Comme pour le problème de la recherche d'une zone, vous avez besoin de compétences en dessin sûres - c'est presque la chose la plus importante (puisque les intégrales elles-mêmes seront souvent faciles). Vous pouvez maîtriser des techniques graphiques compétentes et rapides à l'aide de matériel pédagogique et de transformations géométriques de graphiques. Mais en fait, j’ai déjà parlé plusieurs fois de l’importance des dessins en classe.

En général, il existe de nombreuses applications intéressantes dans le calcul intégral ; en utilisant une intégrale définie, vous pouvez calculer l'aire d'une figure, le volume d'un corps de révolution, la longueur de l'arc, la surface de révolution, et bien plus encore. plus. Ce sera donc amusant, restez optimiste !

Imaginez une figure plate sur le plan de coordonnées. Introduit ? ... Je me demande qui a présenté quoi... =))) Nous avons déjà trouvé son domaine. Mais, en plus, cette figure peut également être tournée, et pivotée de deux manières :

– autour de l'axe des abscisses ;
– autour de l’axe des ordonnées.

Cet article examinera les deux cas. La deuxième méthode de rotation est particulièrement intéressante ; elle pose le plus de difficultés, mais en fait la solution est presque la même que dans la rotation plus courante autour de l'axe des x. En prime, je reviendrai sur problème de trouver l'aire d'une figure, et je vais vous expliquer comment trouver la zone de la deuxième manière - le long de l'axe. Ce n’est pas vraiment un bonus car le matériel s’intègre bien dans le sujet.

Commençons par le type de rotation le plus populaire.

figure plate autour d'un axe

Exemple 1

Calculez le volume d'un corps obtenu en faisant tourner une figure délimitée par des lignes autour d'un axe.

Solution: Comme dans le problème de trouver la zone, la solution commence par le dessin d'une figure plate. C'est-à-dire que sur le plan il faut construire une figure délimitée par les lignes , et ne pas oublier que l'équation précise l'axe. Comment réaliser un dessin plus efficacement et plus rapidement peut être trouvé sur les pages Graphiques et propriétés des fonctions élémentaires Et Intégrale définie. Comment calculer l'aire d'une figure. Il s’agit d’un rappel chinois, et à ce stade, je ne m’étendrai pas davantage.

Le dessin ici est assez simple :

La figure plate souhaitée est ombrée en bleu ; c'est celle qui tourne autour de l'axe. Du fait de la rotation, le résultat est une soucoupe volante légèrement ovoïde et symétrique par rapport à l'axe. En fait, le corps a un nom mathématique, mais je suis trop paresseux pour clarifier quoi que ce soit dans l'ouvrage de référence, alors passons à autre chose.

Comment calculer le volume d'un corps de révolution ?

Le volume d'un corps de révolution peut être calculé à l'aide de la formule:

Dans la formule, le nombre doit être présent avant l'intégrale. C'est ce qui s'est passé - tout ce qui tourne dans la vie est lié à cette constante.

Je pense qu'il est facile de deviner comment fixer les limites d'intégration « a » et « be » à partir du dessin terminé.

Fonction... quelle est cette fonction ? Regardons le dessin. La figure plane est délimitée par le graphique de la parabole en haut. C'est la fonction impliquée dans la formule.

Dans les tâches pratiques, une figure plate peut parfois être située en dessous de l'axe. Cela ne change rien - l'intégrande dans la formule est au carré : , donc l'intégrale est toujours non négative, ce qui est très logique.

Calculons le volume d'un corps de rotation à l'aide de cette formule :

Comme je l'ai déjà noté, l'intégrale s'avère presque toujours simple, l'essentiel est d'être prudent.

Répondre:

Dans votre réponse, vous devez indiquer la dimension - unités cubes. Autrement dit, dans notre corps de rotation, il y a environ 3,35 « cubes ». Pourquoi cubique unités? Parce que la formulation la plus universelle. Il peut y avoir des centimètres cubes, il peut y avoir des mètres cubes, il peut y avoir des kilomètres cubes, etc., c'est le nombre d'hommes verts que votre imagination peut mettre dans une soucoupe volante.

Exemple 2

Trouver le volume d'un corps formé par rotation autour de l'axe d'une figure délimitée par des lignes , ,

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Considérons deux problèmes plus complexes, qui sont également souvent rencontrés dans la pratique.

Exemple 3

Calculer le volume du corps obtenu en tournant autour de l'axe des abscisses de la figure délimitée par les lignes , , et

Solution: Représentons dans le dessin une figure plate délimitée par les droites , , , , sans oublier que l'équation définit l'axe :

Le chiffre souhaité est ombré en bleu. Lorsqu'il tourne autour de son axe, il se révèle être un beignet surréaliste à quatre coins.

Calculons le volume du corps de révolution comme différence de volumes de corps.

Regardons d’abord la figure entourée en rouge. Lorsqu'il tourne autour d'un axe, on obtient un tronc de cône. Notons le volume de ce tronc de cône par .

Considérons le chiffre entouré en vert. Si vous faites pivoter cette figure autour de l'axe, vous obtiendrez également un cône tronqué, seulement un peu plus petit. Notons son volume par .

Et, évidemment, la différence de volumes correspond exactement au volume de notre « beignet ».

Nous utilisons la formule standard pour trouver le volume d'un corps de révolution :

1) La figure entourée en rouge est délimitée au dessus par une droite, donc :

2) La figure entourée en vert est délimitée au dessus par une droite, donc :

3) Volume du corps de rotation souhaité :

Répondre:

Il est intéressant de noter que dans ce cas, la solution peut être vérifiée à l'aide de la formule scolaire pour calculer le volume d'un cône tronqué.

La décision elle-même est souvent rédigée plus brièvement, quelque chose comme ceci :

Maintenant, prenons un peu de repos et parlons des illusions géométriques.

Les gens ont souvent des illusions associées aux volumes, ce qui a été remarqué par Perelman (un autre) dans le livre Géométrie divertissante. Regardez la figure plate dans le problème résolu - elle semble avoir une petite superficie et le volume du corps de révolution est d'un peu plus de 50 unités cubes, ce qui semble trop grand. D’ailleurs, une personne moyenne boit l’équivalent d’une pièce de 18 mètres carrés de liquide au cours de sa vie, ce qui, au contraire, semble un volume trop petit.

En général, le système éducatif de l’URSS était vraiment le meilleur. Le même livre de Perelman, publié en 1950, développe très bien, comme le disait l'humoriste, la réflexion et vous apprend à rechercher des solutions originales et non standard aux problèmes. J’ai relu récemment certains chapitres avec beaucoup d’intérêt, je le recommande, il est accessible même aux humanistes. Non, vous n'avez pas besoin de sourire que je vous offre du temps libre, l'érudition et les larges horizons en communication sont une bonne chose.

Après une digression lyrique, il convient juste de résoudre un problème créatif :

Exemple 4

Calculer le volume d'un corps formé par rotation autour de l'axe d'une figure plate délimitée par les lignes , , où .

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Veuillez noter que tous les cas se produisent dans la bande, en d'autres termes, des limites d'intégration toutes faites sont en réalité données. Dessinez correctement les graphiques des fonctions trigonométriques, permettez-moi de vous rappeler le matériel de cours sur transformations géométriques de graphiques: si l'argument est divisé par deux : , alors les graphiques sont étirés deux fois le long de l'axe. Il est conseillé de trouver au moins 3-4 points d'après les tables trigonométriques pour compléter le dessin avec plus de précision. Solution complète et réponse à la fin de la leçon. À propos, la tâche peut être résolue de manière rationnelle et peu rationnelle.

Calcul du volume d'un corps formé par rotation
figure plate autour d'un axe

Le deuxième paragraphe sera encore plus intéressant que le premier. La tâche de calculer le volume d'un corps de révolution autour de l'axe des ordonnées est également un invité assez courant dans les travaux de test. En cours de route, il sera considéré problème de trouver l'aire d'une figure la deuxième méthode est l'intégration le long de l'axe, elle vous permettra non seulement d'améliorer vos compétences, mais vous apprendra également à trouver la voie de solution la plus rentable. Il y a aussi un sens de la vie pratique à cela ! Comme mon professeur de méthodes d'enseignement des mathématiques l'a rappelé avec un sourire, de nombreux diplômés l'ont remerciée avec les mots : « Votre matière nous a beaucoup aidé, maintenant nous sommes des gestionnaires efficaces et gérons le personnel de manière optimale. Profitant de cette occasion, je lui exprime également ma grande gratitude, d'autant plus que j'utilise les connaissances acquises aux fins prévues =).

Je recommande de le lire à tout le monde, même aux nuls. De plus, la matière apprise dans le deuxième paragraphe fournira une aide précieuse dans le calcul des intégrales doubles..

Exemple 5

Étant donné une figure plate délimitée par les lignes , , .

1) Trouvez l'aire d'une figure plate délimitée par ces lignes.
2) Trouver le volume du corps obtenu en faisant tourner une figure plate délimitée par ces lignes autour de l'axe.

Attention! Même si vous ne souhaitez lire que le deuxième point, commencez par Nécessairement lis le premier !

Solution: La tâche se compose de deux parties. Commençons par le carré.

1) Faisons un dessin :

Il est facile de voir que la fonction spécifie la branche supérieure de la parabole et la fonction spécifie la branche inférieure de la parabole. Devant nous se trouve une parabole triviale qui « repose sur le côté ».

La figure souhaitée, dont l'aire doit être trouvée, est ombrée en bleu.

Comment trouver l'aire d'une figure ? On peut le retrouver de la manière « habituelle », qui a été discutée en classe Intégrale définie. Comment calculer l'aire d'une figure. De plus, l'aire de la figure se trouve comme la somme des aires :
- sur le segment ;
- sur le segment.

C'est pourquoi :

Pourquoi la solution habituelle est-elle mauvaise dans ce cas ? Premièrement, nous avons deux intégrales. Deuxièmement, les intégrales sont des racines, et les racines des intégrales ne sont pas un cadeau, et de plus, vous pouvez vous tromper en substituant les limites de l'intégration. En fait, les intégrales, bien sûr, ne sont pas tueuses, mais en pratique tout peut être bien plus triste, j'ai juste choisi les « meilleures » fonctions pour le problème.

Il existe une solution plus rationnelle : elle consiste à passer aux fonctions inverses et à intégrer le long de l'axe.

Comment accéder aux fonctions inverses ? En gros, vous devez exprimer « x » par « y ». Tout d'abord, regardons la parabole :

Cela suffit, mais assurons-nous que la même fonction peut être dérivée de la branche inférieure :

C'est plus facile avec une ligne droite :

Maintenant, regardez l'axe : veuillez périodiquement incliner votre tête à 90 degrés vers la droite pendant que vous expliquez (ce n'est pas une blague !). Le chiffre dont nous avons besoin se trouve sur le segment indiqué par la ligne pointillée rouge. Dans ce cas, sur le segment la ligne droite est située au dessus de la parabole, ce qui signifie que l'aire de la figure doit être trouvée à l'aide de la formule que vous connaissez déjà : . Qu'est-ce qui a changé dans la formule ? Juste une lettre et rien de plus.

! Note: Les limites d'intégration le long de l'axe doivent être fixées strictement de bas en haut!

Trouver la zone :

Sur le segment donc :

Veuillez noter comment j'ai effectué l'intégration, c'est la manière la plus rationnelle, et dans le prochain paragraphe de la tâche, il sera clair pourquoi.

Pour les lecteurs qui doutent de la justesse de l'intégration, je trouverai des dérivées :

La fonction intégrande d'origine est obtenue, ce qui signifie que l'intégration a été effectuée correctement.

Répondre:

2) Calculons le volume du corps formé par la rotation de cette figure autour de l'axe.

Je vais redessiner le dessin dans un design légèrement différent :

Ainsi, la figure ombrée en bleu tourne autour de l'axe. Le résultat est un « papillon en vol stationnaire » qui tourne autour de son axe.

Pour trouver le volume d'un corps de rotation, on va intégrer le long de l'axe. Nous devons d’abord passer aux fonctions inverses. Cela a déjà été fait et décrit en détail dans le paragraphe précédent.

Maintenant, nous inclinons à nouveau la tête vers la droite et étudions notre silhouette. Évidemment, le volume d'un corps de rotation doit être trouvé comme la différence de volumes.

On fait pivoter la figure entourée en rouge autour de l'axe, ce qui donne un cône tronqué. Notons ce volume par .

On fait tourner la figure entourée en vert autour de l'axe et on la note par le volume du corps de rotation résultant.

Le volume de notre papillon est égal à la différence de volumes.

Nous utilisons la formule pour trouver le volume d'un corps de révolution :

Quelle est la différence avec la formule du paragraphe précédent ? Seulement dans la lettre.

Mais l'avantage de l'intégration, dont j'ai parlé récemment, est beaucoup plus facile à trouver , plutôt que d'élever d'abord l'intégrande à la 4ème puissance.

Répondre:

Mais ce n’est pas un papillon maladif.

Veuillez noter que si la même figure plate tourne autour de l'axe, vous obtiendrez un corps de rotation complètement différent, avec un volume différent, naturellement.

Exemple 6

Étant donné une figure plate délimitée par des lignes et un axe.

1) Accédez aux fonctions inverses et trouvez l'aire d'une figure plane délimitée par ces lignes en intégrant sur la variable.
2) Calculez le volume du corps obtenu en faisant tourner une figure plate délimitée par ces lignes autour de l'axe.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Les personnes intéressées peuvent également trouver l'aire d'une figure de la manière « habituelle », vérifiant ainsi le point 1). Mais si, je le répète, vous faites pivoter une figure plate autour de l'axe, vous obtiendrez un corps de rotation complètement différent avec un volume différent, d'ailleurs la bonne réponse (également pour ceux qui aiment résoudre des problèmes).

La solution complète aux deux points proposés de la tâche se trouve à la fin de la leçon.

Oui, et n’oubliez pas d’incliner la tête vers la droite pour comprendre les corps de rotation et les limites de l’intégration !

Type de cours : combiné.

Objectif de la leçon : apprendre à calculer les volumes des corps de révolution à l'aide d'intégrales.

Tâches :

consolider la capacité d'identifier les trapèzes curvilignes à partir d'un certain nombre de figures géométriques et développer la compétence de calculer les aires des trapèzes curvilignes ;
se familiariser avec le concept de figure tridimensionnelle ;
apprendre à calculer les volumes des corps de révolution ;
favoriser le développement de la pensée logique, d'un discours mathématique compétent et de la précision lors de la construction de dessins ;
cultiver l'intérêt pour le sujet, en opérant avec des concepts et des images mathématiques, cultiver la volonté, l'indépendance et la persévérance pour atteindre le résultat final.

Progression de la leçon

I. Moment organisationnel.

Salutations du groupe. Communiquer les objectifs de la leçon aux élèves.

Réflexion. Mélodie calme.

– Je voudrais commencer la leçon d’aujourd’hui par une parabole. « Il était une fois un homme sage qui savait tout. Un homme voulait prouver que le sage ne sait pas tout. Tenant un papillon dans ses mains, il demanda : « Dis-moi, sage, quel papillon est entre mes mains : mort ou vivant ? Et lui-même pense : « Si le vivant dit : je la tuerai ; le mort dira : je la relâcherai. » Le sage, après réflexion, répondit : "Tout est entre vos mains." (Présentation.Glisser)

– Par conséquent, travaillons fructueusement aujourd’hui, acquérons un nouveau bagage de connaissances et nous appliquerons les compétences et les capacités acquises dans la vie future et dans les activités pratiques. "Tout est entre vos mains."

II. Répétition du matériel précédemment étudié.

– Rappelons les points principaux du matériel étudié précédemment. Pour ce faire, terminons la tâche "Éliminez le mot supplémentaire."(Glisser.)

(L'élève se rend à la pièce d'identité et utilise une gomme pour supprimer le mot supplémentaire.)

- Droite "Différentiel". Essayez de nommer les mots restants avec un mot commun. (Calcul intégral.)

– Rappelons les principales étapes et concepts associés au calcul intégral.

"Groupe mathématique".

Exercice. Récupérez les lacunes. (L'élève sort et écrit les mots demandés avec un stylo.)

– Nous entendrons plus tard un résumé sur l’application des intégrales.

Travaillez dans des cahiers.

– La formule de Newton-Leibniz a été dérivée du physicien anglais Isaac Newton (1643-1727) et du philosophe allemand Gottfried Leibniz (1646-1716). Et cela n’est pas surprenant, car les mathématiques sont le langage parlé par la nature elle-même.

– Voyons comment cette formule est utilisée pour résoudre des problèmes pratiques.

Exemple 1 : Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes

Solution : construisons des graphiques de fonctions sur le plan de coordonnées . Sélectionnons la zone de la figure qui doit être trouvée.

III. Apprendre du nouveau matériel.

– Faites attention à l'écran. Qu'est-ce qui est montré sur la première image ? (Glisser) (La figure montre une figure plate.)

– Que montre la deuxième image ? Ce chiffre est-il plat ? (Glisser) (La figure montre une figure tridimensionnelle.)

– Dans l’espace, sur terre et dans la vie de tous les jours, nous rencontrons non seulement des figures plates, mais aussi des figures tridimensionnelles, mais comment calculer le volume de tels corps ? Par exemple, le volume d'une planète, d'une comète, d'une météorite, etc.

– Les gens pensent au volume à la fois lorsqu’ils construisent des maisons et lorsqu’ils versent de l’eau d’un récipient à un autre. Des règles et des techniques de calcul des volumes ont dû émerger ; leur précision et leur caractère raisonnable sont une autre affaire.

Message d'un étudiant. (Tyurina Vera.)

L'année 1612 fut très fructueuse pour les habitants de la ville autrichienne de Linz, où vécut le célèbre astronome Johannes Kepler, notamment pour le raisin. Les gens préparaient des tonneaux de vin et voulaient savoir comment déterminer pratiquement leurs volumes. (Diapositive 2)

– Ainsi, les travaux réfléchis de Kepler ont jeté les bases de tout un courant de recherches qui ont culminé dans le dernier quart du XVIIe siècle. conception dans les travaux de I. Newton et G.V. Leibniz du calcul différentiel et intégral. Dès lors, les mathématiques des variables prennent une place prépondérante dans le système de connaissances mathématiques.

– Aujourd’hui, vous et moi allons nous engager dans de telles activités pratiques, par conséquent,

Le sujet de notre leçon : « Calculer les volumes des corps de révolution à l'aide d'une intégrale définie ». (Glisser)

– Vous apprendrez la définition d’un corps de rotation en accomplissant la tâche suivante.

"Labyrinthe".

Labyrinthe (mot grec) signifie aller sous terre. Un labyrinthe est un réseau complexe de chemins, de passages et de pièces communicantes.

Mais la définition était « cassée », laissant des indices sous forme de flèches.

Exercice. Trouvez un moyen de sortir de la situation confuse et notez la définition.

Glisser. « Instruction cartographique » Calcul des volumes.

À l'aide d'une intégrale définie, vous pouvez calculer le volume d'un corps particulier, en particulier un corps de rotation.

Un corps de révolution est un corps obtenu en faisant tourner un trapèze courbe autour de sa base (Fig. 1, 2)

Le volume d'un corps de rotation est calculé à l'aide de l'une des formules :

1. autour de l’axe OX.

2. , si la rotation d'un trapèze courbe autour de l'axe de l'ampli-op.

Chaque élève reçoit une carte d'instruction. L'enseignant souligne les points principaux.

– L’enseignant explique les solutions aux exemples au tableau.

Considérons un extrait du célèbre conte de fées de A. S. Pouchkine « L'histoire du tsar Saltan, de son fils, du glorieux et puissant héros le prince Guidon Saltanovich et de la belle princesse Swan ». (Diapositive 4) :

…..
Et le messager ivre apporta
Le même jour, l'ordre est le suivant :
« Le roi ordonne à ses boyards,
Sans perdre de temps,
Et la reine et la progéniture
Jeter secrètement dans l’abîme de l’eau.
Il n'y a rien à faire : les boyards,
S'inquiéter pour le souverain
Et à la jeune reine,
Une foule est venue dans sa chambre.
Ils ont déclaré la volonté du roi -
Elle et son fils ont une mauvaise part,
Nous lisons le décret à haute voix,
Et la reine à la même heure
Ils m'ont mis dans un tonneau avec mon fils,
Ils ont goudronné et sont partis
Et ils m'ont laissé entrer dans l'okiyan -
C'est ce qu'a ordonné le tsar Saltan.

Quel doit être le volume du tonneau pour que la reine et son fils puissent y entrer ?

– Considérez les tâches suivantes

1. Trouver le volume du corps obtenu en tournant autour de l'axe des ordonnées d'un trapèze curviligne délimité par des lignes : x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Réponse : 1163 cm 3 .

Trouver le volume du corps obtenu en faisant tourner un trapèze parabolique autour de l'axe des abscisses y = , x = 4, y = 0.

IV. Consolidation du nouveau matériel

Exemple 2. Calculer le volume du corps formé par la rotation du pétale autour de l'axe des x oui = X 2 , oui 2 = X.

Construisons des graphiques de la fonction. y = x 2 , y 2 = x. Calendrier y2 = x convertir au formulaire oui= .

Nous avons V = V1 – V2 Calculons le volume de chaque fonction

– Maintenant, regardons la tour de la station de radio de Moscou sur Shabolovka, construite selon les plans du remarquable ingénieur russe, l'académicien honoraire V. G. Shukhov. Il se compose de parties - hyperboloïdes de rotation. De plus, chacun d'eux est constitué de tiges métalliques droites reliant des cercles adjacents (Fig. 8, 9).

- Considérons le problème.

Trouver le volume du corps obtenu en faisant tourner les arcs d'hyperbole autour de son axe imaginaire, comme le montre la Fig. 8, où

cube unités

Travaux de groupe. Les élèves tirent au sort les tâches, dessinent des dessins sur du papier Whatman et l'un des représentants du groupe défend le travail.

1er groupe.

Frapper! Frapper! Encore un coup dur !
Le ballon vole dans le but - BALLON !
Et c'est une boule de pastèque
Vert, rond, savoureux.
Regardez mieux, quelle balle !
Il n’est fait que de cercles.
Coupez la pastèque en cercles
Et goûtez-les.

Trouver le volume du corps obtenu par rotation autour de l'axe OX de la fonction limitée

Erreur! Le signet n'est pas défini.

– S'il vous plaît, dites-moi où nous rencontrons ce chiffre ?

Maison. tâche pour 1 groupe. CYLINDRE (glisser) .

"Cylindre - qu'est-ce que c'est ?" – J'ai demandé à mon père.
Le père a ri : Le haut-de-forme est un chapeau.
Pour avoir une idée correcte,
Un cylindre, disons, est une boîte de conserve.
Tuyau de bateau à vapeur - cylindre,
Le tuyau sur notre toit aussi,

Tous les tuyaux sont semblables à un cylindre.
Et j'ai donné un exemple comme celui-ci -
Mon kaléidoscope bien-aimé,
Tu ne peux pas le quitter des yeux,
Et cela ressemble aussi à un cylindre.

- Exercice. Devoir : représenter graphiquement la fonction et calculer le volume.

2ème groupe. CÔNE (glisser).

Maman a dit : Et maintenant
Mon histoire portera sur le cône.
Stargazer dans un chapeau haut
Compte les étoiles toute l'année.
CONE - chapeau d'astronome.
C'est à ça qu'il ressemble. Compris? C'est ça.
Maman était debout à table,
J'ai versé de l'huile dans des bouteilles.
-Où est l'entonnoir ? Pas d'entonnoir.
Cherchez-le. Ne restez pas à l'écart.
- Maman, je ne bougerai pas.
Parlez-m'en davantage sur le cône.
– L’entonnoir se présente sous la forme d’un cône d’arrosoir.
Allez, retrouve-la-moi vite.
Je n'ai pas trouvé l'entonnoir
Mais maman a fait un sac,
J'ai enroulé le carton autour de mon doigt
Et elle l'a adroitement sécurisé avec un trombone.
L'huile coule, maman est contente,
Le cône est sorti parfaitement.

Exercice. Calculer le volume d'un corps obtenu en tournant autour de l'axe des abscisses

Maison. tâche pour le 2ème groupe. PYRAMIDE(glisser).

J'ai vu la photo. Sur cette photo
Il y a une PYRAMIDE dans le désert de sable.
Tout dans la pyramide est extraordinaire,
Il y a une sorte de mystère et de mystère dedans.
Et la tour Spasskaya sur la Place Rouge
Il est très familier aux enfants et aux adultes.
Si vous regardez la tour, elle a l'air ordinaire,
Qu'y a-t-il dessus ? Pyramide!

Exercice. Devoir : représenter graphiquement la fonction et calculer le volume de la pyramide

– Nous avons calculé les volumes de divers corps sur la base de la formule de base pour les volumes des corps utilisant une intégrale.

C'est une autre confirmation que l'intégrale définie constitue une base pour l'étude des mathématiques.

- Eh bien, maintenant, reposons-nous un peu.

Trouvez-en une paire.

La mélodie mathématique des dominos joue.

«Le chemin que je cherchais moi-même ne sera jamais oublié…»

Travaux de recherche. Application de l'intégrale en économie et en technologie.

Tests pour étudiants forts et football mathématique.

Simulateur mathématique.

2. L'ensemble de toutes les primitives d'une fonction donnée est appelé

A) une intégrale indéfinie,

B) fonction,

B) différenciation.

7. Trouver le volume du corps obtenu en tournant autour de l'axe des abscisses d'un trapèze curviligne délimité par des lignes :

D/Z. Calculer les volumes des corps de rotation.

Réflexion.

Réception de réflexion sous la forme syncwine(cinq lignes).

1ère ligne – nom du sujet (un nom).

2ème ligne – description du sujet en deux mots, deux adjectifs.

3ème ligne – description de l'action dans ce sujet en trois mots.

La 4ème ligne est une phrase de quatre mots, montrant l'attitude envers le sujet (une phrase entière).

La 5ème ligne est un synonyme qui répète l'essence du sujet.

Volume.
Fonction définie intégrale et intégrable.
On construit, on fait pivoter, on calcule.
Un corps obtenu par rotation d'un trapèze courbé (autour de sa base).
Corps de rotation (corps géométrique volumétrique).

Conclusion (glisser).

Une intégrale définie est une certaine base pour l'étude des mathématiques, qui apporte une contribution irremplaçable à la résolution de problèmes pratiques.
Le thème « Intégral » démontre clairement le lien entre les mathématiques et la physique, la biologie, l'économie et la technologie.
Le développement de la science moderne est impensable sans l’utilisation de l’intégrale. A cet égard, il faut commencer à l'étudier dans le cadre de l'enseignement secondaire spécialisé !

Classement. (Avec commentaire.)

Le grand Omar Khayyam - mathématicien, poète, philosophe. Il nous encourage à être maîtres de notre propre destin. Écoutons un extrait de son œuvre :

Vous direz, cette vie est un instant.
Appréciez-le, inspirez-vous-en.
Au fur et à mesure que vous le dépensez, cela passera.
N'oubliez pas : elle est votre création.

Sauf trouver l'aire d'une figure plane à l'aide d'une intégrale définie (voir 7.2.3.) l'application la plus importante du sujet est calculer le volume d'un corps de rotation. Le matériel est simple, mais le lecteur doit être préparé : il doit être capable de résoudre intégrales indéfinies complexité moyenne et appliquer la formule de Newton-Leibniz dans intégrale définie, n Vous avez également besoin de solides compétences en dessin. En général, il existe de nombreuses applications intéressantes en calcul intégral ; à l'aide d'une intégrale définie, vous pouvez calculer l'aire d'une figure, le volume d'un corps de rotation, la longueur d'un arc, la surface d'un corps. et bien plus encore. Imaginez une figure plate sur le plan de coordonnées. Introduit ? ... Désormais, cette figure peut également être tournée, et pivotée de deux manières :

– autour de l’axe des x ;

– autour de l’axe des ordonnées .

Regardons les deux cas. La deuxième méthode de rotation est particulièrement intéressante ; elle pose le plus de difficultés, mais en fait la solution est presque la même que dans la rotation plus courante autour de l'axe des x. Commençons par le type de rotation le plus populaire.

Calcul du volume d'un corps formé en faisant tourner une figure plate autour d'un axe BŒUF

Exemple 1

Calculez le volume d'un corps obtenu en faisant tourner une figure délimitée par des lignes autour d'un axe.

Solution: Comme pour le problème de trouver la zone, la solution commence par le dessin d'une figure plate. Autrement dit, dans un avion XOY il faut construire une figure délimitée par les droites, et ne pas oublier que l'équation précise l'axe. Le dessin ici est assez simple :

La figure plate souhaitée est ombrée en bleu ; c'est celle qui tourne autour de l'axe. Suite à la rotation, le résultat est une soucoupe volante légèrement ovoïde avec deux pics pointus sur l'axe BŒUF, symétrique par rapport à l'axe BŒUF. En fait, le corps a un nom mathématique, regardez dans l'ouvrage de référence.

Comment calculer le volume d'un corps de révolution ? Si un corps est formé à la suite d'une rotation autour d'un axeBŒUF, il est mentalement divisé en couches parallèles de faible épaisseur dx, qui sont perpendiculaires à l'axe BŒUF. Le volume du corps entier est évidemment égal à la somme des volumes de ces couches élémentaires. Chaque couche, comme une tranche ronde de citron, est un cylindre bas en hauteur dx et avec rayon de base f(x). Alors le volume d'une couche est le produit de l'aire de base π f 2 par hauteur de cylindre ( dx), ou π∙ f 2 (x)∙dx. Et l'aire de tout le corps de rotation est la somme des volumes élémentaires, ou l'intégrale définie correspondante. Le volume d'un corps de révolution peut être calculé à l'aide de la formule :

Comment définir les limites de l'intégration « a » et « être » peut être facilement deviné à partir du dessin terminé. Fonction... quelle est cette fonction ? Regardons le dessin. La figure plane est délimitée par le graphique de la parabole en haut. C'est la fonction impliquée dans la formule. Dans les tâches pratiques, une figure plate peut parfois être située en dessous de l'axe BŒUF. Cela ne change rien - la fonction dans la formule est au carré : f 2 (x), Ainsi, le volume d'un corps de révolution est toujours non négatif, ce qui est très logique. Calculons le volume d'un corps de rotation à l'aide de cette formule :

Comme nous l'avons déjà noté, l'intégrale s'avère presque toujours simple, l'essentiel est d'être prudent.

Répondre:

Dans votre réponse, vous devez indiquer la dimension - unités cubes. Autrement dit, dans notre corps de rotation, il y a environ 3,35 « cubes ». Pourquoi cubique unités? Parce que c'est la formulation la plus universelle. Il peut y avoir des centimètres cubes, il peut y avoir des mètres cubes, il peut y avoir des kilomètres cubes, etc., c'est le nombre d'hommes verts que votre imagination peut mettre dans une soucoupe volante.

Exemple 2

Trouver le volume d'un corps formé par rotation autour d'un axe BŒUF une figure délimitée par les lignes , , .

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Exemple 3

Calculez le volume du corps obtenu en faisant tourner la figure délimitée par les lignes , , et autour de l'axe des abscisses.

Solution: Représentons au dessin une figure plate délimitée par les droites , , , , sans oublier que l'équation x= 0 spécifie l'axe OY:

Le chiffre souhaité est ombré en bleu. Quand il tourne autour d'un axe BŒUF le résultat est un beignet plat et angulaire (une rondelle avec deux surfaces coniques).

Calculons le volume du corps de révolution comme différence de volumes de corps. Regardons d’abord la figure entourée en rouge. Quand il tourne autour d'un axe BŒUF le résultat est un cône tronqué. Notons le volume de ce tronc de cône par V 1 .

Considérons le chiffre entouré en vert. Si vous faites pivoter cette figure autour de l'axe BŒUF, alors vous obtenez le même cône tronqué, seulement un peu plus petit. Notons son volume par V 2 .

Il est évident que la différence de volumes V = V 1 - V 2 est le volume de notre « beignet ».

Nous utilisons la formule standard pour trouver le volume d'un corps de révolution :

1) La figure entourée en rouge est délimitée au dessus par une droite, donc :

2) La figure entourée en vert est délimitée au dessus par une droite, donc :

3) Volume du corps de rotation souhaité :

Répondre:

Il est intéressant de noter que dans ce cas, la solution peut être vérifiée à l'aide de la formule scolaire pour calculer le volume d'un cône tronqué.

La décision elle-même est souvent rédigée plus brièvement, quelque chose comme ceci :

Comment calculer le volume d'un corps de révolution
en utilisant une intégrale définie ?

En général, il existe de nombreuses applications intéressantes en calcul intégral ; en utilisant une intégrale définie, vous pouvez calculer l'aire d'une figure, le volume d'un corps de rotation, la longueur d'un arc, la surface de rotation et bien plus encore. Ce sera donc amusant, restez optimiste !

- autour de l'axe des abscisses ;
- autour de l'axe des ordonnées.

Commençons par le type de rotation le plus populaire.

figure plate autour d'un axe

Calculez le volume d'un corps obtenu en faisant tourner une figure délimitée par des lignes autour d'un axe.

Solution: Comme dans le problème de trouver la zone, la solution commence par le dessin d'une figure plate. C'est-à-dire que sur le plan il faut construire une figure délimitée par les lignes , et ne pas oublier que l'équation précise l'axe. Comment réaliser un dessin plus efficacement et plus rapidement peut être trouvé sur les pages Graphiques et propriétés des fonctions élémentaires Et . Il s’agit d’un rappel chinois, et à ce stade, je ne m’étendrai pas davantage.

Le dessin ici est assez simple :

Comment calculer le volume d'un corps de révolution ?

Le volume d'un corps de révolution peut être calculé à l'aide de la formule:

Dans la formule, le nombre doit être présent avant l'intégrale. C'est ce qui s'est passé - tout ce qui tourne dans la vie est lié à cette constante.

Je pense qu'il est facile de deviner comment fixer les limites d'intégration « a » et « be » à partir du dessin terminé.

Fonction... quelle est cette fonction ? Regardons le dessin. La figure plane est délimitée par le graphique de la parabole en haut. C'est la fonction impliquée dans la formule.

Calculons le volume d'un corps de rotation à l'aide de cette formule :

Comme je l'ai déjà noté, l'intégrale s'avère presque toujours simple, l'essentiel est d'être prudent.

Répondre:

Trouver le volume d'un corps formé par rotation autour de l'axe d'une figure délimitée par des lignes , ,

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Considérons deux problèmes plus complexes, qui sont également souvent rencontrés dans la pratique.

Calculer le volume du corps obtenu en tournant autour de l'axe des abscisses de la figure délimitée par les lignes , , et

Solution: Représentons dans le dessin une figure plate délimitée par les droites , , , , sans oublier que l'équation définit l'axe :

Le chiffre souhaité est ombré en bleu. Lorsqu'il tourne autour de son axe, il se révèle être un beignet surréaliste à quatre coins.

Calculons le volume du corps de révolution comme différence de volumes de corps.

Regardons d’abord la figure entourée en rouge. Lorsqu'il tourne autour d'un axe, on obtient un tronc de cône. Notons le volume de ce tronc de cône par .

Considérons le chiffre entouré en vert. Si vous faites pivoter cette figure autour de l'axe, vous obtiendrez également un cône tronqué, seulement un peu plus petit. Notons son volume par .

Et, évidemment, la différence de volumes correspond exactement au volume de notre « beignet ».

Nous utilisons la formule standard pour trouver le volume d'un corps de révolution :

1) La figure entourée en rouge est délimitée au dessus par une droite, donc :

2) La figure entourée en vert est délimitée au dessus par une droite, donc :

3) Volume du corps de rotation souhaité :

Répondre:

Il est intéressant de noter que dans ce cas, la solution peut être vérifiée à l'aide de la formule scolaire pour calculer le volume d'un cône tronqué.

La décision elle-même est souvent rédigée plus brièvement, quelque chose comme ceci :

Maintenant, prenons un peu de repos et parlons des illusions géométriques.

Après une digression lyrique, il convient juste de résoudre un problème créatif :

Calculer le volume d'un corps formé par rotation autour de l'axe d'une figure plate délimitée par les lignes , , où .

Calcul du volume d'un corps formé par rotation
figure plate autour d'un axe

Le deuxième paragraphe sera encore plus intéressant que le premier. La tâche de calculer le volume d'un corps de rotation autour de l'axe des ordonnées est également un invité assez courant dans les travaux de test. En cours de route, il sera considéré problème de trouver l'aire d'une figure la deuxième méthode est l'intégration le long de l'axe, elle vous permettra non seulement d'améliorer vos compétences, mais vous apprendra également à trouver la voie de solution la plus rentable. Il y a aussi un sens de la vie pratique à cela ! Comme mon professeur de méthodes d'enseignement des mathématiques l'a rappelé avec un sourire, de nombreux diplômés l'ont remerciée avec les mots : « Votre matière nous a beaucoup aidé, maintenant nous sommes des gestionnaires efficaces et gérons le personnel de manière optimale. Profitant de cette occasion, je lui exprime également ma grande gratitude, d'autant plus que j'utilise les connaissances acquises aux fins prévues =).

Je recommande de le lire à tout le monde, même aux nuls. De plus, la matière apprise dans le deuxième paragraphe fournira une aide précieuse dans le calcul des intégrales doubles..

Étant donné une figure plate délimitée par les lignes , , .

1) Trouvez l'aire d'une figure plate délimitée par ces lignes.
2) Trouver le volume du corps obtenu en faisant tourner une figure plate délimitée par ces lignes autour de l'axe.

Attention! Même si vous souhaitez lire uniquement le deuxième point, assurez-vous de lire le premier en premier !

Solution: La tâche se compose de deux parties. Commençons par le carré.

1) Faisons un dessin :

La figure souhaitée, dont l'aire doit être trouvée, est ombrée en bleu.

C'est pourquoi :

Pourquoi la solution habituelle est-elle mauvaise dans ce cas ? Premièrement, nous avons deux intégrales. Deuxièmement, il y a des racines sous les intégrales, et les racines dans les intégrales ne sont pas un cadeau, et de plus, vous pouvez vous tromper en substituant les limites de l'intégration. En fait, les intégrales, bien sûr, ne sont pas tueuses, mais en pratique tout peut être bien plus triste, j'ai juste choisi les « meilleures » fonctions pour le problème.

Il existe une solution plus rationnelle : elle consiste à passer aux fonctions inverses et à intégrer le long de l'axe.

Comment accéder aux fonctions inverses ? En gros, vous devez exprimer « x » par « y ». Tout d'abord, regardons la parabole :

Cela suffit, mais assurons-nous que la même fonction peut être dérivée de la branche inférieure :

C'est plus facile avec une ligne droite :

! Note: Les limites d'intégration le long de l'axe doivent être fixées strictement de bas en haut!

Trouver la zone :

Sur le segment donc :

Veuillez noter comment j'ai effectué l'intégration, c'est la manière la plus rationnelle, et dans le prochain paragraphe de la tâche, il sera clair pourquoi.

Pour les lecteurs qui doutent de la justesse de l'intégration, je trouverai des dérivées :