correspondent ; si lk=lk+1 = ... = lk+r-1, alors le système fondamental de solutions de l'équation comprend r fonctions : yk(x) = exp(lkx), yk+1(x) = xexp(lkx ), yk +2(x) = x2exp(lkx), ..., yk+r-1(x) =xr-1 exp(lnx).

EXEMPLE 2. Système fondamental de solutions et solution générale pour le cas de racines réelles multiples.

Si l'équation caractéristique a des racines complexes, alors chaque paire de racines complexes simples (de multiplicité 1) lk,k+1=ak ± ibk dans le système fondamental de solutions correspond à une paire de fonctions yk(x) = exp(akx) cos(bkx), yk+ 1(x) = exp(akx)sin(bkx).

EXEMPLE 4. Système fondamental de solutions et solution générale pour le cas de racines complexes simples. Des racines imaginaires.

Si une paire complexe de racines a une multiplicité r, alors une telle paire lk=lk+1 = ... = l2k+2r-1=ak ± ibk, dans le système fondamental de solutions correspond aux fonctions exp(akx)cos( bkx), exp(akx)sin(bkx), xexp(akx)cos(bkx), xexp(akx)sin(bkx), x2exp(akx)cos(bkx), x2exp(akx)sin(bkx), .. ...... ........ xr-1exp(akx)cos(bkx), xr-1exp(akx)sin(bkx).

EXEMPLE 5. Système fondamental de solutions et solution générale pour le cas de racines complexes multiples.

Ainsi, pour trouver une solution générale à une équation différentielle homogène linéaire à coefficients constants, il faut : écrire l'équation caractéristique ; trouver toutes les racines de l'équation caractéristique l1, l2, ... , ln ; écrire le système fondamental de solutions y1(x), y2(x), ..., yn(x) ; notez l'expression de la solution générale y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x). Pour résoudre le problème de Cauchy, vous devez substituer l'expression de la solution générale aux conditions initiales et déterminer les valeurs des constantes c1,..., cn, qui sont des solutions du système d'équations algébriques linéaires c1 y1( x0) + c2 y2(x0) + ... + cn yn (x0) = y0, c1 y"1(x0) + c2 y"2(x0) + ... + cn y"n(x0) =y0 ,1, ......... , c1 y1 (n-1)(x0) + c2 y2(n-1)(x0) + ... + cn yn(n-1)(x0) = y0,n-1

Pour une équation différentielle inhomogène linéaire d'ordre n

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = f(x),

où y = y(x) est une fonction inconnue, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x), f(x) sont connus, continus, valides : 1 ) si y1(x) et y2(x) sont deux solutions d'une équation non homogène, alors la fonction y(x) = y1(x) - y2(x) est une solution de l'équation homogène correspondante ; 2) si y1(x) est une solution d'une équation inhomogène et y2(x) est une solution de l'équation homogène correspondante, alors la fonction y(x) = y1(x) + y2(x) est une solution à l'équation inhomogène ; 3) si y1(x), y2(x), ..., yn(x) sont n solutions linéairement indépendantes d'une équation homogène, et ych(x) est une solution arbitraire d'une équation inhomogène, alors pour toutes valeurs initiales ​​x0, y0, y0 ,1, ..., y0,n-1 il existe des valeurs c*1, c*n, ..., c*n telles que la solution y*(x)=c *1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) + yч(x) satisfait à x = x0 les conditions initiales y*(x0)=y0, (y* )"(x0)=y0,1 , . ..,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

L'expression y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + yч(x) est appelée la solution générale d'une équation différentielle inhomogène linéaire du nième ordre.

Pour trouver des solutions partielles d'équations différentielles inhomogènes à coefficients constants avec les membres droits de la forme : Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx), où Pk(x ), Qm(x ) sont des polynômes de degré k et m, respectivement, il existe un algorithme simple pour construire une solution particulière, appelé méthode de sélection.

La méthode de sélection, ou méthode des coefficients indéterminés, est la suivante. La solution requise de l'équation s'écrit sous la forme : (Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs, où Pr(x), Qr(x ) sont des polynômes de degré r = max(k, m) à coefficients inconnus pr , pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0. Le facteur xs est appelé facteur de résonance. La résonance se produit dans les cas où parmi les racines de l'équation caractéristique il y a une racine l =a ± ib de multiplicité s. Ceux. si parmi les racines de l'équation caractéristique de l'équation homogène correspondante il y en a une telle que sa partie réelle coïncide avec le coefficient de l'exposant de l'exposant, et la partie imaginaire coïncide avec le coefficient de l'argument de la fonction trigonométrique de droite côté de l’équation, et la multiplicité de cette racine est s, alors la solution particulière requise contient un facteur de résonance xs. S’il n’y a pas de telle coïncidence (s=0), alors il n’y a pas de facteur de résonance.

En substituant l'expression d'une solution particulière dans le côté gauche de l'équation, nous obtenons un polynôme généralisé de la même forme que le polynôme du côté droit de l'équation, dont les coefficients sont inconnus.

Deux polynômes généralisés sont égaux si et seulement si les coefficients de facteurs de la forme xtexp(ax)sin(bx), xtexp(ax)cos(bx) de mêmes puissances t sont égaux. En égalisant les coefficients de ces facteurs, nous obtenons un système de 2(r+1) équations algébriques linéaires pour 2(r+1) inconnues. On peut montrer qu’un tel système est cohérent et possède une solution unique.

Description de la méthode

Raisonnement

La justification suivante de la méthode du multiplicateur de Lagrange n’en est pas une preuve rigoureuse. Il contient des considérations heuristiques qui aident à comprendre la signification géométrique de la méthode.

Cas bidimensionnel

Lignes de niveau et courbe.

Supposons qu'il soit nécessaire de trouver l'extremum d'une fonction de deux variables dans la condition spécifiée par l'équation . Nous supposerons que toutes les fonctions sont continûment différentiables, et cette équation définit une courbe lisse S en surface. Le problème se réduit alors à trouver l’extremum de la fonction F sur la courbe S. Nous supposerons également que S ne passe pas par les points où le gradient F passe à 0.

Traçons des lignes de niveau de fonction sur l'avion F(c'est-à-dire des courbes). D'après des considérations géométriques, il est clair que l'extremum de la fonction F sur la courbe S il ne peut y avoir que des points où les tangentes à S et la ligne de niveau correspondante coïncident. En effet, si la courbe S franchit la ligne de niveau F en un point transversalement (c'est-à-dire à un angle non nul), puis en se déplaçant le long de la courbe Sà partir d'un point on peut arriver aux lignes de niveau correspondant à une valeur plus grande F, et moins. Un tel point ne peut donc pas constituer un point extrême.

Ainsi, une condition nécessaire pour un extremum dans notre cas sera la coïncidence des tangentes. Pour l'écrire sous forme analytique, notons qu'il équivaut au parallélisme des gradients des fonctions F et ψ en un point donné, puisque le vecteur gradient est perpendiculaire à la tangente à la ligne de niveau. Cette condition s'exprime sous la forme suivante :

où λ est un nombre non nul qui est un multiplicateur de Lagrange.

Considérons maintenant Fonction de Lagrange, en fonction de et λ :

Une condition nécessaire pour son extremum est que la pente soit égale à zéro. Conformément aux règles de différenciation, il s'écrit sous la forme

Nous avons obtenu un système dont les deux premières équations sont équivalentes à la condition nécessaire d'un extremum local (1), et la troisième est équivalente à l'équation . Vous pouvez le trouver à partir de là. De plus, puisque sinon le gradient de la fonction F disparaît au point , ce qui contredit nos hypothèses. Il convient de noter que les points ainsi trouvés peuvent ne pas être les points souhaités de l'extremum conditionnel - la condition considérée est nécessaire, mais pas suffisante. Trouver un extremum conditionnel à l'aide d'une fonction auxiliaire L et constitue la base de la méthode du multiplicateur de Lagrange, appliquée ici au cas le plus simple de deux variables. Il s’avère que le raisonnement ci-dessus peut être généralisé au cas d’un nombre arbitraire de variables et d’équations qui précisent les conditions.

Sur la base de la méthode du multiplicateur de Lagrange, il est possible de prouver certaines conditions suffisantes pour un extremum conditionnel, qui nécessitent l'analyse des dérivées secondes de la fonction de Lagrange.

Application

• La méthode du multiplicateur de Lagrange est utilisée pour résoudre des problèmes de programmation non linéaire qui se posent dans de nombreux domaines (par exemple en économie).
• La principale méthode pour résoudre le problème de l'optimisation de la qualité de l'encodage des données audio et vidéo à un débit binaire moyen donné (optimisation de la distorsion - anglais. Optimisation taux-distorsion).

voir également

Liens

• Zorich V.A. Analyse mathematique. Partie 1. - éd. 2e, rév. et supplémentaire - M. : FAZIS, 1997.

Fondation Wikimédia.

2010.

Voyez ce que sont les « multiplicateurs de Lagrange » dans d'autres dictionnaires : Multiplicateurs de Lagrange - des facteurs supplémentaires qui transforment la fonction objectif d'un problème extrême de programmation convexe (notamment programmation linéaire) lors de sa résolution par l'une des méthodes classiques, la méthode de résolution des multiplicateurs... ...

Dictionnaire économique et mathématique Multiplicateurs de Lagrange - Facteurs supplémentaires qui transforment la fonction objectif d'un problème de programmation extrêmement convexe (notamment programmation linéaire) lors de sa résolution par l'une des méthodes classiques, la méthode de résolution des multiplicateurs (méthode de Lagrange).... ...

Guide du traducteur technique Mécanique. 1) Equations de Lagrange du 1er type, équations différentielles du mouvement mécanique. systèmes, qui sont donnés en projections sur des axes de coordonnées rectangulaires et contiennent ce qu'on appelle. Multiplicateurs de Lagrange. Obtenu par J. Lagrange en 1788. Pour un système holonomique, ... ...

Encyclopédie physique Mécanique équations différentielles ordinaires du 2ème ordre, décrivant les mouvements de la mécanique. systèmes sous l’influence des forces qui leur sont appliquées. L.u. gamme établie par J. Lag sous deux formes : L. u. 1ère sorte, ou équations en coordonnées cartésiennes avec... ...

1) en hydromécanique, l'équation du mouvement du fluide (gaz) en variables de Lagrange, qui sont les coordonnées du milieu. Reçu en français scientifique J. Lagrange (environ 1780). De L.u. la loi du mouvement du milieu est déterminée sous forme de dépendances... ... Mécanique. 1) Equations de Lagrange du 1er type, équations différentielles du mouvement mécanique. systèmes, qui sont donnés en projections sur des axes de coordonnées rectangulaires et contiennent ce qu'on appelle. Multiplicateurs de Lagrange. Obtenu par J. Lagrange en 1788. Pour un système holonomique, ... ...

Méthode du multiplicateur de Lagrange, méthode pour trouver l'extremum conditionnel de la fonction f(x), où, par rapport à m contraintes, je varie de un à m. Table des matières 1 Description de la méthode... Wikipédia

Une fonction utilisée pour résoudre des problèmes sur l'extremum conditionnel de fonctions de nombreuses variables et fonctionnelles. Avec l'aide de L. f. les conditions nécessaires à l'optimalité des problèmes sur un extremum conditionnel sont écrites. Dans ce cas, il n’est pas nécessaire d’exprimer uniquement des variables… Mécanique équations différentielles ordinaires du 2ème ordre, décrivant les mouvements de la mécanique. systèmes sous l’influence des forces qui leur sont appliquées. L.u. gamme établie par J. Lag sous deux formes : L. u. 1ère sorte, ou équations en coordonnées cartésiennes avec... ...

Méthode de résolution de problèmes sur l'extremum conditionnel ; L.M.M. consiste à réduire ces problèmes à des problèmes sur l'extremum inconditionnel d'une fonction auxiliaire, ce qu'on appelle. Fonctions de Lagrange. Pour le problème de l'extremum de la fonction f (x1, x2,..., xn) pour... ...

Variables à l'aide desquelles la fonction de Lagrange est construite lors de l'étude de problèmes sur un extremum conditionnel. L'utilisation de méthodes linéaires et de la fonction de Lagrange permet d'obtenir de manière uniforme les conditions d'optimalité nécessaires dans des problèmes impliquant un extremum conditionnel... Mécanique équations différentielles ordinaires du 2ème ordre, décrivant les mouvements de la mécanique. systèmes sous l’influence des forces qui leur sont appliquées. L.u. gamme établie par J. Lag sous deux formes : L. u. 1ère sorte, ou équations en coordonnées cartésiennes avec... ...

1) en hydromécanique, les équations du mouvement d'un milieu fluide, écrites en variables de Lagrange, qui sont les coordonnées des particules du milieu. De L.u. la loi du mouvement des particules du milieu est déterminée sous la forme de dépendances des coordonnées par rapport au temps, et à partir d'elles... ... Grande Encyclopédie Soviétique