Méthode de demi-division f x 0. Méthode de demi-division

IvanovIvan

En complétant le sujet des méthodes numériques, les étudiants savent déjà travailler avec des feuilles de calcul et écrire des programmes en Pascal. Le travail est de nature combinée Conçu pour 40 minutes. Le but du travail est de répéter et de consolider les compétences professionnelles avec les programmes EXCEL, ABCPascal. Le matériel contient 2 fichiers. L'un contient du matériel théorique, puisque c'est ce qui est proposé à l'étudiant. Dans le deuxième fichier se trouve un exemple du travail d’Ivan, l’élève d’Ivanov.

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Résoudre des équations

La solution analytique de certaines équations contenant, par exemple, des fonctions trigonométriques ne peut être obtenue que pour des cas particuliers isolés. Par exemple, il n'existe aucun moyen de résoudre analytiquement même une équation aussi simple que cos x=x

Les méthodes numériques permettent de trouver une valeur approximative de la racine avec une précision donnée.

La recherche approximative comprend généralement deux étapes :

1) séparation des racines, c'est-à-dire établir des intervalles éventuellement précis qui ne contiennent qu'une seule racine de l'équation ;

2) clarification des racines approximatives, c'est-à-dire les amener à un degré de précision donné.

Nous considérerons des solutions aux équations de la forme f(x)=0. Fonction f(x)défini et continu sur le segment[a.b]. Valeur x 0 est appelée la racine de l'équation si f(x 0 )=0

Pour séparer les racines, on procédera des dispositions suivantes :

• Si f(a)* f(b] \une, b\ il y a au moins une racine
• Si fonction y = f(x) continu sur le segment, et f(a)*f(b) et f"(x) sur l'intervalle (a, b) conserve le signe, puis à l'intérieur du segment[une, b] il n'y a qu'une seule racine de l'équation

Une séparation approximative des racines peut également être réalisée graphiquement. Pour ce faire, l'équation (1) est remplacée par l'équation équivalente p(x) = φ(x), où les fonctions p(x) et φ(x] plus simple que la fonction f(x). Ensuite, en traçant les fonctions y = p(x) et y = f(x), on obtient les racines recherchées comme abscisses des points d'intersection de ces graphiques

Méthode de dichotomie

Pour clarifier la racine, divisez le segment[une, b] en deux et calculer la valeur de la fonction f(x) au point x sr =(une+b)/2. Choisissez l'une des moitiés ou , aux extrémités duquel la fonction f(x) a des signes opposés.. Nous continuons le processus de division du segment en deux et effectuons la même considération jusqu'à. longueur deviendra inférieur à la précision spécifiée. Dans ce dernier cas, n'importe quel point du segment peut être considéré comme la valeur approximative de la racine (en règle générale, son milieu est pris).L'algorithme est très efficace, puisqu'à chaque tour (itération) l'intervalle de recherche est réduit de moitié ; par conséquent, 10 itérations le réduiront mille fois. Des difficultés peuvent survenir lors de la séparation des racines pour des fonctions complexes.

Pour déterminer approximativement le segment sur lequel se trouve la racine, vous pouvez utiliser un processeur de table en construisant un graphique de la fonction

EXEMPLE : Déterminons graphiquement la racine de l'équation. Soit f1(x) = x, a et construire des graphiques de ces fonctions. (Calendrier). La racine est située dans l'intervalle de 1 à 2. Ici, nous clarifierons la valeur de la racine avec une précision de 0,001 (en-tête du tableau sur le tableau)

Algorithme pour la mise en œuvre de logiciels

1. a:=bordure gauche b:=bordure droite
2. m:= (a+b)/2 milieu
3. définir f(a) et f(m)
4. si f(a)*f(m)
5. if (a-b)/2>e répéter à partir du point 2
   

Méthode d'accord

Les points du graphique d'une fonction aux extrémités de l'intervalle sont reliés par une corde. Le point d'intersection de la corde et de l'axe Ox (x*) est utilisé comme point de test. On raisonne ensuite de la même manière que dans la méthode précédente : si f(x un ) et f(x*) de même signe sur l'intervalle, la limite inférieure est déplacée vers le point x* ; sinon, nous déplaçons la limite supérieure. Ensuite, nous dessinons un nouvel accord, etc.

Il ne reste plus qu'à clarifier comment trouver x*. Essentiellement, le problème se résume au suivant : à travers 2 points de coordonnées inconnues (x 1, y 1) et (x 2, y 2 ) une ligne droite est tracée ; trouvez le point d'intersection de cette ligne et de l'axe Ox.

Écrivons l'équation d'une droite en utilisant deux points :

Au point d'intersection de cette droite et de l'axe Ox, y=0, et x=x*, soit

Où

le processus de calcul des valeurs approximatives se poursuit jusqu'à ce que, pour deux approximations successives de la racine x" et xp_1 la condition abs(xn-x n-1) e - précision spécifiée

La convergence de la méthode est bien supérieure à la précédente

L'algorithme ne diffère qu'au point de calcul du point médian - l'intersection de la corde avec l'axe des abscisses et les conditions d'arrêt (la différence entre deux points d'intersection adjacents)

Équations à résoudre indépendamment : (nous recherchons nous-mêmes un segment dans Excel)

1. péché(x/2)+1=x^2 (x=1,26)

1. x-cosx=0 (x=0,739)

1. x^2+4sinx=0 (x=-1,933)

1. x=(x+1) 3 (x=-2,325)

où la fonction f(x) est définie et continue sur un intervalle x fini ou infini. En particulier, les modèles mathématiques d'analyse des propriétés statiques des objets de conception ou de leurs éléments sont présentés sous forme d'équations non linéaires. Si la fonction f(x) est un polynôme du nième degré de la forme a0 + a1 x + a2 x2 + ... + anxn, alors l'équation (1) est dite algébrique. Lorsque x est sous le signe d'une fonction transcendantale (exponentielle, logarithmique, trigonométrique, etc.), l'équation est dite transcendantale. La valeur de l'argument x à laquelle la fonction f(x) devient nulle, c'est-à-dire f(x*) = 0 est appelé la racine de l’équation.

En général, pour la fonction f(x) il n’existe pas de formules analytiques pour trouver les racines. De plus, leur calcul exact n’est pas toujours nécessaire. Cela s'explique par le fait que les équations rencontrées dans la pratique de l'ingénierie contiennent souvent des coefficients dont les valeurs ont des valeurs approximatives. Dans de tels cas, le problème de la détermination des racines est résolu avec un certain degré de précision prédéterminé.

Dans ce qui suit, nous supposons que l'équation (1) n'a que des racines isolées, c'est-à-dire pour chacun d'eux il existe un certain voisinage qui ne contient pas d'autres racines de cette équation. Le processus de recherche de racines réelles isolées d'une équation non linéaire comprend deux étapes :

• 1) séparation des racines, c'est-à-dire trouver des intervalles contenant une et une seule racine de l'équation ;
• 2) raffinement des valeurs approximatives des racines individuelles à un degré de précision donné.

L’étape de séparation des racines peut être réalisée de différentes manières. Premièrement, la valeur approximative de la racine est parfois connue grâce à la signification physique du problème. Deuxièmement, une méthode graphique peut être utilisée pour séparer les racines, basée sur la construction d'un graphique de la fonction

demi-division d'équation non linéaire

où les valeurs approximatives des racines réelles de l'équation f(x) = 0 correspondent à l'abscisse des points d'intersection ou tangence du graphe avec l'axe 0x (y = 0). La méthode la plus couramment utilisée pour séparer les racines est basée sur la proposition suivante : si aux extrémités d'un certain intervalle les valeurs de la fonction continue f(x) ont des signes différents, c'est-à-dire f(a)f(b), alors sur cet intervalle l'équation (1) a au moins une racine. Dans ce cas, la racine est unique si la dérivée de la fonction f"(x) existe et maintient un signe constant dans l'intervalle. Considérons l'algorithme le plus simple de séparation des racines d'équations non linéaires, orienté vers l'utilisation d'un ordinateur . L'intervalle initial [, ], sur lequel la fonction f(x) est définie et continue ), est divisé en n segments d'égale longueur.

(x0, x1), (x1, x2), ..., (xn -1, xn), où x0 x1 ...xn et x0 = , xn =

Ensuite, les valeurs de la fonction f(xj) sont calculées aux points xj (j =) et un segment (xi, xi+1) est sélectionné, aux extrémités duquel la fonction a des signes différents, c'est-à-dire f(xi)f(xi+1) 0. Si la longueur de ce segment est suffisamment petite (on peut supposer l'unicité de la racine), alors on considère que la racine est séparée sur l'intervalle où a = xi, b = xi+1. Sinon, les limites de l'intervalle d'origine sont décalées, c'est-à-dire = xi, = xi + 1, et la procédure est répétée.

Il convient de noter que la longueur de l'intervalle initial sur lequel la fonction f(x) est définie peut varier dans de larges limites. Par conséquent, le nombre de segments n, ainsi que la longueur de l'intervalle requis, sont des quantités variables qui doivent être précisées dans chaque cas particulier, en tenant compte de la signification physique du problème à résoudre.

Lors de la deuxième étape de résolution d'équations non linéaires, les valeurs approximatives obtenues des racines sont affinées par diverses méthodes itératives jusqu'à une certaine erreur spécifiée.

Méthode de demi-division. Pour cette méthode, il est essentiel que la fonction f(x) soit continue et limitée dans un intervalle donné dans lequel se situe la racine. On suppose également que les valeurs de fonction aux extrémités de l'intervalle f(a) et f(b) ont des signes différents, c'est-à-dire la condition f(a)f(b) est satisfaite.

Désignons l'intervalle d'origine par . Pour trouver la racine de l'équation f(x) = 0, le segment est divisé en deux, c'est-à-dire l'approximation initiale x0 = (a0 + b0)/2 est calculée. Si f(x0) = 0, alors la valeur x0 = x* est la racine de l'équation. Sinon, choisissez l'un des segments ou , aux extrémités desquels la fonction f(x) a des signes différents, puisque la racine se situe dans cette moitié. Ensuite, le segment sélectionné est noté , encore une fois divisé en deux par le point x1 = (a1 + b1)/2, etc. En conséquence, à une certaine itération, nous obtenons la racine exacte x* de l'équation f(x) = 0, ou une séquence infinie de segments imbriqués , , ..., , ..., telle que f(ai)f( bi) (i =1, 2, ...), convergeant vers la racine x*.

S'il est nécessaire de déterminer la racine x* avec une erreur, alors la division de l'intervalle d'origine se poursuit jusqu'à ce que la longueur du segment devienne inférieure à 2, ce qui s'écrit sous la forme de la condition bi - ai 2.

Dans ce cas, le milieu du dernier intervalle donne une valeur approximative de la racine avec le degré de précision requis

x* (ai + bi) / 2.

La méthode de demi-division est facilement mise en œuvre sur un ordinateur et est la plus universelle parmi les méthodes itératives de raffinage des racines. Son application garantit l'obtention d'une solution pour toute fonction continue f(x), si l'on trouve un intervalle auquel elle change de signe. Dans le cas où les racines ne sont pas séparées, on trouvera l'une des racines de l'équation. La méthode converge toujours, mais la vitesse de convergence est faible, puisque la précision double approximativement en une itération. Par conséquent, dans la pratique, la méthode des moitiés est généralement utilisée pour trouver approximativement les racines d'une équation, car le nombre de calculs augmente considérablement avec la précision requise.

Résoudre une équation algébrique. Il existe de nombreuses façons de résoudre numériquement des équations algébriques. Parmi les plus célèbres figurent la méthode de Newton, la méthode des accords et la méthode « conquérante » de la demi-division. Faisons immédiatement une réserve sur le fait que toute méthode est approximative, et ne fait en fait que clarifier le sens de la racine. Cependant, en clarifiant avec toute précision spécifiée par Nous.

La méthode des moitiés ou dichotomie (la dichotomie est la juxtaposition ou l'opposition de deux parties d'un tout) pour trouver la racine de l'équation f (x) = 0 consiste à diviser en deux le segment où se trouve la racine. Ensuite, le changement de signe de la fonction sur les demi-segments est analysé et l'une des limites du segment est transférée en son milieu. La frontière à partir de laquelle la fonction ne change pas de signe sur la moitié du segment est transférée. Ensuite, le processus est répété. Les itérations s'arrêtent lorsqu'une des conditions est remplie : soit la longueur de l'intervalle devient inférieure à l'erreur spécifiée pour trouver la racine ?, soit la fonction tombe dans la bande de bruit ?1 - la valeur de la fonction est comparable au calcul erreur.

Tout d'abord, définissons la tâche. Étant donné une fonction monotone et continue f(x), qui contient une racine sur le segment , où b>a. Déterminer la racine avec précision ?, si l'on sait que f(a)*f(b)<0

Étant donné une équation de la forme :

Il faut trouver des valeurs de x qui le satisfont.

Passons donc à la solution. Tout d’abord, définissons ce que signifie f(x)=0. Regardez la figure 1. Il montre un graphique d'une certaine fonction. À certains endroits, ce graphique croise l’axe des x. Nous devons trouver les coordonnées x de ces points. Si le type d'équation est simple ou standard, par exemple une équation quadratique ou linéaire, alors il n'est absolument pas nécessaire d'utiliser ici la méthode numérique. Mais si notre équation est comme ceci :

F(x)=x3-14x2+x+ex; (2)

Vous ne trouverez dans aucun manuel de méthode permettant de résoudre analytiquement ce cauchemar. C’est là que l’invincible méthode numérique vient à la rescousse. Méthode de demi-division. D’après le nom de la méthode elle-même, nous pouvons supposer que nous devrons diviser quelque chose en deux.

La méthode des moitiés peut être présentée aux étudiants comme une solution à un problème.

Tâche

Il y a un siège de la forteresse ennemie. Un nouveau canon fut installé à quelque distance de là. Sous quel angle par rapport à l'horizon ce canon doit-il être tiré pour toucher une section donnée du mur de la forteresse ?

Les physiciens ont travaillé dur sur le modèle de ce problème. Cela est compréhensible : après tout, de nombreux problèmes scientifiques, comme celui-ci, se posaient principalement dans les affaires militaires. Et la résolution de ces problèmes a presque toujours été considérée comme une priorité.

Quels sont les facteurs considérés comme essentiels dans cette tâche ? Puisque nous parlons du Moyen Âge, la vitesse et la portée du projectile sont faibles. Cela signifie que nous pouvons considérer comme sans importance que la Terre soit ronde (rappelez-vous la discussion du paragraphe 27) et négliger la résistance de l'air. Le seul facteur restant est la force de gravité.

Un mathématicien dirait qu’il faut résoudre l’équation. Nous déciderons également, seulement approximativement et de manière très similaire à la façon dont le font les vrais artilleurs. Ils procèdent de la manière suivante : ils tirent plusieurs coups en prenant la cible « à la fourchette », c'est-à-dire l'un a frappé au-dessus de la cible et l'autre en dessous. Ensuite, l'angle entre ces tirs est réduit de moitié et, lorsqu'il est tiré sous cet angle, le projectile atterrit beaucoup plus près de la cible. Mais si vous ne frappez toujours pas, alors la nouvelle « fourchette » est à nouveau divisée en deux, etc.

Nous pouvons indiquer à l'avance la « fourchette » de l'angle : 0 et ?/4 (nous espérons que vous vous souvenez de quel angle a une mesure en radian ?/4 et à quoi est-il approximativement égal ?). Et puis nous diviserons cette « fourchette » en deux et observerons où le projectile frappe jusqu'à ce que nous obtenions le résultat souhaité.

Combien de temps faudra-t-il « tirer » pour obtenir l’angle avec la précision requise ? Pour répondre à cette question, faisons abstraction de notre tâche et formulons dans un langage purement mathématique ce que nous avons trouvé et comment.

On nous donne une certaine fonction f(x) et un segment, et aux extrémités de ce segment cette fonction prend des valeurs de signes opposés. Si la fonction est continue, c'est-à-dire son graphique est une ligne continue, il est clair que le graphique de la fonction coupe l'axe des abscisses en un certain point à partir du segment, comme le montre la figure 1. En d'autres termes, f(c) = 0, c'est-à-dire c est la racine de l'équation f(x)=0.

Comment est-il proposé de trouver cette racine ? Et le voici. Nous divisons le segment en deux, c'est-à-dire prenez le milieu du segment a+b/2. À ce stade, nous calculons la valeur de la fonction f(x) (Fig. 2). Si cette valeur est 0, alors la racine a été trouvée ; sinon, alors il a le même signe que la valeur à l’une des extrémités du segment. Puis on remplace cette extrémité par le point a+b/2. Le nouveau segment contient également la racine de l'équation f(x)=0, puisqu'à ses extrémités la fonction f(x) a à nouveau des signes différents. Cependant, ce segment est 2 fois plus court que le précédent. Et surtout, vous pouvez faire la même chose avec lui. refaire la même chose avec le segment suivant, etc. puisque la longueur du segment est réduite de moitié à chaque fois, nous pouvons obtenir un segment de longueur arbitrairement petite, qui contient la racine de l'équation f(x) = 0. Par exemple, si le segment d'origine était , c'est-à-dire avait une longueur de 1, puis après dix étapes, nous obtenons un segment de longueur. Cela signifie que les extrémités du segment nous donnent une valeur approximative de la racine avec une précision égale à la longueur du segment : l'extrémité gauche du segment est une valeur approximative de la racine déficiente, l'extrémité droite est une valeur approximative valeur de la racine avec un excédent.

En fait, nous avons maintenant formulé une méthode de solution approximative de l’équation f(x)=0. On pourrait appeler cela la méthode de remise à zéro de l’artillerie. Mais les mathématiciens appellent cela la méthode des moitiés.

Algorithme

1) Trouvez le milieu du segment : c=(a+b)/2;

2) Calculons les valeurs de la fonction aux points a et c et trouvons le produit des valeurs obtenues : d=f(c)?f(a);

3) Si d>0, alors maintenant le point a deviendra c : a=c ; Si d<0, то точкой b станет c: b=c;

4) Calculons la différence de a et b, comparons-la avec la précision ? : si |a-b|> ?, alors passons au point 1) sinon, alors la racine a été trouvée avec la précision dont nous avons besoin, et elle est égale à : x=(a+b)/ 2 ;

INTRODUCTION 4

1. FORMULATION DU PROBLEME 5

2. SÉLECTION ET DESCRIPTION DES MÉTHODES DE SOLUTION 6

2.1.

MÉTHODE DE RÉDUCTION DE MOITIÉ 6

2.2.

METHODE D'ACCORDS 9

2.3.

MÉTHODE DE NEWTON (MÉTHODE TANGENTE) 12

3. CORRESPONDANCE ENTRE LES VARIABLES ACCEPTÉES DANS LA DESCRIPTION DU PROBLÈME ET DANS LE PROGRAMME 15

4. SCHÉMA DE FONCTIONNEMENT DU PROGRAMME ET SA DESCRIPTION 18

5. LISTE DES PROGRAMMES 26

6. CAS DE TEST ET ANALYSE DES RÉSULTATS 27

7. INSTRUCTIONS D'UTILISATION 32

CONCLUSION 33

RÉFÉRENCES 34

DEMANDES 35

ANNEXE A 36

ANNEXE B.38

Destiné à l'apprentissage, le langage s'est avéré très simple et à la fois strict. Cependant, il est vite devenu évident qu’il était également très efficace dans une grande variété d’applications. Pascal prend en charge les dernières méthodologies de conception logicielle (descendante, conception modulaire, programmation structurée). À cet égard, de nombreuses implémentations du langage sont apparues pour différentes architectures de machines, et la plus réussie et la plus populaire a été le développement de Borland International pour les ordinateurs personnels compatibles IBM. Cette implémentation du langage s'appelle Turbo Pascal et dispose déjà de plusieurs versions.

Turbo Pascal est un système de programmation qui comprend un éditeur de texte, un compilateur, un éditeur de liens, un chargeur, un débogueur, un système de fichiers, une bibliothèque système et un système d'aide. Tous ces composants sont combinés dans un environnement intégré avec une interface multi-fenêtres et un système de menus développé, qui garantit une productivité élevée du programmeur lors de la création de programmes à des fins industrielles, scientifiques et commerciales.

1. ÉNONCÉ DU PROBLÈME

Écrivez un programme dans le langage de programmation Pascal qui résout une équation non linéaire. Le résultat du programme doit être affiché à l'écran et dans un fichier.

Implémentez le menu suivant dans le programme :

1-Saisir les données du fichier

2-Saisir les données du clavier

Déboguer le programme sur l'équation f(x)=x 2 -x-6 avec une précision de 0,001

2. SÉLECTION ET DESCRIPTION DES MÉTHODES DE SOLUTION

Le processus de recherche de la valeur approximative des racines de l'équation peut être divisé en deux étapes : 1) séparation des racines ; 2) raffinement des racines à un degré de précision donné. La racine ξ est considérée séparé sur l'intervalle si sur cet intervalle l'équation

: méthode de demi-division, Newton

2.1. MÉTHODE DE RÉDUCTION DE MOITIÉ

Soit l'équation f(x) = 0, où f (X) est une fonction continue. Il est nécessaire de trouver la racine de cette équation ξ jusqu'à ε, où e est un nombre positif suffisamment petit.

Nous supposerons que la racine ξ est séparée et située sur le segment [ UN, b], c'est-à-dire que l'inégalité est vraie UN ≤ ξ ≤ b. Nombres UN Et b– valeurs approximatives de la racine ξ, respectivement, avec un déficit et un excès. L'erreur de ces approximations ne dépasse pas la longueur du segment b – UN. Si b – UN≤ε, alors la précision de calcul requise a été atteinte et la valeur approximative de la racine ξ peut être considérée comme UN, ou b. Mais si b – UN> ε, alors la précision de calcul requise n'a pas été atteinte et il est nécessaire de réduire les intervalles dans lesquels la racine ξ se trouve, c'est-à-dire de sélectionner de tels nombres UN Et b, pour que les inégalités soient satisfaites un groupe . Lors du calcul, vous devez vous arrêter et prendre soit la valeur approximative de la racine à ε près UN, ou b. Il convient de noter que la valeur de la racine sera plus précise lorsque les extrémités du segment ne seront pas considérées comme la valeur approximative de la racine. UN Et b, et le milieu de ce segment, c'est-à-dire . L'erreur dans ce cas ne dépasse pas la valeur
.

Exemple de méthode. Soit l'équation f(x) = 0 [f(x) est une fonction continue] et la racine ε est séparée sur le segment [ UN, b], c'est-à-dire f(UN) ∙ f(b) b – UN> ε. Il est nécessaire de trouver la valeur de la racine ξ avec une précision de ε (Fig. 2.1)

Le principe de résolution d'une équation comme y=f(x) par méthode d'essai

Le principe de résolution d'une équation comme y=f(x) par la méthode de la demi-division

Sur le segment [ un, b] choisit arbitrairement un point a 1, ce qui le divisera en deux segments et . Parmi ces deux segments, il faut choisir celui aux extrémités duquel la fonction prend des valeurs opposées en signe. Dans notre exemple f(UN) ∙ f(un 1) > 0, f(un 1) ∙ f(b) un 1 , b]. Ensuite, sur ce segment rétréci, nous prenons à nouveau arbitrairement un point UN 2 et retrouver les signes des produits f(un 1) ∙ f(un 2) et f(un 2) ∙ f(b). Parce que f(un 2)× f(b) un 2 , b]. On continue ce processus jusqu'à ce que la longueur du segment sur lequel se trouve la racine devienne inférieure à ε. Nous obtenons la racine ξ comme moyenne arithmétique des extrémités du segment trouvé, et l'erreur de la racine ne dépasse pas ε/2.

Exemple de méthode sous cette forme, il n'est pas utilisé sur un ordinateur. Pour compiler des programmes et effectuer des calculs sur un ordinateur, la méthode d'échantillonnage est utilisée sous la forme de ce qu'on appelle méthode des moitiés.

Soit la racine ξ de l'équation f(X) = 0 est séparé et situé sur le segment [ un, b], c'est-à-dire f(un) ∙ f(b) b – UN> ε [ici f(x) est une fonction continue]. Comme précédemment, abordons le segment [ un, b] point intermédiaire, mais pas de manière arbitraire, mais de manière à ce qu'il soit le milieu du segment [ un, b], c'est-à-dire Avec = (UN + b)/2. Puis le segment [ un, b] le point c sera divisé en deux segments égaux [ UN, Avec] Et [ Avec, b], dont la longueur est ( b – UN)/2 (Fig. 2.2). Si f(Avec) = 0, alors Avec– racine exacte de l'équation f(X) = 0. Si f(Avec) ≠ 0, puis à partir des deux segments résultants [ un, Avec] Et [ Avec, b] choisissez celui aux extrémités duquel la fonction f(x) prend la signification de signes opposés ; notons-le [ un je, b 1]. Puis le segment [ un je, b 1 ] nous divisons également en deux et effectuons le même raisonnement. On obtient le segment [ UN 2 , b 2 ], dont la longueur est ( b – UN)/2 2 . Nous effectuons le processus de division d'un segment en deux jusqu'à ce qu'à une nième étape, soit le milieu du segment soit la racine de l'équation (un cas très rare en pratique), soit le segment [ un n, b n ] tel que b n – UN n = ( b– a)/2 n ≤ ε et UN n ≤ ξ ≤ b n (nombre n indique le nombre de divisions effectuées). Nombres UN n et b n – racines de l'équation f(X) = 0 jusqu'à ε. Pour la valeur approchée de la racine, comme indiqué ci-dessus, il faut prendre ξ = ( un m+ b n)/2, et l'erreur ne dépasse pas ( b – UN)/2 n +1 .

2.2. MÉTHODE D'ACCORDS

La méthode des accords est l'une des méthodes courantes pour résoudre des équations algébriques et transcendantales. Dans la littérature, on la retrouve également sous les noms de « méthode des fausses positions » (regula falsi), « méthode d'interpolation linéaire » et « méthode des parties proportionnelles ».

Soit l'équation f(x) = 0, où f (x) est une fonction continue qui a des dérivées du premier et du second ordre dans l'intervalle [a, b]. La racine est considérée comme séparée et se situe sur le segment [a, b], c'est-à-dire f(a)-f(b)

L'idée de la méthode des accords est que sur un intervalle suffisamment petit [a, b] l'arc de courbe y = f (x) est remplacé par une corde le contractant. Le point d'intersection de la corde avec l'axe Ox est pris comme valeur approximative de la racine.

Auparavant, nous avons considéré quatre cas de localisation de l'arc de courbe, en tenant compte des valeurs des dérivées première et seconde.

Considérons les cas où les dérivées première et seconde ont les mêmes signes, c'est-à-dire f"(x) ∙ f"" (x) > 0.

Soit, par exemple, f(a) 0, f"(x) > 0, f""(x) > 0 (Fig. 3.18, a). Le graphique de la fonction passe par les points A 0 (a; f (a)), B(b; f(b)) - La racine souhaitée de l'équation f(x) = 0 est l'abscisse du point d'intersection du graphique de la fonction y = f(x) avec le Ox Ce point nous est inconnu, mais nous prendrons à la place le point x 1 de l'intersection de la corde A et B avec l'axe Ox. Ce sera la valeur approximative de la racine.

L'équation d'une corde passant par les points A 0 et B a la forme

Trouvons la valeur x = x 1 pour laquelle y = 0 :

Cette formule est appelée formule de la méthode des accords. Maintenant la racine ξ est à l’intérieur du segment. Si la valeur de la racine x 1 ne nous convient pas, alors elle peut être clarifiée en appliquant la méthode des accords au segment [x 1, b].

Relions le point A 1 (x 1 ; f (x 1) avec le point B (b ; f (b)) et trouvons x 2 - le point d'intersection de la corde A 1 B avec l'axe Ox :

En poursuivant ce processus, nous trouvons

Le processus se poursuit jusqu'à ce que nous obtenions une racine approximative avec un degré de précision donné.

En utilisant les formules ci-dessus, les racines sont également calculées pour le cas où f(a) > 0, f(b)

Considérons maintenant les cas où les dérivées première et seconde ont des signes différents, c'est-à-dire f"(x) ∙ f"(x)

Soit, par exemple, f(a) > 0, f(b) 0 (Fig. 3.19, a). Relions les points A (a; f (a)) et B 0 (b; f (b)) et écrivons l'équation de la corde passant par A et B 0 :

Trouvons x 1 comme point d'intersection de la corde avec l'axe Ox, en supposant y = 0 :

La racine ξ est désormais contenue dans le segment . En appliquant l'épée des accords impairs au segment [a, x 1 ], nous obtenons Méthodes de résolution d'une équation non linéaire Travaux de laboratoire >> Mathématiques

Les étudiants étudiant le sujet « Numérique méthodes" et effectuer des travaux de laboratoire... Les lignes directrices couvrent un certain nombre de méthodes trouver les racines d'une équation non linéaire et... Par conséquent, ils sont d'une grande importance méthodes solution approximative d'une équation avec une donnée...